1-2중간고사
수학의정상M A T H P E A K
1. 1)다음 중 명제가 아닌 것은?[3.7점] ①
② ③ 이면 이다. ④ 모든 자연수는 정수이다. ⑤ 어떤 실수 에 대하여 이다. 2. 2)두 집합 A
, 는 실수 B
, 는 실수 에 대하여 A B 가 되도록 하는 모든 정수 의 개수는?[3.8점] ① ② ③ ④ ⑤ 3. 3)세 조건 에 대하여 두 명제 → 와 → ∼ 가 모두 참일 때, 항상 참인 명제인 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?[3.9점] <보 기> ㄱ. → ∼ ㄴ. → ∼ ㄷ. ∼ → ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄱ, ㄷ 4. 4)어느 댄스동아리 학생 명 중에서 아이돌 그룹 A 를 좋아하는 학생은 명, 아이돌 그룹 B 를 좋아하는 학생은 명이다. 두 아이돌 그룹 A B 중 어느 그룹도 좋아하지 않는 학생이 명일 때, 아이돌 그룹 A 만 좋아하는 학생의 수는?[4.0점] ① ② ③ ④ ⑤ 5. 5)명제 ‘ 이면 이다.’ 가 참이 되도록 하는 실수 의 최댓값과 최솟값의 합은?[4.1점] ① ② ③ ④ ⑤ 6. 6)원 위의 점 에서의 접선이 축, 축과 만나는 점을 각각 A B 라 할 때, 삼각형 O AB 의 넓이는? (단, O 는 원점이다.)[4.1점] ① ② ③ ④ ⑤ 7. 7) 을 만족시키는 실수 에 대하여 의 최솟값은?[4.2점] ① ② ③ ④ ⑤ 8. 8)양수 에 대하여 이차방정식 이 두 실근 를 가질 때, 의 최솟값은?[4.3점] ① ② ③ ④ ⑤ 9. 9)세 집합 A B
, 는 실수 C
, 는 실수 에 대하여 A∩B C 가 되도록 세 실수 의 값 을 정할 때, 의 값은?[4.4점] ① ② ③ ④ ⑤ 10. 10)전체집합 U 의 두 부분집합 A B 에 대하여 다음 중 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?[4.5점] <보 기> ㄱ. A B c Bc B ㄴ. A B Acc∪ B A Bㄷ. A B ∪ A Bc A∩B 이면 A B ∅ 이다.
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 11. 11)다음은 좌표평면 위의 직선 에 대하여 직선 과 대칭인 직선의 방정식을 구하는 과정이다. 직선 위의 두 점 A 과 B 을 직선 에 대칭시키자. 이 때, 점 A 는 이미 직선 위의 점이므로 이 대칭이동에 의해 점 A 가 대칭이동 된 점을 A′라 하면 점 A 의 좌표와 점 A′의 좌표는 같다. 점 B 가 직선 에 대해 대칭된 점을 B′ 라 할 때, 선분 BB′의 중점은 직선 위의 점이므로 (가)× ⋯⋯ ㉠ 이 성립한다. 또한, 선분 BB′은 직선 과 수직으로 만나므로 (나) ⋯⋯ ㉡ 이고 ㉠과 ㉡을 연립하면 점 B′의 좌표를 구할 수 있다. 따라서 직선 에 대하여 직선 과 대칭인 직선은 직선 A′B′와 같으므로 구하는 직선의 방정식은 (다) 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 값을 각각 라 하고 (다)에 알맞은 식을 라 할 때, 의 값은?[4.6점] ① ② ③ ④ ⑤
12. 12) ≤ ≤ 에서 에 대한 이차함수 의 최댓값을 라 할 때, 다음 중 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, 는 실수이다.)[4.7점] <보기> ㄱ. ㄴ. ㄷ. 일 때, 는 최솟값을 갖는다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 13. 13)전체집합 U 의 두 부 분집합 A , B 에 대하여 다음 조건을 만족시 키는 U 의 부분집합 X 의 개수가 이다. (가) A∪X X (나) B∩X ∅ 집합 B 의 모든 원소의 합을 S라 할 때, S의 최댓값 은?[4.8점] ① ② ③ ④ ⑤ 14. 14)세 실수 에 대하여 다음 중 ≠ 이기 위한 필요조건이지만 충분조건이 아닌 것은?[4.9점] ① 은 방정식 의 세 근이다. ② ≠ (단,
) ③ ≤ ≤ 인 모든 자연수 에 대하여 ≠ 이다. ④ ≤ ≤ 인 어떤 자연수 에 대하여 ≠ 이다. ⑤ ≠ [서술형1]15) 좌표평면 위의 두 직선 , 이 서로 평행할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 는 상수이다.)[2+3점] (1) 의 값을 구하시오. [2점] (2) 두 직선 사이의 거리를 구하시오. [3점] [서술형2]16) 명제 ‘ 가 자연수일 때, 이면 중 적어도 하나는 짝수이다.’가 참임을 대우를 이용하여 증명하시오.[5점] [서술형3]17) 이차방정식 이 두 실근 를 가진다. 이 때, 가 모두 보다 작기 위한 실수 의 값의 범위를 구하시오.[5점][서술형4]18) 자연수 에 대하여 집합 A ≤ 는 자연수 이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.[2+4점] (1) 집합 A의 부분집합의 개수를 구하시오. [2점] (2) 집합 A의 부분집합 중에서 홀수가 적어도 하나는 포함된 것의 개수가 개일 때, 집합 A의 진부분집합의 개수를 구하시오.(단, 은 상수이다.) [4점] [서술형5]19) 전체집합 U 는 이하의 자연수 가 있다. 집합 U 의 임의의 부분집합 X 에 대하여 집합 U 의 두 부분집합 A B 가 다음 조건을 항상 만족시킬 때, 집합 A∪B 의 모든 원소의 합을 구하시오.[6점] (가) A 는 의 양의 약수 (나) A∩ B∪X A∪ B∩X [서술형6]20) 그림과 같이 평면 위의 볼록 사각형 ABCD 에 대하여 두 대각선 AC BD 의 교점을 O 라 하자. 삼각형 O AB , O CD 의 넓이가 각각 , 이라 할 때, 사각형 ABCD 의 넓이의 최솟값을 구하시오.[6점] [서술형7]21) 전체집합 U 는 음이 아닌 정수 의 한 부분집합 A 는 음이 아닌 정수 에 대하여 다음 물음에 답하시오.[3+4점] (1) 자연수 에 대하여 B ≥ 는 자연수 라 할 때, B⊂ A 를 만족하는 의 최솟값을 구하시오.[3점] (2)
Ac
의 값을 구하시오.[4점]정답 (중동고) 1) ② 2) ③ 3) ④ 4) ③ 5) ① 6) ⑤ 7) ④ 8) ⑤ 9) ① 10) ⑤ 11) ② 12) ③ 13) ② 14) ④ 15) (1) (2) 16) 주어진 명제의 대우는 ‘, , 가 자연수일 때, , , 가 모두 홀수이면 ≠ 이다.’이다. , , 가 모두 홀수이면 , , 은 모두 홀수이므로, 은 짝수이고, 은 홀수이므로 ≠ 이다. 즉 주어진 명제의 대우가 참이므로 주어진 명제도 참이다. 17) ≤
