1. 공간벡터
1 공간벡터
공간벡터의 덧셈과 뺄셈의 크기 01
1.1.다음 그림은 밑면이 정팔각형인 팔각기둥이다.
AA
이고, 점 P 가 모서리 AB의 중점일 때, 벡터
PAi PB
의 크기를 구하시오.[3점][2009(가) 9월/평가원 20]
구의 벡터의 크기 02
2.2.그림과 같이 평면 위에 한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC가 있 고, 반지름의 길이가 인 구 는 점 A 에서 평면 에 접한다. 구 위의 점 D 에 대하여 선분 AD 가 구 의 중심 O를 지날 때,
AB DC 의 값을 구하시오.
[4점][2007(가) /수능(홀) 24]
3.3.중심이 O이고 반지름의 길이가 인 구 위의 점 P와 중심이 O이 고 반지름의 길이가 인 구 위의 점 Q가 있다.
OO , OP 일 때, OP OQ 의 최댓값이
이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 유리수이다.)
[4점][2016(가) 8월/영남권 29]
공간벡터의 성분과 크기 03
4.4.다음은 어떤 정육면체의 전개도이다.
원래의 정육면체에서 AB 의 크기는?
[3점][1998(자) /수능(홀) 8]
① CD ② D C ③ ED
④ D E ⑤ FD
5.5.공간벡터 O P 를 평면, 평면, 평면에 정사영 시켜 얻은 벡터를 각각 O A O B O C 라고 하자.
OP OA OB OC 일 때, 세 실수 의 합 는?
[3점][1999(자) /수능(홀) 19]
①
② ③
④ ⑤
6.6.그림은 한 모서리의 길이가 인 두 정사면체 ABCD 와 BCDE 에 대하여 면 BCD 를 일치시킨 도형을 나타낸 것이다. 두 벡터 BA 와
D E 에 대하여 BA D E의 값을 구하시오.
[3점][2010(가) 10월/교육청 21]
7.7.한 모서리의 길이가
인 정사면체 ABCD 에 대하여 등식P B P C P D P A
를 만족시키는 점 P가 있다. 삼각형 BCD 의 무게중심을 G라 할 때, 선분 PG 의 길이를 구하여라.
[3점][2014(B) /삼사 24]
공간벡터의 위치벡터 04
8.8.좌표공간의 세 점 A , B , C 과 평 면 위의 점 P 에 대하여
P A P B P C
의 최솟값은?[3점][2011(가) 10월/교육청 11]
① ② ③
④ ⑤
9.9.그림과 같이 두 개의 정사면체 OABC 와 OABC ′ 가 면 OAB 를 공 유하고 있다. 벡터 OC′ OA OB OC 를 만족시키는 상수
에 대하여 의 값은?
[3점][2009(가) 삼사 21]
O
A
B
C C ′
①
②
③
④
⑤
10.10.밑면의 반지름의 길이가 , 모선의 길이가 이고 꼭짓점이 O 인 직원뿔이 있다. 밑면의 둘레 위의 한 점 A 에서 출발하여 원뿔의 옆면 을 한 바퀴 돌아 점 A 로 되돌아오는 최단경로를 이라 하자.
위를 움직이는 점 P 에 대하여 점 B 가
AB
AO
AP
를 만족시킬 때, 점 B 의 자취의 길이는?
[4점][2007(가) 10월/교육청 8]
①
②
③
④
⑤
11.11.좌표공간의 점 A 과 중심이 원점 O인 구
위를 움직이는 점 P 에 대하여
OA
OP
의최댓값은
이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 유리 수이다.)[4점][2009(가) /수능 22]
12.12.그림과 같이 사면체 OABC 에서 삼각형 OAB 와 삼각형 CAB 는 모두 정삼각형이고, 삼각형 OAB 와 삼각형 CAB 가 이루는 이면각의 크기는
이다. 정삼각형 OAB 의 무게중심을 G , 점 O 에서 선분
CG 에 내린 수선의 발을 H 라 하자.
OA OB OC 라 할 때, OH 를 만족시키는 세 상수 에 대하여 의 값을 구하시오.
[4점][2012(가) 삼사 30]
2 공간벡터의 내적
공간벡터의 내적 01
13.13.오른쪽 그림과 같이 AB ,
BF , FG 인 직육면체 ABCD EFGH 에서 두 벡터 D F 와
HF 의 내적 D F∙ HF 의 값은?
[3점][2002(자) 10월/교육청 19]
①
②
③
④
⑤
14.14.그림과 같이 한 모서리의 길이가 인 정사면체 OABC 가 있다. 점 C 에서 모서리 AB 에 내린 수선의 발을 H 라 할 때, 선분 HC 를 등 분하여 각 분점을 차례로 P( H ), P, P, ⋯ , P , P( C)라 하자.
O H ⋅O P라 할 때, lim
→ ∞
의 값은?
(단, 은 이상의 자연수이다.)
[4점][2017(가) 10월/교육청 18]
①
② ③
④ ⑤
15.15.좌표공간에서 네 점 A, A, A, A이 다음 조건을 만족시킨다.
(가) AA AA (나)
AA∙
AA AA
cos
( )
AA의 최댓값을 이라 할 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2012(가) 9월/평가원 29]
16.16.그림과 같이 모든 모서리의 길이가 인 사각뿔 O ABCD에서 선 분 AB의 삼등분점 중 A 에 가까운 점을 M , 선분 BC의 삼등분점 중 C에 가까운 점을 N 이라 할 때,
두 벡터 O M O N 의 내적 O M ∙ O N 의 값은?
[3점][2016(가) 8월/영남권 12]
① ② ③
④ ⑤
공간벡터의 내적의 범위의 활용 02
17.17.중심이 O 이고 반지름의 길이가 인 구 위에 고정된 점 A 가 있 고, AP 을 만족시키면서 이 구 위를 움직이는 점 P 가 있다. 이때, 선분 AP 위의 점 Q 가 AP ∙ O Q ≥ 을 만족시킬 때, 점 Q 가 존재 하는 영역의 넓이는
이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 서로소인 자연수이다.)[4점][2011(가) 삼사 28]
O
P Q A
18.18.그림과 같이 옆면은 모두 합동인 이등변삼각형이고 밑면은 한 변의 길이가 인 정사각형인 사각뿔 O ABCD에서 ∠AOB °이다. 점 A 에서 출발하여 사각뿔의 옆면을 따라 모서리 OB 위의 한 점과 모서 리 OC 위의 한 점을 거쳐 점 D 에 도착하는 최단경로를 이라 하자. 위를 움직이는 점 P에 대하여 AB∙ OP 의 최댓값을
라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 유리수이다.)[4점][2016(B) 삼사 30]
성분으로 주어진 공간벡터의 내적 03
19.19.그림과 같이 한 모서리의 길이가 인 정육면체 ABCD EFGH 의 세 모서리 AB, CD , EF 위에 AP CQ FR 인 세 점 P, Q, R 가 있다.
두 벡터 RP 와 RQ 가 이루는 각의 크기를 라 할 때, cos 의 값은?
[3점][2017(가) 8월/영남권 10]
①
②
③
④
⑤
20.20.그림과 같이 AB AD ,
AE 인 직육면체
ABCD EFGH 에서 모서리 AE를
으로 내분하는 점을 P , 모서리 AB, AD , FG 의 중점을 각각 Q R S 라 하자.
선분 QR의 중점을 T 라 할 때, 벡터
TP 와 벡터 QS 의 내적 TP ∙ QS 의 값을 구하시오.
[3점][2009(가) /수능 20]
두 벡터가 이루는 각의 크기 04
21.21.두 벡터 , 가 이루는 각의 크기를
라 할 때, cos 의 값은?
[2점][2002(자) 수능(홀) 2]
①
②
③
④
⑤
22.22.두 벡터 이 이루는 각의 크기 의 값은? (단, ≤ ≤ 이다.)
[2점][2006(가) 9월/평가원 3]
①
②
③
④
⑤
23.23.한 모서리의 길이가 각각 와 인 두 정육면체를 그림과 같이 꼭 짓점 O 와 두 모서리가 겹치도록 붙여 놓았다. 두 정육면체의 대각선 OA 와 OB에 대하여 ∠AOB의 크기를 라고 할 때, cos 의 값은?
[2점][2003(자) /수능(홀) 7]
①
②
③
④
⑤
공간벡터의 수직 조건과 평행 조건 05
24.24.두 벡터 이 수직일 때, 양수
의 값을 구하시오.
[2점][2001(자) /수능(홀) 27]
25.25.그림과 같이 AB AD AE 인 직육면체 ABCD EFGH 가 있다. 선분 AG 의 중점을 이라 할 때, 모서리 AB 위의 점 P 와 모서리 CD 위의 점 Q 에 대하여 벡터 AG 는 두 벡터 MP MQ 와 모두 수직이다.
MP MQ
일 때, 양의 상수 의 값을 구하시오.
[4점][2017(가) 10월/전북 28]
공간벡터의 내적의 연산의 활용 06
26.26.그림은 모든 모서리의 길이가 인 두 개의 정사각뿔 O ABCD, O′ DCEF 에 대하여 모서리 CD 를 일치시킨 도형을 나타낸 것이다.
O B O F 의 값을 구하시오. (단, 면 ABCD 와 면 DCEF 는 한 평면 위에 있다.)
[3점][2006(가) 9월/평가원 21]
27.27.두 평면 의 교선을 이라 하자. 평면 위에 있는 원 과 평면 위에 있는 원 는 반지름의 길이가 모두 이다. 그림과 같이 원 과 원 는 점 C 에서 직선 과 접한다. 의 중심 O을 지나고 평면 에 수직인 직선과 의 중심 O를 지나고 평면 에 수직인 직선이 만나는 점을 P 라 하자. ∠OC O
일 때, 위에 있는 임
의의 점 A 와 위에 있는 임의의 점 B에 대하여 P A P B의 최댓값을 , 최솟값을 이라 하자. 의 값을 구하시오.
[4점][2005(가) 9월/평가원 21]
28.28.한 모서리의 길이가 인 정사면체 ABCD에서 삼각형 ABC의 무 게중심을 O , 선분 AD의 중점을 P 라 하자. 정사면체 ABCD 의 한 면 BCD 위의 점 Q 에 대하여 두 벡터 OQ 와 OP 가 서로 수직일 때,
PQ의 최댓값은
이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 서로소 인 자연수이다.)
[4점][2017(가) 수능 29]
성분으로 주어진 공간벡터의 내적의 최대 최소 07
29.29.좌표공간에서 세 점 A B C 에 대하여 선분 AB 의 중점을 D , 선분 BC 를 로 내분하는 점을 E 라고 하자.
점 P 가 선분 DE 위를 움직일 때, 두 벡터 O P 와 AP 의 내적
O P ⋅AP 의 최솟값은? (단, O 는 원점이다.)
[4점][2006(가) 10월/교육청 16]
① ②
③
④
⑤
30.30.좌표공간에서 두 점 A , B 에 대하여 두 점 P , Q 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) O A ∙ O P , OP (나) AB ∙ BQ , BQ
O P ∙ AQ 의 최댓값이
일 때, 두 유리수 , 에 대하여 의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)
[4점][2016(가) 10월/교육청 29]
31.31.중심이 C 이고 반지름의 길이가 인 구와 구 위의 한 점 A 가 있 다. 구 밖의 한 점 B 를 AB 이고 CB 가 되도록 잡는다. 점 P 가 이 구 위를 움직일 때, 두 벡터 BA BP 의 내적 BA ∙ BP 의 최 댓값과 최솟값의 합을 구하시오.
[4점][2012(가) 10월/교육청 28]
2. 도형의 방정식
1 직선과 평면의 방정식
공간상 직선의 방정식 01
32.32.좌표공간에서 두 점 A , B 를 지나는 직선과 직선
이 서로 평행할 때, 실수 의 값을 구하시오.
[3점][2016(가) 10월/경남 24]
33.33.점 을 지나고 직선
에 평행인 직선 이 점 를 지난다. 의 값은?
[3점][2010(가) 11월/대전 4]
① ② ③
④ ⑤
34.34.그림과 같이 지면과 수직인 벽면에 대형 스크린을 붙여 세우고 투 명 스크린을 벽면과 지면에 모두 수직이 되도록 설치하여 벽면과 투명 스크린이 만나는 경계선을 이라고 하자.
벽면으로부터 m , 투명 스크린으로부터 m 떨어진 지면 위의 점 X 에 레이저 발생장치를 설치하고, 경계선 로부터 m , 지면으로부터 m 떨어진 투명 스크린 위의 점 P 를 향해 레이저 광선을 비춘다.
점 P 를 통과한 레이저 광선이 지면으로부터 m , 경계선 로부터 m 떨어진 대형 스크린 위의 점 Q 에 도달할 때, 의 값은? (단, 레이 저 광선이 투명 스크린을 통과할 때의 굴절은 무시한다.)
[3점][2003(자) 6월/평가원 19]
① ② ③
④ ⑤
35.35.그림과 같이 각층의 높이가 인 직육면체 형태의 두 건물 A B 가 있다. 건물 A 와 건물 B는 서로 수직으로 붙어 있고, 두 건물의 외 벽은 한 변의 길이가 m 인 정사각형 모양의 유리창으로 서로 이어져있 다. 어떤 사람이 건물 A 의 어느 창가에서 건물 B의 유리창을 향하여 레이저 빛을 쏘았는데 이 레이저 빛은 건물 B의 창문의 S 지점과 바닥 면의 T 지점을 지났다. 다음 중 레이저를 쏜 창가는? (단, 유리창틀의 두께는 무시하고, 레이저 빛은 유리창을 통과할 때 굴절되지 않는다고 가정한다.)
[4점][2006(가) 삼사 24]
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄹ ⑤ ㅁ
36.36.좌표공간에 두 점 이 있고, 평면 위에 원 이 있다. 이 원 위의 점 을 지나고 축에 평행한 직선이 직선 와 만날 때, 의 값은?
[4점][2011(가) 9월/평가원 18]
①
②
③
④
⑤
37.37.좌표공간에 세 점 A , B , C 과 직선
가 있다.
직선 이 삼각형 ABC 의 변 또는 내부를 지나도록 상수 의 값을 정 할 때, 정수 의 개수는?
[4점][2008(가) 10월/교육청 11]
① ② ③
④ ⑤
38.38.좌표공간에서 두 점 A , B 을 지나는 직선과 직 선 이 서로 수직일 때, 의 값은?
[3점][2014(B) /수능 6]
① ② ③
④ ⑤
39.39.좌표공간 위의 점 A 에서 두 점 B
C 을 지나는 직선까지의 거리를 라 할 때, 의 값을 구하여라.
[3점][2013(가) /삼사 26]
직선과 교점의 좌표 구하기 02
40.40.좌표공간에서 직선
가 평면 와 만나는 점의 좌표를 라 할 때, 의 값은?
[2점][2010(가) 9월/평가원 2]
① ② ③
④ ⑤
평면의 방정식 03
41.41.좌표공간에서 직선
에 수직이고
점 를 지나는 평면의 방정식을 이라 할 때, 의 값을 구하시오.
[3점][2010(가) /수능 20]
42.42.좌표공간에서 직선
에 수직이고,
점 를 지나는 평면의 방정식을 이라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 상수이다.)
[3점][2014(B) 9월/평가원 24]
43.43.좌표공간에 점 P 가 있고 평면 위의 원 위에 두 점 A , B가 있다. 평면 ABP 의 법선벡터가
일 때, 선분 AB의 길이는?
[4점][2016(가) 9월/평가원 18]
①
②
③
④
⑤
직선과 평면의 교점 04
44.44.점 A 을 지나고 직선
에 수직
인 평면을 라 하자. 평면 와 직선
의 교점 을 B라 할 때, 선분 AB의 길이는?
[3점][2005(가) /수능(홀) 6]
①
②
③
④
⑤
45.45.좌표공간 위의 두 점 A , B 이 있다. 점 P 가 점 B 에서 출발하여 평면 위의 직선 을 따라 축의 양의 방향 으로 한없이 움직일 때, 선분 AP 와 평면 이 만나는 점을 Q 라 하자. 점 Q 가 나타내는 자취의 길이는?
[4점][2007(가) 삼사 16]
①
②
③
④
⑤ 46.46.좌표공간에 여섯 개의 점 A B C
D E F 를 꼭짓점으로 하는 정팔 면체 ABCDEF 가 있다. 이 정팔면체와 평면 이 만나서 생기는 도형의 넓이를 라 할 때, 의 값을 구하여라.
[4점][2014(B) /삼사 28]
직선과 평면의 활용 05
47.47.점 O 를 원점으로 하는 좌표공간에 사면체 OABC 가 있다.
삼각형 OAB, OBC, OCA , ABC 는 각각 네 평면
, , ,
위에 있을 때, 사면체 OABC 의 부피는 이다. 의 값을 구하시 오.
[4점][2008(가) 10월/교육청 21]
48.48.좌표공간에서 세 직선
,
,
가 같은 평면 위에 있을 때, 의 값을 구하시오. (단, ≠ 이다.) [4점][2012예비(B) 5월/평가원 28]
49.49.좌표공간에 네 점 A , B , C , D 를 꼭짓점으로 하는 사면체 ABCD가 있다.
모서리 BD 위를 움직이는 점 P에 대하여 P A P C의 값을 최소로 하는 점 P 의 좌표를 라고 할 때,
이다. 의
값을 구하시오. (단, , 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2008(가) /수능(홀) 23]
50.50.중심이 C 이고 반지름의 길이가
인 구와 직선
가 만나는 두 점을 A B라 하자.
삼각형 CAB의 넓이를 라 할 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2005(가) /수능(홀) 21]
51.51.좌표공간에서 평면 위의 세 점 A , B , C 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 내부에 점 P 가 있다. 점 P의 평면 위로의 정사영을 Q 평면 위로의 정사영을 R 평면 위로의 정사영을 S라 하자. Q R Q S 일 때, 사면체 QPRS 의 부피의 최댓값을 구하시오.
[4점][2007(가) 수능(홀) 23]
52.52.좌표공간에서 집합
≤ ≤ ≤
이 나타내는 도형을 라 하자. 점 A 와 도형 위의 점 P 를 지나는 직선이 평면과 만나는 점을 Q 라 하면 점 Q 가 나타내 는 도형의 넓이는
이다. 이때, 의 값을 구하시오. (단, , 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2008(가) /삼사 29]
O A
Q P
두 평면의 교선의 방정식 06
53.53.좌표공간에서 평면 과 평면 의 교 선을 이라 하자. 원점에서 직선 에 내린 수선의 발의 좌표를
라 할 때, 의 값은?
[3점][2010(가) 10월/교육청 5]
① ② ③
④ ⑤
평면에 대하여 대칭인 점 07
직선과 평면의 위치 관계 08
54.54.좌표공간에서 직선
와 직선 이 점
에서 수직으로 만난다. 직선 이 점 를 지날 때, 의 값은?
[3점][2017(가) 9월/평가원 13]
① ② ③
④ ⑤
55.55.좌표공간에서 직선
과 평면
이 서로 수직으로 만날 때, 의 값은?
(단, 는 상수이다.)
[3점][2017(가) 10월/전북 6]
① ② ③
④ ⑤
56.56.좌표공간에서 직선
와 평면 가 점 A 에서 수직으로 만난다. 평면 위의 점 B 와 직선 위의 점 C 에 대하여 삼각형 ABC 가 이등변삼각형일 때, 점 C 에서 원점까지의 거리는 이다. 의 값을 구하시오.
[4점][2013(B) 9월/평가원 28]
57.57.좌표공간에서 직선
이 평면
에 포함된다. 두 상수 에 대하여 의 값은?
[3점][2017(가) 10월/경남 12]
①
② ③
④ ⑤
두 직선과 평면이 이루는 교각 09
58.58.두 평면
, 이 이루는 각의 크기를 라 할 때, sin 의 값은?[3점][2016(가) 10월/교육청 11]
①
②
③
④
⑤
59.59.좌표공간에서 평면 과 평면이 이루는 예각의 크기를 라 할 때, cos의 값은?
[3점][2017(가) /수능 12]
①
②
③
④
⑤
60.60.평면 과 평면 이 이루는 각의 크기 가 °일 때, 양의 상수 의 값은?
[3점][2007(가) 9월/평가원 6]
①
②
③
④
⑤
61.61.좌표공간에서 두 직선
,
의
평면 위로의 정사영을 각각 라 하자. 두 직선 가 이루는 예각의 크기를 라 할 때, cos 의 값은?
[3점][2017(가) 10월/전북 11]
①
②
③
④
⑤
62.62.좌표공간에서 세 점 A , B , C 을 지나는 평면을 라 하자. 그림과 같이 평면 와 평면의 이면각 중에서 예 각인 것을 이등분하면서 선분 AB 를 포함하는 평면을 라 할 때, 평면
가 축과 만나는 점의 좌표는?
[4점][2010(가) 삼사 20]
O
A
B
C
①
②
③
④
⑤
직선과 평면이 이루는 각 10
두 평면이 이루는 이면각과 정사영의 넓이 11
63.63.좌표공간에서 평면 tan 위의 도형 를 벡터
에 평행한 광선으로 비추었더니, 평면에 나타난 도 형 의 그림자는 중심이 이고 반지름의 길이가 인 원이 되 었다. 이 때, 도형 의 넓이는?
[4점][2009(가) 삼사 23]
①
②
③
④
⑤
64.64.좌표공간에 점 A 과 평면 이 있 다. 평면 위의 점 P 가 AP ≤ 을 만족시킬 때, 점 P 가 나타내는 도형의 평면 위로의 정사영의 넓이는?
[4점][2016(B) /수능 19]
①
②
③
④
⑤
65.65.좌표공간에 있는 원기둥이 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 높이는 이다.
(나) 한 밑면의 중심은 원점이고 다른 밑면은 평면 과 오직 한 점 에서 만난다.
이 원기둥의 한 밑면의 평면 위로의 정사영의 넓이는?
[4점][2012(가) 9월/평가원 14]
①
②
③
④
⑤
점과 평면 사이의 거리 12
66.66.원점 O 와 평면 사이의 거리는?
[2점][2017(가) 10월/교육청 2]
① ②
③
④ ⑤
67.67.좌표공간 위의 네 점 A , B , C , D 에 대하여 그림과 같이 사면체 DABC의 꼭짓점 D에서 삼각형 ABC에 내린 수선의 발을 H 라 할 때, 선분 DH 의 길이는?
[3점][2012(가) /삼사 12]
①
② ③
④
⑤
68.68.구 위의 점에서 평면
에 이르는 거리의 최솟값은?
[3점][1997(자) 수능(홀) 20]
①
②
③
④
⑤
69.69.구 위를 움직이는 점 P 가 있다. 점 P 와 평 면 사이의 거리의 최댓값을 라 할 때, 의 값 을 구하시오.
[3점][2014(B) 10월/교육청 24]
70.70.좌표공간에서 평행한 두 평면
, 에 동시에 접하는 구의 지름의 길이는?
[3점][2002(자) 10월/교육청 22]
① ②
③
④
⑤
71.71.좌표공간에서 점 A 가 직선
위에 있을 때, 점 A 와 평면 사이의 거리는?
(단, , 는 상수)
[3점][2005(가) 10월/교육청 8]
① ② ③
④ ⑤
72.72. 를 구 위의 한 점의 좌표라고 할 때, 두 평면 , 사이의 최단거리는?
[2점][2002(자) 수능(홀) 7]
①
② ③
④ ⑤
73.73.좌표공간에서 정사면체 ABCD 의 한 면 ABC는 평면
위에 있고, 꼭짓점 D 는 평면 위에 있다.
삼각형 ABC의 무게중심의 좌표가 일 때, 정사면체 ABCD의 한 모서리의 길이는?
[4점][2013(가) /수능 20]
①
② ③
④ ⑤
PA P B 의 최솟값 13
74.74.좌표공간에 두 점 A B 이 있다. 평면
위에 있는 점 P 에 대하여 P A P B의 최솟값은?
[4점][2005(가) /수능(홀) 15]
①
②
③
④
⑤
직선과 평면의 내적 계산 14
75.75.좌표공간의 점 A 에서 평면
에 내린 수선의 발을 B라 할 때, O A ∙ O B 의 값을 구하시오. (단, O는 원점이다.)[4점][2007(가) /수능(홀) 21]
76.76.좌표공간에서 직선
과 평면 가 점
P 에서 수직으로 만난다. 직선 위의 점 A 와 평면 위의 점 Q 에 대하여 AP ⋅AQ 일 때, 의 값은? (단,
)
[4점][2015(B) /수능 19]
① ② ③
④ ⑤
O A ∙ O P O P
의 내적 계산 15
77.77.좌표공간에서 중심이 원점이고 직선 와 서로 다 른 두 점 A , B에서 만나는 구와 이 구 위를 움직이는 점 P 가 있다.
두 벡터 AP , AB 에 대하여 AP ∙ AB AB 이 성립할 때, 점 P 가 나타내는 도형의 길이는?
[4점][2011(가) 10월/교육청 18]
① ② ③
④
⑤ 78.78.좌표공간에서 직선
와 평면 가
만나는 점을 A 라 하자. 점 P 가 O A ∙ O P O P을 만족시킬 때, 점 P 와 평면 사이의 거리의 최댓값은?
[4점][2009(가) 10월/교육청 11]
①
②
③
④
⑤
평면과 정사영의 활용 16
79.79.그림과 같이 좌표공간에 있는 정육면체 OABC DEFG 에서 A , C , D 이다. 이 정육면체가 평면
에 의하여 잘린 단면의 넓이를 라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)
[4점][2012(가) 10월/교육청 30]
80.80.좌표공간에서 평면
위에 있는 사각형 ABCD 의 평면으로의 정사영은 사각형 A′ B′ C′ D′ 이다.
A′
B′
C′
D′
일 때, 사각형 ABCD 의 둘레의 길이는?
[4점][2004(가) 9월/평가원 12]
①
②
③
④ ⑤
81.81.좌표공간에서 평면
위의 두 점 A , B 에서 평면에 내린 수선의 발은 각각 C , D 이다.평면 와 평면의 교선을 이라 하고, 두 점 C, D 에서 교선 에 내린 수선의 발을 각각 E, F 라 하자. 이때, 사각형 AEFB 의 넓이를 구하시오.
[4점][2010(가) 10월/교육청 24]
82.82.좌표공간에 평면 위의 원 을 밑면으로 하고 꼭짓점이 원점인 원뿔이 있다. 원 와 한 점 P 에서만 만나는 평면 가 이 원뿔과 만나서 생길 수 있는 도형 중 한 타원을 라 하 자. 타원 의 평면 위로의 정사영은 장축의 길이가
인 타원이다.
평면 와 축이 만나서 생기는 좌표가 일 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2017(가) 10월/교육청 29]
83.83.그림과 같이 좌표공간에서 한 모서리의 길이가 인 정사면체 OPQR의 한 면 PQR가 축과 만난다. 면 PQR의 평면 위로의 정 사영의 넓이를 라 할 때, 의 최솟값은 이다. 의 값을 구하 시오. (단, O 는 원점이다.)
[4점][2014(B) 10월/교육청 30]
84.84.좌표공간에서 삼각형 ABC가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 삼각형 ABC의 넓이는 이다.
(나) 삼각형 ABC의 평면 위로의 정사영의 넓이는 이 다.
삼각형 ABC의 평면 위로의 정사영의 넓이의 최댓값 은?
[4점][2012(가) /수능 21]
①
②
③
④
⑤
2 평면과 구의 방정식
구와 평면이 접하는 경우 01
85.85.좌표공간에서 평면 이 구
에 접하도록 하는 모든 실수 의 값의 합을 구하시오.
[3점][2017(가) /수능 24]
86.86.좌표평면에서 중심이 이고 평면 에 접하 는 구의 반지름을 구하시오.
[3점][1999(자) /수능(홀) 25]
87.87.평면 와 구 이 점 A 에서 접할 때, 평면 에 평행하고 구 와 접하는 평면 의 방정식은?
[3점][2005(가) 9월/평가원 12]
① ②
③ ④
⑤
88.88.좌표공간에서 중심이 C 이고 반지름의 길이가
인 구가 두 평면 , 와 접하는 점을 각각 P , Q라 하자. 두 평면 , 의 교 선의 방정식이 일 때, 삼각형 CPQ 의 넓이는 이다. 의 값을 구하시오.
[4점][2013(B) 10월/교육청 29]
89.89.좌표공간에서 구 이 평 면과 접하는 점을 A 라 하고, 구 위를 움직이는 점을 P 라 하자. 이때,
O A ∙ O P 의 최댓값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)
[4점][2008(가) /삼사 28]
90.90.좌표공간에서 구 와 평면이 만나서 생기는 원 위의 한 점을 P라 하자. 점 P 에서 이 구와 접하고 점 A 를 지나는 평면을 라 할 때, 원점과 평면 사이의 거리는?
[4점][2016(B) /삼사 19]
①
② ③
④
⑤
91.91.좌표공간에 두개의 구
, 가 있다. 점 P
을 포함하고 과 에 동시에 접하는 평 면을 라 하자. 점 Q
가 평면 위의 점일 때, 의 값을 구하시오.[4점][2015(B) 9월/평가원 29]
구와 평면이 교선(원)으로 만나는 경우 02
92.92.좌표공간에서 직선
과 평면 의 교점을 라 하자. 중심이 점 이고 점 A 를 지나는 구가 평면 와 만나서 생기는 도형의 넓이는 이다. 의 값을 구하시오.
[3점][2011(가) /수능 21]
93.93.좌표공간에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 구가 세 점 A , B , C 를 지나는 평면에 의하여 잘린 도형의 넓이는 이다. 이때, 의 값을 구하시오.
[4점][2006(가) 10월/교육청 21]
94.94.좌표공간에서 두 개의 구
, 가 만나서 생기는 원을 포함하는 평면을 라 하자.
평면 와 평면이 이루는 각의 크기를 라고 할 때, cos 의 값은?
단, ≤ ≤
[2점][1996(자) 수능(홀) 26]
①
②
③
④
⑤
95.95.좌표공간에 구 와 구 밖의 한 점 A 가 있다. 점 A 에서 이 구에 그은 접선들의 접점으로 이 루어진 도형을 포함하는 평면과 평면이 이루는 예각의 크기를 라 할 때, cos 의 값은?
[3점][2008(가) 10월/교육청 6]
①
②
③
④
⑤
96.96.좌표공간에서 두 점 A , B 과 움직이는 점 P 에 대하여 OA , OB , OP 라 할 때, 다음 조건을 모두 만 족시키는 점 P 가 나타내는 도형의 길이는? (단, O 는 원점이다.)
[4점][2010(가) /삼사 17]
(가) ⋅ (나) ⋅
①
②
③ ④
⑤
97.97.좌표공간에서 중심이 C인 구 와 평면 이 만나서 생기는 도형을 라 하자.
도형 위의 두 점 P, Q에 대하여 두 벡터 CP , CQ 의 내적
CP ∙ CQ 의 최솟값은?
[4점][2008(가) /수능(홀) 9]
① ② ③
④ ⑤
98.98.구 와 평면 이 만나서 생기는 원을 라 하자. 축을 포함하는 평면 와 구 가 만나서 생기 는 원이 와 오직 한 점에서 만날 때, 평면 의 한 법선벡터를
라 하자. 의 값을 구하시오.
[4점][2006(가) /수능(홀) 24]
99.99.좌표공간에서 구 와 평면
가 만나서 생기는 원을 라 하자.원 위의 점 A 에 대하여 원 의 지름의 양 끝점 P Q를
AP AQ 가 되도록 잡고, 점 P 를 지나고 평면 에 수직인 직선이 구
와 만나는 또 다른 점을 R라 하자. 삼각형 ARQ의 넓이를 라 할 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2009(가) /수능 25]
100.100.좌표공간에서 구 이 두 평면
와 만나서 생기는 원을 각각 , 라 하자.
원 위의 점 P 와 원 위의 점 Q 에 대하여 PQ의 최솟값을 구 하시오.
[4점][2009(가) 9월/평가원 23]
101.101.좌표공간에서 평면과 만나지 않는 구
가 있다. 이 구가 평면과 만나서 생기는 원을 , 평면과 만나서 생기는 원을 라 하자. 원 과 그 내부로 이루어진 도형에서 ≥ 인 부분과 원 와 그 내부로 이루어진 도형에서 ≥ 인 부분의 넓이 의 합이 일 때, 의 최솟값을 구하시오. (단, , 는 자 연수이다.)
[4점][2017(가) 8월/영남권 28]
102.102.좌표공간에서 구 와 평면 이 만나서 생기는 원을 라 하자.
구 위의 점 A
과 원 위를 움직이는 점 B 에 대하 여 두 벡터 O A , O B 의 내적 O A ∙ O B 의 최댓값과 최솟값의 곱을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)[4점][2015(B) 10월/교육청 30]
103.103.좌표공간의 두 점 A
, B
에 대 하여 점 P 는 다음 조건을 만족시킨다.(가) AP
(나) AP 와 AB 가 이루는 각의 크기는
이다.
중심이 원점이고 반지름의 길이가 인 구 위의 점 Q 에 대하여
AP ⋅AQ 의 최댓값이
이다. 의 값을 구하시오.(단, , 는 유리수이다.)
[4점][2016(B) /수능 29]
104.104.좌표공간에 구 이 평면 과 만나서 생기는 원 가 있다. 원 위의 점 중 좌표가 최소인 점을 P 라 하 고, 점 P 에서 평면에 내린 수선의 발을 Q라 하자. 원 위를 움직 이는 점 X에 대하여 P X Q X의 최댓값은
이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 유리수이다.)
[4점][2018학년(가) 수능 29]
평면 위로의 정사영 03
105.105.구 과 평면
이 만나서 생긴 도형의 평면 위로의 정사영의 넓이는?
[4점][2003(자) 삼사 21]
①
②
③
④
⑤
106.106.좌표공간에서 구 과 평면
이 만나서 생기는 원의 평면 위로의 정사영의 넓이는?
[4점][2016(가) 8월/영남권 19]
①
②
③
④
⑤
107.107.좌표공간에서 구 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 구 는 세 점 , , 를 지난다.
(나) 구 의 중심은 삼각형 의 외접원의 중심이다.
구 와 평면 가 만나서 생기는 도형의 평면 위로의 정사 영의 넓이는
이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로 소인 자연수이다.)
[4점][2017(가) 10월/전북 29]
108.108.구 위의 점
에서 구에 접하는 평면 을 , 점
에서 구에 접하는 평면을 라 한다. 평면 위에 있는, 넓이가 인 삼각형을 평면 위로 정사영시켜 얻은 도형의 넓 이를 구하시오.[3점][1998(자) /수능(홀) 27]
109.109.좌표공간에 평면 위의 원 과 구
이 있다. 구 위를 움직이는 점 P 에서 구 에 접하는 평면을 라 할 때, 원 의 평면 위로의 정사영의 넓이가
가 되도록 하는 점 P 가 나타내는 도형의 길이는 이다.
의 값을 구하시오. (단, )
[4점][2016(가) 10월/경남 29]
110.110.좌표공간에서 구 위를 움직이는 두 점 P Q가 있다. 두 점 P Q에서 평면 에 내린 수선의 발을 각각 P Q이 라 하고, 평면
에 내린 수선의 발을 각각 P Q라 하 자. P Q
PQ
PQ
의 최댓값을 구하시오.[4점][2014(B) /수능 29]
111.111.좌표공간에서 원점 O 를 지나는 평면 가 있다. 평면 위의 점 A 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 구를 , 밑면이 평면 위에 있는 원뿔을 라 할 때, 구 와 원뿔 는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 원뿔 의 밑면은 중심이 B 이고 반지름의 길이 가 이다.
(나) 원점 O 를 지나는 두 직선이 원뿔 의 밑면과 두 점 P , Q 에서 각각 접한다.
(다) 원뿔 는 구 의 외부에 있고 원뿔 와 구 는 한 점 P 에서 만난다.
직선 OQ 에 수직이고 점 A 를 지나는 평면을 라 할 때, 직선 BP 를 포함하고 평면 에 수직인 평면에 의해 잘린 원뿔 의 단면의 평면 위로의 정사영의 넓이가
이다. 원뿔 의 높이는? (단, 원뿔 의 꼭짓점의 평면 위로의 정사영의 점 B와 일치한다.)
[4점][2017(가) 8월/영남권 20]
① ② ③
④ ⑤
빠른 정답 정답과 해설
Ⅳ 공간벡터
1. 공간벡터
1. 공간벡터 1. [정답] [풀이]
정팔각형의 성질을 이용하여 대각선의 교점을 O라면 삼각형 OAA는 직각삼각형이 되고 AO 이다.
AB의 중점을 P라 하면 PA PB PP이다.
∴
PA PB
PP
OP OP ∵
OP
OP
OA
따라서 크기는 48이다.
2. [정답]
[풀이]
A를 원점, AB가 축, 를 평면, AD를 축으로 하는 좌표축을 도입 하면 A , B ,
C
, D ∴
AB DC
3. [정답] [풀이]
[출제의도] 공간벡터 문제 해결하기
OP의 중점을 M이라 하면
OP OQ OP OO OQ
OP OO OQ
OM OQ
≤ OM OQ
(단, 등호는 OM 와 OQ의 방향이 같을 때 성립)
∆OOP에서
OP OO OM PM
OM
OM OM 이고 OQ 이므로
OP OQ 의 최댓값은
∴
4. [정답] ② [풀이]
정육면체의 꼭짓점
는 오른쪽 그림과 같으므로
1 2 3 4 ② 5 ⑤
6 7 8 ② 9 ② 10 ④
11 12 13 ⑤ 14 ⑤ 15
16 ⑤ 17 18 19 ② 20
21 ⑤ 22 ② 23 ① 24 25
26 12 27 12 28 29 ④ 30
31 32 33 ① 34 ④ 35 ①
36 ② 37 ② 38 ① 39 40 ④
41 42 10 43 ② 44 ④ 45 ④
46 47 48 49 50
51 52 53 ① 54 ① 55 ③
56 57 ⑤ 58 ⑤ 59 ④ 60 ④
61 ⑤ 62 ① 63 ④ 64 ⑤ 65 ②
66 ③ 67 ④ 68 ② 69 70 ①
71 ② 72 ② 73 ② 74 ③ 75
76 ② 77 ③ 78 ① 79 80 ④
81 82 83 84 ① 85
86 87 ② 88 89 90 ③
91 92 93 45 94 ③ 95 ④
96 ⑤ 97 ① 98 99 100
101 102 103 104 105 ① 106 ③ 107 108 109 110
111 ①
