247쪽 12
스스로 확인하기 ⑵ 5, 30 01 ⑴ 20 ⑵ 210
02 서로 다른 상자 4개에서 순서를 생각하여 3개를 택 하는 모든 방법의 수와 같으므로 _4&P_3이다.
03 놀이공원의 놀이 기구 6개 중에서 순서를 생각하여 3개를 고르는 모든 경우의 수를 구하시오.
스스로 확인하기 ⑵ 6, 504 04 ⑴ 120 ⑵ 720
05 _n-_1&P_r&+r\_n-_1&P_r-_1= (n-1)(n-r-1)!
!
+ r(n-1)(n-r)!
!= (n-1)!{(n-r)+r}
(n-r)
!
= n(n-r)!
!
=_n&P_r 따라서 _nP_r=_n-_1P_r&+r\_n-_1P_r-_1 06 ⑴ 36 ⑵ 1202 순열
247~250쪽251쪽 6
스스로 확인하기 ⑵ 3, 2, 35 01 ⑴ 120 ⑵ 84
02 서로 다른 상자 4개에서 순서를 생각하지 않고 3개 를 택하는 모든 방법의 수와 같으므로 _4&C_3이다.
03 ⑴ _n&C_n-_r= n!
(n-r)
!
{n-(n-r)}!
= n!
(n-r)
!
r!
=_n&C_r 따라서 _nC_r=_nC_n-_r03 조합
251~254쪽15 (f`do`g)(x)=f(g(x))=f(-3x+2)
=rt3x&+1(x->0) ▶ 50 % y=rt3x&+1로 놓고 x에 대하여 풀면
rt3x=y-1, x= 13 (y-1)^2(y->1)
x와 y를 서로 바꾸면 y= 13 (x-1)^2(x->1)이므로 (f`do`g)-^1(x)= 13 (x-1)^2(x->1) ▶ 50 % 16 ⑴ y= bx+cx-a =ab+c
x-a +b의 그래프에서 점근선은 두 직선 x=a, y=b이므로
a<0, b>0 ▶ 40 % 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표가 음수이므로 - ca<0, 즉 c<0 ▶ 20 %
⑵ 오른쪽 그림과 같이
O x
y
y=a x-b+c c
y=artx-b&+c의 그래프가 b 지나는 사분면은 제4사분면
이다. ▶ 40 %
[윤도] 구하는 수의 개수를 x라고 하고 합의 법칙을 이 용하면 9+9+x=90에서 x=72
[유진] 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 9개, 일의 자리 에 올 수 있는 숫자는 8개이므로 곱의 법칙을 이용하면 9\8=72
[차이점] 윤도는 합의 법칙을 이용하였고, 유진이는 곱의 법칙을 이용하였다.
수학 역량 기르기 246쪽
1× 2○ 3×
1 5 2 사실이다.
3 ⑴ 48 ⑵ 12 4 ⑴ 1680 ⑵ 10 5 ⑴ 여학생 3명을 1명으로 생각하면 4명이 일렬로 서
는 경우의 수는 4!
그 각각에 대하여 여학생 3명이 서로 자리를 바꾸 어 서는 경우의 수는 3!
따라서 구하는 모든 경우의 수는 4!\3!=144
⑵ 남학생, 여학생의 순서로 교대로 서는 경우의 수는 3!\3!=36
여학생, 남학생의 순서로 교대로 서는 경우의 수는
~ 3!\3!=36
따라서 구하는 모든 경우의 수는 36+36=72 6 남학생을 x명이라고 하면 _1_0&C_3&-_x&C_3=100에서
_xC_3=20, x=6 따라서 남학생은 6명이다.
7 학생 7명 중에서 3명을 뽑는 경우의 수는 _7C_3 뽑힌 3명의 번호가 모두 이웃하는 경우는 1번, 2번, 3번 또는 2번, 3번, 4번 또는 3번, 4번, 5번 또는 4번, 5번, 6번 또는 5번, 6번, 7번
의 5가지이므로 구하는 모든 경우의 수는 _7C_3&-5&=30
255~256쪽
8 세 수 모두 짝수를 택하는 경우의 수는 _1_0&C_3 짝수 1개와 홀수 2개를 택하는 경우의 수는 _1_0&C_1&\_1_0&C_2
따라서 구하는 모든 경우의 수는 _1_0&C_3&+_1_0&C_1&\_1_0&C_2=570 9 그을 수 있는 선분의 개수는 _4C_2&=6
선분 6개 중에서 3개를 택하는 방법의 수는 _6C_3 그런데 점 4개를 연결하지 못하는 경우는 다음 그림과 같이 4가지이다.
A D
B C
A D
B C
A D
B C
A D
B C
따라서 구하는 모든 방법의 수는 _6C_3&-4=16 10 단의 전체 개수는 200div25=8
r1
par 폭이 50`cm인 단 6개와 100`cm인 단 2개로 계단 을 설계하는 방법의 수는 _8C_6&\_2C_2
r2
par 폭이 50`cm인 단 7개와 150`cm인 단 1개로 계단 을 설계하는 방법의 수는 _8C_7&\_1C_1
r1
par, r2par에서 구하는 모든 방법의 수는 _8C_6&\_2C_2&+_8C_7&\_1C_1=36
①~⑨의 각 경우의 수는 다음과 같다.
① _5C_2 ② _5P_2 ③ _5C_3
④ 4\4 ⑤ _4P_2 ⑥ _4C_2
⑦ 4!\2 ⑧ 4!\2! ⑨ _5C_2&\_3C_3 1 경로: ①-②-⑤-⑧-경복궁
도착하는 장소: 경복궁
2 예 다음과 같이 문제를 바꾸면 경로는 ①-④-⑤-⑧-창경궁
①: 학생 5명 중에서 회장과 부회장을 각각 1명씩 뽑는 모든 방법의 수
⑧: 5명이 일렬로 서서 사진을 찍는 모든 경우의 수 257쪽
1 ③ 2 14
258~260쪽
⑵ _n-_1&C_r-_1&+_n-_1&C_r
= (n-1)!
(r-1)
!
(n-r)!
+ (n-1)r!
(n-r-1)!!
= (n-1)!{r+(n-r)}
r
!
(n-r)!
= n!
r
!
(n-r)!
=_n&C_r따라서 _nC_r=_n-_1C_r-_1&+_n-_1C_r 04 114 05 60
1 [상윤] _4C_0&+_4C_1&+_4C_2&+_4C_3&+_4C_4=1+4+6+4+1
=16 [수지]2\2\2\2=2^4=16 [결과] 같다.
2 2n
수학 역량 기르기 254쪽
Ⅵ. 경우의 수
307
3 각 직선에서 2개씩 점을 택하여 만든 사다리꼴의 윗변 의 길이를 a, 아랫변의 길이를 b라고 하면 넓이는
12 (a+b)=2이므로 a+b=4 a=1, b=3인 경우의 수는 4\2=8 a=2, b=2인 경우의 수는 3\3=9 a=3, b=1인 경우의 수는 2\4=8 따라서 구하는 모든 경우의 수는 8+9+8=25
4 _4P_2=12
5 영역 A, B, C, D 4개에 칠할 수 있는 색은 각각 4가 지, 3가지, 2가지, 2가지이므로 구하는 모든 방법의 수는 4\3\2\2=48
6 위 줄에 흰색 모자, 아래 줄에 검은색 모자를 진열하 는 경우는 수는 _3&P_2&\3!=36
위 줄에 검은색 모자, 아래 줄에 흰색 모자를 진열하 는 경우는 수는 3!\_3P_2&=36
따라서 구하는 모든 경우의 수는 36+36=72
7 운전석에 A 또는 B가 앉는 방법의 수는 2 나머지 네 좌석에 4명이 앉는 방법의 수는 4! 따라서 구하는 모든 방법의 수는 2\4!=48이므로 ③ 이다.
8 20명이 빠짐없이 서로 한 번씩 악수하는 경우의 수는 _2_0C_2
부부끼리 악수하는 경우의 수는 10이므로 구하는 전 체 악수의 수는
_2_0C_2&-10=180
9 집합 A의 원소 중에서 집합 B에도 속하는 원소 2개를 택하는 경우의 수는 _4&C_2&
그 각각에 대하여 집합 {5, 6, 7}의 부분집합의 개수는 2^3
따라서 구하는 집합 B의 개수는 _4&C_2&\2^3=48
10 부모는 반드시 포함하므로 나머지 4명 중에서 2명을 택하는 방법의 수는 _4&C_2&
4명이 일렬로 서는 방법의 수는 4! 따라서 구하는 모든 방법의 수는 _4&C_2&\4!=144
11 남학생이 서는 순서는 정해져 있으므로 여학생 2명이 이웃하지 않게 서는 방법의 수는 _5P_2& ▶ 40 % 여학생 2명이 이웃하게 서는 방법의 수는
_5P_1&\2! ▶ 40 %
따라서 구하는 모든 방법의 수는
_5P_2&+_5P_1&\2!=30 ▶ 20 % 12 f(n+1)-f(n)=5, 즉 f(n)=1, f(n+1)=6인
n의 값을 정하는 경우의 수는 5 ▶ 40 % 그 각각에 대하여 일대일대응이 되는 경우의 수는
4! ▶ 40 %
따라서 구하는 함수 f의 개수는
5\4!=120 ▶ 20 %
13 전체 걸음 수가 7일 때, 두 단을 올라가는 경우는 0회
이므로 _7C_0=1 ▶ 20 %
전체 걸음 수가 6일 때, 두 단을 올라가는 경우는 1회
이므로 _6C_1=6 ▶ 20 %
전체 걸음 수가 5일 때, 두 단을 올라가는 경우는 2회
이므로 _5C_2=10 ▶ 20 %
전체 걸음 수가 4일 때, 두 단을 올라가는 경우는 3회
이므로 _4C_3=4 ▶ 20 %
따라서 구하는 모든 경우의 수는
1+6+10+4=21 ▶ 20 %
14 ⑴ 친구를 초대하는 모든 경우의 수는
_1_0&C_5=252 ▶ 30 %
⑵ 쌍둥이를 둘 다 초대하는 경우의 수는
_8&C_3 ▶ 30 %
쌍둥이를 둘 다 초대하지 않는 경우의 수는
_8&C_5 ▶ 30 %
따라서 구하는 모든 경우의 수는
_8&C_3&+_8&C_5=112 ▶ 10 % 15 5명 중에서 2명이 자신의 이름표를 고르는 경우의 수는
_5&C_2 ▶ 30 %
그 각각에 대하여 나머지 3명이 다른 사람의 이름표를
고르는 경우의 수는 2 ▶ 50 %
따라서 구하는 모든 경우의 수는
_5&C_2&\2=20 ▶ 20 % 16 상자 2개에 공 4개를 넣어야 하므로 상자 2개를 택하 는 방법의 수는 _5&C_2 ▶ 30 % 그 각각에 대하여 상자 2개에 넣는 공의 개수를 순서 쌍으로 나타내면 (1, 3), (2, 2), (3, 1)이므로 _4&C_1&\_3&C_3&+_4&C_2&\_2&C_2&+_4&C_3&\_1&C_1=14 ▶ 50 % 따라서 구하는 모든 방법의 수는
_5&C_2&\14=140 ▶ 20 %
266~267쪽
I 다항식
1 3x^3&-8x^2&+13x-11 2 x^4&-6x^3&+13x^2&-12x+4 3 a+b=4, ab=1이므로
a^3&+b^3&&=(a+b)^3&-3ab(a+b)=52 4 ③
5 등식의 양변에 x=1, x=-1을 각각 대입하면 16=6+a+b, 0=-2+a-b
따라서 a=6, b=4
6 P(1)=0, P(-2)=0이므로 a+5-b=0, -8a+14-b=0 따라서 a=1, b=6
7 R_1=a^3&+a^2&+2, R_2=-a^3&+a^2&+2이므로 R_1&+R_2=2a^2&+4=8, a^2=2
따라서 P(a^2)=P(2)=14이므로 ④이다.
8 P(x)=x^20&-x^1^1&+1이라 하고 P(x)를 x-1로 나 누었을 때, 나머지를 R라고 하면
P(x)=(x-1)Q(x)+R R=P(1)=1이므로
P(x)=(x-1)Q(x)+1 P(-1)=-2Q(-1)+1=3이므로 Q(-1)=-1
따라서 구하는 나머지는 -1이다.
9 A(1)+B(1)=4, {A(1)}^3&+{B(1)}^3=28이고, {A(1)}^3&+{B(1)}^3
={A(1)+B(1)}^3&-3A(1)B(1){A(1)+B(1)}
즉, 28=64-12A(1)B(1)이므로 A(1)B(1)=3
따라서 구하는 나머지는 3이다.
10 P(2)-2=0, P(3)-2=0이므로 P(2)=2, P(3)=2
(x-1)P(x-1)을 x^2&-7x+12로 나누었을 때 몫 을 Q(x), 나머지를 ax+b(a, b는 상수)라고 하면 (x-1)P(x-1)=(x-3)(x-4)Q(x)+ax+b 이때 2P(2)=3a+b, 3P(3)=4a+b이므로 3a+b=4, 4a+b=6에서 a=2, b=-2 따라서 구하는 나머지는 2x-2
11 P(x)를 (x-1)^2(x-2)로 나누었을 때 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)라고 하면
P(x)=(x-1)^2(x-2)Q(x)+R(x) P(x)를 (x-1)^2으로 나누었을 때 나머지는 R(x) 를 (x-1)^2으로 나누었을 때 나머지와 같고, R(x) 는 이차 이하의 다항식이므로
R(x)=a(x-1)^2&+x-4 (단, a는 상수) 즉, P(x)=(x-1)^2(x-2)Q(x)+a(x-1)^2&+x-4 P(2)=2이므로 a-2=2, a=4
따라서 구하는 나머지는 4x^2&-7x 12 x^3&-2x^2&+4x+c&=(x-1)(x^2&+ax+b)
=x^3&+(a-1)x^2&+(b-a)x-b 따라서 a=-1, b=3, c=-3이므로 ②이다.
13 x^2&+3x=X로 놓으면
(문제의 식) =(X+3)(X+8)+6
=(X+5)(X+6)
=(x^2&+3x+5)(x^2&+3x+6) 따라서 ④이다.
14 9999=x라고 하면
(문제의 식)= x^3&+1
x(x-1)+1 =x+1 따라서 구하는 값은 10000이다.
15 6^6&-1=(6^3&+1)(6^3&-1)
=(6+1)(6^2&-6+1)(6-1)(6^2&+6+1)
=5\7\31\43
따라서 구하는 n의 값은 31, 35, 43이다.
268~269쪽