2020 수학의 고수 중2-2 답지 정답

정답과 해설

2 - 2

중등 수학

Ⅰ. 도형의 성질

 

1

삼각형의 성질



1

15ù

2

①,②

3

6cm

4

5cm

5

②

6

130ù

7

④

꼭

나오는

대표 빈출

로 핵심 확인 본문 7쪽

1

△ABD에서DAÓ=DBÓ이므로 ∠BAD=∠ABD=;2!;_(180ù-80ù)=50ù △ABC에서ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠BCA=;2!;_(180ù-50ù)=65ù  ∴∠x=∠ABC-∠ABD  =65ù-50ù=15ù 답15ù

2

 ①,②BDÓ가이등변삼각형의꼭지각의이등분선이므로  ADÓ=;2!; ACÓ=;2!;_8=4(cm),∠ADB=90ù ③ABÓ=BCÓ 이므로∠C=∠A=62ù ④∠B=180ù-(62ù+62ù)=56ù이므로∠B+∠C ⑤∠ABD=_{;2!;∠ABC=;2!;_56ù=28ù} 따라서옳은것은①,②이다. 답①, ②

3

 △DBC에서∠BCD=70ù-35ù=35ù이므로 △DBC는DBÓ=DCÓ인이등변삼각형이다. ∴DCÓ=DBÓ=6cm △ADC에서∠DAC=180ù-(70ù+40ù)=70ù이므로 △ADC는ACÓ=DCÓ 인이등변삼각형이다. ∴ACÓ=DCÓ=6cm 답6 cm

4

 ADÓ가이등변삼각형의꼭지각의이등분선이므로 ADÓ⊥BCÓ,BDÓ=CDÓ=_{;2!; BCÓ=;2!;_10=5(cm)} △EBD와△ECD에서 BDÓ=CDÓ,∠EDB=∠EDC=90ù,EDÓ 는공통이므로 △EBDª△ECD(SAS합동) ∴∠BED=∠CED=_{;2!;_90ù=45ù} △EBD에서∠EBD=180ù-(90ù+45ù)=45ù 따라서∠BED=∠EBD이므로△EBD는BDÓ=EDÓ인이등 변삼각형이다. ∴EDÓ=BDÓ=5cm 답5 cm

5

 ①△ABC와△QPR에서  ∠A=∠Q=90ù,BCÓ=PRÓ,ABÓ=QPÓ이므로  △ABCª△QPR(RHS합동) ②,③∠F=180ù-(90ù+50ù)=40ù  △DEF와△KJL에서  ∠D=∠K=90ù,∠F=∠L=40ù,EFÓ=JLÓ이므로  △DEFª△KJL(RHA합동) ④,⑤△GHI에서HIÓ=6cm는직각삼각형의빗변의길이가 주어진것이아니므로△NMO와직각삼각형의합동조건 을따질수없다. 따라서바르게나타낸것은②이다. 답②

6

 △BDM과△AEM에서 ∠BDM=∠AEM=90ù,BÕMÓ=AÕMÓ,MDÓ=MEÓ이므로 △BDMª△AEM(RHS합동) ∴∠A=∠B=25ù 따라서△ABC에서 ∠C=180ù-(25ù+25ù)=130ù 답130ù

7

 △COP와△DOP에서 ∠OCP=∠ODP=90ù,OPÓ 는공통,∠COP=∠DOP이므 로△COPª△DOP(RHA합동) 따라서OCÓ=ODÓ=7cm,DPÓ=CPÓ=4cm이므로 (사각형CODP의둘레의길이)=7+7+4+4=22(cm)  답④ 1 대표문제 175ù 유제1 34ù 유제2 36ù 유제3 32ù 2 대표문제 50cmÛ 유제4 75 유제5 32ù 유제6 ;;¤2°;; cmÛ` 3 대표문제 15cmÛ` 유제7 24 cm 유제8 ;2(;cm  이 단원에서 뽑은

고득점 준비 문제

Step

1

본문 8 ~ 10쪽

1

대표 문제  ∠ACB=∠B=35ù이므로 △ABC에서∠DAC=35ù+35ù=70ù △ACD에서∠x=∠DAC=70ù △DBC에서∠y=35ù+70ù=105ù ∴∠x+∠y=70ù+105ù=175ù 답175ù 다른 풀이 ∠D=2∠B이므로∠x=2_35ù=70ù ∠DCE=3∠B이므로∠y=3_35ù=105ù ∴∠x+∠y=175ù

정답과 해설

유제

1

△ABC는ABÓ=ACÓ인이등변삼각형이므로 ∠ABC=∠ACB=;2!;_(180ù-68ù)=56ù ∠DBC=;2!;∠ABC=;2!;_56ù=28ù ∠ACE=180ù-56ù=124ù이므로∠DCE=;2!;_124ù=62ù △BCD에서28ù+∠BDC=62ù ∴∠BDC=62ù-28ù=34ù 답34ù 다른 풀이 ∠A=2∠D이므로 68ù=2∠BDC  ∴∠BDC=34ù 유제

2

△ABD에서 Y Y " # $ % Y Y Y ∠ABD=∠BAD=∠x이므로 ∠BDC=∠ABD+∠BAD  =∠x+∠x=2∠x △BCD에서∠BCD=∠BDC=2∠x 또△ABC는ABÓ=ACÓ인이등변삼각형이므로 ∠ABC=∠ACB=2∠x 삼각형의세내각의크기의합은180ù이므로 ∠x+2∠x+2∠x=180ù,5∠x=180ù ∴∠x=36ù 답36ù 유제

3

△ABC는ABÓ=ACÓ인이등변삼각형이므로 ∠ABC=∠ACB=;2!;_(180ù-76ù)=52ù ∴∠DCE=;2!;_(180ù-52ù)=64ù △BCD는CBÓ=CDÓ인이등변삼각형이므로 ∠CBD=∠D=∠x 따라서2∠x=64ù이므로∠x=32ù 답32ù

2

대표 문제  △ABE와△ECD에서 ∠B=∠C=90ù,AEÓ=EDÓ, ∠AEB=90ù-∠DEC=∠EDC이므로 △ABEª△ECD(RHA합동) 따라서BEÓ=CDÓ=6cm,ECÓ=ABÓ=4cm이므로 BCÓ=BEÓ+ECÓ=6+4=10(cm) ∴(사각형ABCD의넓이)=;2!;_(4+6)_10=50(cm2₎  답50cmÛ 유제

4

△EBD와△CBD에서 ∠BED=∠BCD=90ù,BDÓ는공통,BEÓ=BCÓ이므로 △EBDª△CBD(RHS합동) ∴DEÓ=DCÓ,∠EBD=∠CBD 따라서DEÓ=DCÓ=5cm이므로x=5 △ABC에서∠ABC=180ù-(50ù+90ù)=40ù이고 ∠EBD=∠CBD=;2!;_40ù=20ù이므로 ∠BDC=180ù-(90ù+20ù)=70ù  ∴y=70 ∴x+y=5+70=75 답75 유제

5

△EBC와△DCB에서 ∠BEC=∠CDB=90ù,BCÓ는공통,BEÓ=CDÓ이므로 △EBCª△DCB(RHS합동) 따라서∠EBC=∠DCB이므로△ABC는ABÓ=ACÓ인이등 변삼각형이다. ∴∠BCD=;2!;_(180ù-64ù)=58ù 따라서△DBC에서 ∠DBC=180ù-(90ù+58ù)=32ù 답32ù 유제

6

△BDM과△CEM에서 ∠BDM=∠CEM=90ù,BÕMÓ=CÕMÓ, ∠BMD=∠CME(맞꼭지각)이므로 △BDM≡△CEM(RHA합동) 따라서BDÓ=CEÓ=5cm,DÕMÓ=EÕMÓ=3cm이므로 ADÓ=AÕMÓ+DÕMÓ=10+3=13(cm) ∴△ABD=;2!;_5_13=;;¤2°;;(cmÛ`) 답;;¤2°;;cmÛ`

3

대표 문제  오른쪽그림과같이점D에서 " # _% $ & ADN ADN ADN  ABÓ 에내린수선의발을E라 하면 △AED와△ACD에서 ∠AED=∠ACD=90ù, ADÓ 는공통, ∠EAD=∠CAD이므로 △AEDª△ACD(RHA합동) 따라서EDÓ=CDÓ =3cm이므로 △ABD=;2!;_10_3=15(cmÛ`) 답15cmÛ` 유제

7

△AED와△ACD에서 ∠AED=∠ACD=90ù,ADÓ 는공통,∠EAD=∠CAD 이므로△AEDª△ACD(RHA합동) 따라서AEÓ=ACÓ=8cm이므로 BEÓ=ABÓ-AEÓ=17-8=9(cm) ∴(△BDE의둘레의길이)=BDÓ+DEÓ+BEÓ =BDÓ+DCÓ+BEÓ  =BCÓ+BEÓ  =15+9=24(cm) 답24cm

유제

8

오른쪽그림과같이점D에서ABÓ YADN YADN ADN ADN ADN " # $ & % 에내린수선의발을E라하면 △AED와△ACD에서 ∠AED=∠ACD=90ù, ADÓ는공통,∠EAD=∠CAD 이므로△AED≡△ACD(RHA합동) ∴EDÓ=CDÓ EDÓ=CDÓ=xcm라하면△ABC=△ABD+△ADC이므로 ;2!;_12_9=;2!;_15_x+;2!;_9_x 54=12x  ∴x=;2(; ∴CDÓ=;2(;(cm) 답;2(;cm

1

④

2

10cm

3

72ù

4

③

5

9cm

6

30cmÛ`

7

30ù

8

3cm

9

2cmÛ`

10

④

11

④

12

8cm

13

48ù

고득점 실전 문제

Step

2

본문 11 ~ 12쪽

1

전략 △BEDª△CFE (SAS 합동)임을 이용하여 △DEF

가 이등변삼각형임을 알아낸다. △ABC에서ABÓ=ACÓ 이므로 ∠B=∠C=_{;2!;_(180ù-64ù)=58ù} △BED와△CFE에서 BDÓ=CEÓ,∠B=∠C,BEÓ=CFÓ이므로 △BEDª△CFE(SAS합동) ∴DEÓ=EFÓ,∠BDE=∠CEF 따라서△DEF는이등변삼각형이고 ∠DEF=180ù-(∠BED+∠CEF)  =180ù-(∠BED+∠BDE)   =∠B=58ù ∴∠DFE=;2!;_(180ù-58ù)=61ù 답④

2

전략 APÓ 를 그어 △ABC=△ABP+△APC임을 이용한다. ACÓ=ABÓ=12cm이고 오른쪽그림과같이APÓ 를그으면 △ABC=△ABP+△APC 이므로 60=;2!;_12_PDÓ+;2!;_12_PEÓ ADN " # $ % _& 1 60=;2!;_12_(PDÓ+PEÓ) ∴PDÓ+PEÓ=10(cm) 답10cm

3

전략 정n각형의 한 내각의 크기는 180ù_(n-2)_n 이다. 정오각형의한내각의크기는 180ù_(5-2) 5 =108ù  ∴∠B=108ù  △ABC에서BAÓ=BCÓ이므로 ∠BCA=;2!;_(180ù-108ù)=36ù ∴∠ACD=∠BCD-∠BCA  =108ù-36ù=72ù 답72ù

4

전략 ∠A=∠ABD, ADÓ=BDÓ임을 이용한다. ∠A=∠a라하면 ∠ABD=∠A=∠a,∠C=∠ABC=∠a+24ù이므로 △ABC에서∠a+(∠a+24ù)+(∠a+24ù)=180ù 3∠a=132ù  ∴∠a=44ù △ABD는ADÓ=BDÓ인이등변삼각형이므로 ∠BED=90ù ∴∠BDE=180ù-(90ù+∠a)  =180ù-(90ù+44ù)=46ù 답③

5

전략 두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형이 됨을 이용한다. △ABC에서ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C=;2!;_(180ù-36ù)=72ù 이때∠ABD=∠DBC=;2!;∠B=;2!;_72ù=36ù이므로 ∠BDC=∠A+∠ABD=36ù+36ù=72ù 따라서△ABD와△BCD는이등변삼각형이므로 ADÓ=BDÓ=BCÓ=9cm 답9cm

6

전략 △ABC는 이등변삼각형임을 이용한다. 오른쪽그림에서  ADN ADN " # % $ ∠ABC=∠CBD(접은각), ∠ACB=∠CBD(엇각) 이므로∠ABC=∠ACB 따라서△ABC는이등변삼각형이므로 ACÓ=ABÓ=10cm ∴△ABC=;2!;_10_6=30(cmÛ`) 답30cmÛ`

7

전략 △ADEª△BDE, △ADEª△ACE임을 이용한다. ∠B=∠x라하면△ADE와△BDE에서 ADÓ=BDÓ,∠ADE=∠BDE=90ù,DEÓ는공통이므로

△ADE≡△BDE(SAS합동) ∴∠DAE=∠DBE=∠x 또△ADE와△ACE에서 ∠ADE=∠ACE=90ù,AEÓ는공통,DEÓ=CEÓ이므로 △ADEª△ACE(RHS합동) ∴∠DAE=∠CAE=∠x 따라서△ABC에서2∠x+∠x+90ù=180ù 3∠x=90ù  ∴∠x=30ù 답30ù

8

전략 합동인 두 직각삼각형을 찾고 대응변의 길이가 같음을 이용한다. △ABD와△BCE에서 ∠ADB=∠BEC=90ù,ABÓ=BCÓ, ∠ABD=90ù-∠EBC=∠BCE이므로 △ABDª△BCE(RHA합동) 따라서EBÓ=DAÓ=7cm,DBÓ=ECÓ=4cm이므로 DEÓ=EBÓ-DBÓ=7-4=3(cm) 답3cm

9

전략 △ABFª△BCG (RHA 합동)임을 이용하여 GFÓ 의 길이를 구한다. △ABF와△BCG에서 ∠AFB=∠BGC=90ù,ABÓ=BCÓ, ∠BAF=90ù-∠ABF=∠CBG이므로 △ABFª△BCG(RHA합동) 따라서BFÓ=CGÓ=5cm,BGÓ=AFÓ=4cm이므로 GFÓ=BFÓ-BGÓ=5-4=1(cm) ∴△AGF=;2!;_1_4=2(cmÛ`) 답2cmÛ`

10

전략 직각삼각형의 합동을 이용한다. △ABD와△AED에서 ∠ABD=∠AED=90ù,ADÓ 는공통,∠BAD=∠EAD 이므로△ABDª△AED(RHA합동)  yy㉠ 또△ABC가ABÓ=BCÓ 인직각이등변삼각형이므로 ∠BAC=∠C=45ù ∠EDC=180ù-(90ù+45ù)=45ù

따라서△EDC는EDÓ=ECÓ인이등변삼각형이다. yy㉡

㉠,㉡에서AEÓ=ABÓ=BCÓ,ECÓ=EDÓ=BDÓ ①ACÓ=AEÓ+ECÓ=ABÓ+EDÓ ②ACÓ=AEÓ+ECÓ=ABÓ+EDÓ=BCÓ+BDÓ ③BCÓ=BDÓ+DCÓ=EDÓ+DCÓ=ECÓ+DCÓ ⑤∠EDC=∠ECD=45ù 따라서옳지않은것은④이다. 답④

11

전략 △COPª△DOP (RHA)임을 이용한다. △COP와△DOP에서 ∠OCP=∠ODP=90ù,OPÓ 는공통,∠COP=∠DOP 이므로△COPª△DOP(RHA합동) 따라서CPÓ=DPÓ 이므로△CDP는이등변삼각형이다. 사각형CODP에서∠AOB=54ù이므로 ∠CPD=360ù-(90ù+54ù+90ù)=126ù ∴∠PCD=;2!;_(180ù-126ù)=27ù 답④

12

전략 점 E에서 ACÓ 에 수선을 긋는다. 오른쪽그림과같이점E에서 ' ADN # _& $ " % 1 ACÓ에내린수선의발을P라하면 △AEC=;2!;_12_EPÓ=24 ∴EPÓ=4(cm) △ABE와△APE에서 ∠ABE=∠APE=90ù,AEÓ 는공통,∠BAE=∠PAE 이므로△ABEª△APE(RHA합동)

∴BEÓ=PEÓ,∠AEB=∠AEP yy㉠

이때BDÓEPÓ 이므로∠BFE=∠FEP(엇각) yy㉡

㉠,㉡에서∠BFE=∠BEF이므로△BEF에서 BFÓ=BEÓ=PEÓ=4cm ∴BEÓ+BFÓ=4+4=8(cm) 답8cm

13

전략 △ABDª△ACD (SAS 합동)임을 이용한다. △ABD와△ACD에서 주탑에서같은길이만큼떨어져있으므로BDÓ=CDÓ, 주탑은지면과수직이므로∠ADB=∠ADC, ADÓ 는공통 따라서△ABDª△ACD(SAS합동)이므로 ABÓ=ACÓ 즉,△ABC가이등변삼각형이므로 ∠C=∠B=_{;2!;_(180ù-2_42ù)=48ù} 답48ù

1

80ù

2

4cm

3

2cm

4

68ù

5

44cmÛ`

만점 굳히기 문제

Step

3

본문 13쪽

1

△ABC에서ABÓ=ACÓ 이므로∠B=∠C=∠x라하고 ∠ADF=∠a,∠EFC=∠b라하면 △DBE에서∠a+60ù=∠x+40ù ∴∠x-∠a=20ù yy`㉠ △FEC에서∠b+∠x=40ù+60ù ∴∠x+∠b=100ù yy`㉡ ㉡-㉠을하면∠a+∠b=80ù ∴∠ADF+∠EFC=80ù 답80ù

2

△ABC에서ABÓ=ACÓ이므로∠B=∠C=∠x라하면 △FBD에서∠F=90ù-∠x △EDC에서∠DEC=90ù-∠x 이때∠AEF=∠DEC(맞꼭지각)이므로 ∠AEF=90ù-∠x 따라서∠AEF=∠AFE이므로△AEF는이등변삼각형이다. ∴AEÓ=AFÓ=5cm ∴ECÓ=ACÓ-AEÓ=ABÓ-AEÓ=9-5=4(cm) 답4cm

3

ACÓBÕ'C'Ó이므로 ∠DAC=∠C' (엇각),∠DFC'=∠C(엇각) 이때∠C'=∠C이므로 ∠DAC=∠C,∠DFC'=∠C' 따라서△ADC는이등변삼각형이므로ADÓ=DCÓ이고, △DFC'도이등변삼각형이므로FDÓ=DÕC'Ó이다. ∴FCÓ=FDÓ+DCÓ=DÕC'Ó+ADÓ=AÕC'Ó=ACÓ=7 cm ∴BFÓ=BCÓ-FCÓ=9-7=2(cm) 답2cm

4

오른쪽그림과같이APÓ의연장 ± ₁ ± & # _$ % " ) 선이 BCÓ와 만나는 점을 H라 하면AHÓ가이등변삼각형의꼭 지각의이등분선이므로 AHÓ⊥BCÓ △PHD에서90ù+∠HDP=98ù이므로 ∠HDP=98ù-90ù=8ù ∴∠BDE=8ù+8ù=16ù 따라서△BDE에서∠EBD=180ù-(96ù+16ù)=68ù ∴∠ABC=∠EBD=68ù 답68ù

5

 오른쪽그림과같이점P에서  ACÓ 에내린수선의발을H라하면 △PEC와△PHC에서 ∠PEC=∠PHC=90ù, PCÓ는공통,∠PCE=∠PCH이므로 △PECª△PHC(RHA합동) ∴PHÓ=PEÓ=4cm 또△PDA와△PHA에서 ∠PDA=∠PHA=90ù,PAÓ는공통,∠PAD=∠PAH이 므로△PDAª△PHA(RHA합동) ∴PDÓ=PHÓ=4cm 이때BPÓ를그으면△BPD와△BPE에서 ∠BDP=∠BEP=90ù,BPÓ는공통,PDÓ=PEÓ이므로 △BPDª△BPE(RHS합동) ∴(사각형DBEP의넓이)=2△BPD =2_{;2!;_11_4} =44(cmÛ`) 답44cmÛ` ) 1_ADN ADN ADN # _{$ &} " %

2

삼각형의 외심과 내심



1

④

2

③

3

70ù

4

38ù

5

④

6

①

7

3cm

8

18ù

꼭

나오는

대표 빈출

로 핵심 확인 본문 15쪽

1

①외심에서세꼭짓점에이르는거리는같다.  ⇨OAÓ=OBÓ=OCÓ ②OAÓ=OBÓ 이므로△OAB는이등변삼각형이다.  ⇨∠OAD=∠OBD ③OBÓ=OCÓ 이므로△OBC는이등변삼각형이다.  ⇨∠OBE=∠OCE ④△OBDª△OAD,△OBEª△OCE이다. ⑤△OCF와△OAF에서   ∠OFC=∠OFA=90ù,OCÓ=OAÓ,OFÓ 는공통이므로  △OCFª△OAF(RHS합동) 따라서옳지않은것은④이다. 답④

2

 오른쪽그림과같이BOÓ를그으면 0 ± ± $ # " 점O가△ABC의외심이므로 OAÓ=OBÓ ∴∠OBA=∠OAB=24ù OBÓ=OCÓ 이므로 ∠OBC=∠OCB=35ù ∴∠B=∠OBA+∠OBC=24ù+35ù=59ù 답③

3

 직각삼각형의외심은빗변의중점이므로점O는△ABC의 외심이다.따라서OAÓ=OBÓ=OCÓ 이므로 ∠OAC=∠OCA=35ù ∴∠x=35ù+35ù=70ù 답70ù

4

 오른쪽그림과같이BOÓ 를그으면 Y ± # $ " 0 점O가△ABC의외심이므로 ∠AOB=2∠C=2_52ù=104ù △AOB에서OAÓ=OBÓ 이므로 ∠BAO=∠ABO =;2!;_(180ù-104ù)=38ù ∴∠x=38ù 답38ù

5

 점I가△ABC의내심이므로 ∠CBI=∠ABI=27ù △ABC가이등변삼각형이므로 ∠ACB=∠ABC=27ù+27ù=54ù

따라서∠BAC=180ù-(54ù+54ù)=72ù이므로 ∠BAI=;2!;∠BAC=;2!;_72ù=36ù 답④

6

 △ABC에서∠A+∠C=180ù-40ù=140ù이고 ∠BAC`:`∠ACB=3`:`4이므로 ∠BAC=140ù_ 3_{3+4 =60ù} ∴∠BIC=90ù+;2!;∠BAC=90ù+;2!;_60ù=120ù  답①

7

 △ABC의내접원의반지름의 ADN ADN ADN # $ " * 길이를rcm라하면 ;2!;_r_(7+9+10)=39 13r=39  ∴r=3 따라서 △ABC의 내접원의 반지 름의길이는3cm이다.  답3cm

8

 점O가△ABC의외심이므로 ∠BOC=2∠A=2_48ù=96ù 점I가△ABC의내심이므로 ∠BIC=90ù+;2!;∠A=90ù+;2!;_48ù=114ù ∴∠BIC-∠BOC=114ù-96ù=18ù 답18ù 1 대표문제 18cm 유제1 10pcm 유제2 49p cmÛ`  유제3 25cmÛ` 2 대표문제 18cmÛ` 유제4 20cm 유제5 ;2#;pcmÛ` 3 대표문제 45cm 유제6 24cm 유제7 14cm  유제8 36cm2 4 대표문제 12ù 유제9 15ù 유제10 120ù 이 단원에서 뽑은

고득점 준비 문제

Step

1

본문 16 ~ 19쪽

1

대표 문제  점O가직각삼각형ABC의외심이므로 AÕOÓ=BOÓ=COÓ=;2!; BCÓ=;2!;_12=6(cm) △AOC에서∠OAC=∠OCA=30ù이므로 ∠AOB=30ù+30ù=60ù △ABO에서∠ABO=∠BAO=_{;2!;_(180ù-60ù)=60ù} 이므로△ABO는정삼각형이다. ∴ABÓ=AOÓ=BOÓ=6cm 따라서△ABO의둘레의길이는 6+6+6=18(cm) 답18cm 유제

1

직각삼각형의외심은빗변의중점이므로△ABC의외접원의 반지름의길이는;2!;_10=5(cm) ∴(△ABC의외접원의둘레의길이)=2p_5=10p(cm)  답10pcm 유제

2

△ABC의넓이가42cmÛ`이므로 ;2!;_BCÓ_6=42  ∴BCÓ=14(cm) 직각삼각형의외심은빗변의중점이므로△ABC의외접원의 반지름의길이는;2!;_14=7(cm) ∴(△ABC의외접원의넓이)=p_7Û`=49p(cmÛ`)  답49pcmÛ` 유제

3

△ABC에서BCÓ=acm,ACÓ=bcm라하면

△ABC=;2!; ab=50  ∴ab=100 오른쪽그림과같이COÓ를그 으면점O는직각삼각형ABC 의외심이므로 AÕOÓ=BOÓ=CÕOÓ △OBC는OBÓ=OCÓ인이등변 삼각형이므로 BDÓ=DCÓ=;2!; BCÓ=;2!; a(cm) △OCA는OAÓ=OCÓ인이등변삼각형이므로 AEÓ=ECÓ=_{;2!; ACÓ=;2!; b(cm)} 따라서직사각형ODCE의넓이는 DCÓ_ECÓ=_{;2!; a_;2!; b=;4!; ab} =;4!;_100=25(cmÛ`) 답25cmÛ` 다른 풀이 점O는직각삼각형ABC의외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ △OBC는OBÓ=OCÓ인이등변삼각형이므로 BDÓ=DCÓ  ∴△ODC=;2!;△OBC △OCA는OAÓ=OCÓ인이등변삼각형이므로

AEÓ=ECÓ  ∴△OCE=_;2!;△OCA 따라서직사각형ODCE의넓이는 # _% 0 $ " & BADN CADN

△ODC+△OCE=;2!;△OBC+;2!;△OCA =;2!;(△OBC+△OCA) =;2!;△ABC =;2!;_50=25(cmÛ`)

2

대표 문제  △ABC의내접원의반지름의길이를rcm라하면 ;2!;_r_(15+12+9)=;2!;_12_9 18r=54  ∴r=3 ∴△IBC=;2!;_12_3=18(cmÛ`) 답18cmÛ` 유제

4

오른쪽그림과같이직각삼각형 % & ' ADN ADN ADN ADN " # _$ *  ABC의 내접원과 세 변 AB, BC,CA의접점을각각D,E, F라하자. 사각형IECF는정사각형이므로 CEÓ=CFÓ=4cm ADÓ=AFÓ=ACÓ-CFÓ=12-4=8(cm) BDÓ=BEÓ=BCÓ-CEÓ=16-4=12(cm) ∴ABÓ=ADÓ+BDÓ=8+12=20(cm) 답20cm 유제

5

△ABC의내접원의반지름의길이를rcm라하면 ;2!;_r_(13+12+5)=;2!;_12_5 15r=30  ∴r=2 점I가△ABC의내심이므로 ∠AIB=90ù+;2!;∠C=90ù+;2!;_90ù=135ù ∴(색칠한부분의넓이)=p_2Û`_;3!6#0%;=;2#; p(cmÛ`)  답;2#; pcmÛ`

3

대표 문제  오른쪽그림과같이BIÓ,CIÓ를그 ADN ADN ADN ADN " # $ % * & 으면점I가△ABC의내심이므로 ∠DBI=∠IBC=∠DIB, ∠ECI=∠ICB=∠EIC ∴DBÓ=DIÓ,ECÓ=EIÓ 따라서△ABC의둘레의길이는 ABÓ+BCÓ+CAÓ=(ADÓ+DBÓ)+BCÓ+(AEÓ+ECÓ) =(ADÓ+DIÓ)+BCÓ+(AEÓ+EIÓ)  =ADÓ+(DIÓ+IEÓ)+BCÓ+AEÓ  =ADÓ+DEÓ+BCÓ+AEÓ  =9+12+16+8=45(cm) 답45cm 유제

6

오른쪽 그림과 같이 BIÓ, CIÓ 를 ADN ADN * # $ % " &  그으면점I가△ABC의내심이 므로 ∠DBI=∠IBC=∠DIB, ∠ECI=∠ICB=∠EIC ∴DBÓ=DIÓ,ECÓ=EIÓ 따라서△ADE의둘레의길이는 ADÓ+DEÓ+AEÓ=ADÓ+(DIÓ+EIÓ)+AEÓ =(ADÓ+DBÓ)+(ECÓ+AEÓ)=ABÓ+ACÓ =13+11=24(cm) 답24cm 유제

7

오른쪽그림과같이IBÓ,ICÓ 를 ADN ADN _* ADN # _{% &} $ "  그으면점I가△ABC의내심 이므로 ∠DBI=∠ABI=∠DIB, ∠ECI=∠ACI=∠EIC ∴DIÓ=DBÓ,EIÓ=ECÓ 따라서△IDE의둘레의길이는 IDÓ+DEÓ+EIÓ=BDÓ+DEÓ+ECÓ=BCÓ=14cm 답14cm 유제

8

점I가△ABC의내심이고DEÓBCÓ이므로 (△ADE의둘레의길이)=ABÓ+ACÓ=14+10=24(cm) △ADE의내접원의반지름의길이가3 cm이므로 △ADE=;2!;_3_(△ADE의둘레의길이) =<sub>;2!;_3_24=36(cmÛ`)</sub> 답36cmÛ`

4

대표 문제  ∠A=180ù-52ù_2=76ù 점O가△ABC의외심이므로 ∠BOC=2∠A=2_76ù=152ù △OBC는BOÓ=COÓ인이등변삼각형이므로 ∠OBC=;2!;_(180ù-152ù)=14ù 점I가△ABC의내심이므로 ∠IBC=;2!;∠B=;2!;_52ù=26ù ∴∠IBO=∠IBC-∠OBC=26ù-14ù=12ù 답12ù 유제

9

이등변삼각형의외심과내심은꼭지각의이등분선위에있으 므로AOÓ 는∠A의이등분선이다. ∴∠BAC=2∠BAO=2_25ù=50ù 점O가△ABC의외심이므로 ∠BOC=2∠BAC=2_50ù=100ù 점I가△ABC의내심이므로 ∠BIC=90ù+;2!;∠A=90ù+;2!;_50ù=115ù ∴∠BIC-∠BOC=115ù-100ù=15ù 답15ù

유제

10

외심과내심이일치하므로△ABC는정삼각형이다. 정삼각형의한내각의크기는60ù이므로 ∠x=2∠A=2_60ù=120ù 답120ù 다른 풀이 오른쪽그림과같이AOÓ를그으면점 O가△ABC의외심이면서내심이므로 ∠OBC=∠OBA=∠OAB=∠a, ∠OCB=∠OCA=∠OAC=∠a 이므로6∠a=180ù  ∴∠a=30ù 따라서∠A=2∠a=60ù이므로 ∠x=180ù-2_30ù=120ù

1

③

2

44ù

3

83cmÛ`

4

130ù

5

160ù

6

②

7

58ù

8

①,④

9

26ù

10

150ù

11

11ù

12

⑤

13

①

14

10cm

15

14p cm`

16

③

17

①

18

④

19

100ù

20

64ù

21

121ù

22

풀이참조

고득점 실전 문제

Step

2

본문 20 ~ 22쪽

1

전략 삼각형의 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 외접원 의 반지름의 길이와 같다. 점O가△ABC의외심이므로 OAÓ=OBÓ △OAB의둘레의길이가39cm이므로 OAÓ+OBÓ+ABÓ=39 2 OAÓ+15=39  ∴OAÓ=12(cm) 따라서△ABC의외접원의둘레의길이는 2p_12=24p(cm)  답③

2

전략 점 O가 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ이다.

오른쪽그림과같이OBÓ 를그으면 OAÓ=OBÓ 이므로 ∠OBA=∠OAB=18ù ∠OBD=68ù-18ù=50ù 또OBÓ=OCÓ이므로 ∠OCD=∠OBD=50ù △ABD에서 ∠ADC=18ù+68ù=86ù Y 0 * # $ " B B B B B B ±¾ ±¾ ±¾ ±¾ " # _% $ 0 따라서△ODC에서 ∠COD=180ù-(86ù+50ù)=44ù 답44ù 다른 풀이 ∠AOC=2∠B=2_68ù=136ù ∴∠COD=180ù-136ù=44ù

3

전략 점 O가 △ABC의 외심이므로 △AODª△BOD (RHS

합동)이다. 점O가△ABC의외심이므로△AOD와△BOD에서 ∠ADO=∠BDO=90ù,OAÓ=OBÓ,DOÓ는공통이므로 △AODª△BOD(RHS합동) ∴△AOB=2△AOD =2_{;2!;_14_6}=84(cmÛ`) 마찬가지로 △BOEª△COE,△AOFª△COF(RHS합동)이므로 △BOE=△COE,△AOF=△COF ∴(사각형OECF의넓이)=△COF+△COE =<sub>;2!;△AOC+;2!;△BOC</sub> =;2!;(△AOC+△BOC) =;2!;(△ABC-△AOB) =;2!;_(250-84) =<sub>;2!;_166</sub> =83(cmÛ`) 답83cmÛ`

4

전략 점 O는 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ 이다.

점O가△ABC의외심이므로OAÓ=OBÓ=OCÓ ∠OBC=∠OCB=∠x라하면 OAÓ=OBÓ 이므로 ∠OAB=∠OBA=∠x+30ù OAÓ=OCÓ 이므로 ∠OAC=∠OCA=∠x+35ù △ABC에서 (∠x+30ù)+(∠x+35ù)+30ù+35ù=180ù 2∠x=50ù  ∴∠x=25ù 따라서△BOC에서 ∠BOC=180ù-2∠x=180ù-2_25ù=130ù 답130ù 다른 풀이 ∠BAC=180ù-(30ù+35ù)=115ù 점O가△ABC의외심이므로 (∠BOC의큰쪽의각)=2∠BAC=2_115ù=230ù ∴∠BOC=360ù-230ù=130ù

5

전략 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù임을 이용한다. ∠BAC`:`∠ABC`:`∠BCA=3`:`4`:`2이므로 ∠ABC=180ù__{3+4+2 =80ù}4 점O가△ABC의외심이므로 ∠AOC=2∠ABC=2_80ù=160ù 답160ù

6

전략 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이다. 외심이BCÓ위에있으므로△ABC는∠A=90ù인직각삼각 형이다. ∴OAÓ=OBÓ=OCÓ △ABO에서∠BAO=∠B=38ù이므로 ∠OAC=90ù-38ù=52ù 점O'이△AOC의외심이므로 ∠OO'C=2∠OAC=2_52ù=104ù 답② 다른 풀이 점O가△ABC의외심이므로OAÓ=OBÓ ∴∠OAB=∠OBA=38ù △ABO에서∠AOC=38ù+38ù=76ù이고OAÓ=OCÓ이므로 ∠OAC=∠OCA=;2!;_(180ù-76ù)=52ù 점O'이△AOC의외심이므로 ∠OO'C=2∠OAC=2_52ù=104ù

7

전략 △OAB, △OBC, △OCA는 모두 이등변삼각형이다.

오른쪽그림과같이OAÓ,OBÓ,OCÓ를 ±¾ ±¾ ±¾ " # $ % & 0 Y ±¾ ±¾  그으면△OAD와△OAE에서 ∠ODA=∠OEA=90ù, OAÓ는공통,ODÓ=OEÓ이므로 △OADª△OAE(RHS합동) ∴∠OAD=∠OAE=;2!;_64ù=32ù 점O가△ABC의외심이므로OAÓ=OBÓ=OCÓ ∴∠OBA=∠OAB=32ù,∠OCA=∠OAC=32ù △ABC에서64ù+32ù+(∠x-32ù)+(∠x-32ù)+32ù=180ù 2∠x=116ù  ∴∠x=58ù 답58ù

8

전략 삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이다. ①세꼭짓점에이르는거리가같은점은외심이다. ②삼각형의내심에서세변에이르는거리는같다.  ⇨IDÓ=IEÓ=IFÓ ③AIÓ 는∠A의이등분선이다.⇨∠IAD=∠IAF ④∠IBE=∠IBD,∠ICE=∠ICF ⑤△ICE와△ICF에서  ∠IEC=∠IFC=90ù,ICÓ 는공통,∠ICE=∠ICF  이므로△ICEª△ICF(RHA합동) 따라서옳지않은것은①,④이다. 답①, ④

9

전략 CIÓ는 ∠C의 이등분선이고 BIÓ는 ∠B의 이등분선이다. CIÓ 는∠ACB의이등분선이므로 ∠ICA=∠ICB=28ù ∴∠ACB=2_28ù=56ù ∴∠ABC=180ù-(72ù+56ù)=52ù BIÓ 는∠ABC의이등분선이므로 ∠ABI=;2!;∠ABC=;2!;_52ù=26ù 답26ù

10

전략 두 점 I, I'은 각각 △ABC, △IBC의 세 내각의 이등분

선의 교점이다.

점I가△ABC의내심이므로

∠IBC=∠IBA=28ù,∠ICB=∠ICA=32ù

점I'이△IBC의내심이므로

∠I'BC=∠I'BI=_{;2!;∠IBC=;2!;_28ù=14ù}

∠I'CB=∠I'CI=;2!;∠ICB=;2!;_32ù=16ù 따라서△I'BC에서 ∠BI'C=180ù-(14ù+16ù)=150ù 답150ù 다른 풀이 점I가△ABC의내심이므로 ∠IBC=∠IBA=28ù,∠ICB=∠ICA=32ù △IBC에서∠BIC=180ù-(28ù+32ù)=120ù 점I'은△IBC의내심이므로 ∠BI'C=90ù+_{;2!;∠BIC=90ù+;2!;_120ù=150ù}

11

전략 삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이다. 점I가△ABC의내심이므로 ∠IAB+36ù+25ù=90ù  ∴∠IAB=29ù ∠ABC=2∠IBA=2_36ù=72ù △ABD에서∠BAD=180ù-(90ù+72ù)=18ù ∴∠IAD=∠IAB-∠BAD=29ù-18ù=11ù 답11ù

12

전략 점 I는 △ABC의 내심, 점 I'은 △DBC의 내심이고 삼

각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이므로 ∠ABD=∠DBC, ∠IBI'=∠I'BC이다. 점I는△ABC의내심이므로 ∠DBC=∠ABD=30ù ∠BIC=90ù+;2!;∠A=90ù+;2!;_54ù=117ù 점I'은△DBC의내심이므로 ∠IBI'=∠I'BC=;2!;_30ù=15ù 따라서△IBI'에서 ∠II'B=180ù-(117ù+15ù)=48ù 답⑤

다른 풀이 점I는△ABC의내심이므로 ∠DBC=∠ABD=30ù 점I'은△DBC의내심이므로 ∠IBI'=∠I'BC=;2!;_30ù=15ù △ABC에서∠ACB=180ù-(54ù+30ù+30ù)=66ù이므로

∠BCI=∠ICD=_{;2!;∠ACB=;2!;_66ù=33ù}

따라서△BCI'에서 ∠II'B=15ù+33ù=48ù

13

전략 삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점임을 이용 하여 ∠IBC+∠ICB의 크기를 구한다. 점I가△ABC의내심이므로 ±¾ " # $ % Y ZZ Y & * ∠ABD=∠CBD=∠x, ∠ACE=∠BCE=∠y라하면 ∠IBC+∠ICB =;2!;∠ABC+;2!;∠ACB =;2!;(∠ABC+∠ACB) =_{;2!;_(180ù-∠BAC)} =;2!;_(180ù-74ù)=53ù ∴∠x+∠y=53ù △ABD에서∠BDC=∠x+74ù △AEC에서∠BEC=∠y+74ù ∴∠BDC+∠BEC=∠x+74ù+∠y+74ù  =∠x+∠y+148ù ` =53ù+148ù=201ù 답①

14

전략 정삼각형의 한 내각의 크기와 내심의 성질을 이용한다. △ABC가정삼각형이므로 ∠ABC=∠ACB=60ù 오른쪽그림과같이IBÓ,ICÓ를그으면 점I가△ABC의내심이므로 ∠IBA=∠IBC =∠ICA=∠ICB =;2!;_60ù=30° 또ABÓIDÓ,ACÓIEÓ이므로

∠BID=∠IBA=30ù(엇각)  ∴DBÓ=DIÓ

∠CIE=∠ICA=30ù(엇각)  ∴ECÓ=EIÓ

△IDE에서∠IDE=∠IED=60ù이므로△IDE는정삼각형 이다.따라서BDÓ=DEÓ=ECÓ이므로 DEÓ=_{;3!; BCÓ=;3!;_30=10(cm)} 답10cm ADN % & " # $ *

15

전략 직각삼각형의 외심을 이용하여 외접원의 반지름의 길 이를 구하고, 삼각형의 넓이를 이용하여 내접원의 반지름의 길 이를 구한다. △ABC의외접원의반지름의길이를rcm라하면 r=;2!; ABÓ=;2!;_10=5 ∴(외접원의둘레의길이)=2p_5=10p(cm) △ABC의내접원의반지름의길이를r'cm라하면 ;2!;_r'_(10+6+8)=;2!;_6_8 12r'=24  ∴r'=2 ∴(내접원의둘레의길이)=2p_2=4p(cm) 따라서외접원과내접원의둘레의길이의합은 10p+4p=14p(cm) 답14pcm

16

전략 반지름의 길이가 r인 원의 둘레의 길이는 2pr, 넓이는 pr2 이다. △ABC의내접원의반지름의길이를rcm라하면 2pr=8p  ∴r=4 즉,원I의반지름의길이가4cm이므로 (원I의넓이)=p_42 =16p(cmÛ`) △ABC의둘레의길이가40cm이므로 △ABC=;2!;_4_40=80(cmÛ`) ∴(색칠한부분의넓이)=△ABC-(원I의넓이) =80-16p(cmÛ`) 답③

17

전략 삼각형의 내심과 외심의 성질을 이용한다. 오른쪽 그림과 같이 내접원의     # $ & " Y Y % '  중심에서△ABC의세변에내 린수선의발을각각D,E,F 라하자. AEÓ=x라하면내접원의성질에의하여 AFÓ=AEÓ=x,CDÓ=CEÓ=2,BFÓ=BDÓ=12-2=10 △ABC의내접원의반지름의길이가2이므로 ;2!;_2_(ABÓ+BCÓ+CAÓ)=;2!;_BCÓ_ACÓ ;2!;_2_{(x+10)+12+(2+x)}=;2!;_12_(x+2) 2x+24=6x+12,-4x=-12  ∴x=3 직각삼각형의외심은빗변AB의중점이므로 ABÓ=10+x=13 따라서직각삼각형ABC의외접원의둘레의길이는 2_{p_{;2!;_13}=13p} 답①

18

전략 삼각형의 외심과 내심이 꼭지각의 이등분선 위에 있으 면 이 삼각형은 이등변삼각형임을 이용한다.

①외심과내심이꼭지각의이등분선위에있으므로△ABC 는이등변삼각형이다. ②내심Q에서삼각형의세변에이르는거리는같다. ③외심P는삼각형의세변의수직이등분선의교점이다. ④내심Q는삼각형의세내각의이등분선의교점이다.  ⇨∠BAQ=∠CAQ,∠ABQ=∠CBQ,  ∠BCQ=∠ACQ ⑤외심P에서삼각형의세꼭짓점에이르는거리는같다.  ⇨PAÓ=PBÓ=PCÓ 따라서옳은것은④이다. 답④

19

전략 삼각형의 외심과 내심의 성질을 이용하여 ∠ABE의 크기를 구하면 △ABE에서 외각의 성질을 이용하여 ∠AED 의 크기를 구한다. 점I가△ABC의내심이므로 ∠BAC=2∠BAE=68ù ±¾ ± " # _{& %} $ * 0 OBÓ,OCÓ 를그으면 ∠BOC=2∠BAC=2_68ù=136ù △OBC에서OBÓ=OCÓ 이므로 ∠OBC=∠OCB =;2!;_(180ù-136ù)=22ù △OAB에서OAÓ=OBÓ 이므로 ∠OBA=∠OAB=68ù-24ù=44ù ∴∠ABE=44ù+22ù=66ù 따라서△ABE에서 ∠AED=34ù+66ù=100ù 답100ù

20

전략 외심과 내심이 CDÓ 위에 있으므로 △ABC는 이등변삼 각형이다. 외심과내심이CDÓ위에있으므로△ABC는ACÓ=BCÓ 인이 등변삼각형이다. ∴∠BAC=;2!;_(180ù-76ù)=52ù 점I가△ABC의내심이므로

∠BAI=∠IAC=;2!;∠BAC=;2!;_52ù=26ù 따라서△AFE에서 ∠AFE=180ù-(90ù+26ù)=64ù 답64ù

21

전략 점 I가 내심임을 이용하여 ∠BIC의 크기를 구한다. 오른쪽그림과같이IAÓ,IBÓ,ICÓ를그으면 ±¾ " # $ % * 점I가△BDC의내심이므로 ∠BIC=90ù+;2!;∠D =90ù+_{;2!;_56ù} =118ù 점I가△ABC의외심이므로 IAÓ=IBÓ=ICÓ 즉,△IAB,△ICA는모두이등변삼각형이므로 ∠IAB=∠IBA,∠IAC=∠ICA 따라서사각형ABIC에서 (∠IAB+∠IAC)+∠IBA+118ù+∠ICA=360ù 2(∠IAB+∠IAC)=242ù ∴∠IAB+∠IAC=121ù ∴∠A=121ù 답121ù

22

전략 파손된 수막새의 외접원을 그리는 방법을 생각해 본다. 복원하려는원에내접하는삼각형을그 려,이삼각형의외심을찾으면이점 이 외접원의 중심이므로 구하는 원의 중심이다. ①수막새의남아있는테두리에적당 히세점A,B,C를잡고선분으로 이어△ABC를만든다. ②두변AB,AC의수직이등분선을각각그리면두수직이 등분선의교점이삼각형의외심이다. 답풀이 참조

1

96ù

2

390ù

3

3

4

3cm

5

40+6p

만점 굳히기 문제

Step

3

본문 23쪽

1

외심이ABÓ위에있으므로△ABC는 ±¾ ± " # $ 0 0  ∠C=90ù인직각삼각형이고점O는 ABÓ 의중점임을알수있다. △OCA에서OAÓ=OCÓ 이므로 ∠OCA=∠OAC=42ù ∴∠OCB=90ù-42ù=48ù 점O'이△OBC의외심이므로 ∠OO'B=2∠OCB=2_48ù=96ù 답96ù

2

 점I'이△ABC의내심이므로 ∠BI'C=90ù+;2!;∠A=90ù+;2!;_80ù=130ù 점I"이△I'BC의내심이므로 ∠BI"C=90ù+;2!;∠BI'C=90ù+;2!;_130ù=155ù 이때∠ABC+∠ACB=180ù-80ù=100ù이므로 ∠IBC+∠ICB=;4#;_100ù=75ù ∴∠BIC=180ù-(∠IBC+∠ICB)=180ù-75ù=105ù ∴∠BIC+∠BI'C +∠BI"C=105ù+130ù+155ù=390ù  답390ù 원의 중심 $ " #

3

 오른쪽그림과같이BEÓ 를그으면 ADN ADN * # % & $ " B B B B B C C  점I가△ABE의외심이므로 IAÓ=IBÓ=IEÓ ∠IAB=∠IBA=∠a, ∠IBE=∠IEB=∠b라하면 점I가△ABC의내심이므로

∠BAC=2∠a,∠ABC=2∠a  ∴∠BAC=∠ABC

따라서△ABC는이등변삼각형이므로 ACÓ=BCÓ=12cm 또∠IEA=∠IAE=∠a이므로 ∠ABE=∠a+∠b,∠AEB=∠a+∠b  ∴∠ABE=∠AEB 따라서△ABE는이등변삼각형이므로 AEÓ=ABÓ=9cm 따라서ECÓ=ACÓ-AEÓ=12-9=3(cm)이므로 AEÓ ECÓ =;3(;=3 답3

4

 오른쪽그림과같이△ABC의내심 ( ) * ADN ADN ADN " # $ % & ' 을I라하고점I에서ABÓ,BCÓ에내 린수선의발을각각G,H라하자. AEÓ=AGÓ=xcm라하면 BHÓ=BGÓ=(9-x)cm, CHÓ=CEÓ=(15-x)cm이므로 (9-x)+(15-x)=12,24-2x=12 2x=12  ∴x=6 ∴AEÓ=6cm 같은방법으로하면△ACD에서CFÓ=6cm ∴EFÓ=ACÓ-AEÓ-CFÓ  =15-6-6=3(cm) 답3cm

5

 내접원의반지름의길이를r라하면 BDÓ=BEÓ=16-r,ADÓ=AFÓ=12-r이므로 ABÓ=BDÓ+ADÓ에서20=(16-r)+(12-r) 20=28-2r,2r=8  ∴r=4 따라서BEÓ=16-4=12,AFÓ=12-4=8이므로 △BEI=;2!;_12_4=24 △AIF=;2!;_8_4=16 또∠AIB=90ù+_{;2!;∠C=90ù+;2!;_90ù=135ù이므로} 색칠한부채꼴의넓이는 p_4Û`_;3!6#0%;=6p ∴(색칠한부분의넓이)=△AIF+△BEI+(부채꼴의넓이) =16+24+6p =40+6p 답40+6p

3

평행사변형



1

95ù

2

60

3

24cm

4

③,⑤

5

CQÓ,∠C,△CRQ,RQÓ,△DSR,RSÓ

6

32cmÛ`

7

40cmÛ`

꼭

나오는

대표 빈출

로 핵심 확인 본문 25쪽

1

ABÓ DCÓ 이므로∠ABD=∠BDC=25ù(엇각) 따라서△ABO에서 ∠BOC=∠BAO+∠ABO=70ù+25ù=95ù 답95ù

2

 두쌍의대각의크기가각각같으므로 ∠D=∠B=68ù △DEC에서DEÓ=DCÓ이므로 ∠DEC=∠DCE=;2!;_(180ù-68ù)=56ù ADÓBCÓ이므로∠BCE=∠DEC=56ù(엇각) ∴x=56 두쌍의대변의길이가각각같으므로 DCÓ=ABÓ=12cm △DEC에서DEÓ=DCÓ=12cm이므로 AEÓ=ADÓ-DEÓ=16-12=4(cm)  ∴y=4 ∴x+y=56+4=60 답60

3

 CDÓ=ABÓ=10cm OCÓ=_{;2!; ACÓ=;2!;_12=6(cm)} ODÓ=;2!; BDÓ=;2!;_16=8(cm) 따라서△OCD의둘레의길이는 OCÓ+CDÓ+ODÓ=6+10+8=24(cm) 답24cm

4

 ③한쌍의대변이평행하고다른쌍의대변의길이가같으므 로평행한쌍의대변의길이가같은지알수없다. ⑤두대각선이서로다른것을이등분하지않는다. 따라서평행사변형이아닌것은③,⑤이다. 답③, ⑤

5

 △APS와△CRQ에서 APÓ=_{;2!; ABÓ=;2!; DCÓ=CRÓ,} ASÓ=;2!; ADÓ=;2!; BCÓ= CQÓ , ∠A= ∠C 따라서△APSª △CRQ (SAS합동)이므로 PSÓ= RQÓ   yy`㉠

같은방법으로△BQPª △DSR (SAS합동)이므로 PQÓ= RSÓ   yy`㉡ ㉠,㉡에서PQRS는평행사변형이다.  답CQÓ,∠C,△CRQ,RQÓ,△DSR,RSÓ

6

 △BCD=2△ABO=2_4=8(cmÛ`)이므로 BFED=4△BCD=4_8=32(cmÛ`)  답32 cmÛ`

7

 △PAB+△PCD=△PDA+△PBC이므로 35+20=15+△PBC ∴△PBC=40(cmÛ`) 답40cmÛ` 1 대표문제 34 유제1 5cm  유제2 10cmÛ` 2 대표문제 ㄴ,ㄷ,ㅁ  유제3 ㄱ,ㄴ,ㅁ  유제4 한쌍의대변이평행하고그길이가  같다. 3 대표문제 58cmÛ` 유제5 15 cmÛ` 유제6 30cmÛ`  유제7 12cmÛ`  이 단원에서 뽑은

고득점 준비 문제

Step

1

본문 26 ~ 28쪽

1

대표 문제  ∠BAE=∠EAD,∠EAD=∠BEA(엇각)이므로 ∠BAE=∠BEA 즉,△ABE는이등변삼각형이므로 BEÓ=ABÓ=7 BCÓ=7+3=10 따라서ABCD의둘레의길이는 2(ABÓ+BCÓ)=2_(7+10)=34  답34 유제

1

∠BAE=∠EAD이고∠EAD=∠BEA(엇각)이므로 ∠BAE=∠BEA 즉,△ABE는이등변삼각형이므로 BEÓ=ABÓ=DCÓ=9cm ∠ADF=∠FDC이고∠ADF=∠DFC(엇각)이므로 ∠FDC=∠DFC 즉,△DFC는이등변삼각형이므로 CFÓ=CDÓ=9cm 이때BEÓ+CFÓ=BCÓ+EFÓ에서 9+9=13+EFÓ ∴EFÓ=18-13=5(cm) 답5cm 유제

2

△OAP와△OCQ에서 ∠APO=∠CQP=90ù(엇각),OAÓ=OCÓ, ∠AOP=∠COQ(맞꼭지각)이므로 △OAPª△OCQ(RHA합동) 이때APÓ=ABÓ-BPÓ=12-8=4(cm)이므로 CQÓ=APÓ=4cm,OQÓ=OPÓ=5cm ∴△OCQ=;2!;_4_5=10(cmÛ`) 답10cmÛ`

2

대표 문제  ABCD가평행사변형이므로 ∠EAF=∠ECF,∠AEC=∠AFC 즉,두쌍의대각의크기가각각같으므로AECF는평행사 변형이다. 따라서<보기>에서옳은것은ㄴ,ㄷ,ㅁ이다. 답ㄴ, ㄷ, ㅁ 유제

3

ABCD가평행사변형이므로OAÓ=OCÓ,OEÓ=OFÓ 즉,두대각선이서로다른것을이등분하므로AECF는평 행사변형이다. 따라서<보기>에서옳은것은ㄱ,ㄴ,ㅁ이다.  답ㄱ, ㄴ, ㅁ

유제

4

∠AED=∠CFB=90ù이므로AEÓCFÓ yy㉠

△ABE와△CDF에서 ∠BEA=∠DFC=90ù,ABÓ=CDÓ,∠ABE=∠CDF(엇각) 이므로△ABEª△CDF(RHA합동) ∴AEÓ=CFÓ yy㉡ ㉠,㉡에서한쌍의대변이평행하고그길이가같으므로 AECF는평행사변형이다.  답한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다.

3

대표 문제  ABCD=16_12=192(cm2) △PAB+△PCD=;2!;ABCD=;2!;_192=96(cmÛ`) ∴△PCD=96-38=58(cmÛ`) 답58cmÛ` 유제

5

△AEO와△CFO에서 ∠EAO=∠FCO(엇각),OAÓ=OCÓ, ∠AOE=∠COF(맞꼭지각)이므로 △AEOª△CFO(ASA합동) ∴△AEO=△CFO 따라서색칠한부분의넓이는 △AEO+△OFD=△CFO+△OFD =△CDO =_;4!;ABCD =;4!;_60=15(cmÛ`) 답15cmÛ`

유제

6

△PBC`:`△PDA=1`:`3이므로 △PBC=;3!;△PDA △PDA+△PBC=;2!;ABCD이므로 ;3$;△PDA=;2!;ABCD ∴△PDA=;4#;_;2!;_80=30(cmÛ`) 답30cmÛ`\ 유제

7

△APO와△CQO에서 ∠PAO=∠QCO(엇각),AOÓ=COÓ, ∠AOP=∠COQ(맞꼭지각)이므로 △APOª△CQO(ASA합동) ∴△CQO=△APO=7cmÛ` 따라서 △DOC=;4!; ABCD=;4!;_76=19(cmÛ`) 이므로 △DOQ=△DOC-△CQO  =19-7=12(cm Û`) 답12cmÛ`

1

28cm

2

③

3

65ù

4

④

5

①,③

6

③

7

130ù

8

14cm

9

180ù

10

21cmÛ`

11

28cmÛ`

12

④

13

20cmÛ`

14

풀이참조

고득점 실전 문제

Step

2

본문 29 ~ 30쪽

1

전략 두 직선이 평행하면 동위각의 크기가 같다. △ABC에서ABÓ=ACÓ이므로∠B=∠C ACÓDEÓ이므로∠C=∠DEB(동위각) ∴∠B=∠DEB 즉,△DBE는DBÓ=DEÓ인이등변삼각형이므로 DEÓ=DBÓ=9cm 따라서ADEF의둘레의길이는 2(ADÓ+DEÓ)=2_(5+9)=28(cm) 답28cm

2

전략 평행사변형의 이웃하는 두 각의 크기의 합은 180ù이다. ∠A+∠ABC=180ù이므로 ∠ABC=180ù-110ù=70ù ∴∠EBC=;2!;∠ABC=;2!;_70ù=35ù ∠BCD=∠A=110ù이므로 ∠BCE=110ù-30ù=80ù 따라서△BCE에서 ∠BEC=180ù-(35ù+80ù)=65ù 답③

3

전략 평행사변형의 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같다. ∠D=∠B=50ù이므로 ∠ADF=;2!;∠D=;2!;_50ù=25ù △AFD에서∠DAF=180ù-(90ù+25ù)=65ù 이때∠BAD+∠B=180ù이므로 ∠BAD=180ù-50ù=130ù ∴∠BAF=∠BAD-∠DAF =130ù-65ù=65ù 답65ù

4

전략 평행사변형의 두 쌍의 대변의 길이는 각각 같다. ABCD가평행사변형이므로두쌍의대변의길이는각각 같다. 이때BCÓ=5-(-2)=7에서ADÓ=BCÓ=7이므로 점D의x좌표는7이다. ABÓCDÓ 이고점A의y좌표가4이므로 점D의y좌표는4이다. 따라서점D의좌표는(7,4)이다. 답④

5

전략 ABCD를 그린 다음 평행사변형이 되는 조건을 확인 한다. ①두쌍의대변이각각평행하므로ABCD는평행사변형 이다. ③두쌍의대각의크기가각각같으므로ABCD는평행사 변형이다. 답①, ③

6

전략 엇각의 크기가 같으면 두 직선은 평행하다. ∠BAC=∠ACD이면ABÓDCÓ 이다. ①ABÓDCÓ,ABÓ=DCÓ 이면한쌍의대변이평행하고그길 이가같으므로ABCD는평행사변형이다. ②ABÓDCÓ,ADÓBCÓ 이면두쌍의대변이각각평행하므 로ABCD는평행사변형이다. ④ABÓDCÓ,∠B=∠D이면두쌍의대변이각각평행하므 로ABCD는평행사변형이다. ⑤ABÓDCÓ,∠BCA=∠DAC이면두쌍의대변이각각평 행하므로ABCD는평행사변형이다. 따라서평행사변형이될수없는것은③이다. 답③

7

전략 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같은 사각형은 평 행사변형이다.

∠AFD=∠CEB=90ù이므로BEÓDFÓ  yy㉠

△ABE와△CDF에서 ∠AEB=∠CFD=90ù,ABÓ=CDÓ,∠BAE=∠DCF 이므로△ABEª△CDF(RHA합동) ∴BEÓ=DFÓÓ yy㉡ ㉠,㉡에서한쌍의대변이평행하고그길이가같으므로 EBFD는평행사변형이다.

△DEF에서∠DEF=180ù-(40ù+90ù)=50ù이고 EBFD는평행사변형이므로∠BFE=∠DEF=50ù ∴∠BFC=180ù-50ù=130ù 답130ù

8

전략 평행사변형의 두 쌍의 대변의 길이는 각각 같다. ∠ABE=∠EBF,∠AEB=∠EBF(엇각)이므로 ∠ABE=∠AEB ∠A=60ù이고∠ABE=∠AEB=;2!;_(180ù-60ù)=60ù 이므로△ABE는정삼각형이다. ∴AEÓ=BEÓ=ABÓ=DCÓ=5cm EDÓ=ADÓ-AEÓ=7-5=2(cm) 이때BFDE는평행사변형이므로둘레의길이는 2(EBÓ+EDÓ)=2_(5+2)=14(cm) 답14cm

9

전략 ABED와 AECD는 평행사변형이다. ABED가평행사변형이므로∠ADE=∠B=∠x AECD가평행사변형이므로∠DAE=∠C=∠z 따라서△AED에서∠x+∠y+∠z=180ù 답180ù

10

전략 _{평행사변형의 넓이는 두 대각선에 의해 사 등분된다.} ADÓBCÓ,ABÓFEÓDCÓ이므로ABEF,FECD는평행 사변형이다. △PEF=;4!;ABEF이고,△QFE=;4!;FECD이므로 PEQF의넓이는

△PEF+△QFE=;4!;ABEF+;4!; FECD

=;4!;_;2!;ABCD+;4!;_;2!;ABCD =;4!;ABCD =_{;4!;_84=21(cmÛ`)} 답21cm2

11

전략 평행사변형의 내부의 한 점에서 각 꼭짓점에 그은 선분 에 의해 생기는 삼각형의 넓이 사이의 관계를 이용한다. △PDA`:`△PCD`:`△PAB=1`:`2`:`3이므로 △PCD=;3@;△PAB

△PAB+△PCD=△PDA+△PBC=_{;2!; ABCD이므로}

△PAB+;3@;△PAB=;2!; ABCD ;3%;△PAB=;2!;_70  ∴△PAB=21(cmÛ`) 이때△PDA=;3!;△PAB=;3!;_21=7(cmÛ`)이므로 △PBC=_{;2!; ABCD-△PDA=;2!;_70-7=28(cmÛ`)}  답28cmÛ 다른 풀이 △PDA : △PCD : △PAB=1 : 2 : 3이고 △PAB+△PCD=△PDA+△PBC이므로 △PDA : △PCD : △PAB : △PBC=1 : 2 : 3 : 4 ∴△PBC=ABCD__1+2+3+44 =70_;1¢0;=28(cm2₎

12

전략 △PAB+△PCD=;2!;ABCD임을 이용한다. △PAB+△PCD=;2!;ABCD이므로 44+△PCD=_{;2!;_128  ∴△PCD=20(cm}2₎ 오른쪽그림과같이점P를지나 # _' 1 $ " & % 2 고ADÓ와평행한직선을그어CDÓ 와만나는점을Q라하면 EFÓDCÓ,EDÓPQÓFCÓ이므로 EPQD,PFCQ는모두평행사변형이다. 따라서△EPD=△DPQ,△PFC=△PCQ이므로 △EPD+△PFC=△DPQ+△PCQ =△PCD =20 cmÛ` 답④

13

전략 EFÓ 를 그으면 ABEF는 평행사변형이다. 오른쪽그림과같이EFÓ 를그으면 ADN ADN " # $ % & ' ( ∠ABF=∠FBE, ∠AFB=∠FBE(엇각)이므로 ∠ABF=∠AFB ∴AFÓ=ABÓ=10cm ∠BAE=∠EAF,∠BEA=∠EAF(엇각)이므로 ∠BAE=∠BEA ∴BEÓ=ABÓ=10cm 따라서AFÓBEÓ,AFÓ=BEÓ 이므로ABEF는평행사변형 이다. ∴ABEF=;1!4); ABCD =;1!4); _112=80(cmÛ`) ∴△ABG=;4!; ABEF =;4!;_80=20(cmÛ`) 답20cmÛ`

14

전략 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형은 평행사변형이다. 양탄자모양의판이지면과항상평행하려면축이평행하게 돌아가야한다.즉,두쌍의대변이평행하므로ABCD는 평행사변형이다. 답풀이 참조

1

18cm

2

44ù

3

16cm

4

15초

5

45cm2

만점 굳히기 문제

Step

3

본문 31쪽

1

 ∠BAP=∠DAP,∠DAP=∠BPA(엇각)이므로

∠BAP=∠BPA  ∴BPÓ=ABÓ=12cm

∠CAQ=∠DAQ,∠DAQ=∠AQC(엇각)이므로 ∠CAQ=∠AQC ∴CQÓ=ACÓ=14cm ∴PQÓ=PCÓ+CQÓ  =(BCÓ-BPÓ)+CQÓ =(16-12)+14=18(cm) 답18cm

2

다음그림과같이AEÓ 와BCÓ 의연장선의교점을P라하면 Y ± # & " ' % $ 1 △AED와△PEC에서 ∠EDA=∠ECP(엇각),EDÓ=ECÓ, ∠AED=∠PEC(맞꼭지각)이므로 △AEDª△PEC(ASA합동) ∴ADÓ=PCÓ 즉,BCÓ=CPÓ이고∠BFP=90ù이므로점C는직각삼각형 FBP의외심이다. ∴BCÓ=CPÓ=FCÓ 따라서△FCP가이등변삼각형이므로 ∠CFP=∠CPE=∠DAE=22ù ∴∠x=∠CFP+∠CPE=22ù+22ù=44ù 답44ù

3

ABCD와OCDE가평행사변형이므로 OEÓ=CDÓ=ABÓ=14cm △AOF와△DEF에서 ∠OAF=∠EDF(엇각),AOÓ=COÓ=DEÓ, ∠AOF=∠DEF(엇각)이므로 △AOF≡△DEF(ASA합동) ∴FAÓ=FDÓ, FOÓ=FEÓ 즉,FDÓ=;2!; ADÓ=;2!;_18=9(cm), FOÓ=;2!; OEÓ=;2!;_14=7(cm)이므로 FDÓ+FOÓ=9+7=16(cm) 답16cm

4

점Q가점C를출발한지x초후에점Q가움직인거리는 4xcm이고,점P가움직인거리는3(x+5)cm이다. 이때APÓCQÓ 이므로AQÓPCÓ 가되면APCQ는평행사 변형이다. ∴APÓ=CQÓ APÓ=3(x+5)cm,CQÓ=4xcm이므로 3(x+5)=4x  ∴x=15 따라서AQÓPCÓ 가되는것은15초후이다. 답15초

5

△AND와△BNQ에서 ∠DAN=∠QBN(엇각),ANÓ=BNÓ, ∠AND=∠BNQ(맞꼭지각)이므로 △ANDª△BNQ(ASA합동) △DMA와△CMP에서 ∠ADM=∠PCM(엇각),DÕMÓ=CÕMÓ, ∠DMA=∠CMP(맞꼭지각)이므로 △DMAª△CMP(ASA합동) 이때오른쪽그림에서 " # $ % . / 0 1 2 △OQP=ABCD+△AOD 이고 △AOD=;8!; ABCD =;8!;_40=5(cm2₎ ∴△OQP=40+5=45(cm2_{) 답} 45cm2

4

여러 가지 사각형



1

44

2

55ù

3

⑤

4

84ù

5

②

6

①,③

7

50cmÛ`

8

④

꼭

나오는

_{대표 빈출}

로 핵심 확인 본문 33쪽

1

ABCD는직사각형이므로OAÓ=OCÓ 2x-4=3x-10  ∴x=6 ∠OAD=∠BAD-∠BAC=90ù-40ù=50ù △OAD에서OAÓ=ODÓ이므로∠ODA=∠OAD=50ù ∴y=50  ∴y-x=50-6=44 답44

2

 ABCD가마름모이므로BCÓ=CDÓ △BCD에서∠CBD=;2!;_(180ù-110ù)=35ù △BEF에서∠BFE=180ù-(35ù+90ù)=55ù ∴∠AFD=∠BFE=55ù(맞꼭지각) 답55ù

3

 ABCD가정사각형이므로DCÓ=DAÓ=DEÓ △ECD가이등변삼각형이므로

∠DEC=∠ECD=25ù,∠CDE=180ù-(25ù+25ù)=130ù ∴∠ADE=130ù-90ù=40ù 따라서△ADE에서DAÓ=DEÓ이므로 ∠EAD=;2!;_(180ù-40ù)=70ù 답⑤

4

 ADÓBCÓ이므로∠DAC=∠ACB=32ù(엇각) △ACD에서ADÓ=CDÓ 이므로∠DCA=∠DAC=32ù 이때△ABCª△DCB(SAS합동)이므로 ∠DBC=∠ACB=32ù 따라서△DBC에서 ∠x=180ù-(32ù+32ù+32ù)=84ù 답84ù

5

 ㈎,㈏에서한쌍의대변이평행하고그길이가같으므로 ABCD는평행사변형이다. ㈐,㈑에서평행사변형의이웃하는두변의길이가같고한내 각이직각이므로ABCD는정사각형이다. 답②

6

 두대각선이서로수직인사각형은마름모와정사각형이다.  답①, ③

7

 ACÓDEÓ 이므로△ACD=△ACE ∴ABCD=△ABC+△ACD  =△ABC+△ACE  =34+16=50(cmÛ`) 답50cm2

8

 AEÓ`:`EDÓ=4 : 3이므로△AEC : △EDC=4 : 3 ∴△AEC=;7$;△ADC BCÓ : DCÓ=2 : 1이므로△ABC : △ADC=2 : 1 ∴△ADC=;2!;△ABC ∴△AEC=;7$;△ADC=;7$;_;2!;△ABC =<sub>;7$;_;2!;_56=16(cmÛ`)</sub> 답④ 1 대표문제 ㄷ,ㅁ 유제1 직사각형 2 대표문제 ①,④ 유제2 36cm 3 대표문제 <sub>ㄴ,ㄷ,ㄹ  유제</sub>3 <sub>ㄱ,ㄷ</sub> 4 대표문제 36cm 유제4 15cm 5 대표문제 44cm 유제5 96cmÛ` 유제6 ㄱ,ㄹ,ㅁ 6 대표문제 12cmÛ` 유제7 24cmÛ` 유제8 140cmÛ`  유제9 4cmÛ` 이 단원에서 뽑은

고득점 준비 문제

Step

1

본문 34 ~ 37쪽

1

대표 문제  ㄷ.BDÓ=12cm이면ACÓ=BDÓ 가되므로두대각선의길이 가같다.  ⇨평행사변형의두대각선의길이가같으면직사각형이다. ㅁ.∠ABC=∠BCD이면∠ABC+∠BCD=180ù, ∠ABC=90ù가되므로한내각이직각이다. ⇨평행사변형의한내각이직각이면직사각형이다. 따라서평행사변형이직사각형이되는조건은ㄷ,ㅁ이다.  답ㄷ, ㅁ 유제

1

△ABMª△DCM(SSS합동)이므로∠B=∠C ∠B+∠C=180ù이므로∠B=∠C=90ù 따라서평행사변형ABCD는한내각의크기가90ù이므로직 사각형이다. 답직사각형

2

대표 문제  ①,④평행사변형이직사각형이되는조건이다. ②∠AOD=90ù이면ACÓ⊥BDÓ가되므로두대각선이수직 으로만난다.  ⇨평행사변형의두대각선이수직으로만나면마름모이다. ③ABÓ=ADÓ이면이웃하는두변의길이가같다.  ⇨평행사변형의이웃하는두변의길이가같으면마름모 이다. ⑤∠ABD=∠CBD이면∠CBD=∠ADB(엇각)에서 ∠ABD=∠ADB이므로이웃하는두변의길이가같다.  ⇨평행사변형의이웃하는두변의길이가같으면마름모 이다. 따라서평행사변형이마름모가되는조건이아닌것은①,④ 이다. 답①, ④ 유제

2

ADÓBCÓ 이므로∠DAC=∠ACB=36ù(엇각) △AOD에서∠AOD=180ù-(36ù+54ù)=90ù 즉,평행사변형ABCD는두대각선이수직으로만나므로마 름모이다. 따라서ABCD의둘레의길이는 4_CDÓ=4_9=36(cm) 답36cm

3

대표 문제  ㄴ.BCÓ=CDÓ 이면이웃하는두변의길이가같다.  ⇨직사각형의이웃하는두변의길이가같으면정사각형 이다. ㄷ.∠ACB=∠ACD,∠BAC=△ACD(엇각)이므로  ∠ACB=∠BAC  즉,△ABC는이등변삼각형이므로ABÓ=BCÓ  ⇨직사각형의이웃하는두변이길이가같으면정사각형 이다. ㄹ.∠AOB=∠BOC이면∠AOB+∠BOC=180ù에서  ∠AOB=90ù가되므로두대각선이수직으로만난다.  ⇨직사각형의두대각선이수직으로만나면정사각형이다.

따라서직사각형이정사각형이되는조건은ㄴ,ㄷ,ㄹ이다.  답ㄴ, ㄷ, ㄹ 유제

3

ㄱ.AOÓ=BOÓ 이면두대각선의길이가같다.  ⇨마름모의두대각선의길이가같으면정사각형이다. ㄷ.∠ABC=∠BCD이면∠ABC+∠BCD=180ù,즉 ∠ABC=90ù가되므로한내각이직각이다.  ⇨마름모의한내각이직각이면정사각형이다. 따라서마름모가정사각형이되는조건은ㄱ,ㄷ이다.  답ㄱ, ㄷ

4

대표 문제  오른쪽 그림과 같이 점 D를 지나고 ± ADN ADN " # $ % &  ABÓ와평행한직선이BCÓ와만나는 점을E라하면 ABED는평행사변형이므로 BEÓ=ADÓ=6cm ABCD가등변사다리꼴이므로 ABÓ=DCÓ=8cm 또∠C=∠B=60ù이고ABÓDEÓ 이므로 ∠DEC=∠B=60ù(동위각) ∴∠EDC=180ù-(60ù+60ù)=60ù 즉,△DEC는정삼각형이므로ECÓ=DCÓ=8cm 따라서ABCD의둘레의길이는  ABÓ+BCÓ+CDÓ+ADÓ  =ABÓ+(BEÓ+ECÓ)+CDÓ+ADÓ  =8+(6+8)+8+6  =36(cm) 답36cm 유제

4

오른쪽그림과같이점D에서BCÓ 에 ADN ADN " # $ % & ' 내린수선의발을F라하면 EFÓ=ADÓ=10cm △ABE≡△DCF(RHA합동) 이므로 BEÓ=CFÓ=;2!;(BCÓ-EFÓ)=;2!;_(20-10)=5(cm) ∴ECÓ=BCÓ-BEÓ=20-5=15(cm) 답15cm

5

대표 문제  △AEH와△CFG에서 AEÓ=CFÓ,∠EAH=∠FCG,AHÓ=CGÓ이므로 △AEHª△CFG(SAS합동) 같은방법으로하면△BEFª△DHG(SAS합동) ∴∠AEH=∠AHE=∠CFG=∠CGF, ∠BEF=∠BFE=∠DHG=∠DGH EFGH에서 ∠HEF=180ù-(∠AEH+∠BEF)  =∠EFG=∠FGH=∠GHE 즉,EFGH는네각의크기가모두같으므로직사각형이다. ∴EFÓ=HGÓ=10cm,EHÓ=FGÓ=12cm 따라서EFGH의둘레의길이는 2(FGÓ+HGÓ)=2_(12+10)=44(cm)  답44cm 유제

5

△APSª△BPQª△CRQª△DRS(SAS합동)이므로 PSÓ=PQÓ=RQÓ=RSÓ 즉,PQRS는마름모이다. 따라서PQRS의넓이는 ;2!;_PRÓ_SQÓ=;2!;_16_12=96(cm2_{) 답} 96cm2 유제

6

등변사다리꼴의각변의중점을연결하여만든사각형은마름 모이므로EFGH는마름모이다. 따라서마름모에대한설명으로옳은것은ㄱ,ㄹ,ㅁ이다.  답ㄱ, ㄹ, ㅁ

6

대표 문제  오른쪽그림과같이ECÓ를그으면 # _' $ " & % ADÓBCÓ이므로 △BCE=_{;2!; ABCD} BFÓ`:`FCÓ=4`:`3이므로 △BFE=;7$;△BCE=;7$;_;2!; ABCD =<sub>;7$;_;2!;_42=12(cmÛ`)</sub> 답12cmÛ` 유제

7

오른쪽그림과같이AMÓ을그으면 ADN ADN # _{. &} $ % " DMÓAEÓ이므로△DME=△DMA 점M은BCÓ의중점이므로 BMÓ=MCÓ=6cm ∴△DBE=△DBM+△DME =△DBM+△DMA =△ABM =;2!;_6_8=24(cmÛ`) 답24cmÛ` 다른 풀이 DÕMÓAEÓ 이므로△ADE=△AME 따라서ADEC=△ADE+△AEC  =△AME+△AEC  =△AMC 또점M은BCÓ의중점이므로BCÓ=2MCÓ=2_6=12(cm) ∴△DBE=△ABC-ADEC =△ABC-△AMC =;2!;_12_8-;2!;_6_8 =24(cmÛ`)

유제

8

△ABO=△ABD-△AOD=56-16=40(cmÛ`) ∴△DCO=△ABO=40cmÛ` 이때BOÓ`:`ODÓ=△ABO`:`△AOD=40`:`16=5`:`2이므로 △BCD : △DCO=7 : 2 ∴△DBC=;2&;△DCO=;2&;_40=140(cmÛ`) 답140cmÛ` 유제

9

△ABF=△ABE+△EBF △BCD=△DEF+△EBF+△BCF ABÓDCÓ이므로△ABF=△BCD 따라서△ABE=△DEF+△BCF이므로 △DEF=△ABE-△BCF  =21-17=4(cmÛ`) 답4cmÛ`

1

②

2

③

3

②

4

30ù

5

70ù

6

100ù

7

108ù

8

③

9

㈎-ㄱ,ㄹ㈏-ㄴ,ㄷ

10

③,⑤

11

③

12

②

13

156

14

②

15

24cmÛ`

16

③

17

4cmÛ` 

18

풀이참조

고득점 실전 문제

Step

2

본문 38 ~ 40쪽

1

전략 직사각형의 대각선의 성질을 이용한다. ABCD가직사각형이므로AOÓ=BOÓ=COÓ=DOÓ 이다. 즉,△ABO,△BCO는이등변삼각형이다. △ABO에서∠AOB=∠COD=68ù(맞꼭지각)이므로 ∠x=_{;2!;_(180ù-68ù)=56ù} △BCO에서2∠y=68ù이므로∠y=34ù ∴∠x-∠y=56ù-34ù=22ù 답②

2

전략 직사각형의 한 내각의 크기는 90ù임을 이용한다. AEÓ=CEÓ 이므로∠EAC=∠ECA ADÓBCÓ 이므로∠CAD=∠ACB(엇각) 즉,∠BAE=∠EAC=∠CAD이므로 ∠BAE=;3!;∠BAD=;3!;_90ù=30ù 따라서△ABE에서 ∠AEB=180ù-(90ù+30ù)=60ù 답③

3

전략 △DEC는 이등변삼각형임을 이용한다. ∠ADE=∠EDC,∠ADE=∠DEC(엇각)이므로

∠EDC=∠DEC  ∴CDÓ=CEÓ

ADÓ : ABÓ=5`:`4이면BEÓ`:`ECÓ=1 : `4이므로 BEÓ=a라하면ECÓ=4a,ADÓ=5a,ABÓ=DCÓ=4a ABED=;2!;_(a+5a)_4a=12a2 , △DEC=;2!;_4a_4a=8a2 이므로

ABED : △DEC=12a2_: 8a2_{=3 : 2 답}

②

4

전략 △ABEª△ADF (SAS 합동)임을 이용한다. △ABE와△ADF에서 ABÓ=ADÓ,∠ABE=∠ADF,BEÓ=DFÓ이므로 △ABEª△ADF(SAS합동) ∴AEÓ=EFÓ=AFÓ 따라서△AEF는정삼각형이므로∠AFE=60ù △AFD에서∠AFE=∠FAD+∠FDA=2∠FAD 2∠FAD=60ù  ∴∠FAD=30ù 답30ù

5

전략 마름모는 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같고, 네 변의 길 이가 모두 같음을 이용한다. ∠BAD=∠BCD=100ù이므로 ∠PAD=∠BAD-∠BAP  =100ù-60ù=40ù ABCD가마름모이므로ABÓ=ADÓ △ABP가정삼각형이므로ABÓ=APÓ ∴ADÓ=APÓ 따라서△APD는이등변삼각형이므로 ∠APD=;2!;_(180ù-40ù)=70ù 답70ù

6

전략 △ABEª△CDF (SAS 합동)임을 이용한다. △ABE와△CDF에서 ABÓ=CDÓ,∠ABE=∠CDF=90ù,BEÓ=DFÓ이므로 △ABEª△CDF(SAS합동) ∴∠DCF=∠BAE=35ù △DHC에서∠HDC=45ù이므로 ∠CHD=180ù-(45ù+35ù)=100ù 답100ù

7

전략 ABCD가 등변사다리꼴이므로 ∠ABC=∠DCB이다. ∠DCA=∠x라하면 △ACD는DAÓ=DCÓ 인이등변삼각형이므로 ∠DAC=∠DCA=∠x 또ADÓBCÓ 이므로∠ACB=∠DAC=∠x(엇각) ∴∠DCB=∠x+∠x=2∠x 이때ABCD는등변사다리꼴이므로 ∠ABC=∠DCB=2∠x △ABC에서∠BAC=∠ABC=2∠x이므로 2∠x+2∠x+∠x=180ù 5∠x=180ù  ∴∠x=36ù

∴∠ABC+∠DCA=2∠x+∠x  =3∠x  =3_36ù=108ù 답108ù

8

전략 등변사다리꼴의 두 대각선의 길이는 같다. ACED는평행사변형이므로 ADÓ+BCÓ=CEÓ+BCÓ= BEÓ  ABCD가등변사다리꼴이므로ACÓ=BDÓ ACED가평행사변형이므로ACÓ=DEÓ ∴BDÓ=DEÓ 이때∠BDE=90ù이므로△DBE는BDÓ=DEÓ인직각이등변 삼각형이다. ∴BHÓ=DHÓ=HEÓ ∴BEÓ= 2DHÓ ∴ABCD=;2!; (ADÓ+BCÓ)_DHÓ =;2!;_2DHÓ_DHÓ = DHÓÛ`  답③

9

전략 여러 가지 사각형 사이의 관계를 확인한다. ㈎ •평행사변형의이웃하는두변의길이가같거나(ㄱ),두대 각선이수직으로만나면(ㄹ)마름모가된다.  •직사각형의이웃하는두변의길이가같거나(ㄱ),두대 각선이수직으로만나면(ㄹ)정사각형이된다. ㈏ •평행사변형의한내각이직각이거나(ㄴ),두대각선의길 이가같으면(ㄷ)직사각형이된다.  •마름모의한내각이직각이거나(ㄴ),두대각선의길이가 같으면(ㄷ)정사각형이된다. ∴㈎ -ㄱ,ㄹ ㈏ -ㄴ,ㄷ 답㈎ -ㄱ, ㄹ ㈏ -ㄴ, ㄷ

10

전략 여러 가지 사각형 사이의 관계를 확인한다. ①두대각선의길이가같은평행사변형은직사각형이다. ②이웃하는두변의길이가같은평행사변형은마름모이다. ③한내각이직각인평행사변형은직사각형이다. ④두대각선이수직으로만나는평행사변형은마름모이다. ⑤두대각선의길이가같고두대각선이수직으로만나면정 사각형이다. 따라서옳은것은③,⑤이다. 답③,⑤

11

전략 ABCD가 평행사변형이므로 이웃하는 두 내각의 크 기의 합은 180ù이다. 즉, ∠A+∠B=∠B+∠C=180ù이다. ∠BAD+∠ABC=180ù이므로∠EAB+∠EBA=90ù △ABE에서∠AEB=180ù-90ù=90ù ∴∠HEF=∠AEB=90ù(맞꼭지각) 같은방법으로하면∠HGF=90ù 또∠ABC+∠BCD=180ù이므로∠HBC+∠HCB=90ù △HBC에서∠BHC=180ù-90ù=90ù 같은방법으로하면∠AFD=90ù ∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠GHE=90ù 즉,EFGH는직사각형이다. 따라서옳지않은것은③이다. 답③

12

전략 직사각형의 각 변의 중점을 연결한 사각형은 마름모 이다. △AEHª△BEFª△CGFª△DGH(SAS합동)이므로 EHÓ=EFÓ=GFÓ=GHÓ 즉,직사각형ABCD의각변의중점을연결하여만든사각형 EFGH는마름모이다. 따라서옳지않은것은②이다.  답②

13

전략 두 대각선이 서로 다른 것을 수직이등분하는 평행사변 형은 마름모이다. 오른쪽그림과같이BDÓ 와EFÓ의교    " # $ % 0 & ' 점을O라하면 △DFO와△BEO에서 ∠FDO=∠EBO(엇각), ODÓ=OBÓ,∠FOD=∠EOB 이므로△DFOª△BEO(ASA합동) ∴FDÓ=EBÓ,FOÓ=EOÓ 즉,FBED는한쌍의대변이평행하고그길이가같으므로 평행사변형이고,평행사변형FBED는두대각선이서로를 수직이등분하므로마름모이다. 따라서FDÓ=BFÓ=13이므로 FBED=13_12=156 답156

14

전략 평행선과 삼각형의 넓이를 이용하여 △ACD와 넓이가 같은 삼각형을 찾는다. ACÓDEÓ 이므로△ACD=△ACE ABCD=△ABC+△ACD=△ABC+△ACE이므로 35=;2!;_8_5+;2!;_CEÓ_5 ∴CEÓ=6(cm) 답②

15

전략 높이가 같은 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같음을 이용한다. △AMN=_{;3!;△ABD=;3!;_;2!; ABCD} =;6!; ABCD=;6!;_72=12(cmÛ`)