[2018학년도 수능 대비 - 기하와벡터] III. 공간도형과 공간벡터

(1)

유형01

직선 및 평면의 위치관계 (1) 평면의 결정 조건 ① 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점 ② 한 직선과 그 위에 있지 않은 한 점 ③ 한 점에서 만나는 두 직선 ④ 평행한 두 직선 (2) 서로 다른 두 직선의 위치 관계 ① 한 점에서 만난다. ② 평행하다. ③ 꼬인 위치에 있다. (3) 직선과 평면의 위치 관계 ① 직선이 평면에 포함된다. ② 한 점에서 만난다. ③ 평행하다. (4) 서로 다른 두 평면의 위치 관계 ① 만난다. ② 평행하다.

|출제유형|

공간에서의 두 직선의 위치관계, 특히 꼬인 위치를 묻는 문제들이 출제된다. ▶ 1직 선및평 면 의위 치관계 [정답률 : 75%] 일 ::1 076

1.

1.사면체

ABCD

의 면

ABC

,

ACD

의 무게중심을 각각

P

,

Q

라고

하자. <보기>에서 두 직선이 꼬인 위치에 있는 것을 모두 고르면? [3점][2004(가) 9월/평가원 9] ㄱ. 직선

CD

와 직선

BQ

ㄴ. 직선

AD

와 직선

BC

ㄷ. 직선

PQ

와 직선

BD

< 보 기 > ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ▶ 1직선 및평면 의위치 관계 [정답률 : 47%] 일: :24 42

2.

2 .중심이

O

이고 반지름의 길이가



인 구에 내접하는 정사면체

ABCD

가 있다. 두 삼각형

BCD

,

ACD

의 무게중심을 각각

F

,

G

라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점][2008(가) 9월/평가원 12] ㄱ. 직선

AF

와 직선

BG

는 꼬인 위치에 있다. ㄴ. 삼각형

ABC

의 넓이는

_











보다 작다. ㄷ.

∠AOG  

일 때,

_{cos  }





이다. < 보 기 > ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ▶ 1직선 및평면 의위치 관계 [정답률 : 34%] 일: :31 60

3.

3 .정



각기둥에서 밑면의 한 모서리와 꼬인 위치에 있는 모서리 의 개수를



이라 하자. 예를 들어

  

,

  

이다. 정삼각기둥 정사각기둥 이때,



   



의 값을 구하시오. [4점][2007(가) 10월/평가원 20]

(2)

유형02

직선과 평면 또는 두 직선 및 두 평면이 이루는 각 (1) 꼬인 위치에 있는 두 직선이 이루는 각 꼬인 위치에 있는 두 직선



,



이 이 루는 각의 크기는 한 점

O

를 지나고 두 직선



,



에 각각 평행한 두 직선

′

,

′

이 이루는 각의 크기와 같다. (2) 직선과 평면이 이루는 각 직선



이 평면



와 점

O

에서 만나고 직선



위의 한 점

A

에서 평면



에 내 린 수선의 발을

H

라 하면 직각삼각형

AOH

에서

∠AOH

를 직선



과 평면



가 이루는 각이라고 한 다. (3) 직선과 평면의 수직 직선



이 평면



와 점

O

에서 만나고 점

O

를 지나는 평면



위의 모든 직선과 수직일 때, 직선



과 평면



는 수직이라 하 고, 기호

⊥

로 나타낸다. 일반적으로 직선



이 평면



위의 평행하지 않은 두 직선과 각각 수직이면

⊥

이다.

|출제유형|

직선과 평면이 이루는 각, 꼬인 위치에 있는 두 직선이 이루는 각, 두 평면이 이루는 각을 묻는 문제가 출제된다. ▶ 2직 선과평 면 또는 두직선 및두평 면 이이 루는각 [정답률 : 92%] 일 ::8 925

4.

4.좌표공간에서 평면

        

과



평면이 이루는 예 각의 크기를



라 할 때,

cos

의 값은? [3점][2017(가) /수능 12] ①

_





②

_





③

_





④

_





⑤

_





▶ 2직선 과평면 또는두 직선및 두평면 이이루 는각 [정답률 : 47%] 일: :87 32

5.

5 .그림과 같이 직선



을 교선으로 하고 이루는 각의 크기가







인 두 평면



와



가 있고, 평면



위의 점

A

와 평면



위의 점

B

가 있다. 두 점

A B

에서 직선



에 내린 수선의 발을 각각

C D

라 하자.



AB  

AD







이고 직선

AB

와 평면



가 이 루는 각의 크기가

_





일 때, 사면체

ABCD

의 부피는

 







이 다.

 

의 값을 구하시오.(단,

 

는 유리수이다.) [4점][2016(가) 9월/평가원 29] ▶ 2직선 과평면 또는두 직선및 두평면 이이루 는각 [정답률 : 75%] 일: :11 44

6.

6 .오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가



인 정육면체

ABCD  EFGH

의 세 모서리

AD BC FG

위에



DP  

BQ 

GR 

인 세 점

P Q R

이 있다. 평면

PQR

와 평면

CGHD

가 이루는 각의 크기를



라 할 때,

cos

의 값은? (단,

_{＜＜}





) [3점][2005(가) 수능(홀) 7] ①

_









②

_









③

_









④

_











⑤

_











(3)

▶ 2직 선과평 면 또는 두직선 및두평 면 이이 루는각 [정답률 : 89%] 일 ::6 716

7.

7.정팔면체

ABCDEF

에서 두 모서리

AC

와

DE

가 이루는 각 의 크기를



라 할 때,

cos

의 값은?



_{단  ≤  ≤ }







[3점][2012(가) 10월/교육청 7] ①



②

_





③

_





④

_







_

⑤

_







_

8.

8.정육면체

ABCD  EFGH

에서 평면

AFG

와 평면

AGH

가 이

루는 각의 크기를



라 할 때,

cos





의 값은? [3점][2007(가) 수능(홀) 6]

E

①

_





②

_





③

_





④

_





⑤

_





9.

9 .그림과 같이



AB 

BF  

AD 

인 직육면체

ABCD  EFGH

에서 대각선

AG

가 세 면

ABCD 

BFGC 

ABFE

와 이루는 각의 크기를 각각



,



,



라고 할 때,

cos



  cos



  cos





의 값은?

[3점][2006(가) 10월/교육청 7] ①

_





②

_





③



④

_





⑤

_





10.

10 .그림과 같이



AB  

AD  

AE 

인 직육면체

ABCD  EFGH

에서 평면

AFGD

와 평면

BEG

의 교선을



이라 하자. 직선



과 평면

EFGH

가 이루는 예각의 크기를



라 할 때,

cos





의 값은? [4점][2013(B) 7월 교육청 19] ①

_





②

_





③

_





④

_





⑤

_





(4)

11.

11.그림과 같이 사면체

ABCD

의 각 모서리의 길이는



AB  

AC  

,



BD  

CD  

,



BC  

,



AD  

이 다 . 평면

ABC

와 평면

BCD

가 이루는 이면각 의 크기를



라 할 때,

cos

의 값은? (단,



는 예각) [4점][2005(가) 10월/교육청 13] ①

_









②

_









③

_





④

_









⑤

_









유형03

삼수선의 정리 평면



위에 있지 않은 한 점

P

, 평면



위의 한 점

O

, 점

O

를 지나지 않고 평면



위에 있는 직선



, 직선



위의 한 점

A

에 대하여 다음이 성립한다.

(1)



PO⊥

,

AO⊥



이면



PA⊥

(2)



PO⊥

,



PA⊥

이면



AO⊥

(3)



PA⊥

,



AO⊥

,

AO⊥



PO

이면



PO⊥

|출제유형|

삼수선의 정리를 이용하여 공간의 점에서 직선까지의 거리를 구하 는 문제들이 출제된다. ▶ 3삼 수선의 정리 [정답률 : 86%] 일 ::8 868

12.

12.길이가



인 선분

AB

를 지름으로 하는 구 위에 점

C

가 있다. 점

A

를 지나고 직선

AB

에 수직인 직선



이 직선

BC

에 수직이다. 직선



위의 점

D

에 대하여



BD 

,



CD 

일 때, 선 분

AC

의 길이는? (단, 점

C

는 선분

AB

위에 있지 않다.) [4점][2016(가) 10월/교육청 15] ①







②



③







▶ 3삼수 선의정 리 [정답률 : 95%] 일: :83 71

13.

13 .평면



위에 있는 서로 다른 두 점

A

,

B

를 지나는 직선 을



이라 하고, 평면



위에 있지 않은 점

P

에서 평면



에 내린 수선의 발을

H

라 하자.



AB 

PA 

PB 

,



PH 

일 때, 점

H

와 직선



사이의 거리는? [3점][2015(B) /수능 12] ①







②









③







④







⑤







▶ 3삼수 선의정 리 [정답률 : 86%] 일: :40 35

14.

14 .평면



위에

∠A  °

이고



BC 

인 직각이등변삼각형

ABC

가 있다. 평면



밖의 한 점

P

에서 이 평면까지의 거리가



이고, 점

P

에서 평면



에 내린 수선의 발이 점

A

일 때, 점

P

에 서 직선



BC

까지의 거리는? [3점][2010(가) /수능 5] ①









②



③









④









⑤



(5)

▶ 3삼 수선의 정리 [정답률 : 84%] 일 ::3 895

15.

15.사면체

ABCD

에서 모서리

CD

의 길이는



, 면

ACD

의 넓이는



이고, 면

BCD

와 면

ACD

가 이루는 각의 크기는

°

이다. 점

A

에서 평면

BCD

H

라 할 때, 선 분

AH

의 길이는? [3점][2009(가) 9월/평가원 5] ①









②



③



④







_

_⑤

_

_



_

▶ 3삼 수선의 정리 [정답률 : 84%] 일 ::5 035

16.

16.좌표공간에 서로 수직인 두 평면



와



가 있다. 평면



위의 두 점

A

,

B

에 대하여



AB  







이고 직선

AB

는 평면



에 평행하다. 점

A

와 평면



사이의 거리가



이고, 평면



위의 점

P

와 평면



사이의 거리는



일 때, 삼각형

PAB

의 넓이를 구하시오. [4점][2016(B) /수능 27] ▶ 3삼수 선의정 리 [정답률 : 65%] 일: :58 54

17.

17 .그림은



AC 

AE 

BE

이고

∠DAC  ∠CAB  °

인 사 면체의 전개도이다. 이 전개도로 사면체를 만들 때, 세 점

D E F

가 합쳐지는 점을

P

라 하자. 사면체

PABC

에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점][2011(가) 9월 평가원 15] ㄱ.



CP 





 ⋅

BP

ㄴ. 직선

AB

와 직선

CP

는 꼬인 위치에 있다. ㄷ. 선분

AB

의 중점을

M

이라 할 때, 직선

PM

과 직선

BC

는 서로 수직이다. < 보 기 > ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

(6)

▶ 3삼 수선의 정리 [정답률 : 76%] 일 ::9 075

18.

18.비탈면 위의 직선도로의 경사도를



수평거리

수직거리

로 나타낸 다. [그림 1]에서 직선도로

AB

의 경사도는

_



AH



BH

이다. [그림 2]와 같이 지면과



의 각을 이루는 비탈면 위에 두 직선 도로

AB

,

AC

가 있다. 직선도로

AB

의 경사도는

_





_



이고, 직 선도로

AC

의 경사도는

_





이다.

∠BAC  

일 때,

sin 

의 값 은? [4점][2004(가) 10월 평가원 14] ①

_





②

_







_

③

_





④

_







_

⑤

_







_

유형04

정사영 [1] 이면각 (1) 한 직선에서 만나는 두 개의 반평면으로 이루어진 도형을 이면 각이라고 한다. (2) 두 반평면



,



의 교선



위의 한 점

O

를 지나



,



위에 각각



OA⊥

,



OB⊥

이 되도록 수선

OA

,

OB

를 그 을 때,

∠AOB

의 크기를 이면각의 크 기라고 한다. [2] 정사영 평면



밖의 점

P

에서 평면



P ′

을 점

P

의 평면



위로의 정사영이라고 한다. 또한 도형



의 각 점에서 평 면



에 내린 수선의 발이 그리는 도형



′

을 도형



의 평면



위로의 정사영이라고 한다. (1) 선분

AB

의 평면



위로의 정사영을 선분

A′B′

이라 하고, 직선

AB

가 평면



와 이루는 각의 크기를



라 하면



A′B′ 

AB cos 

(단,

_{ ≤  ≤ }





) (2) 평면



위의 넓이가



인 도형의 평면



위로의 정사영의 넓이를



′

이라 하 고, 두 평면



,



가 이루는 각의 크기 를



라 하면



′ 



cos 

(단,

_{ ≤  ≤ }





)

|출제유형|

삼수선의 정리나 이면각의 크기 등의 내용을 포함한 종합적인 형 식의 문제로 출제할 수 있기 때문에 가장 자주 출제되는 유형이다. 이면각의 크기를 주고 정사영의 크기를 구하거나 정사영의 크기를 이용하여 이면각의 크기를 구하는 문제가 기본 유형이지만 배점이 높은 신유형의 문제로 출제되는 경우도 많다. ▶ 4정사 영 [정답률 : 80%] 일: :49 14

19.

19 .그림과 같이



AB  

_{BC  cos∠ABC  }









인 사 면체

ABCD

에 대하여 점

A

의 평면

BCD

위로의 정사영을

P

라 하고 점

A

에서 선분

BC

Q

라 하자.

cos∠AQP   



_





일 때, 삼각형

BCP

의 넓이는



이다.



의 값을 구하시오. [4점][2015(B) 9월 평가원 26]

(7)

▶ 4정 사영 [정답률 : 25%] 일 ::8 268

20.

20.그림과 같이 평면



위에 놓여 있는 서로 다른 네 구



,



_,



_,



_이 다음 조건을 만족시킨다. (가)



의 반지름의 길이는 3이고,



_,



_,



_의 반지름의 길 이는 1이다. (나)



_,



_,



_은 모두



에 접한다. (다)



_은



_와 접하고,



_는



_과 접한다.



_,



_,



_의 중심을 각각

O

_,

O

_,

O

_이라 하자. 두 점

O

_,

O

_를 지나고 평면



에 수직인 평면을



, 두 점

O

_,

O

_을 지나 고 평면



에 수직인 평면이



_과 만나서 생기는 단면을

D

라 하 자. 단면

D

의 평면



_







라 할 때,

  

의 값을 구하시오. (단,



와



는 서로소인 자연수이다.) [4점][2014(B) 9월/평가원 29] ▶ 4정 사영 [정답률 : 37%] 일 ::6 797

21.

21.그림과 같이



AB  

AD 

인 직사각형

ABCD

모양의 종이가 있다. 선분

AB

위의 점

E

와 선분

DC

위의 점

F

를 연결 하는 선을 접는 선으로 하여, 점

B

의 평면

AEFD

위로의 정사영 이 점

D

가 되도록 종이를 접었다.



AE 

일 때, 두 평면

AEFD

와

EFCB

가 이루는 각의 크기가



이다.

cos

_{    }





이고, 종이의 두께는 고려하지 않는다.) [4점][2013(가) /수능 28] ▶ 4정사 영 [정답률 : 24%] 일: :59 88

22.

22 .그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가



인 원기둥과 밑면의 반지름의 길이가



이고 높이가



인 원뿔이 평면



위에 놓여 있고, 원뿔의 밑면의 둘레가 원기둥의 밑면의 둘레에 내접한다. 평 면



와 만나는 원기둥의 밑면의 중심을

O

, 원뿔의 꼭짓점을

A

라 하자. 중심이

B



인 구



가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 구

S

는 원기둥과 원뿔에 모두 접한다. (나) 두 점

A

,

B

의 평면



위로의 정사영이 각각

A′

,

B′

일 때,

∠A′OB′  

이다. 직선

AB

와 평면



가 이루는 예각의 크기를



라 할 때,

tan   

이다.



의 값을 구하시오. (단, 원뿔의 밑면의 중심 과 점

A′

은 일치한다.) [4점][2012(가) /수능 29] ▶ 4정사 영 [정답률 : 30%] 일: :58 68

23.

23 .그림과 같이 평면



위에 점

A

가 있고,



로부터의 거리가 각각

 

인 두 점

B C

가 있다. 선분

AC

를

  

로 내분하는 점

P

에 대하여



BP  

이다. 삼각형

ABC

의 넓이가 9일 때, 삼각형

ABC

의 평면





라 하자.



_{의 값을 구} 하시오. [4점][2011(가) 9월 평가원 29]

(8)

▶ 4정 사영 [정답률 : 47%] 일 ::4 801

24.

24.그림과 같이 중심 사이의 거리가









인 두 원판과 평면



가 있다. 각 원판의 중심을 지나는 직선



은 두 원판의 면과 각각 수직이고, 평면



와 이루는 각의 크기가



이다. 태양광선이 그림과 같이 평면



에 수직인 방향으로 비 출 때, 두 원판에 의해 평면



에 생기는 그림자의 넓이는? (단, 원 판의 두께는 무시한다.) [4점][2011(가) /수능 11] ①

_







_

  

_



②

_





  



_





③

_









_

  

_



④

_





  



_





⑤

_









_

  

_



▶ 4정사 영 [정답률 : 17%] 일: :46 75

25.

25 .같은 평면 위에 있지 않고 서로 평행한 세 직선



,



,



이 있다. 직선



위의 두 점



,



, 직선



위의 점



, 직선



위의 점



가 다음 조건을 만족시킨다. (가) AB  



__,_{CD  } (나) AC ⊥, AC   (다) BD ⊥, BD  



_ 두 직선



,



을 포함하는 평면과 세 점

A

,

C

,

D

를 포함하는 평 면이 이루는 각의 크기를



라 할 때,

tan





의 값을 구하시오.



단     

_





[4점][2010(가) 9월 평가원 25]

(9)

▶ 4정 사영 [정답률 : 46%] 일 ::3 905

26.

26.그림과 같이 반지름의 길이가



인 구 모양의 공이 공중에 있다. 벽면과 지면은 서로 수직이고, 태양광선이지면과 크기가



인 각을 이루면서 공을 비추고 있다. 태양광선과 평행하고 공의중심을 지나는 직선이 벽면과 지면의 교선



과 수직으로 만난다. 벽면에 생긴 공의 그림자 위의 점에서 교선



까지 거리의 최댓값을



라하 고, 지면에 생기는 공의 그림자 위의 점에서 교선



까지 거리의 최 댓값을



라 하자. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점][2009(가) 9월/평가원 15] ㄱ. 그림자와 교선



의 공통부분의 길이는



이다. ㄴ.

  °

이면

  

이다. ㄷ.

_







 

_





 

_





< 보 기 > ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ▶ 4정사 영 [정답률 : 29%] 일: :24 55

27.

27 .그림과 같이 태양광선이 지면과

°

의 각을 이루면서 비추 고 있다. 한 변의 길이가



인 정사각형의 중앙에 반지름의 길이가



인 원 모양의 구멍이 뚫려 있는 판이 있다. 이 판은 지면과 수직 으로 서 있고 태양광선과

°

의 각을 이루고 있다. 판의 밑변을 지면에 고정하고 판을 그림자 쪽으로 기울일 때 생기는 그림자의 최대 넓이를



라 하자.



의 값을

_







  

라 할 때,

  



,



는 정수이고 판의 두께는 무시한다.) [4점][2008(가) 9월/평가원 25] ▶ 4정사 영 [정답률 : 53%] 일: :32 34

28.

28 .한 변의 길이가



인 정사면체

OABC

가 있다. 세 삼각형

∆OAB ∆OBC ∆OCA

에 각각 내접하는 세 원의 평면

ABC

위로의 정사영을 각각



_,



_,



_이라 하자.

그림과 같이 세 도형



_,



_,



_으로 둘러싸인 어두운 부분의 넓 이를



라 할 때,





 

_{의 값을 구하시오.}

(10)

▶ 4정 사영 [정답률 : 40%] 일 ::3 094

29.

29.반지름의 길이가



인 반구가 평면



위에 놓여 있다. 반구 와 평면



가 만나서 생기는 원의 중심을

O

라 하자. 그림과 같이 중심

O

로부터 거리가









이고 평면



와

°

의 각을 이루는 평 면으로 반구를 자를 때, 반구에 나타나는 단면의 평면



위로의 정사영의 넓이는





   

이다.

 



,



는 자연수이다.) [4점][2007(가) 9월/평가원 24] ▶ 4정 사영 [정답률 : 21%] 일 ::2 125

30.

30.서로 수직인 두 평면

 

의 교선을



이라 하자. 반지름의 길이가



인 원판이 두 평면

 

와 각각 한 점에서 만나고 교선



에 평행하게 놓여 있다. 태양광선이 평면



와

°

의 각을 이루 면서 원판의 면에 수직으로 비출 때, 그림과 같이 평면



에 나타 나는 원판의 그림자의 넓이를



라 하자.



의 값을

 





_{ }

_라 할 때,

 

 

는 자연수이고 원판의 두 께는 무시한다.) [4점][2006(가) 9월/평가원 25] ▶ 4정사 영 [정답률 : 25%] 일: :39 84

31.

31 .평면



에 수직인 직선



을 경계로 하는 세 반평면



,



,



가 있다.



,



가 이루는 각의 크기와



,



가 이루는 각의 크기 는 모두



이다. 그림과 같이 반지름의 길이가



인 구가



,



,



에 동시에 접하고, 반지름의 길이가



인 구가



,



,



에 동시에 접한다. 두 구의 중심 사이의 거리를



라 할 때,



의 값을 구하시오. (단, 두 구는 평면



의 같은 쪽에 있다.) [4점][2009(가) 10월/교육청 24] ▶ 4정사 영 [정답률 : 80%] 일: :31 47

32.

32 .그림과 같이 한 모서리의 길이가



인 정육면체

ABCD  EFGH

의 내부에 밑면의 반지름의 길이가



인 원기둥이 있다. 원기둥의 밑면의 중심은 두 정사각형

ABCD

,

EFGH

의 두 대각선의 교점과 각각 일치한다. 이 원기둥이 세 점

A F H

를 지나는 평면에 의하여 잘린 단면의 넓이는? [4점][2007(가) 10월/평가원 7] ①

_













②





 

③

_







_



④

_









⑤

_









(11)

유형05

공간좌표 (1) 공간의 한 점

O

에서 서로 직교하는 세 수직선을 각각



축,



축,



축이라 하고, 이들을 통틀어 좌표축이라고 한다. 이때



축과



축,



축과



축,



축과



축으로 결정되는 평면을 각 각



평면,



평면,



평면이라 하 고, 이 세 평면을 통틀어 좌표평면이 라고 한다. (2) 공간의 한 점

P

에 대하여 점

P

를 지 나고



평면,



평면,



평면에 평행 한 평면이



축,



축,



축과 만나는 점 의 좌표를 각각



,



,



라 할 때, 세 실수의 순서쌍

  

를 점

P

의 공 간좌표라 하고, 기호로

P   

와 같이 나타낸다. 이때



,



,



를 각각 점

P

의



좌표,



좌표,



좌표라고 한다. (3) 점

P   

의 대칭점 ①



축에 대하여 대칭인 점 : 점

    

②



    

③



    

④



평면에 대하여 대칭인 점 :

   

⑤



   

⑥



   

⑦ 원점에 대하여 대칭인 점 :

     

|출제유형|

공간의 점에 대한 좌표 표현을 구하고 공간좌표의 이해를 묻는 문 제가 출제된다. ▶ 1공 간좌표 [정답률 : 88%] 일 ::1 345

33.

33.좌표공간에서 두 점

A   

,

B





   

을 지나는 직선



이 있다. 점

P



_{  }







로부터 직선



에 이르는 거리는? [3점][2005(가) 9월/평가원 8] ▶ 1공간 좌표 [정답률 : 94%] 일: :82 78

34.

34 .좌표공간의 점

P   

에서



평면에 내린 수선의 발 을

H

라 하자.



평면 위의 한 직선



과 점

P

사이의 거리가









일 때, 점

H

와 직선



사이의 거리는? [3점][2014(B) 10월/교육청 9] ①



②







③









④







⑤



▶ 1공간 좌표 [정답률 : 20%] 일: :25 94

35.

35 .그림과 같이 반지름의 길이가 모두







이고 높이가 서로 다른 세 원기둥이 서로 외접하며 한 평면



위에 놓여 있다. 평면



와 만나지 않는 세 원기둥의 밑면의 중심을 각각

P Q R

라 할 때, 삼각형

QPR

는 이등변삼각형이고, 평면

QPR

와 평면



가 이 루는 각의 크기는

°

이다. 세 원기둥의 높이를 각각



,



,



라 할 때,

 

＜＜

) [4점][2009(가) /수능 24]

(12)

유형06

두 점 사이의 거리 두 점

A





_

 

_

 

_

_

,

B





_

 

_

 

_

_

사이의 거리는



AB











 















 















 





 특히, 원점

O   

과 점

P   

사이의 거리는



OP 









 



_{ }



|출제유형|

공간상의 두 점 사이의 거리를 구하는 문제가 출제된다. ▶ 2두 점사이 의거리 [정답률 : 95%] 일 ::4 793

36.

36.좌표공간에서 점

P   

과 점

A   

사이의 거리는 점

P

와 점

B   

사이의 거리의



배이다. 양수



의 값은 ? [2점][2011(가) /수능 3] ①







②







③







④



⑤







▶ 2두 점사이 의거리 [정답률 : 92%] 일 ::4 402

37.

37.좌표공간의 점

P   

을



평면에 대하여 대칭이동시 킨 점을

Q

라 하자. 두 점

P

와

Q

사이의 거리는? [3점][2015(B) 9월 평가원 4] ①



②



③



④



⑤



▶ 2두 점사이 의거리 [정답률 : 80%] 일 ::5 983

38.

38.좌표공간에 점

A  

가 있고,



평면 위에 타원





_



 



_{ }

_{이 있다. 타원 위의 점}

_P

_{에 대하여}



_AP

_{의 최댓값을} 구하시오. ▶ 2두점 사이의 거리 [정답률 : 83%] 일: :21 05

39.

39 .좌표공간의 세 점

A  

,

B  

,

C  

에 대 하여





 



_{ }

_{일 때, 삼각형}

_ABC

_{의 넓이의 최솟값은?} (단,

 ＞

이고

 ＞

이다.) [3점] [2006(가) 9월/평가원 5] ①







②







③



④







⑤



▶ 2두점 사이의 거리 [정답률 : 83%] 일: :82 54

40.

40 .좌표공간에 두 점

    

과

   

을 지나는 직선



이 있다. 점

   

와 직선



사이의 거리가 5일 때,



의 값 은? [4점][2014(B) 9월/평가원 15] ①



②



③



④



⑤



▶ 2두점 사이의 거리 [정답률 : 46%] 일: :39 69

41.

41 .그림과 같이 좌표공간에 있는 정육면체

ABCD  EFGH

에 서

A  

,

E  

,

F  

,

H  

이다. 점

M  

과 정육면체의 모서리 위를 움직이는 점

P

에 대하 여 직선

MP

가



평면과 만나는 점을

Q

라 하자. 이때, 선분

MQ

의 길이의 최댓값은?

(13)

유형03

내분점과 외분점 (1) 두 점

A





_

 

_

 

_

_

,

B





_

 

_

 

_

_

에 대하여 ① 선분

AB

를

       

으로 내분하는 점

P

의 좌 표는

P



_

 



_

 

_

 



_{ }



 



 



_{ }



 





② 선분

AB

를

        ≠

으로 외분하는 점

P

의 좌표는

Q



_

 



_

 

_

 



_{ }



 



 



_{ }



 





③ 선분

AB

의 중점

M

의 좌표는

M



_





_

 

_

 





 

_



 





 

_





(2) 세 점

A





_

 

_

 

_

_

,

B





_

 

_

 

_

_

,

C





_

 

_

 

_

_

을 꼭짓점 으로 하는 삼각형

ABC

의 무게중심

G

의 좌표는

G



_





_

 

_

 

_

 





 

_



 



 





 

_



 





|출제유형|

선분의 내분점, 외분점, 무게중심의 좌표를 구하는 문제가 출제된 다. ▶ 3내 분점과 외분점 [정답률 : 94%] 일 ::8 921

42.

42.좌표공간의 두 점

A a   B   b

에 대하여 선분

AB

를

  

로 외분하는 점이



축 위에 있을 때,

 

의 값 은? [3점][2017(가) /수능 8] ①

 

②

 

③

 

④

 

⑤

 

▶ 3내 분점과 외분점 [정답률 : 91%] 일 ::8 706

43.

43. A    B  

AB

를

  

로 내분하는 점의 좌표가

  

이다.

 

의 값은? [2점][2016(가) 9월/평가원 3] ①



②



③



④



⑤



▶ 3내분 점과외 분점 [정답률 : 96%] 일: :50 11

44.

44 .좌표공간에서 세 점

A  

,

B   

,

C  

을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심의 좌표가

  

일 때,

 

의 값은? [2점][2016(B) /수능 3] ①



②



③



④



⑤



▶ 3내분 점과외 분점 [정답률 : 95%] 일: :75 82

45.

45 .좌표공간에서 두 점

A    B    

에 대하 여 선분

AB

를

  

  

이다.

  

의 값은? [점][2014(B) /수능 3] ①



②



③



④



⑤



▶ 3내분 점과외 분점 [정답률 : 94%] 일: :67 72

46.

46 .좌표공간에서 두 점

A   B   

AB

를

  

  

이다.

 

의 값은? [2점][2013(가) /수능 3] ①



②



③



④



⑤



(14)

▶ 3내 분점과 외분점 [정답률 : 95%] 일 ::8 364

47.

47. A   

,

B   

AB

를

  

로 내분하는 점이



축 위에 있을 때,

 

의 값 은? [3점][2015(B) /수능 5] ①



②



③



④



⑤



▶ 3내 분점과 외분점 [정답률 : 85%] 일 ::4 668

48.

48.좌표공간에서 점

P   

를



평면에 대하여 대칭이 동한 점을

Q

라 하자. 선분

PQ

를

  

로 내분하는 점의 좌표를

  

라 할 때,

   

의 값을 구하시오. [3점][2010(가) 9월 평가원 18] ▶ 3내 분점과 외분점 [정답률 : 87%] 일 ::1 351

49.

49.좌표공간의 세 점

A   B   C  

에 대 하여 선분

BC

를

  

로 내분하는 점을

P

, 선분

AC

를

  

로 내분하는 점을

Q

라 하자. 점

P

,

Q

의



평면 위로의 정사영을 각 각

P ′

,

Q ′

이라 할 때, 삼각형

OP ′Q ′

의 넓이는? (단,

O

는 원점이 다.) [3점][2005(가) 9월/평가원 14] ①



②



③



④



⑤



유형04

구의 방정식 (1) 점

C   

를 중심으로 하고 반지름의 길이가



인 구의 방 정식은

  



_

_{  }



_

_{  }



_{ }

 (2) 원점

O



인 구의 방정식은





 



 



 

 (3)





 



_{ }



_

_

_{ }

_

_{ }

_

_{ }

_

_{ }







_

_



_

_



_{ }

_

_{ }

_

은 중심의 좌표가



_{ }





  



_

  



_





_























 



인 구를 나타낸다.

|출제유형|

두 구의 외점 조건을 포함한 구와 구의 위치 관계, 구와 평면이 만 나거나 접할 조건을 다루는 구와 평면의 위치 관계, 구와 여러 가 지 자취에 관한 문제가 출제된다. ▶ 4구의 방정식 [정답률 : 49%] 일: :24 39

50.

50 .다음 조건을 만족하는 점

P

전체의 집합이 나타내는 도형 의 둘레의 길이는? [3점][2008(가) 9월/평가원 9] 좌표공간에서 점

P



인 구 가 두 개의 구





 



 



 

  



_{   }



_{   }



_{ }

에 동시에 외접한다. ①

_













②





 

③

_













④







 

⑤

_













(15)

▶ 4구 의방정 식 [정답률 : 82%] 일 ::3 078

51.

51.그림과 같이 좌표공간에서 한 변의 길이가



인 정육면체를 한 변의 길이가



인



개의 정육면체로 나누었다. 이 중 그림의 세 정육면체

A

,

B

,

C

안에 반지름의 길이가



인 구가 각각 내접하 고 있다.



개의 구의 중심을 연결한 삼각형의 무게중심의 좌표를

   

라 할 때,

    

의 값은? [3점][2007(가) 9월/평가원 8] ①



②

_





③

_





④



⑤

_





▶ 4구 의방정 식 [정답률 : 45%] 일 ::8 388

52.

52.좌표공간에 구



 



_{ }



_{ }



_{ }

과 점

P   

가 있 다. 다음 조건을 만족시키는 모든 원



에 대하여



의



평면 위로의 정사영의 넓이의 최댓값을

_







라 하자.

  



와



는 서로소인 자연수이다.) [4점][2015(B) /수능 29] (가) 원



는 점

P

를 지나는 평면과 구



가 만나서 생긴다. (나) 원



의 반지름의 길이는



이다. ▶ 4구의 방정식 [정답률 : 74%] 일: :75 98

53.

53 .좌표공간에서 중심의



좌표,



좌표,



좌표가 모두 양수 인 구



가



축과



축에 각각 접하고



축과 서로 다른 두 점에 서 만난다. 구



가



평면과 만나서 생기는 원의 넓이가



이고



축과 만나는 두 점 사이의 거리가



일 때, 구



의 반지름 의 길이는? [4점][2014(B) /수능 19] ①



②



③



④



⑤



▶ 4구의 방정식 [정답률 : 42%] 일: :66 76

54.

54 .좌표공간에서 구



   



_{   }



_{   }



_{ }

위를 움직이는 점

P

가 있다. 점

P

에서 구



에 접하는 평면이 구





_{ }



_{ }



_{ }

_{과 만나서 생기는 도형의 넓이의 최댓값은}

 





_{ }

_이다.

_{ }

_{의 값을 구하시오. (단,}

_{ }

_{는 자연수이} 다.) [4점][2012(가) 9월/평가원 27] ▶ 4구의 방정식 [정답률 : 14%] 일: :40 55

55.

55 .좌표공간에서



축을 포함하고



평면과 이루는 각의 크 기가





_{    }







인 평면을



라 하자. 평면



가 구





 



_{ }



_{ }

_{과 만나서 생기는 도형의}

_

_평면 위로의 정사영이 영역

  ∣     ≤ 

에 포함되도록 하는



에 대하여

cos

의 최댓값을



이라 하자.





의 값을 구하시오. [4점][2010(가) /수능 25]

(16)

▶ 4구 의방정 식 [정답률 : 48%] 일 ::1 487

56.

56.좌표공간에서



평면,



평면,



평면은 공간을



개의 부분으로 나눈다. 이



개의 부분 중에서 구

 



_{   }



_{   }



_{ }

_{가 지나는 부분의 개수는?} [4점][2006(가) 수능(홀) 10] ①



②



③



④



⑤



▶ 4구 의방정 식 [정답률 : 24%] 일 ::1 498

57.

57.두 구





_{ }



_{ }



_{ }

_,

_



_{   }



_{ }



_{ }

_{을 각각}



_





_라 하자. 두 구



_,



_가 만나서 생기는 원 위의 한 점을

P

라 하고, 점

P

의



평면 위로의 정사영을

P′

이라 하자. 구



_ 과



축이 만나는 점을 각각

Q R

라 할 때, 사면체

PQP′R

의 부 피의 최댓값을 구하시오. [4점][2006(가) 수능(홀) 21] ▶ 4구의 방정식 [정답률 : 62%] 일: :10 90

58.

58 .좌표공간에 반구

 



_{   }



_{ }



_{ }

_,

_{ ≥ }

_가 있다.



축을 포함하는 평면



가 반구와 접할 때,



와



평면 이 이루는 각을



라 하자. 이때,

cos

    

_



) [4점][2004(가) 9월/평가원 23]

(17)

유형09

공간벡터의 연산과 성분 [1] 공간벡터의 연산 (1) 벡터의 덧셈 ① 삼각형을 이용한 벡터의 덧셈 삼각형

ABC

에서



 

AB

,



 

BC

일 때,



 

 

AB 

BC 

AC

② 평행사변형을 이용한 벡터의 덧셈



 

OA

,



 

OB

일 때, 두 선분

OA

,

OB

를 이웃한 두 변 으로 하는 평행사변형

OBCA

를 만들면



 

 

OA 

OB 

OC

(2) 벡터의 뺄셈 삼각형

OAB

에서



 

OA

,



 

OB

일 때,



OB 

BA 

OA

이므로



 

 

OA 

OB 

BA

(3) 벡터의 실수배 실수



와 벡터





의 곱





에 대하여 다음이 성립한다. ①



≠ 



일 때, (ⅰ)

  

이면





는 방향이





와 같고, 크기가











인 벡 터이다. (ⅱ)

  

이면





는 방향이





와 반대이고, 크기가











인 벡터이다. (ⅲ)

  

이면



 



이다. ②



 



일 때,



 



이다. (4) 벡터의 평행 영벡터가 아닌 두 벡터





,





의 방향이 같거나 반대일 때, 두 벡터





,





는 서로 평행하다고 하며 기호로



⫽



와 같이 나타 낸다. 즉,



≠ 

 

≠ 



일 때,

⫽



 ⇔ 

 



(단,



는



이 아 닌 실수) [2] 공간벡터의 위치벡터 (1) 한 점

O

를 고정하면 임의의 벡터





에 대하여



 

OA

인 점

A

가 단 하나로 정해진다. 이와 같이 일정한 점

O

를 시점으로 하는 벡터



OA

를 점

O

에



_{ }

 



 



,



_{ }

 



 



[참고] 세 점

A

,

B

,

C

의 위치벡터를 각각





,





,





라 할 때, 삼각 형

ABC

의 무게중심

G

의 위치벡터를





라 하면



 







 

 





이다.

|출제유형|

두 벡터의 여러 가지 합의 크기에 대한 문제가 출제된다. ▶ 1공간 벡터의 연산과 성분 [정답률 : 21%] 일: :39 10

59.

59 .다음 그림은 밑면이 정팔각형인 팔각기둥이다.



A

_

A

_

 





_

_{이고, 점}

_P

_{가 모서리}

_A



B

의 중점일 때, 벡터



   





PA

_i

 

PB

_



의 크기를 구하시오. [3점][2009(가) 9월/평가원 20]

(18)

▶ 1공 간벡터 의연산 과성분

[정답률 : 54%] 일 ::2 121

60.

60.그림은 모든 모서리의 길이가



인 두 개의 정사각뿔

O  ABCD

,

O′  DCEF

에 대하여 모서리

CD

를 일치시킨 도형을 나타낸 것이다.

 

OB 

OF 

의 값을 구하시오. (단, 면

ABCD

와 면

DCEF

는 한 평면 위에 있다.) [3점][2006(가) 9월/평가원 21] ▶ 1공 간벡터 의연산 과성분 [정답률 : 81%] 일 ::5 910

61.

61.좌표공간의 세 점

A  

,

B  

,

C  

과



평면 위의 점

P

에 대하여



_





PA 

PB 

PC



의 최솟값은? [3점][2011(가) 10월/교육청 11] ①



②



③



④



⑤



▶ 1공간 벡터의 연산과 성분 [정답률 : 51%] 일: :47 41

62.

62 .그림은 한 모서리의 길이가



인 두 정사 면체

ABCD

와

BCDE

에 대하여 면

BCD

를 일치시킨 도형을 나타낸 것이다. 두 벡터



BA

와



_DE

_{에 대하여}

_



_{BA }

_DE

_

 의 값을 구하시오. [3점][2010(가) 10월/교육청 21] ▶ 1공간 벡터의 연산과 성분 [정답률 : 43%] 일: :25 92

63.

63 .좌표공간의 점

A  

과 중심이 원점

O

인 구





 



 



 

위를 움직이는 점

P

에 대하여





_

 

OA 

_

 

OP



의 최댓값은

 







이다.

 

 

는 유리수이다.) [4점][2009(가) /수능 22]

(19)

유형10

공간벡터의 내적 (1) 공간벡터의 성분 표시 좌표공간에서 원점

O

에 대한 점

A





_

 

_

 

_

_

의 위치벡터를





라 하면









_

 

_

 

_

_

(2) 성분으로 나타낸 공간벡터의 연산 두 벡터









_

 

_

 

_



,









_

 

_

 

_



과 실수



에 대하여 ①

















_

 

_

_{ }

  ②



 

 ⇔ 

_

 

_

 

_

 

_

 

_

 

_ ③



 







_

 

_

 

_

 

_

 

_

 

_

_

④



 









 



 



 



 



 





⑤









_

 

_

 

_

_

(3) 공간벡터의 내적 두 공간벡터









_

 

_

 

_

_

,









_

 

_

 

_

_

이 이루는 각의 크 기를

  ≤  ≤ 

라 할 때,



∙ 

 















cos   

_



_

 

_



_

 

_



_

|출제유형|

공간벡터의 연산으로서 공간벡터의 내적을 구할 수 있는지 묻는 문제가 출 제된다. 직육면체에 포함되는 벡터들의 내적의 계산 문제, 크기가 정해진 두 벡터의 내적은 두 벡터가 이루는 사잇각의 크기에 의해 결정되는 것을 이해하는지 묻는 문제가 출제된다. ▶ 2공 간벡터 의내적 [정답률 : 44%] 일 ::8 882

64.

64. A  

,

B   

에 대하여 두 점

P

,

Q

가 다음 조건을 만족시킨다. (가)



_{OA∙ }

_{OP  }

,





_OP



 

(나)



_{AB∙ }

_{BQ  }

,





_BQ



 



OP ∙ 

AQ

의 최댓값이

 







일 때, 두 유리수



,



에 대하 여



O

는 원점이다.) [4점][2016(가) 10월/교육청 29] ▶ 2공간 벡터의 내적 [정답률 : 18%] 일: :89 42

65.

65 .한 모서리의 길이가



인 정사면체

ABCD

에서 삼각형

ABC

의 무게중심을

O

, 선분

AD

의 중점을

P

라 하자. 정사면체

ABCD

의 한 면

BCD

위의 점

Q

에 대하여 두 벡터



OQ

와



OP

가 서로 수직일 때,





PQ



의 최댓값은

_





이다.

  

의 값을 구 하시오. (단,

 

는 서로소인 자연수이다.) [4점][2017(가) /수능 29] ▶ 2공간 벡터의 내적 [정답률 : 65%] 일: :25 90

66.

66 .그림과 같이



AB 

AD 

,



AE 

인 직육면체

ABCD  EFGH

에서 모서리

AE

를

  

으로 내분하는 점을

P

, 모서리

AB

,

AD

,

FG

의 중점을 각각

Q R S

라 하자. 선분

QR

의 중점을

T

라 할 때, 벡터



TP

와 벡 터



QS

의 내적



TP ∙ 

QS

의 값을 구하시오. [3점][2009(가) /수능 20]

(20)

▶ 2공 간벡터 의내적 [정답률 : 26%] 일 ::5 037

67.

67.좌표공간의 두 점

A





 





 

,

B 





  





 

에 대하여 점

P

는 다음 조건을 만족시킨다. (가)



AP   

(나)



_AP

와



_AB

가 이루는 각의 크기는

_





이다. 중심이 원점이고 반지름의 길이가



인 구 위의 점

Q

에 대하여



AP ⋅

AQ

의 최댓값이

 







이다.





 



_

_{의 값을 구하시} 오. (단,



,



는 유리수이다.) [4점][2016(B) /수능 29] ▶ 2공 간벡터 의내적 [정답률 : 14%] 일 ::6 678

68.

68.좌표공간에서 네 점

A

,

A

,

A

,

A

이 다음 조건을 만족 시킨다. (가)



A

_

A

_

  

A

_

A

_

  

(나)

_



 

_A



A



⋅





A



A



 

_

 

A



A





 cos

_

  



(

    

)



A

_

A

_



의 최댓값을



이라 할 때,



_{의 값을 구하시오.} [4점][2012(가) 9월/평가원 29] ▶ 2공간 벡터의 내적 [정답률 : 51%] 일: :13 58

69.

69 .두 평면

 

의 교선을



이라 하자. 평면



위에 있는 원



_과 평면



위에 있는 원



_는 반지름의 길이가 모두



이다. 그림과 같이 원



_과 원



_는 점

C

에서 직선



과 접한다.



_의 중심

O

_을 지나고 평면



에 수직인 직선과



_의 중심

O

_를 지 나고 평면



에 수직인 직선이 만나는 점을

P

라 하자.

∠O

_

C O

_

_{ }





일 때,



_ 위에 있는 임의의 점

A

와



_ 위에 있는 임의의 점

B

에 대하여





PA  

PB



의 최댓값을



, 최솟값 을



이라 하자.



 

의 값을 구하시오. [4점][2005(가) 9월/평가원 21] ▶ 2공 간벡터 의내적 [정답률 : 48%] 일: :67 37

70.

70 .중심이

C



인 구와 구 위의 한 점

A

가 있다. 구 밖의 한 점

B

를



AB 

이고



CB 

가 되도록 잡 는다. 점

P

가 이 구 위를 움직일 때, 두 벡터



BA  

BP

의 내적



_{BA ⋅}

_BP

_{의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.} [4점][2012(가) 10월/교육청 28]