그 호에 대한 중심각의 크기의;2!;이다.
∠APB=;2!;∠AOB
011
△ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로 ∠B=;2!;_(180ù-40ù)=70ùABCD가 원에 내접하므로 ∠ABC+∠ADC=180ù ∴ ∠ADC =180ù-∠ABC
=180ù-70ù=110ù
답 ④
012
CDÓ를 그으면 사각형 ABCD에서±
± ±
"
#
$ %
&
∠ABC+∠ADC=180ù이므로 ±
∠ADC=180ù-105ù=75ù 사각형 ACDE에서
∠AED+∠ACD=180ù이므로 ∠ACD=180ù-130ù=50ù
△ACD에서 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로
∠CAD=180ù-(50ù+75ù)=55ù 답 55ù
001
⑴ 두 각 ∠CAD, ∠CBD의 크기가 같으므로∠x=∠CAD=32ù
⑵ 두 각 ∠ACB, ∠ADB의 크기가 같으므로
∠x=∠ADB=40ùÙ
답⑴ 32ù ⑵ 40ù
002
③ 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있을 조건은∠ABD=∠ACD=53ù 또는 ∠ACB=∠ADB=53ù 이다.
따라서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있지 않은 것은
③이다.
답 ③
003
네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으 "# $
Y %
±
±
±
므로
∠ACB=∠ADB
△ABD의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로
∠BAD+∠ABD+∠ADB=180ù 63ù+50ù+∠ADB=180ù
∴ ∠ADB=67ù
∴ ∠x=67ù 답 ④
004
네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로 ∠BAC=∠BDC=65ù△ABP의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로
∴ ∠APB=180ù-(65ù+30ù)=85ù 답85ù
005
△ABP에서∠BAP=180ù-(50ù+75ù)=55ù ∴ ∠x=∠BAC=55ù
∠DBC=∠DAC=30ù이므로 △PBC에서
30ù+∠y=75ù ∴ ∠y=45ù
∴ ∠x+∠y=55ù+45ù=100ù 답 100ù
포인트 삼각형의 한 외각의 크기는 A
B C D
a b
그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기
의 합과 같다.
∠ACD=∠a+∠b
006
⑴ ∠x=180ù-60ù=120ù, ∠y=180ù-130ù=50ù ⑵ △BCD에서 ∠y=180ù-(60ù+50ù)=70ù ∠x=180ù-70ù=110ù답⑴ ∠x=120ù, ∠y=50ù ⑵ ∠x=110ù, ∠y=70ù
3 원주각의 활용
본문 044~064쪽중학3-2기말해답().indd 24 2020-09-24 14:11:48
3. 원주각의 활용
25 017
⑴ ∠x=∠BAD=106ù⑵ △ACD에서 ∠D=180ù-(40ù+45ù)=95ù ∴ ∠x=∠D=95ù
∠BAD=∠DCE ∴ ∠x=110ù
원에 내접하는 사각형은 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180ù이므로 ∠ABC+∠ADC=82ù+∠y=180ù ∴ ∠y=180ù-82ù=98ù
∴ ∠x+∠y=110ù+98ù=208ù 답208ù
019
원에 내접하는 사각형에서 한 외각의 크기는 그 내대각의 크기와 같으므로 ∠BAD=∠DCE=95ù∴ ∠CAD=∠BAD-∠BAC=95ù-50ù=45ù 한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기가 모두 같으므로 ∠x=∠CBD=∠CAD=45ù
답②
020
△OBC는 OBÓ=OCÓ인 이등변삼각형이므로 ∠BOC=180ù-2_35ù=110ù∴ ∠BAC=;2!;∠BOC=;2!;_110ù=55ù
∠BAD=∠BAC+∠CAD=55ù+30ù=85ù이므로
∠x=∠BAD=85ù 답85ù
021
∠ADC=∠ABE=60ù이므로 ∠x+35ù=60ù ∴ ∠x=25ù ADÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ABD=90ù △ABD에서 ∠BAD=180ù-(90ù+35ù)=55ù ∠BAD+∠BCD=180ù이므로∠y=180ù-55ù=125ù
∴ ∠y-∠x=125ù-25ù=100ù
답100ù
∠APÁB=∠APªB=∠AP£B =;2!;∠AOB=90ù
022
∠ABP=180ù-130ù=50ù이므로 △APB에서∠PAB=180ù-(60ù+50ù)=70ù ABCD가 원에 내접하므로 ∠ABC+∠AEC=180ù이므로 ∠AEC =180ù-∠ABC
=180ù-105ù=75ù
µ CD에 대한 원주각인 ∠CAD와 ∠CED는 크기가 같으므로 ∠CAD =∠CED=∠AED-∠AEC
=130ù-75ù=55ù
013
∠A+∠C=180ù이고, ∠A`:`∠C=4`:`5이므로∠A=180ù_ 44+5 =80ù 답 80ù ∠AEC=∠ADC=80ù
△AFE에서 한 외각의 크기는 이웃하지 않는 두 내각의
∠APÁB =∠APªB
=∠AP£B
∠AEC=180ù-80ù=100ù ∠CED=;2!;∠COD =;2!;_60ù=30ù
∴ ∠AED =∠AEC+∠CED
=100ù+30ù=130ù 답 130ù
016
BDÓ를 그으면 ABDE가 원 O에 " ∴ ∠BDE=104ù∠BDC=150ù-104ù=46ù이므로
∠x=2∠BDC=2_46ù=92ù 답 92ù
26
중3 (2학기 기말고사)023
△PCD의 세 내각의 크기의 합이" ±
%
# $
1± ±
180ù이므로
∠PDC =180ù-(35ù+82ù)
=63ù
원에 내접하는 사각형에서 한 외각 의 크기는 그 내대각의 크기와 같으므로
∠ABP=∠ADC=63ù 답63ù
다른 풀이
ABCD가 원에 내접하므로 ∠BAD+∠BCD=180ù
∠BAD=180ù-∠BCD=180ù-82ù=98ù
△APB에서 한 외각의 크기는 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같으므로
∠BAD=∠APB+∠ABP
∴ ∠ABP=∠BAD-∠APB=98ù-35ù=63ù
024
△QBC에서 ∠QCP=∠x+33ù ABCD가 원에 내접하므로 ∠CDP=∠ABC=∠x이고 △DCP에서∠x+(∠x+33ù)+53ù=180ù
2∠x=94ù ∴ ∠x=47ù 답47ù
025
∠ADC=∠ABE=78ù이므로 ∠BDC=78ù-38ù=40ù ∠ACB=∠ADB=38ù이므로 ∠BCD=56ù+38ù=94ù ∠BAD+∠BCD=180ù이므로 ∠BAD=180ù-94ù=86ù∴ ∠BAD+∠BDC=86ù+40ù=126ù 답 ③
026
ACÓ를 그으면 한 호에 대한 원주각±
±
# $
%
0
&
±
"
의 크기는 중심각의 크기의;2!;이므로 ∠BAC=;2!;∠BOC
=;2!;_96ù=48ù
한 원에서 호의 길이가 같으면 원주각의 크기도 같다. 즉, µ BC=µ CD이므로
∠CAD=∠BAC=48ù ∴ ∠BAD=48ù+48ù=96ù
원에 내접하는 사각형 ABCD에서 한 외각의 크기는 그 내대각의 크기와 같으므로
∠DCE=∠BAD=96ù 답96ù
다른 풀이
µ BC의 중심각의 크기인 ∠BOC=96ù이고 µ BC=µ CD이므 로 µ CD의 중심각의 크기는 ∠COD=96ù
∴ ∠DBC=∠BDC=;2!;∠BOC
"
# $
% 0
&
±±
=;2!;_96ù=48ù BDÓ를 그으면 ∠DCE는 △BCD의
한 외각이므로
∠DCE =∠DBC+∠BDC
=2_48ù=96ù
027
∠A+∠C=180ù이고, ∠A`:`∠C=3`:`2이므로 ∠A=180ù_ 33+2 =108ù∠D=∠A-28ù=108ù-28ù=80ù이므로
∠ABE=∠D=80ù 답 80ù
028
⑴ ∠x+92ù=180ù이어야 하므로 ∠x=88ù ⑵ ∠x=∠BCD이어야 하므로∠x=180ù-∠DCE=180ù-75ù=105ù
답 ⑴ 88ù ⑵ 105ù
포인트 사각형의 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180ù이거나 한 외각의 크기가 그 내대각의 크기와 같으면 그 사각형은 원에 내접한다.
029
① ∠BAD=180ù-77ù=103ù이므로 ∠DCE+∠BAD따라서 ABCD는 원에 내접하지 않는다.
② ∠D=180ù-(35ù+40ù)=105ù이므로 ∠B+∠D=75ù+105ù=180ù 따라서 ABCD는 원에 내접한다.
③ ∠BDC+∠ACD=105ù이므로
∠BDC=105ù-30ù=75ù
∠BAC=∠BDC이므로 ABCD는 원에 내접한다.
④ ∠BAC=∠BDC=90ù이므로 ABCD는 원에 내접 한다.
⑤ ∠B+∠D=56ù+124ù=180ù이므로 ABCD는 원에 내접한다.
따라서 ABCD가 원에 내접하지 않는 것은 ①이다.
답 ①
030
△APD에서 ∠DAP=180ù-(130ù+15ù)=35ù ABCD가 원에 내접하려면 ∠x=∠DAC=35ù답 ③
031
ABCD가 원에 내접하려면 ∠ABC=180ù-135ù=45ù△ABF에서 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내 각의 크기의 합과 같으므로 ∠EAF=45ù+30ù=75ù △ADE에서
∠x+75ù=135ù ∴ ∠x=60ù 답 60ù
중학3-2기말해답().indd 26 2020-09-24 14:11:55
3. 원주각의 활용
27 032
①, ② ∠ABC=∠ADE 또는 ∠ADC=∠ABF이면 사각형의 한 외각의 크기가 그 내대각의 크기와 같으므로
ABCD는 원에 내접한다.
③, ④ ∠BAC=∠BDC 또는 ∠CBD=∠CAD이면
ABCD는 원에 내접한다.
⑤ ∠ABC+∠ADC=180ù이면 ABCD는 원에 내접 한다.
따라서 ABCD가 원에 내접하기 위한 조건이 아닌 것은
⑤이다. 답 ⑤
033
ABQP가 원에 내접하므로 한 쌍의 대각의 크기의 합은 180ù이다. 즉,∠A+∠x=180ù이므로 ∠x =180ù-∠A
=180ù-85ù=95ù
또 PQCD가 원에 내접하므로 한 외각의 크기와 그 내대 각의 크기가 같으므로
∠y=∠x=95ù
∴ ∠x+∠y=95ù+95ù=190ù 답 190ù
034
∠x =∠QPD=∠DCR=97ù 답 97ù
035
∠BQP=;2!;_220ù=110ù∴ ∠PDC=∠BQP=110ù 답 110ù
036
∠x =∠CDF=∠FEG=180ù-92ù=88ù 답 88ù