문제유형 기본서
핵심개념과 대표유형으로 마스터하는고등 수학 (하)
정답 및 해설
I. 집합과 명제
1. 집합의 뜻과 표현
집합과 원소
01
1 ⑴ 집합, 2, 3 ⑵ 아니다 2 ⑴ < ⑵ ² ⑶ < ⑷ ² 본문 14쪽 개념 Check 001 풀이 참조 002 ⑴ < ⑵ ² ⑶ < ⑷ < 003 ⑴ < ⑵ ² ⑶ ² ⑷ < 004 ⑴ < ⑵ ² ⑶ < ⑷ ² 본문 15쪽 개념 익히기001
집합인 것은 ⑵, ⑷이다. ⑵의 원소는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ⑷의 원소는 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ, ㅅ, ㅇ, ㅈ, ㅊ, ㅋ, ㅌ, ㅍ, ㅎ002
⑴ 3은 자연수이므로 3<N ⑵ ;2!;은 정수가 아니므로 ;2!;²Z ⑶ 0.H3=;3!;은 유리수이므로 0.H3<Q ⑷ '5는 실수이므로 '5<R003
10보다 작은 홀수는 1, 3, 5, 7, 9이므로 ⑴ 1<A ⑵ 8²A 14의 약수는 1, 2, 7, 14이므로 ⑶ 3²B ⑷ 7<B004
이차방정식 xÛ`-6x+5=0을 풀면 (x-1)(x-5)=0에서 x=1 또는 x=5 따라서 집합 A의 원소는 1과 5이다. ⑴ 1<A ⑵ 2²A ⑶ 5<A ⑷ 6²A집합을 나타내는 방법, 집합의 분류
02
1 ⑴ 1, 2, 3, 49 ⑵ 50보다 작은 자연수 ⑶ 49 2 유한, 무한 3 6 본문 16쪽 개념 Check 005 ⑴ {x|x는 자연수} ⑵ {x|x는 영어 알파벳의 모음} ⑶ {6, 12, 18, …, 96} ⑷ {-4, 4} 006 A={1, 2, 3, 4}={x|x는 4 이하의 자연수} B={2, 4, 6, 8, 10}={x|x는 10 이하의 짝수} 007 ⑴ 유한집합 ⑵ 무한집합 ⑶ 유한집합, 공집합 008 ⑴ 4 ⑵ 9 ⑶ 0 본문 17쪽 개념 익히기006
조건제시법은 여러 가지로 표현할 수 있다. A={1, 2, 3, 4}={x|x는 4 이하의 자연수} ={x|x는 5 미만의 자연수} B={2, 4, 6, 8, 10}={x|x는 10 이하의 짝수} ={x|x는 11 미만의 짝수}007
⑴ 100의 약수는 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100의 9개이므 로 집합 A는 유한집합이다. ⑵ B={3, 5, 7, 9, …}이므로 무한집합이다. ⑶ 2보다 크고 4보다 작은 짝수는 없으므로 집합 C는 공집합 이고, 유한집합이다.008
⑴ A={12, 14, 16, 18}이므로 n(A)=4 ⑵ B={11, 22, 33, …, 99}이므로 n(B)=9 ⑶ C=a이므로 n(C)=0002
정답 및 해설부분집합과 그 성질
03
1 , 2 8, 4 3 a, {1}, {2}, {1, 2}, a, {1}, {2} 본문 18쪽 개념 Check009 ⑴ A,B ⑵ B,A ⑶ B,A 010 ⑴ + ⑵ = ⑶ + ⑷ = 011 a=10, b=3
012 ⑴ a, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c},
{a, b, c} ⑵ a, {2}, {4}, {6}, {8}, {2, 4}, {2, 6}, {2, 8}, {4, 6}, {4, 8}, {6, 8}, {2, 4, 6}, {2, 4, 8}, {2, 6, 8}, {4, 6, 8} 본문 19쪽 개념 익히기
009
⑴ B={1, 2, 3, 6}이므로 집합 A의 원소 1, 3이 모두 집합 B에 속한다. ∴ A,B ⑵ A={2, 4, 6, 8, …}이므로 집합 B의 모든 원소가 집합 A에 속한다. ∴ B,A ⑶ A={2, 4, 6, 8, …}, B={4, 8, 12, …}이므로 B,A010
⑴ {x|x는 3의 양의 약수}={1, 3}이므로 {1, 2, 3}+{x|x는 3의 양의 약수} ⑶ {x|x는 10 이하의 홀수}={1, 3, 5, 7, 9}이므로 {x|x는 10 이하의 홀수}+{1, 3, 5, 7}011
A=B이므로 집합 A는 9를 원소로 가지고 있고, 집합 B는 5를 원소로 가지고 있다. 즉, a-1=9, b+2=5이므로 a=10, b=3012
⑴ 원소가 없는 부분집합 a 원소가 1개인 부분집합 {a}, {b}, {c} 원소가 2개인 부분집합 {a, b}, {a, c}, {b, c} 원소가 3개인 부분집합 {a, b, c} 따라서 부분집합은 a, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} ⑵ 10보다 작은 짝수는 2, 4, 6, 8이므로 원소가 없는 부분집합 a 원소가 1개인 부분집합 {2}, {4}, {6}, {8} 원소가 2개인 부분집합 {2, 4}, {2, 6}, {2, 8}, {4, 6}, {4, 8}, {6, 8} 원소가 3개인 부분집합 {2, 4, 6}, {2, 4, 8}, {2, 6, 8}, {4, 6, 8} 따라서 진부분집합은 a, {2}, {4}, {6}, {8}, {2, 4}, {2, 6}, {2, 8}, {4, 6}, {4, 8}, {6, 8}, {2, 4, 6}, {2, 4, 8}, {2, 6, 8}, {4, 6, 8}부분집합의 개수
04
1 4, 4, 16, 4, 1, 15 2 1, 4 본문 20쪽 개념 Check 013 ⑴ 32, 31 ⑵ 8, 7 ⑶ 4, 3 014 ⑴ 8 ⑵ 4 ⑶ 4 015 64 016 24 본문 21쪽 개념 익히기013
⑴ 집합 A의 원소의 개수가 5이므로 부분집합의 개수는 2Þ`=32이고, 진부분집합의 개수는 2Þ`-1=31이다. ⑵ 집합 B={1, 3, 9}이고 원소의 개수가 3이므로 부분집합 의 개수는 2Ü`=8이고, 진부분집합의 개수는 2Ü`-1=7이다. ⑶ 이차방정식 xÛ`-3x+2=0을 풀면 (x-1)(x-2)=0 ∴ x=1 또는 x=2 ∴ C={1, 2} 1. 집합의 뜻과 표현003
1
책1.indb 3 2018-06-18 오후 6:02:24집합 C의 원소의 개수가 2이므로 부분집합의 개수는 2Û`=4이고, 진부분집합의 개수는 2Û`-1=3이다.
014
⑴ 집합 A의 부분집합 중 원소 2를 포함하는 집합의 개수는 2를 제외한 집합 {1, 3, 4}의 부분집합의 개수와 같으므로 24-1=2Ü`=8 ⑵ 집합 A의 부분집합 중 원소 1, 3을 포함하지 않는 집합의 개수는 1, 3을 제외한 집합 {2, 4}의 부분집합의 개수와 같으므로 24-2=2Û`=4 ⑶ 집합 A의 부분집합 중 원소 1은 포함하고 원소 4는 포함 하지 않는 집합의 개수는 1, 4를 제외한 집합 {2, 3}의 부 분집합의 개수와 같으므로 24-2=2Û`=4015
10 이하의 자연수 중 소수는 2, 3, 5, 7이므로 소수를 모두 포함하는 집합의 개수는 소수를 제외한 집합 {1, 4, 6, 8, 9, 10}의 부분집합의 개수와 같으므로 210-4=2ß`=64016
집합 A의 부분집합 중 원소 1 또는 2를 포함하는 집합의 개 수는 부분집합 전체의 개수에서 1, 2를 포함하지 않는 부분 집합의 개수를 뺀 것과 같으므로 2Þ`-2Ü`=32-8=24 본문 22~29쪽 017 50 018 ⑴ {0, 1, 2} ⑵ {0, 1} ⑶ {0, 1, 2, 4} 019 7 020 3 021 ② 022 5 023 {4, 5}, {4, 6}, {4, 7}, {5, 6}, {5, 7}, {6, 7}, {4, 5, 6}, {4, 5, 7}, {4, 6, 7}, {5, 6, 7} 024 ⑴ a, {0}, {1}, {0, 1} ⑵ {0, 1} 025 ② 026 ④ 027 C,B,A 028 -;3!;ÉaÉ0 029 a=23, b=-14 030 2 031 4 032 16 033 12 유제017
집합 A={1, 2, 3, 4}에 대하여 Ú a=1일 때, x=3_1+5=8 Û a=2일 때, x=3_2+5=11 Ü a=3일 때, x=3_3+5=14 Ý a=4일 때, x=3_4+5=17 따라서 B={8, 11, 14, 17}이므로 집합 B의 모든 원소의 합 은 8+11+14+17=50018
⑴ 두 집합 A, B에 대하여 ab의 값이 \ 0 1 1 0 1 2 0 2 될 수 있는 것은 오른쪽 표에 의 하여 0, 1, 2이다. ∴ A\B={0, 1, 2} ⑵ A\A={x|x=ab, a<A, b<A}이므로 ab의 값이 될 수 있는 것은 오른쪽 표에 의하여 \ 0 1 0 0 0 1 0 1 0, 1이다. ∴ A\A={0, 1} ⑶ A\B={0, 1, 2}이므로 \ 0 1 2 1 0 1 2 2 0 2 4 두 집합 B, A\B에 대하 여 ab의 값이 될 수 있는 것은 오른쪽 표에 의하여 0, 1, 2, 4이다. ∴ B\(A\B)={0, 1, 2, 4}019
x, 8-x가 모두 2 이상의 자연수이므로 x¾2, 8-x¾2 ∴ 2ÉxÉ6 즉, 집합 A의 원소가 될 수 있는 자연수는 2, 3, 4, 5, 6이다. 이때 2<A이면 8-2=6<A이고, 6<A이면 8-6=2<A 이므로 2, 6은 항상 동시에 집합 A의 원소이어야 한다. 같은 방법으로 3과 5도 항상 동시에 집합 A의 원소이어야 한다. 또한 4<A이므로 원소의 개수에 따라 집합 A를 구해 보면 다음과 같다. Ú 집합 A의 원소가 1개일 때 : A={4} Û 집합 A의 원소가 2개일 때 : A={2, 6},{3, 5} Ü 집합 A의 원소가 3개일 때 : A={3, 4, 5},{2, 4, 6} Ý 집합 A의 원소가 4개일 때 : A={2, 3, 5, 6} Þ 집합 A의 원소가 5개일 때 : A={2, 3, 4, 5, 6} 따라서 조건을 만족시키는 집합 A의 개수는 7이다.004
정답 및 해설참고 집합 A의 개수는 집합 {3, {2, 6}, {3, 5}}의 진부분집합의 개수와 같다. 2Ü`-1=7
020
집합 A의 임의의 원소 x에 대하여 x와 1013x 은 모두 자연수이 어야 하므로 x의 값이 될 수 있는 수는 10의 약수인 1, 2, 5, 10이다. 이때 1<A이면 10<A이어야 하고, 10<A이면 1<A이어 야 하므로 1과 10은 항상 동시에 집합 A의 원소이어야 한다. 같은 방법으로 2와 5도 항상 동시에 집합 A의 원소이어야 한 다. 원소의 개수에 따라 집합 A를 구해 보면 다음과 같다. Ú 집합 A의 원소가 2개일 때 : A={1, 10},{2, 5} Û 집합 A의 원소가 4개일 때 : A={1, 2, 5, 10} 따라서 조건을 만족시키는 집합 A의 개수는 3이다.021
① n(a)=0이므로 n(A)=0 ② n({0, 1})=2 ③ n({0})=1, n({0, 1})=2이므로 n({0})+n({0, 1})=3 ④ n({1})=1, n({a})=1이므로 n({1})=n({a}) ⑤ 10보다 크고 100보다 작은 5의 배수는 15, 20, 25, …, 95 의 17개이므로 n({x|10<x<100, x는 5의 배수})=17 따라서 옳지 않은 것은 ②이다.022
x는 8의 양의 약수이므로 A={1, 2, 4, 8} ∴ n(A)=4 B={3_0+1, 3_1+1, 3_2+1, 3_3+1, 3_4+1} ={1, 4, 7, 10, 13} ∴ n(B)=5 xÛ`<20을 만족시키는 자연수 x의 값은 1, 2, 3, 4이므로 C={1, 2, 3, 4} ∴ n(C)=4 ∴ n(A)+n(B)-n(C)=4+5-4=5023
Ú 원소의 개수가 2인 부분집합은 {4, 5}, {4, 6}, {4, 7}, {5, 6}, {5, 7}, {6, 7} Û 원소의 개수가 3인 부분집합은 {4, 5, 6}, {4, 5, 7}, {4, 6, 7}, {5, 6, 7} 따라서 원소의 개수가 2 또는 3인 부분집합은 {4, 5}, {4, 6}, {4, 7}, {5, 6}, {5, 7}, {6, 7}, {4, 5, 6}, {4, 5, 7}, {4, 6, 7}, {5, 6, 7}이다.024
집합 A={-1, 0, 1}에 대하여 ⑴ 집합 A의 부분집합 중 원소 -1을 포함하지 않는 부분집 합은 집합 {0, 1}의 부분집합과 같으므로 a, {0}, {1}, {0, 1} ⑵ 집합 A의 진부분집합 중 원소 0과 1을 포함하는 집합은 {0, 1}뿐이다.025
① a은 모든 집합의 부분집합이므로 a,A ② {b, c}는 집합 A의 원소이므로 {b, c}<A ③ {a, b}의 원소 a, b는 모두 집합 A의 원소이므로 {a, b},A ④ {a}는 집합 A의 원소이므로 {a}<A ⑤ b는 집합 A의 원소이므로 b<A 따라서 옳지 않은 것은 ②이다.026
① {1}은 집합 {1, 2, {1}}의 원소이므로 {1}<{1, 2, {1}} ④ {1}은 집합 {{1}, 2, 3}의 원소이므로 {1}<{{1}, 2, 3}027
집합 B={(-1)Û`, 0Û`, 1Û`}={0, 1}이므로 B,A 방정식 xÜ`+x=x(xÛ`+1)=0의 실근을 x=0이므로 C={0} ∴ C,B,A028
두 집합 A, B에 대하여 B,A a 0 3 3a+4 B A 가 성립하려면 오른쪽 그림과 1. 집합의 뜻과 표현005
1
책1.indb 5 2018-06-18 오후 6:02:27같아야 한다. 즉, aÉ0이고 3a+4¾3이어야 한다. 3a+4¾3에서 3a¾-1 ∴ a¾-;3!; ∴ -;3!;ÉaÉ0
029
A=B이므로 두 집합의 원소는 서로 같다. 즉 a+2b=-5, 2a+3b=4 두 식을 연립하여 풀면 a=23, b=-14030
A,B, B,A이므로 A=B 2<A이므로 2<B이어야 한다. 즉, xÛ`-x=2 또는 x-1=2 Ú xÛ`-x=2일 때, xÛ`-x-2=(x-2)(x+1)=0에서 x=-1 또는 x=2 ① x=-1이면 A={-2, 2}=B ② x=2이면 A={2, 4}+B={1, 2} ∴ x=-1 Û x-1=2일 때, x=3이고 A={2, 6}=B 따라서 구하는 x의 값은 -1, 3이므로 두 수의 합은 -1+3=2031
구하는 집합은 원소 2, 3을 포함하지 않고 원소 5를 반드시 포함하는 부분집합의 개수이므로 25Ñ2Ñ1=2Û`=4032
A,X,B를 만족시키는 집합 X는 집합 A의 원소를 모두 포함하는 집합 B의 부분집합이다. 따라서 집합 X의 개수는 2ß`ÑÛ`=2Ý`=16033
집합 A={1, 2, 5, 10}이므로 A의 부분집합의 개수는 2Ý`이 다. 이때 적어도 한 개의 홀수를 포함하는 부분집합의 개수 는 전체 부분집합의 개수에서 짝수로만 이루어진 집합 {2, 10}의 부분집합의 개수를 빼면 되므로 2Ý`-2Û`=12 034 ⑴ 집합, 원소 ⑵ 공집합, a ⑶ 부분집합, A,B ⑷ 진부분집합 ⑸ 2Ç`, 2Ç`-1 035 ⑴ 거짓 ⑵ 참 ⑶ 참 ⑷ 거짓 ⑸ 거짓 ⑹ 참 ⑺ 거짓 ⑻ 참 본문 30쪽 Review Quiz035
⑴ ‘키가 작은’은 기준이 명확하지 않으므로 집합이 아니다. (거짓) ⑵ A={5, 10, 15, 20, 25, 30}이므로 4는 집합 A의 원소 가 아니다. ∴ 4²A (참) ⑶ 3으로 나누었을 때 나머지가 1인 자연수는 3k+1의 꼴로 나타낼 수 있고, k의 값 대신에 0, 1, 2, … 를 차례로 대 입하면 1, 4, 7, 10, …이므로 {1, 4, 7, …}이다. (참) ⑷ n(a)=0, n({a})=1, n({0})=1이므로 n(a)+n({a})+n({0})=0+1+1=2 (거짓) ⑸ 집합 A={1, 3, 5, 15}이고 집합 {5, 20}의 원소 20은 집합 A의 원소가 아니므로 {5, 20}øA (거짓) ⑹ A,B이고 B,A이면 두 집합은 서로 같다고 하고 기호 로 A=B와 같이 나타낸다. (참) ⑺ 집합 A={a, b, c, d}의 원소의 개수가 4이므로 진부분 집합의 개수는 2Ý`-1=15 (거짓) ⑻ 집합 {1, 3, 5, 7, 9}의 부분집합 중 원소 3을 포함하는 부 분집합의 개수는 3을 제외한 집합 {1, 5, 7, 9}의 부분집합 의 개수와 같으므로 25 Ñ1 =2Ý`=16 (참) 036 ② 037 ⑤ 038 ⑤ 039 ④ 040 -1 041 ①, ④ 042 8 043 8 044 ⑤ 045 ① 046 ④ 047 ① 048 1 049 ⑤ 050 ⑤ 051 4 052 960 053 8 본문 31~33쪽 중단원 연습문제 A006
정답 및 해설036
① ‘우리 반에서 안경 쓴’은 기준이 명확하므로 집합이다. ② ‘가까운’은 기준이 명확하지 않으므로 집합이 아니다. ③ ‘제곱하여 1이 되는’은 기준이 명확하므로 집합이다. ④ ‘우리나라 광역시’는 기준이 명확하므로 집합이다. ⑤ ‘1보다 작은 정수’는 기준이 명확하므로 집합이다. 따라서 집합이 아닌 것은 ②이다.037
집합 A={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}이므로 ⑤ 18²A038
① {1, 2, 3, 6}={x|x는 6의 양의 약수} ② {3, 6, 9, 12, 15}={x|x는 15 이하의 3의 양의 배수} ③ {1, 2, 3, 4}={x|x는 0<x<5인 자연수} ④ {2, 4, 6, 8, 10}={x|x는 10 이하의 짝수}039
집합 C는 2_3_k 꼴, 즉 6의 배수를 원소로 갖는다. ① 6=2Ú`_3Ú` ② 12=2Û`_3Ú` ③ 18=2Ú`_3Û` ④ 45=3Û`_5 ⑤ 54=2Ú`_3Ü` 따라서 ④는 6의 배수가 아니므로 45²C040
4<S이면 1131-41 =-;3!;<S -;3!;<S이면 111111 1-{-;3!;}=;4#;<S ;4#;<S이면 1111 1-;4#;=4<S 4, -;3!;, ;4#;이 항상 동시에 집합 S의 원소이고, 집합 S의 원 소가 3개이므로 S=[-;3!;, ;4#;, 4] 따라서 집합 S의 모든 원소의 곱은 {-;3!;}_;4#;_4=-1041
① 원소가 100개이므로 유한집합이다. ② {x|x는 10보다 큰 짝수}={12, 14, 16, …} 이므로 무한집합이다. ③ {x|x는 3으로 나누었을 때 나머지가 2인 자연수} ={2, 5, 8, 11, …} 이므로 무한집합이다. ④ 3<x<4인 자연수는 없으므로 {x|x는 3<x<4인 자연수}=a 으로 유한집합이다. ⑤ x=;qP;, p, q는 정수 (단, q+0)는 유리수이고, 유리수는 무수히 많으므로 [x|x=;qP;, p, q는 정수 (단, q+0)]는 무 한집합이다.042
8의 양의 약수는 1, 2, 4, 8이므로 주어진 집합이 공집합이 되도록 하는 안의 자연수는 8, 9, 10, …이다. 따라서 안에 알맞은 가장 작은 자연수는 8이다.043
부등식 3x-14É0을 풀면 3xÉ14 ∴ xÉ:Á3¢: ∴ A={1, 2, 3, 4} 0과 2 사이에 분모가 4인 기약분수는 ;4!;, ;4#;, ;4%;, ;4&;이므로 B=[;4!;, ;4#;, ;4%;, ;4&;] ∴n(A)+n(B)=4+4=8044
① n({2, 4, 6})=3 ② A={1, 2}, B={2, 3, 4}이면 n(A)<n(B)이지만 AøB ③ n(A)=0이면 A=a이다. ④ A={1, 2, 3}, B={1, 2, 4}이면 n(A)=n(B)이지만 A+B ⑤ n({1})=n({2})=1 따라서 옳은 것은 ⑤이다.045
B={x|x는 4의 양의 배수}={4, 8, 12, 16, 20, …}이므로 A,B 1. 집합의 뜻과 표현007
1
책1.indb 7 2018-06-18 오후 6:02:28따라서 두 집합 A, B 사이의 포함 관계를 벤다이어그램으로 바르게 나타낸 것은 ①이다.
046
세 집합 X, Y, Z를 각각 원소나열법으로 나타내면 X={-1, 0, 1}, Y={0}, Z={0, 1}이므로 Y,Z,X047
① {a}의 원소 a가 집합 A에 속하므로 {a},A
② 3은 집합 A의 원소가 아니므로 3²A ③ {1}의 원소 1은 집합 A의 원소이므로 {1},A ④ {1, 2}의 원소 1, 2는 집합 A의 원소이므로 {1, 2},A ⑤ {2, 3}은 집합 A의 원소이므로 {2, 3}<A 따라서 옳은 것은 ①이다.
048
A,B를 만족하려면 a<B, a+2<B이어야 한다. 이때 a, a+2는 차가 2인 두 수이고, a<a+2이므로 (a, a+2)=(-1, 1) 또는 (1, 3) 그런데 a>0이므로 a=1049
A=B이므로 a+2=2 또는 a+2=6-a ∴ a=0 또는 a=2 Ú a=0일 때, A={-2, 2}, B={2, 6}이므로 A+B Û a=2일 때, A={2, 4}, B={2, 4}이므로 A=B Ú, Û에 의하여 a=2050
① 7의 양의 약수는 1, 7이므로 진부분집합의 개수는 2Û`-1=3 ② 원소가 3개이므로 진부분집합의 개수는 2Ü`-1=7 ③ 10보다 작은 홀수는 1, 3, 5, 7, 9이므로 진부분집합의 개 수는 2Þ`-1=31 ④ 15 이하의 3의 양의 배수는 3, 6, 9, 12, 15이므로 진부분 집합의 개수는 2Þ`-1=31 ⑤ 원소가 a, 1, 2, {3, 4}의 4개이므로 진부분집합의 개수 는 2Ý`-1=15051
A={-1, 0, 1}이고 B={-2, -1, 0, 1, 2}이므로 {-1, 0, 1},X,{-2, -1, 0, 1, 2} 따라서 집합 X의 개수는 2Þ`ÑÜ`=2Û`=4052
적어도 한 개의 소수를 원소로 포함하는 부분집합의 개수는 (전체 부분집합의 개수) - (소수를 하나도 포함하지 않는 부 분집합의 개수)이다. 집합 A={1, 2, 3, …, 10}의 부분집합의 개수는 2Ú`â`=1024 yy ❶ 이고, 소수를 하나도 포함하지 않는 부분집합의 개수는 집합 {1, 4, 6, 8, 9, 10}의 부분집합의 개수이므로 2ß`=64 yy ❷ 따라서 적어도 한 개의 소수를 원소로 포함하는 부분집합의 개수는 1024-64=960 yy ❸ 채점 기준 배점 ❶ 전체 부분집합의 개수 구하기 40% 40% ❷ 소수를 하나도 포함하지 않는 부분집합의 개수 구하기 20% ❸ 구하는 부분집합의 개수 구하기053
집합 A의 부분집합 중 원소 aÁ, aª, aÇ을 포함하는 부분집합 의 개수는 2n-3 이므로 2n-3=32 2n-3=2Þ`, n-3=5 ∴ n=8 054 ④ 055 ② 056 ② 057 ② 058 8 059 ⑤ 060 5 061 ③ 062 12 063 ③ 064 ① 본문 34~35쪽 중단원 연습문제 B054
xÛ`+x-12=0에서 (x+4)(x-3)=0이므로008
정답 및 해설x=-4 또는 x=3 ∴ A={-4, 3} xÝ`-5xÛ`+4=0에서 (xÛ`-1)(xÛ`-4)=0이므로 x=Ñ1 또는 x=Ñ2 ∴ B={-2, -1, 1, 2} xÛ`<0을 만족시키는 실수 x는 존재하지 않으므로 C=a 따라서 옳은 것은 ④이다.
055
m<A, n<A일 때, 2µ``=2, 4, + 4 16 2 6 18 4 8 20 4Ç`=4, 16이므로 2µ``+4Ç`의 값이 될 수 있는 것은 오른쪽 표와 같이 6, 8, 18, 20이다. X={6, 8, 18, 20} 따라서 집합 X의 모든 원소의 합은 6+8+18+20=52056
① '2와 상관없이 0<A 또는 0²A이다. ② 2<A이면 1<A, 1<A이면 ;2!;<A, ;2!;<A이면 ;4!;<A, …이므로 2<A이면 A는 무한집합이 된다. ③ A가 무한집합이면 x<A에서 x+0 이때 x와 상관없이 0<A 또는 0²A이다. ④ [반례] [2, 1, ;2!;, ;4!;, ;8!;, …]에서 x=2, y=1이면 x+y=3²A ⑤ [반례] [2, 1, ;2!;, ;4!;, ;8!;, …]에서 x=2, y=2이면 xy=4²A057
5<A이므로 5+5=10<A, 5+10=15<A, 5+15=20<A, … 즉, 집합 A는 최소한 5의 배수가 모두 포함된 집합이므로 {5, 10, 15, 20, …, 50},A ∴ n(A)¾10 따라서 n(A)의 최솟값은 10이다.058
세 집합 A, B, C에 대하여 A,B,C가 성립하려면 다음 그림과 같아야 한다. -3 a -1 1 b 5 A B C yy ❶ 즉, -3<aÉ-1, 1Éb<5이므로 정수 a, b의 값은 a=-2 또는 a=-1 b=1 또는 b=2 또는 b=3 또는 b=4 yy ❷ 따라서 만족하는 두 정수 a, b의 순서쌍 (a, b)는 (-2, 1), (-2, 2), (-2, 3), (-2, 4), (-1, 1), (-1, 2), (-1, 3),(-1, 4) 의 8개이다. yy ❸ 채점 기준 배점 ❶ 포함 관계 이해하기 30% 40% ❷ a, b의 값 구하기 30% ❸ 순서쌍 (a, b)의 개수 구하기059
A,C이고 B,C이므로 A, B의 모든 원소는 C에 포함된다. 즉, 두 집합 A={1, 2}, B={1, 4}이므로 1<C, 2<C, 4<C 따라서 삼차방정식 xÜ`+axÛ`+bx+c=0의 세 근이 1, 2, 4이 므로 (x-1)(x-2)(x-4)=0에서 xÜ`-7xÛ`+14x-8=0 ∴ a=-7, b=14, c=-8 ∴ a+b-c=-7+14-(-8)=15060
b=a-1이므로 a+b=a+(a-1)=63 2a=64 ∴ a=32 집합 A의 원소의 개수를 n이라 하면 2Ç`=32에서 2Ç`=2Þ` ∴ n=5 따라서 집합 A의 원소의 개수는 5이다.061
P(A)는 집합 A의 부분집합을 원소로 갖는 집합이다. n(A)=3이므로 집합 A의 부분집합의 개수는 2Ü`=8 ∴ n(P(A))=8062
집합 X는 집합 B의 원소 중 2개만 포함하고 있는 집합 A의 부분집합이므로 다음과 같이 3가지 경우로 나누어 생각할 수 있다. 1. 집합의 뜻과 표현009
1
책1.indb 9 2018-06-18 오후 6:02:31Ú 집합 X가 원소 1, 2를 포함하고 원소 3은 포함하지 않는 경우는 {1, 2}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5}, {1, 2, 4, 5}로 4개이다. Û 집합 X가 원소 1, 3을 포함하고 원소 2는 포함하지 않는 경우는 {1, 3},{1, 3, 4},{1, 3, 5},{1, 3, 4, 5}로 4개이다. Ü 집합 X가 원소 2, 3을 포함하고 원소 1은 포함하지 않는 경우는 {2, 3}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {2, 3, 4, 5}로 4개이다. Ú, Û, Ü에 의하여 집합 X의 개수는 4+4+4=12 참고 집합 A에 대하여 원소 1, 2를 포함하고, 원소 3은 포함하지 않는 부분집합의 개수는 25-2-1=2Û`=4 따라서 집합 X의 개수는 4_3=12
063
f(n)은 n을 반드시 원소로 갖고 n보다 작은 자연수를 원소 로 갖지 않는 집합 X의 부분집합의 개수이므로 f(n)=210-1-(n-1)=210-n (단, 1Én<10) ㄱ. f(8)=210-8=2Û`=4 (참) ㄴ. a=7, b=8일 때, 7<X, 8<X이고 7<8이지만 f(7)=210-7=2Ü`=8, f(8)=4 이므로 f(7)>f(8) (거짓) ㄷ. f(1)+f(3)+f(5)+f(7)+f(9) =210-1+210-3+210-5+210-7+210-9 =2á`+2à`+2Þ`+2Ü`+2=682 (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.064
원소의 개수가 2 이상인 집합 S의 부분집합의 개수를 다음과 같이 나누어 구해 보자. Ú 가장 작은 원소가 1인 부분집합의 개수 1을 포함하는 원소가 2개 이상인 부분집합의 개수와 같다. 25-1-1=2Ý`-1=15 Û 가장 작은 원소가 2인 부분집합의 개수 1은 포함하지 않고 2는 포함하는 2개 이상인 부분집합의 개수와 같다. 25-1-1 -1=2Ü`-1=7 Ü 가장 작은 원소가 3인 부분집합의 개수 1, 2는 포함하지 않고 3은 포함하는 2개 이상인 부분집합 의 개수와 같다. 25-2-1-1=2Û`-1=3 Ý 가장 작은 원소가 4인 부분집합의 개수는 {4, 5}로 1 따라서 각 집합의 가장 작은 원소를 모두 더한 값은 1_15+2_7+3_3+4_1=42I. 집합과 명제
2. 집합의 연산
합집합과 교집합
05
1 ⑴ 4, 6, 8 ⑵ 2, 4, 2, 4 2 ⑴ a, 서로소 ⑵ {1}, 아니다 본문 38쪽 개념 Check 065 풀이 참조 066 6 067 ⑵, ⑷ 068 ② 본문 39쪽 개념 익히기065
⑴ A'B={1, 3, 5, 6, 7, 9, 12, 15}, A;B={3, 9} ⑵ A={1, 2, 3, 6}, B={2, 3, 5, 7}이므로 A'B={1, 2, 3, 5, 6, 7}, A;B={2, 3} ⑶ A'B={x|-3Éx<6}, A;B={x|1<xÉ4} ⑷ A'B={1, 2, 3}, A;B=a066
A;B={2, 4}이므로 4<A, 2<B 따라서 a=4, b=2이므로 a+b=4+2=6067
⑴ 2는 짝수이면서 소수이므로 A;B={2} 따라서 두 집합 A, B는 서로소가 아니다. ⑵ A;B=a이므로 두 집합 A, B는 서로소이다. ⑶ A={1, 2, 7, 14}, B={1, 3, 9, 27}이므로 A;B={1} 따라서 두 집합 A, B는 서로소가 아니다. ⑷ 유리수이면서 무리수인 수는 없으므로 두 집합 A, B는 서로소이다. 따라서 두 집합 A, B가 서로소인 것은 ⑵, ⑷이다.010
정답 및 해설068
B,A이므로 ① A;B=B ② A'B=A ④ (A'B),A ⑤ B'(A;B)=B여집합과 차집합
06
1 3, 7, 3, 7 2 1, 2, 4, 1, 2, 4 본문 40쪽 개념 Check 069 ⑴ A={2, 4, 6, 8} ⑵ B={4, 5, 7, 8, 9} 070 ⑴ a ⑵ A ⑶ U ⑷ a 071 풀이 참조 072 ⑴ {4, 12} ⑵ {4, 12} ⑶ 성립한다. 본문 41쪽 개념 익히기069
U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}이므로 ⑴ A={2, 4, 6, 8} ⑵ B={1, 2, 3, 6}이므로 B={4, 5, 7, 8, 9}071
⑴ A-B={b, c}, B-A={`f } ⑵ A-B={1, 4}, B-A={8} ⑶ A={1, 2, 3, 4, 6, 12}, B={3, 6, 9, 12, 15}이므로 A-B={1, 2, 4}, B-A={9, 15}072
U={1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}, B={1, 2, 3, 6, 9, 18} 이므로 B={4, 12, 36} ⑴ A;B={3, 6, 18}이므로 A-B={4, 12} ⑵ A;B={3, 4, 6, 12, 18};{4, 12, 36}={4, 12} ⑶ A-B와 A;B의 원소가 모두 같으므로 A-B=A;B집합의 연산법칙
07
1 드모르간, ', 3, 5, 8 본문 42쪽 개념 Check 073 풀이 참조 074 ⑴ A;B,a,A;B ⑵ A, B'B , U, A 075 ⑴ {1, 2, 3, 5, 6, 7} ⑵ {1, 2, 3, 5, 6, 7} ⑶ {3} ⑷ {3} 076 ㈎ A;B ㈏ A;A ㈐ a ㈑ a 본문 43쪽 개념 익히기073
⑴ A;B={2, 4}이므로 (A;B);C={2} B;C={2, 6}이므로 A;(B;C)={2} ∴ (A;B);C=A;(B;C) ⑵ B'C={2, 3, 4, 6, 8, 9}이므로 A;(B'C)={2, 3, 4} A;B={2, 4}, A;C={2, 3}이므로 (A;B)'(A;C)={2, 3, 4} ∴ A;(B'C)=(A;B)'(A;C)075
⑴ A;B={4}이므로 (A;B)={1, 2, 3, 5, 6, 7} ⑵ A={2, 3, 5, 7}, B={1, 3, 6}이므로 A'B={1, 2, 3, 5, 6, 7} ⑶ A'B={1, 2, 4, 5, 6, 7}이므로 (A'B)={3} ⑷ A;B={3}유한집합의 원소의 개수
08
1 16, 6, 25 2 ⑴ ;,6,4 ⑵ ;, 6, 9 본문 44쪽 개념 Check 2. 집합의 연산011
2
책1.indb 11 2018-06-18 오후 6:02:32077 ⑴ 23 ⑵ 3 078 ⑴ 30 ⑵ 18 079 ⑴ 25 ⑵ 12 ⑶ 2 ⑷ 15 080 54 본문 45쪽 개념 익히기
077
⑴ n(A'B) =n(A)+n(B)-n(A;B) =17+14-8=23 ⑵ n(A;B) =n(A)+n(B)-n(A'B) =5+11-13=3078
⑴ A;B=a이면 n(A;B)=0이므로 n(A'B) =n(A)+n(B) =18+12=30 ⑵ A;B=a이면 A-B=A이므로 n(A-B)=n(A)=18
079
⑴ n(A)=n(U)-n(A) =50-25=25 ⑵ n(B)=n(U)-n(B) =50-38=12 ⑶ n(A-B) =n(A'B)-n(B) =40-38=2 ⑷ n(B;A)=n(B-A) =n(A'B)-n(A) =40-25=15080
국내 여행을 다녀온 직원의 집합을 A, 국외 여행을 다녀온 직원의 집합을 B, 두 곳을 모두 다녀온 직원의 집합을 A;B라고 하자. 이때 n(A)=36, n(B)=34, n(A;B)=16이므로 n(A'B) =n(A)+n(B)-n(A;B) =36+34-16=54 따라서 국내 여행 또는 국외 여행을 다녀온 직원의 수는 54 이다. 본문 46~55쪽 081 {3, 4, 6, 8} 082 a=2, b=1 083 21 084 {2, 3} 085 {5, 7} 086 {1, 3, 5} 087 16 088 4 089 ⑤ 090 ④ 091 ②, ④ 092 B,A 093 ① 094 8 095 U 096 ㄱ, ㄴ, ㄹ, ㅁ 097 8 098 ㄱ, ㄴ 099 15 100 7 101 31 102 2 103 최댓값 : 8, 최솟값 : 5 유제081
A={3, 4, 6, 8}, B={4, 5, 9}, C={1, 2, 4, 8}이고, B;C={4}이므로 A'(B;C) ={3, 4, 6, 8}'{4} ={3, 4, 6, 8}082
A;B={-1}이므로 -1<A, -1<B (-1)Û`+a(-1)+1=-a+2=0 ∴ a=2 2_(-1)Û`+3_(-1)+b=-1+b=0 ∴ b=1083
A;B={3}이므로 9+3a+18=0 ∴ a=-9 xÛ`-9x+18É0에서 (x-3)(x-6)É0 ∴ 3ÉxÉ6 A={x|1ÉxÉ3}이므로 A'B={x|1ÉxÉ6} 따라서 A'B의 원소 중 정수의 합은 1+2+3+…+6=21
084
U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}이므로 B={4, 5, 6, 8, 9} ∴ A-B={2, 3, 5, 8}-{4, 5, 6, 8, 9} ={2, 3}085
A={1, 2, 3, 6}, B={2, 4, 6, 8}이므로 A'B={1, 2, 3, 4, 6, 8} 색칠한 부분이 나타내는 집합은 (A'B)이므로 {5, 7}012
정답 및 해설086
A-B, A;B, A;B을 차례로 벤 U A B 9 7 15 3 다이어그램에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. ∴ B={1, 3, 5}087
A;X=A이므로 A,X X'B=B이므로 X,B ∴ A,X,B {1, 2, 3},X,{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}을 만족시키는 집합 X 는 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}의 부분집합 중 원소 1, 2, 3을 포함 하는 집합이므로 그 개수는 27-3=2Ý`=16088
㈎에 의해 X,A, ㈏에 의해 (A-B),X이므로 (A-B),X,A 오른쪽 벤다이어그램에서 1 2 4 6 3 5 A B A-B={1, 2}, A={1, 2, 4, 6}이므 로 {1, 2},X,{1, 2, 4, 6}을 만족시 키는 집합 X는 {1, 2, 4, 6}의 부분집합 중 원소 1, 2를 포함하는 집합이므로 그 개수는 24-2=22=4089
① U-A=A이므로 A;A=a ② (A;B),A ③ B,(A'B) ④ A;a=a 따라서 항상 옳은 것은 ⑤이다.090
④ A-B=A;B091
① U-A=A ③ (A'B),U ④ U=a이므로 a,a ⑤ A,B일 때, A;B=a 따라서 옳은 것은 ②, ④이다.092
(B-A);A=(B;A);A =B;(A;A) =B;A =B-A B-A=a이므로 B,A093
(A'B);(B'A)=A'(B;B)=A'a=A 즉, A=A;B이므로 A,B ④ B;A+a ⑤ A'B=B 따라서 항상 옳은 것은 ①이다. 다른 해설 (A'B);(B'A)=(A'B);(B;A) =(A'B);(B-A)=(A'B)-(B-A)=A 즉, A=A;B이므로 A,B094
A'B=(A;B)이므로 (A;B)={1,2,3,4} ∴ A;B={5} yy ㉠ (B-A);{A;(B'A)} =(B;A);{(A;B)'(A;A)} =(B'A);{(A;B);a} =(A'B);(A;B) ={(A'B);A};B =A;B =A-B ∴ A-B={3} yy ㉡ ㉠, ㉡에서 A={3, 5} 따라서 집합 A의 모든 원소의 합은 3+5=8095
{(A;B)'(A;B)}'{(A;B)'(A'B)} ={(A;B)'(A;B)}'{(A;B)'(A;B)} ={A;(B'B)}'{A;(B'B)} =(A;U)'(A;U) =A'A =U 2. 집합의 연산013
2
책1.indb 13 2018-06-18 오후 6:02:35096
ㄱ. A◎A=(A-A)'(A-A) =a'a=a (참) ㄴ. A◎ a =(A-a)'(a-A) =A'a=A (참) ㄷ. A◎A=(A-A)'(A-A) =A'A=U (거짓) ㄹ. A◎B=(A-B)'(B-A)=(B-A)'(A-B) =B◎A (참) ㅁ. A◎B=(A-B)'(B-A) =(A'B)-(A;B) 벤다이어그램을 이용하여 확인하면 A B C U (A`ã`B)'C A B C U (A`ã`B);C A B C U (A`ã`B)`ã`C - = - = A B C U A'(B`ã`C) A B C U A;(B`ã`C) A B C U A`ã`(B`ã`C) - = - = ∴ (A◎B)◎C=A◎(B◎C) (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ, ㅁ이다.097
A£;(A¢'A¤) =(A£;A¢)'(A£;A¤) =AÁª'A¤=A¤ 전체집합 U의 원소 중 6의 배수는 8개이므로 구하는 집합의 원소의 개수는 8이다.098
ㄱ. 4의 배수는 2의 배수이므로 Aª'A¢=Aª (참) ㄴ. 6의 배수는 3의 배수이므로 A¤,A£ (참) ㄷ. A¢;A°는 4와 5의 공배수, 즉 20의 배수의 집합이므로 (A¢;A°)'AÁ¼=Aª¼'AÁ¼ 20의 배수는 10의 배수이므로 Aª¼'AÁ¼=AÁ¼ ∴ (A¢;A°)'AÁ¼=AÁ¼ (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.099
벤다이어그램의 색칠한 부분이 나타내는 집합은 (A'B)`` n(A'B) =n(A)+n(B)-n(A;B) =30+25-10=45 이므로 n((A'B))=n(U)-n(A'B) =60-45=15100
두 집합 A, B가 서로소이므로 n(A;B)=0 이때 n(A'B)=n(A)+n(B)=25+28=53이므로 n(A;B)=n((A'B)) =n(U)-n(A'B) =60-53=7101
n(A-B) =n(A'B)-n(B) =38-20=18 n(B-A) =n(A'B)-n(A) =38-25=13 이므로 n(A-B)+n(B-A)=18+13=31 다른 해설 n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B) =25+20-38=7 n(A-B)=n(A)-n(A;B) =25-7=18 n(B-A) =n(B)-n(A;B) =20-7=13 이므로 n(A-B)+n(B-A)=18+13=31102
학생 전체의 집합을 U, 영어 문제를 푼 학생의 집합을 A, 수 학 문제를 푼 학생의 집합을 B라고 하면 n(U)=60, n(A)=35, n(B)=28, n(A;B)=5 이때 n(A'B) =n(A)+n(B)-n(A;B) =35+28-5=58 이고, 영어, 수학 문제 중 어느 것도 풀지 못한 학생의 집합은 A;B=(A'B) ∴ n((A'B))=n(U)-n(A'B) =60-58=2014
정답 및 해설103
어느 반 학생 전체의 집합을 U, 국내 체험활동에 참가한 학 생의 집합을 A, 해외 체험활동에 참가한 학생의 집합을 B라 하면 n(U)=34, n(A)=31, n(B)=8 이고, 국내 체험활동과 해외 체험활동에 모두 참가한 학생의 집합은 A;B n(A;B)가 최소일 때는 U=A'B일 때이므로 n(A;B) =n(A)+n(B)-n(U) =31+8-34=5 n(A;B)가 최대일 때는 B,A일 때이므로 n(A;B)=8 따라서 구하는 학생 수의 최댓값은 8, 최솟값은 5이다. 104 ⑴ 서로소 ⑵ 또는 ⑶ x²B ⑷ 여집합 ⑸ A'B,A;B⑹ (A'B), (A'C), (A;B), (A;C)
⑺ n(A;B) 105 ⑴ 참 ⑵ 거짓 ⑶ 참 ⑷ 거짓 ⑸ 참 ⑹ 참 ⑺ 거짓 ⑻ 거짓 본문 56쪽 Review Quiz
105
⑵ 전체집합이 제시되지 않았으므로 A을 구할 수 없다. (거짓) ⑷ [반례] A=B일 때, A-B=B-A=a ⑸ A'B=A이면 B,A이므로 A;B=B (참) ⑹ A-B=a이면 A,B이므로 B,A (참) ⑺ A,B이면 A'B=B이므로 n(A'B)=n(B) (거짓) ⑻ n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)이고 n(A;B)¾0이므로 n(A'B)Én(A)+n(B) (거짓) 106 ⑤ 107 ③ 108 {5} 109 ② 110 ⑤ 111 -3 112 ③ 113 ② 114 ③ 115 ④ 116 4 117 ④ 118 {4, 6, 7, 9} 119 ① 120 ② 121 16 122 50 123 98 본문 57~59쪽 중단원 연습문제 A106
U={1, 2, 3, 4, 5}, A={1, 5}, A B U 1 5 3 2 4 B={3, 4, 5}를 벤다이어그램으로 나 타내면 오른쪽 그림과 같다. ⑤ A-B={1}107
A;B={2, 3, 5}이므로 집합 A는 2, 3, 5를 반드시 원소 로 가지고 있어야 한다. 따라서 A가 될 수 없는 것은 ③ {2, 3, 4, 6}이다.108
이차방정식 xÛ`-x-6=0을 풀면 (x-3)(x+2)=0 ∴ x=-2 또는 x=3 집합 A={-2, 3}이고, A-B={3}이므로 -2<B 이차방정식 xÛ`-ax-10=0에 x=-2를 대입하면 (-2)Û`-a_(-2)-10=0 2a=6 ∴ a=3 즉, xÛ`-3x-10=0이므로 (x-5)(x+2)=0 ∴ x=-2 또는 x=5 A={-2, 3}, B={-2, 5}이므로 B-A={5}109
① A={1, 2, 3, 6, 9, 18}, B={6, 12, 18}이므로 A;B={6, 18} 따라서 A, B는 서로소가 아니다. ③ A={-1}, B={-1, 1}이므로 A;B={-1} 따라서 A, B는 서로소가 아니다. ④ A={1, 3, 5, 7, y}, B={2, 3, 5, 7, y}이므로 A;B={x|x는 2를 제외한 소수} 따라서 A, B는 서로소가 아니다. ⑤ 3의 배수이면서 5의 배수인 수는 15의 배수이므로 A;B={15, 30, 45, y} 따라서 A, B는 서로소가 아니다. 그러므로 두 집합 A, B가 서로소인 것은 ②이다.110
집합 S의 부분집합 중에서 집합 {1, 2}와 서로소인 집합은 원소 1, 2를 포함하지 않는 집합이므로 집합의 개수는 25-2=23=8 2. 집합의 연산015
2
책1.indb 15 2018-06-18 오후 6:02:39111
A'B=B이려면 A,B 3<B이므로 xÛ`+2x=3 이 식을 풀면 xÛ`+2x-3=0, (x+3)(x-1)=0 ∴ x=-3 또는 x=1 Ú x=-3일 때 A={3, 6}, B={2, 3, 6}이므로 A,B Û x=1일 때 A={2, 3}, B={2, 3, 6}이므로 A,B 따라서 A'B=B를 만족시키는 모든 실수 x의 값은 -3, 1 이므로 그 곱은 (-3)_1=-3112
U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}이고, A={1, 2, 5, 6, 8}, B={2, 4, 8}이므로 A-B={1, 5, 6} ∴ (A-B)={2, 3, 4, 7, 8, 9}113
주어진 집합을 벤다이어그램으로 나타내면 다음과 같다. ① A B C U A B C U A B C U A B C U A B C U ② A B C U A B C U A B C U A B C U A B C U ③ A B C U A B C U A B C U A B C U A B C U ④ A B C U A B C U A B C U A B C U A B C U ⑤ A B C U A B C U A B C U A B C U A B C U 따라서 색칠한 부분은 ② A-(B'C)이다.114
A;B=a, A'B={x|-1<xÉ4}이므로 x=4는 이차방정식 xÛ`-6x+a=0의 근이고, x=-1은 이차방정식 xÛ`-x+b=0의 근이다. 즉, 16-24+a=0 ∴ a=8 1+1+b=0 ∴ b=-2 ∴ a+b=8+(-2)=6115
B,A이므로 ④ A,B116
A={1, 2, 3, 4, 6, 12}, B={2, 3, 5, 7, 11} ㈎에서 A;X=X이므로 X,A ㈏에서 (A-B)'X=X이므로 (A-B),X ∴ (A-B),X,A yy ❶ A-B={1, 4, 6, 12}이므로 집합 X의 개수는 집합 A의 부 분집합 중 원소 1, 4, 6, 12를 포함하는 집합의 개수와 같으 므로 2ß`ÑÝ`=2Û`=4 yy ❷ 채점 기준 배점 ❶ (A-B),X,A 알기 50% 50% ❷ 집합 X의 개수 구하기117
A;(B'C) =(A;B)'(A;C) ={3, 6, 9}'{1, 2, 3, 6} ={1, 2, 3, 6, 9} 따라서 A;(B'C)의 모든 원소의 합은 1+2+3+6+9=21118
A;B=(A'B)={1, 2, 5} A B U 3 8 4 9 6 1 2 5 10 7 주어진 조건에 따라 벤다이어그램을 그려 보면 오른쪽 그림과 같다. ∴ (A'B);(A-B) =(A'B)-(A-B) =B ={4, 6, 7, 9}119
(B-A)'(C-A) A B C U =(B;A)'(C;A) =(B'C);A =(B'C)-A120
n(A;B)=n(B-A)=6, n(B;A)=n(A-B)=9
이므로
n(A;B) =n(A'B)-n(A-B)-n(B-A) =18-9-6=3
121
n((A'B))=n(U)-n(A'B) =32-21=11 n(A;B) =n(A)+n(B)-n(A'B) =10+16-21=5 이때 색칠한 부분이 나타내는 집합은 (A;B)'(A'B)이므로 n(A;B)+n((A'B))=5+11=16122
신입사원 전체의 집합을 U, 소방안전 교육을 받은 사원의 집 합을 A, 심폐소생술 교육을 받은 사원의 집합을 B라 하면 n(U)=200, n(A)=120, n(B)=115, n(A;B)=65 이때 심폐소생술 교육만을 받은 사원의 집합은 B-A이고 n(B-A) =n(B)-n(A;B) =115-65=50 따라서 심폐소생술 교육만을 받은 사원의 수는 50이다.123
어느 고등학교 1학년 학생 전체의 집합을 U, 강아지를 키우 는 학생의 집합을 A, 고양이를 키우는 학생의 집합을 B라 하면 n(U)=100, n(A)=28, n(B)=16, n((A'B))=58 yy ❶ 이때 n(A'B)=n(U)-n((A'B))=100-58=42 n(A;B) =n(A)+n(B)-n(A'B) =28+16-42=2 yy ❷ 강아지를 키우지 않거나 고양이를 키우지 않는 학생의 집합 은 A'B=(A;B)이고, n((A;B)) =n(U)-n(A;B) =100-2=98 따라서 강아지를 키우지 않거나 고양이를 키우지 않는 학생 수는 98이다. yy ❸ 채점 기준 배점 ❶ 주어진 조건을 집합으로 나타내기 30% 40% ❷ n(A;B)의 값 구하기 30% ❸ n(A'B)의 값과 답 구하기 124 4 125 ④ 126 9 127 ③ 128 ⑤ 129 ③ 130 ④ 131 최댓값 : 37, 최솟값 : 19 132 ④ 133 156 본문 60~61쪽 중단원 연습문제 B124
집합 X의 모든 원소의 합을 S(X)라 하면 S(A'B)=S(A)+S(B)-S(A;B) 그런데 S(A'B)=21, S(A)=6, S(B)=6+4k, S(A;B)=7이므로 21=6+6+4k-7 ∴ k=4125
X'B=B이므로 X,B n(X;A)=1이므로 A의 원소 중 1개만 집합 X에 속한다. 즉, {1},X,{1, 5, 7} 또는 {3},X,{3, 5, 7} 따라서 집합 X의 개수는 2_2Ü`ÑÚ`=2Ü`=8126
A;B={3}이므로 3<B 즉, aÛ`-2a=3이므로 aÛ`-2a-3=0, (a-3)(a+1)=0 ∴ a=-1 또는 a=3 Ú a=-1일 때 A={-3, 3, 5}, B={2, 3} 그런데 A는 자연수의 집합인 U의 부분집합이 아니다. Û a=3일 때 A={1, 3, 5}, B={2, 3} (A-B)'(A'B)=(A-B)'(A;B)=A이고, A={1, 3, 5}이므로 모든 원소의 합은 1+3+5=9127
(A'B);(B-A)=(A'B);(B;A) =(A'B);(B'A) =A'(B;B) =A'a=A 즉, A=A'B이므로 B,A 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 2. 집합의 연산017
2
책1.indb 17 2018-06-18 오후 6:02:45128
주어진 집합의 연산과 집합의 연산법칙을 이용한다. ㄱ. A△A=(A-A)'(A-A) =a'a=a (거짓) ㄴ. A△B=(A-B)'(B-A) =(B-A)'(A-B) =B△A (참) ㄷ. A△B=(A-B)'(B-A) ={A;(B)}'{B;(A)} =(A;B)'(B;A) =(B-A)'(A-B) =(A-B)'(B-A) =A△B (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.129
(A¤'AÁª);(A¢'AÁª)=(A¤;A¢)'AÁª =AÁª'AÁª=AÁª AÇ,AÁª를 만족시키는 n의 값은 12의 배수이므로 n의 최솟 값은 12이다.130
U={1, 2, 3, y, 7}이고 A'C={1, 2, 3, 4, 5, 6}이므로 (A'C)={7} 주어진 집합을 벤다이 U A C B 2 13 54 6 U A C B 2 5 1 3 4 6 7 7 어그램으로 나타내면 오른쪽의 두 가지 중 하나이고, 구하는 집합 은 색칠한 부분과 같다. ∴ A;(B'C)={1, 3, 5}131
전체 학생의 집합을 U, 수학을 좋아하는 학생의 집합을 A, 영어를 좋아하는 학생의 집합을 B라고 하면 n(U)=60, n(A)=37, n(B)=42 이때 수학과 영어를 모두 좋아하는 학생의 수는 n(A;B) =n(A)+n(B)-n(A'B) =79-n(A'B) yy ㉠ Ú n(A'B)의 값이 최대인 경우는 U=A'B일 때이므로 (n(A'B)의 최댓값)=60 Û n(A'B)의 값이 최소인 경우는 A,B일 때이므로 (n(A'B)의 최솟값)=n(B)=42 Ú, Û에서 42Én(A'B)É60 yy ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 19(=79-60)Én(A;B)É37(=79-42) 따라서 수학과 영어를 모두 좋아하는 학생 수의 최댓값은 37, 최솟값은 19이다.132
ㄱ. Aª={x|x는 2와 서로소인 자연수} ={1, 3, 5, 7, 9, y} 4=2Û`이므로 A¢={x|x는 4와 서로소인 자연수} ={x|x는 2의 배수가 아닌 수} ={1, 3, 5, 7, 9, y} ∴ Aª=A¢ (참) ㄴ. A£={x|x는 3과 서로소인 자연수} ={x|x는 3의 배수가 아닌 수} ={1, 2, 4, 5, 7, 8, y} 6=2_3이므로 A¤={x|x는 6과 서로소인 자연수} ={x|x는 2의 배수도 아니고 3의 배수도 아닌 수} ={1, 5, 7, y} ∴ A£+A¤ (거짓) ㄷ. ㄴ에서 A¤=Aª;A£이고, ㄱ에서 Aª=A¢이므로 A¤=Aª;A£=A¢;A£ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.133
소풍 간 학생 전체의 집합을 U, A, B, C 놀이기구를 이용 한 학생의 집합을 각각 A, B, C라 하면 n(U)=200, n(A)=128, n(B)=110, n(C)=72, n(A;B)+n(B;C)+n(C;A)-3_n(A;B;C) =134 n(A;B;C)=10이므로 n(A;B)+n(B;C)+n(C;A) =134+3_10=164 따라서 적어도 한 개의 놀이기구를 이용한 학생의 수는 n(A'B'C) =n(A)+n(B)+n(C)-n(A;B)-n(B;C) -n(C;A)+n(A;B;C) =128+110+72-164+10 =156018
정답 및 해설I. 집합과 명제
3. 명제
명제, 조건과 진리집합
09
1 거짓, 아니다, 아니다, ㄱ, ㄴ 2 1, 2, 1, 2, 1, 2 본문 64쪽 개념 Check 134 ⑵ 참인 명제, ⑶ 거짓인 명제 135 ⑵, ⑷ 136 ⑴ {1, 2, 4} ⑵ {3, 4, 5, 6} ⑶ {3} 137 ⑴ {1, 2, 3} ⑵ {1, 2, 4, 8, 16} ⑶ {1, 2, 3, 4, 8, 16} ⑷ {1, 2} 본문 65쪽 개념 익히기134
⑴ 참, 거짓을 판별할 수 없으므로 명제가 아니다. ⑵ 3+4=7은 참인 명제이다. ⑶ '2는 유리수가 아니므로 거짓인 명제이다. ⑷ 참, 거짓을 판별할 수 없으므로 명제가 아니다.135
⑴ 참인 명제이다. 따라서 조건이 아니다. ⑵ x=1, 2, 3일 때만 참이 되므로 조건이다. ⑶ 마름모는 정사각형이므로 참인 명제이다. ⑷ x=3일 때만 참이 되므로 조건이다.136
⑴ 8의 약수는 1, 2, 4, 8이므로 진리집합은 {1, 2, 4} ⑵ xÛ`>4를 만족하는 x의 값은 3, 4, 5, 6이므로 진리집합은 {3, 4, 5, 6} ⑶ (x+2)(x-3)=0 ∴ x=-2 또는 x=3 따라서 진리집합은 {3}137
조건 p의 진리집합을 P, 조건 q의 진리집합을 Q라 하자. ⑴ nÛ`<16을 풀면 -4<n<4 ∴ n=1, 2, 3 ∴ P={1, 2, 3} ⑵ 16의 약수는 1, 2, 4, 8, 16이므로 Q={1, 2, 4, 8, 16} ⑶ p 또는 q의 진리집합은 P'Q이므로 P'Q={1, 2, 3}'{1, 2, 4, 8, 16} ={1, 2, 3, 4, 8, 16} ⑷ p이고 q의 진리집합은 P;Q이므로 P;Q={1,2,3};{1, 2, 4, 8, 16} ={1, 2}명제와 조건의 부정
10
1 ⑴ 무리수가 아니다, 거짓 ⑵ ¾, 참 2 2, 4, 6, 8, 10 본문 66쪽 개념 Check 138 ⑴ 4는 짝수가 아니다. (거짓) ⑵ 2+5+7 (거짓) ⑶ 2>-3 (참) ⑷ 1은 소수이거나 합성수이다. (거짓) 139 ⑴ x는 3의 배수가 아니다. ⑵ xÛ`-4x+3É0 ⑶ x+-2이고 x+1 ⑷ x<-1 또는 x¾3 140 ⑴ xÛ`+4, {-3, -1, 0, 1, 3} ⑵ x¾5, a ⑶ x는 4의 양의 약수가 아니다., {-3, -2, -1, 0, 3} 141 ⑴ {x|3<x<7} ⑵ {x|0<xÉ3} ⑶ {x|x<5 또는 x¾7} ⑷ {x|3<x<5} ⑸ {x|xÉ0 또는 x>3} 본문 67쪽 개념 익히기139
⑴ ‘이다’의 부정은 ‘아니다’. x는 3의 배수가 아니다. 3. 명제019
3
라이트숨마(하)해설(001-035)1단원.indd 19 2018-06-19 오후 4:17:58⑶ x=-2 또는 x=1의 부정은 x+-2이고 x+1 ⑷ x¾-1이고 x<3의 부정은 x<-1 또는 x¾3
140
U={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} ⑴ xÛ`=4의 부정은 xÛ`+4, 즉 x+Ñ2이므로 부정의 진리집 합은 {-3, -1, 0, 1, 3} ⑵ x<5의 부정은 x¾5이므로 부정의 진리집합은 a ⑶ ‘x는 4의 양의 약수이다.’의 부정은 ‘x는 4의 양의 약수가 아니다.’이므로 부정의 진리집합은 {-3, -2, -1, 0, 3}141
두 조건 p, q에 대하여 진리집합을 각각 P, Q라고 하면 P={x|xÉ3 또는 x¾7}, Q={x|0<x<5} ⑴ 조건 p에 대하여 ~p의 진리집합은 P 이므로 P ={x|3<x<7} ⑵ 조건 p 그리고 q의 진리집합은 P;Q이므로 P;Q={x|0<xÉ3} ⑶ 조건 p 또는 q의 진리집합은 P'Q이므로 P'Q={x|x<5 또는 x¾7} ⑷ 조건 ~p 그리고 q의 진리집합은 P ;Q이므로 P ;Q={x|3<x<5} ⑸ 조건 ~p 또는 ~q의 진리집합은 P 'Q 이므로 P 'Q =(P;Q) ={x|xÉ0 또는 x>3}명제 p
3Ú q
11
1 2의 약수이다, 8의 약수이다 2 ,, 참 본문 68쪽 개념 Check 142 풀이 참조 143 ⑴ 참 ⑵ 거짓 ⑶ 참 ⑷ 참 144 ② 145 ④ 본문 69쪽 개념 익히기142
⑴ 가정: a=b 결론: ac=bc ⑵ 가정: 두 삼각형이 넓이가 같다. 결론: 두 삼각형은 합동이다. ⑶ 가정: 6의 배수이다. 결론: 12의 배수이다. ⑷ 가정: 이등변삼각형이다. 결론: 정삼각형이다.143
명제의 가정과 결론을 각각 p, q라 하고, 두 조건 p, q의 진 리집합을 각각 P, Q라 하자. ⑴ (홀수 ) _ (홀수 ) = (홀수 )이므로 주어진 명제는 참이다. ⑵ P={-2, 2}, Q={2}이므로 PøQ (거짓) ⑶ P={x|x>4}, Q={x|x>2}이므로 P,Q (참) ⑷ ab=0이면 a=0 또는 b=0이므로 주어진 명제는 참이다.144
명제 p 3Ú q가 참이면 P,Q U Q P 이때 세 집합 U, P, Q를 벤다이어그램으 로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 두 집합 P, Q 사이의 포함 관계가 옳은 것은 ② Q ,P 이다.145
x='2, y='2이면 xy=2 따라서 xy는 유리수이지만 x, y는 모두 무리수이다.‘모든’ 또는 ‘어떤’이 있는 명제
12
1 ⑴ 2, 거짓 ⑵ 유리수, 거짓 2 ⑴ 어떤, <, 거짓 ⑵ 모든, +, 참 본문 70쪽 개념 Check 146 ⑤ 147 ⑴ 참 ⑵ 참 ⑶ 거짓 ⑷ 거짓 148 ⑴ 거짓 ⑵ 참 ⑶ 참 ⑷ 거짓 149 풀이 참조 본문 71쪽 개념 익히기020
정답 및 해설146
‘모든’의 부정은 ‘어떤’이므로 주어진 명제의 부정은 ‘어떤 고 등학생은 수학을 배우지 않는다.’이다. 즉, ‘수학을 배우지 않 는 고등학생이 적어도 한 명 있다.’이다.147
⑴ 7은 소수이므로 모든 x는 7과 서로소이다. (참) ⑵ 전체집합 U의 원소 중에서 1을 제외한 모든 x의 값에 대 하여 xÛ`-1>0이다. (참) ⑶ 전체집합 U의 원소 중에서 5는 0<x<5를 만족하지 않 는다. (거짓) ⑷ x+3=2를 풀면 x=-1이므로 전체집합 U의 모든 원소 x는 x+3=2를 만족하지 않는다. (거짓)148
⑴ 실수 0에 대하여 0Û`=0이므로 주어진 명제는 거짓이다. ⑵ 이차방정식 xÛ`-2x-8=0을 풀면 (x-4)(x+2)=0 ∴ x=-2 또는 x=4 따라서 실수 -2, 4는 xÛ`-2x-8=0을 만족하므로 주어 진 명제는 참이다. ⑶ 모든 실수 x에 대하여 |x|¾0이므로|x|¾x이다. 따라서 주어진 명제는 참이다. ⑷ 모든 실수 x에 대하여 xÛ`¾0이므로 xÛ`<0인 실수는 없다. 따라서 주어진 명제는 거짓이다.149
⑴ 부정: 어떤 실수 x에 대하여 xÛ`+1이다. 1, -1을 제외한 모든 x의 값은 xÛ`+1이다. (참) ⑵ 부정: 모든 실수 x에 대하여 xÛ`+2x+1>0이다. xÛ`+2x+1=(x+1)Û`¾0 즉, x=-1이면 xÛ`+2x+1=0이다. (거짓) ⑶ 부정: 어떤 실수 x에 대하여 xÛ`-x+3>0이다. xÛ`-x+3={x-;2!;}Û`+:Á4Á:>0 즉, 모든 실수 x에 대하여 xÛ`-x+3>0이다. (참) ⑷ 부정: 모든 실수 x에 대하여 x¾-1이다. (거짓)명제의 역과 대우
13
1 xÛ`-x=0이면 x=1이다, 거짓, xÛ`-x+0이면 x+1이다, 참 2 q 3Ú ~p, 대우, ③ 본문 72쪽 개념 Check 150 풀이 참조 151 풀이 참조 152 -4 153 ④ 본문 73쪽 개념 익히기150
⑴ 역: 직사각형은 사다리꼴이다. 대우: 직사각형이 아니면 사다리꼴이 아니다. ⑵ 역: x=1이고 y=2이면 x+y=3이다. 대우: x+1 또는 y+2이면 x+y+3이다. ⑶ 역: 두 삼각형의 넓이가 같으면 두 삼각형은 합동이다. 대우: 두 삼각형의 넓이가 다르면 두 삼각형은 합동이 아 니다. ⑷ 역: a+b가 짝수이면 a, b가 모두 짝수이다. 대우: a+b가 홀수이면 a, b 중 적어도 하나는 홀수이다.151
⑴ 역: aÛ`=bÛ`이면 a=b이다. (거짓) [반례] a=-b이면 aÛ`=bÛ`이지만 a+b이다. 대우: aÛ`+bÛ`이면 a+b이다. (참) 주어진 명제가 참이므로 명제의 대우도 참이다. ⑵ 역: ab>0이면 a>0, b>0이다. (거짓) [반례] a=-2, b=-3이면 ab>0이지만 a<0, b<0이 다. 대우: abÉ0이면 aÉ0 또는 bÉ0이다. (참) 주어진 명제가 참이므로 명제의 대우도 참이다. ⑶ 역: x=0 또는 x=1이면 xÛ`=x이다. (참) 대우: x+0이고 x+1이면 xÛ`+x이다. (참) 주어진 명제가 참이므로 명제의 대우도 참이다. ⑷ 역: 두 집합 A, B에 대하여 A,B이면 A;B=A이다. (참) 3. 명제021
3
책1.indb 21 2018-06-18 오후 6:02:48대우: 두 집합 A, B에 대하여 AøB이면 A;B+A이 다. (참) 주어진 명제가 참이므로 명제의 대우도 참이다.
152
주어진 명제의 역 ‘x=-1이면 xÛ`-ax+3=0이다.’가 참이 므로 xÛ`-ax+3=0에 x=-1을 대입하면 (-1)Û`-a_(-1)+3=0 ∴ a=-4153
p 3Ú ~q와 r 3Ú q가 참이므로 그 대우인 q 3Ú ~p, ~q 3Ú ~r도 참이다. 즉, p 3Ú ~q 3Ú ~r에서 p 3Ú ~r도 참이고, r 3Ú q 3Ú ~p에서 r 3Ú ~p도 참이다. 따라서 반드시 참이라고 할 수 없는 것은 ④이다.충분조건과 필요조건
14
1 ⑴ 충분 ⑵ 필요 ⑶ 필요충분 본문 74쪽 개념 Check 154 ⑴ 충분 ⑵ 필요 ⑶ 필요충분 155 ⑴ 필요충분조건 ⑵ 충분조건 ⑶ 필요조건 156 ④ 157 -8 본문 75쪽 개념 익히기154
⑴ p：a=b ^jjjjj&◯ × q：ac=bc (충분조건) [반례] a=4, b=3, c=0이면 ac=bc이지만 a+b이다. ⑵ p：ab¾1 ^jjjjj&× ◯ q：a¾1이고 b¾1 (필요조건) [반례] a=4, b=;2!;이면 ab¾1이지만 a>1이고 b<1이다. ⑶ p：a=b=0 ^jjjjj&◯ ◯ q：aÛ`+bÛ`=0 (필요충분조건)155
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하자. ⑴ P={-1, 1}, Q={-1, 1}이고, P=Q이므로 p HjK q이다. 따라서 p는 q이기 위한 필요충분조건이다. ⑵ P={x|x<2}, Q={x|x<4}이고, P,Q이므로 p jjK q이다. 따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다. ⑶ P={-3, 1}, Q={1}이고, P.Q이므로 p Hjj q이다. 따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다.156
p는 ~q이기 위한 충분조건이므로 U P Q P,Q 이를 벤다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. ∴ P;Q=a157
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면 p는 q이기 위한 필요조건이므로 Q,P 따라서 x=-2가 xÛ`-2x+a=0을 만족시키므로 (-2)Û`-2_(-2)+a=0 ∴ a=-8022
정답 및 해설본문 76~85쪽 158 ⑴ 두 실수 a, b는 모두 유리수이다. ⑵ 두 실수 a, b에 대하여 a+0이고 b+0 ⑶ 두 실수 x, y에 대하여 x+0 또는 y+0 159 2<x<6 160 ⑴ {x|x<-1 또는 x>1} ⑵ {x|-2ÉxÉ2} ⑶ {x|-2Éx<-1 또는 1<xÉ2} ⑷ {x|x<-2 또는 x>2} 161 9 162 ㄷ 163 ②, ③ 164 ③ 165 ③, ④ 166 a의 최솟값: -1, b의 최댓값: -2 167 2 168 ①, ②, ④ 169 7 170 7 171 ㄱ, ㄷ 172 ④ 173 ⑴ 충분 ⑵ 필요 174 ②, ④ 175 ⑤ 176 13 177 a의 최댓값 : -2, b의 최솟값 : -2 유제
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⑴ 두 실수 a, b는 모두 무리수가 아니다. 즉 유리수이다. ⑵ 두 실수 a, b에 대하여` ‘ab=0 HjK a=0 또는 b=0’의 부정은 a+0이고 b+0 ⑶ 두 실수 x, y에 대하여` ‘|x|+|y|=0 HjK x=0이고, y=0’의 부정은 x+0 또는 y+0159
p 또는 ~q의 부정은 ~p이고 q이다. 이때 ~p : xÉ-3 또는 x>2이므로 ~p이고 q는 2<x<6이다.160
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={x|-1ÉxÉ1}, Q={x|x<-2 또는 x>2} ⑴ ~p의 진리집합은 P이므로 P={x|x<-1 또는 x>1} ⑵ ~q의 진리집합은 Q이므로 Q={x|-2ÉxÉ2} ⑶ ~(p 또는 q)의 진리집합은 (P'Q)=P`;Q이므로 P`;Q={x|-2Éx<-1 또는 1<xÉ2} ⑷ ~p이고 q의 진리집합은 P`;Q이므로 P`;Q={x|x<-2 또는 x>2}161
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={x|xÛ`-x-12É0}={x|(x+3)(x-4)É0} ={x|-3ÉxÉ4}={-3, -2, -1, y, 4} Q={x|xÛ`-5x=0}={x|x(x-5)=0}={0, 5} 이때 P`={x|x<-3 또는 x>4}={-5, -4, 5, 6, 7}, ~p 또는 q의 진리집합은 P`'Q이므로 P`'Q={-5, -4, 0, 5, 6, 7} 따라서 ~p 또는 q의 진리집합의 원소의 합은 -5-4+5+6+7=9162
ㄷ. [반례] x=-1, y=1이면 x+y=0이지만 x+0이고 y+0 이므로 주어진 명제는 거짓이다. 따라서 거짓인 명제는 ㄷ이다.163
① [반례] x=1, y=1이면 xy>0이므로 p`3Ú`q는 거짓이다. ④ [반례] x=-1, y=-1이면 xy=|xy|이지만 x<0, y<0 이므로 p 3Ú`q는 거짓이다. ⑤ [반례] x=;2!;, y=4이면 xy+1>2이지만 x<1이므로 p`3Ú`q는 거짓이다.164
명제 q 3Ú`~p가 참이므로 Q,P 이것을 벤다이어그램으로 나타내면 U P Q 오른쪽 그림과 같다. ∴ P;Q=a 따라서 옳은 것은 ③이다.165
④ 벤다이어그램에서 R,Q이므로 Q`,R` 따라서 명제 ~q 3Ú`~r는 참이다.166
세 조건 p, q, r의 진리집합을 각각 P, Q, R라 하면 q 3Ú`p, q 3Ú`r가 모두 참이므로 Q,P, Q,R이다. P, Q, R를 수직선 위에 나타내면 3. 명제023
3
책1.indb 23 2018-06-18 오후 6:02:50b -2 4 x R x 4 a-3 -2 a+5 P Q Q 이때 a-3É-2, a+5¾4, bÉ-2이어야 하므로 -1ÉaÉ1, bÉ-2 따라서 a의 최솟값은 -1, b의 최댓값은 -2이다.
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두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하자. ‘~p이면 q이다.’가 참이면 P,Q P={x|-1ÉxÉk}이므로 x k 5 -1 P Q - k3 P,Q를 만족하도록 두 집 합 P, Q를 수직선 위에 나 타내면 오른쪽 그림과 같다. 이때 -;3K;É-1, k<5이어야 하므로 3Ék<5 따라서 정수 k의 개수는 3, 4의 2이다.168
① 대우: aÛ`이 유리수가 아니면 a도 유리수가 아니다. (참) ② 대우: a+b가 정수가 아니면 a, b 중 적어도 하나는 정수 가 아니다. (참) ③ 대우: xy¾0이면 |xy|É0이다. (거짓) ④ 대우: xÛ`-2x+1+0이면 x+1이다. (참) ⑤ 대우: a>1 또는 b>1이면 ab>1이다. (거짓) [반례] a=2, b=;4!;이면 a>1 또는 b>1이지만 ab<1이 다. 따라서 대우가 참인 것은 ①, ②, ④이다. 참고 주어진 명제와 그 대우는 참, 거짓이 항상 일치하므로 명제 의 참, 거짓을 판단해도 된다.169
명제 ‘xÛ`-7x+12+0이면 x-a+0이다.’의 대우는 ‘x-a=0이면 xÛ`-7x+12=0이다.’ 즉, x=a가 xÛ`-7x+12=0의 근이다. 이차방정식 aÛ`-7a+12=0을 풀면 (a-3)(a-4)=0 ∴ a=3 또는 a=4 따라서 주어진 명제의 대우가 참이 되도록 하는 a의 값의 합 은 3+4=7170
주어진 명제가 참이므로 그 대우도 참이다. 대우 a¾k이고 b¾-2이면 a+b¾5가 참이다. 즉, a+b¾k-2이면 a+b¾5도 참이므로 k-2¾5 ∴ k¾7 따라서 k의 최솟값은 7이다.171
명제 ~r 3Ú`p, q 3Ú`~r가 참이므로 q jjK ~r jjK p이다. ∴ Q,R,P ㄱ. R,P이므로 P,R (참) ㄴ. Q,R이므로 R,Q (거짓) ㄷ. Q,P이므로 Q-P=a (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.172
‘p：겨울이 온다.’ ‘q：춥다.’ ‘r：눈이 온다.’라고 놓으면 주 어진 명제가 참이므로 p jjK q, ~r jjK ~q ① q jjK r ② ~q jjK ~p ③ p jjK q, q jjK r이므로 p jjK r ④ r 3Ú`p ⑤ ~r jjK ~p 따라서 참이라고 할 수 없는 것은 ④이다.173
⑴ ‘p：x¾1이고 y¾1’이면 ‘q：x+y¾2’이다. ∴ p jjK q [반례] x=0, y=8이면 x+y¾2이지만 x<1이다. ∴ q jj/jK p 따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다. ⑵ ‘p：xy=0’이면 ‘q：xÛ`+yÛ`=0’이다. [반례] x=2, y=0이면 xy=0이지만 xÛ`+yÛ`+0이다. ∴ p jj/jK q xÛ`+yÛ`=0이면 x=0, y=0이므로 xy=0 ∴ q jjK p 따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다.174
p가 q이기 위한 필요조건이므로 Q,P024
정답 및 해설r는 q이기 위한 충분조건이므로 R,Q ∴ R,Q,P 세 집합의 포함 관계를 벤다이어그램으로 U P Q R 나타내면 오른쪽 그림과 같다. ① P;Q=Q (거짓) ② R,P (참) ③ P;Q=P-Q+a (거짓) ④ P'R=U (참) ⑤ P-Q=P;Q=(P'Q)=P (거짓) 따라서 옳은 것은 ②, ④이다.
