대한 원주각의 크기에 정비례한다.
∠x`:`∠y=µAB`: µ BC
113
ATÓ를 그어" #
5
1 0
2 B C B
C ∠ATP=∠ABT=∠a,
∠TPQ=∠QPB=∠b라 하면 △PAT에서
∠TAB=∠a+2∠b이고 ∠ATB=90ù이므로 ∠TAB+∠ABT=90ù에서 ∠a+2∠b+∠a=90ù
2(∠a+∠b)=90ù ∴ ∠a+∠b=45ù 따라서 △QPB에서
∠TQP =∠QBP+∠QPB
=∠a+∠b=45ù 답45ù
114
PQê는 두 원의 접선이므로 "#
$
% 5
1
2 Y
±
±
Z ∠x=∠ATP
=∠CTQ (맞꼭지각)
=∠CDT=56ù
∠y=∠DTP
=∠BTQ (맞꼭지각)
=∠BAT=62ù
답∠x=56ù, ∠y=62ù
다른 풀이
외접하는 두 원의 접점이 T이고 공통인 접선이 PQê이면 ABÓCDÓ이므로
∠x=∠BDC=56ù (엇각) ∠y=∠CAB=62ù (엇각)
001
⑴ 25+40+15+10+305 = 120` 5 = 24
⑵ 5+8+7+ +3
5 =23+ 2 5 =5
답⑴ 5, 24 ⑵ 2, 5
002
4반의 학생 수를 x명으로 놓으면 한 반의 학생 수의 평균 이 25명이므로29+23+22+x+26+20+24
7 =25
144+x=175 ∴ x=31
따라서 4반의 학생 수는 31명이다. 답 ⑤
003
a+b+c+d+e 5 =20이므로 a+b+c+d+e=20_5=100 ∴ (평균)= 3+a+b+c+d+e+2 7 = 3+100+27=15 답15
004
70명의 학생의 평균이 55점이므로 전체 학생이 받은 총점 은 70_55=3850(점)40명의 남학생의 평균이 49점이므로 남학생이 받은 총점 은 40_49=1960(점)
30명의 여학생의 평균을 A점이라 하면 여학생이 받은 총 점은 30A(점)
(전체 학생의 총점)
=(남학생이 받은 총점)+(여학생이 받은 총점)이므로 3850=1960+30A, 30A=1890
∴ A=63
따라서 여학생의 성적의 평균은 63점이다. 답 ③
005
3번의 수학 시험에서 얻은 수학 점수의 평균이 81점이므로 (3번의 수학 시험의 총 점수)=3_81=243(점)4번째 수학 시험에서 얻는 수학 점수를 x점이라 하면 4번 째 시험까지의 수학 점수의 평균이 83점 이상이 되어야 하 므로
(4번의 수학 시험의 평균)
=(3번의 수학 시험의 총 점수)+x ` 4
= 243+x`4 ¾83 243+x¾332 ∴ x¾89
4 대푯값과 산포도
본문 066~084쪽중학3-2기말해답().indd 36 2020-09-24 14:12:33
4. 대푯값과 산포도
37
2, 3, 6, 6, 7, 9, p, q, r
따라서 중앙값이 될 수 있는 가장 큰 수는 7이다.
답③
011
(평균)= 12+14+21+(20+a)+(20+a)+29+30+33+34+3710 = 250+2a 10 =26
∴ a=5
따라서 중앙값은 25+29 2 =27(회) 답27회
포인트 줄기와 잎 그림
① 줄기와 잎 그림은 줄기와 잎을 이용하여 자료를 나타낸 그림이다.
② 줄기와 잎 그림의 작성 순서는 다음과 같다.
Ú 변량을 두 부분으로 나누어 줄기와 잎을 정한다.
Û 세로선을 긋고 세로선의 왼쪽에 줄기를 작은 수부터 세로로 쓴다.
Ü 세로선의 오른쪽에 각 줄기에 해당되는 잎을 가로로 쓴다. 이때 중복되는 잎이 있으면 중복된 횟수만큼 쓴다.
Ý 그림의 오른쪽 위에 ‘줄기|잎’을 설명한다.
012
자료 A가 12, 14, a, b, 24이고 변량의 개수가 홀수이므 로 중앙값은 a<b에서 a=17이다.두 자료 A, B를 섞은 전체 변량을 b-1과 b를 제외하여 크기순으로 나타내면
12, 14, 17, 17, 19, 21, 22, 24
여기에 b-1과 b를 넣으면 변량의 개수가 짝수이므로 중 앙값이 19가 되려면 가운데 있는 2개의 값이 모두 19이어 야 한다. 즉,
12, 14, 17, 17, b-1, 19, b, 21, 22, 24에서
b-1=19이므로 b=20 답a=17, b=20
013
응답자가 총 30명이므로 중앙값은 만족도를 크기순으로 나열했을 때, 15번째와 16번째에 오는 값의 평균인 4점이다. 답4점
포인트 응답자가 30명이므로 만족도를 작은 값부터 크기 순으로 나열했을 때, 15번째와 16번째에 오는 값만 알면 중앙값을 구할 수 있다. 즉, 각 만족도에 대한 응답자 수를 모두 알지 못해도 된다.
014
⑴ (평균)= 4+2+6+2+5+7+27 =:ª7¥:=4⑵ 자료의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 2, 2, 2, 4, 5, 6, 7
따라서 4번째 시험에서 수학 점수를 최소 89점 이상을 받
아야 한다. 답89점
006
⑴ 자료의 변량의 개수가 7이므로 중앙값은 가운데 위치한 값인 5이다.⑵ 자료의 변량의 개수가 7이므로 중앙값은 가운데 위치한 값인 4이다.
⑶ 자료의 변량의 개수가8이므로 중앙값은 4번째 값 4와 5번째 값 6의 평균 4+62 =5이다.
답 ⑴ 5 ⑵ 4 ⑶ 5
007
A조의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 8, 24, 25, 31, 45이므로 중앙값은 가운데 위치한 값인 25시간이다.
∴ a=25
B조의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 7, 8, 12, 14, 20, 23
이므로 중앙값은 3번째 값 12와 4번째 값 14의 평균인 12+14
2 =:ª2¤:=13(시간)이다.
∴ b=13
∴ a+b=25+13=38 답38
008
a<b인 두 자연수 a, b에 대하여 변량 2, 4, a, b, 9의 중 앙값이 6이므로 a=6이다.변량 5, a, b, 11에 a=6을 대입하고 미지수 b를 제외한 나머지를 크기순으로 나열하면 5, 6, 11이다.
a<b이므로 중앙값이 8이 될 수 있는 b를 찾으면 다음과 같다.
Ú 5, 6, b, 11인 경우
중앙값은 6+b 2 =8 ∴ b=10 Û 5, 6, 11, b인 경우
중앙값은 6+11 2 =8.5이므로 성립하지 않는다.
Ú, Û에서 b=10이므로
a+b=6+10=16 답16
009
중앙값이 17이므로 4개의 변량을 크기순으로 나열하면 9, 12, a, 25이어야 한다.12+a
2 =17에서 a=22
∴ (평균)= 25+9+12+22 4 =17 답17
010
나머지 세 수를 p, q, r`(pÉqÉr)라 하면 중앙값은 9개 의 수를 크기순으로 나열했을 때, 5번째에 오는 수이므로 중앙값이 가능한 한 커지는 경우는38
중3 (2학기 기말고사)이므로 중앙값은 4번째 값인 4이다.
⑶ 자료의 변량 중에서 2가 3번으로 가장 많이 나왔으므로 최빈값은 2이다.
답 ⑴ 4 ⑵ 4 ⑶ 2
015
자료의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면34, 36, 36, 38, 39, 39, 39, 39, 40, 41, 41, 42, 43, 44, 44이므로 최빈값은 4번으로 가장 많이 나온 39인치이다.
답 39인치
016
자료의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하여 중앙값, 최빈값을 각각 구하면① 1, 2, 3, 4, 5, 8이므로 중앙값 : 3.5, 최빈값 : 없다.
② 1, 2, 4, 6, 6, 7이므로 중앙값 : 5, 최빈값 : 6 ③ 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5이므로
중앙값 : 4, 최빈값 : 3, 4 ④ 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8이므로
중앙값 : 4, 최빈값 : 없다.
⑤ 1, 1, 2, 4, 4, 4, 8이므로
중앙값 : 4, 최빈값 : 4 답 ⑤
017
(평균)= 8+8+5+5+7+7+3+3+9+a10 =6 이므로 a=5자료의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 3, 3, 5, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 9이므로
(중앙값)= 5+7 2 =6, (최빈값)=5
따라서 중앙값과 최빈값의 합은 6+5=11 답 11
018
최빈값이 26이므로 b=26중앙값이 24이므로 a+26 2 =24 ∴ a=22
∴ b-a=26-22=4 답 4
019
도수가 가장 큰 값이 최빈값이므로 후식의 최빈값은 케이크이다. 답케이크
포인트 최빈값은 ‘가장 좋아하는 음식’ 등과 같이 변량이 수량으로 나타나지 않는 자료의 대푯값으로 유용하다.
020
중앙값은 18개의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열했 을 때, 9번째와 10번째 값의 평균이므로3+4
2 =3.5(권)
최빈값은 가장 많은 학생 5명이 대여한 책의 권수이므로 4 권이다.
답중앙값: 3.5권, 최빈값: 4권
021
전체 학생 수가 20명이므로2+a+b+4+3=20 ∴ a+b=11 yy ㉠ 성장한 키의 평균이 5.1`cm이므로
2_2+3a+5b+7_4+9_3
20 =5.1
∴ 3a+5b=43 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=6, b=5
이므로 중앙값은 10번째와 11번째 값의 평균인 5`cm이고 최빈값은 도수가 가장 큰 값인 3`cm이다.
따라서 중앙값과 최빈값의 합은
5+3=8 (cm) 답 8`cm
022
(평균)= 6+5+5+5+4 5 =:ª5°:=5(권)(편차)=(변량)-(평균)이므로
요일 월 화 수 목 금
권수 (권) 6 5 5 5 4
편차 (권) 1 0 0 0 -1
답 1, 0, 0, 0, -1
023
선수 A B C D E F G 합계편차 (개) -4 1 -2 1 3 -1 x x-2 G선수의 편차를 x개라 하면 편차의 총합은 0이므로 x-2=0 ∴ x=2
따라서 G선수의 편차는 2개이다. 답 ④
024
편차의 총합은 0이므로 3회의 편차는 -3점이고 3회의 수학 점수는 평균보다 3점이 낮은 80점이다.답80점
025
편차의 총합은 항상 0이므로 3+(3x+2)+(-3)+x+6=0 4x+8=0 ∴ x=-2두 학생 B, D의 사회 성적은 각각
74+{3_(-2)+2}=70(점), 74-2=72(점)이므로 (두 학생 B, D의 사회 성적의 평균)= 70+72 2
=71(점) 답71점
026
ㄱ. A의 편차가 0점이므로 A의 점수는 평균 점수와 같다.ㄴ. (C의 점수)=(평균 점수)+2, (D의 점수)=(평균 점수)-1 즉, C, D의 점수 차는 3점이다.
ㄷ. 가장 점수가 높은 회원은 C, 가장 점수가 낮은 회원은 B이다.
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4. 대푯값과 산포도
39
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 답 ④
포인트 편차의 절댓값이 클수록 그 변량은 평균에서 멀리 떨어져 있고, 편차의 절댓값이 작을수록 그 변량은 평균에 가까이 있다.
027
(표준편차)=¾Ð;5!;_{2Û`+1Û`+(-1)Û`+0Û`Ð+(-2)Û`}=¾Ð:Á5¼:
='2 (점) 답'2 점
028
(평균)= 10+5+10+9+6+86 =:¢6¥:=8(개)(분산)= (10-8)Û`+(5-8)Û`+(10-8)Û`+(9-8)Û`+(6-8)Û`+(8-8)Û`
6
=:ª6ª:=:Á3Á: 답:Á3Á:
029
세 자료 A, B, C의 평균을 구하면 다음과 같다.(A의 평균)= 1+2+3+4+55 =:Á5°:=3 (B의 평균)= 1+3+5+7+95 =:ª5°:=5 (C의 평균)= 2+4+6+8+10 5 =:£5¼:=6 각 자료에서 편차는
A: -2, -1, 0, 1, 2 B: -4, -2, 0, 2, 4 C: -4, -2, 0, 2, 4 각 자료의 표준편차를 구하면 a=79 (-2)Û`+(-1)Û`+1Û`+2Û`
5 ='2
b=79 (-4)Û`+(-2)Û`+2Û`+4Û`
5 =2'2
c=79 (-4)Û`+(-2)Û`+2Û`+4Û`
5 =2'2
∴ a<b=c 답 ④
030
인터넷 사용 시간의 편차의 총합은 0이므로 -3-5+x+4+1=0∴ x=3
인터넷 사용 시간의 분산은 (-3)Û`+(-5)Û`+3Û`+4Û`+1
5 =:¤5¼:=12
답12
031
5개의 변량 8, 5, 7, x, 4의 평균이 6이므로8+5+7+x+4
5 =6
x+24=30 ∴ x=6
5개의 변량 8, 5, 7, 6, 4에 대한 편차를 각각 구하면 2, -1, 1, 0, -2이므로 분산을 구하면
(분산)= 2Û`+(-1)Û`+1Û`+0Û`+(-2)Û`
5
=:Á5¼:=2 답2
032
16+17+x+(x+1)+(x+2)5 =18이므로
3x+36=90 ∴ x=18
따라서 각 변량은 16, 17, 18, 19, 20이므로 표준편차는 (표준편차)=79 (-2)Û`+(-1)Û`+0Û`+1Û`+2Û`
5
='2 답④
033
연속하는 세 홀수를 n-2, n, n+2 (n¾3인 홀수)라 하면 (평균)= (n-2)+n+(n+2)3 =n(분산)= (-2)Û`+0Û`+2Û`
3 =;3*;
∴ s=¾;3*; =2'6`
3
∴ 3s=2'6 답2'6
034
중앙값과 최빈값이 7이므로 aÉbÉc라 하면 a=7, b=7이다.(평균)= 3+4+7+7+c 5 = 21+c 5 =6 ∴ c=9
∴ (분산)
= (3-6)Û`+(4-6)Û`+(7-6)Û`+(7-6)Û`+(9-6)Û`
5
=:ª5¢: 답⑤