Ch. 10
벡터적분법 . 적분정리
적분을 곡선 ( 선적분 ), 면 ( 면적분 ), 고체에 대한 적분으로 확장
:
고체역학 , 유체흐름 , 열역학에서 공학적 기본 응용으로 활용
적분의 변환은 계산을 간단히 하거나 , 유용한 일반적인 공식을 얻기 위해 수행
예 . 퍼텐셜 이론 (Potential Theory)
적분변환 공식
선적분의 개념 : 미적분학에서 공부한 정적분의 간단한 일반화
•
선적분 (Line Integral) 또는 곡선적분 (Curve Integral)
:
피적분함수 (Integrand) 를 공간 ( 혹은 평면 ) 내의 곡선을 따라 적분 .
•
적분경로 (Path of Integration) : 곡선
일반적인 가정
:
선적분의 모든 적분경로를 구분적으로 매끄럽다 (Piecewise Smooth)
선적분의 정의와 계산
곡선 C : r(t) 에서 벡터함수 F(r) 의 선적분 :
10.1
선적분
t
x
t
, y
t
, z
t
x
t
y
t
z
t
a
t
b
C
:
r
i
j
k
'
' b C a d d t t dt dt
F r r
F r r r r
b a C C dt z F y F x F dz F dy F dx F dr 1 2 3 1 ' 2 ' 3 ' r F Ex.1 평면에서 선적분의 계산 이고 C 가 A 에서 B 까지의 원호일 때 선적분의 값을 구하라
10.1
선적분
< Example 1 >
y, xy
y xy F r i j
2
0cos sin cos sin 0 2
cos , sin
sin cos sin
' sin cos sin cos
sin cos sin sin cos
C C t t, t t t , tπ x t t y t t t y t x t y t t t t t t, t t t d t, t t t, t dt
r i j F r i j i j r i j F r r 를로 표현
0
2 2 2 2 2 0 0 1 1 1sin cos sin 1 cos 2 0 0.4521
2 4 3
t t t dt t dt u du
선적분의 일반적인 성질
방향을 유지하는 매개변수변환
:
경로 C 상에서 같은 양의 방향을 가지는 C 의 어떤 표현식에서도 선적분은 같은
값을 가진다 .
10.1
선적분
1 2C C C C C C C C
k
d
k
d
k
d
d
d
d
d
d
F
r
F
r
F G
r
F
r
G
r
F
r
F
r
F
r
는 상수
Ex.3 변하는 힘에 의해 행하여진 일 • 직선분 d 를 따른 변위에서 일정한 힘 F 에 의한 일 이다 . • 곡선 C : r(t) 를 따르는 변위에서 힘 F 가 변할 때 , 행해진 일 W 는 C 의 작은 현을 따른 변위에서 행해진 일의 합의 극한으로 정의할 수 있다 . • 선적분으로 W 를 정하는 것과 같다 .
10.1
선적분
W F d Ex.4 행해진 일은 운동에너지에서 증가와 같다 . F가 힘으면 선적분은 일이다 . t 를 시간이라 하면 는 속도이다 .
10.1
선적분
2 ' 2 2 b C a t b b b t a a a W d t t dt m Newton m '' t m ' t W m ' t t dt m dt
F r F r v v v F r v v v v 의 제2법칙 d dt r v
선적분의 다른 형식
값이 벡터인 선적분 :
Ex.510.1
선적분
1
, 2
, 3
b b C a a dt t dt F t F t F t dt
F r
F r
r r r
xy, yz,z
. F r 나선을 따라서를 적분하라
2
2 0 2 2 2 0 6 , 6 , 0 2 3 , cos 3 sin 3 , cos 2 1
Fr t dt t t t t t
경로 관련성
선적분은 일반적으로 피적분함수와 경로의 끝점과 관련이 있을 뿐 아니라 적분이
취해지는 경로 그 자체와도 관련이 있다 .
Ex10.1
선적분
< Proof of Theorem 2 >
2 1 1 2 2 0 t 1에서 직선과 포물선을 취해서C :r t t, t, 0 C :r t t, t , 0
2 1 5 2 2 ' 3 1 ' 2 2 4 2 2 1 1 2 1 1 C C d t t t d t t t r r F r r F r r F r r F
0, xy, 0
. F 를 적분해보자
경로 무관성
•
공간의 영역 D 에서 가 연속인 선적분은 만약 가 어떤 함수 f 의
기울기이면 영역에서 경로에 무관하다 .
•
영역 D 의 모든 닫힌 곡선에서 선적분의 적분값이 0 이면 , 적분은 영역 D 에서 경로
무관하다 .
•
미분형식 가 영역 D 에서 연속적인 계수함수 를 가지고
완전하면 , 선적분은 영역 D 에서 경로 무관하다 .
완전 (Exact)
영역 D 의 모든 곳에서 미분가능한 함수 f 가 존재하여 의 관계가 성립
10.2
선적분의 경로 무관성
B 1 2 3 1 2 3 grad , , A f f f f F F F F dx F dy F dz f B f A x y z
F d df F r 1 2 3 F , F , F F
F , F , F1 2 3
1 2 3 d F dx F dy F dz F r F , F , F1 2 3 Ex.1 경로 무관성 적분 가 임의 영역에서 경로 무관함을 보이고 A:(0,0,0)에서 B:(2,2,2) 까지 적분값을 구하라 . 따라서 적분은 경로와 무관하다 .
10.2
선적분의 경로 무관성
2 2 2 1 2 3 2 2 , 4zx, y grad f f 2x F, f 2y F , f 4z F f x y 2z x y z F
2 2 4
C xdx ydy zdz
2 2 4
2, 2, 2
0, 0, 0
4 4 8 16 C xdx ydy zdz f B f A f f
완전성과 경로 무관성에 대한 판별기준
선적분 에서
가 영역에서 연속적이고 , 연속적인 일차편미분도함수를 가진다고 하자 .
•
미분형식 이 완전
•
curlF = 0
이 성립하고 D 가 단순연결 은 완전
⇒ 선적분은 경로에 무관하다 .
10.2
선적분의 경로 무관성
1 2 3
C C d F dx F dy F dz
F r r
3 2 1 3 2 1 curl F F , F F , F F y z z x x y F 0 즉, 1 2 3 Fdr F dx F dy F dz 1 2 3 F , F , F 1 2 3 d F dx F dy F dz F r Ex.3 완전성과 경로 무관성 . 퍼텐셜 결정 적분기호 내의 미분형식이 완전함을 보여라 . 이 적분은 완전하며 , 경로 무관하게 된다 . 그리고 A:(0,0,0) 에서 B:(1,π/4,2) 까지의 적분 I 의 값을 구하라 . 완전성 :
10.2
선적분의 경로 무관성
2 2 2 2 2 cos 2 cos C I
xyz dx x z z yz dy x yz y yz dz
F y x z yz yz yz
F z
F z xyz
F x
F x xz2
F1 y 2 3 1 2 2 3 2 cos sin , 4 , 2
2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 2 2 cos sin , 2 2 0 2 cos ' 2 cos ' 0 sin x x x z f f F dy x z z yz dy x yz yz g x z f xyz g F xyz g g h z f x yz y yz h F x yz y yz h h f x yz
를 구하기 상수
, 1 4 sin 0 1 4 2 yz f B f A Ex.4 단순연결성 가정에 대하여 만약 적분 I 가 D 에서 경로에 무관하면 D 의 임의 닫힌 곡선에서 I=0 이다 . 따라서 D 가 단순연결이 아니므로 , D 에서 I 가 경로무관하다는 결론을 내릴 수 없다 .
10.2
선적분의 경로 무관성
1 2 2 2 2 2 3 1 2 2 2 , , 0 , . C C y x F F F x y x y ydx xdy I F dx F dy x y
일 때 을 구하여 경로 무관성을 관찰하자
2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , . F x y x x y x F x y y y y x D x x y x y y x y x y 이므로 미분형식이에서 완전하다 2 2 2 0, cos , sin , 1 sin , cos
sin cos 2 1 x r y r r dx d dy d d ydx xdy d d d I
그러나 반시계 방향 적분
이중적분 : 피적분함수를 평면의 닫힌 유한한 영역에서 적분
영역 R 을 x 축과 y 축에 평행한 직선을 그어 분할한다 .
f (x,y)
가 R 에서 연속이고 R 이 유한개의 매끄러운 곡선을 경계로 한다고 가정
⇒ 수열 이 수렴 , 극한을 영역 R 에서의 f (x,y) 의 이중적분 (Doubld Integral) 이라
한다 .
10.3
미적분학 복습 : 이중적분
< Subdivision of a region R >
1.
k k n n k k k k k
x , y
J
f x , yΔA
ΔA
k
각 직사각형 내의 한 점
을 택하여
와 같은 형태의 합을 만든다
는번째 직사각형의 면적
n J
이중적분의 성질
•
이중적분에 대한 평균값 정리 (Mean Value Theorem)
R
이 단순연결되었으면
을 만족하는 점 가 적어도 하나 R 에 존재한다 .
A
는 R 의 면적이다 .
10.3
미적분학 복습 : 이중적분
< Formula >
x y0, 0
1 2R R R R R R R R
kf dxdy k
f dxdy
f
g dxdy
f dxdy
gdxdy
f dxdy
f dxdy
f dxdy
,
0, 0
R f x y dxdy f x y A
연속적인 두 적분에 의한 이중적분의 계산
•
•
10.3
미적분학 복습 : 이중적분
< Evaluation of a double integral >
< Evaluation of a double integral >
dx
dy
y
x
f
dxdy
y
x
f
b a x h x g R
,
,
dy dx y x f dxdy y x f d c y q y p R
, ,
이중적분의 응용
•
영역 R 의 면적 :
•
z = f (x,y)(>0)
아래의 xy 평면 영역 R 위로 이루어지는 체적
:
•
f (x,y) : xy
평면에서 질량분포의 밀도 (= 단위 면적당 질량 )
* R
에서 전체 질량 :
* R
에서 질량의 무게중심 (Center of Gravity) :
* R
에서 질량의 관성모멘트 (Moments of Inertia) :
* R
에서 질량의 극관성 모멘트 (Polar Moments of Inertia) :
10.3
미적분학 복습 : 이중적분
< Double integral as volume >
R
A
dxdy
RV
f x, y dxdy
R M
f x, y dxdy
2 2
0 x y R I I I
x y f x, y dxdy
2 , 2 x y R R I
y f x, y dxdy I
x f x, y dxdy
1 1 , R R x xf x, y dxdy y yf x, y dxdy M M
이중적분에서 변수변환 . Jacobian
•
이중적분에서 x, y 에서 u, v 로의 변수 변환공식
•
극좌표계 r 과 θ 로서 , x = rcosθ, y = rsinθ
10.3
미적분학 복습 : 이중적분
u
y
v
x
v
y
u
x
v
y
u
y
v
x
u
x
v
u
y
x
J
,
,
:
Jacobian
* , : , , , , , R R x y f x y dxdy f x u v y u v dudv u v
* cos sin , sin cos , , cos , sin R R r x y J r r r f x y dxdy f rθrθrdrd
Ex.1 정사각형 R 에서 아래의 이중적분을 계산하라 . R의 모양으로부터 변화 R은 정사각형
10.3
미적분학 복습 : 이중적분
< Region R in Example 1 >
2 2
R x y dxdy
1 1 : , , 2 2 1 1 , 2 2 1 1 1 , 2 2 2 x y u x y v x u v y u v x y J u v
2 2
2 2
2 2
0 0 1 1 8 2 2 3 R x y dxdy u v dudv
0 u 2, 0 v 2
평면에서 Green 의 정리 ( 이중적분과 선적분 간의 변화 )
R : xy
평면에서의 닫힌 유계영역
C :
유한개의 매끄러운 곡선으로 영역 R 의 경계
: R
을 포함하는 어떤 영역의 모든 점에서 연속이고
연속인 편도함수 를 갖는 함수
적분의 방향 : C 를 따라 진행할 때 R 이 좌측에 있는 방향
10.4
평면에서의 Green 의 정리
2 1 1 2 R C F F dxdy F dx F dy x y
i
j
F
k
F
r
F
F
F
F
F
dxdy
d
C R
1,
2 1 2
curl
1 , , 2 , F x y F x y 1, 2 F F y x Ex.1 평면에서 Green 정리 검증
10.4
평면에서의 Green 의 정리
2 1 2 2 2 7 , 2 2 , : 1 F y y F xy x C x y 원
2 1 : 2 2 2 7 9 9 R R R F FR dxdy y y dxdy dxdy
x y
원판의 면적
2 2 1 2 2 2 1 2 0: cos sin , sin cos
7 sin 7sin 2 2 2cos sin 2cos
sin 7sin sin 2 cos sin cos cos
π C C t t , t ' t t , t F y y t t, F xy x t t t F x' F y' dt t t t t t t t dt
r r
반시계 방향
2 3 2 2 2 0sin 7sin 2cos sin 2 cos
0 7 0 2 9 π t t t t t dt π -ππ
Ex.2 경계에서 선적분으로서의 평면 영역의 면적
Green
정리 응용
Ex.3 극좌표계에서 평면 영역의 면적10.4
평면에서의 Green 의 정리
R C R C ydx dxdy F y F xdy dxdy x F F 0 , , 0 2 1 2 1
C ydx xdy A 2 1
C C C dθ r d r dr r d r dr r ydx xdy A d r dr dy d r dr dx r y r x 2 2 1 sin cos sin cos sin cos 2 1 2 1 cos sin , sin cos sin , cos Ex.4 함수의 라플라스 작용소 (Laplacian) 인 이중적분의 법선도함수 선적분으로 변환
10.4
평면에서의 Green 의 정리
1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 , : , , , R R w x y w w F F y x F F w w F F w dxdy wdxdy x y x y x y w dy w dx w w dy x ds y ds x y ds
연속적이고 1차와 2차의 연속적인 도함수를 가지는 함수
1 2
1 2 2 grad C C C C C R C dx w w ds n dx dy w dx w dy w dx w dy w F dx F dy F F ds ds ds ds ds ds y ds x ds y ds x ds n w wdxdy ds n
n
곡면의 표현식 :
곡면 S 의 매개변수 표현식
10.5
면적분에서의 곡면
< Parametric representation of a curve > < Parametric representation of a surface >
, ,
0 z f x, y 또는 g x y z
,
, ,
, ,
,
,
,
,
,
u v
x u v y u v z u v
x u v
y u v
z u v
u v
R
r
i
j
k
Ex.1 원기둥의 매개변수 표현 반지름이 a 이고 높이는 2 이며 z 축을 축으로 하는 원기둥 : 매개변수표현식 : * 매개변수 u 와 v 는 uv 평면의 직사각형 에서 변함 * r의 성분 : * 곡선 v= 상수 : 평행한 원들 * 곡선 u= 상수 : 수직인 직선들
10.5
면적분에서의 곡면
< Parametric representation of a cylinder >
2 2 2 1 1
x y a , z
u,v
acos , sin ,u a u v
acosu asinu vr i j k
cos sin
x a u, y a u, z v
Ex.2 구의 매개변수 표현
10.5
면적분에서의 곡면
< Parametric representation of a sphere >
2 2 2 2
: , cos cos cos sin sin
x y z a u v a v u a v u a v r i j k 구의 매개변수표현식
: u v, acos sinu v asin sinu v acosv
다른 매개변수표현식 r i j k 2 2 , 2 0 : u v R
접평면과 곡면법선
•
접평면 (Tangent Place)
:
곡면의 한 점을 통과하는 모든 곡선의 접선벡터들이 형성하는 곡면
•
법선벡터 (Normal Vector) : 접평면에 수직인 벡터
10.5
면적분에서의 곡면
< Tangent plane and normal vector >
: : ' ' ' S u,v S C : t u t ,v t d d d S C t u v dt du dv r r r r r r r r 곡곡 곡곡 곡곡 곡곡곡곡 곡곡곡곡 : u v u v u v P P S P S P S r r r r N r r 0 에서 편도함수와는에서에 접하게 됨 와는에서에 접평면 생성에서에 법선벡터
1 1 : 1 0 grad grad u v u v S : g x, y,z g g n N r r N r r n 법선벡터의 단위벡터
접평면과 곡면법선
곡면 S 는 와 에 의해 생성되는 유일한 접평면을 가지며 , S 의 점들에서 방향이
연속적인 유일한 법선 벡터를 가진다 .
Ex.4 구의 단위법선벡터
10.5
면적분에서의 곡면
u v
r
r
2 2 2 2
g x y z, , x y z a 0 : x y z, , x y z, , x y z a a a a a a n i j k 구의 단위법선벡터
면적분
10.6
면적분
: , , : S R S dA u v u v dudv dA dudv dudv
F F n F r N n n N N F n F 벡터함수에 대해 에서 면적분 의 법선성분
: S r u,v x u,v y u,v z u,v, , x u,v iy u,v jz u,v k .
곡면 는 구분적으로 매끄럽다 : 1 1 : u u v u v N r r n N r r N r r 법선벡터 단위법선벡터
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3, , , , , , cos ,cos ,cos , ,
cos cos cos
S S
R S
F F F N N N
dA F F F dA
F N F N F N dudv F dydz F dzdx F dxdy
F N n n F n 는과 좌표축 사이의 각도 Ex.1 곡면을 통과하는 유출량 포물 기둥면 을 통과하는 물의 유출량을 계산하라 . 속도벡터 이고 , 속도는 로 측정된다 .
10.6
면적분
< Surface S in Example 1 > 2 meter 3z , , xz6 6 set v F
6 6 0 , 1 , 2 1 , 0 , 0 0 , 2 , 1 6 , 6 , 3 , 3 0 , 2 0 , 2 2 2 2 2 uv S u u uv v S v u ,v u,u S : u x y v z u x v u N F r r N F r
6 6 3 6 12 12 4 12 72 m sec 3 3 0 3 3 0 2 3 0 2 0 2 2 3 0 2 0 2 v u S v v dv v dv u v u dudv uv dA n F
3 4 2 3 3 2 2 2 3 0 0 0 0 0 0cos ,cos ,cos 2 , 1, 0 2 , 1, 0 cos 0, cos 0, cos 0
3 6 4 3 6 3 4 3 6 3 2 72 S u x dA z dydz dzdx z dz dx
N N n N F n 다른 해법 2 0 2 0 3 S : y x , x , z
곡면의 방향
•
방향의 변경 : n 을 – n 으로 대체하는 것은 면적분에 -1 을 곱하는 것관 일치한다 .
•
매끄러운 곡면은 방향을 가질 수 있다 (Orientable).
•
구분적으로 매끄러운 곡면도 방향을 가질 수 있다 .
10.6
면적분
(A) Smooth surface (B) Piecewise smooth surface < Orientation of a surface >
•
매끄러운 곡면의 충분히 작은 조각도 항상 방향을 가진다 . 그러나 전체 곡면에 대해
서
는 성립하지 않을 수도 있다 . 예 . 뫼비우스의 띠
< Möbius strip >
방향을 고려하지 않는 면적분
•
면적분의 다른 형식 :
•
S
의 면적 :
10.6
면적분
2 2 2 2 * : , 1,0, 0,1, , ,1 1 , , , 1 u v u v u v u v S R S z f x y f f f f f f f f G dA G x y f x y dxdy x y
N r r r
2 2 * : , 1 R f f S z f x y A S dxdy x y
,
, S R G dA G u v u v dudv
r
r N
u v S R A S
dA
r r dudv Ex.4 구의 면적
10.6
면적분
r u v, acos cos , cos sin , sin , 0v u a v u a v u 2 , 2 v 2 . 구에 대해, 직접 계산하여라
2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 1 2 2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 cos 2 cos cos sin cos sin cos cos cos 1 sin cos , 1 sin cos sin cos , sin cos , cos cos a vdv a dudv v a S A v a v v u v u v a v v u u v v a u v a u v a v u v u r r r r
삼중적분 : 공간의 닫힌 유한한 영역에서 함수의 적분
좌표평면 ( 삼차원 ) 에 평행한 평면으로 T 를 분할한다 .
각 상자에서 한 점 을 택하여
f (x,y,z)
가 T 를 포함하는 영역에서 연속이고
T
는 유한개의 매끄러운 곡선에 의해 제한된다고 가정
⇒ 수열 이 수렴 , 극한을 영역 T 에서의 f (x,y,z) 의 삼중적분이라 한다 .
10.7
삼중적분 . Gauss 의 발산정리
1,
.(
:
)
n n k k k k k kJ
f x , y zΔVΔV
k
와 같은 형태의 합을 만든다번째 상자의 부피
nJ
x , y z
k k,
k
Gauss
의 발산정리 ( 삼중적분과 면적분 간의 변환 )
T :
닫혀있고 유한한 입체
S :
경계가 구분적으로 매끄러우며 방향을 가지는 곡면으로 T 의 표면
F :
연속이며 T 를 포함하는 영역에서 연속인 1 차 편도함수를 가지는 벡터함수
10.7
삼중적분 . Gauss 의 발산정리
1 2 3 3 1 2 1 2 3 1 2 3, , S cos , cos , cos
cos cos cos
T S S
F F F
F
F F
dxdydz F F F dA F dydz F dzdx F dxdy
x y z
F 이고의 외향 법선벡터이면ndiv
T SdV
dA
F
F n
Ex.1 발산정리에 의한 면적분의 계산 다음 적분을 계산하라 .
10.7
삼중적분 . Gauss 의 발산정리
< Surface S in Example 1 >
3 2 2 2 2 2 2 2 2 : 0 0 SI x dydz x ydzdx x zdxdy
S x y a z b z z b x y a
원기둥와 원판과으로 이루어진 닫힌 표면
3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 2 0 0 0 2 4 4 2 4 0 0 0 , , div 3 5 cos , sin 5 5 cos 5 5 cos 5 4 4 4 b a T z r b b z z F x F x y F x z x x x x x r y r dxdydz rdrd dz I x dxdydz r rdrd dz a a d dz dz a b
F 극좌표적용
발산의 좌표계 불변
•
삼중적분의 평균값 정리
유한하고 단순연결된 영역 T 의 연속함수 f (x,y,z) 에 대해 , T 에서
만족하는 점 가 있다 .
•
발산의 불변
영역에서 1 차 편도함수가 연속인 벡터함수의 발산은 직각 좌표계의 특별한 선택에
독립이다 .
10.7
삼중적분 . Gauss 의 발산정리
x , y , z0 0 0
0 0 0
:
T f x, y, z dV f x , y , z V T V T
T의 체적
Ex. 1 유체흐름 . 발산의 물리적 해석 발산정리로부터 벡터의 발사에 대한 직관적 해석을 얻을 수 있다 . 이를 위해 상수의 밀도 ρ=1을 가지는 비압축성 유체의 일정한 흐름을 고려해 보자 . * 흐름은 임의의 점 P 에서의 속도벡터장 v(P) 에 의해서 결정 * S : 공간상의 영역 T 의 경계면 * n : S의 외향 단위 법선벡터 1. 단위시간당 S 를 통하여 T 로부터 외부로 흐르는 유체의 전체질량 : 2. T의 외부로 흐르는 평균유출량 : * 비압축성 장상류의 속도벡터 v 의 발산은 대응점에서의 그 흐름의 발생강도 * T 내의 발생점이 없을 필요충분조건 : divv = 010.8
발산정리의 응용
1 S dA V
v n
0 1 lim div 0
V T dA dA P S T S T d v n v n v S dA
v n Ex.2 열전도 모델화 . 열전도 방정식 혹은 확산 방정식 물리적 실험에서는 물체에서 열은 온도가 감소하는 방향으로 전도되며 , 전도율은 온도의 기울기 에 비례한다는 것을 증명한다 . 이것은 물체에서 열전도 속도 v 가 다음의 식과 같음을 의미한다 . 이러한 정보를 이용하여 열전도 방정식 혹은 확산 방정식이라고 불리는 열전도에 대한 수학적 모델을 세워라 . 1. 단위 시간당 T 로부터 나가는 열량 : 2. T 내의 열의 전체량 : H가 감소하는 시간 비율 : H가 감소하는 시간 비율은 T 로부터 나가는 열의 양과 같아야 한다 .
10.8
발산정리의 응용
grad ( , , , , , .) -K U U x y z t t K v 는 온도는 시간는 물체의 열전도도
2
2div grad xx yy zz div grad
S T T U U U U U
v n dA K
U dxdydz K
Udxdydz
: , : T H
Udxdydz 물체 재료의 비열재료의 밀도 2 2 2 0 T T T U U U Kdxdydz K Udxdydz K U dxdydz U
t t t
S dA
v n T H U dxdydz t t
퍼텐셜 이론 . 조화함수
•
라플라스 방정식 :
•
퍼텐셜 이론 : 라플라스 방정식 해에 대한 이론
•
조화함수 : 연속적인 2 차 편도함수를 갖는 라플라스 방정식의 해
조화함수의 기본성질
구분적으로 매끄럽게 닫히고 방향을 줄 수 있는 곡면에서 조화함수의 법선도함수
적분값은 0 이 된다 .
10.8
발산정리의 응용
0 2 2 2 2 2 2 2 z f y f x f f Ex.4 Green 정리 f와 g 가 스칼라함수이고 F = grad g 가 영역 T 에서 발산정리의 가정들을 만족한다고 가정
10.8
발산정리의 응용
g f g f z g f z g z f y g f y g y f x g f x g x f z g f y g f x g f g f grad grad , , div grad div div 2 2 2 2 2 2 2 F
grad grad f 가 스칼라 함수 F n n F n f g n g f
2
grad grad grad Green
T S g g g f g f g dV f dA n n
n 의 첫 번째 공식
2 2
Green
T S g f f g g f dV f g dA n n
의 두 번째 공식
조화함수
f :
영역 D 에서 조화함수
S : D
내의 구분적으로 매끄럽고 닫힌 방향을 줄 수 있는 곡면
T : D
에 속하는 S 를 감싸는 전체영역
f
가 S 의 모든 점에서 값이 0 이다 . ⇒ f 는 T 에서 동일하게 0 이다 .
라플라스 방정식에 대한 유일성 정리
T :
발산정리 가정을 만족하는 영역
f : T
와 T 의 경계면 S 를 포함하는 영역 D 에서 조화함수
⇒ f
는 S 상에서 값으로 T 내에서 유일하게 결정된다 .
Dirichlet
문제의 유일성
위의 가정이 만족되고 라플라스 방정식에 대한 Dirichlet 문제가 T 에서 해를 가진다
면 ,
이 해는 유일하다 .
10.8
발산정리의 응용
Stokes
의 정리 ( 면적분과 선적분 간의 변환 )
S :
공간에서 구분적으로 매끄럽고 방향을 갖는 곡면
C : S
의 경계로 구분적으로 매끄럽고 단순히 닫힌 곡선
F : S
를 포함하는 영역에서 연속인 편도함수를 가지는 연속인 벡터함수
성분으로 표시하면
10.9 Stokes
의 정리
curl
'
S CdA
s ds
F
n
F r
3 2 1 3 2 1 1 2 3 1 2 3 R C F F F F F F N N N dudv F dx F dy F dz y z z x x y
Ex.1 Stokes의 정리 검증 Case 1 선적분 Case 2 면적분
10.9 Stokes
의 정리
< Surface S in Example 1 >
, ,
:
,
1
2 2
, 0 . F y z x 와 포물면에 대해 검증하다S z f x y x y z
2 2 0 0: cos , sin , 0 : ' sin , cos , 0 sin , 0, cos ' sin sin 0 0 C C s s s s s s s s s d s s ds s s ds
r r F r F r F r r
단위 접선벡터
1 , 2 , 3 curl curl 1, , 2 3 curl , , 1, 1, 1
: grad , 2 , 2 , 1 curl 2 2 1 curl curl 2 2 1 S R R F y F z F x F F F y z x S z f x y x y x y dA dxdy x y dxdy
F N F N F n F N 의 법선벡터
2 1 2 0 0 0 2 1 12 cos sin 1 cos sin 0 0 2
3 2 2 r r rdrd d
