ㄱ. ABFE가 원 O에 내접하 "
# $
& % (
'
0 0
므로
∠BAE=∠EFC yy ㉠ EFCD가 원 O'에 내접하
므로
∠EFC+∠EDC=180ù ㉠에 의해
∠BAE+∠EDC =180ù (참)
ㄴ. EDÓ를 연장하여 그림과 같이 ED³ 위의 점을 G라 하자.
EFCD가 원 O'에 내접하므로 ∠CDG=∠EFC yy ㉡ ㉠, ㉡에서
∠BAE=∠CDG로 동위각의 크기가 같으므로 ABÓCDÓ (참)
ㄷ. ABFE가 원 O에 내접하므로 ∠ABF=∠DEF (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 답 ㄱ, ㄴ, ㄷ
포인트 서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때,
① 두 직선이 평행하면 동위각의 크기는 서로 같다.
② 두 직선이 평행하면 엇각의 크기는 서로 같다.
③ 동위각의 크기가 같으면 두 직선은 평행하다.
④ 엇각의 크기가 같으면 두 직선은 평행하다.
038
⑴ ATê가 원의 접선이므로 ∠x=∠BAT=50ù ⑵ ATê가 원의 접선이므로 ∠BCA=∠BAT=85ù△ABC에서 세 내각의 크기의 합이 180ù이므로 ∠x=180ù-(85ù+35ù)=60ù
답 ⑴ 50ù ⑵ 60ù
039
원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같으므로 ∠x=∠BAC=75ù, ∠y=∠ABT=55ù답 ∠x=75ù, ∠y=55ù
040
∠x=∠ACB=40ù, ∠y=∠CAT=100ù∴ ∠y-∠x=100ù-40ù=60ù 답60ù
041
BTÓ=BPÓ이므로 △BTP는 이등변삼 "# Y ±1
±
5 ±
각형이다.
∴ ∠BTP=∠BPT=30ù PTÓ는 원의 접선이므로 ∠BTP=∠BAT=30ù
△ATP의 세 내각의 크기의 합이 180ù이므로 (∠x+30ù)+30ù+30ù=180ù
∴ ∠x=180ù-90ù=90ù 답⑤
042
∠ATP=∠ABT=110ù이므로 △ATP에서∠x=180ù-(42ù+110ù)=28ù 답28ù
043
원 O에 △ABP가 내접하도록 점 P를 1 #0
±
±
" 5 잡으면 접선과 현이 이루는 각의 성질
에 의해 AT³가 원 O의 접선이므로 ∠APB=∠BAT=50ù
µAB에 대한 중심각의 크기가 원주각 의 크기의 2배이므로
∠AOB=2∠APB=2_50ù=100ù 답①
044
AOÓ=COÓ이므로 ∠ACO=∠CAO=28ù ∠DOA=∠DCO=28ù△CAO에서
∠COB=28ù+28ù=56ù이므로
∠DOC=180ù-(28ù+56ù)=96ù 답96ù
28
중3 (2학기 기말고사)045
∠CAD=∠CBA=∠a "# $ % ∠ADE=∠EDB=∠b라 하면
△ABD에서
∠a+2∠b+(38ù+∠a)=180ù 2(∠a+∠b)=142ù
∴ ∠a+∠b=71ù
△EBD에서 ∠AED=∠EBD+∠EDB이므로
∠x=∠a+∠b=71ù 답71ù
046
∠x=∠DCT'=43ù∠BCD=180ù-(37ù+43ù)=100ù이므로 ∠y=180ù-100ù=80ù
∴ ∠x+∠y=43ù+80ù=123ù 답 ⑤
047
원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같으므로 ∠DBC=∠DCT=64ùABCD가 원에 내접하므로 "
∠BCD+∠BAD=180ù ∠BCD =180ù-∠BAD
=180ù-93ù=87ù △BCD의 세 내각의 크기의 합은
180ù이므로
∠x=180ù-(64ù+87ù)=29ù 답29ù
048
∠BTP=∠BAT=41ù, ∠PBT=∠ACT=105ù이므로 △BPT에서∠BPT=180ù-(105ù+41ù)=34ù 답34ù
049
BCÓ를 그으면 △ABC는 이등변 "∠ABC=∠ACB=∠a라 하자.
∠BAC=180ù-2∠a
∠BCP=∠BAC이므로 △BPC에서 ∠ABC=∠BPC+∠BCP
∠a=30ù+(180ù-2∠a) 3∠a=210ù ∴ ∠a=70ù
∴ ∠ADC=180ù-∠a=180ù-70ù=110ù 답 ②
050
∠ABC+∠ADC=180ù이므로 "# Y %
±
5 $ 5
∠ADC=180ù-70ù=110ù BDÓ를 그으면 µAB=µ BC이므로 ∠ADB=∠BDC=;2!;_110ù=55ù
∴ ∠x=∠BDC=55ù 답55ù
051
∠ACB=∠ABT=∠aACÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ABC=90ù
△ABC에서
∠CAB=180ù-(90ù+∠a)=90ù-∠a ∴ ∠CBT'=∠CAB=90ù-∠a
△CBT'에서 ∠ACB=∠CBT'+∠CT'B이므로 ∠a=(90ù-∠a)+∠CT'B
∴ ∠AT'B=∠CT'B=2∠a-90ù 답 ④
052
ABÓ와 원 O의 교점을 C라 하고, CPÓ를 그으면 ∠APC=90ù∠BPC=∠CAP=27ù
△ABP의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로
△ABP에서
∠APB+∠BAP+∠ABP=180ù (90ù+27ù)+27ù+∠x=180ù
∴ ∠x=180ù-144ù=36ù 답 36ù ∠PTA=∠ABT=30ù
ABÓ가 원 O의 중심을 지나므로 ∠ATB=90ù
직각삼각형 ATB에서 삼각비 를 이용하면
ATÓ=ABÓ_sin`B=16_sin`30ù =16_;2!;=8 (cm)
BTÓ=ABÓ_cos`B=16_cos`30ù =16_ '3`2 =8'3 (cm) ∴ △ATB=;2!;_ATÓ_BTÓ =;2!;_8_8'3
054
PTÓ=TBÓ이므로 ∠PBT=∠x"
∠ATP=∠ABT=∠x ABÓ가 지름이므로 ∠ATB=90ù
중학3-2기말해답().indd 28 2020-09-24 14:12:03
3. 원주각의 활용
29
△BPT에서
∠x+(∠x+90ù)+∠x=180ù이므로
3∠x=90ù ∴ ∠x=30ù 답 30ù
055
BCÓ를 그으면" #
$ 0 %
±
∠BCD=∠BAC=30ù
∠ABC =180ù-(90ù+30ù)
=60ù △BCD에서
∠BCD+∠BDC=∠ABC이므로 30ù+∠BDC=60ù ∴ ∠BDC=30ù 즉, △BCD는 BCÓ=BDÓ인 이등변삼각형이다.
∴ BDÓ=BCÓ=ABÓ_sin`30ù=12'3_;2!;=6'3
답6'3
056
ACÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ADC=90ù µAB에 대한 원주각의 크기가 같으므로 ∠ACB=∠ADB=90ù-60ù=30ù ∠DCB=∠DBT=80ù이므로∠x+30ù=80ù ∴ ∠x=50ù 답 50ù
057
∠ABT=∠ATP=33ù이므로∠x=2∠ABT=2_33ù=66ù 답 66ù
058
ADÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ABD=90ù ABCD가 원 O에 내접하므로 ∠DAB=180ù-130ù=50ù△ABD에서 ∠ADB=180ù-(90ù+50ù)=40ù이므로
∠x=∠ADB=40ù 답 40ù
059
DCÓ를 그으면 "$
%
0 1
±
Y
5 # 5
∠CDB=∠CBT'=25ù ∠ADB =90ù-∠CDB
=90ù-25ù=65ù
∠DBT'=∠ADB=65ù (엇각)이고 µ CD에 대한 원주각의 크기가 같으므로 ∠DAC=∠DBC=65ù-25ù=40ù △APD에서
∠x=180ù-(40ù+65ù)=75ù 답 ①
060
cos`x=;5$;이면 sin`x=;5#;이고"
5 #
$ 0 $
ADN Y
Y ∠C=∠C'이므로 Y
△ABC'에서 sin`x= ABÓ
AC'Ó , ;5#;= 12 AC'Ó
∴ AC'Ó=20 (cm)
따라서 원 O의 지름의 길이는 20`cm이다.
답20`cm
061
∠APC=90ù이므로 ∠CPB=180ù-(50ù+90ù)=40ù ∠PCA=∠APQ=50ù이므로∠PCB=180ù-50ù=130ù
△PCB에서 ∠PCA=∠CPB+∠PBC이므로 50ù=40ù+∠PBC ∴ ∠PBC=10ù
∴ ∠PCB-∠PBC=130ù-10ù=120ù 답120ù
062
BDÓ=BFÓ이므로∠BDF=∠BFD=;2!;_(180ù-40ù)=70ù ∠EDC=∠EFD=55ù이므로
∠x=180ù-(70ù+55ù)=55ù 답55ù
포인트 원 밖의 점 P에서 원 O에 그 A
B O 은 두 접선의 접점을 각각 A, B라 P
할 때
PAÓ=PBÓ
063
∠y=∠ACB=65ù이고TAÓ=TBÓ이므로 ∠TAB=∠y=65ù △ATB에서 ∠x=180ù-(65ù+65ù)=50ù
답 ∠x=50ù, ∠y=65ù
064
PTÓ=PT'Ó이므로∠PTT'=;2!;_(180ù-44ù)=68ù ∠TAT'=∠PTT'=68ù
∠T'TA=∠x이고 µAT=µAT'이므로 ∠TT'A=∠T'TA=∠x
△ATT'에서 ∠x+∠x+68ù=180ù
∴ ∠x=56ù 답56ù
065
△APB는 PAÓ=PBÓ인 이등변삼각형이므로 ∠PBA=;2!;_(180ù-56ù)=62ùADÓPBÓ이므로 ∠DAB=∠PBA=62ù (엇각) ABCD가 원에 내접하므로
∠x=180ù-62ù=118ù 답118ù
066
△CQD는 CQÓ=DQÓ인 이등변삼 "#
$
%
1 2
±
±
Y 각형이므로 Z
∠DCQ =∠CDQ
=34ù+26ù=60ù ∴ ∠x=180ù-2_60ù=60ù BCÓ를 그으면
30
중3 (2학기 기말고사)∠BCP=∠BDC=26ù이므로 ∠BCD=180ù-(26ù+60ù)=94ù ∴ ∠y=180ù-94ù=86ù
∴ ∠x+∠y=60ù+86ù=146ù 답 ④
∠BPT'=∠BAP=73ù,
∠CPT=∠BPT'=73ù (맞꼭지각) 또 ∠DPT'=∠DCP=62ù이고
∠CPD+∠CPT+∠DPT'=180ù이므로 73ù+∠x+62ù=180ù
∴ ∠x=180ù-135ù=45ù 답45ù ∠ABT=∠ATP
∴ ∠x=70ù ∠y=∠CTQ이고
∠CTQ=∠ATP=70ù (맞꼭지각)
∴ ∠y=70ù 답∠x=70ù, ∠y=70ù 다른 풀이
외접하는 두 원이 점 T에서 접하고 PQê가 공통인 접선이면 ABÓDCÓ이므로 ∠ABD=∠CDB (엇각)
∴ ∠x=∠y
접선과 현이 이루는 각의 성질에 의해 ∠x=∠ATP=70ù
∴ ∠x=∠y=70ù
∠CPT'=∠CDP=80ù, ∠APT=∠CPT'=80ù
(맞꼭지각)
또 ∠ABP=∠APT=80ù이므로 ∠x =180ù-∠ABP
∠ABT=∠DTP=∠DCT ∴ ∠x=74ù
또 ∠BAT=∠BTQ이므로
∠y=65ù 답∠x=74ù, ∠y=65ù
다른 풀이
두 원의 접점이 T이고 공통인 접선이 PQê이므로 ABÓDCÓ
∴ ∠x=∠DCT=74ù (동위각) 접선과 현이 이루는 각의 성질에 의해 ∠y=∠BAT=65ù
071
∠DBC=∠x라 하면 ∠ADB=∠x+32ù ∠CBY=∠CAB=58ùBCÓ가 작은 원과 만나는 점을 E라 하고 DEÓ를 그으면
∠EDB=∠EBY=58ù
ACÓ가 작은 원의 접선이고 점 D가 접점이므로 ∠BED=∠ADB=∠x+32ù
△DBE에서
(∠x+32ù)+58ù+∠x=180ù 2∠x+90ù=180ù
∴ ∠x=45ù 답 45ù
072
③ ∠ABT=∠ATP=∠CDT, ∠BAT=∠BTQ=∠DCT이므로 △ATB»△CTD (AA 닮음)∠ADB=180ù-(75ù+25ù)=80ù yy 가 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로
∠x=∠ADB=80ù yy 나
답 80ù
중학3-2기말해답().indd 30 2020-09-24 16:47:12