미적분학 공식 정리집

(1)

BASIC FORMS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. FORMS INVOLVING 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. du u

y

u2 du sa2⫹ u2 苷 ⫺ sa2⫹ u2 a2_u ⫹ C

y

_{u sa}du2⫹ u2 苷 ⫺ 1 a ln

冟

sa2⫹ u2⫹ a u

冟

⫹ C

y

u 2 du sa2⫹ u2 苷 u 2 sa 2⫹ u2⫺ a 2 2 ln

(

u⫹ sa 2⫹ u2

)

⫹ C

y

_sa2du⫹ u2 苷 ln

(

u⫹ sa 2⫹ u2

)

⫹ C

y

sa2u⫹ u2 2 du苷 ⫺ sa2⫹ u2 u ⫹ ln

(

u⫹ sa 2⫹ u2

)

⫹ C

y

sa2u⫹ u2 du苷 sa 2⫹ u2⫺ a ln

冟

a⫹ sa 2⫹ u2 u

冟

⫹ C

y

u2 sa2⫹ u2_du苷 u 8共a 2_{⫹ 2u}2_{兲 sa}2⫹ u2⫺ a 4 8 ln

(

u⫹ sa 2⫹ u2

)

⫹ C

y

sa2⫹ u2_du苷 u 2 sa 2⫹ u2⫹ a 2 2 ln

(

u⫹ sa 2⫹ u2

)

⫹ C sa2⫹ u2_{, a}⬎ 0

y

sec u tan u du苷 sec u ⫹ C

y

csc2 u du苷 ⫺cot u ⫹ C

y

sec2 u du苷 tan u ⫹ C

y

cos u du苷 sin u ⫹ C

y

sin u du苷 ⫺cos u ⫹ C

y

au_du_苷 a u ln a ⫹ C

y

eu_du_{苷 e}u_{⫹ C}

y

duu 苷 ln

ⱍ

u

ⱍ

⫹ C n苷 ⫺1

y

un du苷 u n⫹1 n⫹ 1 ⫹ C,

y

u dv苷 uv⫺

y

v du 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

_y

du u2_{⫺ a}2 苷 1 2a ln

冟

u⫺ a u⫹ a

冟

⫹ C

y

a2du_{⫺ u}2 苷 1 2a ln

冟

u⫹ a u⫺ a

冟

⫹ C

y

_{u su}du2 ⫺ a2 苷 1 a sec ⫺1u a ⫹ C

y

a2du_{⫹ u}2 苷 1 a tan ⫺1u a ⫹ C

y

_sa2du⫺ u2 苷 sin ⫺1u a ⫹ C

y

csc u du苷 ln

ⱍ

csc u⫺ cot u

ⱍ

⫹ C

y

sec u du苷 ln

ⱍ

sec u⫹ tan u

ⱍ

⫹ C

y

cot u du苷 ln

ⱍ

sin u

ⱍ

⫹ C

y

tan u du苷 ln

ⱍ

sec u

ⱍ

⫹ C

(2)

FORMS INVOLVING 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. FORMS INVOLVING 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46.

_y

du 共u2_{⫺ a}2_兲3兾2 苷 ⫺ u ⫺ a ⫹ C

y

u2 du su2⫺ a2 苷 su2⫺ a2 a2_u ⫹ C

y

u 2_du su2⫺ a2 苷 u 2 su 2⫺ a2⫹ a 2 2 ln

ⱍ

u⫹ su 2⫺ a2

ⱍ

⫹ C

y

_su2du⫺ a2 苷 ln

ⱍ

u⫹ su 2⫺ a2

ⱍ

⫹ C

y

su2u⫺ a2 2 du苷 ⫺ su2⫺ a2 u ⫹ ln

ⱍ

u⫹ su 2⫺ a2

ⱍ

⫹ C

y

su2u⫺ a2 du苷 su 2⫺ a2⫺ a cos⫺1 a

ⱍ

u

ⱍ

⫹ C

y

u2 su2⫺ a2_du苷 u 8共2u 2_{⫺ a}2_{兲 su}2⫺ a2⫺ a 4 8 ln

ⱍ

u⫹ su 2⫺ a2

ⱍ

⫹ C

y

su2⫺ a2_du苷 u 2 su 2⫺ a2⫺ a 2 2 ln

ⱍ

u⫹ su 2⫺ a2

ⱍ

⫹ C su2⫺ a2_{, a}⬎ 0

y

共a2_{⫺ u}du2_兲3兾2 苷 u a2 sa2⫺ u2 ⫹ C ⫹ 3a 4 8 sin ⫺1u a ⫹ C

y

共a2_{⫺ u}2_兲3兾2_du_{苷 ⫺}u 8共2u 2_{⫺ 5a}2_兲sa2⫺ u2

y

u2 du sa2⫺ u2 苷 ⫺ 1 a2 u sa 2⫺ u2⫹ C

y

_{u sa}du2⫺ u2 苷 ⫺ 1 a ln

冟

a⫹ sa2⫺ u2 u

冟

⫹ C

y

u 2_du sa2⫺ u2 苷 ⫺ u 2 sa 2⫺ u2⫹ a 2 2 sin ⫺1 u a⫹ C

y

sa2u⫺ u2 2 du苷 ⫺ 1 u sa 2⫺ u2⫺ sin⫺1 u a ⫹ C

y

sa2u⫺ u2 du苷 sa 2⫺ u2⫺ a ln

冟

a⫹ sa 2⫺ u2 u

冟

⫹ C

y

u2 sa2⫺ u2_du苷 u 8共2u 2_{⫺ a}2_{兲 sa}2⫺ u2⫹ a 4 8 sin ⫺1u a ⫹ C

y

sa2⫺ u2_du苷 u 2 sa 2⫺ u2⫹ a 2 2 sin ⫺1u a ⫹ C sa2⫺ u2_{, a}⬎ 0

(3)

FORMS INVOLVING 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62.

_y

du un sa ⫹ bu 苷 ⫺ sa ⫹ bu a共n ⫺ 1兲un⫺1 ⫺ b共2n ⫺ 3兲 2a共n ⫺ 1兲

y

du un⫺1_{sa ⫹ bu}

y

u n_du sa ⫹ bu苷 2un sa ⫹ bu b共2n ⫹ 1兲 ⫺ 2na b共2n ⫹ 1兲

y

un⫺1_du sa ⫹ bu 苷 2 b共2n ⫹ 3兲

冋

u n_{共a ⫹ bu兲}3兾2_{⫺ na}

y

un⫺1 sa ⫹ bu du

册

y

un sa ⫹ bu du

y

sa ⫹ buu2 du苷 ⫺ sa ⫹ bu u ⫹ b 2

y

du u sa ⫹ bu

y

sa ⫹ buu du苷 2sa ⫹ bu ⫹ a

y

du u sa ⫹ bu 苷 2 s⫺a tan ⫺1

冑

a⫹ bu ⫺a ⫹ C, if a⬍ 0

y

_{u sa ⫹ bu}du 苷 1 sa ln

冟

sa ⫹ bu ⫺ sa sa ⫹ bu ⫹ sa

冟

⫹ C, if a ⬎ 0

y

u 2 du sa ⫹ bu苷 2 15b3 共8a 2 ⫹ 3b2 u2 ⫺ 4abu兲sa ⫹ bu ⫹ C

y

_{sa ⫹ bu}u du 苷 2 3b2共bu ⫺ 2a兲sa ⫹ bu ⫹ C

y

u sa ⫹ bu du 苷 2

15b2共3bu ⫺ 2a兲共a ⫹ bu兲 3兾2_{⫹ C}

y

u 2_du 共a ⫹ bu兲2 苷 1 b3

冉

a⫹ bu ⫺ a2 a⫹ bu ⫺ 2a ln

ⱍ

a⫹ bu

ⱍ

冊

⫹ C

y

u共a ⫹ bu兲du 2 苷 1 a共a ⫹ bu兲 ⫺ 1 a2 ln

冟

a⫹ bu u

冟

⫹ C

y

共a ⫹ bu兲u du 2 苷 a b2_{共a ⫹ bu兲} ⫹ 1 b2 ln

ⱍ

a⫹ bu

ⱍ

⫹ C

y

u2_{共a ⫹ bu兲}du 苷 ⫺ 1 au⫹ b a2 ln

冟

a⫹ bu u

冟

⫹ C

y

u共a ⫹ bu兲du 苷 1 a ln

冟

u a⫹ bu

冟

⫹ C

y

u 2_du a⫹ bu 苷 1 2b3

[

共a ⫹ bu兲 2 ⫺ 4a共a ⫹ bu兲 ⫹ 2a2 ln

ⱍ

a⫹ bu

ⱍ]

⫹ C

y

au du⫹ bu 苷 1 b2

(

a⫹ bu ⫺ a ln

ⱍ

a⫹ bu

ⱍ

)

⫹ C a⫹ bu

(4)

TRIGONOMETRIC FORMS 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75.

INVERSE TRIGONOMETRIC FORMS 87. 88. 89. 90. 91.

_y

u cos⫺1u du苷 2u 2_{⫺ 1} 4 cos ⫺1_u_⫺ u s1 ⫺ u2 4 ⫹ C

y

u sin⫺1u du苷 2u 2 ⫺ 1 4 sin ⫺1_u_⫹ u s1 ⫺ u2 4 ⫹ C

y

tan⫺1u du苷 u tan⫺1u⫺12 ln共1 ⫹ u 2 兲 ⫹ C

y

cos⫺1u du苷 u cos⫺1u⫺ s1 ⫺ u2⫹ C

y

sin⫺1u du苷 u sin⫺1u⫹ s1 ⫺ u2⫹ C

y

tann u du苷 1 n⫺ 1 tan n⫺1_u_⫺

y

tann⫺2_{u du}

y

cosn u du苷 1 n cos n⫺1_{u sin u}_⫹ n⫺ 1 n

y

cos n⫺2_{u du}

y

sinn_{u du}_{苷 ⫺}1 n sin n⫺1_{u cos u}_⫹ n⫺ 1 n

y

sin n⫺2_{u du}

y

csc3_{u du}_{苷 ⫺}1 2 csc u cot u⫹ 1 2 ln

ⱍ

csc u⫺ cot u

ⱍ

⫹ C

y

sec3

u du苷12 sec u tan u⫹12 ln

ⱍ

sec u⫹ tan u

ⱍ

⫹ C

y

cot3_{u du}_{苷 ⫺}1 2 cot 2_u_{⫺ ln}

ⱍ

sin u

ⱍ

⫹ C

y

tan3 u du苷12tan 2 u⫹ ln

ⱍ

cos u

ⱍ

⫹ C

y

cos3_{u du}_苷1 3共2 ⫹ cos 2_u_{兲 sin u ⫹ C}

y

sin3 u du苷 ⫺13共2 ⫹ sin 2 u兲 cos u ⫹ C

y

cot2 u du苷 ⫺cot u ⫺ u ⫹ C

y

tan2_{u du}_{苷 tan u ⫺ u ⫹ C}

y

cos2 u du苷12u⫹ 1 4 sin 2u⫹ C

y

sin2_{u du}_苷1 2u⫺ 1 4 sin 2u⫹ C 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86. 苷 sinn⫹1u cosm⫺1u n⫹ m ⫹ m⫺ 1 n⫹ m

y

sin n u cosm⫺2_{u du}

y

sinn u cosm u du苷 ⫺sin n⫺1_{u cos}m⫹1_u n⫹ m ⫹ n⫺ 1 n⫹ m

y

sin n⫺2_{u cos}m u du

y

un cos u du苷 un sin u⫺ n

y

un⫺1_{sin u du}

y

un_{sin u du}_{苷 ⫺u}n_{cos u}_{⫹ n}

y

un⫺1_{cos u du}

y

u cos u du苷 cos u ⫹ u sin u ⫹ C

y

u sin u du苷 sin u ⫺ u cos u ⫹ C

y

sin au cos bu du苷 ⫺cos共a ⫺ b兲u 2共a ⫺ b兲 ⫺

cos共a ⫹ b兲u 2共a ⫹ b兲 ⫹ C

y

cos au cos bu du苷 sin共a ⫺ b兲u 2共a ⫺ b兲 ⫹

sin共a ⫹ b兲u 2共a ⫹ b兲 ⫹ C

y

sin au sin bu du苷 sin共a ⫺ b兲u 2共a ⫺ b兲 ⫺

sin共a ⫹ b兲u 2共a ⫹ b兲 ⫹ C

y

cscn_{u du}_苷 ⫺1 n⫺ 1 cot u csc n⫺2_u_⫹ n⫺ 2 n⫺ 1

y

csc n⫺2_{u du}

y

secn u du苷 1 n⫺ 1 tan u sec n⫺2_u_⫹ n⫺ 2 n⫺ 1

y

sec n⫺2_{u du}

y

cotn u du苷 ⫺1 n⫺ 1 cot n⫺1_u_⫺

y

cotn⫺2_{u du} 92. 93. 94. 95.

_y

un_tan⫺1_{u du}_苷 1 n⫹ 1

冋

u n⫹1_tan⫺1_u_⫺

y

u n⫹1_du 1⫹ u2

册

, n苷 ⫺1

y

un_cos⫺1_{u du}_苷 1 n⫹ 1

冋

u n⫹1_cos⫺1_u_⫹

y

u n⫹1_du s1 ⫺ u2

册

, n苷 ⫺1

y

un_sin⫺1_{u du}_苷 1 n⫹ 1

冋

u n⫹1_sin⫺1_u_⫺

y

u n⫹1_du s1 ⫺ u2

册

, n苷 ⫺1

y

u tan⫺1u du苷 u 2_{⫹ 1} 2 tan ⫺1_u_⫺ u 2 ⫹ C

(5)

EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FORMS 96. 97. 98. 99. HYPERBOLIC FORMS 103. 104. 105. 106. 107. FORMS INVOLVING 113. 114. 115. 116. 117. 118. 119. 120.

_y

du u s2au ⫺ u2 苷 ⫺ s2au ⫺ u2 au ⫹ C

y

u 2_du s2au ⫺ u2 苷 ⫺ 共u ⫹ 3a兲 2 s2au ⫺ u 2⫹ 3a 2 2 cos ⫺1

冉

a⫺ u a

冊

⫹ C

y

_{s2au ⫺ u}u du 2 苷 ⫺s2au ⫺ u 2⫹ a cos⫺1

冉

a⫺ u a

冊

⫹ C

y

_{s2au ⫺ u}du 2 苷 cos ⫺1

冉

a⫺ u a

冊

⫹ C

y

s2au ⫺ uu2 2 du苷 ⫺ 2 s2au ⫺ u2 u ⫺ cos ⫺1

冉

a⫺ u a

冊

⫹ C

y

s2au ⫺ uu 2 du苷 s2au ⫺ u 2⫹ a cos⫺1

冉

a⫺ u a

冊

⫹ C

y

u s2au ⫺ u2_du苷 2u 2_{⫺ au ⫺ 3a}2 6 s2au ⫺ u 2⫹ a 3 2 cos ⫺1

冉

a⫺ u a

冊

⫹ C

y

s2au ⫺ u2_du苷 u⫺ a 2 s2au ⫺ u 2⫹ a 2 2 cos ⫺1

冉

a⫺ u a

冊

⫹ C s2au ⫺ u2_{, a}⬎ 0

y

sech u du苷 tan⫺1

ⱍ

sinh u

ⱍ

⫹ C

y

coth u du苷 ln

ⱍ

sinh u

ⱍ

⫹ C

y

tanh u du苷 ln cosh u ⫹ C

y

cosh u du苷 sinh u ⫹ C

y

sinh u du苷 cosh u ⫹ C

y

ea u cos bu du苷 e a u

a2_{⫹ b}2共a cos bu ⫹ b sin bu兲 ⫹ C

y

ea u

sin bu du苷 e

a u

a2_{⫹ b}2 共a sin bu ⫺ b cos bu兲 ⫹ C

y

un ea u du苷 1 a u n ea u_⫺ n a

y

u n⫺1_ea u du

y

uea u du苷 1 a2 共au ⫺ 1兲e a u_{⫹ C} 108. 109. 110. 111. 112.

_y

csch u coth u du苷 ⫺csch u ⫹ C

y

sech u tanh u du苷 ⫺sech u ⫹ C

y

csch2 u du苷 ⫺coth u ⫹ C

y

sech2_{u du}_{苷 tanh u ⫹ C}

y

csch u du苷 ln

ⱍ

tanh 12 u

ⱍ

⫹ C 100. 101. 102.

_y

1 u ln u du苷 ln

ⱍ

ln u

ⱍ

⫹ C

y

un ln u du苷 u n⫹1 共n ⫹ 1兲2 关共n ⫹ 1兲 ln u ⫺ 1兴 ⫹ C

y

ln u du苷 u ln u ⫺ u ⫹ C