∴ b=6 yy 나
(편차)=(변량)-(평균)에서 편차가 -2점인 학생이 받은 점수가 85점이므로
-2=85-(평균) ∴ (평균)=85+2=87(점) 따라서 편차가 b점인 학생이 받은 점수는
87+b=87+6=93(점) yy 다
답 93점
단계 채점 요소 배점
가 a의 값 구하기 2점
나 b의 값 구하기 2점
다 답 구하기 2점
069
평균이 5이므로3+8+a+5+6+b+2+7
8 =5, 31+a+b8 =5 31+a+b=40
∴ a+b=9 yy ㉠ yy 가
분산도 5이므로
;8!;_{(3-5)Û`+(8-5)Û`+(a-5)Û`+(5-5)Û`+(6-5)Û`
+(b-5)Û`+(2-5)Û`+(7-5)Û`}
=4+9+(a-5)Û`+0+1+(b-5)Û`+9+4 8
=27+(a-5)Û`+(b-5)Û`
8 =5
(a-5)Û`+(b-5)Û`=13 yy ㉡ yy 나 ㉠에서 b=9-a를 ㉡에 대입하면
(a-5)Û`+(9-a-5)Û`=13 (a-5)Û`+(4-a)Û`=13
2aÛ`-18a+28=0, aÛ`-9a+14=0 (a-2)(a-7)=0 ∴ a=2 또는 a=7 ㉠에 대입하면 a<b이므로
a=2, b=7 yy 다
답 a=2, b=7
단계 채점 요소 배점
가 a+b의 값 구하기 2점
나 (a-5)Û`+(b-5)Û`의 값 구하기 2점
다 답 구하기 2점
중학3-2기말해답().indd 44 2020-09-24 14:12:40
4. 대푯값과 산포도
45
단계 채점 요소 배점
가 k의 값 구하기 2점
나 분산 구하기 1점
다 표준편차 구하기 1점
073
⑴ 남학생의 수학 점수의 평균을 a점이라 하면 (전체 평균)= 10_a+20_70 10+20= 10a+1400 30 =70
이므로 10a+1400=2100, 10a=700 ∴ a=70 따라서 남학생의 수학 점수의 평균은 70점이다. yy 가 ⑵ 남학생과 여학생의 수학 성적의 평균이 같으므로 (표준편차)=¾Ð 10_100+20_130 10+20 =¾Ð 1000+260030
='¶120=2'¶30 (점) yy 나
답⑴ 70점 ⑵ 2'¶30 점
단계 채점 요소 배점
가 남학생의 수학 점수의 평균 구하기 3점
나 학급 전체의 수학 점수의 표준편차 구하기 3점
074
4개의 변량 a, b, c, d의 평균이 10이므로 a+b+c+d4 =10
∴ a+b+c+d=40 yy ㉠ yy 가
분산은
(a-10)Û`+(b-10)Û`+(c-10)Û`+(d-10)Û`
4 =3이므로
(a-10)Û`+(b-10)Û`+(c-10)Û`+(d-10)Û`=12
yy ㉡ yy 나
변량 2a-3, 2b-3, 2c-3, 2d-3의 평균은 ㉠에 의해 (2a-3)+(2b-3)+(2c-3)+(2d-3)
4
=;4!;_{2(a+b+c+d)-12}
=;4!;_(2_40-12)=17 yy 다 평균이 17이므로 분산은 ㉡에 의해
{(2a-3)-17}Û`+{(2b-3)-17}Û`+{(2c-3)-17}Û`+{(2d-3)-17}Û`
4
=;4!;_{4(a-10)Û`+4(b-10)Û`+4(c-10)Û`+4(d-10)Û`}
=12 yy 라
답12
단계 채점 요소 배점
가 a+b+c+d의 값 구하기 2점
나 (a-10)Û`+(b-10)Û`+(c-10)Û`+(d-10)Û` 의 값
구하기 2점
다 2a-3, 2b-3, 2c-3, 2d-3의 평균 구하기 2점 라 2a-3, 2b-3, 2c-3, 2d-3의 분산 구하기 2점
075
서로 다른 20개의 변량을 작은 값부터 크기순으로 xÁ, xª, x£, y, xÁ», xª¼이라 하면 가장 작은 변량을 제외한 19개의 변량의 평균이 36이므로 xª+x£+x¢+y+xª¼
19 =36
∴ xª+x£+x¢+y+xª¼=684 yy ㉠
가장 큰 변량을 제외한 19개의 변량의 평균이 32이므로 xÁ+xª+x£+y+xÁ»
19 =32
∴ xÁ+xª+x£+y+xÁ»=608 yy ㉡ ㉠-㉡을 하면
xª¼-xÁ=76 yy ㉢
가장 작은 변량과 가장 큰 변량의 합이 78이므로
xÁ+xª¼=78 yy ㉣
㉢, ㉣을 연립하여 풀면 xÁ=1, xª¼=77 xÁ=1을 ㉡에 대입하면 xª+x£+x¢+y+xÁ»=607 따라서 20개의 변량의 평균은 xÁ+xª+x£+y+xª¼
20 =1+607+77 20 =:Á;4#;¦:
답:Á;4#;¦:
076
변량 4, 8, a의 중앙값이 8이 되기 위해서는 a¾8 yy ㉠변량 12, 16, a의 중앙값이 12가 되기 위해서는 aÉ12 yy ㉡
㉠과 ㉡에 의해 8ÉaÉ12
따라서 자연수 a가 될 수 있는 것은 8, 9, 10, 11, 12이고, 이들의 합은
8+9+10+11+12=50 답50
077
8개 변량의 평균이 ;4%;이므로 -5-3+2+1+a+3+b+58 =;4%;
3+a+b=10 ∴ a+b=7 yy ㉠
최빈값이 3이므로 a, b 중 적어도 하나는 3이어야 한다.
Ú a=3이면 ㉠에 의해 b=4
Û b=3이면 ㉠에 의해 a=4이지만 a<b이어야 하므로 성립하지 않는다.
Ú, Û에서 a=3, b=4 답a=3, b=4
078
7개의 변량 2, 4, 1, 6, 7, 7, 3을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 1, 2, 3, 4, 6, 7, 7여기에 추가되는 자연수를 a라 하면 중앙값은 4.5가 되어 야 하므로
4+a
2 =4.5, 4+a=9 ∴ a=5
46
중3 (2학기 기말고사)4(a-12)Û`+4(b-12)Û`+4(c-12)Û`
12 =4
(a-12)Û`+(b-12)Û`+(c-12)Û`
3 =4
aÛ`-24a+144+bÛ`-24b+144+cÛ`-24c+144=12 aÛ`+bÛ`+cÛ`-24(a+b+c)+432=12
∴ aÛ`+bÛ`+cÛ` =24(a+b+c)-420
=24_36-420=444
(a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)이므로 36Û`=444+2(ab+bc+ca)
∴ 2(ab+bc+ca)=852
따라서 직육면체의 6개의 면의 넓이의 평균은 2(ab+bc+ca)
6 = 852 6 =142 답142
082
a, b, c의 평균이 m이므로m= a+b+c 3 ∴ a+b+c=3m ∴ sÛ`=(a-m)Û`+(b-m)Û`+(c-m)Û`
3
=;3!;{aÛ`+bÛ`+cÛ`-2m(a+b+c)+3mÛ`}
=;3!;(aÛ`+bÛ`+cÛ`-2m_3m+3mÛ`) =;3!;(aÛ`+bÛ`+cÛ`-3mÛ`)
=aÛ`+bÛ`+cÛ`
3 -mÛ` 답 ②
포인트 마찬가지 방법으로 n개의 변량 xÁ, xª, x£, y, xn
의 평균을 m, 분산을 sÛ`이라 하면 sÛ`=xÁÛ`+xªÛ`+x£Û`+y+xnÛ`
n -mÛ`
083
75점을 얻은 학생을 x명, 85점을 얻은 학생을 y명이라 하 면 전체 학생 수가 10명이므로1+2+x+y+1=10 ∴ x+y=6 yy ㉠ 평균 점수는 77점이므로
55_1+65_2+75x+85y+95_1 10
= 280+75x+85y10 =77 ∴ 75x+85y=490 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=2, y=4
따라서 75점을 얻은 학생은 2명이다. 답2명
084
도수의 합이 20이므로 3+a+5+2+4+b=20 ∴ a+b=6 yy ㉠ 평균이 53이므로8개의 수를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7
이고 중앙값은 4.5, 최빈값은 7이다. 여기에 자연수를 하 나 추가하여 중앙값이 4, 최빈값이 1과 7이 되려면 추가되 는 수는 1이다.
따라서 9개의 수는 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7이므로 (평균)= 1+1+2+3+4+5+6+7+7 9
=:£9¤:=4 답 4
포인트 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7에 하나의 자연수를 더 추가 하여 중앙값이 4가 되도록 4를 추가하면 최빈값이 4와 7이 되어 문제의 조건에 맞지 않으므로 유의하자.
079
A의 몸무게는 60`kg, 편차가 2`kg이므로 평균은 58`kg이다.㈎=(평균)이므로 ㈎=58
C의 몸무게가 52`kg이므로 (편차)=52-58=-6 ∴ ㈏=-6
D의 편차가 1kg이므로 ㈐=59 편차의 합이 0이므로
2+0+(-6)+1+㈒=0 ∴ ㈒=3
E의 편차가 3`kg이므로 E의 몸무게는 61`kg이다.
∴ ㈑=61
∴ ㈎+㈏+㈐+㈑+㈒=58-6+59+61+3
=175 답 ②
080
xÁ+xª+x£+x¢+x°5 =7이므로
xÁ+xª+x£+x¢+x°=35
xÁ, xª, x£, y, x¦의 평균을 구하면 35+13+15
7 =9
5개의 자연수 xÁ, xª, x£, x¢, x°의 분산이 12이므로 xÁÛ`+xªÛ`+x£Û`+y+x°Û`
5 -7Û`=12 ∴ xÁÛ`+xªÛ`+x£Û`+y+x°Û`=305
7개의 자연수 xÁ, xª, x£, y, x¦의 분산을 구하면 (분산)= 305+13Û`+15Û` 7 -9Û`= 1327
답 평균: 9, 분산: 1327
081
가로, 세로의 길이, 높이가 각각 a, b, c인 직육면체의 모 서리의 길이의 평균이 12이므로4a+4b+4c 12 =12 a+b+c
3 =12 ∴ a+b+c=36
직육면체의 모서리의 길이의 분산이 4이므로
중학3-2기말해답().indd 46 2020-09-24 14:12:41
4. 대푯값과 산포도
47
30_3+40_a+50_5+60_2+70_4+80_b
20 =53
40a+80b=320
∴ a+2b=8 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=2
분산을 구하면
sÛ`=;2Á0;_{(30-53)Û`_3+(40-53)Û`_4+(50-53)Û`_5 +(60-53)Û`_2+(70-53)Û`_4+(80-53)Û`_2}
=;2Á0;_5020 =251
∴ a=4, b=2, sÛ`=251
답 a=4, b=2, sÛ`=251
085
A학급 20명의 각각의 점수를 xÁ, xª, y, xª¼이라 하고, B학급 20명의 각각의 점수를 yÁ, yª, y, yª¼이라 하면 xÁÛ`+xªÛ`+x£Û`+y+xª¼Û`20 -60Û`=20, yÁÛ`+yªÛ`+y£Û`+y+yª¼Û`
20 -66Û`=4에서 xÁÛ`+xªÛ`+y+xª¼Û`=72400, yÁÛ`+yªÛ`+y+yª¼Û`=87200
전체 40명의 평균 점수는 20_60+20_66 20+20 =63(점)이므로 (분산)
=xÁÛ`+xªÛ`+x£Û`+y+xª¼Û`+yÁÛ`+yªÛ`+y£Û`+y+yª¼Û`
40 -63Û`
=3990-3969=21
∴ (표준편차)='¶21 (점) 답 '¶21`점
086
A=;1Á0;(xÁ+xª+y+x¥+5+6) =;1Á0;_(3_8+5+6)=;2&;xÁ, xª, x£, y, x¥의 분산이 4이므로 ;8!;(xÁÛ`+xªÛ`+y+x¥Û`)-3Û`=4에서 xÁÛ`+xªÛ`+y+x¥Û`=104이므로
B=;1Á0;(xÁÛ`+xªÛ`+y+x¥Û`+5Û`+6Û`)-{;2&;}2 =;1Á0;_(104+5Û`+6Û`)-:¢4»:=:Á4¦:
∴ A+B=;2&;+:Á4¦:=:£4Á: 답 ⑤
087
세 학생 A, B, C의 점수를 각각 a점, b점, c점이라 하면 a+b2 =75, a+c 2 =63, b+c 2 =80 a+b=150 yy ㉠
a+c=126 yy ㉡ b+c=160 yy ㉢
㉠-㉡을 하면 b-c=24 yy ㉣ ㉢, ㉣을 연립하여 풀면 b=92, c=68
b=92를 ㉠에 대입하면 a=58
따라서 점수가 높은 사람부터 순서대로 적으면 B, C, A이
다. 답④
088
(도수의 합)=14+a+b=20 ∴ a+b=6 yy ㉠(평균)= 6_2+7_a+8_8+9_b+10_420 =8 116+7a+9b=160
7a+9b=44 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=5, b=1 답a=5, b=1
089
자료 A의 중앙값이 8이므로 세 번째로 큰 수가 8이다.∴ a=8
자료 B의 중앙값이 10이므로 세 번째와 네 번째 수의 평균 이 10이다.
a=8이므로 b=12이어야 한다.
∴ b-a=12-8=4 답4
090
⑴ 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 2, 3, 4, 6, 6, 8, 10, 10, 13, 14평균은
2+3+4+6_2+8+10_2+13+14 10 =;1&0^;=7.6(개)
yy 가
⑵ 중앙값은 5번째 값 6과 6번째 값 8의 평균이므로
6+8 2 =7(개) yy 나
답⑴ 7.6개 ⑵ 7개
단계 채점 요소 배점
가 턱걸이 횟수의 평균 구하기 2점
나 턱걸이 횟수의 중앙값 구하기 2점
091
도수의 합이 20이므로a+6+5+4+3=20 ∴ a=2
∴ M= 6_2+7_6+8_5+9_4+10_3 20 =:Á2¤0¼:=8
중앙값은 10번째와 11번째 값의 평균이고 10번째와 11번 째 값이 모두 8이므로
Me=8
도수가 가장 큰 변량은 7이므로
48
중3 (2학기 기말고사)∴ (평균)=65+3=68 (kg) yy 가 학생 E의 편차가 4`kg이고, 평균이 68`kg이므로
학생 E의 몸무게는
68+4=72 (kg) yy 나
답72`kg
단계 채점 요소 배점
가 몸무게의 평균 구하기 2점
나 답 구하기 2점
097
(평균)= 1+2+2+3+3+3+3+4+4+510 =;1#0);=3(점)∴ (분산)=(-2)Û`+(-1)Û`_2+0Û`_4+1Û`_2+2Û`
10 =;1!0@;=1.2
답 ②
098
편차의 합이 0이므로x+1+0+(-1)+2=0 ∴ x=-2 yy 가 (편차)=(변량)-(평균), 즉 (평균)=(변량)-(편차) 이므로 연극을 관람한 평균은
10-(-2)=12(회) yy 나
분산은
(-2)Û`+1Û`+0Û`+(-1)Û`+2Û`
5 =2
따라서 표준편차는 '2 회이다. yy 다
답 평균: 12회, 표준편차: '2 회
단계 채점 요소 배점
가 x의 값 구하기 2점
나 평균 구하기 2점
다 표준편차 구하기 2점
099
편차의 합이 0이므로 3+(-2)+x+1+y+2=0 ∴ x+y=-4분산이 4이므로
3Û`+(-2)Û`+xÛ`+1Û`+yÛ`+2Û`
6 =4
∴ xÛ`+yÛ`=6
(x+y)Û`=xÛ`+yÛ`+2xy이므로
(-4)Û`=6+2xy ∴ xy=5 답 5
100
(평균)=(a-4)+(a-1)+a+(a+2)+(a+3) 5= 5a 5 =a
평균이 a이므로 5개의 변량의 편차를 각각 구하면 -4, -1, 0, 2, 3이므로
Mo=7
∴ M=Me>Mo 답 ①