Wk01:논리학이란 무엇인가I.pdf

기호논리학

첫째 주: 논리학이란 무엇인가 I

귀결

I 논리학은 타당한 논변의 전제들과 결론 사이에 성립하는 귀결 (consequence) 관계를 탐구한다.

I 한 논변은 그 논변의 결론이 그 전제들로부터 따라나오거나 전제들의 귀결일 경우 타당하다고 말해진다.

I 그렇지 않을 경우 그 논변은 부당하다.

귀결 (계속)

아무도 다음 논변의 결론이 그 전제로부터 따라나온다는 것을 아는데 어려움을 느끼지 않을 것이다.

모든 사람은 죽는다;

모든 그리스인은 사람이다;

그러므로，모든 그리스인은 죽는다.

어떤 경우에는 다음에서와 같이 약간의 생각이 요구된다.

그 창고에는 정확히 136개의 귤 상자가 있다;

각 상자에는 최소한 140 개의 귤이 들어 있다;

어떤 상자에도 166개 이상의 귤이 들어 있지는 않다 ; 그러므로，그 창고에는 같은 개수의 귤이 들어 있는 상자들이 최소한 6 개 있다.

그리고 또 어떤 경우에는 문제가 참으로 어려울 수 있다.

별들의 개수는짝수이고 4 보다 크다;

그러므로, 별들의 개수는 두 소수(素數)의 합이다.

논변

논변이란，결론이라 불리는 한 서술문과 전제들이라 불리는 다른 서술문들로 구성된 (단일 언어에 속한) 서술문들의 한 체계이다.

모든 사람은 죽는다;

모든 그리스인은 사람이다;

그러므로，모든 그리스인은 죽는다.

전제들의 수가 무한한 경우를 고려하지 않아야 할 이유는 없다.

1은 별틀의 개수보다 작다， 2 는 별들의 개수보다 작다， 3 은 별들의 개수보다 작다， . . .

모든 양의 정수는 별들의 개수보다 작다.

뒤에서 보겠지만，전제들의 수가 0인 경우를 고려하는 것 역시 유용하다.

문장

I 문장은 전통적 문법학자들에 의하면 완결된 생각을 서술하는 언어적 표현이라고 정의된다.

I 문장들은 흔히 서술문, 의문문, 명령문 등으로 분류된다.

I 서술문들의 특징은 그것들이 참이거나 거짓이라는 점이다.

I 그리고 그러한 특징을 지닌 서술문들이 바로 논리학자의 일차적 관심대상인 것이다.

타당성

논변의 타당성 기준은 다음과 같은 방식으로 참과 가능성의 개념들에 의해 정식화된다 :

논변이 타당하려면 그것의 전제들이 참이면서 그것의 결론이 거짓인 것이 가능하지 않아야 하고 또 그러면 충분하다.

물론 여기서 ‘가능한’이라는 단어는 핵심적인 단어이다. 우리는 전제들이나 결론이 실제로 참인지를 문제 삼지 않는다. 타당성을 위해 요구되는 것은 만일 전제들이 참이라면 결론이 참이어야 한다는 것뿐이다. 같은 기준을 서술하는 또 다른 방식은 다음과 같다:

논변이 타당하려면 그 논변의 전제들이 참인 상상가능한 모든 상황하에서 결론이 참이어야 하고 또 그러면 충분하다.

타당성 (계속)

전제들과 결론이 모두 참인 타당한 논변들이 물론 존재하지만, 하나 혹은 그 이상의 거짓 전제들이나 거짓 결론, 심지어 거짓 전제들과 거짓 결론을 모두 가진 타당한 논변들 또한 존재한다.

이를테면，다음의 타당한 논변을 구성하는 문장들은 모두 거짓이다.

모든 인간은 영리하다 ; 모든 영장류는 인간이다;

그러므로，모든 영장류는 영리하다.

타당한논변이 항상 거짓 전제들을 거짓 결론으로 이끄는 것은 아니다. 예를 들어,

모든 상원의원은 늙었다， 모든 80대는 상원의원이다;

그러므로, 모든 80대는 늙었다.

는 비록 거짓 전제들과 참인 결론으로 구성되었지만 타당하다.

타당성 (계속)

I 타당한 논변에서 일어날 수 없는 진리치의 유일한 조합은 전제들이 참이고 결론이 거짓인 경우 뿐이다. (우리는 이미 모든 가능한 조합의 예들을 다 살펴보았다. 확인해 보라.)

I 왜냐하면 실제적으로 논변의 전제들이 참이고 결론이 거짓이라면，전제들이 참이고 결론이 거짓인 경우가

가능하다는 것이 되고，그 경우 그 논변은 부당하기 때문이다.

I 반면에 부당성은 진리치의 모든 조합에서 발생할 수 있다.

타당성 (계속)

참인 전제들과 참인 결론을 가진 부당한 논변의 예:

어떤 상원의원들은 늙었다;

어떤 장군들은 상원의원이다;

그러므로, 어떤 장군들은 늙었다.

참인 전제들과 거짓인 결론을 가진 부당한 논변의 예:

어떤 교수들은 스웨덴인이다;

어떤 노르웨이인들은 교수이다;

그러므로，어떤 노르웨이인들은 스웨덴인이다.

타당성 (계속)

거짓인 전제와 거짓인 결론을 가진 부당한 논변:

그 분야를 이해하는 사람은 누구나 높은 학점을 받는다;

그러므로，높은 학점을 받는 사람은 누구나 그 분야를 이해한다.

거짓인 전제와 참인 결론을 가진 부당한 논변:

유럽의 가장 오래된 민주체제 안에 사는 사람은 누구나 취리히에 산다;

그러므로，취리히에 사는 사람은 누구나 유럽의 가장 오래된 민주체제 안에 산다.

필연적 참

타당한논변의 개념과 밀접한 관련을 가진 것이 필연적 참 (necessary truth) 의 개념이다. 문장은 (이제부터 ‘문장’이라는 단어를 ‘쓰여진 형태의 서술문장’의 준말로 사용하겠다) 그것이 거짓인 상황을 상상할 수 없을 (inconceivable) 경우에 오직 그 경우에만필연적으로 참이다. 문장

소크라테스는 기원전 399년에 죽었거나 혹은 소크라테스는 기원전 399년에 죽지 않았다.

는，그것이 소크라테스에 관한 사실 또는 그 밖의 어떤 다른 사실로부터도 독립적으로 참이기 때문에，필연적 참이다. 이에 반해, 문장

소크라테스는 기원전 399 년에 죽었다.

는 참이지만 필연적으로 참인 것은 아니다. 그것이 거짓인 상황을 우리는 쉽게 기술할수있다.

조건문

만약 ... 이면，그러면 . . . 이다(If ... , then ... ).

라는 형식의 문장은조건문(conditional)이라 불려진다. (이때 빈칸들은 각각 문장으로 채워진다.) ‘만약 (if)’의 바로 뒤에 나오는 운장은전건(antecedent)이라 부르고 ‘그러면 (then) ’의 뒤에 나오는 문장은후건(consequent) 이라 부른다.

조건문의 필연성과 논변의 타당성

유한한 수의 전제들을 가진 논변이 주어졌을 때 우리는 그 논변의 모든 전제들을 ‘그리고 (and)’로 연결해서 만든 문장을 전건으로 하고 결론을 후건으로 하는 소위 그 논변에상응하는

조건문(corresponding conditional) 을 구성할 수 있다. 이때 유한한 수의 전제들을 가진 논변은 그 논변에 상응하는 조건문이 필연적으로 참일 경우에 오직 그 경우에만 타당하다.

조건문의 필연성과 논변의 타당성 (계속)

예를 들어 논변

모든 사람은 죽는다;

모든 그리스인은 사람이다;

그러므로，모든 그리스인은 죽는다.

은 그것에 상응하는 조건문

만약 모든 사람이 죽고 모든 그리스인이 사람이라면， 모든 그리스인은 죽는다.

가 필연적 참일 경우에 오직 그 경우에만 타당하다.

조건문의 필연성과 논변의 타당성 (계속)

위에서 언급된 관계는 타당성과 필연성 사이에 존재하는 유일한 관계가 아니라 여러 관계들중 하나라고 해야 할 것이다. 왜냐하면 다음과 같은 또 다른 흥미로운 관계가 존재하기 때문이다:

문장은 그 자신을 결론으로 갖는 부당한 논변이 존재하지 않을 경우에 그리고 오직 그 경우에만 필연적으로 참이다.

다시 말해서, 필연적으로 참인 문장은 모든 전제 집합의 귀결이며, 모든 전제 집합의 귀결인 어떠한 문장도 필연적으로 참이다. (왜 그런가? 28쪽 참조.) 뒤에 살펴보겠지만, 여기서 필연적 참의 개념은 보다 좁은 개념으로 제한될 필요가 있다.

라이프니쯔

라이프니츠의 학설에 따르면, 우리 자신이 존재하는 현실세계는 무한히 많은가능세계들 중의 하나일 뿐이다. 현실세계와 다른 가능세계들 사이의 구분이 문장들 사이의 구분으로 이어진다.

I 문장이 참이라고 말하는 것은 그 문장이 현실세계에서 참이라고 말하는 것이다.

I 그러나 어떤 참인 문장들은 현실세계에서 뿐만 아니라 다른 모든 가능세계에서도 참이다. 이런 문장들이 (때때로 ‘이성의 진리들’ 혹은 ‘영원한 진리들’이라고 불려지는) 필연적 참들이다.

I 현실세계에서는 참이지만 모든 가능세계에서 참인 것은 아닌 문장들은 우연적 진리들 (사실의 진리들)이다. 반면에 수학이나 논리학에서의 참은 현실세계를 포함한 모든 가능세계에서 참이다. 즉 그것들은 필연적 진리들이다.

라이프니쯔 (계속)

라이프니츠는 때때로 ‘상상가능성(conceivability)’의 개념을 가지고 가능성과 필연성을 설명한다:

문장이 주장하는 바의 정반대 상황이 상상되어질 수 없다면 그 문장은 필연적으로 참이다.

그러나 그는 ‘상상불가능성’이라는 단어를 ‘비심리적

(non-psychological)’ 의미로 사용하기를 원한다. 그는 어떤 사람이 다른 사람의 상상불가능한 바를 상상할 수 있다고 말할 때의 그 상상가능성에 대해 이야기하는 것이 아니다. 그러므로 그는 다음과 같이 상상가능성을 설명한다:

한 사태는 그 사태가 성립한다는 가정으로부터 어떠한 모순도 따라나오지 않는다면 상상가능하다.

만일 우리가 이렇게 정의된 상상가능성의 개념을 가지고 논리적 귀결의 개념을 설명한다면, 어떤 문제가 생길까? (30쪽 참조.)