02
중3 (2학기 기말고사) 직각삼각형 TPO에서 r=(6+r)sin`30ù =(6+r)_;2!; =3+;2!;r ∴ r=6 따라서 POÓ=12`cm, OTÓ=6`cm이므로 PTÓ="Ã12Û`-6Û`='¶108=6'3 (cm) 답 ⑤007
① 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같으므로 PAÓ=PBÓ ② OPÓ=ABÓ인지 알 수 없다. ③ OPÓ는 공통, ∠PAO=∠PBO=90ù, OAÓ=OBÓ이므로 △APOª△BPO`(RHS`합동) ④ △APOª△BPO`(RHS`합동)이므로 ∠POA=∠POB ⑤ 원의 접선은 접점을 지나는 반지름에 수직이므로 ∠PAO=∠PBO=90ù 따라서 옳지 않은 것은 ②이다. 답 ②008
POÓ를 그어 ABÓ와의 교점을 H P H O 2 4 A B 라 하면 ∠PAO=∠PBO=90ù이므로 POÓ="Ã4Û`+2Û`='¶20=2'5 직각삼각형 APO에서 POÓ⊥ABÓ이므로 ;2!;_PAÓ_OAÓ=;2!;_POÓ_AHÓ ;2!;_4_2=;2!;_2'5_AHÓ ∴ AHÓ= 4'5`5 ∴ ABÓ=2AHÓ= 8'5`5 답 8'5` 5009
∠ADO=90ù이므로 ADÓ="Ã9Û`-5Û`='¶56=2'¶14 (cm) ADÓ=AFÓ, BDÓ=BEÓ, CFÓ=CEÓ이므로 (△ACB의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+ACÓ=ADÓ+AFÓ =2ADÓ=2_2'¶14 =4'¶14 (cm) 답 ④010
PAÓ=PBÓ, CAÓ=CDÓ, EBÓ=EDÓ이므로 (△PCE의 둘레의 길이) =PCÓ+CEÓ+PEÓ=2PAÓ =2_(10+3)=26 ∴ PEÓ =26-( PCÓ+CEÓ) =26-(10+7)=9 답 9001
⑴ PAÓ=PBÓ이므로 x=10 ⑵ PAÓ=PBÓ이므로 △APB는 이등변삼각형이다. ∠PBA=∠PAB=;2!;_(180ù-60ù)=60ù ∴ x=60 답⑴ 10 ⑵ 60002
⑴ ∠PAO=∠PBO=90ù이므로 APBO에서∠x =360ù-(90ù+90ù+130ù)
=50ù
⑵ ∠PAO=∠PBO=90ù이므로 APBO에서
∠x =360ù-(90ù+90ù+40ù) =140ù 답⑴ 50ù ⑵ 140ù
003
OBÓ=OAÓ=6이므로 OPÓ=6+4=10 따라서 ∠OAP=90ù이므로 PAÓ="Ã10Û`-6Û`='¶64=8 답 8004
∠AOB=180ù-60ù=120ù 따라서 △OAB는 OAÓ=OBÓ인 이등변삼각형이므로 ∠x=;2!;_(180ù-120ù)=30ù 답30ù005
∠AOB=180ù-60ù=120ù이고 POÓ를 그으면 △APOª△BPO (RHS`합동)이므로 ∠APO=∠BPO=30ù ∠AOP=∠BOP=60ù 직각삼각형 APO에서 ∴ OAÓ=6 tan`30ù=6_ '3`3 =2'3 (cm) 따라서 색칠한 부분의 넓이는 p_(2'3 )Û`_ 120ù360ù=4p (cmÛ`) 답 ③ 포인트 부채꼴의 호의 길이와 넓이 반지름의 길이가 r, 중심각의 크기가 xù인 부채꼴에서 (호의 길이)=2pr_ xù360ù (넓이)=prÛ`_ xù360ù006
원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 P T r`cm r`cm 6`cm 30ù A O 하면 ∠PTO=90ù이고 ∠TPO=30ù 이므로1
원의 접선
본문 008~022쪽 중학3-2기말해답(01-12)1단원.indd 2 2020-09-14 16:11:221. 원의 접선
03
011
CPÓ, ACÓ, ARÓ는 원 O의 세 접선이고 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같으므로 CPÓ=CQÓ, AQÓ=ARÓ △ORA와 △OCP의 넓이의 비가 4`:`3이므로 ARÓ`:`CPÓ=4`:`3 ∴ AQÓ`:`CQÓ=4`:`3 ACÓ=7`cm이므로 AQÓ=ARÓ=4`cm, CQÓ=CPÓ=3`cm 또 BRÓ, BPÓ는 원 밖의 점 B에서 원 O에 그은 접선이므로 BRÓ=BPÓ=12`cm ∴ ABÓ=BRÓ-ARÓ=12-4=8 (cm) 답 8`cm012
점 C에서 ADÓ에 내린 수선의 A B C P D O H 4`cm 4`cm 5`cm 9`cm 4`cm 발을 H라 하면 DHÓ=9-4=5 (cm) 점 P를 반원 O와 CDÓ의 접 점이라 하면 CDÓ=CPÓ+DPÓ=CBÓ+DAÓ=4+9=13 (cm) 이므로 직각삼각형 DHC에서 CHÓ="Ã13Û`-5Û`='¶144=12 (cm) ∴ ABÓ=CHÓ=12`cm 답 ③013
점 A에서 CDÓ에 내린 수선의 발 x x 6 6-x x 416 A B O C D T H 을 H라 하고 ABÓ=x라 하자. ABÓ, ADÓ, CDÓ는 반원 O의 접 선이므로 ABÓ=ATÓ=x, DTÓ=DCÓ=6, AHÓ=BCÓ=4'6 직각삼각형 AHD에서 피타고라스 정리에 의하여 ADÓ Û`=DHÓ Û`+AHÓ Û`, (x+6)Û`=(6-x)Û`+(4'6 )Û` xÛ`+12x+36=36-12x+xÛ`+96 24x=96 ∴ x=4 ∴ ABÓ=4 답 4014
① 직선 l은 반원 O와 점 A에서 접하므로 OAÓ⊥l ② CDÓ는 반원 O와 점 E에서 접하므로 OEÓ⊥CDÓ ③ OCÓ는 공통, ∠OAC=∠OEC=90ù, OAÓ=OEÓ이므로 △OACª△OEC`(RHS`합동) ④ △OACª△OEC`(RHS`합동) m l D E B C O A 이므로 ∠AOC=∠EOC △OBDª△OED`(RHS`합동) 이므로 ∠BOD=∠EOD ∴ ∠COD=∠EOC+∠EOD =;2!;∠AOE+;2!;∠BOE =;2!;_180ù=90ù ∴ OCÓ⊥ODÓ ⑤ ABÓ+BDÓ=ACÓ+CDÓ인지 알 수 없다. 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. 답⑤015
점 P를 반원 O와 CDÓ의 접점이라 하 4`cm 4`cm 4`cm 5`cm 9`cm O P H A B C D 고 점 D에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 HCÓ=9-4=5 (cm) DCÓ=DPÓ+CPÓ=DAÓ+BCÓ =4+9=13 (cm) 이므로 직각삼각형 DHC에서 DHÓ="Ã13Û`-5Û`='¶144=12 (cm) 즉, ABÓ=DHÓ=12`cm이므로 OPÓ=OAÓ=;2!;ABÓ=6 (cm) ∴ △CDO=;2!;_CDÓ_OPÓ=;2!;_13_6=39 (cmÛ`) 답 39`cmÛ`016
원 밖의 한 점에서 원에 그은 A O B C D T H 8`cm 6`cm 2`cm 8`cm 2`cm 두 접선의 길이는 서로 같으 므로 DTÓ=DAÓ=8`cm, TCÓ=CBÓ=2`cm 점 C에서 DAÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 직각삼각형 CDH에서 CHÓ=ABÓ=" ÃDCÓ Û`-DHÓ Û` ="Ã10Û`-6Û`=8 (cm) ∴ (색칠한 부분의 넓이)=;2!;_(2+8)_8-;2!;_p_4Û` =40-8p (cmÛ`) 답④ 포인트 사다리꼴의 넓이 구하기 S=;2!;{(윗변의 길이)+(아랫변의 길이)}_(높이)017
OAÓ를 그으면 5 10 A D B C O OAÓ=OCÓ=10이고, ABÓ⊥OCÓ이므로 ADÓ="Ã10Û`-5Û`='¶75=5'3 ∴ ABÓ=2ADÓ=10'3 답⑤018
ABÓ는 작은 원의 접선이므로 ∠OTB=90ù △OAT에서 ATÓ="ÃOAÓ Û`-OTÓ Û` ="ÃxÛ`-1Û` (cm) OTÓ는 ABÓ를 수직이등분하므로 ATÓ=BTÓ="ÃxÛ`-1 (cm) ABÓ=2ATÓ=2"ÃxÛ`-1=4'2이므로 4(xÛ`-1)=32, xÛ`=9 x>0이므로 x=3 답304
중3 (2학기 기말고사) (4-r)+(3-r)=5 ∴ r=1 ∴ (색칠한 부분의 넓이)=;2!;_3_4-p_1Û` =6-p (cmÛ`) 답(6-p) cmÛ`025
△ABC의 넓이가 48`cmÛ`이고, A B C D E F 3`cm O 내접원의 반지름의 길이가 3`cm 이므로 △ABC =;2!;_3_(ABÓ+BCÓ+CAÓ) =48 ∴ ABÓ+BCÓ+CAÓ=32 (cm) 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 32`cm이다. 답 ⑤ 포인트 삼각형의 넓이와 내접원의 반지름의 길이 삼각형 ABC의 내접원의 반지름의 길이 " # S $ S S 를 r라 하면 (삼각형의 넓이) =;2!; r(ABÓ+BCÓ+CAÓ)026
ADÓ=AFÓ, BDÓ=BEÓ이므로 ADÓ+BDÓ+AFÓ+BEÓ=12+12=24 한편, 원 O와 PQÓ의 접점을 R라 하면 PFÓ=PRÓ, QEÓ=QRÓ ∴ (△PQC의 둘레의 길이) =CFÓ+CEÓ =(△ABC의 둘레의 길이)-(ADÓ+BDÓ+AFÓ+BEÓ) =30-24=6 답 ①027
CGÓ=CHÓ=x`cm라 하면 AFÓ=AHÓ=(10-x) cm, BFÓ=BGÓ=(13-x) cm이고 ABÓ=BFÓ+AFÓ이므로 (13-x)+(10-x)=11 ∴ x=6 ∴ CGÓ=CHÓ=6`cm DEÓ와 원 O가 접하는 점을 T라 하면 DHÓ=DTÓ, EGÓ=ETÓ ∴ (△DEC의 둘레의 길이)=CDÓ+DEÓ+ECÓ =CDÓ+(DTÓ+ETÓ)+ECÓ =CDÓ+(DHÓ+EGÓ)+ECÓ =CHÓ+CGÓ=2CHÓ =2_6=12 (cm) 답 ②028
BCÓ="Ã10Û`-6Û`=8 (cm) 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 DBEO는 정사각019
⑴ BFÓ=BDÓ=5`cm이므로 CDÓ=BCÓ-BDÓ=11-5=6 (cm) ⑵ CDÓ=CEÓ=6`cm, AEÓ=AFÓ이므로 AFÓ=AEÓ=ACÓ-CEÓ=12-6=6 (cm) 답 ⑴ 6`cm ⑵ 6`cm020
CEÓ=CFÓ=x`cm라 하면 ADÓ=AFÓ=(8-x) cm, BDÓ=BEÓ=(12-x) cm이므로 ABÓ=ADÓ+BDÓ에서 10=(8-x)+(12-x), 2x=10 ∴ x=5 따라서 CEÓ의 길이는 5`cm이다. 답5`cm021
AEÓ=AFÓ=3`cm이므로 BFÓ=BDÓ=11-3=8 (cm) CEÓ=CDÓ=8-3=5 (cm) ∴ BCÓ=BDÓ+CDÓ=8+5=13 (cm) 답13`cm022
ABÓ=x라 하면 A B C D O F 3 3 1 1 x-1 x-1 E BEÓ=BDÓ=1, CEÓ=CFÓ=3이므로 ADÓ=AFÓ=x-1 ACÓ=(x-1)+3=x+2 따라서 직각삼각형 ABC에서 (x+2)Û`=xÛ`+4Û`, xÛ`+4x+4=xÛ`+16 4x=12 ∴ x=3 ∴ ABÓ=3 답 ③023
△ABC가 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의하여 BCÓ=" ÃABÓ Û`-ACÓ Û` ="Ã10Û`-6Û`='¶64=8 (cm) 세 점 D, E, F가 원 O의 접점이므로 AEÓ=ADÓ, BEÓ=BFÓ, CDÓ=CFÓ △ABC의 둘레의 길이는 10+6+8=24 (cm)이므로 (ADÓ+AEÓ)+(BEÓ+BFÓ)+(CFÓ+CDÓ) =2AEÓ+2BEÓ+2CDÓ =2(AEÓ+BFÓ+CDÓ) =24 ∴ AEÓ+BFÓ+CDÓ=12 (cm) 답 ③024
△ABC는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의하여 ABÓ="Ã BCÓ Û`+ACÓ Û` ="Ã4Û`+3Û`=5 (cm) 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 " # $ 0 SADN SADN SADN SADN SADN SADN 중학3-2기말해답(01-12)1단원.indd 4 2020-09-14 16:11:421. 원의 접선
05
형이므로 BDÓ=BEÓ=r`cm 이때 AFÓ=ADÓ=(6-r)`cm, CFÓ=CEÓ=(8-r) cm 이므로 ACÓ=AFÓ+CFÓ에서 10=(6-r)+(8-r) ∴ r=2 따라서 직각삼각형 ADO에서 ADÓ=6-2=4 (cm), DOÓ=2`cm이므로 AOÓ="Ã4Û`+2Û`='¶20=2'5 (cm) 답 2'5`cm 포인트 반지름의 길이가 r인 원 O가 직각 " # $ % & 0 S 삼각형 ABC에 내접하면 ODBE는 한 변의 길이가 r인 정사각형이다.029
원 O의 반지름의 길이를 r`cm 6`cm 6`cm 4`cm 4`cm O A B D F C E r`cm 라 하고 두 점 E, F를 접점이라 하면 OECF는 정사각형이므로 ADÓ=AFÓ=6`cm, BDÓ=BEÓ=4`cm이고, ACÓ=(6+r) cm, BCÓ=(4+r) cm이므로 직각삼각형 ABC에서 10Û`=(6+r)Û`+(4+r)Û` rÛ`+10r-24=0, (r-2)(r+12)=0 r>0이므로 r=2 따라서 원 O의 반지름의 길이는 2`cm이다. 답 2`cm030
⑴ AHÓ=AEÓ=4, DHÓ=DGÓ=2이므로 ADÓ=AHÓ+DHÓ=4+2=6 ∴ x=6 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 (4+8)+(2+7)=6+y ∴ y=15 ⑵ AHÓ=AEÓ, DHÓ=DGÓ이므로 ADÓ=AEÓ+DGÓ=x+4=7 ∴ x=3 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 (3+5)+(4+y)=7+10 ∴ y=5 답⑴ x=6, y=15 ⑵ x=3, y=5031
ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ =5+7=12 (cm) 답 12`cm032
ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 8+CDÓ=6+11 ∴ CDÓ=9 (cm) 답 ⑤033
ABCD가 원 O에 외접하므로 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ 7+5=3+BFÓ+4 ∴ BFÓ=5 (cm) 답 5`cm034
원에 외접하는 사각형의 대변의 길이의 합은 서로 같으므로 3x+(2x+1)=(4x-2)+2x 5x+1=6x-2 ∴ x=3 답3035
원 O의 반지름의 길이가 A B C D P O 12`cm 10`cm 8`cm 4`cm 4`cm이므로 ABÓ=8`cm 한편, ABCD가 원 O에 외접하므로 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ 8+10=ADÓ+12 ∴ ADÓ=6 (cm) APÓ=4`cm이므로 DPÓ=ADÓ-APÓ=6-4=2 (cm) 답① 다른 풀이 원 O의 접선인 BCÓ, CDÓ에서 A B C D F P O E 12`cm 10`cm 2`cm 8`cm 8`cm 2`cm 4`cm 4`cm 접점을 각각 E, F라 하자. BEÓ=4`cm이므로 CEÓ =BCÓ-BEÓ =12-4=8 (cm) 접선의 성질에 의해 CFÓ=CEÓ=8`cm ∴ DPÓ=DFÓ=CDÓ-CFÓ=10-8=2 (cm)036
BEÓ=x라 하면 ABED가 원 O에 외접하므로 ABÓ+DEÓ=ADÓ+BEÓ에서 4+DEÓ=7+x ∴ DEÓ=3+x CEÓ=7-x이므로 직각삼각형 DEC에서 (3+x)Û`=(7-x)Û`+4Û` xÛ`+6x+9=xÛ`-14x+49+16 20x=56 ∴ x=:Á5¢: 따라서 BEÓ의 길이는 :Á5¢:이다. 답:Á5¢:037
ABCD와 원 O의 접점 A B C D G M F O 4`cm 6`cm E H 을 E, F, G, H라 하고, 점 D에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 M이라 하자. AHÓ=AEÓ=BEÓ=BFÓ =;2!;_4=2 (cm)06
중3 (2학기 기말고사)040
사분원 O와 원 O'의 접점을 C, A C B D O O' 6`cm r`cm E D, E라 하고, 원 O'의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 ∠O'EO=∠O'CO=90ù, OCÓ=OEÓ이므로 EOCO'은 한 변의 길이가 r`cm인 정사각 형이다. OO'Ó='2 r`cm, O'DÓ=r`cm이므로 ODÓ=OO'Ó+O'DÓ에서 6='2r+r, ('2+1)r=6 ∴ r= 6 '2+1` =6('2-1) 따라서 원 O'의 반지름의 길이는 6('2-1)`cm이다. 답6('2-1) cm041
오른쪽 그림과 같이 반원 O와 P H R 2`cm O Q S x`cm 두 원 P, Q의 접점을 각각 R, S라 하자. ORÓ는 원 P의 지름 이므로 원 P의 반지름의 길이는 ;2!;_2=1 (cm) 원 Q의 반지름의 길이를 x`cm라 하고, 점 Q에서 ORÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 OQÓ=OSÓ-QSÓ=2-x (cm), OHÓ=x`cm PQÓ=(1+x) cm, PHÓ=POÓ-OHÓ=1-x (cm) 두 직각삼각형 QOH, QPH에서 QHÓ Û`=OQÓ Û`-OHÓ Û`=PQÓ Û`-PHÓ Û`이므로 (2-x)Û`-xÛ`=(1+x)Û`-(1-x)Û` 8x=4 ∴ x=;2!; 따라서 원 Q의 넓이는 p_{;2!;}2=;4!;p (cmÛ`) 답 ③042
원 밖의 한 점 P에서 원에 그은 A B O T HO' P 4`cm 6`cm 접선의 길이는 같으므로 PAÓ=PTÓ=PBÓ yy`㉠ 두 점 A, B는 접점이므로 OAÓ⊥APÓ, O'BÓ⊥BPÓ 점 O에서 O'BÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 BHÓ=OAÓ=4`cm이므로 O'HÓ=O'BÓ-BHÓ=6-4=2 (cm) 직각삼각형 OO'H에서 OO'Ó=10`cm, O'HÓ=2`cm이므로 피타고라스 정리에 의하여 ABÓ=OHÓ="Ã OO'Ó Û`-O'HÓ Û` ="Ã10Û`-2Û`=4'6 (cm) ㉠에 의하여 PTÓ=;2!;ABÓ ∴ PTÓ=;2!;_4'6=2'6 (cm) 따라서 OO'Ó⊥PTÓ이므로 삼각형 POO'의 넓이는 ;2!;_10_2'6=10'6 (cmÛ`) 답10'6`cmÛ` DHÓ=DGÓ=x`cm라 하면 CGÓ=CFÓ=BCÓ-BFÓ=6-2=4 (cm), CMÓ=CFÓ-MFÓ=CFÓ-DHÓ=4-x (cm)이므로 직각삼각형 DMC에서 (4+x)Û`=4Û`+(4-x)Û`, 16x=16 ∴ x=1 ∴ ADÓ=AHÓ+DHÓ=2+1=3 (cm) 답 ③038
두 점 O, O'에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 각각 E, F라 하자. 또, 점 O'에서 OEÓ에 내린 수선의 발을 H라 하고, 원 O'의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 다음 그림과 같다. A B C D O H E F O' (9-r)`cm (16-r)`cm (9+r)`cm r`cm 25`cm 18`cm OO'Ó=(9+r) cm HO'Ó =EFÓ=BCÓ-BEÓ-FCÓ=25-9-r=16-r (cm) OHÓ=(9-r) cm 직각삼각형 OHO'에서 피타고라스 정리에 의하여 OO'Ó Û`=OHÓ Û`+HO'Ó Û` (9+r)Û`=(9-r)Û`+(16-r)Û` 81+18r+rÛ`=81-18r+rÛ`+256-32r+rÛ` rÛ`-68r+256=0 (r-64)(r-4)=0 ∴ r=4 또는 r=64 그런데 r<9이므로 r=4 따라서 원 O'의 반지름의 길이는 4`cm이다. 답4`cm 포인트 직사각형 ABCD의 변에 " # $ % & ) ' 0 0 S S 접하면서 동시에 서로 외접하는 두 원 O, O'의 반지름의 길이를 각각 r, r' (r>r')이라 하면 OO'Ó=r+r', OHÓ=r-r' O'HÓ=EFÓ=BCÓ-(r+r')039
BEÓ를 그으면 BEÓ=6`cm, A B C D E F 6`cm 6`cm x`cm 10`cm ∠BEC=90ù이므로 직각 삼각형 BCE에서 CEÓ="Ã10Û`-6Û`=8 (cm) AFÓ=FEÓ=x`cm라 하면 DFÓ=(10-x) cm, CFÓ=(8+x) cm이므로 직각삼각형 CDF에서 (8+x)Û`=(10-x)Û`+6Û` 36x=72 ∴ x=2 따라서 AFÓ의 길이는 2`cm이다. 답 ④ 중학3-2기말해답(01-12)1단원.indd 6 2020-09-14 16:11:591. 원의 접선
07
043
두 점 A, B가 원 O의 접점이 A B P 2`cm 2`cm 60ù 60ù O 므로 ∠OAP=∠OBP=90ù OAÓ, OBÓ는 원 O의 반지름이 므로 OAÓ=OBÓ=2`cm 또한, OPÓ는 공통이므로 △OAPª△OBP (RHS 합동) ∴ ∠AOP=;2!;∠AOB=60ù∴ APÓ=2 tan`60ù=2'3 (cm) yy 가
원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같으므로 APÓ=BPÓ=2'3`cm yy 나 ∴ (사각형 OAPB의 둘레의 길이) =OAÓ+PAÓ+PBÓ+OBÓ =2+2'3+2'3+2=4+4'3 (cm) yy 다 답 (4+4'3 )`cm 단계 채점 요소 배점 가 APÓ의 길이 구하기 1점 나 BPÓ의 길이 구하기 1점 다 답 구하기 2점
044
OAÓ를 그으면 △AOB에서 ± ± ± 1 0 " # $ OAÓ=OBÓ이므로 ∠OAB=∠OBA=23ù yy 가 ∴ ∠AOC =∠OAB+∠OBA =23ù+23ù=46ù yy 나 따라서 ∠PAO=90ù이므로 ∠APB=180ù-(90ù+46ù)=44ù yy 다 답 44ù 단계 채점 요소 배점 가 ∠OAB의 크기 구하기 1점 나 ∠AOC의 크기 구하기 2점 다 답 구하기 1점045
원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 1 ADN ADN SADN SADN " 5 0 하자. ∠OTP=90ù이므로 직각삼각형 OPT에서 피타고라스 정리에 의하 여 (r+2)Û`=6Û`+rÛ` rÛ`+4r+4=36+rÛ` 4r=32 ∴ r=8 yy 가 따라서 삼각형 OPT의 넓이는 ;2!;_6_8=24 (cmÛ`) yy 나 답24`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 원 O의 반지름의 길이 구하기 2점 나 답 구하기 2점046
PCÓ=PEÓ=9이므로 ACÓ=PCÓ-PAÓ=9-7=2∴ ADÓ=ACÓ=2 yy 가
BEÓ=PEÓ-PBÓ=9-6=3이므로
BDÓ=BEÓ=3 yy 나
∴ ABÓ=ADÓ+BDÓ=2+3=5 yy 다
답5 단계 채점 요소 배점 가 ADÓ의 길이 구하기 2점 나 BDÓ의 길이 구하기 2점 다 답 구하기 2점
047
BCÓ, BYÓ는 원 밖의 한 점 B에서 원 O에 그은 접선이므로 BYÓ=BCÓ=4`cm yy 가 ∴ PYÓ =PBÓ+BYÓ=8+4=12 (cm) PXÓ, PYÓ도 원 밖의 한 점 P에서 원 O에 그은 접선이므로 PXÓ=PYÓ=12`cm yy 나 ∴ AXÓ =PXÓ-PAÓ=12-7=5 (cm) AXÓ, ACÓ도 원 밖의 한 점 A에서 원 O에 그은 접선이므로∴ ACÓ=AXÓ=5`cm yy 다
답 5`cm 단계 채점 요소 배점 가 BYÓ의 길이 구하기 2점 나 PYÓ, PXÓ의 길이 구하기 2점 다 AXÓ, ACÓ의 길이 구하기 2점
048
ABCD가 정사각형 A B C D E P O 8`cm 8`cm 8`cm (8-x)`cm x`cm x`cm 이므로 ADÓ=ABÓ=8`cm 반원 O와 AEÓ가 접하 는 점을 P라 하고 PEÓ=CEÓ=x`cm라 하면 ABÓ=APÓ=8`cm이므로 yy 가 AEÓ=(x+8) cm이고 DEÓ=(8-x) cm yy 나 직각삼각형 AED에서 피타고라스 정리에 의하여 AEÓ Û`=DEÓ Û`+ADÓ Û` (8+x)Û`=(8-x)Û`+8Û` 64+16x+xÛ`=64-16x+xÛ`+64 32x=64 ∴ x=2 yy 다∴ AEÓ=APÓ+PEÓ=8+2=10 (cm) yy 라
답10`cm 단계 채점 요소 배점 가 PEÓ=CEÓ, ABÓ=APÓ임을 알기 2점 나 AEÓ, DEÓ의 길이에 대한 식 세우기 2점 다 PEÓ, CEÓ의 길이 구하기 2점 라 AEÓ의 길이 구하기 2점
08
중3 (2학기 기말고사)052
DSÓ=DRÓ=CRÓ=CQÓ A B C D S R Q O P 8 4 6 10 =;2!;_8=4 yy 가 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 10+8=6+(BQÓ+4) ∴ BQÓ=8 yy 나 답 8 단계 채점 요소 배점 가 CQÓ의 길이 구하기 3점 나 BQÓ의 길이 구하기 3점 포인트 반지름의 길이가 r인 원 O에 외 " # $ % & ' 0 S 접하는 사각형 ABCD에서 ∠C=90ù일 때, OECF는 한 변의 길이가 r인 정 사각형이다.053
직각삼각형 ABC에서 BCÓ="Ã10Û`-6Û`=8 (cm) yy 가 따라서 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 6+CDÓ=5+8 ∴ CDÓ=7 (cm) yy 나 답 7`cm 단계 채점 요소 배점 가 BCÓ의 길이 구하기 3점 나 CDÓ의 길이 구하기 3점054
원 O의 반지름의 길이가 6`cm A B P 8`cm 6`cm 6`cm 10`cm O 이므로 OAÓ=OBÓ=6`cm PAÓ는 원 O의 접선이므로 OAÓ⊥PAÓ △PAO는 직각삼각형이므로 피 타고라스 정리에 의하여 POÓ="Ã PAÓ Û`+OAÓ Û` ="Ã8Û`+6Û`=10 (cm) ∴ PBÓ=POÓ-BOÓ=10-6=4 (cm) 답 4`cm055
∠ADO=90ù이므로 ADÓ="Ã6Û`-2Û`=4'2 (cm) ADÓ=AFÓ, BEÓ=BDÓ, CEÓ=CFÓ이므로 (△ACB의 둘레의 길이)=ABÓ+BCÓ+CAÓ =ADÓ+AFÓ=2ADÓ =8'2 (cm) 답 8'2`cm056
OPÓ를 그으면 P 12`cm 60ù O A B △AOPª△BOP`(RHS`합동) 이므로 ∠APO=∠BPO=30ù ∠AOP=∠BOP=60ù049
BEÓ=BDÓ=6, CEÓ=CFÓ=5이고, AFÓ=ADÓ=x라 하면 yy 가 △ABC의 둘레의 길이가 30이므로 ABÓ+BCÓ+CAÓ =(x+6)+(6+5)+(5+x)=30 yy 나 2x=8 ∴ x=4 따라서 ADÓ의 길이는 4이다. yy 다 답 4 단계 채점 요소 배점 가 BEÓ=BDÓ, CDÓ=CFÓ, AFÓ=ADÓ을 알기 2점 나 삼각형의 둘레의 길이에 대한 식 세우기 2점 다 ADÓ의 길이 구하기 2점050
⑴ OFÓ를 그으면 ∠ODA=∠OFA=90ù이고,AFÓ=ADÓ=2`cm yy 가
⑵ 원 밖의 한 점에서 원에 A B C D E F O 2`cm 3`cm 그은 두 접선의 길이는 같 으므로 BDÓ=BEÓ=3`cm yy 나 ⑶ CEÓ=CFÓ=x`cm라 하면 직각삼각형 ABC에서 (3+x)Û`=5Û`+(2+x)Û` 9+6x+xÛ`=25+4+4x+xÛ` 2x=20 ∴ x=10 따라서 FCÓ의 길이는 10`cm이다. yy 다 답⑴ ADÓ=2`cm, AFÓ=2`cm ⑵ 3`cm ⑶ 10`cm 단계 채점 요소 배점 가 ADÓ, AFÓ의 길이 구하기 3점 나 BDÓ의 길이 구하기 2점 다 FCÓ의 길이 구하기 3점
051
PFÓ=PGÓ, QFÓ=QEÓ이므로 CGÓ+CEÓ=CPÓ+PQÓ+QCÓ=24 (cm) yy 가 ADÓ=AGÓ, BDÓ=BEÓ이므로 AGÓ+BEÓ=ABÓ=14 (cm) yy 나 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 ABÓ+(AGÓ+BEÓ)+(CGÓ+CEÓ) =14+14+24=52 (cm) yy 다 답52`cm 단계 채점 요소 배점 가 CGÓ+CEÓ의 길이 구하기 2점 나 AGÓ+BEÓ의 길이 구하기 2점 다 답 구하기 2점 중학3-2기말해답(01-12)1단원.indd 8 2020-09-14 16:12:181. 원의 접선
09
직각삼각형 AOP에서 OAÓ=12 tan`30ù=12_ '3`3 =4'3 (cm) 따라서 원 O의 넓이는 p_(4'3 )Û`=48p (cmÛ`) 답48p`cmÛ`057
오른쪽 그림에서 BCÓ와 두 원 E H 3`cm A B C D O R S O' P Q 12`cm 8`cm O, O'의 접점을 각각 E, D라 하고 원의 중심 O에서 O'QÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 PBÓ=BEÓ, BQÓ=BDÓ 이므로 PQÓ=PBÓ+BQÓ=BEÓ+BDÓ yy`㉠ 또, CSÓ=CDÓ, CRÓ=CEÓ이므로 RSÓ=RCÓ+CSÓ=CEÓ+CDÓ yy`㉡ ASÓ=AQÓ, ARÓ=APÓ이므로 PQÓ=RSÓ이고, ㉠, ㉡에서 PQÓ+RSÓ=(BEÓ+CEÓ)+(BDÓ+CDÓ)=2BCÓ ∴ 2PQÓ=2RSÓ=2BCÓ` ∴ PQÓ=BCÓ=12`cm 따라서 △O'OH에서 O'HÓ=8-3=5 (cm), OHÓ=12`cm이므로 OO'Ó Û`=5Û`+12Û`=169 ∴ OO'Ó=13 (cm) 답 ④058
주어진 그림에서 원 O의 반지름 O A B C D E F 6 6 r r r r 9 9 의 길이를 r라 하면 AFÓ=ADÓ=6, BDÓ=BEÓ=r, ECÓ=CFÓ=9 ∴ ABÓ=6+r, BCÓ=9+r, ACÓ=6+9=15 △ABC가 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의하여 ABÓ Û`+BCÓ Û`=ACÓ Û`, (6+r)Û`+(9+r)Û`=15Û` rÛ`+15r-54=0, (r+18)(r-3)=0 r>0이므로 r=3 따라서 색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이에서 원 O의 넓이를 뺀 것이므로 ;2!;_12_9-p_3Û`=54-9p 답54-9p059
△ABC에서 BDÓ=BEÓ=x`cm라 하면 AFÓ=ADÓ=(6-x) cm, CFÓ=CEÓ=(8-x) cm ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로 10=(6-x)+(8-x) ∴ x=2 또, BIÓ=BGÓ, CIÓ=CHÓ이므로 ABÓ+BCÓ+CAÓ=AGÓ+AHÓ=2AGÓ에서 6+8+10=2AGÓ ∴ AGÓ=12 (cm) 따라서 BGÓ=AGÓ-ABÓ=12-6=6 (cm)이므로 DGÓ=BDÓ+BGÓ=2+6=8 (cm) 답 8`cm 포인트 AH³, AG³ 는 원의 접선이고 " * # ( ) $ 두 점 H, G는 접점일 때, CHÓ=CIÓ, BGÓ=BIÓ이고, AHÓ=AGÓ이므로 (△ABC의 둘레의 길이)=2AHÓ=2AGÓ060
오른쪽 그림과 같이 접점을 각각 " 5 3 1 2 4 # $ % Y Y Y Y Y Y Y Y P, Q, R, S, T라 하고, PDÓ=x 라 하면 QDÓ=PDÓ=x CQÓ =CRÓ=CSÓ =CDÓ-QDÓ =8-x BSÓ=BTÓ=BCÓ-CSÓ=10-(8-x)=2+x APÓ=ARÓ=ATÓ=ABÓ-BTÓ=12-(2+x)=10-x ∴ ADÓ=APÓ+PDÓ=(10-x)+x=10 답10061
ABÓ+DCÓ=ADÓ+BCÓ이므로 ABÓ+DCÓ=5+16=21 (cm) ∴ ABÓ=21_;7$;=12 (cm) 답②062
ABCD는 등변사다 A B H C D O 8`cm 14`cm r`cm 2r`cm 8`cm 11`cm 3`cm 3`cm 리꼴이므로 ABÓ=DCÓ ABÓ+DCÓ =ADÓ+BCÓ =8+14 =22 2ABÓ=22 ∴ ABÓ=11 (cm) 점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 BHÓ=;2!;_(14-8)=3 (cm) 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 AHÓ=2r`cm이고 직각삼각형 ABH에서 11Û`=3Û`+(2r)Û`, 4rÛ`=112 rÛ`=28 ∴ r=2'7 따라서 원 O의 반지름의 길이는 2'7`cm이므로 원 O의 넓이는 p_(2'7 )Û`=28p (cmÛ`) 답28p`cmÛ`063
원 O와 ADÓ, BCÓ, DEÓ의 접점을 각각 S, Q, R라 하자. DCÓ=ABÓ=4`cm, ASÓ=BQÓ=2`cm이므로 QCÓ=SDÓ=DRÓ=4`cm QEÓ=ERÓ=x`cm라 하면 ECÓ=(4-x) cm, EDÓ=(4+x) cm10
중3 (2학기 기말고사)065
원 Q의 반지름의 길이를 x라 하면 PQÓ=6+x, OQÓ=12-x 직각삼각형 POQ에서 피타고라스 정리에 의하여 (6+x)Û`=6Û`+(12-x)Û`, 36x=144 ∴ x=4 따라서 PQÓ의 길이는 6+4=10 답 ③066
∠AOB=180ù-40ù=140ù이므로 색칠한 부분의 중심각의 크기는 360ù-140ù=220ù 따라서 색칠한 부분의 넓이는 p_6Û`_;3@6@0);=22pp (cmÛ`) 답22p`cmÛ`067
∠AOB=180ù-90ù=90ù이고, PAÓ=PBÓ이므로 AOBP는 정사각형이다. ③ ABÓ='2 APÓ 답 ③068
∠TOT'=180ù-60ù=120ù T' T P 60ù 120ù O 6 yy 가 이므로 색칠한 부분의 넓이는 p_6Û`_ 240ù 360ù=24p yy 나 답 24p 단계 채점 요소 배점 가 ∠TOT'의 크기 구하기 2점 나 답 구하기 2점069
ADÓ=AFÓ, BDÓ=BEÓ, CFÓ=CEÓ이므로 yy 가(△ACB의 둘레의 길이)=ABÓ+BCÓ+ACÓ=ADÓ+AFÓ
=2ADÓ=2_8
=16 (cm) yy 나
답 16`cm
단계 채점 요소 배점
가 ADÓ=AFÓ, BDÓ=BEÓ, CFÓ=CEÓ임을 알기 2점
나 답 구하기 2점
070
ADÓ=AFÓ, BDÓ=BEÓ, CFÓ=CEÓ이므로 (△ACB의 둘레의 길이)=ABÓ+BCÓ+ACÓ=ADÓ+AFÓ =2ADÓ 이므로 2ADÓ=5+4+6=15에서 ADÓ=:Á2°: ∴ BDÓ=ADÓ-ABÓ=:Á2°:-5=;2%; 답 ⑤071
① CDÓ =CEÓ+DEÓ=CAÓ+DBÓ =4+6=10 (cm) A B C D S P R Q E O 6`cm 2`cm 4`cm 4`cm 4`cm 2`cm 2`cm (4-x)`cm 4`cm 직각삼각형 DEC에서 피타고라스 정리에 의하여 DEÓ Û`=ECÓ Û`+CDÓ Û`, (4+x)Û`=(4-x)Û`+4Û` 16+8x+xÛ`=16-8x+xÛ`+16 16x=16 ∴ x=1 BEÓ=2+1=3 (cm)이므로 ABED=;2!;_(BEÓ+ADÓ)_ABÓ =;2!;_(3+6)_4=18 (cmÛ`) 답18`cmÛ`064
원 O'과 AEÓ, BCÓ의 접점을 각각 F, G라 하자. 원 O'의 반지름의 길이는 F G Q x`cm x`cm3`cm (6-x)`cm A B C D E O O' 6`cm 3`cm 3`cm 3`cm 6`cm 6`cm ;2!; DCÓ=;2!; ABÓ=3 (cm) 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같으므로 EFÓ=EGÓ=x`cm라 하면 BEÓ =BCÓ-CEÓ=9-(x+3) =6-x (cm) AEÓ =AFÓ+EFÓ=6+x (cm) 직각삼각형 ABE에서 피타고라스 정리에 의하여 AEÓ Û`=ABÓ Û`+BEÓ Û`, (x+6)Û`=6Û`+(6-x)Û` xÛ`+12x+36=36+36-12x+xÛ` 24x=36 ∴ x=;2#; ∴ BEÓ=6-;2#;=;2(; (cm), AEÓ=6+;2#;=:Á2°: (cm) 원 O의 반지름의 길이를 r`cm A B E O r`cm 6`cm `cm 9 2 `cm 15 2 라 놓으면 △ABE의 넓이는 △ABE =△OEA+△OAB+△OBE =;2!;_r_{:Á2°:+6+;2(;} =9r (cmÛ`) yy`㉠ 또한, △ABE의 밑변이 BEÓ이 고 높이가 ABÓ이므로 △ABE=;2!;_ABÓ_BEÓ =;2!;_6_;2(;=:ª2¦: (cmÛ`) yy`㉡ ㉠=㉡이므로 9r=:ª2¦: ∴ r=;2#; 따라서 원 O의 넓이는 prÛ`=;4(;p (cmÛ`)이다. 답 ;4(;p`cmÛ` 중학3-2기말해답(01-12)1단원.indd 10 2020-09-14 16:12:281. 원의 접선
11
② △OACª△OEC`(RHS`합동) A B C D E O l m 4`cm 6`cm 이므로 ∠AOC=∠EOC △OBDª△OED`(RHS`합동) 이므로 ∠BOD=∠EOD ∴ ∠COD =∠EOC+∠EOD =;2!;(∠AOE+∠BOE) =;2!;_180ù=90ù ③ 점 C에서 BDÓ에 내린 수선의 A B C D H E O l m 4`cm 6`cm 10`cm 발을 H라 하면 HDÓ=BDÓ-BHÓ =6-4=2 (cm) ∴ ABÓ=CHÓ="Ã10Û`-2Û` =4'6 (cm) ④ ABÓ=4'6`cm이므로 AOÓ=2'6`cm ∴ △AOC=;2!;_4_2'6=4'6 (cmÛ`) ⑤ ABDC=;2!;_(ACÓ+BDÓ)_ABÓ =;2!;_(4+6)_4'6=20'6 (cmÛ`) 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. 답 ⑤072
점 D에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 1 " # ) $ % 0 Y Y Y Y H라 하고, DAÓ=x라 하면 DPÓ=HBÓ=DAÓ=x CPÓ=CBÓ=8 CHÓ=8-x △CDH에서 피타고라스 정리에 의하여 (8+x)Û`=8Û`+(8-x)Û` 64+16x+xÛ`=64+64-16x+xÛ` 32x=64 ∴ x=2 따라서 ABCD의 넓이는 ;2!;_(2+8)_8=40 답40073
ABÓ와 작은 원의 접점을 M이라 하 A M B O 고 OAÓ와 OMÓ을 그으면 OMÓ⊥ABÓ, AMÓ=BMÓ 큰 원의 반지름의 길이는 OAÓ, 작은 원의 반지름의 길이는 OMÓ이고, 두 원의 넓이의 차가 32p`cmÛ`이므로 OAÓ Û`p-OMÓ Û`p=32p, (OAÓ Û`-OMÓ Û`)p=32p OAÓ Û`-OMÓ Û`=32 직각삼각형 OAM에서 AMÓ="ÃOAÓ Û`-OMÓ Û`='¶32=4'2 (cm)이므로 ABÓ=2AMÓ=8'2 (cm) 답 ⑤074
OTÓ를 그으면 OTÓ⊥ABÓ, ATÓ=BTÓ, " 5 # ADN 0ADN ∠OTA=90ù 직각삼각형 OAT에서 OTÓ=8`cm, OAÓ=12`cm이므로 피타고라스 정리 에 의하여 ATÓ="Ã12Û`-8Û`='¶80=4'5 (cm) yy 가 ABÓ=2ATÓ이므로 ABÓ=2_4'5=8'5 (cm) yy 나 따라서 △OAB의 넓이는 ;2!;_8'5_8=32'5 (cmÛ`) yy 다 답 32'5`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 ATÓ의 길이 구하기 2점 나 ABÓ의 길이 구하기 2점 다 답 구하기 2점075
ODÓ를 그으면 ODÓ⊥ABÓ, ADN ADN ADN " # $ % & ' 0 ∠ODA=90ù 원 O의 넓이가 9p`cmÛ`이므로 반 지름의 길이는 3`cm이다. ∴ ODÓ=3`cm BDÓ=BEÓ=5`cm이므로 ADÓ=9-5=4 (cm) 따라서 직각삼각형 ADO에서 피타고라스 정리에 의하여 AOÓ="Ã3Û`+4Û`='¶25=5 (cm) 답①076
세 점 L, M, N을 접점이라 하면 A B C O M N L 5`cm 5`cm x`cm x`cm 3`cm 3`cm OMCN은 정사각형이고 한 변의 길이가 3`cm이다. BMÓ=BLÓ=5`cm, MCÓ=NCÓ=3`cm, ALÓ=ANÓ=x`cm라 하면 직각삼각 형 ABC에서 피타고라스 정리에 의 하여 8Û`+(3+x)Û`=(5+x)Û` 64+9+6x+xÛ`=25+10x+xÛ` 4x=48 ∴ x=12 ACÓ=NCÓ+ANÓ=3+12=15 (cm) ∴ △ABC=;2!;_BCÓ_ACÓ=;2!;_8_15=60 (cmÛ`) 답 60`cmÛ`077
△ABC의 넓이가 48`cmÛ`이고, 내 ADN " # $ % & ' 0 접원의 반지름의 길이가 3`cm이므 로 △ABC=;2!;_3 _(ABÓ+BCÓ+CAÓ)=48 ∴ ABÓ+BCÓ+CAÓ=32 (cm) 따라서 △ABC의 세 변의 길이의 합은 32`cm이다. 답32`cm12
중3 (2학기 기말고사) 16+8x+xÛ`=144-24x+xÛ`+64 32x=192 ∴ x=6 따라서 ABCD의 둘레의 길이는 (6+4)+12+8+6=36 (cm) 답 36`cm083
오른쪽 그림과 같이 ADÓ, BCÓ H x`cm r`cm A B C D O Q S O' P R E 5`cm 12`cm 와 원 O의 접점을 각각 Q, R, ADÓ와 원 O'의 접점을 S, DPÓ와 원 O의 접점을 E라 하자. DPÓ="Ã5Û`+12Û`=13 (cm)이고 yy 가 PRÓ=PEÓ=x`cm라 하면 DQÓ=CRÓ=CPÓ+PRÓ=5+x (cm) 그런데 DQÓ=DEÓ이므로 5+x=13-x ∴ x=4∴ ADÓ=AQÓ+DQÓ=6+(5+4)=15 (cm) yy 나
원 O'의 반지름의 길이를 r`cm라 하고, 점 O'에서 OQÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 OO'Ó=(6+r) cm, OHÓ=OQÓ-HQÓ=6-r (cm), O'HÓ=SQÓ=ADÓ-(6+r)=9-r (cm)이므로 직각삼각형 O'HO에서 (6+r)Û`=(6-r)Û`+(9-r)Û` yy 다 rÛ`-42r+81=0 0<r<6이므로 r=21-6'¶10` 따라서 a=21, b=6이므로 a+b=27 yy 라 답27 단계 채점 요소 배점 가 DPÓ의 길이 구하기 2점 나 ADÓ의 길이 구하기 2점 다 OO'Ó Û`=OHÓ Û`+HO'Ó Û`의 관계식 세우기 2점 라 답 구하기 2점 포인트 이차방정식 axÛ`+bx+c=0 (a+0)의 근은 x= -bÑ"ÃbÛ`-4ac`2a (단, bÛ`-4ac¾0)
078
⑴ △BED는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의하여 BDÓ="Ã4Û`+3Û`=5 yy 가 ⑵ QDÓ=DPÓ, EQÓ=ERÓ이고 BRÓ=BPÓ이므로 원 O의 반 지름의 길이를 r라 하면 EQÓ=ERÓ=r이고 DPÓ=DQÓ=3-r ∴ BPÓ=BDÓ+DPÓ=5+(3-r)=8-r, BRÓ=BEÓ+ERÓ=4+r yy 나 BRÓ=BPÓ이므로 4+r=8-r ∴ r=2 yy 다 답⑴ 5 ⑵ 2 단계 채점 요소 배점 가 BDÓ의 길이 구하기 2점 나 BPÓ, BRÓ의 길이를 원의 반지름의 길이로 나타내기 2점 다 답 구하기 2점079
DSÓ=DRÓ=4`cm이므로 ASÓ=10-4=6 (cm) 또, BPÓ=BQÓ=6`cm이므로 CQÓ=8-6=2 (cm) ∴ ASÓ+CQÓ=6+2=8 (cm) 답 ⑤080
직각삼각형 CDE에서 피타 A (x+3)`cm B C D E O 4`cm 3`cm x`cm 4`cm 5`cm 고라스 정리에 의하여 CEÓ="Ã5Û`-4Û`=3 (cm) BEÓ=x`cm라 놓으면 ADÓ=BCÓ=(x+3)`cm ABED가 원 O에 외접하므로 ABÓ+DEÓ=ADÓ+BEÓ 4+5=(x+3)+x ∴ x=3 ∴ BCÓ=x+3=6 (cm) 답6`cm081
원 O의 반지름의 길이가 4`cm이므로 ABÓ=8`cm ADÓ+BCÓ=ABÓ+DCÓ이므로 ADÓ+BCÓ=8+13=21 (cm) ∴ ABCD=;2!;_21_8=84 (cmÛ`) 답 ③082
점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 YADN YADN & " # $ % ADN ADN 0 YADN YADN 발을 E라 하고 ADÓ=x`cm 라 하면 ABÓ+DCÓ=ADÓ+BCÓ에서 ABÓ+8=x+12 ∴ ABÓ=(4+x)`cm BEÓ=(12-x)`cm이므로 직각삼각형 ABE에서 피타고라 스 정리에 의하여 (4+x)Û`=(12-x)Û`+8Û` 중학3-2기말해답(01-12)1단원.indd 12 2020-09-14 16:12:402. 원주각
13
008
∠AOR=2∠APR " # 1 3 2 Y Z ± 0 =2_55ù=110ù ∴ ∠y=180ù-110ù=70ù ∠x=;2!;∠ROB=35ù이므로 ∠x+∠y=35ù+70ù=105ù 답105ù009
오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O와 점 A B P 35ù 25ù 10ù 10ùO P를 연결하면 OAÓ=OPÓ에서 △OAP 는 이등변삼각형이므로 ∠OPA=∠OAP=10ù 마찬가지로 이등변삼각형 OBP에서 ∠OPB=∠OBP=35ù ∠APB=∠OPB-∠OPA=35ù-10ù=25ù 따라서 원주각과 중심각의 크기의 성질에 의해 ∠AOB=2∠APB=2_25ù=50ù 답50ù010
오른쪽 그림과 같이 원 O에서 호의 길 A B P x130ù 230ù O 이가 짧은 쪽을 µAPB, 긴 쪽을 µAB라 하자. 원 O에서 호 AB에 대한 중심각의 크기 가 360ù-130ù=230ù이고 ∠x는 µAB 의 원주각이므로 ∠x=;2!;_230ù=115ù 답115ù011
µACB의 원주각의 크기는 ∠x이고 중심각의 크기는 360ù-110ù=250ù이므로 ∠x=;2!;_250ù=125ù 또, µAPB의 원주각의 크기는 ∠y이고 중심각의 크기는 110ù이므로 ∠y=;2!;_110=55ù ∠x-∠y=125ù-55ù=70ù 답③012
∠ABC=;2!;_(360ù-∠AOC)에서 ∠x-12ù=;2!;_{360ù-(∠x+21ù)} ∠x-12ù=;2!;_(-∠x+339ù) 2∠x-24ù=-∠x+339ù 3∠x=363ù ∴ ∠x=121ù 답121ù013
∠ABC=;2!;_(360ù-120ù)=120ù 따라서 AOCB에서 ∠x=360ù-(55ù+120ù+120ù)=65ù 답65ù001
⑴ ∠x=;2!;∠AOB=;2!;_150ù=75ù ⑵ ∠x=2∠APB=2_25ù=50ù ⑶ ∠x=2∠APB=2_50ù=100ù ⑷ ∠x=2∠APB=2_120ù=240ù 답⑴ 75ù ⑵ 50ù ⑶ 100ù ⑷ 240ù002
∠x=;2!;∠AOB=;2!;_(360ù-230ù)=65ù 답 65ù003
∠AOB=180ù-(2_26ù)=128ù ∴ ∠x=;2!;∠AOB=;2!;_128ù=64ù 답 64ù 포인트 원의 반지름의 길이는 일정하므 A B O r r 로 삼각형 OAB는 OAÓ=OBÓ인 이등변 삼각형이다.004
OEÓ를 그으면 A B C D E 40ù 24ù O ∠AOE=2∠ADE=2_24ù=48ù ∠EOB=2∠ECB=2_40ù=80ù ∴ ∠AOB =∠AOE+∠EOB =48ù+80ù=128ù 답 ③005
OCÓ를 그으면 A B x x C 58ù O ∠BOC=2∠BAC=2_58ù=116ù 따라서 △OBC는 OBÓ=OCÓ인 이등변삼 각형이므로 ∠x=;2!;_(180ù-116ù)=32ù 답 ④006
△ABC가 정삼각형이므로 ∠A=60ù ∠BOC=2∠A=2_60ù=120ù 따라서 부채꼴 OBC의 넓이는 p_6Û`_ 120360 =12p (cmÛ`) 답12p`cmÛ`007
∠BOC=2∠BAC=2_75ù=150ù ∴ △OBC=;2!;_10_10_sin(180ù-150ù) =;2!;_10_10_sin`30ù =;2!;_10_10_;2!; =25 (cmÛ`) 답25`cmÛ`2
원주각
본문 024~042쪽14
중3 (2학기 기말고사)014
OAÓ, OBÓ를 그으면 A B C P 64ù O x ∠PAO=∠PBO=90ù이므로 ∠AOB =360ù-(64ù+90ù+90ù) =116ù ∴ ∠x=;2!;∠AOB=;2!;_116ù=58ù 답 ⑤015
OAÓ, OBÓ를 그으면 A B C P x 55ù O ∠PAO=∠PBO=90ùÙ ∠AOB =2∠ACB =2_55ù=110ù 이므로 APBO에서 ∠APB =360ù-(90ù+90ù+110ù)=70ù 답70ù016
OAÓ, OBÓ를 그으면 A B P Q x 115ù O ∠AOB =360ù-2∠AQB =360ù-2_115ù =130ù 따라서 APBO에서 ∠PAO=∠PBO=90ù이므로 ∠x=360ù-(90ù+90ù+130ù)=50ù 답 ④017
∠AOB=360ù-(90ù+90ù+52ù)=128ù µAB의 원주각인 ∠AQB의 크기는 중심각인 ∠AOB의 크기의 ;2!;이므로 ∠AQB=;2!;∠AOB=;2!;_128ù=64ù 따라서 이등변삼각형 ABQ의 밑각의 크기를 구하면 ∠ABQ=;2!;_(180ù-∠AQB) =;2!;_(180ù-64ù)=58ù 답58ù018
OAÓ, OBÓ를 그으면 ∠OAP=∠OBP=90ù이므로 APBO에서 ∠AOB=360ù-(90ù+90ù+40ù)=140ù ∠AQB=;2!;_(360ù-∠AOB) =;2!;_(360ù-140ù)=110ù AQBO에서 ∠OAQ+∠OBQ=360ù-(140ù+110ù)=110ù 따라서 APBO에서 ∠PAQ+∠PBQ=360ù-(40ù+140ù+110ù)=70ù 답70ù019
⑴ ∠x=42ù, ∠y=32ù ⑵ △ABC에서 ∠BAC=180ù-(80ù+68ù)=32ù ∴ ∠x=∠BAC=32ù 답⑴ ∠x=42ù, ∠y=32ù ⑵ ∠x=32ù020
∠x =∠CAD+∠DAE =∠CBD+∠DFE =20ù+35ù=55ù 답 ⑤ 다른 풀이 µ CD에 대하여 원주각과 중심각의 크기 70ù 40ù A B C D E F x 35ù 20ù O 의 성질을 이용하면 ∠COD=2∠CBD=2_20ù=40ù µ DE에 대하여 원주각과 중심각의 크기 의 성질을 이용하면 ∠DOE=2∠DFE=2_35ù=70ù ∴ ∠COE =∠COD+∠DOE=40ù+70ù=110ù 따라서 µ CDE에 대하여 ∠CAE=;2!;∠COE=;2!;_110ù=55ù021
∠x=2∠AQB=2_34ù=68ù ∠y=∠AQB=34ù ∴ ∠x+∠y=68ù+34ù=102ù 답 ④022
OAÓ를 그으면 A B C P Q x 65ù 50ù O ∠AOC=2∠AQC=130ù이므로 ∠AOB =∠AOC-∠BOC =130ù-50ù=80ù ∴ ∠x=;2!;∠AOB=;2!;_80ù=40ù 답 40ù023
∠a=∠b=∠c이므로 ∠a+∠b+∠c=3∠a=165ù ∴ ∠a=∠b=∠c=55ù ∴ ∠x=2_55ù=110ù 답 ③024
∠PDC=∠BAC=60ù 삼각형 CDP에서 외각의 성질에 의하여 ∠x =∠PDC+∠PCD=60ù+33ù=93ù 답 93ù 포인트 삼각형의 한 외각의 크기는 A B C D a b 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기 의 합과 같다. ∠ACD=∠a+∠b025
∠BDC=∠BAC=65ù, ∠ACB=∠ADB=36ù이므로 ∠BCD=25ù+36ù=61ù 따라서 △DBC에서 ∠DBC =180ù-(∠BDC+∠BCD) =180ù-(65ù+61ù)=54ù 답 54ù026
∠BCD=∠BAD=∠x이므로 △ADQ에서 ∠ADC=∠x+35ù 따라서 △PCD에서 ∠PCD+∠PDC=∠APC이므로 중학3-2기말해답(13-23)2단원.indd 14 2020-09-14 12:03:372. 원주각
15
034
∠CPD=∠x라 하고 오른쪽 그림과 A B C D P O x 같이 두 점 B, C를 연결하면 ∠ACB=90ù이므로 △CBP에서 ∠CBP=90ù-∠x ∴ ∠COD=180ù-2∠x ∠APB+∠COD=∠x+(180ù-2∠x)=130ù이므로 ∠x=50ù ∴ ∠COD=180ù-2_50ù=80ù 답80ù035
ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ACB=90ù 직각삼각형 ABC에서 ACÓ=ABÓ cos`30ù=10_ 132 =513 (cm) BCÓ=ABÓ sin`30ù=10_;2!;=5 (cm) ∴ ACÓ+BCÓ=5+513 (cm) 답⑤036
ABÓ가 원 O의 지름이므로 A B C 5 6 8 5 O ∠ACB=90ù, ABÓ=10 직각삼각형 ACB에서 피타고라스 정 리에 의하여 ACÓ="ÃABÓ Û`-BCÓ Û` ="Ã10Û`-6Û`=8 ∴ sin`A+cos`A= BCÓABÓ + ACÓ ABÓ
=;1¤0;+;1¥0;=;5&; 답;5&; 포인트 ∠B=90ù인 직각삼각형 ABC에서 A a B b C c sin`A=;bA;, cos`A=;bC;, tan`A=;cA;
037
BOÓ를 연장한 선과 원의 교점을 P라 하 P A B 4 C 4 6 O 면 µ BC에 대한 원주각의 크기가 모두 같 으므로 ∠BAC=∠BPC BPÓ가 원 O의 지름이므로 ∠BCP=90ù, BPÓ=8 ∴ sin`A=sin`P= BCÓ BPÓ =;8^;=;4#; 답;4#;038
오른쪽 그림과 같이 원 O의 지름인 A'BÓ A A' B 312 C O 를 그으면 ∠A'CB=90ù이고 ∠A=∠A'이므로 △A'BC에서 tan`A=tan`A'= BCÓ A'CÓ ='2이므로 A'CÓ= 3'2` '2` =3 ∴ A'BÓ="Ã(3'2 )Û`+3Û`=3'3 답⑤ ∠x+(∠x+35ù)=75ù, 2∠x=40ù ∴ ∠x=20ù 답 ②027
⑴ ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠x=90ù ⑵ ∠APB=90ù이므로 ∠x=180ù-(20ù+90ù)=70ù 답⑴ 90ù ⑵ 70ù028
반원의 호인 µAB에 대한 원주각의 크기는 90ù이므로 ∠ACB=90ù △ABC의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 ∠BAC+∠ACB+∠ABC=180ù ∴ ∠BAC =∠x=180ù-(90ù+62ù)=28ù 답 28ù029
BDÓ를 그으면 A B C D xO65ù ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ADB=90ù ∠ABD=∠ACD=65ù ∴ ∠x=180ù-(90ù+65ù)=25ù 답 25ù030
오른쪽 그림과 같은 한 원에서 한 호에 A B C D E 52ù 52ù O 대한 원주각의 크기가 모두 같으므로 µAE에 대하여 ∠ACE=∠ADE=52ù ABÓ가 지름이므로 ∠ADB=90ù ∴ ∠BDE =∠ADB-∠ADE=90ù-52ù=38ù 답 38ù031
반원에 대한 원주각의 크기가 90ù이므로 ∠ADB=90ù ∠BPD=180ù-115ù=65ù 삼각형 BPD에서 ∠x+65ù+90ù=180ù ∴ ∠x=25ù 답 ①032
ABÓ가 원 O의 지름이므로 " # $ % 1 ± ± ± ± 0 ∠ADB=90ù ∴ ∠ADC=90ù-68ù=22ù µAC의 원주각의 크기가 모두 같으므로 ∠ABC=∠ADC=22ù 따라서 △BPC의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 ∠BPC =180ù-(22ù+30ù)=128ù 답 128ù033
ADÓ를 그으면 ∠ADB=90ù이므로 " # $ % 1 Y ± 0 △ADP에서 ∠PAD =180ù-(90ù+65ù) =25ù ∴ ∠x =2∠CAD=2_25ù=50ù 답 ③16
중3 (2학기 기말고사)039
ACÓ가 원의 중심을 지나므로 ∠ABC=90ù 직각삼각형 ABC에서 ACÓ= BCÓ sin`30ù = 4 ;2!; ∴ ACÓ=8 (cm) 따라서 원 O의 반지름의 길이는 ;2!;ACÓ=4 (cm)이므로 (원 O의 둘레의 길이)=2p_4=8p (cm) 답8p`cm 포인트 특수한삼각비의값 삼각비 A 30ù 45ù 60ù sin`A ;2!; '2`2 '3`2 cos`A '3` 2 '2`2 ;2!; tan`A '3` 3 1 '3040
점 B와 원의 중심 O를 잇는 선의 연장선 A B P 6 C 45ù 45ù O 이 원과 만나는 점을 P라 하면 BPÓ가 원의 중심을 지나므로 ∠C=90ù µ BC의 원주각의 크기는 모두 같으므로 ∠A=∠P=45ù BPÓ= BCÓ sin`45ù = 6 1 '2` ∴ BPÓ=6'2 따라서 △ABC의 외접원 O의 반지름의 길이는 ;2!; BPÓ=3'2 답 3'2041
∠BAC=180ù-(60ù+45ù)=75ù " # $ ADN ± ± 0 OBÓ, OCÓ를 그으면 ∠AOB=2_45ù=90ù ∠BOC=2_75ù=150ù ∠AOC=2_60ù=120ù ∴ △ABC =△OAB+△OBC+△OCA =;2!;_6_6_sin`90ù +;2!;_6_6_sin(180ù-150ù) +;2!;_6_6_sin(180ù-120ù) =18_sin`90ù+18_sin`30ù+18_sin`60ù =18+18_;2!;+18_ 132 =18+9+913 =27+913 (cmÛ`) 답 ④042
오른쪽 그림과 같이 점 A에서 원의 중 " # # % $ ADN ± ±± 0 심 O를 지나 원과 다시 만나는 점을 B'이라 하면 ∠AB'C=∠ABC=60ù 이므로 ACÓ=4 sin`60ù=4_ 132 =213 (cm) 또 점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 D라 하면 △ADC에서 ∠DAC=∠ACD=45ù이므로 ADÓ =CDÓ=ACÓ cos`45ù =213 cos`45ù=213_ 122 =16 (cm)BDÓ= ADÓtan`60ù =tan`60ù =16_16 1
'3` =12 (cm) ∴ BCÓ=BDÓ+CDÓ=12+16 (cm) 답(12+16)`cm
043
⑴ µ CD=µAB이므로 ∠CQD=∠APB=30ù ∴ x=30 ⑵ ∠CPD=26ù이므로 ∠COD=2∠CPD=52ù µAB=µ CD이므로 ∠AOB=∠COD=52ù ∴ x=52 답 ⑴ 30 ⑵ 52044
△ABC에서 ABÓ=BCÓ이므로 ∠ACB=∠BAC=30ù ABÓ=BCÓ이면 µAB=µ BC이므로 ∠ADB=∠ACB=∠BAC=30ù 답 ②045
µAC=µ BD이므로 ∠DCB=∠ABC=22ù ∴ ∠APD=∠CPB=180ù-(22ù+22ù)=136ù 답 ④046
µAB=µ BC이므로 ∠APB=∠BQC이고, ∠AOC=2∠APB+2∠BQC이므로 76ù=2∠BQC+2∠BQC, 4∠BQC=76ù ∴ ∠BQC=19ù 답 19ù047
BDÓ를 그으면 ∠ADB=90ù µAC=µ BC이므로 ∠ADC=∠BDC ∴ ∠x=45ù 답 45ù048
ACÓ를 그으면 µ BD=µ CD이므로 " # $ % Y ± 0 ∠CAD=∠BAD=26ù ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ACB=90ù 따라서 △ABC에서 ∠x=180ù-(90ù+26ù+26ù)=38ù 답 38ù 중학3-2기말해답(13-23)2단원.indd 16 2020-09-14 12:03:482. 원주각
17
055
ABÓ는 원 O의 지름이므로 ∠ACB=90ù △ABC에서 ∠ABC=180ù-(20ù+90ù)=70ù µAC`: µ BC=∠ABC`:`∠BAC µAC`:`10=70ù`:`20ù ∴ µAC=35 (cm) 답③056
µAB`: µ BC`: µ CA=2`:`3`:`4이므로 µ BC의 원주각의 크기는 ∠A=180ù_2+3+4 =603 ù µ CA의 원주각의 크기는 ∠B=180ù_2+3+4 =804 ù µAB의 원주각의 크기는 ∠C=180ù_2+3+4 =402 ù 답 ∠A=60ù, ∠B=80ù, ∠C=40ù057
µAC`: µ BD=3`:`1이므로 ∠ABC`:`∠BCD=3`:`1에서 ∠ABC`:`21ù=3`:`1 ∴ ∠ABC=63ù △BPC에서 ∠BPC+∠BCP=∠ABC이므로 ∠BPC+21ù=63ù ∴ ∠BPC=42ù ∴ ∠APD=∠BPC=42ù 답42ù058
COÓ를 그으면 ∠DBC=10ù이므로 " # $ % & ADN ADN ± ± 0 ∠DOC=20ù µ CD`: µ BC=∠DOC`:`∠COB 2`:`6=20ù`:`∠COB ∴ ∠COB=60ù ∴ ∠EAB=;2!;∠EOB =;2!;(∠EOD+∠DOC+∠COB) =;2!;_(60ù+20ù+60ù)=70ù 답70ù059
△ACP에서 ± " # $ % 1 ADN ± ± ∠CPB=∠CAP+∠ACP이므로 ∠CAP =∠CPB-∠ACP =85ù-45ù=40ù 원의 둘레의 길이를 x`cm라 하면 µ BC=10`cm이고 µ BC에 대한 원주각의 크기가 40ù이므로 10`:`x=40ù`:`180ù ∴ x=45 따라서 원의 둘레의 길이는 45`cm이다. 답③ 다른 풀이 원의 둘레의 길이를 x`cm라 하면 µ BC=10`cm이고 µ BC에 대한 원주각의 크기가 40ù이므로 40ù= 10x _180ù ∴ x=10_180ù40ù =45049
∠BAC=∠BDC=35ù µAB=µ BC이므로 ∠ADB=∠BDC=35ù 따라서 △ABD에서 ∠CAD=180ù-(35ù+50ù+35ù)=60ù 답 ②050
ECÓ를 그으면 µAB=µ BC이므로 " # $ % & ± 0 ∠BEC=∠AEB=22ù EDÓ를 그으면 ADÓ가 원 O의 지름이 므로 ∠AED=90ù ∴ ∠CED=90ù-(22ù+22ù)=46ù ∴ ∠COD=2∠CED=2_46ù=92ù 답 92ù051
⑴ 원주각의 크기와 호의 길이는 정비례하므로 µAB`: µ CD=∠APB`:`∠CQD 3`:`6=25ù`:`xù ∴ x=50 ⑵ µAB`: µ BC=∠APB`:`∠BPC 2`:`x=15ù`:`45ù=1`:`3 ∴ x=6 ⑶ µAB`:`µ BC=∠AOB`:`∠BOC 4`:`2=66ù`:`xù ∴ x=33 ⑷ ADÓ를 그으면 ADN YADN ± ± " # $ % 0 ∠ADB=;2!;∠AOB =;2!;_32ù=16ù µAB`:`µ BC=∠ADB`:`∠BDC 6`:`x=16ù`:`32ù ∴ x=12 답⑴ 50 ⑵ 6 ⑶ 33 ⑷ 12052
∠BEC=∠BAC=28ù이고 ∠BEC`:`∠CED=4`:`6=2`:`3이므로 ∠CED=;2#;∠BEC=;2#;_28ù=42ù ∠BED=∠BEC+∠CED=28ù+42ù=70ù 답 ⑤053
µ BC=3µAD이므로 ∠BAC=3∠ABD=3∠x △ABP에서 84ù=∠x+3∠x 4∠x=84ù ∴ ∠x=21ù 답 21ù054
µAC`: µ BD=2`:`1이므로 ∠ABC`:`∠BCD=2`:`1 ∴ ∠BCD=;2!;∠ABC △PCB에서 ∠PCB+∠PBC=∠DPB이므로 ;2!;∠ABC+∠ABC=120ùÙ, ;2#;∠ABC=120ù ∴ ∠ABC=80ù 답 ③18
중3 (2학기 기말고사)060
오른쪽 그림과 같이 ADÓ를 그으면 36ù 60ù A B C D P x ∠ADC=180ù_;5!;=36ù ∠DAB=180ù_;3!;=60ù △APD에서 ∠x=180ù-(36ù+60ù)=84ù 답84ù061
BCÓ를 그으면 µ BD가 원주의 ;6!;이므로 ∠BCD=180ù_;6!;=30ù 2µAC=3µ BD이므로 µAC`: µ BD=3`:`2 ∠ABC`:`∠BCD=µAC`: µ BD에서 ∠ABC`:`30ù=3`:`2 2∠ABC=90ù ∴ ∠ABC=45ù △PCB에서 ∠APC=30ù+45ù=75ù 답75ù062
µAF 는 원주의 ;8#;이므로 ∠x=;8#;_180ù=67.5ù µ CE 는 원주의 ;8@;=;4!;이므로 ∠y=;4!;_180ù=45ù △PEF에서 ∠z=∠x+∠y=67.5ù+45ù=112.5ù ∴ ∠x+∠y+∠z=67.5ù+45ù+112.5ù=225ù 답 ②063
오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면 " # $ % 1± 0 L L ∠ABD`:`∠CDB=2p`:`4p=1`:`2 △PBD에서 ∠PBD+∠PDB=60ù이므로 ∠ABD=60ù_;3!;=20ù ∠CDB=60ù_;3@;=40ù 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 원의 둘레의 길이는 2pr 이고 µAD=2p, µAD에 대한 원주각의 크기가 20ù이므로 2p`:`2pr=20ù`:`180ù ∴ r=9 따라서 원 O의 넓이는 p_9Û`=81p 답81p064
⑴ OCÓ를 그으면 △AOC는 OAÓ=OCÓ인 A BC 12ù 30ù 12ù O 이등변삼각형이므로 ∠OCA=∠OAC=12ù 또 △BOC는 OBÓ=OCÓ인 이등변삼각 형이므로 ∠OCB=∠OBC=30ù ∠ACB =∠OCB-∠OCA =30ù-12ù=18ù yy 가
⑵ ∠AOB=2∠ACB=2_18ù=36ù yy 나
답⑴ 18ù ⑵ 36ù 단계 채점 요소 배점 가 ∠ACB의 크기 구하기 2점 나 ∠AOB의 크기 구하기 2점
065
ABÓ=BCÓ이므로 A B D C 25ù 130ù 260ù 25ù O ∠BAC=∠BCA=25ù △ABC의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 ∠ABC =180ù-(∠BAC+∠BCA) =180ù-50ù=130ù yy 가 즉, µADC의 원주각의 크기가 ∠ABC=130ù이므로 µADC 의 중심각의 크기는 260ù이다. 따라서 µABC의 중심각의 크기는 ∠AOC=360ù-260ù=100ù yy 나 답100ù 단계 채점 요소 배점 가 ∠ABC의 크기 구하기 2점 나 ∠AOC의 크기 구하기 2점066
TA³, TB³가 원 O의 접선이므로 ∠ATB+∠AOB=180ù 에서 ∠AOB=180ù-64ù=116ù yy 가 ∠y=;2!;_116ù=58ù ∠x=;2!;_(360ù-116ù)=122ù yy 나 ∴ ∠x-∠y=122ù-58ù=64ù yy 다 답 64ù 단계 채점 요소 배점 가 ∠AOB의 크기 구하기 2점 나 ∠x, ∠y의 크기 구하기 각 1점 다 답 구하기 2점067
∠x=∠DAC=15ù yy 가 △PBC에서 50ù=15ù+∠y ∴ ∠y=35ù yy 나 ∴ ∠y-∠x=35ù-15ù=20ù yy 다 답 20ù 단계 채점 요소 배점 가 ∠x의 크기 구하기 1점 나 ∠y의 크기 구하기 2점 다 답 구하기 1점068
∠BAC=∠BEC=28ù yy 가2. 원주각
19
∴ ∠ADB=∠ACB=25ù yy 다
답25ù 단계 채점 요소 배점 가 ∠BCD의 크기 구하기 2점 나 ∠ACB의 크기 구하기 2점 다 ∠ADB의 크기 구하기 2점
072
ACÓ를 그으면 µ CD=µ BD이므로 A B C D 22ù O∠CAD=∠BAD=22ù yy 가
∠OAC=22ù+22ù=44ù이고,
△OCA에서 OCÓ=OAÓ이므로
∠AOC=180ù-2_44ù=92ù yy 나
∴ ∠ADC=;2!;∠AOC=46ù yy 다
답46ù 단계 채점 요소 배점 가 ∠CAD의 크기 구하기 2점 나 ∠AOC의 크기 구하기 2점 다 ∠ADC의 크기 구하기 2점
073
오른쪽 그림과 같이 원 O의 중심과 A BC D 6`cm 30ù 15ù 30ù O 점 C를 연결하면 ∠AOB =∠ADC =30ù (동위각) yy 가 또, 두 점 B, D를 연결하면 ∠ADB는 µAB의 원주각이므로∠ADB=;2!;∠AOB=;2!;_30ù=15ù yy 나
∴ ∠BDC =∠ADC-∠ADB=30ù-15ù=15ù yy 다 이때 ∠BDC는 µ BC의 원주각이고 원주각의 크기와 호의 길이가 정비례하므로 15ù`:`15ù=6`: µ BC ∴ µ BC=6 (cm) yy 라 답 6`cm 단계 채점 요소 배점 가 ∠AOB의 크기 구하기 2점 나 ∠ADB의 크기 구하기 2점 다 ∠BDC의 크기 구하기 2점 라 µ BC의 길이 구하기 2점 다른 풀이 ∠AOB=∠CDO=30ù`(동위각), ∠OCD=∠CDO=30ù`(OCÓ=ODÓ)이므로 ∠AOC=∠OCD+∠CDO=60ù`(외각의 성질) ∴ ∠BOC =∠AOC-∠AOB =60ù-30ù=30ù 중심각의 크기와 호의 길이는 정비례하므로 30ù`:`30ù=6`: µ BC ∴ µ BC=6 (cm) △ABC에서 ∠ACB=180ù-(90ù+28ù)=62ù yy 나 ∠x=∠ACB=62ù yy 다 답 62ù 단계 채점 요소 배점 가 ∠BAC의 크기 구하기 2점 나 ∠ACB의 크기 구하기 2점 다 답 구하기 2점
069
BDÓ가 원 O의 지름이므로 ∠BAD=90ù ∴ ∠x=∠BAD-∠BAC=90ù-30ù=60ù yy 가 ∠DBC=∠x=60ù이므로 △PBC에서 ∠y=180ù-(60ù+45ù)=75ù yy 나 ∠x+∠y=60ù+75ù=135ù yy 다 답 135ù 단계 채점 요소 배점 가 ∠x의 크기 구하기 2점 나 ∠y의 크기 구하기 2점 다 답 구하기 2점 포인트 반원에 대한 원주각의 크기는 A B P 90ù이다. ABÓ가 원의 지름이면 ∠APB=90ù070
∠ACB=90ù이고∠ABC=90ù-∠HCB=∠ACH=∠x yy 가
삼각형 ABC에서 ACÓ="Ã10Û`-6Û`=8 yy 나 sin`x= ACÓ ABÓ =;1¥0;=;5$; cos`x= BCÓ ABÓ =;1¤0;=;5#; yy 다
∴ sin`x_cos`x=;5$;_;5#;=;2!5@; yy 라
답;2!5@; 단계 채점 요소 배점 가 ∠x=∠ABC임을 알기 2점 나 ACÓ의 길이 구하기 1점 다 sin`x, cos`x의 값 구하기 각 2점 라 답 구하기 1점
071
∠BDC=90ù이므로 " # $ % ± 0 ∠BCD=180ù-(90ù+40ù)=50ù yy 가 µAB=µAD이므로 ∠ACB=;2!;∠BCD=25ù yy 나20
중3 (2학기 기말고사) 포인트 평행한 두 직선이 한 직선과 만날 때, ∠a, ∠b, ∠c, ∠d에 대하여 ① 동위각의 크기는 같다. M N B D E C lm이면 ∠a=∠b, ∠c=∠d ② 엇각의 크기는 같다. lm이면 ∠c=∠b074
△ADP에서∠DAP=∠DPB-∠ADP=85ù-25ù=60ù yy 가
원의 둘레의 길이를 l`cm라 하면 µ BD=10`cm이고, µ BD에 대한 원주각의 크기가 60ù이므로 10`:`l=60ù`:`180ù yy 나 ∴ l=30 따라서 구하는 원의 둘레의 길이는 30`cm이다. yy 다 답30`cm 단계 채점 요소 배점 가 ∠DAP의 크기 구하기 2점 나 µ BC의 길이와 원주각의 크기를 이용하여 관계식 세우기 2점 다 원의 둘레의 길이 구하기 2점
075
원 O의 반지름의 길이는 8`cm이므로 원의 둘레의 길이는 2p_8=16p (cm) yy 가 두 호인 µAC, µ BD의 원주각의 크기가 각각 ∠ADC=42ù, ∠BCD=48ù이므로 µAC+µ BD=16p_ 42ù+48ù180ù =8p (cm) yy 나 답8p`cm 단계 채점 요소 배점 가 원의 둘레의 길이 구하기 3점 나 µAC+µ BD의 길이 구하기 3점076
BCÓ를 그으면 A B C D P x 60ù 30ù 130ù O ∠BCD=;2!;∠BOD =;2!;_60ù=30ù ∠ABC=;2!;∠AOC =;2!;_130ù=65ù 이때 △BCP에서 ∠ABC=∠x+∠BCP이므로 65ù=∠x+30ù ∴ ∠x=35ù 답 ④077
∠BAD=∠y라 하면 ∠BCD=∠y △AEB에서 한 외각의 크기는 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같으므로 ∠ABE+∠BAE=∠BED ∠x+∠y=110ù yy`㉠ 또, ∠BCD는 △PCB의 한 외각이므로 ∠BCD=∠PBC+∠BPC ∠y=∠x+30ù ㉠에 대입하면 ∠x+(∠x+30ù)=110ù, 2∠x=80ù ∴ ∠x=40ù 답 40ù078
∠ACB=∠ADB=66ù 이때 점 I가 ABC의 내심이므로 ∠AIB=90ù+;2!;∠ACB=90ù+;2!;_66ù=123ù ∴ ∠BID =180ù-∠AIB=180ù-123ù =57ù 답 57ù 포인트 점 I가 삼각형 ABC의 내심일 때 A B C I ∠BIC=90ù+;2!;∠A079
오른쪽 그림과 같이 AOÓ를 연장하여 " # $ % ) 0 원 O와 만나는 점을 D라 하자. µAB의 원주각의 크기는 모두 같으므로 ∠ADB=∠ACB ADÓ는 원 O의 지름이므로 ∠ABD=90ù이고, 꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발 을 H라 하면 ∠ABD=∠AHC=90ù 즉, △ABD와 △AHC는 AA 닮음이므로 ADÓ`:`ABÓ=ACÓ`:`AHÓ 16`:`12=10`:`AHÓ ∴ AHÓ=:Á2°: 답:Á2°: 포인트 삼각형의닮음조건 ① 세 쌍의 대응변의 길이의 비가 같을 때 (SSS 닮음) ② 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고 그 끼인각의 크기 가 같을 때 (SAS 닮음) ③ 두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같을 때 (AA 닮음)080
OBÓ를 연장한 선과 원의 교점을 P라 하 " # $ 1 ADN 0 면 BPÓ가 원의 중심을 지나므로 ∠BCP=90ù, BPÓ=8`cm 이때 △ABC가 정삼각형이고 µ BC의 원 주각의 크기는 모두 같으므로 ∠A=∠BPC=60ù 직각삼각형 BCP에서 중학3-2기말해답(13-23)2단원.indd 20 2020-09-14 12:03:592. 원주각
21
084
ABÓ는 원 O의 지름이고 30ù 54ù A B C D E x O µAD=µ DE=µ BE이므로 AEÓ를 그으면 ∠BAE=;3!;_{;2!;_180ù}=30ù µAC`: µ BC=3`:`2이므로 ∠AEC=;5#;_{;2!;_180ù}=54ù ∠x+∠BAE+∠AEC=180ù이므로 ∠x+30ù+54ù=180ù ∴ ∠x=96ù 답96ù085
µAB의 길이는 원주의 5+2+4+9 =;4!;5 이므로 ∠ADB=;4!;_180ù=45ù µ CD의 길이는 원주의 5+2+4+9 =;5!;4 이므로 ∠CAD=;5!;_180ù=36ù 따라서 △APD에서 ∠APB=∠PAD+∠PDA=36ù+45ù=81ù 답81ù086
BCÓ를 그으면 ∠ABC+∠BCD=45ù A B C P D 45ù 10 O 원의 반지름의 길이를 r라 하면 (µAC+µ BD)`:`2pr=45ù`:`180ù 5p`:`2pr=1`:`4 2pr=20p ∴ r=10 따라서 원의 반지름의 길이는 10이다. 답③087
∠AOC=2∠ABC=2_30ù=60ù 60ù A B O C 2`m 30ù 의자 이때 AOÓ=COÓ이므로 ∠OAC=∠OCA =;2!;_(180ù-60ù)=60ù 즉, △AOC는 정삼각형이므로 AOÓ=2`m 따라서 이 연못의 반지름의 길이는 2`m이다. 답 2`m088
∠BAC=;2!;∠BOC=;2!;_102ù=51ù ∠ADB =∠CDO =180ù-(102ù+28ù)=50ù ∴ ∠ABO =180ù-(∠BAC+∠ADB) =180ù-(51ù+50ù) =79ù 답④089
∠ACB=∠a라 하면 ∠AOB=2∠a∠OAC=∠ACB=∠a yy 가
△OAD에서 2∠a+∠a+123ù=180ù BCÓ=BPÓ sin`60ù=8_ '3`2 =4'3 (cm) ∴ (정삼각형 ABC의 넓이)= '3`4 _(4'3 )Û` =12'3 (cmÛ`) 답 ④ 포인트 한 변의 길이가 a인 정삼각형의 a h a 1 2 12a 높이를 h, 넓이를 S라 하면 ① h=¾±aÛ`-{;2!; a}2= '3`2 a ② S=;2!; ah= '3`4 aÛ`
081
COÓ를 그으면 A B C O 8`cm 45ù 150ù ∠AOC=2∠ABC=2_45ù=90ù ∴ ∠COB=60ù ∴ ∠CAB=;2!;_∠COB =;2!;_60ù=30ù 따라서 오른쪽 그림과 같이 점 C A B C H 8`cm 30ù 45ù 에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H 라 하면 AHÓ=ACÓ cos`30ù =8_ '3`2 =4'3 (cm) CHÓ=ACÓ sin`30ù =8_;2!;=4 (cm) ∴ HBÓ=CHÓ=4`cm ∴ ABÓ=AHÓ+HBÓ=4'3+4 (cm) 답(4'3+4) cm082
ADÓ를 그으면 ABÓ는 반원 O의 지름 " # $ % 1 ± 0 이므로 ∠ADB=90ù µ BC=µ CD이므로 ∠CAD=∠BAC=25ù △DAP에서 ∠DPA=180ù-(90ù+25ù)=75ù 답 75ù083
BCÓ를 그으면 µAB의 길이는 A B C D P 원주의 ;6!;이므로 ∠ACB=;6!;_180ù=30ù µ CD=;5^; µAB이므로 ∠CBD=;5^;∠ACB=;5^;_30ù=36ù 따라서 △PBC에서 ∠APB=∠PCB+∠PBC=30ù+36ù=66ù 답 ③22
중3 (2학기 기말고사) 3∠a=57ù ∴ ∠a=19ù yy 나 ∠AOB=2_19ù=38ù yy 다 △OAB는 OAÓ=OBÓ인 이등변삼각형이므로 ∠OAB=∠OBA ∴ ∠CAB=∠OAB-∠OAD =;2!;_(180ù-38ù)-19ù=52ù yy 라 답52ù 단계 채점 요소 배점가 ∠ACB, ∠AOB, ∠OAC의 관계 알기 2점
나 ∠OAC의 크기 구하기 2점 다 ∠AOB의 크기 구하기 2점 라 ∠CAB의 크기 구하기 2점
090
∠ABC=;2!;(360ù-∠x)이므로 ∠x-45ù=;2!;(360ù-∠x) yy 가 ;2#;∠x=225ù ∴ ∠x=150ù yy 나 답 150ù 단계 채점 요소 배점 가 ∠x에 대한 식 세우기 2점 나 ∠x의 크기 구하기 2점091
PA³, PB³는 원 O의 접선이므로 224ù 136ù A B C O P 44ù D ∠OAP=∠OBP=90ù PBOA의 내각의 크기의 합은 360ù이므로 ∠APB+∠OAP+∠OBP+∠AOB=360ù에서 ∠APB+∠AOB=180ù ∴ ∠AOB=180ù-44ù=136ù µADB의 중심각의 크기는 360ù-136ù=224ù이고, µADB의 원주각의 크기는 ∠ACB이므로 ∠ACB=;2!;_224ù=112ù 답 ②092
∠BDC=∠BAC=52ù이므로 △DQC에서 ∠x=∠DCQ+∠CDQ=16ù+52ù=68ù 답 ④093
BRÓ를 그으면 A B C P Q R x 40ù 24ù ∠ARB=∠APB=24ù ∠BRC=∠BQC=40ù ∴ ∠x =∠ARB+∠BRC =24ù+40ù=64ù 답64ù094
오른쪽 그림과 같이 두 점 A, E를 연 A B C D E 40ù 20ù O 결하는 보조선을 그으면 ABÓ가 지름 이므로 ∠AEB=90ù yy 가 µ DE에 대한 원주각의 크기는 중심각 인 ∠DOE의 크기의 ;2!;이므로∠DAE=;2!;∠DOE=;2!;_40ù=20ù yy 나
직각삼각형 AEC에서 외각의 성질을 이용하면 ∠ACE+∠CAE=90ù ∠ACE =∠ACB=90ù-∠CAE =90ù-20ù=70ù yy 다 답 70ù 단계 채점 요소 배점 가 ∠AEB의 크기 구하기 2점 나 ∠DAE의 크기 구하기 2점 다 ∠ACB의 크기 구하기 2점
095
ADÓ를 그으면 ∠ACE=∠ADE이므로 A B C D E O ∠ACE+∠EDB =∠ADE+∠EDB =∠ADB =90ù 답 ④096
⑴ △ADQ에서 A B C D P Q x y 58ùO ∠CAD=;2!;∠COD=;2!;_58ù =29ù yy 가 ⑵ ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ACB=∠ADB=90ù △ADQ에서 ∠y=180ù-(90ù+29ù)=61ù yy 나 CPDQ에서 ∠x=360ù-(90ù+90ù+61ù)=119ù yy 다 답 ⑴ 29ù ⑵ ∠x=119ù, ∠y=61ù 단계 채점 요소 배점 가 ∠CAD의 크기 구하기 2점 나 ∠y의 크기 구하기 2점 다 ∠x의 크기 구하기 2점097
원 O의 반지름의 길이가 6`cm이므로 ABÓ=12`cm ABÓ가 원의 지름이고 △ABC가 원에 내접하므로 ∠ACB=90ù 따라서 △ABC는 직각삼각형이므로 △ABC에서 BCÓ=ABÓ sin`60ù =12_ '3`2 =6'3 (cm) 중학3-2기말해답(13-23)2단원.indd 22 2020-09-14 12:04:032. 원주각
23
ACÓ=ABÓ cos`60ù=12_;2!;=6 (cm) 따라서△ABC의 넓이는 ;2!;_6'3_6=18'3`(cmÛ`) 답18'3`cmÛ`098
APÓ, BPÓ를 그으면 A B C D P O µAC=µ CD=µ DB이므로 ∠APC=∠CPD=∠DPB ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠APB=90ù ∴ ∠CPD=;3!;∠APB=;3!;_90ù=30ù 답 ③099
µ BC=µ CD이므로 A B C D x 23ù ∠CBD=∠BDC=23ù ∠BAC=∠BDC=23ù ∠CAD=∠CBD=23ù ∴ ∠x =∠BAC+∠CAD=46ù 답 ②100
오른쪽 그림과 같이 AEÓ, BEÓ를 그으 A B C D E F G 28ù O 면 ABÓ는 지름이므로 ∠AEB=90ù yy 가 또 µAD=µ BF이므로 ∠ACD =∠AED=∠BEF =28ù yy 나 ∴ ∠DEF =∠AEB-(∠AED+∠BEF) =90ù-(28ù+28ù)=34ù yy 다 답 34ù 단계 채점 요소 배점 가 ∠AEB의 크기 구하기 1점 나 ∠AED, ∠BEF의 크기 구하기 각 1점 다 ∠DEF의 크기 구하기 1점101
4`:`8=15ù`:`∠x에서 ∠x=30ù ∠y=2∠x=2_30ù=60ù 답∠x=30ù, ∠y=60ù102
µAB가 원주의 ;9!;이므로 36ù 20ù A B C D P ∠ADB=180ù_;9!;=20ù µ CD가 원주의 ;5!;이므로 ∠CBD=180ù_;5!;=36ù 이때 ∠DBC는 △PBD의 한 외각이므로 ∠DPB+∠PDB=∠DBC ∠DPB+20ù=36ù ∴ ∠APB=∠DPB=16ù 답 ①103
∠APB=;2!;_210ù=105ù µ PB=2µ PA, 즉 µ PA`: µ PB=1`:`2이므로 ∠PBA`:`∠PAB=1`:`2 ∴ ∠PBA=;2!;∠PAB△PAB에서 105ù+∠PAB+;2!;∠PAB=180ù
;2#;∠PAB=75ù ∴ ∠PAB=50ù 답③
