2020 짱쉬운유형 수학2 답지 정답

유형`01. 다항함수, 분수함수의 극한

01

01

(x+5)=3+5=8

02

= =;3@;

03

= (x-3) =-1

04

= = (x+3) =6

05

= = (x-2) =-5

06

f(x)=x¤ +2x이므로 (x¤ +2x)=8

07

다항함수 f(x)에 대하여 f(1)=5이므로 (x+3)f(x)=4 f(1) =4_5 =20

08

(x+2)f(x)=3 f(1)=6이므로 f(1)=2 ∴ f(x)=f(1)=2

09

= =10이므로 f(2)=30 f(2) 3 f(x) x+1 lim x⁄2 lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄2 lim x⁄-3 (x+3)(x-2) x+3 lim x⁄-3 x¤ +x-6 x+3 lim x⁄-3 lim x⁄3 (x-3)(x+3) x-3 lim x⁄3 x¤ -9 x-3 lim x⁄3 lim x⁄2 (x-2)(x-3) x-2 lim x⁄2 3¤ -5 3+3 x¤ -5 x+3 lim x⁄3 lim x⁄3

10

(x¤ +2x+3)=0+0+3=3

11

= =27

12

= (x+7)=7

13

= (x+1)=3

14

= (x+3)=5

15

= (x¤ +5)=9

16

= (x¤ +3x+7)=11

17

= = =;3@;

18

(x+1)f(x)=1이므로 g(x)=(x+1)f(x)로 놓으면 g(x)=1 또 f(x)= `(x+-1)이므로 (2x¤ +1)f(x)= [(2x¤ +1)_ ] (2x¤ +1)f(x)= _ g(x) (2x¤ +1)f(x)=;2#;_1=;2#; ∴ 20a=20_;2#;=30

19

= = (x+2)f(x)=4f(2)=12 ∴ f(2)=3 lim x⁄2 (x-2)(x+2)f(x) x-2 lim x⁄2 (x¤ -4)f(x) x-2 lim x⁄2 lim x⁄1 2x¤ +1 x+1 lim x⁄1 g(x) x+1 lim x⁄1 lim x⁄1 g(x) x+1 lim x⁄1 lim x⁄1 x x+1 lim x⁄2 x(x-2) (x+1)(x-2) lim x⁄2 x¤ -2x (x+1)(x-2) lim x⁄2 lim x⁄1 (x-1)(x¤ +3x+7) x-1 lim x⁄1 lim x⁄-2 (x+2)(x¤ +5) x+2 lim x⁄-2 lim x⁄2 (x-2)(x+3) x-2 lim x⁄2 lim x⁄2 (x-2)(x+1) x-2 lim x⁄2 lim x⁄0 x(x+7) x lim x⁄0 3‹ 3-2 x‹ x-2 lim x⁄3 lim x⁄0

01

④

02

③

03

②

04

④

05

①

06

④

07

④

08

②

09

⑤

0

1

본문009`~`010쪽

다항함수, 분수함수의 극한

10

③

11

27

12

7

13

③

14

5

15

③

16

11

17

④

18

30

19

③

20

16 본문010`~`012쪽

20

= = = =1 ∴ f(1)=16

21

= (x+2)=5

22

= = (x+3)=4

23

= = = =3

24

= = = =3

25

f(x)=x-2이므로 = = (x+2)=4

26

(x+2)f(x)=9이므로 g(x)=(x+2)f(x)로 놓으면 g(x)=9 또 f(x)= `(x+-2)이므로 (x¤ +x)f(x)= [(x¤ +x)_ `] (x¤ +x)f(x)= _ g(x) (x¤ +x)f(x)=;3@;_9=6 lim x⁄1 x¤ +x x+2 lim x⁄1 g(x) x+2 lim x⁄1 lim x⁄1 g(x) x+2 lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄2 (x-2)(x+2) f(x) lim x⁄2 x¤ -4 f(x) lim x⁄2 12 4 x¤ +2x+4 x+2 lim x⁄2 (x-2)(x¤ +2x+4) (x-2)(x+2) lim x⁄2 x‹ -8 x¤ -4 lim x⁄2 -3 -1 x-1 x+1 lim x⁄-2 (x-1)(x+2) (x+1)(x+2) lim x⁄-2 x¤ +x-2 (x+1)(x+2) lim x⁄-2 lim x⁄1 (x-1)(x+3) x-1 lim x⁄1 x¤ +2x-3 x-1 lim x⁄1 lim x⁄3 (x-3)(x+2) x-3 lim x⁄3 16 f(1) 8(x¤ +1) f(x) lim x⁄1 8(x¤ -1)(x¤ +1) (x¤ -1)f(x) lim x⁄1 8(x› -1) (x¤ -1)f(x) lim x⁄1

27

(x+1)f(x)=12이므로 g(x)=(x+1)f(x)로 놓으면 g(x)=12 또 f(x)= `(x+-1)이므로 = = = = =2

28

= = (x+1)f(x) =2 f(1)=20 ∴ f(1)=10

29

= = = =1 ∴ f(2)=16 16 f(2) 4(x+2) f(x) lim x⁄2 4(x+2)(x-2) (x-2)f(x) lim x⁄2 4(x¤ -4) (x-2)f(x) lim x⁄2 lim x⁄1 (x-1)(x+1)f(x) x-1 lim x⁄1 (x¤ -1)f(x) x-1 lim x⁄1 8_3 12 lim x⁄2(x¤ +4)(x+1) lim x⁄2g(x) (x¤ +4)(x+1) g(x) lim x⁄2 x¤ +4 g(x) 112_x+1 lim x⁄2 x¤ +4 f(x) lim x⁄2 g(x) x+1 lim x⁄2 lim x⁄2

21

5

22

4

23

③

24

③

25

④

26

③

27

2

28

10

29

16 본문012`~`013쪽

01

('ƒx+4-2)('ƒx+4+2)=('ƒx+4)¤ -2¤ =x+4-4 =x

02

= = = = ('ƒx+5+2) =4 따라서 ㈎에 알맞은 것은 ⑤ 'ƒx+5+2이다.

03

= = = =;4!;

04

= = = =;4!;

05

= = = =;2!;

06

= = =lim(_'ƒx+9+3)=6 x⁄0 x('ƒx+9+3) x lim x⁄0 x('ƒx+9+3) (_{'ƒx+9-3)('ƒx+9+3)} lim x⁄0 x 'ƒx+9-3 lim x⁄0 1 1+'ƒ1-x lim x⁄0 x x(1+'ƒ1-x) lim x⁄0 (1-'ƒ1-x)(1+'ƒ1-x) x(1+'ƒ1-x) lim x⁄0 1-'ƒ1-x x lim x⁄0 1 'ƒx+3+2 lim x⁄1 x-1 (x-1)('ƒx+3+2) lim x⁄1 ('ƒx+3-2)('ƒx+3+2) (x-1)('ƒx+3+2) lim x⁄1 'ƒx+3-2 x-1 lim x⁄1 1 'x+2 lim x⁄4 x-4 (x-4)('x+2) lim x⁄4 ('x-2)('x+2) (x-4)('x+2) lim x⁄4 'x-2 x-4 lim x⁄4 lim x⁄-1 (x+1)('ƒx+5+2) x+1 lim x⁄-1 (x+1)('ƒx+5+2) (x+5)-4 lim x⁄-1 (x+1)(

,;

'ƒ

L

x

L

+

L

5

L

+

L

2

L;.

) ('ƒx+5-2)(

,;

'ƒ

L

x

L

+

L

5

L

+

L

2

L;.

) lim x⁄-1 x+1 'ƒx+5-2 lim x⁄-1

07

= = = = =;2$;=2

08

= = = (x+1)('ƒx+3+2) =2_4=8

09

= = = 2('ƒx+11+3) =2_6=12

10

= = = 10('∂4+x+'∂4-x ) =10(2+2)=40

11

= = = (x¤ +1)(_'ƒx+8+3) =2_6=12

12

-x=t로 놓으면 x⁄-¶일 때, t ⁄¶이므로 = = =-1+0₁₊₁ =-;2!; 1 -1+1 t 1 Æ1…-1+1_t lim t⁄¶ -t+1 "√t¤ -t +t lim t⁄¶ x+1 "√x¤ +x-x lim x⁄-¶ lim x⁄1 (x-1)(x¤ +1)('ƒx+8+3) x-1 lim x⁄1 (x-1)(x¤ +1)('ƒx+8+3) ('ƒx+8-3)('ƒx+8+3) lim x⁄1 x‹ -x¤ +x-1 'ƒx+8-3 lim x⁄1 lim x⁄0 20x('∂4+x+'∂4-x ) 2x lim x⁄0 20x('∂4+x+'∂4-x ) ('∂4+x-'∂4-x )('∂4+x+'∂4-x ) lim x⁄0 20x '∂4+x-'∂4-x lim x⁄0 lim x⁄-2 2(x+2)('ƒx+11+3) x+2 lim x⁄-2 (2x+4)('ƒx+11+3) ('ƒx+11-3)('ƒx+11+3) lim x⁄-2 2x+4 'ƒx+11-3 lim x⁄-2 lim x⁄1 (x-1)(x+1)('ƒx+3+2) x-1 lim x⁄1 (x¤ -1)('ƒx+3+2) ('ƒx+3-2)('ƒx+3+2) lim x⁄1 x¤ -1 'ƒx+3-2 lim x⁄1 x+2 "çx¤ -3+1 lim x⁄2 (x-2)(x+2) (x-2)("√x¤ -3+1) lim x⁄2 x¤ -4 (x-2)("√x¤ -3+1) lim x⁄2 ("√x¤ -3-1)("√x¤ -3+1) (x-2)("√x¤ -3+1) lim x⁄2 "√x¤ -3-1 x-2 lim x⁄2 유형`02. 무리함수의 극한

03

01

①

02

⑤

03

⑤

04

①

05

③

06

④

0

2

본문015쪽

무리함수의 극한

07

2

08

②

09

12

10

40

11

⑤

12

② 본문016쪽

01

= = =3 a+3=6 ∴ a=3

02

= (x+a)=2+a=5 ∴ a=3

03

=b에서 x⁄1일 때, (분모)⁄0이고 극한값이 존재하므로 (분자)⁄0이어야 한다. 즉, (x¤ +x+a)=0에서 2+a=0 ∴ a=-2 = = = (x+2)=3=b ∴ a+b=(-2)+3=1

04

=;6!;에서 x ⁄3일 때, (분모) ⁄0이고 극한값이 존재하므로 (분자)⁄0이어야 한다. 즉, ('∂x+6+a)=0에서 3+a=0 ∴ a=-3

05

=b에서 x⁄1일 때, (분모)⁄0이고 극한값이 존재하므로 (분자)⁄0이어야 한다. 즉, ('ßx+a)=0에서 1+a=0 ∴ a=-1 = = = = =;2!;=b ∴ a+b=(-1)+;2!;=-;2!;

06

f(x)=ax‹ +bx¤ +3x-5라 하자. =4이려면 f(x)는 최고차항의 계수가 4인 이차함수 이어야 한다. 따라서 a=0, b=4이므로 a+b=4 f(x) x¤ lim x⁄¶ 1 'ßx+1 lim x⁄1 x-1 (x-1)('ßx+1) lim x⁄1 ('ßx-1)('ßx+1) (x-1)('ßx+1) lim x⁄1 'ßx-1 x-1 lim x⁄1 'ßx+a x-1 lim x⁄1 lim x⁄1 'ßx+a x-1 lim x⁄1 lim x⁄3 '∂x+6+a x-3 lim x⁄3 lim x⁄1 (x+2)(x-1) x-1 lim x⁄1 x¤ +x-2 x-1 lim x⁄1 x¤ +x+a x-1 lim x⁄1 lim x⁄1 x¤ +x+a x-1 lim x⁄1 lim x⁄2 (x+a)(x-2) x-2 lim x⁄2 3+a 2 1+2+a 1+1 x¤ +2x+a x+1 lim x⁄1

13

= = = = =;4!;

14

= = = = =;4@;=;2!;

15

= = = =;4!; [다른 풀이] = = = =;4!;

16

= = = ('ƒx+6+3)=6

17

= = = (x+2)('ƒx+2+2)=16

18

-x=t라 하면 x⁄-¶일 때, t ⁄¶이므로 = = -2 =-2 3 4 Æ1…+13-1_{t¤ t} lim t⁄¶ -2t "√t¤ +3 -4 lim t⁄¶ 2x "√x¤ +3-4 lim x⁄-¶ lim x⁄2 (x-2)(x+2)('ƒx+2+2) x-2 lim x⁄2 (x¤ -4)('ƒx+2+2) ('ƒx+2-2)('ƒx+2+2) lim x⁄2 x¤ -4 'ƒx+2-2 lim x⁄2 lim x⁄3 (x-3)('ƒx+6+3) x-3 lim x⁄3 (x-3)('ƒx+6+3) (_{'ƒx+6-3)('ƒx+6+3)} lim x⁄3 x-3 'ƒx+6-3 lim x⁄3 1 (x+1)('x+1) lim x⁄1 'x-1 (x+1)('x+1)('x-1) lim x⁄1 'x-1 (x+1)(x-1) lim x⁄1 'x-1 x¤ -1 lim x⁄1 1 (x+1)('x+1) lim x⁄1 x-1 (x-1)(x+1)('x+1) lim x⁄1 ('x-1)('x+1) (x¤ -1)('x+1) lim x⁄1 'x-1 x¤ -1 lim x⁄1 x+1 "çx¤ +3 +2 lim x⁄1 (x-1)(x+1) (x-1)("çx¤ +3 +2) lim x⁄1 x¤ -1 (x-1)("çx¤ +3 +2) lim x⁄1 ("çx¤ +3-2)("çx¤ +3+2) (x-1)("çx¤ +3 +2) lim x⁄1 "çx¤ +3-2 x-1 lim x⁄1 1 'ƒx+1+2 lim x⁄3 x-3 (x-3)('ƒx+1+2) lim x⁄3 (x+1)-4 (x-3)('ƒx+1+2) lim x⁄3 ('ƒx+1-2)('ƒx+1+2) (x-3)('ƒx+1+2) lim x⁄3 'ƒx+1-2 x-3 lim x⁄3

13

①

14

③

15

②

16

⑤

17

⑤

18

① 본문017쪽

01

③

02

③

03

④

04

①

05

②

06

④

07

①

0

3

본문019쪽

미정계수 구하기

유형`03. 미정계수 구하기

05

12

=14에서 x⁄3일때, (분모)⁄0이고 극한값이 존재하므로 (분자)⁄0이어야 한다. 즉, (x¤ +ax+b)=0에서 9+3a+b=0 ∴ b=-3a-9 = = = (x+a+3) =6+a=14 따라서 a=8, b=-33이므로 a+b=-25

13

=3에서 x⁄1일 때, (분모) ⁄0이고 극한값이 존재하므로 (분자)⁄0이어야 한다. 즉, (x¤ +ax-b)=0에서 `1+a-b=0 ∴ b=a+1 = = = = =3 따라서 a=7, b=8이므로 a+b=15

14

=b에서 x⁄2일 때, (분자)⁄0이고 b`(b+0)로 수렴하므로 (분모)⁄0이어야 한다. 즉, (x¤ +ax)=0이므로 4+2a=0 ∴ a=-2 = = = =2=b ∴ a+b=-2+2=0

15

=5에서 x⁄2일 때, (분모)⁄0이므로 (분자)⁄0이어야 한다. 즉, f(x)=3이므로 f(2)=3 ∴ = ∴ = _ ∴ =;5!;_;6!;=;3¡0;

16

'∂x+a-2=b에서 x⁄2일 때, (분모) ⁄0이고 극한값이 x-2 lim x⁄2 1 f(x)+3 lim x⁄2 x-2 f(x)-3 lim x⁄2 x-2 { f(x)-3}{ f(x)+3} lim x⁄2 x-2 { f(x)}¤ -9 lim x⁄2 lim x⁄2 f(x)-3 x-2 lim x⁄2 x+2 x lim x⁄2 (x+2)(x-2) x(x-2) lim x⁄2 x¤ -4 x¤ -2x lim x⁄2 x¤ -4 x¤ +ax lim x⁄2 lim x⁄2 x¤ -4 x¤ +ax lim x⁄2 a+2 3 x+a+1 x¤ +x+1 lim x⁄1 (x-1)(x+a+1) (x-1)(x¤ +x+1) lim x⁄1 x¤ +ax-a-1 x‹ -1 lim x⁄1 x¤ +ax-b x‹ -1 lim x⁄1 lim x⁄1 x¤ +ax-b x‹ -1 lim x⁄1 lim x⁄3 (x+a+3)(x-3) x-3 lim x⁄3 x¤ +ax-3a-9 x-3 lim x⁄3 x¤ +ax+b x-3 lim x⁄3 lim x⁄3 x¤ +ax+b x-3 lim x⁄3

07

= =a=2 = =3 yy`㉠ ㉠에서 x⁄1일 때, (분모)⁄0이고 극한값이 존재하므로 (분자)⁄0이어야 한다. 즉, (2x¤ +bx-1)=2+b-1=b+1=0 ∴ b=-1 ∴ ab=2_(-1)=-2

08

= =;9!; a+2=18 ∴ a=16

09

= = (x+a)=a ∴ a=4

10

=b에서 x⁄1일 때, (분모)⁄0이고 극한값이 존재 하므로 (분자)⁄0이어야 한다. 즉, (4x-a)=0에서 4-a=0 ∴ a=4 = = =4 ∴ b=4 ∴ a+b=4+4=8

11

=b에서 x⁄1일 때 (분모) ⁄0이므로 (분자)⁄0이어야 한다. 즉, (x¤ +ax)=1+a=0 ∴ a=-1 a=-1을 주어진 식에 대입하면 = = = x=1=b ∴ a+b=-1+1=0 lim x⁄1 x(x-1) x-1 lim x⁄1 x¤ -x x-1 lim x⁄1 x¤ +ax x-1 lim x⁄1 lim x⁄1 x¤ +ax x-1 lim x⁄1 4(x-1) x-1 lim x⁄1 4x-4 x-1 lim x⁄1 4x-a x-1 lim x⁄1 lim x⁄1 4x-a x-1 lim x⁄1 lim x⁄0 x¤ +ax x lim x⁄0 f(x) x lim x⁄0 1+1 1+a+1 x+1 x¤ +ax+1 lim x⁄1 lim x⁄1 2x¤ +bx-1 x-1 lim x⁄1 f(x) x-1 lim x⁄1 ax¤ +bx-1 x¤ lim x⁄¶ f(x) x¤ lim x⁄¶

08

16

09

①

10

①

11

③

12

①

13

④

14

③

15

⑤

16

21

17

①

18

⑤

19

③

20

②

21

13

22

② 본문020`~`022쪽

존재하므로 (분자)⁄0이어야 한다.

즉, ('∂x+a-2)=0에서 '∂2+a=2 ∴ a=2

= = =;4!;=b ∴ 10a+4b=10_2+4_;4!;=21

17

=;4!;에서 x ⁄3일 때, (분모) ⁄0이고 극한값이 존재하므로 (분자)⁄0이어야 한다. 즉, ('∂x+a-b)=0에서 '∂3+a-b=0 ∴ b='∂3+a = = = = =;4!;

즉, 2'∂3+a=4에서 '∂3+a=2 ∴ a=1 따라서 a=1, b='∂3+1=2이므로 a+b=3

18

=b에서 x⁄-3일 때, (분모)⁄0이고 극한값이 존재하므로 (분자)⁄0이어야 한다. 즉, ("√x¤ -x-3+ax)=0에서 "√(-3)¤ -(-3)-3-3a=0 ∴ a=1 = = = = =-;6!;=b ∴ a+b=1-;6!;=;6%;

19

f(x)가 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이고 f(0)=0이므로 f(x)=x‹ +ax¤ +bx(a, b는 상수)로 놓을 수 있다. f(-1)=-1+a-b=2 ∴ a-b=3 yy`㉠ f(1)=1+a+b=-2 ∴ a+b=-3 yy`㉡ ㉠, ㉡에서 a=0, b=-3 따라서 f(x)=x‹ -3x이므로 = (x¤ -3)=-3

20

f(x)는 다항함수이고 조건 ㈎에서 =2이므로 f(x)는 이차항의 계수가 2인 이차함수이다. f(x)=2x¤ +ax+b(a, b는 상수)로 놓으면 조건 ㈏에서 f(x) x¤ lim x⁄¶ lim x⁄0 f(x) x lim x⁄0 -1 '9+3 -1 "√x¤ -x-3-x lim x⁄-3 -(x+3) (x+3)("√x¤ -x-3-x) lim x⁄-3 ("√x¤ -x-3+x)("√x¤ -x-3-x) (x+3)("√x¤ -x-3-x) lim x⁄-3 "çx¤ -x-3+x x+3 lim x⁄-3 lim x⁄-3 "çx¤ -x-3+ax x+3 lim x⁄-3 1 2'∂3+a 1 '∂x+a+'∂3+a lim x⁄3 x-3 (x-3)('∂x+a+'∂3+a ) lim x⁄3 '∂x+a-'∂3+a x-3 lim x⁄3 '∂x+a-b x-3 lim x⁄3 lim x⁄3 '∂x+a-b x-3 lim x⁄3 x-2 (x-2)('∂x+2+2) lim x⁄2 '∂x+2-2 x-2 lim x⁄2 '∂x+a-2 x-2 lim x⁄2 lim x⁄2 x⁄0일 때, (분모)⁄0이고 극한값이 존재하므로 (분자)⁄0이 어야 한다. 즉, (2x¤ +ax+b)=0에서 b=0이므로 f(x)=2x¤ +ax를 조건 ㈏에 대입하면 = = (2x+a) =a=3 따라서 f(x)=2x¤ +3x이므로 f(2)=8+6=14

21

조건 ㈎에서 =2이므로 f(x)-x‹은 일차항의 계수가 6인 일차함수이다. f(x)-x‹ =6x+a(a는 상수)로 놓으면 f(x)=x‹ +6x+a 또 조건 ㈏에서 f(x)=-7이므로 f(x)= (x‹ +6x+a)=a=-7 따라서 f(x)=x‹ +6x-7이므로 f(2)=8+12-7=13

22

=0이므로 f(x)는 이차 이하의 다항함수이다. =5에서 x⁄0일 때, (분모)⁄0이므로 (분자)⁄0이어 야 한다. 즉, f(x)=f(0)=0이므로 f(x)=ax¤ +bx(a, b는 상수)로 놓을 수 있다. = = (ax+b) =b=5 방정식 ax¤ +5x=x의 한 근이 -2이므로 4a-10=-2에서 4a=8 ∴ a=2 따라서 f(x)=2x¤ +5x이므로 f(1)=7

23

=b에서 x⁄2일 때, (분모)⁄0이고 극한값이 존재하므로 (분자)⁄0이어야 한다. x¤ +2x+a x-2 lim x⁄2 lim x⁄0 ax¤ +bx x lim x⁄0 f(x) x lim x⁄0 lim x⁄0 f(x) x lim x⁄0 f(x) x‹ lim x⁄¶ lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 f(x)-x‹ 3x lim x⁄¶ lim x⁄0 2x¤ +ax x lim x⁄0 f(x) x lim x⁄0 lim x⁄0

23

①

24

③

25

④

26

①

27

②

28

④

29

11

30

104

31

④

32

⑤ 본문022`~`023쪽

유형`03. 미정계수 구하기

07

= = = =2 ∴ a=17 ∴ a+b=27

28

=b에서 x⁄3일 때, (분모)⁄0이고 극한값이 존재하므로 (분자)⁄0이어야 한다. 즉, ('∂x-2+a)=0에서 a=-1 = = =;2!;=b ∴ a+10b=-1+5=4

29

=;3!;에서 x ⁄1일 때, (분모) ⁄0이고 극한값 이 존재하므로 (분자)⁄0이어야 한다. 즉, '∂1+a-b=0에서 b='∂1+a yy`㉠

= = = = = =;3!; 따라서 a=8이므로 b=3 (∵ ㉠) ∴ a+b=11

30

=1이므로 f(x)는 최고차항의 계수가 1인 이차함수 이어야 한다. f(x)=x¤ +ax+b(a, b는 상수)로 놓으면 조건 ㈎에서 x⁄2일 때, (분모)⁄0이므로 (분자)⁄0이어야 한다. 즉, f(x)=4+2a+b=0에서 b=-2a-4 = =4+a=5 ∴ a=1, b=-6 따라서 f(x)=x¤ +x-6이므로 f(10)=100+10-6=104 (x-2)(x+2+a) x-2 lim x⁄2 x¤ +ax-2a-4 x-2 lim x⁄2 lim x⁄2 f(x) x¤ +x lim x⁄¶ 1 '∂1+a 2 '∂1+a+'∂1+a x+1 "çx¤ +a+'∂1+a lim x⁄1 x¤ -1 (x-1)("çx¤ +a+'∂1+a ) lim x⁄1 "çx¤ +a-'∂1+a x-1 lim x⁄1 "çx¤ +a-b x-1 lim x⁄1 "√x¤ +a-b x-1 lim x⁄1 x-3 (x-3)('∂x-2+1) lim x⁄3 '∂x-2-1 x-3 lim x⁄3 '∂x-2+a x-3 lim x⁄3 lim x⁄3 '∂x-2+a x-3 lim x⁄3 1-a -8 x-a x-9 lim x⁄1 (x-1)(x-a) (x-1)(x-9) lim x⁄1 (x-1)(x-a) x¤ -10x+9 lim x⁄1 즉, (x¤ +2x+a)=0에서 4+4+a=0 ∴ a=-8 = = =6=b 따라서 a=-8, b=6이므로 a+b=-2

24

=b에서 x⁄3일 때, (분모)⁄0이고 극한값이 존재 하므로 (분자)⁄0이어야 한다. 즉, (x‹ -a)=0에서 a=27 = = = (x¤ +3x+9)=27 ∴ b=27 ∴ a-b=27-27=0

25

=4에서 x⁄1일 때 (분모) ⁄0이므로 (분자)⁄0이어야 한다. 즉, (x¤ +ax+b)=1+a+b=0 ∴ b=-1-a㉠㉠yy㉠ ㉠을 주어진 식에 대입하면 = = = (x+a+1) =2+a=4 ∴ a=2 ㉠에서 b=-3 ∴ 2a+b=4-3=1

26

=;6!;에서 x ⁄1일 때, (분자) ⁄0이고 0이 아닌 극한값이 존재하므로 (분모)⁄0이어야 한다. 즉, (ax¤ +b)=0에서 a+b=0 = = = =;6!; 따라서 a=3, b=-3이므로 a-b=6

27

=2 yy`㉠ (x¤ -bx+9)=0이므로 b=10 b=10을 ㉠에 대입하면 lim x⁄1 (x-1)(x-a) x¤ -bx+9 lim x⁄1 1 2a 1 a(x+1) lim x⁄1 x-1 a(x¤ -1) lim x⁄1 x-1 ax¤ +b lim x⁄1 lim x⁄1 x-1 ax¤ +b lim x⁄1 lim x⁄1 (x-1)(x+a+1) x-1 lim x⁄1 x¤ +ax-1-a x-1 lim x⁄1 x¤ +ax+b x-1 lim x⁄1 lim x⁄1 x¤ +ax+b x-1 lim x⁄1 lim x⁄3 (x-3)(x¤ +3x+9) x-3 lim x⁄3 x‹ -27 x-3 lim x⁄3 x‹ -a x-3 lim x⁄3 lim x⁄3 x‹ -a x-3 lim x⁄3 (x+4)(x-2) x-2 lim x⁄2 x¤ +2x-8 x-2 lim x⁄2 x¤ +2x+a x-2 lim x⁄2 lim x⁄2

31

조건 ㈎에서 =2이므로 f(x)-2x‹ 은 이차항 의 계수가 2인 이차함수이다. f(x)-2x‹ =2x¤ +ax+b(a, b는 상수)로 놓으면 f(x)=2x‹ +2x¤ +ax+b 조건 ㈏에서 x⁄0일 때, (분모)⁄0이고 극한값이 존재하므로 (분자)⁄0이어야 한다. 즉, (2x‹ +2x¤ +ax+b)=0에서 b=0이므로 f(x)=2x‹ +2x¤ +ax를 조건 ㈏에 대입하면 = = (2x¤ +2x+a)=a ∴ a=5 따라서 f(x)=2x‹ +2x¤ +5x이므로 f(1)=9

32

두 조건 ㈎, ㈏에서 함수 f(x)는 x-1을 인수로 갖는 일차함수 또는 이차함수이므로 f(x)=(ax+b)(x-1)`(a, b는 상수)로 놓으면 조건 ㈏에서 = = (ax+b)=3 ∴ a+b=3 yy`㉠ 방정식 f(x)=2x의 한 근이 2이므로 f(2)=4 ∴ 2a+b=4 yy`㉡ ㉠, ㉡에서 a=1, b=2 따라서 f(x)=(x+2)(x-1)이므로 f(5)=7_4=28 lim x⁄1 (ax+b)(x-1) x-1 lim x⁄1 f(x) x-1 lim x⁄1 lim x⁄0 2x‹ +2x¤ +ax x lim x⁄0 f(x) x lim x⁄0 lim x⁄0 f(x)-2x‹ x¤ lim x⁄¶

01

`f(1)=3, `f(2)=2, `f(3)=2 ∴ `f(1)+f(2)+f(3)=7

02

f(x)=1, f(x)=1 ∴ f(x)+ f(x)=2

03

f(x)=3, f(x)=2 ∴ f(x)+ f(x)=5

04

f(x)=1, f(x)=3 ∴ f(x)- f(x)=-2

05

f(x)=1, f(x)=3 ∴ f(x)+ f(x)=4

06

주어진 그래프에서 f(x)=0, f(x)=2 이므로 f(x)- f(x)=0-2=-2

07

f(x)=2, f(x)=1 ∴ f(x)- f(x)=1

08

f(x)=0, f(x)=3 ∴ f(x)+ f(x)=3

09

f(x)=0, f(x)=-3 ∴ f(x)+ f(x)=-3

10

f(x)=1, f(x)=1 ∴ f(x)+ f(x)=2

11

f(x)=2, f(x)=2 ∴ f(x)+lim f(x)=4 x⁄1+ lim x ⁄0-lim x⁄1+ lim x ⁄0-lim x⁄0+ lim x ⁄-1-lim x⁄0+ lim x ⁄-1-lim x⁄1+ lim x ⁄0-lim x⁄1+ lim x ⁄0-lim x⁄1+ lim x ⁄0-lim x⁄1+ lim x ⁄0-lim x⁄1+ lim x ⁄-1-lim x⁄1+ lim x ⁄-1-lim x ⁄1-lim x⁄0+ lim x ⁄1-lim x⁄0+ lim x⁄1 lim x⁄0 lim x⁄1 lim x⁄0 lim x⁄2+ lim x ⁄2-lim x⁄2+ lim x ⁄2-lim x⁄3+ lim x⁄1+ lim x⁄3+ lim x⁄1+ lim x ⁄3-lim x ⁄1-lim x ⁄3-lim x

⁄1-01

⑤

02

②

03

⑤

04

①

05

④

0

4

본문025쪽

좌극한과 우극한

06

①

07

④

08

③

09

③

10

②

11

④

12

②

13

②

14

⑤

15

④

16

⑤

17

①

18

④

19

⑤

20

③

21

①

22

⑤

23

②

24

③

25

⑤ 본문026`~`030쪽

유형`05. 함수의 연속

09

12

f(x)=0, f(x)=2 ∴ f(x)+ f(x)=0+2=2

13

f(x)=1, f(x)=1 ∴ f(x)+ f(x)=2

14

f(x)=1, f(x)=1 ∴ f(x)+ f(x)=2

15

f(x)=0, f(x)=2 ∴ f(x)+ f(x)=0+2=2

16

f(x)=1, f(x)=1 ∴ f(x)+ f(x)=1+1=2

17

f(x)=-1, f(x)=2 ∴ f(x)+ f(x)=1

18

f(x)=2, f(x)=2 ∴ f(x)+ f(x)=4

19

f(x)=2, f(x)=3 ∴ f(x)+ f(x)=5

20

f(x)=3, f(x)=0 ∴ f(x)+ f(x)=3

21

f(x)=0, f(x)=-2 ∴ f(x)+ f(x)=-2

22

f(x)=1, f(x)=1 ∴ f(x)+ f(x)=2

23

f(x)=3, f(x)=1 ∴ f(x)+ f(x)=4

24

f(x)=1, f(x)=-1 ∴ f(x)+ f(x)=0

25

f(x)=2, f(x)=1 ∴ f(x)+lim f(x)=3 x⁄1+ lim x ⁄0-lim x⁄1+ lim x ⁄0-lim x⁄1+ lim x⁄-1 lim x⁄1+ lim x⁄-1 lim x⁄1+ lim x⁄0 lim x⁄1+ lim x⁄0 lim x⁄0+ lim x ⁄-1-lim x⁄0+ lim x ⁄-1-lim x⁄1+ lim x ⁄0-lim x⁄1+ lim x ⁄0-lim x⁄0+ lim x ⁄-1-lim x⁄0+ lim x ⁄-1-lim x⁄1+ lim x ⁄-1-lim x⁄1+ lim x ⁄-1-lim x⁄1 lim x ⁄0-lim x⁄1 lim x ⁄0-lim x⁄1+ lim x ⁄0-lim x⁄1+ lim x ⁄0-lim x⁄1+ lim x ⁄0-lim x⁄1+ lim x ⁄0-lim x⁄1+ lim x⁄0 lim x⁄1+ lim x⁄0 lim x⁄2+ lim x ⁄1-lim x⁄2+ lim x ⁄1-lim x⁄2+ lim x ⁄1-lim x⁄2+ lim x ⁄1-lim x ⁄1-lim x⁄-1+ lim x ⁄1-lim x⁄-1+

26

f(x)=1, f(x)=5 ∴ f(x)+ f(x)=6

27

f(x)=-1, f(1)=1, f(x)=3 ∴ f(x)+f(1)+ f(x)=3

28

f(x)=-2, f(x)=1, f(x)=0 ∴ f(x)+ f(x)+ f(x)=-1

29

x-1=t로 놓으면 x⁄1-일 때, t ⁄0-이므로 f(x-1)= f(t)=1 x+2=s로 놓으면 x⁄1+일 때, s ⁄3+이므로 f(x+2)= f(s)=2 ∴ f(x-1)+lim f(x+2)=3 x⁄1+ lim x ⁄1-lim s⁄3+ lim x⁄1+ lim t ⁄0-lim x ⁄1-lim x⁄0 lim x⁄2+ lim x ⁄1-lim x⁄0 lim x⁄2+ lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x ⁄0-lim x⁄1+ lim x ⁄0-lim x ⁄4-lim x⁄1+ lim x ⁄4-lim x⁄1+

01

x=2에서 f(x)의 극한값과 함숫값이 같으면 x=2에서 연속이 므로 안에 알맞은 것은 f(2)이다.

02

f(x)= f(x)= (x+3)=6

03

f(x)= = (x+a) =2+a=10 ∴ a=8 lim x⁄2 (x-2)(x+a) x-2 lim x⁄2 lim x⁄2 lim x⁄3 (x-3)(x+3) x-3 lim x⁄3 lim x⁄3

26

①

27

3

28

②

29

③ 본문031쪽

01

②

02

③

03

13

04

5

05

③

06

3

07

③

08

④

09

③

10

⑤

0

5

본문033`~`034쪽

함수의 연속

x+2일 때 f(x)=x+8이므로 f(5)=5+8=13

04

f(x)= (x¤ -x+2)=1-1+2=2 f(1)=3 ∴ f(x)+ f(1)=2+3=5

05

함수 f(x)가 x=1에서 연속이므로 f(x)= f(x)=f(1) a+3=5에서 a=2 2b-1=5에서 b=3 ∴ a+b=5

06

함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=2에서도 연 속이다. 즉, f(2)= f(x) ∴ a= (2x-1)=3

07

x…2또는 x>2에서 f(x)는 각각 연속이므로 실수 전체의 집 합에서 연속이 되기 위해서는 x=2에서 연속이어야 한다. 즉, f(x)=f(2)이므로 f(x)= f(x)=f(2) 1=4+a ∴ a=-3

08

함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=3에서도 연 속이다. x=3에서 연속이려면 f(x)= f(x)=f(3)이어야 하므로 9-6=-9+a ∴ a=12

09

함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=1에서도 연 속이다. 즉, f(1)= f(x) ∴ a= = (x+2)=3

10

함수 f(x)가 x=4에서 연속이므로 f(4)= f(x) ∴ a= ∴ a=lim(x+1)=5 x⁄4 (x-4)(x+1) x-4 lim x⁄4 lim x⁄4 lim x⁄1 (x-1)(x+2) x-1 lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄3+ lim x ⁄3-lim x⁄2+ lim x ⁄2-lim x⁄2 lim x⁄2 lim x⁄2 lim x⁄1+ lim x ⁄1-lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄1

11

함수 f(x)가 x=2에서 연속이므로 f(x)= f(x)=f(2) 즉, a+2=3a-2=f(2)이다. a+2=3a-2에서 a=2 f(2)=a+2=2+2=4 ∴ a+f(2)=2+4=6

12

함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=1에서도 연 속이다. 즉, `f(1)= f(x) ∴ a= (2x+5)=7

13

함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 x=1에서도 연 속이어야 한다. x=1에서 연속이려면 f(x)= f(x)=f(1)이어야 하므로 2+10=1+a ∴ a=11

14

함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=1에서도 연속 이다. 즉, f(x)=f(1)이므로 f(x)= f(x)=f(1) 1+2=-1+a ∴ a=4

15

함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=1에서도 연 속이다. x=1에서 연속이려면 f(x)= f(x)=f(1)이어야 하므로 4-a=1+a _{∴ a=;2#;}

16

함수 f(x)가 x=2에서 연속이므로 f(2)= f(x)이어야 한다. f(x)= f(x)=f(2) 2+b=6+a ∴ a-b=2-6=-4

17

함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=3에서도 연 속이다. 즉, `f(3)= f(x) ∴ a= = (3x+2)=11

18

함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이므로 x=3에서도 연속이다. 즉, f(3)= f(x) ∴ a= ∴ a= ∴ a=lim(x+4)=7 x⁄3 (x-3)(x+4) x-3 lim x⁄3 x¤ +x-12 x-3 lim x⁄3 lim x⁄3 lim x⁄3 (3x+2)(x-3) x-3 lim x⁄3 lim x⁄3 lim x⁄2+ lim x ⁄2-lim x⁄2 lim x⁄1+ lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x ⁄1-lim x⁄1 lim x⁄1+ lim x ⁄1-lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄2+ lim x

⁄2-11

6

12

②

13

11

14

⑤

15

①

16

①

17

11

18

④

19

④

20

①

21

① 본문034`~`036쪽

유형`05. 함수의 연속

11

19

주어진 함수가 x=3에서 연속이면 실수 전체의 집합에서 연속이 므로 f(x)=f(3)을 만족시키면 된다. 즉, =b 이어야 하고 x ⁄ 3일 때 (분모) ⁄ 0이므로 (분자)` ⁄ 0이어야 한다. (x¤ -5x+a)=9-15+a=0 ∴ a=6 b= b= b= (x-2)=1 ∴ a+b=6+1=7

20

함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=2에서도 연 속이다. x=2에서 연속이려면 f(x)=f(2)이어야 한다. 즉, =b 이어야 하고 x ⁄ 2일 때 (분모) ⁄ 0이므로 (분자)` ⁄ 0이어야 한다. (x¤ +ax-10)=0에서 4+2a-10=0 ∴ a=3 ∴ b= ∴ b= ∴ b= (x+5)=7 ∴ a+b=3+7=10

21

f(x)=[ 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이려면 x=1, x=-1에서도 연속이어야 한다. x=-1에서 연속이려면 f(x)= f(x)=f(-1)이어야 하므로 2=-1-a+b ∴ a-b=-3 lim x⁄-1+ lim x ⁄-1-x(x-1) (`x>1 또는 x<-1) -x¤ +ax+b(`-1…x…1) lim x⁄2 (x-2)(x+5) x-2 lim x⁄2 x¤ +ax-10 x-2 lim x⁄2 lim x⁄2 x¤ +ax-10 x-2 lim x⁄2 lim x⁄2 lim x⁄3 (x-2)(x-3) x-3 lim x⁄3 x¤ -5x+6 x-3 lim x⁄3 lim x⁄3 x¤ -5x+a x-3 lim x⁄3 lim x⁄3

22

함수 f(x)가 x=3에서 연속이므로 f(x)=f(3) 즉, a-5=3a-9이므로 2a=4 ∴ a=2

23

함수 f(x)가 x=1에서 연속이므로 f(x)= f(x)=f(1) 즉, -a+3=2a+6에서 3a=-3 ∴ a=-1 ∴ f(1)=-a+3=1+3=4

24

함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이므로 x=1에서도 연속이다. 즉, f(1)= f(x) ∴ a= (2x+3)=5

25

함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=2에서도 연 속이다. x=2에서 연속이려면 f(x)= f(x)=f(2)이어야 하므로 2+a=4-1 ∴ a=1

26

함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=3에서도 연 속이다. x=3에서 연속이려면 f(x)= f(x)=f(3)이어야 하므로 9-a=-3+a, 2a=12 ∴ a=6

27

함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 연속이므로 x=a에서도 연 속이다. x=a에서 연속이려면 f(x)= f(x)=f(a)이어야 하므로

a+6=a¤, a¤ -a-6=0

(a+2)(a-3)=0 ∴ a=-2 또는 a=3 a>0이므로 a=3

28

함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이므로 x=2에서도 연속이 다. 즉, `f(2)= f(x) ∴ a= ∴ a= (x+1)=3

29

함수 f(x)가 x=1에서 연속이므로 f(1)= f(x) ∴ a= ∴ a= ∴ a=lim(x+1)=2 x⁄1 (x-1)(x+1) x-1 lim x⁄1 x¤ -1 x-1 lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄2 (x+1)(x-2) x-2 lim x⁄2 lim x⁄2 lim x⁄a+ lim x ⁄a-lim x⁄3+ lim x ⁄3-lim x⁄2+ lim x ⁄2-lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄1+ lim x ⁄1-lim x⁄3

22

④

23

④

24

⑤

25

①

26

④

27

③

28

①

29

②

30

3

31

⑤

32

4

33

①

34

④

35

3 본문036`~`038쪽

30

함수 f(x)가 모든 실수에서 연속이므로 x=-1에서도 연속이 다. 즉, f(-1)= f(x) ∴ a= ∴ a= ∴ a= (x+4) ∴ a=3

31

함수 f(x)가 x=2에서 연속이므로 f(x)=f(2) ∴ = = = =3 ∴ a=10

32

함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=1에서도 연 속이다. x=1에서 연속이려면 f(x)= f(x)=f(1)이어야 하므로 = (-x+a) 3=-1+a ∴ a=4

33

함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이므로 x=1, x=3에서도 연속이다. ⁄x=1에서 연속이려면 ⁄ f(x)= f(x)=f(1)이어야 하므로 ⁄ (x¤ +bx+4)= (x+a) ⁄1+b+4=1+a ⁄∴ a-b=4㉠ yy㉠ ¤x=3에서 연속이려면 ⁄ f(x)= f(x)=f(3)이어야 하므로 ⁄ (x+a)= (x¤ +bx+4) ⁄3+a=9+3b+4 ⁄∴ a-3b=10㉠ yy㉡ ㉠-㉡을 하면 2b=-6 ∴ b=-3 b=-3을 ㉠에 대입하면 a=1 ∴ a+b=-2

34

함수 f(x)가 x=2에서 연속이므로 f(x)=f(2)에서 =b x⁄2일 때 (분모) ⁄0이므로 (분자) ⁄0이어야 한다. 즉, (x¤ +ax-4)=2a=0 ∴ a=0 lim x⁄2 x¤ +ax-4 x-2 lim x⁄2 lim x⁄2 lim x⁄3+ lim x ⁄3-lim x⁄3+ lim x ⁄3-lim x⁄1+ lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x ⁄1-lim x⁄1+ (x-1)(x+2) x-1 lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x ⁄1-2+a 4 x+a x+2 lim x⁄2 (x-2)(x+a) (x-2)(x+2) lim x⁄2 (x-2)(x+a) x¤ -4 lim x⁄2 lim x⁄2 lim x⁄-1 (x+1)(x+4) x+1 lim x⁄-1 x¤ +5x+4 x+1 lim x⁄-1 lim x⁄-1 a=0을 주어진 식에 대입하면 = = = (x+2) =4=b ∴ a+b=0+4=4

35

함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이므로 x=1에서도 연속이다. 즉, f(x)=f(1)에서 =3 x⁄1일 때 (분모) ⁄0이므로 (분자) ⁄0이어야 한다. 즉, (x¤ +ax+b)=1+a+b=0 ∴ b=-a-1㉠㉠yy㉠ ㉠을 주어진 식에 대입하면 = = = (x+1+a) =2+a=3 ∴ a=1 ㉠에서 b=-2 ∴ a-b=1-(-2)=3 lim x⁄1 (x-1)(x+1+a) x-1 lim x⁄1 x¤ +ax-a-1 x-1 lim x⁄1 x¤ +ax+b x-1 lim x⁄1 lim x⁄1 x¤ +ax+b x-1 lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄2 (x-2)(x+2) x-2 lim x⁄2 x¤ -4 x-2 lim x⁄2 x¤ +ax-4 x-2 lim x⁄2

01

f(x)=x¤ +3x+5이므로 f(-1)=(-1)¤ +3_(-1)+5=3

02

f(x)=xfi +5에서 f '(x)=(xfi )'+(5)'=5x›

03

f(x)=x¤ -3x에서 f '(x)=(x¤ )'-(3x)'=2x-3 ∴ f '(2)=2_2-3=1

01

3

02

③

03

1

04

③

05

④

06

10

07

7

08

③

09

④

10

①

0

6

본문041`~`042쪽

미분계수 구하기

유형`06. 미분계수 구하기

13

04

f(x)=x‹ +2x-3에서 f '(x)=(x‹ )'+(2x)'-(3)' =3x¤ +2 f '(2)=3_2¤ +2=14

05

f(x)=;3!;x‹ +;4!;x¤ +2x+5에서 f '(x)={;3!;x‹ }'+{;4!;x¤ }'+(2x)'+(5)' f '(x)=x¤ +;2!;x+2 ∴ f`'(-1)=(-1)¤ +;2!;_(-1)+2=;2%;

06

f(x)=x¤ +4x에서 f '(x)=(x¤ )'+(4x)' =2x+4 ∴ f '(3)=2_3+4=10

07

f(x)=x› -;3!;x‹ +4x+2에서 f '(x)=(x› )'-{;3!;x‹ }'+(4x)'+(2)' f '(x)=4x‹ -x¤ +4 x=1에서의 순간변화율은 f '(1)이므로 f '(1)=4_1‹ -1¤ +4=7

08

f(x)=(x‹ +6x¤ +2)(x¤ -2x)에서 f '(x)=(x‹ +6x¤ +2)'(x¤ -2x)+(x‹ +6x¤ +2)(x¤ -2x)' =(3x¤ +12x)(x¤ -2x)+(x‹ +6x¤ +2)(2x-2) 이므로 안에 알맞은 것은 2x-2이다.

09

f(x)=(x¤ -2x)(x¤ +3)에서 f '(x)=(x¤ -2x)'(x¤ +3)+(x¤ -2x)(x¤ +3)' =(2x-2)(x¤ +3)+(x¤ -2x)_2x =4x‹ -6x¤ +6x-6 ∴ f '(1)=4-6+6-6=-2

10

f(x)=(x+1)(x‹ -3x¤ +8)에서 f '(x)=1_(x‹ -3x¤ +8)+(x+1)(3x¤ -6x) =(x‹ -3x¤ +8)+(3x‹ -3x¤ -6x) =4x‹ -6x¤ -6x+8 ∴ f'(0)=8

11

f(x)=2x‹ +x+1에서 f '(x)=6x¤ +1이므로 f '(1)=6_1¤ +1=7

12

f(x)=3x¤ -2x에서 f '(x)=6x-2 ∴ f'(1)=6_1-2=4

13

f(x)=x‹ +3x¤ +3에서 f '(x)=3x¤ +6x ∴ f '(2)=12+12=24

14

f(x)=x‹ +7x+3에서 f '(x)=3x¤ +7 ∴ f '(1)=3+7=10

15

f(x)=x‹ -2x¤ +4에서 f '(x)=3x¤ -4x ∴ f '(3)=27-12=15

16

f(x)=x‹ +5x¤ +1에서 f '(x)=3x¤ +10x ∴ f '(1)=3+10=13

17

f(x)=x› -3x¤ +8에서 f '(x)=4x‹ -6x ∴ f '(2)=32-12=20

18

f(x)=5xfi +3x‹ +x에서 f '(x)=25x› +9x¤ +1 ∴ f'(1)=25_1› +9_1¤ +1=35

19

f(x)=7x‹ -ax+3에서 ` f '(x)=21x¤ -a이므로 f '(1)=21-a=2 ∴ a=19

20

f(x)=(x‹ +5)(x¤ -1)에서 f '(x)=3x¤ (x¤ -1)+(x‹ +5)_2x ∴ f '(1)=3_0+6_2=12 [다른 풀이] f(x)=(x‹ +5)(x¤ -1) =xfi -x‹ +5x¤ -5 f '(x)=5x› -3x¤ +10x ∴ f '(1)=5-3+10=12

21

f(x)=(x¤ +1)(x¤ +x-2)에서 f '(x)=2x(x¤ +x-2)+(x¤ +1)(2x+1) ∴ f '(2)=4_4+5_5 =16+25 =41

22

f(x)=(x‹ +3x+1)(x¤ -2x+3)에서

11

7

12

4

13

24

14

④

15

15

16

13

17

20

18

35

19

19

20

12

21

41

22

12

23

28 본문042`~`044쪽

f '(x)=(3x¤ +3)(x¤ -2x+3)+(x‹ +3x+1)(2x-2) ∴ f '(1)=6_2+5_0=12

23

f(x)=(2x‹ +1)(x-1)¤에서 f(x)=(2x‹ +1)(x¤ -2x+1) f '(x)=6x¤ (x¤ -2x+1)+(2x‹ +1)(2x-2) ∴ f '(-1)=6_4+(-1)_(-4) =24+4=28

24

f(x)=x¤ +5x-2에서 f '(x)=2x+5 ∴ f '(10)=20+5=25

25

f(x)=x‹ +2x¤ +8에서 f '(x)=3x¤ +4x ∴ f '(1)=3+4=7

26

f(x)=x‹ +2x¤ -5에서 f '(x)=3x¤ +4x ∴ f '(2)=12+8=20

27

f(x)=x‹ +ax¤ +3에서 f '(x)=3x¤ +2ax이므로 f '(4)=48+8a=8 8a=-40 ∴ a=-5

28

f(x)=x¤ +3x-1에서 f '(x)=2x+3이므로 f '(a)=2a+3=5 2a=2 ∴ a=1

29

f(x)=x¤ +ax+b에서 f(0)=3이므로 f(0)=b=3 또 f '(x)=2x+a에서 f '(0)=-2이므로 f '(0)=a=-2 ∴ a+b=-2+3=1

30

f(x)=x‹ -x¤ +3이라 하면 곡선 y=f(x) 위의 x=1인 점에서의 접선의 기울기는 x=1에 서의 미분계수와 같으므로 f '(x)=3x¤ -2x에서 f '(1)=3-2=1 따라서 x=1인 점에서의 접선의 기울기는 1이다.

31

f(x)=(3x+2)(x¤ +3x-1)에서 f '(x)=3(x¤ +3x-1)+(3x+2)(2x+3) =3x¤ +9x-3+6x¤ +13x+6 =9x¤ +22x+3 ∴ f '(1)=9+22+3=34

32

f(x)=(1-x¤ )(1-x‹ )에서 f '(x)=-2x(1-x‹ )+(1-x¤ )(-3x¤ ) =-2x+2x› -3x¤ +3x› =5x› -3x¤ -2x ∴ f '(2)=80-12-4=64

01

함수 f(x)가 x=a에서 미분가능하면 연속이므로 g(a) `h(a) f '(x)= 이고 함수 f(x)는 x=a에서 미분가능하므로 g'(a) `h'(a)

02

x=3에서 함수 f(x)가 연속이면 함수 f(x)는 모든 실수에서 연속이다. 따라서 안에 알맞은 값은 3이다.

03

f(x)= 에서 f '(x)= ⑴ g'(1)=h'(1)이므로 2+a=3+6 ∴ a=7 ⑵ g(1)=h(1)이므로 1+7=1+3+b ∴ b=4 (x<1) (x>1) 2x+a 3x¤ +6x [ (x<1) (xæ1) x¤ +ax x‹ +3x¤ +b [ = (x<a) (x>a) g'(x) h'(x) [ =

24

25

25

7

26

⑤

27

①

28

②

29

③

30

①

31

34

32

⑤ 본문044`~`045쪽

01

=, =

02

3

03

⑴ 7 ⑵ 4 ⑶ 11

04

②

05

1

06

①

0

7

본문047쪽

미분가능성

유형`07. 미분가능성

15

⑶ g(1)=h(1), g'(1)=h'(1)을 모두 만족시키면 함수 f(x)는 x=1에서 미분가능하므로 연속이다. ⑴, ⑵에서 a=7, b=4이므로 a+b=11

04

f(1)=g(1)에서 1+a+b=1+a+3 ∴ b=3 f '(x)=3x¤ +2ax+3, g'(x)=2x+a f '(1)=g'(1)에서 3+2a+3=2+a ∴ a=-4 ∴ a+b=(-4)+3=-1

05

함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하면 연속이므로 f(x)= f(x)=f(1)에서 1+a=4+b ∴ a-b=3 yy`㉠ 또 함수 f(x)는 x=1에서 미분가능하므로 = = = (x+a+1)=2+a = = =4 즉, 2+a=4이므로 a=2 a=2를 ㉠에 대입하면 b=-1 ∴ a+b=2+(-1)=1 [다른 풀이] 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하면 연속이므로 1+a=4+b ∴ b=a-3 yy`㉠ f '(x)= 이고 함수 f(x)는 x=1에서 미분가능하므로 2+a=4 ∴ a=2 a=2를 ㉠에 대입하면 b=-1 ∴ a+b=2+(-1)=1

06

함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하면 x=2에서 연속 이므로 f(x)= f(x)=f(2) (x¤ +ax+b)= (-x¤ ) 4+2a+b=-4 ∴ b=-2a-8 yy`㉠ x=2에서 미분계수가 존재하므로 = = =lim(x+a+2)=4+a x ⁄2-(x-2)(x+a+2) x-2 lim x ⁄2-x¤ +ax+b-(4+2a+b) x-2 lim x ⁄2-f(x)-f(2) x-2 lim x ⁄2-lim x⁄2+ lim x ⁄2-lim x⁄2+ lim x ⁄2-(x<1) (x>1) 2x+a 4 [ 4(x-1) x-1 lim x⁄1+ 4x+b-(4+b) x-1 lim x⁄1+ f(x)-f(1) x-1 lim x⁄1+ lim x ⁄1-(x-1)(x+a+1) x-1 lim x ⁄1-x¤ +ax-(1+a) x-1 lim x ⁄1-f(x)-f(1) x-1 lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x ⁄1-= = = (-x-2)=-4 즉, 4+a=-4이므로 a=-8 a=-8을 ㉠에 대입하면 b=8 ∴ a+b=-8+8=0 [다른 풀이] 함수 f(x)가 x=2에서 미분가능하면 연속이므로 4+2a+b=-4 ∴ b=-2a-8 yy`㉠ f '(x)= 함수 f(x)는 x=2에서 미분가능하므로 4+a=-4 ∴ a=-8 a=-8을 ㉠에 대입하면 b=8 ∴ a+b=-8+8=0

07

함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하면 연속이므로 a+1=1+a f '(x)= 이고 함수 f(x)는 x=1에서 미분가능하므로 2a=4 ∴ a=2

08

함수 f(x)가 x=-2에서 미분가능하면 연속이므로 4-2a+b=-4 ∴ b=2a-8 yy`㉠ f '(x)= 이고 함수 f(x)는 x=-2에서 미분가능하므로 -4+a=2 ∴ a=6 a=6을 ㉠에 대입하면 b=4 ∴ a+b=10

09

함수 f(x)가 x=2에서 미분가능하면 연속이므로 -4+2a+2=4+b ∴ b=2a-6 yy`㉠ f '(x)= 이고 함수 f(x)는 x=2에서 미분가능하므로 -4+a=2 (x>2) (x<2) -2x+a 2 [ (x<-2) (x>-2) 2x+a 2 [ (x<1) (x>1) 2ax 4x‹ [ (x<2) (x>2) 2x+a -2x [ lim x⁄2+ -(x+2)(x-2) x-2 lim x⁄2+ -x¤ -(-4) x-2 lim x⁄2+ f(x)-f(2) x-2 lim x⁄2+

07

2

08

⑤

09

36

10

③

11

②

12

② 본문048쪽

∴ a=6 a=6을 ㉠에 대입하면 b=6 ∴ ab=36

10

함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하면 연속이므로 1+a=b+1+1 ∴ a-b=1 yy`㉠ f '(x)= 이고 함수 f(x)는 x=1에서 미분가능하므로 3+a=2b+1 ∴ a-2b=-2 yy`㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=3 ∴ a+b=7

11

함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하면 연속이므로 1+a+b=2+1 ∴ a+b=2 yy`㉠ f '(x)= 이고 함수 f(x)는 x=1에서 미분가능하므로 3+2a+b=4 ∴ 2a+b=1 yy`㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=3 ∴ ab=-3

12

함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하면 연속이므로 1=a+b ∴ b=1-a yy`㉠ f '(x)= 이고 함수 f(x)는 x=0에서 미분가능하므로 -1=-2a ∴ a=;2!; a=;2!;을 ㉠에 대입하면 b=;2!; 즉, f(x)= 이므로 f(1)=;2!;(1-1)¤ +;2!;=;2!; (x<0) (xæ0) -x+1 ;2!; (x-1)¤ +;2!;

[

(x<0) (x>0) -1 2a(x-1) [ (x>1) (x<1) 3x¤ +2ax+b 4x [ (x<1) (x>1) 3x¤ +a 2bx+1 [

13

함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하면 연속이므로 3+a=1+a+2 ∴ 3+a=a+3 f '(x)= 이고 함수 f(x)는 x=1에서 미분가능하므로 6=3+a ∴ a=3

14

함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하면 연속이므로 5-1=a+b ∴ a+b=4 yy`㉠ f '(x)= 이고 함수 f(x)는 x=1에서 미분가능하므로 2a+b=5 yy`㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=3 ∴ ab=3

15

함수 f(x)가 x=2에서 미분가능하면 연속이므로 -4+2a-1=4+b ∴ b=2a-9 yy`㉠ f '(x)= 이고 함수 f(x)는 x=2에서 미분가능하므로 -4+a=2 ∴ a=6 a=6을 ㉠에 대입하면 b=3 즉, f(x)= ∴ f(1)+f(3)=4+9=13

16

함수 f(x)가 x=2에서 미분가능하면 연속이므로 -4=(2-a)¤ +b ∴ b=-(2-a)¤ -4 yy`㉠ f '(x)= 이고 함수 f(x)는 x=2에서 미분가능하므로 -4=4-2a ∴ a=4 a=4를 ㉠에 대입하면 b=-8 ∴ a+b=-4

17

함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하면 연속이므로 a+b=-2 ∴ b=-a-2 yy`㉠ f '(x)= 이고 함수 f(x)는 x=0에서 미분가능하므로 -2a=1 _{∴ a=-;2!;} a=-;2!;을 ㉠에 대입하면 b=-;2#; ∴ a-b=1

18

함수 f(x)가 x=-1, x=1에서 미분가능하면 연속이므로 f(-1)=3+a=-1-b ∴ a=-4-b yy`㉠ (x<0) (x>0) 1 2a(x-1) [ (x<2) (x>2) -2x 2x-2a [ (x<2) (xæ2) -x¤ +6x-1 2x+3 [ (x<2) (x>2) -2x+a 2 [ (x<1) (x>1) 5 2ax+b [ (x<1) (x>1) 6x 3x¤ +a [

13

⑤

14

③

15

③

16

②

17

④

18

① 본문049쪽

유형`08. 미분계수의 정의

17

f(1)=1+b=-3+c ∴ c=4+b yy`㉡ f '(x)= 이고 함수 f(x)는 x=-1, x=1에서 미분가능하므로 f '(-1)=3+b=-3 f '(1)=3+b=-3 ∴ b=-6 b=-6을 ㉠, ㉡에 각각 대입하면 a=2, c=-2 ∴ a+b+c=-6 (x<-1) (-1<x<1) (x>1) -3 3x¤ +b -3 ( « { « 9

01

미분계수의 정의에 의해 =f '(3)이므로 a=3

02

미분계수의 정의에 의해 f '(2)= 이므로 안에 알맞은 것은 f(2)이다.

03

미분계수의 정의에 의해 =f '(2)이고 f'(x)=2x이므로 f '(2)=4

04

미분계수의 정의에 의해 =f '(3)이고 f'(x)=3x¤ 이므로 f '(3)=27

05

미분계수의 정의에 의해 = _3 =3f '(a) 이므로 k=3

06

미분계수의 정의에 의해 f(a+3h)-f(a) 3h lim h⁄0 f(a+3h)-f(a) h lim h⁄0 f(3+h)-f(3) h lim h⁄0 f(2+h)-f(2) h lim h⁄0 f(2+h)-f(2) h lim h⁄0 f(3+h)-f(3) h lim h⁄0 = _5 =5 f '(2) =5_2 =10

07

미분계수의 정의에 의해 =f '(2)

08

미분계수의 정의에 의해 f '(1)= 이므로 안에 알맞은 것은 f(1)이다.

09

미분계수의 정의에 의해 = =f '(5) ∴ k=5

10

미분계수의 정의에 의해 =f '(1)이고 f '(x)=2x-4이므로 f '(1)=2-4=-2

11

의 극한값이 존재하고, x⁄2일 때 (분모) ⁄0이므로 (분자) ⁄0이어야 한다. 즉, { f(x)-3}=f(2)-3=0 ∴ f(2)=3 한편, 미분계수의 정의에 의해 = =f '(2)=6 따라서 f(2)=3, f'(2)=6이므로 f(2)+f '(2)=3+6=9

12

= _ = _ =f '(1)_ ∴ ㈎`: x+1, ㈏`: _x+11 , ㈐`: ;2!; 1 2 1 x+1 lim x⁄1 f(x)-f(1) x-1 lim x⁄1 1 ,`x+1L. f(x)-f(1) x-1 lim x⁄1 f(x)-f(1) x¤ -1 lim x⁄1 f(x)-f(2) x-2 lim x⁄2 f(x)-3 x-2 lim x⁄2 lim x⁄2 f(x)-3 x-2 lim x⁄2 f(x)-f(1) x-1 lim x⁄1 f(x)-f(5) x-5 lim x⁄5 f(x)-2 x-5 lim x⁄5 f(x)-f(1) x-1 lim x⁄1 f(x)-f(2) x-2 lim x⁄2 f(2+5h)-f(2) 5h lim h⁄0 f(2+5h)-f(2) h lim h⁄0

01

③

02

②

03

④

04

③

05

⑤

06

⑤

07

②

08

①

09

⑤

10

①

11

④

12

③

0

8

본문051`~`052쪽

미분계수의 정의

13

①

14

17

15

④

16

③

17

24

18

21

19

③

20

12

21

① 본문053`~`054쪽

13

=f '(1) f(x)=x¤ +5에서 f'(x)=2x이므로 f '(1)=2

14

=f '(2) f(x)=x‹ +5x에서 f'(x)=3x¤ +5이므로 f '(2)=12+5=17

15

=f '(1)=6이고 f(x)=2x¤ +ax에서 f'(x)=4x+a이므로 f '(1)=4+a=6 ∴ a=2

16

=;2!; =;2!; f'(1) f(x)=x¤ +4x에서 f '(x)=2x+4이므로 ;2!; f '(1)=;2!;_6=3

17

= _2 =2 f '(1) f(x)=x› +4x¤ +1에서 f'(x)=4x‹ +8x이므로 2 f '(1)=2_12=24

18

= _3 =3 f '(1) f(x)=x‹ +4x-2에서 f'(x)=3x¤ +4이므로 `3f'(1)=3_7=21

19

= _;2#; =;2#; f'(1) f(x)=x‹ -x에서 f '(x)=3x¤ -1이므로 ;2#; f '(1)=;2#;_2=3

20

=f '(1) f(x)=x‹ +9x+2에서 f '(x)=3x¤ +9이므로 f '(1)=12

21

의 극한값이 존재하고, x⁄1일 때, (분모) ⁄0이므로 (분자) ⁄0이어야 한다. 즉, { f(x)-2}=f(1)-2=0 ∴ f(1)=2 lim x⁄1 f(x)-2 x¤ -1 lim x⁄1 f(x)-f(1) x-1 lim x⁄1 f(1+3h)-f(1) 3h lim h⁄0 f(1+3h)-f(1) 2h lim h⁄0 f(1+3h)-f(1) 3h lim h⁄0 f(1+3h)-f(1) h lim h⁄0 f(1+2h)-f(1) 2h lim h⁄0 f(1+2h)-f(1) h lim h⁄0 f(1+h)-f(1) h lim h⁄0 f(1+h)-f(1) 2h lim h⁄0 f(1+h)-f(1) h lim h⁄0 f(2+h)-f(2) h lim h⁄0 f(1+h)-f(1) h lim h⁄0 = _ =;2!; =;2!; f'(1)=3 ∴ f'(1)=6 ∴ =;2^;=3

22

=f '(2)이고 f '(x)=6x¤ -2x이므로 f '(2)=24-4=20

23

=f '(2)=10이고 f (x)=x¤ +ax에서 f'(x)=2x+a이므로 f '(2)=4+a=10 ∴ a=6

24

= _(-1) =-f '(2) =-3

25

= _;2!; =;2!; f'(2) f(x)=x‹ +2x-3에서 f'(x)=3x¤ +2이므로 f '(2)=12+2=14 ∴ =;2!;_14=7

26

= _3 =3 f '(1) 이고 f'(x)=4x‹ +3x¤ +2x+1이므로 3 f '(1)=3(4+3+2+1)=30

27

= _;2#; =;2#; f'(2) 이고 f'(x)=4x+4이므로 f(2+3h)-f(2) 3h lim h⁄0 f(2+3h)-f(2) 2h lim h⁄0 f(1+3h)-f(1) 3h lim h⁄0 f(1+3h)-f(1) h lim h⁄0 f(2+h)-f(2) 2h lim h⁄0 f(2+h)-f(2) h lim h⁄0 f(2+h)-f(2) 2h lim h⁄0 f(2-h)-f(2) -h lim h⁄0 f(2-h)-f(2) h lim h⁄0 f(2+h)-f(2) h lim h⁄0 f(2+h)-f(2) h lim h⁄0 f '(1) f(1) f(x)-f(1) x-1 lim x⁄1 f(x)-2 x-1 1 x+1 lim x⁄1 f(x)-2 x¤ -1 lim x⁄1

22

④

23

③

24

①

25

7

26

③

27

④

28

⑤

29

⑤

30

⑤ 본문054`~`055쪽

유형`09. 접선의 방정식

19

;2#; f '(2)=;2#;(8+4)=18

28

= f '(1) 이고 f'(x)=3x¤ +2x이므로 f '(1)=3+2=5

29

= = _ = _ =;4!; f'(2)=3 ∴ f'(2)=12 이때, f'(x)=4x‹ -2ax이므로 f '(2)=32-4a=12 ∴ a=5

30

의 극한값이 존재하고, x⁄1일 때, (분모) ⁄0이므로 (분자) ⁄0이어야 한다. 즉, { f(x)-1}=f(1)-1=0 ∴ f(1)=1 = _ = _ =;2!;`f'(1)=2 ∴ f '(1)=4 ∴ f(1)+f'(1)=1+4=5 1 x+1 lim x⁄1 f(x)-f(1) x-1 lim x⁄1 1 x+1 f(x)-f(1) x-1 lim x⁄1 f(x)-1 x¤ -1 lim x⁄1 lim x⁄1 f(x)-1 x¤ -1 lim x⁄1 1 x+2 lim x⁄2 f(x)-f(2) x-2 lim x⁄2 1 x+2 f(x)-f(2) x-2 lim x⁄2 f(x)-f(2) (x-2)(x+2) lim x⁄2 f(x)-f(2) x¤ -4 lim x⁄2 f(x)-f(1) x-1 lim x⁄1

01

④

02

④

03

①

04

③

05

④

06

①

07

②

0

9

본문057쪽

접선의 방정식

01

점 (2, 1)에서의 접선의 기울기는 x=2에서의 미분계수와 같으 므로 구하는 접선의 기울기는 f '(2)

02

곡선 f(x)=x¤ +3x 위의 점 (1, 4)에서의 접선의 기울기는 x=1에서의 미분계수인 f '(1)과 같다. 이때, f '(x)=2x+3이므로 f '(1)=2+3=5

03

y-3=-2(x-1) y=-2x+2+3 ∴ y=-2x+5

04

점 (2, 7)이 곡선 y=x¤ +ax-3 위의 점이므로 7=4+2a-3, 2a=6 ∴ a=3

05

f(x)=x¤ +1로 놓으면 f'(x)=2x이므로 점 (2, 5)에서의 접선의 기울기는 f '(2)=4 즉, 점 (2, 5)에서의 접선의 방정식은 y-5=4(x-2) ∴ y=4x-3 따라서 a=4, b=-3이므로 a+b=1

06

접점의 좌표가 (2, -2)이므로 접선의 기울기는 f(x)=x¤ -3x에서 f '(x)=2x-3이므로 f '(2)=4-3=1 즉, 접선의 기울기는 1, 접점의 좌표는 (2, -2)이므로 구하는 접선의 방정식은 y+2=1_(x-2) ∴ y=x-4

07

f(x)=x¤ -2x+3으로 놓으면 f '(x)=2x-2 점 (2, 3)에서의 접선의 기울기는 f '(2)=2_2-2=2 이므로 이 접선에 수직인 직선의 기울기는 -;2!;이다. 즉, 점 (2, 3)을 지나고 기울기가 -;2!;인 직선의 방정식은 y-3=-;2!;(x-2) ∴ y=-;2!;x+4

08

f(x)=-x‹ +4x로 놓으면 f '(x)=-3x¤ +4이므로 f '(1)=1 즉, 점 (1, 3)에서의 접선의 방정식은 y-3=x-1, y=x+2 ∴ a=1, b=2 ∴ 10a+b=10+2=12

09

y=-x‹ +2x에서 y'=-3x¤ +2이므로 점 (1, 1)에서의 접선의 기울기는 -3_1¤ +2=-1 즉, 점 (1, 1)에서의 접선의 방정식은 y-1=-(x-1) y=-x+2 이 직선이 점 (-10, a)를 지나므로 a=-(-10)+2=12

10

점 P(a, -6)은 곡선 y=x‹ +2 위의 점이므로 a‹ +2=-6, a‹ =-8 ∴ a=-2 y'=3x¤이므로 점 P(-2, -6)에서의 접선의 기울기는 3_(-2)¤ =12 즉, 점 P(-2, -6)에서의 접선의 방정식은 y-(-6)=12{x-(-2)} y=12x+18 ∴ m=12, n=18 ∴ a+m+n=-2+12+18=28

11

y=x‹ -x¤ +a에서 y'=3x¤ -2x이므로 x=1에서의 접선의 기울기는 3_1¤ -2_1=1 즉, 점 (1, a)에서의 접선의 방정식은 y-a=1_(x-1) y=x-1+a 이 직선이 점 (0, 12)를 지나므로 12=0-1+a∴∴ ∴ a=13

12

f(x)=x› -4x‹ +6x¤ +4에서 f '(x)=4x‹ -12x¤ +12x 이때, 점 (a, b)에서의 접선의 기울기가 4이므로

f '(a)=4a‹ -12a¤ +12a=4 a‹ -3a¤ +3a-1=0 (a-1)‹ =0 ∴ a=1 b=f(1)=1-4+6+4=7 ∴ a¤ +b¤ =1+49=50

08

12

09

12

10

28

11

13

12

50

13

2 본문058쪽

13

y=x‹ -ax+b가 점 (1, 1)을 지나므로 1-a+b=1 ∴ a-b=0㉠㉠yy㉠ f(x)=x‹ -ax+b로 놓으면 f'(x)=3x¤ -a이므로 점 (1, 1)에서의 접선의 기울기는 f '(1)=3-a 이 접선과 수직인 직선의 기울기가 -;2!;이므로 (3-a)_{-;2!;}=-1 3-a=2 ∴ a=1 a=1을 ㉠에 대입하면 b=1 ∴ a+b=2

14

f(x)=-x¤ +4x로 놓으면 f '(x)=-2x+4 접점의 좌표가 (1, 3)이므로 접선 의 기울기는 f '(1)=2 즉, 접점의 좌표가 (1, 3)이고, 기울기가 2이므로 접선의 방정식은 y-3=2(x-1) ∴ y=2x+1 이 직선이 점 (0, k)를 지나므로 k=0+1=1

15

f(x)=2x‹ -x¤ -2에서 f '(x)=6x¤ -2x이므로 점 (1, -1)에서의 접선의 기울기는 f '(1)=4 즉, 점 (1, -1)에서의 접선의 방정식은 y+1=4(x-1) ∴ y=4x-5 이때, 이 직선이 점 (2, a)를 지나므로 a=4_2-5=3

16

f(x)=x¤ -3x-1로 놓으면 f '(x)=2x-3이므로 점 (1, -3)에서의 접선의 기울기는 f '(1)=-1 즉, 점 (1, -3)에서의 접선의 방정식은 y-(-3)=-(x-1) ∴ y=-x-2 y 1 O 4 3 x y=f(x) y=2x+1

14

1

15

②

16

②

17

④

18

⑤

19

5

20

① 본문059쪽

유형`10. 증가와 감소

21

이 직선이 x축과 만나는 점은 (-2, 0), y축과 만나는 점은 (0, -2)이므로 구하는 삼각형의 넓이는 ;2!;_2_2=2

17

y=x‹ +ax¤ +bx가 점 (1, 5)를 지나므로 5=1+a+b ∴ a+b=4㉠ yy㉠ y'=3x¤ +2ax+b이고, x=-1에서의 접선의 기울기가 1이므로 3-2a+b=1 ∴ 2a-b=2㉠ yy㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=2 ∴ ab=4

18

y=x‹ +ax¤ +b가 점 (1, 3)을 지나므로 3=1+a+b ∴ a+b=2 yy`㉠ y'=3x¤ +2ax이고, 점 (1, 3)에서의 접선의 기울기가 -2이므로 3+2a=-2 ∴ a=-;2%; a=-;2%;를 ㉠에 대입하면 b=;2(; ∴ b-a=;2(;-{-;2%;}=7

19

직선 y=x+5에 평행하므로 접선의 기울기는 1이다. 이때, 접점의 좌표를 (m, n)이라 하면 y=x‹ -2x에서 y'=3x¤ -2이므로 3m¤ -2=1 ∴ m=-1 또는 m=1 ⁄m=-1일 때, n=1이므로 접선의 방정식은 y-1=1_(x+1) ∴ y=x+2 즉, a=1, b=2이므로 a¤ +b¤ =5 ¤m=1일 때, n=-1이므로 접선의 방정식은 y+1=1_(x-1) ∴ y=x-2 즉, a=1, b=-2이므로 a¤ +b¤ =5 ⁄, ¤에 의하여 a¤ +b¤ =5

20

점 (1, a)는 곡선 y=x‹ -2x+4 위의 점이므로 a=1-2+4=3 y'=3x¤ -2이므로 점 (1, 3)에서의 접선의 기울기는 3-2=1 즉, 이 접선에 수직인 직선의 기울기는 -1이므로 점 (1, 3)을 지나고 기울기가 -1인 직선의 방정식은 y-3=-(x-1) ∴ y=-x+4 따라서 a=3, b=-1, c=4이므로 abc=-12

01

②

02

③

03

②

04

⑤

05

6

06

ㄴ, ㄹ, ㅂ

10

본문061쪽

증가와 감소

01

닫힌구간 [a, b]에 속하는 임의의 실수 x¡, x™에 대하여 x¡<x™일 때, f(x¡)<f(x™)를 만족시키는 구간이 [1, 3]이므로 함수 f(x) 가 증가하는 구간은 [1, 3]이다. ∴ a+b=4

02

f(x)=-x‹ +3x¤ +9x-9에서 f '(x)=-3x¤ +6x+9 =-3(x+1)(x-3) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=3 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. 따라서 ㈎, ㈏, ㈐, ㈑에 알맞은 것은 3, 0, +, ↗이다.

03

함수 f(x)의 증가, 감소를 나타내는 표에서 함수 f(x)가 감소하 는 구간은 (-¶, -1], [3, ¶)이다. ∴ a+b=2

04

방정식 f'(x)=0의 세 근이 x=0 또는 x=2 또는 x=4이므로 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. 따라서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것은 2, +, ↗이다.

05

함수 f(x)의 증가, 감소를 나타내는 표에서 함수 f(x)가 증가하 는 구간은 [0, 2], [4, ¶)이다. ∴ a+b+c=6

06

ㄱ. 구간 (-5, -4)에서 f'(x)<0이므로 함수 f(x)는 구간 (-5, -4)에서 감소한다. (거짓) ㄴ. 구간 (-4, -1)에서 f'(x)>0이므로 함수 f(x)는 구간 (-4, -1)에서 증가한다. (참) ㄷ. 구간 (-1, 0]에서 f'(x)æ0이므로 함수 f(x)는 구간 (-1, 0]에서 증가하고, 구간 [0, 1)에서 f'(x)…0이므 로 함수 f(x)는 구간 [0, 1)에서 감소한다. (거짓) ㄹ. 구간 (1, 2)에서 f'(x)<0이므로 함수 f(x)는 구간 (1, 2)에서 감소한다. (참) x y -1 y 3 y f '(x) - 0 + 0 -f(x) ↘ -14 ↗ 18 ↘ x y 0 y 2 y 4 y f '(x) - 0 + 0 - 0 + f(x) ↘ ↗ ↘ ↗

ㅁ. 구간 (2, 3]에서 f'(x)…0이므로 함수 f(x)는 구간 (2, 3]에서 감소하고, 구간 [3, 4)에서 f'(x)æ0이므로 함수 f(x)는 구간 [3, 4)에서 증가한다. (거짓) ㅂ. 구간 (3, 4)에서 f'(x)>0이므로 함수 f(x)는 구간 (3, 4)에서 증가한다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ, ㅂ이다.

07

f(x)=;3!;x‹ -9x+3에서 f '(x)=x¤ -9=(x+3)(x-3) f '(x)=0에서 x=-3 또는 x=3 즉, 함수 f(x)가 구간 (-3, 3)에서 감소하므로 -aæ-3, a…3 따라서 a…3이므로 a의 최댓값은 3이다.

08

삼차함수 f(x)=x‹ +ax¤ +2ax가 구간 (-¶, ¶)에서 증가 하려면 f '(x)æ0이어야 한다. 즉, f '(x)=3x¤ +2ax+2aæ0에서 이차방정식 f '(x)=0의 판별식을 D라 하면

=a¤ -6a…0, a(a-6)…0 ∴ 0…a…6 따라서 실수 a의 최댓값 M=6, 최솟값 m=0이므로 M-m=6

09

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 f(x)의 역함수가 존재하려 면 f(x)가 극값을 갖지 않고 항상 증가해야 하므로 모든 실수 x 에 대하여 f '(x)æ0이어야 한다. 즉, f(x)=;3!;x‹ -ax¤ +3ax에서 f '(x)=x¤ -2ax+3aæ0 이때, f '(x)=0의 판별식을 D라 하면

=a¤ -3a…0, a(a-3)…0 ∴ 0…a…3 따라서 상수 a의 최댓값은 3이다.

10

f(x)=x‹ +6x¤ +15|x-2a|+3에서 xæ2a일 때, f '(x)=3x¤ +12x+15=3(x+2)¤ +3>0 이므로 함수 f(x)는 증가한다. x<2a일 때, f '(x)=3x¤ +12x-15=3(x+5)(x-1) f '(x)æ0이면 함수 f(x)는 증가하므로 D 4 D 4 x y -3 y 3 y f '(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ ↘ ↗

07

3

08

④

09

①

10

① 본문062쪽 x…-5또는 xæ1 즉, 함수 f(x)가 증가하려면 2a…-5 _{∴ a…-;2%;} 따라서 실수 a의 최댓값은 -;2%;이다.

11

f(x)=x‹ -6x¤ +9x+5에서 f '(x)=3x¤ -12x+9=3(x-1)(x-3) f '(x)…0이면 함수 f(x)는 감소하므로 (x-1)(x-3)…0 ∴ 1…x…3 따라서 a=1, b=3이므로 a+b=1+3=4

12

f(x)=;3!;x‹ +ax¤ +bx에서 f '(x)=x¤ +2ax+b 함수 f(x)가 증가하는 구간이 (-¶, 2], [4, ¶)이므로 f '(x)æ0, 즉 x¤ +2ax+bæ0의 해는 x…2또는 xæ4 따라서 이차방정식 x¤ +2ax+b=0의 두 근이 2, 4이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a=-3, b=8 ∴ a+b=5

13

f(x)=-x‹ -;2#;x¤ +ax+3에서 f '(x)=-3x¤ -3x+a 함수 f(x)가 증가하는 구간이 [-2, b]이므로 방정식 f'(x)=0의 두 근이 x=-2 또는 x=b이다. f '(x)=-3(x+2)(x-b) =-3x¤ -3(2-b)x+6b 따라서 a=6, b=1이므로 a+b=7

14

f(x)=x‹ +x¤ +2ax+2에서 f '(x)=3x¤ +2x+2a 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 증가하려면 모든 실수 x에 대하여 f'(x)æ0이어야 하므로 이차방정식 f'(x)=0의 판별식 을 D라 하면 =1-6a…0 ∴ aæ;6!;

15

f(x)=x‹ -ax¤ +(a+6)x+4에서 f '(x)=3x¤ -2ax+a+6 D 4

11

④

12

③

13

④

14

⑤

15

③

16

⑤

17

①

18

③ 본문062`~`063쪽