다항식
1
다항식
10쪽 1 ⑴ 5a ⑵ 2a-2b 2 ⑴ a^2&+2ab+b^2 ⑵ x^2&-y^2 ⑶ a^2&+a-6
⑷ 6x^2&+xy-15y^2 11쪽 2x^2&+2x+2, 5x^2&+5x+3 스스로확인하기 ⑵ y+2, y-1 01 ⑴ 내림차순: 3x^3&-x^2&y+xy-2y^2&+2 오름차순: -2y^2&+2+xy-x^2&y+3x^3 ⑵ 내림차순: -3y^2&-(4x+1)y+x^2&+2x+1 오름차순: x^2&+2x+1-(4x+1)y-3y^2 02 ⑴ -x^3&-2x^2&+x+1 ⑵ 3x^3&-3x^2&+4x+4 03 ⑴ x^2&-5xy+4y^2 ⑵ 4xy+2y^2 13쪽 1ax, ay, bx, by 2(a+b)(x+y)=ax+ay+bx+by 04 ⑴ x^3&-5x^2&+7x-3 ⑵ 3x^2&+xy+4x-2y^2&-6y-4 05 ⑴ -3x^4&-2x^3&y+7x^2&y^2&-2xy^3 ⑵ -5x^4&-4x^3&y+12x^2&y^2 06 ⑴ a^3&-3a^2&b+3ab^2&-b^3 ⑵ a^3&-b^3 07 ⑴ a^2&+b^2&+c^2&-2ab+2bc-2c&a ⑵ 8x^3&+36x^2&y+54xy^2&+27y^3 ⑶ 8x^3&+y^3 ⑷ a^3&-64b^3 08 -26 1 \ 1 1 11 -11 1 -11 -11 -11 -1 1 0 0 0 -1 따라서 (x-1)(x^3&+x^2&+x+1)=x^4&-1 2 계수가 1인 최고차항과 상수항 -1만 남으므로 (x-1)(x^9&+x^8&+x^7&+.c3+x+1)=x^10&-1 수학 역량 기르기 15쪽
0
1
다항식의 연산
11~19쪽 09 ⑴ Q=2x^2&-x-2, R=10, 2x^3&+3x^2&-4x+6=(x+2)(2x^2&-x-2)+10 ⑵ Q=4x-5, R=17x-16, 4x^3&-x^2&-1=(x^2&+x-3)(4x-5)+17x-16 10 2x^3&+3x^2&+2x+1 11 ⑴ 3r^2&+8r+16 ⑵ 32pai`mL P(x)&=x^3&-2x^2&+3x+1=(x-1)(x^2&-x+2)+3 이므로 P(x)를 x-1로 나누었을 때, 나머지는 3이다. 수학 역량 기르기 17쪽 12 ⑴ 몫: 2x^2&-x-4, 나머지: -6 ⑵ 몫: x^3&-3x^2&+3x, 나머지: 5 13 -1/3 3 7 5 2 -1 -2 -1 3 6 3 13x^2&+6x+3, 1, x^2&+2x+1, 1, x^2&+2x+1, 1
1○ 2× 3× 1 A=5x^3&+x^2&-3x+4, B=2x^3&-3x^2&+5x+1 2 ⑴ a^2&+4b^2&+16c^2&-4ab-16bc+8c&a ⑵ 27x^3&+64y^3 ⑶ x^3&+9x^2&+27x+27 ⑷ 27a^3&-54a^2&b+36ab^2&-8b^3 3 ⑴ 몫: 2x^2&-9x+14, 나머지: 0 ⑵ 몫: x^3&+2x^2&+x+3, 나머지: 12 4 ⑴ (문제의 식) =A-2C=3x^3&-x^2&-6x+3 ⑵ (문제의 식) =2A-3B=-7x^3&-8x^2&+4x+17 5 (2x+1)^3(x-2)=(8x^3&+12x^2&+6x+1)(x-2) 따라서 x^3의 계수는 -16+12=-4 6 ⑴ (문제의 식) =(x^3&-1)(x+2)=x^4&+2x^3&-x-2 ⑵ (문제의 식) =(x^2&+x-6)(x^2&+x-20) =x^4&+2x^3&-25x^2&-26x+120 7 x+y=2, x-y=2rt3, xy=-2이므로
⑴ x^3&+y^3=(x+y)^3&-3xy(x+y)=20 ⑵ x^3&-y^3=(x-y)^3&+3xy(x-y)=12rt3 8 ⑴ 몫: x^2&-2x+4 -1 1 -1 2 -2 -1 2 -4 1 -2 4 -6 나머지: -6 20~21쪽
⑵ 몫: x^2&+2, 나머지: 1 1 / 2 2 -1 4 -1 1 0 2 2 0 4 1 9 구하는 다항식을 A라고 하면 A(x+3)+16=x^3&+4x^2&-2x+1 즉, A=(x^3&+4x^2&-2x-15)div(x+3)=x^2&+x-5 10 직육면체에서 밑면의 가로의 길이, 세로의 길이, 높이 를 각각 a, b, c라고 하면 겉넓이는 2(ab+bc+c&a)=62 대각선의 길이는 rta^2+b^2&+c^2x=rt38 (a+b+c)^2&&=a^2&+b^2&+c^2&+2(ab+bc+c&a)=100 따라서 a+b+c=10이므로 모든 모서리의 길이의 합은 4\10=40 11 101^3&-(100+1)(10001-100) =(100+1)^3&-(100+1)(100^2&-100+1^2) =100^3&+3\100^2&\1&+3\100\1^2&+1^3&-(100^3&+1^3) =30300
2
나머지정리와 인수분해
23쪽 1 ⑴ x(x-2) ⑵ xy(x+3) 2 ⑴ (x+1)(x-1) ⑵ (x+1)^2 ⑶ (x+1)(x-3) ⑷ (x+2)(2x-1) 24쪽 1 예 x^2 x+5 x+4 x+3 x+2 x^2+1 합: x^2&+2x+7 합: x^2&+2x+7 2 서로 같다. 스스로확인하기 ⑵ 항등식이 아니다 01 입구-㉠-㉣-출구 02 ⑴ a+b+c=a'+b'+c', a-b+c=a'-b'+c', a', b' ⑵ 좌변에 a 대신 a', b 대신 b', c 대신 c'을 대입하면 좌변과 우변이 일치하므로 등식 ax^2&+bx+c=a'x^2&+b'x+c'은 x에 대한 항등식 이다. 03 ⑴ a=4, b=1, c=5 ⑵ a=1, b=-1, c=1 04 예 [해영]x^3&+ax^2&+bx+3=(x^2&-4)(x+a)+7이 므로 x^3&+ax^2&+bx+3=x^3&+ax^2&-4x-4a+7 따라서 a=1, b=-4 27쪽 1-2 2-2, 같다. 05 ⑴ 3 ⑵ -57 06 ⑴ - 18 ⑵ 예 일차식: 3x-2, 나머지: -1 07 19 08 -2x+7 1 x^10=(x-1)Q(x)+R에 x=1을 대입하면 R=1 x=99를 대입하면 99^10=98Q(99)+1 따라서 99^10을 98로 나누었을 때, 나머지는 1이다. 2 x^10을 x+1로 나누었을 때 몫을 Q(x), 나머지를 R라고 하면 x^10=(x+1)Q(x)+R 이 식에 x=-1을 대입하면 R=1 x=98을 대입하면 98^10=99Q(98)+1 따라서 98^10을 99로 나누었을 때, 나머지는 1이다. 수학 역량 기르기 28쪽 09 ⑴, ⑵, ⑶ 10 2 11 a=0, b=-30
1
나머지정리
24~29쪽 30쪽 3x, 1, x+1 01 ⑴ (x+2y+z)^2 ⑵ (x+3y)^3 ⑶ (2x-1)^3 ⑷ (2x+3y)(4x^2&-6xy+9y^2) 02 ⑴ (x+1)(x-3)(x^2&-2x+2) ⑵ (x+2y+1)(x+2y-2)0
2
인수분해
30~32쪽 1 ⑴ 파란색 면의 수 0 1 2 3 작은 정육면체의 개수 n^3 6n^2 12n 8 ⑵ 큰 정육면체의 부피는 (n+2)^3 작은 정육면체의 부피는 1이므로 작은 정육면체의 부피의 합은 n^3&\1+6n^2&\1+12n\1+8\1 따라서 (n+2)^3=n^3&+6n^2&+12n+8 2 겉면만 파란색이고 한 모서리의 길이가 n+1인 정육 면체의 각 모서리를 길이 1로 등분하여 생긴 작은 정 육면체를 생각해 보자. 파란색 면의 수가 0, 1, 2, 3인 작은 정육면체의 개수 는 각각 (n-1)^3, 6(n-1)^2, 12(n-1), 8이므로 (n+1)&^3=(n-1)^3&+6(n-1)^2&+12(n-1)+8 즉, (n+1)^3&-(n-1)^3=6(n-1)^2&+12(n-1)+8 =6n^2&+2 22쪽 Ⅰ. 다항식279
1○ 2× 3○ 1 ⑴ a=2, b=4, c=6 ⑵ a=4, b=1, c=-3 2 ⑴ 3 ⑵ 3 3 -1 4 ⑴ (x-2y-3z)^2 ⑵ (3a+b)^3 ⑶ (2a+1)(4a^2&-2a+1) ⑷ (4x-5y)(16x^2&+20xy+25y^2) 5 등식의 양변에 x=-1, x=0, x=1을 각각 대입하면 1=c, 3=1+a+b+c, 13=8+4a+2b+c 따라서 a=1, b=0, c=1 6 P(2)=4a+14, P(-3)=9a-41이므로 4a+14=9a-41에서 a=11 7 P(x)를 x^2&-x-2로 나누었을 때 몫을 Q(x), 나머 지를 ax+b(a, b는 상수)라고 하면 P(x)=(x+1)(x-2)Q(x)+ax+b 문제의 조건에서 P(-1)=1, P(2)=4이므로
-a+b=1, 2a+b=4에서 a=1, b=2 따라서 구하는 나머지는 x+2 8 x^2&-3x+2=(x-1)(x-2)이고, P(1)=0, P(2)=0이므로 a+b-2=0, 4a+2b+12=0 따라서 a=-8, b=10 9 ⑴ x^2&=X로 놓으면 (문제의 식)&=X^2&-13X+36=(X-4)(X-9) =(x^2&-4)(x^2&-9) =(x+2)(x-2)(x+3)(x-3) ⑵ 2x-y=X로 놓으면 (문제의 식) =(X+2)(X-5)+6 =X^2&-3X-4=(X+1)(X-4) =(2x-y+1)(2x-y-4) 33~34쪽 10 ⑴ -1 1 -3 0 4 -1 4 -4 1 -4 4 0 x^3&-3x^2&+4=(x+1)(x-2)^2 ⑵ -1/3 3 -5 -5 -1 -1 2 1 3 -6 -3 0 3x^3&-5x^2&-5x-1=^(x+ 13 ^)(3x^2&-6x-3) =(3x+1)(x^2&-2x-1) 11 x^10을 x-2로 나누었을 때, 나머지는 2^10이므로 x^10=(x-2)(a_0&+a_1&x+a_2&x^2&+.c3+a_9&x^9)+2^10 .c3.c3 ① ①에 x=1, x=-1을 각각 대입하여 정리하면 a_0&+a_1&+a_2&+.c3+a_9=1023 .c3.c3 ② a_0&-a_1&+a_2&-.c3 -a_9=341 .c3.c3 ③ ②-③을 하면 2(a_1&+a_3&+a_5&+a_7&+a_9)=682 따라서 a_1&+a_3&+a_5&+a_7&+&a_9=341& 12 다항식이 (x+1)(x-a)(x-b)의 꼴로 인수분해되 려면 (x+1)(x-a)(x-b) =x^3&+{1-(a+b)}x^2&+{ab-(a+b)}x+ab 에서 a+b=1이므로 b=1-a 따라서 -n=ab=-a(a-1)이므로 상수항이 연속 한 두 수의 곱에 - 부호를 붙인 것이어야 한다. 1, 2, …, 50 중에서 연속한 두 수의 곱은 2, 6, 12, 20, 30, 42이므로 구하는 다항식의 개수는 6이다. 1 x^3&+9x^2&+27x+27=(x+3)^3 x^3&+6x^2&-13x-42=(x+2)(x-3)(x+7) (x-3)^4&-2(x-3)^2&+1=(x-2)^2&(x-4)^2 x^4&-6x^2&-7=(x^2&+1)(x^2&-7) 따라서 각 다항식 카드에 해당하는 인수 카드는 다음 과 같다. 다항식 카드 인수 카드 x^3&+9x^2&+27x+27 x^3&+6x^2&-13x-42 (x-3)^4&-2(x-3)^2&+1 x^4&-6x^2&-7 x+3 x+2 x-3 x+7 x-2 x-4 x^2&+1 x^2&-7 35쪽 03 ⑴ (x-2)(x^2&+3x+4) ⑵ (x-1)(x-2)(x-3) 2x^3&-3x^2&-x+1의 인수를 ax+b라고 하면 2x^3&-3x^2&-x+1=(ax+b)(cx^2&+dx+e) (단, a, b, c, d, e는 정수) 이 식은 x에 대한 항등식이므로 ac=2, be=1 이때 a는 z1, z2 중 하나이고, b는 z1 중 하나이므 로 - ba 는 1, -1, 12, - 12 중 하나이다. 따라서 이 값을 하나씩 2x^3&-3x^2&-x+1에 대입해 보 면 2x-1이 인수인 것을 알 수 있다. 수학 역량 기르기 32쪽
1 -x^3&+x^2&+6x 2 x\x\(x-3)-(x-3)^3 =x^3&-3x^2&-(x^3&-9x^2&+27x-27)=6x^2&-27x+27 3 ③ 4 2x^3&-2ax^2&+bx+c&=(2x^2&-1)(x-2)+5 =2x^3&-4x^2&-x+7 따라서 a=2, b=-1, c=7 5 y=1-x이므로 ax^2&+bx(1-x)+c(1-x)^2=2 등식의 양변에 x=0, x=1, x=-1을 각각 대입하 면 c=2, a=2, a-2b+4c=2 따라서 a=2, b=4, c=2 6 x^2&-x-6=(x+2)(x-3)이고, P(-2)=0, P(3)=0이므로 4a+2b-28=0, 9a-3b+42=0 따라서 a=0, b=14 7 P(x)=x^3&-2ax^2&+bx-4라고 하면 P(2)=0, P(-1)=3이므로 -8a+2b+4=0, -2a-b-5=3 따라서 a=-1, b=-6 8 P(x)&=(x-3)Q(x)+R=2(x-3)\12Q(x)+R 따라서 구하는 몫은 12 Q(x), 나머지는 R이다. 9 P(x)=a(x-1)(x-4)(a는 상수)라고 하면 문제 의 조건에서 P(0)=4이므로 4a=4, a=1 P(x)=(x-1)(x-4)이므로 P(2)=-2 따라서 구하는 나머지는 -2이다. 10 x^6&-y^6&=(x^3)^2&-(y^3)^2=(x^3&+y^3)(x^3&-y^3) =(x+y)(x-y)(x^2&-xy+y^2)(x^2&+xy+y^2) 따라서 ㄱ, ㄷ, ㅂ이다. 36~38쪽 11 1 1 -1 -7 13 -6 1 0 -7 6 1 1 0 -7 6 0 1 1 -6 1 1 -6 0 x^4&-x^3&-7x^2&+13x-6=(x-1)^2(x-2)(x+3) 12 x^4&+2x^3&-3x^2&+2x+5 =(x^2&+2x-1)(x^2&-2)+6x+3 ▶ 40 % Q(x)=x^2&-2이므로 Q(1)=-1 ▶ 30 % R(x)=6x+3이므로 R(0)=3 ▶ 30 % 13 (a+b)^3=a^3&+3a^2&b+3ab^2&+b^3이므로 (a+b)^3=a^3&+b^3&+3ab(a+b) ▶ 50 % 125=95+15ab에서 ab=2 ▶ 50 % 14 등식의 양변에 x=1을 대입하면 16=a_0&+a_1&+a_2&+a_3&+.c3+a_8 .c3.c3 ① ▶ 30 % 등식의 양변에 x=0을 대입하면 1=a_0 .c3.c3 ② ▶ 30 % ①-②를 하면 a_1&+a_2&+a_3&+.c3+a_8=15 ▶ 40 % 15 P(x)+4=(x+1)^2(ax+b)(a, b는 상수) .c3.c3 ① 라고 하면 5-P(x)는 x^2&-4로 나누어떨어지므로 5-P(2)=0, 5-P(-2)=0 즉, P(2)=5, P(-2)=5 ▶ 40 % ①에 x=2, x=-2를 각각 대입하면 9=9(2a+b), 9=-2a+b 이므로 a=-2, b=5 따라서 P(x)&=(x+1)^2(-2x+5)-4 =-2x^3&+x^2&+8x+1 ▶ 60 % 16 a^4&+b^4&-c^4&+2a^2&b^2=(a^4&+2a^2&b^2&+b^4)-c^4 =(a^2&+b^2)^2&-(c^2)^2 =(a^2&+b^2&+c^2)(a^2&+b^2&-c^2) =0 ▶ 60 % 이때 a^2&+b^2&+c^2not=0이므로 a^2&+b^2&-c^2=0 ▶ 20 % 따라서 a^2&+b^2&=c^2이므로 삼각형 ABC는 빗변의 길 이가 c인 직각삼각형이다. ▶ 20 % 17 ⑴ (문제의 식) =x(x+3)(x+1)(x+2)+1 =(x^2&+3x)(x^2&+3x+2)+1 위의 식에서 x^2&+3x=X로 놓으면 (문제의 식) =X(X+2)+1=X^2&+2X&+1 =(X+1)^2=(x^2&+3x+1)^2 ▶ 40 % ⑵ ⑴에서 x=13을 대입하면 13\14\15\16+1=(13^2&+3\13+1)^2 =209^2 ▶ 40 % 따라서 13\14\15\16+1은 소수가 아니다. ▶ 20 % 2 예 다항식 카드 x^3&-8 x^3&+3x^2&-10x-24 x^4&-2x^2&+1 (x-2)^4&-2(x-2)^2&-8 인수 카드 x+1 x-1 x+2 x-2 x-4 x+4 x-3 x x^2&+2x+4 x^2&-4x+6 x^3&-8=(x-2)(x^2&+2x+4) x^3&+3x^2&-10x-24=(x+2)(x-3)(x+4) x^4&-2x^2&+1=(x+1)^2(x-1)^2 (x-2)^4&-2(x-2)^2&-8=x(x-4)(x^2&-4x+6) Ⅰ. 다항식
281
1
복소수와 이차방정식
42쪽 1 ⑴ 2-rt3 ⑵ 3+4rt7 ⑶ -4+rt5 ⑷ -1-rt2 2 ⑴ x=0 또는 x= 32 ⑵ x=-3(중근) ⑶ x=-7 또는 x= 12 ⑷ x= -7zrt652 43쪽 실수의 범위에서 해를 갖지 않는다. 스스로확인하기 ⑴ rt3, 2 ⑵ -rt2, 1+rt5&i, -3i 01 입구 출구 -1+3i 0 5 3 rt5& i -i 1+rt2& i 3 -2 10 rt3 & 4i 스스로확인하기 2-x, 1 02 ⑴ x=2, y=3 ⑵ x=4, y=2 스스로확인하기 ⑵ 5 ⑶ 4i 03 ⑴ 1-5i ⑵ -4 ⑶ -i ⑷ 2+rt3&i 04 [해영]a+bi의 켤레복소수는 a-bi이므로 a+bi=a-bi에서 b=0, 즉 a+bi는 실수이다. 스스로확인하기 ⑵ 1, -2, 6+4i05 ⑴ 3-9i ⑵ 5+2i ⑶ 5+2i ⑷ 2-4i 스스로확인하기 ⑵ -3, 7 06 ⑴ 22-7i ⑵ 35-12i ⑶ 26 스스로확인하기 ⑵ 3+i, 7-i, 7 10, 101 07 ⑴ - 126 +265 i ⑵ -i ⑶ 13 +2rt2&3 i 1 -i, 1, i, -1, -i, 1, i, -1, -i, 1
2 i^4n-^3=i, i^4n-^2=-1, i^4n-^1=-i, i^4n=1(n은 자연수) 따라서 i^2^3^4=i^2&=-1
수학 역량 기르기 47쪽
스스로확인하기 ⑵ zrt25&
08 ⑴ rt3&i ⑵ -6i 09 ⑴ zrt11&i ⑵ z 37i
0
1
복소수의 뜻과 사칙연산
43~48쪽방정식과 부등식
rt-2zrt-3z=(rt2i)(rt3i)=rt6i^2=-rt6 수학 역량 기르기 48쪽 49쪽 2 x=zrt3, 실수 3 x=z2i, 허수 01 ⑴ x= 5zrt7&2 i, 허근 ⑵ x= 3zrt63 , 실근 스스로확인하기 실근 02 ⑴ 서로 다른 두 실근 ⑵ 중근 ⑶ 서로 다른 두 허근 03 ⑴ k<-1 ⑵ k=-1 ⑶ k>-1 1 밑면의 가로의 길이를 x`m라고 하면 세로의 길이는 (40-x)`m이므로 x(40-x)=480, 즉 x^2&-40x+480=0 이차방정식의 판별식 D에서 D4 =-80<0이므로 이 이차방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다. 따라서 조건을 모두 만족시키는 실수 x는 존재하지 않으므로 건축가는 이 집을 지을 수 없다. 2 예 집의 밑면의 넓이를 300`m^2로 바꾸자. 밑면의 가로의 길이를 x`m라고 하면 x(40-x)=300, 즉 x^2&-40x+300=0 이차방정식의 판별식 D에서 D4 =100>0이므로 건축가는 이 집을 지을 수 있다. 수학 역량 기르기 51쪽
0
2
이차방정식의 판별식
49~51쪽 52쪽 이차방정식 두 근 두 근의 합 두 근의 곱 x^2&-8x+7=0 1, 7 8 7 x^2&+4x+4=0 -2, -2 -4 4x&^2&+2x+5=0 -1+2i, -1-2i -2 5
1 두 근의 합은 x의 계수에 - 부호를 붙인 것과 같다. 2 두 근의 곱은 상수항과 같다. 01 ⑴ 두 근의 합: -3, 두 근의 곱: 3 ⑵ 두 근의 합: 12, 두 근의 곱: -4 02 ⑴ 7 ⑵ -51 03 ⑴ x^2&-x-12=0 ⑵ x^2&+2x+2=0 04 ⑴ x=1zrt3&i, (x-1-rt3&i)(x-1+rt3&i)
⑵ x= -1zrt5&3 i, 3^(x+ 1-rt53 &^)^(x+&i 1+rt5&3 ^)i
1○ 2× 3○ 4×
1 ⑴ -2+4i ⑵ 17+6i ⑶ 35 +65i ⑷ -3i
2 ⑴ 서로 다른 두 실근 ⑵ 서로 다른 두 허근 ⑶ 중근 3 ⑴ 두 근의 합: 3, 두 근의 곱: 5 ⑵ 두 근의 합: 35, 두 근의 곱: - 45 4 x^2&+x-2=0 5 (문제의 식) =1+2i-3-2i+1=-1 6 z=a+bi(a, b는 실수)라고 하면 z^-=a-bi이므로 (1-i)(a+bi)+5i(a-bi)=5-3i (a+6b)+(4a+b)i=5-3i에서 a=-1, b=1 따라서 z=-1+i 7 (2-i)^2&+a(2-i)+b=0에서 (2a+b+3)+(-a-4)i=0 따라서 a=-4, b=5 8 이차방정식의 판별식 D에서 D4 =4a+4<0 따라서 a<-1 9 이차방정식의 두 근을 alpha, alpha+6이라고 하면 2alpha+6=-4에서 alpha=-5
alpha(alpha+6)=-a에서 alpha=-5이므로 a=5
10 alpha+beta=-k, alphabeta=2k+1이므로 alpha^2&+beta^2=(alpha+beta)^2&-2alphabeta=k^2&-4k-2=0 따라서 k=2±rt6 11 z=a+bi(a, b는 실수, bnot=0)라고 하면 z+ 1z= z^2&+1 z =a^2&+2abi-b^2&+1a+bi = (a^3&+ab^2&+a)+(a^2&b+b^3&-b)ia^2&+b^2 이때 z+ 1z이 실수이므로 a^2&b+b^3&-b=0
즉, b(a^2&+b^2&-1)=0이고, bnot=0이므로 a^2&+b^2=1 따라서 zz^-=(a+bi)(a-bi)=a^2&+b^2=1 12 alpha^2&=alpha-6, beta^2&=beta-6이고 근과 계수의 관계에서 alpha+beta=1, alphabeta=6이므로 alpha^2&-2alpha+3=(alpha-6)-2alpha+3=-alpha-3 beta^2&-2beta+3=(beta-6)-2beta+3=-beta-3 따라서 (문제의 식) = 1-alpha-3 +-beta-31 = -(alpha+beta)-6alphabeta+3(alpha+beta)+9 =-187 55~56쪽 1 예 2 예 실수, 허수는 모두 복소수이므로 복소수에서부터 용어 사이의 관계를 정리하였다. 복소수 허수 실수 무리수 정수 자연수 양의 정수 유리수 q p 유리수 '''''`를 기약분수로 나타내었을 때 분모가 1인 유리수 q p '''''`(p, q는 정수, p≠0)의 꼴로 나타낼 수 있는 실수 허수부분이 0인 복소수 유리수가 아닌 실수 실수가 아닌 복소수 57쪽
2
이차방정식과 이차함수
58쪽 1 ⑴ x절편: 6, y절편: 2 ⑵ x절편: -2, y절편: 4 2 ⑴ 2 4 -4-2 -2 -4 O 2 y=x^2-4x+1 x y 4 ⑵ 2 4 -2 -4 O 2 y=-(x-1)(x+3) 4 x y -4-2 59쪽 1-1, 1 2 x=-1 또는 x=1, 같다. 스스로확인하기 x^2&-5x+4=0 01 ①-㉡-㉯, ②-㉢-㉮, ③-㉠-㉰ 02 ⑴ k< 15 ⑵ k= 15 ⑶ k> 15 61쪽 1-1, 2 2 x=-1 또는 x=2, 같다. 스스로확인하기 x+1, x^2&-3x-2=0 03 ①-㉢-㉮, ②-㉠-㉰, ③-㉡-㉯ 04 ⑴ k>-4 ⑵ k=-4 ⑶ k<-4 05 y=(2-2rt2&)x+40
1
이차방정식과 이차함수의 관계
59~62쪽 Ⅱ. 방정식과 부등식283
63쪽 11 20 01 ⑴ 최댓값: 없다., 최솟값: 0 ⑵ 최댓값: 4, 최솟값: 없다. 02 ⑴ 최댓값: 없다., 최솟값: - 72 ⑵ 최댓값: 1, 최솟값: 없다. 1 예 x^2의 계수는 음수이고 꼭짓점의 좌표는 (-1, 3) 이므로 y=-(x+1)^2&+3, y=-2(x+1)^2&+3 2 예 ‘이차함수의 그래프가 점 (0, 2)를 지난다.’는 조 건을 추가하면 구하는 이차함수의 식은 y=-(x+1)^2&+3 수학 역량 기르기 64쪽 스스로확인하기 ⑵ 3, 0, 4, -5 03 ⑴ 최댓값: 5, 최솟값: -4 ⑵ 예 범위: -2-<x-<1, 최댓값: 12, 최솟값: -3 04 높이: 145 `m, 시간: 35초 [풀이]에서 최댓값 3025는 x= 112 일 때 함숫값이다. 그런데 막대의 개수는 자연수이므로 실제로 최댓값은 x=5 또는 x=6일 때 3000이다. 따라서 구하는 직사각형의 최대 넓이는 3000`cm^2이다. 수학 역량 기르기 66쪽
0
2
이차함수의 최대, 최소
63~66쪽 1○ 2× 3× 4○ 1 ⑴ 2 ⑵ 0 ⑶ 1 2 ⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다. ⑵ 한 점에서 만난다(접한다). ⑶ 만나지 않는다. 3 ⑴ 최댓값: 없다., 최솟값: -2 ⑵ 최댓값: 192 , 최솟값: 없다. 4 ⑴ 최댓값: 1, 최솟값: -8 ⑵ 최댓값: 0, 최솟값: -24 5 이차방정식 2x^2&-ax-8=0의 두 근이 -4, b이므로 -4+b= a2, -4b=-4에서 a=-6, b=1 67~68쪽 6 이차방정식 x^2&+5x+a-2=0의 판별식 D에서 D=-4a+33->0, 즉 a-< 334 7 이차방정식 x^2&+4x+2=x+k, 즉 x^2&+3x+2-k=0의 판별식 D에서 D=4k+1<0, 즉 k<- 14 8 이차방정식 x^2&+(m-2)x+3-n=0의 두 근이 1, 4이므로 1+4=-(m-2), 1\4=3-n에서 m=-3, n=-1 9 y=x^2&-2x+k=(x-1)^2&+k-1이므로 k-1=4, k=5 따라서 구하는 최댓값은 x=-1일 때 8이다. 10 ⑴ 이차함수의 식을 a에 대하여 정리하면 (x-1)a+(x^2&-y-2)=0 x-1=0, x^2&-y-2=0에서 x=1, y=-1 따라서 (1, -1) ⑵ 점 P(1, -1)이 꼭짓점일 때, 이차함수는 y=(x-1)^2&-1, 즉 y=x^2&-2x 따라서 구하는 x좌표는 0, 2이다. 11 직사각형의 가로의 길이는 (40-2a)cm이므로 직사 각형의 넓이를 y`cm^2라고 하면 y=a(40-2a)=-2(a-10)^2&+200 이때 0<a<20이므로 구하는 a의 값은 10이다.3
여러 가지 방정식과 부등식
70쪽 1 ⑴ (x+1)^3 ⑵ (x-1)(x+2)(x+3) 2 ⑴ x->-9 ⑵ x>-3 1 가격을 200원씩 올리면 예상 판매량은 10잔씩 감소한다. 2 201 x잔 3 가격을 3000원에서 x원 올릴 때 예상 매출액을 y원이 라고 하면 y=(3000+x)^(400- 120x^) =- 120(x-2500)^2&+1512500 따라서 가격을 2500원 올릴 때, 즉 가격이 5500원일 때 최대 예상 매출액은 1512500원이다. 69쪽71쪽 x=1 또는 x=2 또는 x=3 01 ⑴ x+1, x+3, x=-1, x=-3 ⑵ x^2&-9, x+3, x-3, x=-3, x=3 02 ⑴ x=3 또는 x= -3z3rt3&i2 ⑵ x=2 ⑶ x=z2i 또는 x=z2 ⑷ x=1zrt3 또는 x=1zrt6 1 x^3=1에서 (x-1)(x^2&+x+1)=0
omega는 x^2&+x+1=0의 근이므로 omega^2&+omega+1=0
2 ⑴ omega^2&+omega^4=omega^2&+omega=-1 ⑵ 1+omega+omega^2&+.c3+omega^9 =(1+omega+omega^2)+omega^3&(1+omega+omega^2) +omega^6(1+omega+omega^2)+(omega^3)^3 =1 수학 역량 기르기 72쪽 03 ⑴ x=1 또는 x= 3zrt172 ⑵ x=1 또는 x=-3 또는 x= 1zrt52 04 10`cm
0
1
삼차방정식과 사차방정식
71~73쪽 74쪽 ^{x-y=10 50pai(x^2&-y^2)=16000pai 01 ⑴ ^{x=0y=1 또는 ^{x=1y=0 ⑵ ^{x=1y=2 또는 ^{x=2y=5
02 ^{x=rt3
y=rt3 또는 ^{x=-rt3y=-rt3 또는 ^{x=3y=-1 또는 ^{x=-3y=1
03 x=4, y=1
0
2
연립이차방정식
74~75쪽 76쪽 ^{x<36 2x>53 01 ⑴ 4<x<6 ⑵ x->1 02 7개 03 예 [문제] 한 자루에 1000원인 볼펜과 한 자루에 600원 인 연필을 합하여 15자루를 사려고 한다. 볼펜을 연필보다 더 많이 사고, 전체 금액이 13000원 이하 가 되게 하려면 볼펜을 최대 몇 자루 살 수 있는지 구하시오. [답]10자루0
3
연립일차부등식
76~79쪽 80쪽 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x, -3<x<3 01 ⑴ -2-<x-<1 ⑵ x<- 23 또는 x>2 02 ⑴ -5<x<4 ⑵ x-<-2 또는 x->20
4
절댓값을 포함한 일차부등식
80~81쪽 82쪽 0, 3 01 ⑴ x-<-3 또는 x-> 12 ⑵ -1<x<7 02 ⑴ 해는 없다. ⑵ 모든 실수 03 ⑴ 모든 실수 ⑵ 해는 없다. 04 -3<k<0 05 4-<t-<8 06 ⑴ x<-5 ⑵ x-<-2 또는 x>3 ⑶ - 13 <x<5 ⑷ x< 12 또는 x->4 07 10`m 초과 12`m 이하0
5
이차부등식과 연립이차부등식
82~87쪽 04 ⑴ 해는 없다. ⑵ x=3 05 어떤 자연수를 x라고 하면 ^{3x-160->5 2x-100-<10 따라서 연립부등식의 해는 x=55 06 ⑴ -1<x<2 ⑵ -2<x-<1 문제의 연립부등식은 ^{-3<-2x+1 .c3.c3 ① -2x+1<3x+16 .c3.c3 ② 의 꼴로 나타낼 수 있다. 부등식 ①을 풀면 2x<4에서 x<2 부등식 ②를 풀면 -5x<15에서 x>-3 따라서 연립부등식의 해는 -3<x<2 수학 역량 기르기 79쪽 1○ 2○ 3× 4× 1 ⑴ x=-5 또는 x= 5z5rt32 &i ⑵ x=1 또는 x=-3 또는 x=-1zi 88~89쪽 Ⅱ. 방정식과 부등식285
2 ^{x=-1y=2 또는 ^{x=3 y=0 3 x<-2 또는 x>8 4 ⑴ x<-1 또는 x>5 ⑵ 12 -<x-<4 5 ⑴ 해는 없다. ⑵ x<-2 6 (1+i)^3&+a(1+i)^2&+b=0에서 (b-2)+(2a+2)i=0 따라서 a=-1, b=2 7 x^2&-3xy-4y^2=0의 좌변을 인수분해하면
(x+y)(x-4y)=0, 즉 x=-y 또는 x=4y
r1
par x=-y를 x^2&+2xy+2y^2=26에 대입하여 풀면
y=zrt26 이므로 y=rt26 일 때 x=-rt26 ,
y=-rt26 일 때 x=rt26
r2
par x=4y를 x^2&+2xy+2y^2=26에 대입하여 풀면
y=z1이므로 y=1일 때 x=4, y=-1일 때 x=-4 r1 par, r2par에서 연립방정식의 해는 ^{x=rt26 y=-rt26 또는 ^{x=-rt26y=rt26 또는 ^{x=4 y=1 또는 ^{x=-4y=-1 8 3x-7-<11을 풀면 x-<6 5x-a->7을 풀면 x-> a+75 연립부등식의 해가 2-<x-<b이므로 a+7 5 =2, b=6에서 a=3, b=6 9 r1par x<-3일 때 -2(x-1)>5+(x+3), x<-2 그런데 x<-3이므로 x<-3 .c3.c3`① r2 par -3-<x<1일 때 -2(x-1)>5-(x+3), x<0 그런데 -3-<x<1이므로 -3-<x<0 .c3.c3`② r3 par x->1일 때 2(x-1)>5-(x+3), x> 43 그런데 x->1이므로 x> 43 .c3.c3`③ ①, ②, ③에서 부등식의 해는 x<0 또는 x> 43 10 이차방정식 x^2&-2ax+3a+10=0의 판별식 D에서 D4 =a^2&-3a-10-<0, 즉 -2-<a-<5 11 길의 폭이 x`m이므로 (30-x)(20-x)->200 이 부등식을 풀면 x-<10 또는 x->40 이때 0<x<20이므로 0<x-<10 1 참인 문장의 번호는 3, 6이므로 그 번호를 숫자판에 색칠한다. 2 숫자판의 글자가 완성되도록 8, 9를 색칠한다. 예 8, 9에 알맞은 식은 각각 x^4&-3x^2&-4=0, x^2&-4x+7<0 7 1 2 2 1 4 2 4 2 5 1 7 4 7 1 4 2 1 4 2 1 2 3 3 6 8 3 9 6 4 2 6 9 3 9 8 1 3 2 1 2 5 8 1 2 7 1 5 7 5 7 4 1 8 1 5 2 9 1 5 7 2 3 5 5 5 7 2 1 1 5 7 3 5 6 4 3 8 4 7 1 1 6 7 1 2 5 7 4 7 4 9 7 1 4 9 2 3 5 4 7 7 9 8 9 3 6 9 3 5 7 1 2 7 7 1 5 8 1 2 5 5 4 5 2 6 7 2 4 7 2 3 2 4 2 7 7 1 2 4 1 1 7 7 1 3 2 1 7 1 5 6 5 1 4 4 1 7 5 4 5 4 3 9 3 9 8 8 6 2 7 8 3 9 3 8 6 3 4 1 1 2 1 2 7 4 1 7 5 4 2 2 1 4 5 1 2 1 7 5 90쪽 1 ① 2 a=4, b=rt10 3 alpha+beta=1, alphabeta=3이므로 (문제의 식)=(alpha+beta)^3&-3alphabeta(alpha+beta)-3alphabeta=-17 4 이차방정식 kx^2&-6x+k-2=0의 판별식 D에서 D4 =-k^2&+2k+9=0, 즉 k=1zrt10 5 f(x)=(x-2)(x-6), g(x)=-(x+1)(x-6) 이므로 (x-2)(x-6)=-(x+1)(x-6)에서 x= 12 또는 x=6 따라서 두 실근의 차는 112 이다. 92~94쪽 12 연료 통의 두께를 x`m라고 하면 연료 통 내부의 밑면 의 반지름의 길이는 (8-x)`m, 높이는 (30-2x)`m 이므로 pai(8-x)^2(30-2x)=1372pai 즉, (x-1)(x^2&-30x+274)=0 이 방정식을 풀면 x=1 또는 x=15z7i 따라서 연료 통의 두께는 1`m이다. 13 x^2&-x-2>0을 풀면 x<-1 또는 x>2 x^2&-(a+4)x+4a=(x-a)(x-4)이고, 연립부등 식의 해가 2<x-<4이므로 x&^2&-(a+4)x+4a-<0의 해는 a-<x-<4 x -1 a 2 4 따라서 -1-<a-<2
6 f(x)=x^2&-3x-a+4라고 하면 f(1)=2-a<0이어야 하므로 a>2 7 y=x^2&-2x+3=(x-1)^2&+2이므로 최댓값은 x=k 일 때이다. k^2&-2k+3=11에서 k=-2 또는 k=4 그런데 k>2이므로 k=4 8 x=1 또는 x=-2(중근) 또는 x=3 9 (x-1)(x^2&+x+1)=0에서 omega^2&+omega+1=0이고, omega^3&=1이므로 omega^100&+omega^10^1&+omega^10^2=omega+omega^2&+1=0 10 x^3&-(k+3)x^2&+4kx-3k=(x-3)(x^2&-kx+k) 이차방정식 x^2&-kx+k=0의 근이 모두 실수이어야 하므로 판별식 D에서 D=k^2&-4k->0 따라서 k-<0 또는 k->4 11 r1par x<-1일 때 -(x-1)-(x+1)-<4, x->-2 그런데 x<-1이므로 -2-<x<-1 .c3.c3`① r2 par -1-<x<1일 때 -(x-1)+(x+1)-<4, 2-<4 이 식은 항상 성립하므로 -1-<x<1 .c3.c3`② r3 par x->1일 때 (x-1)+(x+1)-<4, x-<2 그런데 x->1이므로 1-<x-<2 .c3.c3`③ ①, ②, ③에서 부등식의 해는 -2-<x-<2 따라서 구하는 정수 x의 개수는 5이므로 ③이다. 12 이차함수 y=ax^2&+4x+b의 그래프는 x축과 두 점 ^(- 23, 0^), (2, 0)에서 만나고 a<0이다. 이차방정식 ax^2&+4x+b=0의 두 근이 - 23, 2이므로 4 3 =-a4, - 43 =ba에서 a=-3, b=4 13 이차방정식의 판별식 D에서 D4 ={-(k-1)}^2&-(k^2&-ak+b-1) =(a-2)k-b+2=0 ▶ 60 % 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로 a-2=0, -b+2=0 따라서 a=2, b=2 ▶ 40 % 14 ⑴ f(x)=x^2&-4mx+5m^2&+6m+1 =(x-2m)^2&+m^2&+6m+1 즉, g(m)=m^2&+6m+1 ▶ 40 % ⑵ g(m)=m^2&+6m+1=(m+3)^2&-8이므로 최댓값은 m=1일 때 8이고, ▶ 30 % 최솟값은 m=-3일 때 -8이다. ▶ 30 % 15 x^2&+xy-2y^2=0의 좌변을 인수분해하면
(x-y)(x+2y)=0, 즉 x=y 또는 x=-2y
r1
par x=y를 x^2&+3xy+3y^2=7에 대입하여 풀면
y=±1이므로 y=1일 때 x=1,
y=-1일 때 x=-1 ▶ 40 %
r2
par x=-2y를 x^2&+3xy+3y^2=7에 대입하여 풀면
y=±rt7 이므로 y=rt7 일 때 x=-2rt7 , y=-rt7 일 때 x=2rt7 ▶ 40 % r1 par, r2par에서 연립방정식의 해는 ^{x=1 y=1 또는 ^{x=-1y=-1 또는 ^{x=2rt7 y=-rt7 또는 ^{x=-2rt7y=rt7 ▶ 10 % 따라서 구하는 alpha+beta의 최댓값은 rt7 이다. ▶ 10 % 16 ^{a-4x<7-5x .c3.c3 ① 7-5x-<x+1 .c3.c3 ② 부등식 ①을 풀면 x<7-a 부등식 ②를 풀면 -6x-<-6, x->1 ▶ 30 % 이때 연립부등식을 만족시키는 정수 x가 한 개이므로 다음 그림과 같아야 한다. x 1 7-a 2 ▶ 30 % 즉, 1<7-a-<2이므로 5-<a<6 ▶ 40 % 17 모든 실수 x에 대하여 성립해야 하므로 a<0 .c3.c3 ① ▶ 40 % 이차방정식 ax^2&-3ax-2=0의 판별식 D에서 D&=9a^2&+8a<0 즉, - 89 <a<0 .c3.c3 ② ▶ 50 % ①, ②에서 - 89 <a<0 ▶ 10 % 18 3x^2&-8x-16<0에서 (x-4)(3x+4)<0이므로 - 43 <x<4 .c3.c3 ① ▶ 30 % -2x^2&+7x-6-<0에서 (x-2)(2x-3)->0이므로 x-< 32 또는 x->2 .c3.c3 ② ▶ 30 % ①, ②에서 연립부등식의 해는 - 43 <x-<32 또는 2-<x<4 ▶ 20 % 따라서 정수 x가 될 수 있는 모든 값의 합은 -1+0+1+2+3=5 ▶ 20 % Ⅱ. 방정식과 부등식
287
1
평면좌표
98쪽 18 2 ⑴ rt34 ⑵ 5 99쪽 60`km 01 ⑴ 6 ⑵ 5 스스로확인하기 1, 2, rt5 02 ⑴ 5 ⑵ rt13 03 ^-AC^-=^-BC^-인 이등변삼각형 04 (-1, -1)05 c, 0, (a-c)^2&+b^2, 2(a^2&+b^2&+c^2), 2(a^2&+b^2&+c^2)
0
1
두 점 사이의 거리
99~101쪽도형의 방정식
102쪽 5.2-a, 41 15 스스로확인하기 4, -2, 2, 2 01 ⑴ 0 ⑵ 1 02 4 스스로확인하기 4, -2, 10, 10 03 -10 105쪽 1x좌표: 6, y좌표: 9 2(6, 9) 스스로확인하기 ⑵ 1, 13, 1, -3, 13, -3 04 ⑴ 14, 225 2 ⑵ (3, 4) ⑶ 1- 263 , - 23 2 05 (2, 1) 06 a=3, b=10
2
선분의 내분점과 외분점
102~107쪽 1○ 2○ 3× 4○ 1 ⑴ 10 ⑵ 5 2 ⑴ 2 ⑵ -26 3 지은, 서진 4 ^-AB^-=rt52, ^-BC^-=rt65, ^-AC^-=rt65 따라서 삼각형 ABC는 ^-AC^-=^-BC^-인 이등변삼각형이 다. 5 P(a, a-2)라고 하면^-OP^-^2+^-AP^-^2&={a^2&+(a-2)^2}+{a^2&+(a-6)^2}
=4(a-2)^2&+24 따라서 점 P의 좌표는 (2, 0) 6 P^(4, 3a-34 ^)이 x축 위의 점이므로 3a-34 =0, a=1 따라서 점 P의 좌표는 (4, 0) 7 P(-1, 4), Q(7, 8)이므로 ^-PQ^-=rt8^2+4^2s=4rt5 8 rt(p-a)^2+q^2s, rt(p-a)^2+(q-b)^2s, (p-a)^2&+q^2, (p-a)^2&+(q-b)^2 9 두 대각선 AC, BD의 중점이 A D O C -2 2 4 y x 1 a 5 b B 서로 같으므로 a+52 =b+12 즉, b=a+4 ^-AD^-=^-CD^-이므로 rt(a-1)^2+16=rt20
즉, (a-1)^2=4이고 a>0이므로 a=3 따라서 b=7
108~109쪽
다음 그림과 같이 세 점 A, B, C의 좌표를 각각
(x_1, y_1), (x_2,y_2), (x_3, y_3)이라고 하자.
O y x A(x_1, y_1) C(x_3, y_3) B(x_2, y_2) D F E 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표는 ^( x_1&+x_2&+x_33 , y_1&+y_2&+y_33 ^) 수학 역량 기르기 107쪽 세 점 D, E, F의 좌표는 각각 1 x_1&+x_22 , y_1&+y_22 2,
1 x_2&+x_32 , y_2&+y_32 2, 1x_3&+x_12 , y_3&+y_12 ^)이므로 삼각형 DEF의 무게중심의 좌표는
^( x_1&+x_2&+x_33 , y_1&+y_2&+y_33 ^)
따라서 삼각형 DEF의 무게중심은 삼각형 ABC의 무게 중심과 일치한다.
1 오른쪽 그림과 같이 우물이 있 O P 6 y x A C B 는 지점을 P, 우물에서 출발 하여 도착한 두 지점을 각각 B, C라고 하자. 세 점 P, B, C의 좌표는 각각 (2, 0), (0, 2), (6, 4)이므로 보물이 있는 지점의 좌표는 (3, 3) 2 예 참나무와 소나무의 위치가 1 과 같다고 하면 P^( 6mm+n, 0^), B^(0, m+n ^)6m , C^(6, m+n ^)6n 이므로 보물이 있는 지점의 좌표는 (3, 3) 따라서 보물이 있는 지점의 좌표는 m, n의 값에 관계없이 (3, 3)이다. 110쪽
2
직선의 방정식
111쪽 1 ⑴ 기울기: -3, x절편: 43, y절편: 4 ⑵ 기울기: 35, x절편: 5, y절편: -3 2 ⑴ y=3x-9 ⑵ y= 32 x-1 112쪽 기울기: rt3, y절편: 2rt3 스스로확인하기 ⑴ -3, 2, 2x-7 ⑵ y=5 01 ⑴ y=-2x-3 ⑵ y=-1 스스로확인하기 ⑴ 2, 2x ⑵ x=5 02 ⑴ y= 12 x+2 ⑵ x=-1 03 x절편이 a이고 y절편이 b인 직선은 두 점 (a, 0), (0, b)를 지나므로 직선의 방정식은 y=- ba(x-a), 즉 xa +yb =1 04 ⑴ y= 16 x+912 ⑵ 55L 05 ⑴, ⑵, ⑷0
1
직선의 방정식
112~115쪽 1 점 A의 좌표는 (1, 3) 2 ①을 정리하면 (k+2)x+(k-1)y+1-4k=0 이 식은 직선의 방정식이 된다. 두 직선 2x-y+1=0, x+y-4=0의 교점은 (1, 3)이고, ①에 x=1, y=3을 대입하면 등식이 성 립하므로 ①은 두 직선 2x-y+1=0, x+y-4=0 의 교점을 지나는 직선의 방정식이 된다. 수학 역량 기르기 115쪽 116쪽 1 노 ①: 1 3, 노 ②: 13 2 서로 평행하다. 스스로확인하기 ⑵ 평행하지 않다 01 ①-㉠, ②-㉢, ③-㉡ 02 ⑴ y=-x+2 ⑵ y= 14 x-31 [태호]a=a', b=b', cnot=c'이면 - ab=-a'
b'이므로 기울기는 같고, - cb not=-cb' '이므로 y절편은 다르다. 따라서 두 직선 l, l'은 서로 평행하므로 태호의 설 명은 옳다. [수지] 두 직선 x+2y+4=0, 2x+4y+3=0은 서로 평행하지만 a=a', b=b', cnot=c'인 것은 아니다. 따라서 수지의 설명은 옳지 않다. 2 두 직선 l, l'의 기울기는 같고, y절편은 달라야 한다. 따라서 구하는 조건은 ab =a' b', b not=c cb'' 수학 역량 기르기 117쪽 118쪽 1-1 2-1 스스로확인하기 ⑵ 수직이다 03 ①-㉡, ②-㉠, ③-㉢ 04 ⑴ y= 52 x+13 ⑵ y= 12 x+5
0
2
두 직선의 평행과 수직
116~119쪽 Ⅲ. 도형의 방정식289
120쪽 2`m 스스로확인하기 2, -3, 4 01 ⑴ rt5 ⑵ 2 02 예 직선 y=3x 위의 한 점과 직선 3x-y+10=0 사 이의 거리를 구한다. 03 3x+4y+6=0 또는 3x+4y-4=0 예 [방법 1] 점 O에서 직선 AB H O y x B(x_2,`y_2) A(x_1,`y_1) S 에 내린 수선의 발을 H라 하고, 점과 직선 사이의 거 리를 이용하여 선분 OH의 길이를 구한 다음 S= 12 \^-AB^-\^-OH^-임을 이용하여 구한다. [방법 2] 점 A를 지나고 y D C E O y x B(x_2,`y_2) A(x_1,`y_1) S 축에 평행한 직선을 그어 x축과 만나는 점을 C, 점 B를 지나고 x축에 평행한 직선을 그어 y축과 만나는 점을 D, 두 직선이 만나는 점을 E라 하고, S=nemoOCED-semoOCA-semoAEB-semoOBD임을 이용하여 구한다. 수학 역량 기르기 122쪽
0
3
점과 직선 사이의 거리
120~122쪽 05 두 직선이 서로 수직이면 기울기의 곱이 -1이므로 ^(- ab^)\^(-ab''^)=-1 따라서 aa'+bb'=0 1○ 2○ 3○ 4×1 ⑴ y=4x-14 ⑵ y=-3x+1 ⑶ y=3
2 ⑴ y=x-4 ⑵ y=-2x+11 3 ⑴ y=x+2 ⑵ y=-3x+6 4 15 123~124쪽 5 두 점 (k, 2), (5, 6)을 지나는 직선의 기울기와 두 점 (1, k-5), (5, 6)을 지나는 직선의 기울기는 서 로 같으므로 5-k =4 11-k4 즉, k^2&-16k+39=0이므로 k=3 또는 k=13 6 선분 BC의 중점의 좌표는 (6, 3) 두 점 (1, 4), (6, 3)을 지나는 직선의 방정식은 x+5y-21=0 따라서 a=1, b=5 7 -4-2 \^(-a-1 3a ^)=-1이므로 a= 13 8 직선 y=-2x+1 위의 한 점 (0, 1)과 직선 2x+y-k=0 사이의 거리는 |1-k| rt5 =rt5 즉, |1-k|=5이므로 k=-4 또는 k=6 9 직선 2x+2y-3=0에 평행한 직선의 방정식은 y=-x+a, 즉 x+y-a=0^(anot= 32 ^)
|-3-a| rt2 =rt2이므로 a=-5 또는 a=-1 따라서 구하는 직선의 방정식은 x+y+5=0 또는 x+y+1=0 10 각의 이등분선 위의 한 점을 P(x, y)라고 하면 점 P 에서 두 직선 사이의 거리는 같으므로 |2x-y+5| rt5 = |x+2y-3|rt5 즉, x-3y+8=0 또는 3x+y+2=0 따라서 기울기가 양수인 직선의 방정식은 x-3y+8=0 11 점 P에서 직선 CD에 내린 수선의 발을 H라고 하면 점 H는 ^-CD^- 위에 있으므로 ^-PH^- 가 최솟값이 된다. 직선 CD의 방정식은 x+2y-2=0이고, ^-PH^-= 4rt55 이므로 최솟값은 4rt55 이다. 점 P에서 마름모 ABCD 위의 점까지 거리의 최댓값 은 점 P에서 선분 AB 위의 점까지 거리의 최댓값과 같다. ^-PA^-=2rt5, ^-PB^-=rt13이므로 구하는 최댓값은 2rt5이 다. 1 ① (0, 1) ② (0, 4) ③ (2, 1) ④ (0, 4) ⑤ (1, 2) ⑥ (1, 2) ⑦ (4, 4) ⑧ (1, 2) 125쪽
2 PARALLEL 3 예 ① 직선 x+3y-6=0이 y축과 만나는 점 ② 두 직선 y=x, y=2x-4가 만나는 점 ③ 두 점 (-2, 0), (1, 6)을 지나는 직선이 지나 는 점 ④ 두 직선 x=2, y=1이 만나는 점 ⑤ 점 (0, 11)을 지나고 직선 y= 12 x와 수직인 직 선이 지나는 점
3
원의 방정식
126쪽 1 ⑴ 서로 다른 두 실근 ⑵ 중근 ⑶ 서로 다른 두 허근 2 ⑴ 8rt2 ⑵ 3rt5 127쪽 1rtx^2&+y^2x 2rtx^2&+y^2x=2 (또는 x^2&+y^2=4 ) 스스로확인하기 ⑵ 5 01 ⑴ (x+4)^2&+(y-2)^2=4 ⑵ x^2&+y^2=5 1 ㉠, ㉣: 중심 (a, a) 또는 중심 (a, -a)에서 x축 까지 거리, y축까지 거리와 반지름의 길이가 |a|로 같으므로 x축, y축에 모두 접한다. 2 ㉡: 중심 (a, b)에서 x축까지 거리와 반지름의 길이 가 |b|로 같으므로 x축에만 접한다. 3 ㉢: 중심 (a, b)에서 y축까지 거리와 반지름의 길이 가 |a|로 같으므로 y축에만 접한다. 수학 역량 기르기 128쪽 02 ⑴ (-2, 0), rt17 , (x+2)^2&+y^2=17 ⑵ (4, -2), rt2, (x-4)^2&+(y+2)^2=2 03 ⑴ 중심이 (1, -4)이고 반지름의 길이가 5인 원 ⑵ 중심이 ^( 34, -1^)이고 반지름의 길이가 54인 원 04 k< 134 05 x^2&+y^2&-3x+y=00
1
원의 방정식
127~130쪽 131쪽 서진: ㉢, 지은: ㉡, 태호: ㉠0
2
원과 직선의 위치 관계
131~136쪽 01 ⑴ 한 점에서 만난다(접한다). ⑵ 만나지 않는다. 02 ⑴ - 103 <k<103 ⑵ k=- 103 또는 k= 103 ⑶ k<- 103 또는 k> 103 03 예 [윤도] 원 (x-3)^2&+(y+1)^2=5의 중심 (3, -1)에서 직선 x-2y+k=0까지 거리는 |k+5| rt5 원의 반지름의 길이는 rt5 이므로 |k+5| rt5 <rt5 즉, |k+5|<5이므로 -10<k<0 스스로확인하기 3, 3rt2 04 ⑴ y=2xz5 ⑵ y= 12 xzrt5 05 ⑴ x+2y=15 ⑵ x=-4 06 -x-3y=10 또는 3x-y=10 점 (1, 2)에서 원에 그은 접선의 방정식 중 하나는 x=1이다. 그런데 직선 x=1은 기울기가 존재하지 않으므로 접선의 기울기를 m이라고 하면 접선의 방정식을 구할 수 없다. [참고] 이런 경우에는 그림을 통하여 접선 x=1을 찾을 수 있다. 수학 역량 기르기 136쪽 1○ 2× 3○ 1 ⑴ (x-1)^2&+(y-3)^2=3 ⑵ (x+1)^2&+(y-1)^2=13 ⑶ x^2&+y^2&-x-y=0 2 중심: (4, -3), 반지름의 길이: 7 3 ⑴ 한 점에서 만난다(접한다). ⑵ 서로 다른 두 점에서 만난다. ⑶ 만나지 않는다. 4 ⑴ y=-2xz4rt5 ⑵ x-rt3&y=8 5 (x-2k)^2&+(y-1)^2=4k^2&-3k가 나타내는 도형이 원이 되려면 4k^2&-3k>0이어야 하므로 k<0 또는 k> 34 137~138쪽 Ⅲ. 도형의 방정식291
6 원의 중심을 (a, -a)라고 하면 (1-a)^2&+(1+a)^2=(3-a)^2&+(-5+a)^2, a=2 따라서 원의 중심은 (2, -2), 반지름의 길이는 rt10 이므로 구하는 원의 방정식은 (x-2)^2&+(y+2)^2&=10 7 점 (a, 1)과 직선 3x-4y-a+2=0 사이의 거리는 |2a-2| 5 이고, 원의 반지름의 길이는 2이므로 |2a-2|5 -<2, -4-<a-<6 8 직선 l의 방정식은 4x+3y=25이므로 직선 l에 수직 인 직선의 기울기는 34 따라서 구하는 직선의 방정식은 y= 34 xz55^(34 ^)^^2&+1g, 즉 y= 34 xz254 9 1, 4, m^2&-4m, 3, 12, -4 10 원의 중심 C(3, 0)과 직선 y=x-1 사이의 거리는 rt2이므로 12 \^-AB^-\rt2=2, ^-AB^-=2rt2 선분 AB의 중점을 M이라고 A B C y=x-1 x^2+y^2-6x+k=0 M 하면 ^-AM^-=rt2 이므로 ^-AC^-=2 따라서 원의 방정식은 (x-3)^2&+y^2=4 즉, x^2&+y^2&-6x+5=0이므로 k=5 11 원의 방정식을 (x-a)^2&+(y-a)^2=a^2(a>0)이라 고 하면 점 (a, a)와 직선 6x+8y-9=0 사이의 거 리는 |14a-9|10 =a 이 식을 풀면 a= 38 또는 a= 94 따라서 구하는 원의 반지름의 길이는 38, 94이다. 1 예 O x y (x+0.5)^2&+y^2=0.25, (x+1)^2&+y^2=1, (x+1.5)^2&+y^2=2.25, (x+2)^2&+y^2=4, (x+2.5)^2&+y^2=6.25, (x+3)^2&+y^2=9, (x+3.5)^2&+y^2=12.25, (x+4)^2&+y^2=16, (x+4.5)^2&+y^2=20.25, (x+5)^2&+y^2=25 139쪽 2 예
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도형의 이동
140쪽 1-4 2 ⑴과 ⑶, ⑵와 ⑷ 144쪽 1(6, -6) 2 백호의 좌표: (-6, 2), 양의 좌표: (-6, -2) 스스로확인하기 -2, -7 01 ⑴ x축: (-4, -3), y축: (4, 3), 원점: (4, -3) ⑵ x축: (-3, 1), y축: (3, -1), 원점: (3, 1) 02 ⑴ 2x+3y-4=0, 2x+3y+4=0, 2x-3y+4=0⑵ (x-2)^2&+(y+3)^2=1, (x+2)^2&+(y-3)^2=1, (x+2)^2&+(y+3)^2=1 03 a=-2, b=6, c=5
