186쪽 1 충분 2 필요
스스로 확인하기 ⑵ 필요 ⑶ 필요충분
04 ⑴ 필요조건 ⑵ 충분조건 ⑶ 필요충분조건 05 ⑴ 필요충분조건 ⑵ 충분조건 ⑶ 필요조건
예 [충분조건] 두 조건 ‘p: 어떤 경기가 아이스하키이다.’,
‘q: 어떤 경기가 빙상 경기이다.’의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면 P/<Q, Q/</P
즉, pLLOq이므로 p는 q이기 위한 충분조건이다.
따라서 아이스하키인 것은 빙상 경기이기 위한 충분 조건이다.
[필요조건] 두 조건 ‘p: 어떤 동물이 포유류이다.’,
‘q: 어떤 동물이 사자이다.’의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면 Q/<P, P/</Q
즉, qLLOp이므로 p는 q이기 위한 필요조건이다.
따라서 포유류인 것은 사자이기 위한 필요조건이다.
수학 역량 기르기 187쪽
1× 2○ 3○ 4× 1 서진, 태호
2 ⑴ 역: 36의 배수이면 6의 배수이다. (참)
대우: 36의 배수가 아니면 6의 배수가 아니다. (거짓)
⑵ 역: x^2=1이면 |x|=1이다. (참) 대우: x^2not=1이면 |x|not=1이다. (참) 3 ⑴ 필요조건 ⑵ 충분조건
4 p@A~q가 참이므로 P/<Q^C U
P Q
이를 벤다이어그램으로 나타내면 오른쪽과 같으므로 항상 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
5 ⑴ 어떤 실수 x에 대하여 x^2&+3-<0이다. (거짓)
⑵ 모든 실수 x에 대하여 |2x-1|->0이다. (참) 6 주어진 명제가 참이므로 그 대우 ‘x-a=0이면
x^2&+5x-24=0이다.’도 참이다.
a^2&+5a-24=0에서 이차방정식의 근과 계수의 관계 에 따라 상수 a가 될 수 있는 모든 값의 합은 -5이다.
7 조건 p에서 |a|+|b|=0NLOa=b=0 조건 q에서 (a-b)^2=0NLOa=b 조건 r에서 |a+b|=|a-b|
NLO|a+b|^2=|a-b|^2 NLOab=0NLOa=0 또는 b=0 따라서 옳은 것은 ㄱ이다.
8 a2 +1, rta+1, a
2 +1, rta+1, a^2 4, rta+1
193~194쪽
1 ㈏ 명제: aLLOc, 대우: ~cLLO~a
㈐ 명제: ~dLLO~c, 대우: cLLOd
㈑ 명제: ~aLLO~b, 대우: bLLOa 2 r1par aLLOc, cLLOd이므로 aLLOd이다.
즉, A가 초콜릿을 먹었다면 C와 D도 초콜릿을 먹 었다는 것을 의미한다. 이때 초콜릿을 먹은 자녀가 3명이므로 ㈎의 사실과 맞지 않는다.
따라서 A는 초콜릿을 먹지 않았다.
r2
par bLLOa, aLLOc이므로 bLLOc이다.
즉, B가 초콜릿을 먹었다면 A와 C도 초콜릿을 먹 었다는 것을 의미한다. 또 cLLOd이므로 C가 초콜 릿을 먹었다면 D도 초콜릿을 먹었다.
이때 초콜릿을 먹은 자녀가 4명이므로 ㈎의 사실 과 맞지 않는다.
따라서 B는 초콜릿을 먹지 않았다.
r1
par, r2par 에서 초콜릿을 먹은 자녀는 C, D이다.
195쪽
1 ③ 2 a=7, b=-2
3 집합 X는 집합 B의 부분집합 중에서 원소 3을 반드 시 포함하는 부분집합이므로 구하는 집합 X는 {3}, {1, 3}, {3, 6}, {3, 9}, {1, 3, 6}, {1, 3, 9}, {3, 6, 9}, {1, 3, 6, 9}
196~198쪽
06 (a^2&+b^2)(x^2&+y^2)-(ax+by)^2->0임을 보이면 된다.
(a^2&+b^2)(x^2&+y^2)-(ax+by)^2 =a^2&y^2&-2abxy+b^2&x^2=(ay-bx)^2->0 따라서 (a^2&+b^2)(x^2&+y^2)->(ax+by)^2 이때 등호가 성립하는 경우는 ay=bx일 때이다.
07 |a|+|b|->0, |a+b|->0이므로
(|a|+|b|)^2&-|a+b|^2->0임을 보이면 된다.
(|a|+|b|)^2&-|a+b|^2
=a^2&+2|ab|+b^2&-(a^2&+2ab+b^2)
=2(|ab|-ab)
이때 |ab|->ab이므로 2(|ab|-ab)->0 따라서 (|a|+|b|)^2->|a+b|^2이므로 |a|+|b|->|a+b|
이때 등호가 성립하는 경우는|ab|=ab, 즉 ab->0일 때이다.
9 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면 P={x|1<x<5}, Q={x|a-<x-<b-4}
p는 q이기 위한 충분조건이므로 P/<Q 오른쪽 그림에서 a-<1이어야
a 1 5 x
b-4 QP 하므로 a의 최댓값은 1이다.
또 b-4->5, 즉 b->9이어야 하므로 b의 최솟값은 9이다.
10 주어진 명제의 대우 ‘n이 3의 배수가 아니면 n^2도 3의 배수가 아니다.’가 참임을 보이면 된다.
n이 3의 배수가 아니면 n=3k-1 또는 n=3k-2 (k는 자연수)로 나타낼 수 있으므로
n^2=3(3k^2&-2k)+1 또는 n^2=3(3k^2&-4k+1)+1 이때 3k^2&-2k와 3k^2&-4k+1은 0 또는 자연수이므로 n^2은 3의 배수가 아니다.
따라서 주어진 명제의 대우가 참이므로 주어진 명제도 참이다.
Ⅳ. 집합과 명제
299
4 영화를 관람한 학생 전체의 집합을 U, 공포 영화를 관람한 학생의 집합을 A, 공상 과학 영화를 관람한 학생의 집합을 B라고 하면
n(U)=45, n(A)=28, n(B)=23, n(AcupB)=x n(AhapB)-<n(U)에서 28+23-x-<45
x->6 .c3.c3 ①
(AcupB)/<A, (AcupB)/<B이므로 x-<23 .c3.c3 ②
①, ②에서 6-<x-<23이므로 x의 최댓값은 23, 최솟 값은 6이다.
5 A/<B이므로 AhapB=B, AcupB=A, A-B=∅, B^C/<A^C이 성립한다.
따라서 항상 성립한다고 할 수 없는 것은 ③이다.
6 각 집합을 벤다이어그램으로 나타내면 다음과 같다.
① A
B C
②
B C
A ③ A
B C
④ A
B C
⑤ A
B C
따라서 ⑤이다.
7 (A^CcupB)^C=AhapB^C={2, 4, 5, 6, 7}이므로 모든 원소의 합은 2+4+5+6+7=24
따라서 ④이다.
8 27
9 ~pLLOq이므로 P^C/<Q
명제와 그 대우의 참, 거짓은 일치하므로
~qLLOp, 즉 Q^C/<P
① Q/</P ② P^C&-Q=∅
③
PcupQ^C=Q^C ⑤ P^C/</Q^C따라서 항상 옳은 것은 ④이다.
10 ㄱ. xy=0NLOx=0 또는 y=0 ㄴ. x+y=0NLOx=-y
따라서 x=y=0이기 위한 필요충분조건인 것은 ㄷ, ㄹ이다.
11 P^ChapQ=U에서 P/<Q, Q/</P이므로 UQ pLLOq P
따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다.
12 ⑴ n(A_3hapA_4)=n(A_3)+n(A_4)-n(A_3cupA_4)
=n(A_3)+n(A_4)-n(A_1_2)
=33+25-8=50 ▶ 40 %
⑵ A_2cup(A_3hapA_4)=(A_2cupA_3)hap(A_2cupA_4)
=A_6hapA_4 ▶ 20 %
따라서 n(A_2cup(A_3hapA_4))
=n(A_6hapA_4)
=n(A_6)+n(A_4)-n(A_6cupA_4)
=n(A_6)+n(A_4)-n(A_1_2)
=16+25-8=33 ▶ 40 %
13 Acup(A-B)=A이므로 A-B=A
따라서 AcupB=∅ ▶ 60 %
즉, AcupB=∅이고 AhapB=U이므로
B={4, 5, 7} ▶ 40 %
14 n(AcupB)=n(A)-n(A-B)
=50-29=21 ▶ 40 %
n(AhapB)=n(A)+n(B)-n(AcupB)
=50+33-21=62 ▶ 40 %
따라서 n((AhapB)^C)=n(U)-n(AhapB)
=80-62=18 ▶ 20 % 15 세 조건 p, q, r의 진리집합을 각각 P, Q, R라고 하면
P={x|1-<x-<8}, Q={x|x>a-2}
R={x|x<b+3}
⑴ 명제 p@Aq가 참이므로 P/<Q 오른쪽 그림에서
a-21 8
PQ a-2<1, a<3 ▶ 30 % x
따라서 구하는 정수 a의 최댓값 은 2이다. ▶ 20 %
⑵ 명제 p@Ar가 거짓이므로 P/</R 오른쪽 그림에서
b+3 8 1 R P b+3-<8, b-<5 ▶ 30 % x 따라서 구하는 정수 b의 최댓값 은 5이다. ▶ 20 %
16 주어진 명제의 부정은 ‘모든 실수 x에 대하여 x^2&-4x+a->0이다.’이다. ▶ 30 % 모든 실수 x에 대하여 이차부등식 x^2&-4x+a->0이 성립하려면 이차방정식 x^2&-4x+a=0의 판별식 D 에서 D
4 =4-a-<0, a->4 ▶ 50 % 따라서 상수 a의 최솟값은 4이다. ▶ 20 % 17 결론을 부정하여 rt3 이 유리수라고 가정하면
rt3= nm (m, n은 서로소인 자연수) .c3.c3 ① ▶ 20 % ①에서 3m^2=n^2 .c3.c3 ② 이때 n^2이 3의 배수이므로 n도 3의 배수이다. ▶ 30 % n=3k(k는 자연수)로 나타내어 ②에 대입하면 3m^2=(3k)^2, 즉 m^2=3k^2
이때 m^2이 3의 배수이므로 m도 3의 배수이다. ▶ 30 % 즉, m, n이 모두 3의 배수이므로 m, n이 서로소라는 가정에 모순이다.
따라서 rt3 은 유리수가 아니다. ▶ 20 %