기호논리학
개략적 설명
L의 문장 α가 주어졌을 때, L의 해석(interpretation)은 α에 나타나는 비논리상항에 다음 방식으로 지시체를 할당한다: I 개체상항에는 개체를 할당한다; I 1항 술어에는 개체들의 집합을 할당한다 ; I 2항 술어에는 개체들의 2 항 관계를 할당한다 ; I 일반적으로, n-항 술어에는 개체들의 n항 관계를 할당한다. I 문장문자에는 진리값, 즉 참 또는 거짓을 할당한다. I 원자식은 개체상항들에 할당된 개체틀이 그 원자식 속의 술어에 할당된 관계를 지니고 있다는 것을 진술하는 것으로 간주된다. I 분자식 α에 나타나는 논리상항들이 흔히 통용되는 방식으로 —예를 들어 ‘∨’는 ‘또는’을, ‘−’는 ‘아니다’를, 보편양화사는 ‘모든’을 나타낸다— 이해될 때, 우리는 α가 참이거나, 거짓이라는 것을 안다.해석 T
I 논의세계 (the universe of discourse): 인간들의 집합. I 개체상항 ‘s’의 지시체: 소크라테스 I 술어 ‘D1’의 외연: 기원전 399 년에 죽은 모든 사람들의 집합 T 하에서 문장 ‘D1s’는 소크라테스가 기원전 399 년에 죽었다는 것을 진술하며 따라서 참이다. 또 ‘−D1s’는 T 하에서 소크라테스가 기원전 399 년에 죽지 않았다는 것을 진술하며 따라서 거짓이다. T 하에서 문장 ‘(D1s ∨ −D1s)’는 소크라테스가 기원전 399 년에 죽었거나 또는 그가 기원전 399 년에 죽지 않았다는 것을 진술한다. (참인가 거짓인가?) T 하에서 문장 ‘(∃x)D1x ’ 는 기원전 399 년에 누군가가 죽었다는 것을 말한다. (참인가 거짓인가?) 반면 ‘(x)D1x ’는 모든 사람이 기원전 399 년에 죽었다는 것을 말한다. (참인가 거짓인가?)
해석 T
0I 논의세계 (the universe of discourse): 인간들의 집합. I 개체상항 ‘s’의 지시체: 월터 스캇 경 I 술어 ‘D1’의 외연: 「수선화들」 을 쓴 사람의 집합 이 해석 T0 하에서 ‘D 1s’ 는 거짓이고 ‘−D1s’는 참이다; ‘(D1s ∨ −D1s)’는 참이다,‘(∃x )D1x ’는 참이다 ; ‘(x )D1x ’는 거짓이다. 이 결과를 앞의 해석 T 의 그것과 비교해 보면, 문장의 진리치가 한 해석에서 다른 해석으로 옮겨김에 따라 바뀔 수 있음을 알 수 있다.
타당성
그런데 한 해석에서 다른 해석으로옮겨가도 그 진리치가 바뀌지 않는 문장들이 있다. 예를 들어, T 와 T0 하에서 모두 참임이 드러났었던 문장 ‘(D1s ∨ −D1s)’는 모든 해석 하에서 참이다. 어떤 개체가 ‘s’ 에 할당되고 무슨 집합이 ‘D1’ 에 할당되든지 간에, 그 문장은 그 개체가 그 집합에 속하거나 속하지 않는다는 것을 말할 것이고, 따라서 이것은 항상 참이다. 이처럼 모든 해석에서 참인 문장들을 L의 타당한 문장(valid sentence)이라 부른다.L의 해석
우리들의 기호언어L의 해석 (interpretation)은: I 공집합이 아닌 논의의 영역 D, I L의각 개체상항에 D의 원소의 할당, I L의 각 n항 술어에 D의 원소들로 이뤄진 n-항 관계의 할당, I L의 각 문장문자에 진리가 T 또는 F의 할당을 통해 이뤄진다. 주의사항: 모든 해석이 꼭 자연스러운 논의세계와 외연으로만 이뤄져야 하는 것은 아니다. 누군가가 교과서 101쪽 위쪽 열 줄을 읽어 보자.식과 문장
앞에 살펴보았던 ’식’과 ’문장’의 정의들을 다시 떠올려 보자: I L의 원자식(atomic formula)은 문장문자 하나로 이루어졌거나 n항 술어 뒤에 (길이 n의) 개체기호들의 배열이 붙어 이루어진 표현이다. I L의 식(formula) 은 원자식이거나, 혹은 다음 규칙들을 유한한 횟수 (finite times) 적용해 하나 혹은 그 이상의 원자식들로부터 만들어진 표현이다: 1. φ가 식이면, −φ도 식이다. 2. φ와 ψ가 식이면, (φ ∨ ψ), (φ&ψ), (φ → ψ), 그리고 (φ ↔ ψ)도 식이다.3. φ가 식이고 a가 변항이면, (a) φ와 (∃a) φ도 식이다.
I L의 문장(sentence)은 어떠한 변항도 자유롭게 나타나지 않은
식이다.
양화사를 포함하지 않는 어떤 문장도 원자문장이거나 연결사에 의해 원자문장들로부터 만들어진 것이다. 그렇지만 양화사를 포함하는문장은 안 그럴 수도 있다. 예: ‘(∃x)(Fx&Gx).’
비양화문을 위한 참의 정의
따라서, 먼저 원자문장이 참인 조건을 정의하고, 다음으로 분자문장의진리치가 그 부분들의 진리치에 의해 어떻게 결정되는지 보여준다면, 양화사가 없는 모든 문장에 대해 그것이 참이라는 것이 무엇인지가 정의된다. 이제 T 를 L의 해석이라 하고, φ를 L의 양화사 없는 문장이라 하자. 그러면: I 1) φ가 문장문자이면, φ가 T 하에서 참일 경우 오직 그 경우에만 T 가 φ에 T를 할당한다; I 2) φ가 문장문자가 아닌 원자문장이라면, φ가 T 하에서 참일 경우 오직 그 경우에만 T 가 φ의 개체상항에 할당하는 대상들이 T 가 φ의 술어에 할당한 관계를 맺는다; I 3)φ = −ψ이면 , φ 가 T 하에서 참일 경우 오직 그 경우에만 ψ 가 T 하에서 참이 아니다;비양화문을 위한 참의 정의 (계속)
I 4) ψ, ξ가 문장이고 φ = (ψ ∨ ξ)이면 , φ가 T 하에서 참일 경우 오직 그 경우에만 ψ가 T 하에서 참이거나 ξ가 T 하에서 참이거나 혹은 양쪽 다이다; I 5) ψ , ξ가 문장이고 φ = (ψ&ξ)이면, φ가 T 하에서 참일 경우 오직 그 경우에만 ψ 가 T 하에서 참이고 ξ가 T 하에서 참이다; I 6) ψ , ξ가 문장이고 φ = (ψ → ξ)이면, φ가 T 하에서 참일 경우 오직 그 경우에만 ψ가 T 하에서 참이 아니거나 ξ 가 T 하에서 참이거나 혹은 양쪽 다 이다; I 7) ψ, ξ가 문장이고 φ = (ψ ↔ ξ)이면, φ가 T 하에서 참일 경우 오직 그 경우에만 ψ와 ξ가 T 하에서 둘 다 참이거나 둘 다 참이 아니다. I 한편, φ가 T 하에서 거짓일 경우 오직 그 경우에만 φ는 T 하에서 참이 아니다.해석 T (6=앞의 T )
E1: 모든 짝수들의 집합. O1: 모든 홀수들의 집합. P1: 모든 소수들의 집합. L2: 양의 정수 m, n에 대해 m < n일 때 성립하는 이항 관계; 즉, ‘보다-작다 (Iess-than)’ 관계. I2: 양의 정수들 간의 동일성의 이항 관계 S3: 양의 정수 m, n, p에 대해 m + n = p일 때 성립하는 삼항 관계 M3: 양의 정수 m, n, p 에 대해 m · n = p일 때 성립하는 삼항 관계 그밖에: a1: 1 a2: 2 a3: 3 a4: 4 . . . P: T Q: F R: T. . .몇 가지 예들
다음 문장들 각각에 대해 (a) 앞의 참의 정의에서 몇 번 조항이 적용되는지 (b) 또 정확히 어느 경우에 참이 되는지 말해 보라: La1a2. La1a2∨ La2a1. La1a2 → −La2a1. (Sa2a2a5&Sa2a2a4) → Ia4a5.양화문을 위한 참의 정의
T 와 T0를 L의 해석이라 하고 β를 개체상항이라 하자. T 와 T0가 β 에 무엇 을 할당하는가 하는 점만 제외하고는 서로 똑같을 경우 오직 그 경우에만 T 는 T0의 β-변형 (β-variant) 이다. φ를 L의 문장이라 하고 α를 변항, β를 φ에 나타나지 않는 첫째 개체상항이라 하자. 그러면: I 1) φ가 문장문자이면, φ가 T 하에서 참일 경우 오직 그 경우에만 T 가 φ에 T를 할당한다; I 2) φ가 문장문자가 아닌 원자문장이라면, φ가 T 하에서 참일 경우 오직 그 경우에만 T 가 φ의 개체상항에 할당하는 대상들이 T 가 φ의 술어에 할당한 관계를 맺는다; I 3)φ = −ψ이면 , φ 가 T 하에서 참일 경우 오직 그 경우에만 ψ 가 T 하에서 참이 아니다; I 4) ψ, ξ가 문장이고 φ = (ψ ∨ ξ)이면 , φ가 T 하에서 참일 경우 오직 그 경우에만 ψ가 T 하에서 참이거나 ξ가 T 하에서 참이거나 혹은 양쪽 다이다;양화문을 위한 참의 정의 (계속)
I 5) ψ , ξ가 문장이고 φ = (ψ&ξ)이면, φ가 T 하에서 참일 경우 오직 그 경우에만 ψ 가 T 하에서 참이고 ξ가 T 하에서 참이다; I 6) ψ , ξ가 문장이고 φ = (ψ → ξ)이면, φ가 T 하에서 참일 경우 오직 그 경우에만 ψ가 T 하에서 참이 아니거나 ξ 가 T 하에서 참이거나 혹은 양쪽 다 이다; I 7) ψ, ξ가 문장이고 φ = (ψ ↔ ξ)이면, φ가 T 하에서 참일 경우 오직 그 경우에만 ψ와 ξ가 T 하에서 둘 다 참이거나 둘 다 참이 아니다. I 8) φ = (α)ψ이면, φ 가 T 하에서 참일 경우 오직 그 경우에만 ψα/β 가 T 의 모든 β-변형 하에서 참이다; I 9) φ = (∃α)ψ이면, φ 가 T 하에서 참일 경우 오직 그 경우에만 ψα/β는 최소한 하나의 T 의 β-변형 하에서 참이다. I 한편, φ가 T 하에서 거짓일 경우 오직 그 경우에만 φ는 T 하에서 참이 아니다.첫번째 예
한 예로서 문장
(∃y ) La2y 를 살펴보자.
I 조항 (9)에 의해 이 문장이 T 하에서 참이려면 ‘La2a’ —‘La2y ’ 에 나타나는 모든 자유로운 ’y ’를 ‘La2y ’ 에 나타나지 않는 첫 개체상항, 즉 ‘a’ 로 대치한 결과—가 T 하에서의 어떤 ‘a’-변형 하에서 참이어야 한다.
두번째 예
다음으로 문장(x ) (∃y ) Lxy 를 살펴보자.
I 조항 9)에 의해서, 이 문장이 해석 T 하에서 참이려면
’(∃y ) Lay ’가 T 의 모든 ‘a’-변형 하에서 참이어야 한다.
I 임의의 정수 n에 대해서 Tn을 ’a’에 n을 할당하는 T 의 ’a’-변형이라고 하자. 그러면 위 문장이 T 에서 참이려면, 논의세계가 자연수의 집합 N 이라고 했을 때, 모든 n ∈ N 에 대해서 ’(∃y ) Lay ’가 Tn 하에서 참이어야 한다. I 이제 임의의 Tn에 대해서 Tnm을 ’b’에 m ∈ N 을 할당하는 Tn의 ’b’-변형이라고 하자. 그러면 위 문장이 T 에서 참이려면, 결과적으로, 모든 n ∈ N 에 대해서 어떤 m ∈ N 이 있어서 ’Lab’가 Tnm에서 참이어야 한다.
타당성, 귀결, 일관성
I 문장 φ는 모든 해석 하에서 참일 경우 오직 그 경우에만
타당(valid) 하다 (혹은, 논리적으로 참이다 (iogicaliy true)).
I 문장 φ와 문장집합 Γ에 대해, Γ의 모든 문장들을 참이게 하면서 φ를 거짓 이게 하는 해석이 존재하지 않을 경우 오직 그 경우에만 φ는 Γ의 귀결 (consequence)이다. I 문장집합 Γ는 Γ의 모든 문장을 참이게 하는 해석이 존재할 경우 오직 그 경우에만 일관적(consistent)이다. (혹은, 만족가능(satisfiable) 하다). (문장 φ가 {ψ} 의 즉，원소가 ψ 하나뿐인 집합의 귀결이라고 말하는대신 간단히 φ는 ψ 의 귀결이라고 하는 것이 허용된다. 마찬가지로, {φ}가 일관 적이라거나 {φ, ψ}가 일관적이라고 말하는대신 흔히 φ는 일관적이라거나 φ는 ψ와 일관적이라고 말하는것이 허용된다，)
타당성: 개략적인 설명
문장 φ가 타당하다는 것은 φ가 다음 논리적 속성을 가진다는 것이다: I 어떠한 비어있지 않은 집합(non-empty set)이 논의세계으로서 선택되든, I L의 비논리상항들에 적절한 존재자들을 어떻게 할당하든, (즉 I 개체 상항들에 대해서 어떤 논의세계의 원소들이 할당되든, I n항 술어들에 대해서 어떤 n항 관계가 할당되든, I 문장문자들에 어떤 진리치가 할당되든,) φ는 참이다. 따라서, 주어진 문장이 타당하지 않다는 것을 보이기 위해서는 비공집합 D를 주고 L의 비논리상항들에 φ가 거짓이 되게끔 개체들과집합/관계들들을 할당하는 것으로 충분하다. 그런 해석을 보통 φ의 반례(counterexample)라고 부른다.타당한
문장의 예들
(x ) Fx → Fa
Fa → ((x ) Fx → Fa)
(x ) (Fx ∨ (Gx &Hx )) ↔ ((x ) (Fx ∨ Gx ) & (x ) (Fx ∨ Hx )) (P → (∃y ) (x ) (Fxy ∨ −Fxy ))
부당한 문장의
예들
Fa (∃x ) Fx
(Fa → Ga) → (−Fa → −Ga) (x ) Fx ∨ (x ) − Fx
(x ) (∃y ) Fxy → (∃y ) (x ) Fxy
위 문장들 각각에 대해 그것을 거짓으로 만드는 해석(즉 반례)을 구성해 보자.
귀결의
예들
다음 예들에서 각각 φ는 Γ의 귀결이다: 1. Γ = {(x ) (Fx → Gx ) , (x ) (Gx → Hx )}, φ = (x ) (Fx → Hx ). 2. Γ = {(x ) (Fx → Gx ) , Fa}, φ = Ga. 앞으로의 논의에서는 보통 일련의 문장들을 제시하면 마지막 문장은 φ, 그밖의 문장들은 Γ라는 규약을 채택할 것이다. 이 규약에 따르면 위 논변들은 다음과 같이 나타내어진다: 1. (x ) (Fx → Gx ). (x ) (Gx → Hx ). (x ) (Fx → Hx ). 2. (x ) (Fx → Gx ). Fa. Ga.일관성 있는 문장의 (집합의) 예들
1. (x ) (Fx → Gx ). − (∃x) Gx.
2. (x ) (Fx → (∃y ) (Gy &Hxy )). (x ) (y ) (Gy → −Hxy ).
3. (x ) (Fx ∨ Gx ).
4. (∃x ) Fx .
각각의 문장집합에 대해서 그 원소들을 모두 참으로 만드는 해석을 생각해 보자.
