01
a=2일 때, :™2 f(x) dx=0 ∴ a=202
f(x)=:@/ g(t) dt의 양변에 x=2를 대입하면 f(2)=:@2 g(t) dt=003
:!/ f(y) dy=x‹ +5x¤ +ax-3의 양변에 x=1을 대입하면 :!1 f(y) dy=1+5+a-3, 0=3+a ∴ a=-304
g(x)=:)/ f(t) dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 g'(x)=f(x)05
F(x)=:!/ (t¤ +3t) dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 F'(x)=x¤ +3x06
f(x)=:!/ (t¤ +3t) dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)= :!/ (t¤ +3t) dt=x¤ +3x∴ f'(1)=1+3=4
07
:!/ f(t) dt=x¤ +5x-6의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=2x+508
:º/ f(t) dt=x‹ +2x의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=3x¤ +2 ∴ f(10)=300+2=30209
:!/ f'(t) dt=x¤ +4x의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)=2x+4 ∴ f'(2)=4+4=8d dx
10
:)/ f(t) dt=x‹ +4x의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=3x¤ +4 ∴ f(10)=300+4=30411
F(x)=:)/ (t‹ -1) dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 F'(x)=x‹ -1 ∴ F'(2)=8-1=712
f '(x)=(x-2)(x-3)이므로 f '(4)=(4-2)(4-3)=2_1=213
f(x)=:)/ (2at+1) dt에서 f'(x)=2ax+1 f '(2)=4a+1=17이므로 a=414
:@/ f(t) dt=x¤ +ax+2의 양변에 x=2를 대입하면 :@2 f(t) dt=4+2a+2, 0=6+2a ∴ a=-3즉, :@/ f(t)dt=x¤ -3x+2이므로 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=2x-3 ∴ f(10)=20-3=17
15
:!/ f(t)dt=x‹ -2ax¤ +ax의 양변에 x=1을 대입하면 :!1 f(t) dt=1-2a+a, 0=1-a ∴ a=1즉, :!/ f(t)dt=x‹ -2x¤ +x이므로 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=3x¤ -4x+1 ∴ f(3)=27-12+1=16
16
:!/ [ f(t)]dt=x‹ +ax¤ -2의 양변에 x=1을 대입하면 :!1 [ f(t)]dt=1+a-2, 0=a-1 ∴ a=1즉, :!/ [ f(t)]dt=x‹ +x¤ -2이고
f(t)=f '(t)이므로
:!/ [ f(t)]dt=:!/ f'(t)dt=[f(t)]/!
:!/ [ f(t)]dt=f(x)-f(1)=x‹ +x¤ -2 따라서 f'(x)=3x¤ +2x이므로 f'(a)=f'(1)=5
17
F(x)=:!/ (t¤ +2t+1) dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 F'(x)=x¤ +2x+1 ∴ F'(10)=100+20+1=121d dt d dt
d dt d dt
d dt
10
30411
③12
②13
414
1715
1616
⑤본문078`~`079쪽
17
12118
④19
②20
⑤21
④22
⑤23
②24
13본문079`~`080쪽
18
f(x)=:™/ (t¤ -t+1) dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)=x¤ -x+1 ∴ f '(3)=9-3+1=719
F(x)=:º/ (t¤ +at) dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 F'(x)=x¤ +ax에서 F'(1)=1+a=5 ∴ a=4 따라서 F'(x)=x¤ +4x이므로 F'(2)=4+8=1220
:º/ f(t) dt=3x¤ -2x의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=6x-2 ∴ f(2)=12-2=1021
f(x)=:º/ (3t¤ -2t+1) dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)=3x¤ -2x+1한편, =f '(2)이므로
f '(2)=12-4+1=9
22
:£/ f(t) dt=x¤ -2x+a의 양변에 x=3을 대입하면 :£3 f(t) dt=9-6+a, 0=3+a ∴ a=-3즉, :#/ f(t)dt=x¤ -2x-3이므로 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=2x-2 ∴ f(5)=10-2=8
∴ a+f(5)=-3+8=5
23
:!/ f(t) dt=x¤ +ax-5의 양변에 x=1을 대입하면 :!1 f(t) dt=1+a-5, 0=a-4 ∴ a=4즉, :!/ f(t)dt=x¤ +4x-5이므로 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=2x+4 ∴ f(5)=10+4=14
24
:!/[ f(t)]dt=x¤ +ax-3의 양변에 x=1을 대입하면 0=1+a-3 ∴ a=2:!/ { f'(t)} dt=x¤ +2x-3의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)=2x+2
f(x)=: f'(x)dx=x¤ +2x+C f(0)=5이므로 C=5
따라서 f(x)=x¤ +2x+5이므로 f(2)=4+4+5=13 d
dt
f(2+h)-f(2) lim h
h⁄0
01
주어진 곡선과 x축의 교점의 x좌표는 x¤ -2x=0에서x(x-2)=0
∴ x=0 또는 x=2
구간 `[0, 2]에서 x¤ -2x…0이므로 구하 는 넓이는
:)2 |x¤ -2x| dx=-:)2 (x¤ -2x) dx=-[;3!;x‹ -x¤ ]2)=;3$;
02
주어진 곡선과 x축의 교점의 x좌표는 x¤ -3x+2=0에서(x-1)(x-2)=0
∴ x=1 또는 x=2
구간 `[1, 2]에서 x¤ -3x+2…0이므로 구하는 넓이는
:!2 |x¤ -3x+2| dx=-:!2 (x¤ -3x+2) dx :!2 |x¤ -3x+2| dx=-[;3!;x‹ -;2#;x¤ +2x]2!=;6!;
03
주어진 곡선과 x축의 교점의 x좌표는 -x¤ +x=0에서 -x(x-1)=0∴ x=0 또는 x=1
구간 `[0, 1]에서 -x¤ +xæ0이므로 구하는 넓이는
:)1 |-x¤ +x| dx=:)1 (-x¤ +x) dx=[-;3!;x‹ +;2!;x¤ ]1) :)1 |-x¤ +x| dx={-;3!;+;2!;}-0=;6!;
04
x¤ -2=2에서 x¤ -4=0이므로 곡선과 직선의 교점의 x좌표는 -2와 2이다. 따라서 구하는 넓이는:_2@ {2-(x¤ -2)}dx=:_2@ (-x¤ +4)dx=2:)2 (-x¤ +4)dx :_2@ {2-(x¤ -2)}dx=2[-;3!; x‹ +4x]2)=2{-;3*;+8}=;;£3™;;
05
주어진 곡선과 직선의 교점의 x좌표는 x¤ -3x+4=4에서x¤ -3x=0, x(x-3)=0
∴ x=0 또는 x=3 따라서 구하는 넓이는 :)3 {4-(x¤ -3x+4)} dx
=:)3 (-x¤ +3x) dx=[-;3!;x‹ +;2#;x¤ ]3)=;2(;
y
O 4
3 x
y=x¤ -3x+4
y=4 y
O 1 x
y=-x¤ +x y
O 2
2
1 x
y=x¤ -3x+2 y
O 2 x
y=x¤ -2x
01
④02
①03
①04
④05
③06
②07
③08
④14
본문084`~`085쪽
넓이
유형`14. 넓이
31 06
주어진 곡선과 x축의 교점의 x좌표는x(x-2)¤ =0에서 x=0또는 x=2
구간 `[0, 2]에서 x(x-2)¤ æ0이므로 구하는 넓이는
:)2 |x(x-2)¤ | dx
=:)2 (x‹ -4x¤ +4x) dx=[;4!;x› -;3$;x‹ +2x¤ ]2)=;3$;
07
주어진 곡선과 x축의 교점의 x좌표는 4x-x‹ =0에서-x(x-2)(x+2)=0
∴ x=-2 또는 x=0 또는 x=2 주어진 곡선은 원점에 대하여 대칭이 므로 구하는 넓이는
:_2@ |4x-x‹ | dx=2:)2 (4x-x‹ ) dx :_2@ |4x-x‹ | dx=2[2x¤ -;4!;x› ]2)=2_4=8
08
-x¤ +3=2x, x¤ +2x-3=0에서 주어진 곡선과 직선이 만나 는 점의 x좌표는 x=-3 또는 x=1따라서 구하는 넓이는
:_1# {(-x¤ +3)-2x} dx=:_1# (-x¤ -2x+3)dx :_1# {(-x¤ +3)-2x} dx=[-;3!;x‹ -x¤ +3x]1_#=:£3™:
09
y=6x(x-2)이므로 구하고자 하는 넓이는:)2 (-6x¤ +12x)dx=[-2x‹ +6x¤ ]2)=-16+24=8
10
주어진 함수의 그래프와 x축의 교점의 x좌표는4x‹ -12x¤ +8x=0에서 4x(x-1)(x-2)=0
∴ x=0 또는 x=1 또는 x=2 따라서 구하는 넓이는
:)1 (4x‹ -12x¤ +8x) dx+:!2 (-4x‹ +12x¤ -8x) dx
=[x› -4x‹ +4x¤ ]1)+[-x› +4x‹ -4x¤ ]2!
={(1-4+4)-0}+{(-16+32-16)-(-1+4-4)}
=(1-0)+(0+1)=2
y
O 1 2 x
y=4x‹ -12x¤ +8x y
O 2
-2 x
y=4x-x‹
y
O 2 x
y=x(x-2)¤
11
주어진 곡선과 직선의 교점의 x좌표는x¤ -4x+3=3에서 x¤ -4x=0 x(x-4)=0
∴ x=0 또는 x=4 따라서 구하는 넓이는
:)4 {3-(x¤ -4x+3)} dx=:)4 (-x¤ +4x) dx :)4 {3-(x¤ -4x+3)} dx=[-;3!;x‹ +2x¤ ]4)=:£3™:
12
주어진 곡선과 직선의 교점의 x좌표는 x¤ -x+2=2에서 x¤ -x=0 x(x-1)=0∴ x=0 또는 x=1 따라서 구하는 넓이는 :)1 {2-(x¤ -x+2)} dx
=:)1 (-x¤ +x) dx=[-;3!;x‹ +;2!;x¤ ]1)
={-;3!;+;2!;}-0=;6!;
13
주어진 곡선과 직선의 교점의 x좌표는 -2x¤ +3x=x에서 2x¤ -2x=0, x(x-1)=0 ∴ x=0 또는 x=1 구하는 넓이는:)1 {(-2x¤ +3x)-x} dx
=:)1 (-2x¤ +2x)dx
=[-;3@;x‹ +x¤ ]1)=;3!;
∴ p+q=3+1=4
14
n=1일 때, 점 P의 좌표는 P(0, 3)이고, `f(x)=x¤ 이므로 점 Q 의 좌표는 Q(1, 1)이다. 따라서 구하는 넓이는;2!;_(1+3)_1-:)1 x¤ dx=2-[;3!;x‹ ]1)=;3%;
15
주어진 곡선과 x축의 교점의 x좌표는 -x¤ +2x+3=0에서(x+1)(x-3)=0
∴ x=-1 또는 x=3 따라서 구하는 넓이는
:_3! (-x¤ +2x+3) dx=[-;3!;x‹ +x¤ +3x]3_!=:£3™:
y
O 3
-1 x
y=-x¤ +2x+3 y
O 1 x
y=x y=-2x¤ +3x
y
O 2
1 x
y=2 y=x¤ -x+2 y
O 3
4 x y=x¤ -4x+3
y=3
09
810
211
③12
②13
414
③본문085`~`086쪽
15
③16
④17
3618
④19
④20
④21
9본문086`~`087쪽
16
주어진 곡선과 x축의 교점의 x좌표는 x¤ -4x=0에서 x(x-4)=0∴ x=0 또는 x=4 따라서 구하는 넓이는
:_0! (x¤ -4x) dx-:)2 (x¤ -4x) dx
=[;3!;x‹ -2x¤ ]0_!-[;3!;x‹ -2x¤ ]2)
=;3&;-{-:¡3§:}=:™3£:
17
주어진 곡선과 직선의 교점의 x좌표는 x¤ -2x=8에서 x¤ -2x-8=0 (x+2)(x-4)=0∴ x=-2 또는 x=4 따라서 구하는 넓이는 :_4@ {8-(x¤ -2x)} dx
=:_4@ (-x¤ +2x+8) dx=[-;3!;x‹ +x¤ +8x]4_@=36
18
주어진 곡선과 직선의 교점의 x좌표는 3x¤ -2x-1=-1에서3x¤ -2x=0 x(3x-2)=0
∴ x=0 또는 x=;3@;
따라서 구하는 넓이는
:);3@;{-1-(3x¤ -2x-1)} dx=:);3@;(-3x¤ +2x) dx :);3@;{-1-(3x¤ -2x-1)} dx=[-x‹ +x¤ ]);3@;=;2¢7;
19
주어진 곡선과 x축 및 직선으로 둘러싸 인 부분은 그림의 어두운 부분과 같고, 그 넓이는:)2 (-x¤ +ax) dx
=[-;3!;x‹ +;2A;x¤ ]2)=-;3*;+2a
따라서 -;3*;+2a=:¡3§:이므로 2a=8 ∴ a=4
20
주어진 곡선과 x축의 교점의 x좌표는 x‹ -2x¤ -3x=0에서 x(x+1)(x-3)=0∴ x=-1 또는 x=0 또는 x=3
따라서 구하는 넓이는 y
O 3
-1 x
y=x‹ -2x¤ -3x y
O 2
a x y=-x¤ +ax y
O
-1
1 x y=3x¤ -2x-1
y=-1 2 3 y
O 8
4
-2 x
y=x¤ -2x y=8 y
O 5
-4 2
4
-1 x
y=x¤ -4x :_0! (x‹ -2x¤ -3x) dx-:)3 (x‹ -2x¤ -3x) dx
=[;4!;x› -;3@;x‹ -;2#;x¤ ]0_!-[;4!;x› -;3@;x‹ -;2#;x¤ ]3)
=;1¶2;-{-:¢4∞:}=:¶6¡:
21
곡선 y=-2x¤ +7x와 직선 y=x의 교점의 x좌표는 -2x¤ +7x=x에서 x¤ -3x=0∴ x=0 또는 x=3 따라서 구하는 넓이는 :)3 {(-2x¤ +7x)-x} dx
=:)3 (-2x¤ +6x)dx
=[-;3@; x‹ +3x¤ ]3)=9
y
O 3 x
y=x y=-2x¤ +7x