1 ③ 2 ③ 3 9cm 4 5cm 5 ④ 6 ⑤ 7 32cm
꼭
나오는대표 빈출
로 핵심 확인 본문 61쪽1
BCÓDEÓ일때,6 : (6+9)=x : 12이므로 15x=72 ∴x=:ª5¢:
또6 : (6+9)=(14-y) : 14이므로
84=210-15y,15y=126 ∴ y=:¢5ª:
∴x+y=:ª5¢:+:¢5ª:=:¤5¤: 답③
2
③ABÓ : ADÓ=5 : (14-5)=5 : 9ACÓ : AEÓ=6 : 12=1 : 2
따라서ABÓ : ADÓ+ACÓ : AEÓ이므로BCÓDEÓ가아니다.
답③
3
CDÓ=xcm라하면ABÓ : ACÓ=BDÓ : CDÓ이므로 16 : 12=(21-x) : x,4 : 3=(21-x) : x 4x=63-3x,7x=63 ∴x=9∴CDÓ=9(cm) 답9cm
4
△ABC에서AMÓ=MBÓ,ANÓ=NCÓ이므로BCÓ=2MNÓ=2_9=18(cm)
△DBC에서DPÓ=PBÓ,DQÓ=QCÓ이므로
PQÓ=;2!; BCÓ=;2!;_18=9(cm)
∴PRÓ=PQÓ-RQÓ=9-4=5(cm) 답5cm
5
△ABC에서AEÓ=ECÓ,BCÓDEÓ이므로BCÓ=2DEÓ=2_10=20(cm)
또AEÓ=ECÓ,ABÓEFÓ이므로
BFÓ=FCÓ,EFÓ=;2!; ABÓ=;2!;_16=8(cm)
∴FCÓ=;2!; BCÓ=;2!;_20=10(cm)
∴EFÓ+FCÓ=8+10=18(cm) 답④
6
8 : 4=x : 3이므로4x=24 ∴x=6(8+4) : 6=(x+3) : y이므로
12 : 6=9 : y,12y=54 ∴ y=;2(;
∴x+2y=6+2_;2(;=15 답⑤
7
△ABC에서ABÓ : AEÓ=BCÓ : EPÓ이므로(10+6) : 10=BCÓ : 15,10BCÓ=240 ∴BCÓ=24(cm)
이때ACÓ : CPÓ=ABÓ : BEÓ=16 : 6=8 : 3이고
△ACD에서ADÓ : PFÓ=ACÓ : CPÓ이므로
ADÓ : 3=8 : 3,3ADÓ=24 ∴ADÓ=8(cm)
∴ADÓ+BCÓ=8+24=32(cm) 답32cm
1
대표문제 21cm 유제1 8cm 유제2 15cm
유제3 :¢7¥:cm 2
대표문제 9cm 유제4 4cm 유제5 70cm2
유제6 10cm2 3
대표문제 3cm 유제7 10cm 유제8 9cm 4
대표문제 17cm 유제9 32cm 유제10 56cm 5
대표문제 13cm 유제11 15cm 유제12 12cm 6
대표문제 80
7 유제13 12cm 유제14 60cm2
유제15 12cm
이 단원에서 뽑은
고득점 준비 문제
Step 1
본문 62 ~ 67쪽
1
대표문제 △ABC에서BCÓDEÓ이므로ADÓ : ABÓ=DEÓ : BCÓ
ADÓ : 16=15 : 20,20ADÓ=240
∴ADÓ=12(cm)
△ABF에서BFÓDGÓ이므로ADÓ : ABÓ=DGÓ : BFÓ 즉,DGÓ : BFÓ=DEÓ : BCÓ이므로
DGÓ : 12=15 : 20,20DGÓ=180
∴DGÓ=9(cm)
∴ADÓ+DGÓ=12+9=21(cm) 답21cm
유제
1
△ABF에서BFÓDGÓ이므로ABÓ : ADÓ=AFÓ : AGÓ△ABC에서BCÓDEÓ이므로ABÓ : ADÓ=BCÓ : DEÓ
∴AFÓ : AGÓ=BCÓ : DEÓ
AGÓ=xcm라하면
(x+4) : x=(8+7) : 10,10(x+4)=15x
-5x=-40 ∴x=8
∴AGÓ=8(cm) 답8cm
유제
2
△ADC에서CDÓEFÓ이므로AEÓ : ECÓ=AFÓ : FDÓ=5 : 2
△ABC에서BCÓDEÓ이므로
ADÓ : DBÓ=AEÓ : ECÓ=5 : 2
ADÓ : 6=5 : 2,2ADÓ=30
∴ADÓ=15(cm) 답15cm
유제
3
△ABC에서ACÓDEÓ이므로BDÓ : DAÓ=BEÓ : ECÓ=16 : 12=4 : 3
△ABE에서AEÓDFÓ이므로
BFÓ : FEÓ=BDÓ : DAÓ=4 : 3 즉,BEÓ : EFÓ=7 : 3이므로
16 : EFÓ=7 : 3,7EFÓ=48
∴EFÓ=:¢7¥: (cm) 답:¢7¥: cm 2
대표문제 ABÓ : ACÓ=BDÓ : CDÓ이므로
12 : ACÓ=8 : 10,8ACÓ=120
∴ACÓ=15(cm)
CEÓ=xcm라하면
BCÓ : BAÓ=CEÓ : AEÓ이므로
(8+10) : 12=x : (15-x) 3 : 2=x : (15-x)
2x=45-3x,5x=45 ∴x=9
∴CEÓ=9(cm) 답9cm
유제
4
BCÓ=xcm라하면ABÓ : ACÓ=BDÓ : CDÓ이므로 5 : 3=10 : (10-x),5(10-x)=30 10-x=6 ∴x=4
∴BCÓ=4(cm) 답4cm
유제
5
BDÓ : CDÓ=ABÓ : ACÓ=3 : 2이므로△ABD : △ADC=BDÓ : CDÓ=3 : 2
△ABD : 28=3 : 2 ∴△ABD=42(cm2)
∴△ABC=△ABD+△ADC
=42+28=70(cm2) 답70cm2
유제
6
BDÓ : CDÓ=ABÓ : ACÓ=8 : 4=2 : 1이므로BCÓ=CDÓ
∴△ABC=△ACD=10(cm2) 답10cm2
3
대표문제 △BCE에서BFÓ=FEÓ,BDÓ=DCÓ이므로
ECÓFDÓ,ECÓ=2FDÓ
△AFD에서AEÓ=EFÓ,FDÓEGÓ이므로 FDÓ=2EGÓ
따라서ECÓ=2_2EGÓ=4EGÓ이므로 CGÓ=ECÓ-EGÓ=4EGÓ-EGÓ=3EGÓ
∴EGÓ=;3!; CGÓ=;3!;_9=3(cm) 답3cm
유제
7
오른쪽그림과같이AGÓBCÓ가되도ADN
"
# $
%
(
&
' 록DFÓ위에점G를잡으면△DBF에
서DAÓ=ABÓ,AGÓBFÓ이므로
AGÓ=;2!; BFÓ=;2!;_20=10(cm)
△AEG와△CEF에서
∠GAE=∠FCE(엇각),AEÓ=CEÓ,
∠AEG=∠CEF(맞꼭지각)이므로
△AEG≡△CEF(ASA합동)
∴CFÓ=AGÓ=10(cm) 답10cm
유제
8
오른쪽그림과같이BEÓ의중점을F라하ADN
"
# % $
&
' 1
면△BCE에서BDÓ=DCÓ,BFÓ=FEÓ이므로 CEÓDFÓ
DFÓ=;2!; CEÓ=;2!;_12=6(cm)
△AFD에서AEÓ=EFÓ,EPÓFDÓ이므로
PEÓ=;2!; DFÓ=;2!;_6=3(cm)
∴PCÓ=CEÓ-PEÓ=12-3=9(cm) 답9cm
4
대표문제 DFÓ=;2!; BCÓ=;2!;_13=:Á2£: (cm)
DEÓ=;2!; ACÓ=;2!;_11=:Á2Á: (cm)
FEÓ=;2!; ABÓ=;2!;_10=5(cm)
따라서△DEF의둘레의길이는
DFÓ+DEÓ+FEÓ=:Á2£:+:Á2Á:+5=17(cm) 답17cm
유제
9
△ABC에서BEÓ=EAÓ,BFÓ=FCÓ이고,△DAC에서DHÓ=HAÓ,DGÓ=GCÓ이므로
EFÓ=HGÓ=;2!; ACÓ
=;2!;_18=9(cm)
△ABD에서AEÓ=EBÓ,AHÓ=HDÓ이고,
△CDB에서CFÓ=FBÓ,CGÓ=GDÓ이므로
EHÓ=FGÓ=;2!; BDÓ
=;2!;_14=7(cm)
따라서EFGH의둘레의길이는
EFÓ+FGÓ+GHÓ+HEÓ=9+7+9+7=32(cm) 답32cm
유제
10
(△DEF의둘레의길이) =2_(△GHI의둘레의길이)=2_14=28(cm)
∴(△ABC의둘레의길이) =2_(△DEF의둘레의길이)
=2_28=56(cm) 답56cm
5
4 : (4+6)=EPÓ : 10 ∴EPÓ=4(cm)
△DBC에서PFÓBCÓ이므로
PFÓ : BCÓ=DFÓ : DCÓ=AEÓ : ABÓ
PFÓ : 15=6 : (6+4),10PFÓ=90 ∴PFÓ=9(cm)
∴EFÓ=EPÓ+PFÓ=4+9=13(cm) 답13cm
유제
11
△AOD∽△COB(AA닮음)이므로OAÓ : OCÓ=ADÓ : CBÓ=12 : 20=3 : 5
△ABC에서EOÓBCÓ이므로
3 : (3+5)=EOÓ : 20,8EOÓ=60 ∴EOÓ=:Á2°: (cm)
△ACD에서ADÓOFÓ이므로
5 : (5+3)=OFÓ : 12,8OFÓ=60 ∴OFÓ=:Á2°: (cm)
∴EFÓ=EOÓ+OFÓ=:Á2°:+:Á2°:=15(cm) 답15cm
유제
12
△ABC에서AEÓ=EBÓ,EQÓBCÓ이므로 EQÓ=;2!; BCÓ=;2!;_24=12(cm)∴EPÓ=PQÓ=;2!; EQÓ=;2!;_12=6(cm)
△ABD에서AEÓ=EBÓ,ADÓEPÓ이므로
ADÓ=2EPÓ=2_6=12(cm) 답12cm
다른 풀이
△ABC에서EQÓBCÓ이므로
AEÓ : ABÓ=EQÓ : BCÓ,1 : 2=EQÓ : 24
2EQÓ=24 ∴EQÓ=12(cm)
∴EPÓ=PQÓ=;2!; EQÓ=;2!;_12=6(cm)
△ABD에서ADÓEPÓ이므로
BEÓ : BAÓ=EPÓ : ADÓ
1 : 2=6 : ADÓ ∴ADÓ=12(cm)
6
대표문제 △ABE∽△CDE(AA닮음)이므로 AEÓ : CEÓ=ABÓ : CDÓ=8 : 6=4 : 3
△ABC에서BCÓ : BFÓ=ACÓ : AEÓ=7 : 4이므로 14 : x=7 : 4,7x=56 ∴x=8
ABÓ : EFÓ=ACÓ : CEÓ=7 : 3이므로
ABÓ : EFÓ=BCÓ : FCÓ=3 : 2이므로
ABÓ : 8=3 : 2,2ABÓ=24
∴ABÓ=12(cm) 답12cm
유제
14
△ABE∽△CDE(AA닮음)이므로AEÓ : CEÓ=ABÓ : CDÓ=10 : 15=2 : 3
따라서△ABC에서ABÓ : EFÓ=ACÓ : ECÓ=5 : 3이므로 10 : EFÓ=5 : 3 ∴EFÓ=6(cm)
BFÓ : CFÓ=BEÓ : DEÓ=AEÓ : CEÓ=2 : 3이므로
BFÓ : 12=2 : 3 ∴BFÓ=8(cm)
∴△EBC=;2!;_(8+12)_6=60(cm2) 답60cm2
유제
15
△ACB에서EFÓABÓ이므로 ABÓ : EFÓ=BCÓ : CFÓ=3 : 29 : EFÓ=3 : 2,3EFÓ=18 ∴EFÓ=6(cm)
△AFB∽△DFC(AA닮음)이므로
ABÓ : DCÓ=BFÓ : CFÓ=1 : 2 9 : CDÓ=1 : 2 ∴CDÓ=18(cm) 오른쪽그림과같이MNÓ과 CFÓ의교 점을P라하면
MPÓ=;2!; EFÓ=;2!;_6=3(cm) PNÓ=;2!; CDÓ=;2!;_18=9(cm)
∴MNÓ=MPÓ+PNÓ=3+9=12(cm) 답12cm
1 ④ 2 10cm 3 ③,⑤ 4 965 cm5 ⑤
(10+5) : 10=ACÓ : 6,10ACÓ=90 ∴ACÓ=9(cm) ABÓ : ADÓ=BCÓ : DEÓ이므로
(10+5) : 10=BCÓ : 8,10BCÓ=120 ∴BCÓ=12(cm)
" ADN #
따라서△ABC의둘레의길이는
ABÓ+BCÓ+ACÓ=15+12+9=36(cm) 답④
2
전략 △AFD에서 평행선과 선분의 길이의 비를 이용한다.△AFD에서ADÓECÓ이므로 6 : (6+12)=ECÓ : 15,18ECÓ=90
∴ECÓ=5(cm)
∴BEÓ=BCÓ-ECÓ=15-5=10(cm)
답10cm
다른 풀이
△ABE∽△FCE(AA닮음)이므로
BEÓ : CEÓ=ABÓ : FCÓ=12 : 6=2 : 1
∴BEÓ=;3@;_15=10(cm)
3
전략 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비를 확인한다.③ABÓ : ADÓ=(6+9) : 6=5 : 2 ACÓ : AFÓ=(4+6) : 4=5 : 2
따라서ABÓ : ADÓ=ACÓ : AFÓ이므로BCÓDFÓ이다.
⑤△ABC와△ADF에서
∠A는공통,ABÓ : ADÓ=ACÓ : AFÓ
이므로△ABC∽△ADF(SAS닮음) 답③, ⑤
4
전략 마름모는 네 변의 길이가 모두 같은 사각형이다.마름모DFCE의한변의길이를xcm라하면
△ABC에서DEÓBCÓ이므로 AEÓ : ACÓ=DEÓ : BCÓ
(12-x) : 12=x : 8,96-8x=12x ∴x=:ª5¢:
따라서DFCE의둘레의길이는
4_:ª5¢:=:»5¤: (cm) 답:»5¤:cm
5
전략 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비를 이용하여 AEÓ, EFÓ, FCÓ를 AFÓ로 나타낸다.AEÓ : EFÓ=3 : 1이므로AEÓ=;4#; AFÓ,EFÓ=;4!; AFÓ
△ABF에서BFÓDEÓ이므로 ADÓ : DBÓ=AEÓ : EFÓ=3 : 1
△ABC에서BCÓDFÓ이므로 AFÓ : FCÓ=ADÓ : DBÓ=3 : 1
∴FCÓ=;3!; AFÓ
∴AEÓ : EFÓ : FCÓ=;4#; AFÓ : ;4!; AFÓ : ;3!; AFÓ=9 : 3 : 4
답⑤
6
전략 ADÓ가 ∠A의 이등분선이므로 ABÓ : ACÓ=BDÓ : CDÓ이다.△ABC에서ADÓ는∠A의이등분선이므로 BDÓ : CDÓ=ABÓ : ACÓ=6 : 14=3 : 7
△BDE와△CDF에서
∠BED=∠CFD=90ù,∠BDE=∠CDF(맞꼭지각) 이므로△BDE∽△CDF(AA닮음)
따라서BDÓ : CDÓ=DEÓ : DFÓ이므로
3 : 7=DEÓ : 3,7DEÓ=9 ∴DEÓ=;7(; (cm) 답;7(;cm
7
전략 BEÓ는 ∠B의 이등분선이므로 ABÓ : BCÓ=AEÓ : CEÓ이 고 DFÓ는 ∠D의 이등분선이므로 ADÓ : DCÓ=AFÓ : FCÓ이다.△ABC에서BEÓ는∠B의이등분선이므로
ABÓ : BCÓ=AEÓ : CEÓ,12 : 18=AEÓ : (15-AEÓ) 18AEÓ=180-12AEÓ,30AEÓ=180 ∴AEÓ=6(cm)
△ACD에서DFÓ는∠D의이등분선이므로 ADÓ : DCÓ=AFÓ : FCÓ,18 : 12=(15-CFÓ) : CFÓ 18CFÓ=180-12CFÓ,30CFÓ=180 ∴CFÓ=6(cm)
∴EFÓ=ACÓ-AEÓ-CFÓ=15-6-6=3(cm) 답3cm
8
전략 △ABC와 △ADC의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같다.BEÓ가∠B의이등분선이므로
BCÓ : BAÓ=CEÓ : AEÓ=8 : 8=1 : 1
∴BAÓ=BCÓ=20(cm) CDÓ가∠C의이등분선이므로 ADÓ : BDÓ=CAÓ : CBÓ=16 : 20=4 : 5
따라서△ABC : △ADC=ABÓ : ADÓ=9 :4이므로
△ADC=;9$;△ABC=;9$;_144=64(cm2) 답②
9
전략 ADÓ가 ∠A의 외각의 이등분선임을 이용하여 x의 값을 구하고, 삼각형에서 평행선과 선분의 길이를 이용하여 y의 값 을 구한다.ADÓ는∠A의외각의이등분선이므로 ABÓ : ACÓ=BDÓ : CDÓ
15 : 9=(12+x) : x,15x=108+9x 6x=108 ∴x=18
△ABD에서ADÓECÓ이므로
BEÓ : BAÓ=BCÓ : BDÓ
y : 15=12 : (12+18), y : 15=2 : 5 5y=30 ∴ y=6
∴x+y=18+6=24 답24
10
전략 삼각형의 각의 이등분선의 성질을 이용하여 DEÓ의 길 이를 구한다.CDÓ=xcm,CEÓ=ycm라하면 ADÓ가∠A의이등분선이므로
ABÓ : ACÓ=BDÓ : CDÓ
10 : 6=(8-x) : x,10x=48-6x 16x=48 ∴x=3
AEÓ가∠A의외각의이등분선이므로 ABÓ : ACÓ=BEÓ : CEÓ
10 : 6=(8+y) : y,10y=48+6y 4y=48 ∴y=12
따라서DEÓ=3+12=15(cm)이므로
△ADE=;2!;_DEÓ_ACÓ=;2!;_15_6=45(cm2)
답45cm2
11
전략 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 한 변 과 평행하고, 그 길이는 나머지 한 변의 길이의 ;2!; 이다.△ABD에서AMÓ=MDÓ,BPÓ=PDÓ이므로 MPÓ=;2!; ABÓ,ABÓMPÓ
∴∠MPD=∠ABD=40ù(동위각)
△BCD에서BNÓ=NCÓ,BPÓ=PDÓ이므로 PNÓ=;2!; DCÓ,PNÓDCÓ
∴∠BPN=∠BDC=70ù(동위각)
∠DPN=180ù-70ù=110ù이므로
∠MPN=40ù+110ù=150ù 이때ABÓ=DCÓ이므로
MPÓ=;2!; ABÓ=;2!; DCÓ=PNÓ
따라서△PNM은이등변삼각형이므로
∠PNM=;2!;_(180ù-150ù)=15ù 답15ù
12
전략 삼각형의 한 변의 중점을 지나고 다른 한 변에 평행한 직선은 나머지 한 변의 중점을 지난다.△ABC에서AMÓ=MBÓ,MNÓBCÓ이므로 BCÓ=2MNÓ=2_7=14(cm)
△BCD에서DQÓ=QCÓ,PQÓBCÓ이므로 PQÓ=;2!; BCÓ=;2!;_14=7(cm)
∴PRÓ=PQÓ-RQÓ=7-4=3(cm) 답3cm
13
전략 △BCE에서 BDÓ=DCÓ이고, △ADF에서 AGÓ=GDÓ임 을 이용한다.△BCE에서BDÓ=DCÓ,BEÓDFÓ이므로
BEÓ=2DFÓ=2_8=16(cm)
△ADF에서AGÓ=GDÓ,GEÓDFÓ이므로 GEÓ=;2!; DFÓ=;2!;_8=4(cm)
∴BGÓ=BEÓ-GEÓ=16-4=12(cm) 답③
14
전략 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질과 삼각형 의 합동을 이용한다.ADÓ=DBÓ,AFÓ=FCÓ이므로DFÓ=;2!; BCÓ BEÓ=ECÓ,BDÓ=DAÓ이므로DEÓ=;2!; ACÓ CEÓ=EBÓ,CFÓ=FAÓ이므로FEÓ=;2!; ABÓ
따라서△ADF≡△DBE≡△FEC≡△EFD(SSS합동)이 므로
△DEF=;4!; △ABC=;4!;_64=16(cm2) 답16cm2
15
전략 ADÓBCÓ, AMÓ=MBÓ, DNÓ=NCÓ이므로 ADÓMNÓBCÓ이다.ADÓBCÓ,AMÓ=MBÓ,DNÓ=NCÓ이므로
ADÓMNÓBCÓ
△ABD에서AMÓ=MBÓ,ADÓMPÓ이므로 MPÓ=;2!; ADÓ=;2!;_12=6(cm)
∴MQÓ=MPÓ+PQÓ=6+3=9(cm)
△ABC에서AMÓ=MBÓ,MQÓBCÓ이므로
BCÓ=2MQÓ=2_9=18(cm) 답18cm
16
전략 lmn이므로 평행선 사이에 있는 선분의 길이의 비 를 이용한다.ADN
ADN ADN
ADN
ADN YADN
BADN N
O M
위의그림에서lmn이므로
(2+a) : 6=4 : 5,10+5a=24 ∴a=:Á5¢:
따라서3 : x=2 : {:Á5¢:+6}이므로 3 : x=2 : :¢5¢:,2x=:Á;5#:@; ∴x=:¤5¤:
∴5x=5_:¤5¤:=66 답66
17
전략 점 A를 지나고 DFÓ에 평행한 직선을 그어 평행선 사이 에 있는 선분의 길이의 비를 이용한다.오른쪽그림과같이점A를
YADN
YADN
YADN
N O
" % M
# ( &
$ ) '
지나고DFÓ에평행한직선을
그어두직선m,n이만나는
점을각각G,H라하자.
ADÓ=xcm라하면 GEÓ=HFÓ=ADÓ=xcm,
BGÓ=(13-x)cm,CHÓ=(15-x)cm
△ACH에서BGÓCHÓ이므로 ABÓ : ACÓ=BGÓ : CHÓ
3 : (3+2)=(13-x) : (15-x) 45-3x=65-5x,2x=20 ∴x=10
∴ADÓ=10(cm) 답⑤
3 : 4=IKÓ : 4 ∴IKÓ=3(cm)
∴IJÓ=IKÓ+KJÓ=3+8=11(cm) 답11cm
19
전략 PQÓ의 연장선과 ABÓ의 교점을 잡은 후 평행선 사이에BPÓ=;5@; BDÓ에서5BPÓ=2BDÓ
∴BPÓ : BDÓ=2 : 5 이때EQÓBCÓ이므로
DPÓ : DBÓ=AQÓ : ACÓ=EQÓ : BCÓ 3 : 5=EQÓ : 24,5EQÓ=72
∴EQÓ=:¦5ª: (cm)
또△ABD에서ADÓEPÓ이므로BPÓ : BDÓ=EPÓ : ADÓ 2 : 5=EPÓ : 20,5EPÓ=40 ∴EPÓ=8(cm)
∴PQÓ=EQÓ-EPÓ=:¦5ª:-8=:£5ª: (cm) 답:£5ª:cm
IGÓ=;2!; JHÓ=;2!;_6=3
∴CGÓ=CIÓ+IGÓ=55+3=58
또,AEÓ의연장선과JFÓ의연장선의교점을K라하면
△FIG≡△FKE(ASA합동)이므로EKÓ=IGÓ=3
∴AEÓ=AKÓ-EKÓ=55-3=52
∴CGÓ+AEÓ=58+52=110 답110
다른 풀이
오른쪽 그림과 같이 사다리의 발판
$#" 1 %&' 양끝점을각각A,B,C,D,E,F
라하자.
△ACD에서BPÓ=;2!; ADÓ
△DCF에서PEÓ=;2!; CFÓ
∴BEÓ=BPÓ+PEÓ=;2!; ADÓ+;2!; CFÓ=;2!; (ADÓ+CFÓ)
∴ADÓ+CFÓ=2BEÓ=110
BQÓ=;5$; BCÓ=;5$;_7a=:ª5¥: a
△PRS∽△QRB(AA닮음)이고
닮음비는PSÓ : BQÓ=4a : :ª5¥:a=5 : 7이므로
△PBR : △PRS=BRÓ : SRÓ=BQÓ : PSÓ
△PBR : 40=7 : 5
∴△PBR=56(cm2) 답56cm2
2
AEÓ : ECÓ=4 : 5이므로AEÓ=;9$; ACÓ=;9$;_18=8(cm)
△ABE에서AFÓ가∠A의이등분선이므로 BFÓ : EFÓ=ABÓ : AEÓ=12 : 8=3 : 2
∴△ABF=;5#;△ABE
=;5#;_;9$;△ABC
=;1¢5;△ABC
따라서△ABF의넓이는△ABC의넓이의;1¢5; 배이다.
답;1¢5; 배
3
오른쪽그림과같이FEÓ를그으면# % & $
"
' 1 2
△ADC에서AFÓ=FCÓ,DEÓ=ECÓ 이므로
ADÓFEÓ,ADÓ=2FEÓ
△BEF에서BDÓ=DEÓ,PDÓFEÓ이므로
FEÓ=2PDÓ,BPÓ=PFÓ yy㉠
따라서PDÓ=a라하면 FEÓ=2a,ADÓ=4a
∴APÓ=ADÓ-PDÓ=4a-a=3a 이때△APQ∽△EFQ(AA닮음)이고
닮음비는APÓ : EFÓ=3a : 2a=3 : 2이므로 PQÓ : FQÓ=3 : 2 yy㉡
㉠,㉡에서
BPÓ : PQÓ : QFÓ=5 : 3 : 2 답5 : 3 : 2
4
오른쪽그림과같이DEÓ를그으면# '
1
$
%
"
&
ADÓ=DBÓ,AEÓ=ECÓ이므로 BCÓDEÓ,DEÓ=;2!; BCÓ BFÓ : FCÓ=1 : 2에서 BFÓ=;3!; BCÓ이므로
DEÓ : BFÓ=;2!; BCÓ : ;3!; BCÓ=3 : 2 이때△PED∽△PBF(AA닮음)이고 DPÓ : FPÓ=DEÓ : BFÓ=3 : 2이므로
△BPD:△BFP=3 : 2 36 : △BFP=3 : 2
∴△BFP=24 답③
다른 풀이
오른쪽그림과같이APÓ,PCÓ를
# '
1
$
%
"
&
그으면
△BPA=2△BPD,
△BCP=3△BFP yy㉠
이때△BEA=△BCE,
△PEA=△PCE이므로
△BPA=△BCP yy㉡
㉠,㉡에서
2△BPD=3△BFP
∴△BFP=;3@;△BPD=;3@;_36=24
5
AEÓ : ABÓ=1 : x,EPÓ=PQÓ=QFÓ=acm로놓으면△ABC에서AEÓ : ABÓ=EQÓ : BCÓ 1 : x=2a : 30
∴ax=15 yy㉠
△ABD에서BEÓ : ABÓ=EPÓ : ADÓ (x-1) : x=a : 12
∴ax=12x-12 yy㉡
㉠을㉡에대입하면15=12x-12 ∴x=;4(;
x=;4(; 를㉠에대입하면 a=15_;9$;=:ª3¼:
∴PQÓ=:ª3¼: (cm)
△OAD»△OQP(AA닮음)이고닮음비는
ADÓ : QPÓ=12 : :ª3¼:=9 : 5 답9 : 5