때, 행렬일

EE ngineering Mathematics I ngineering Mathematics I

Prof. Dr. Yong-Su Na g

(32-206, ysna@snu.ac.kr, Tel. 880-7204)

Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 9^th Edition, Wiley (2006)

Ch. 8 Linear Algebra: Matrix

Ch. 8 Linear Algebra: Matrix EigenvalueEigenvalue Ch. 8 Linear Algebra: Matrix

Ch. 8 Linear Algebra: Matrix EigenvalueEigenvalue Problems

Problems

8.1 Eigenvalues, Eigenvectors

8.2 Some Applications of Eigenvalue Problems

8.3 Symmetric, Skew-Symmetric, and Orthogonal Matrices 8.4 Eigenbases. Diagonalization. Quadratic Formsg g Q

8.5 Complex Matrices and Forms

2

Ch. 8 Linear Algebra: Matrix

Ch. 8 Linear Algebra: Matrix EigenvalueEigenvalue Problems

Problems ((선형대수학선형대수학: : 행렬의행렬의 고유값고유값 문제문제))

z 내용 : 고유값 문제, 여러 가지 행렬, 대각화를 통한 문제 해결법

8

8.1 .1 EigenvaluesEigenvalues, Eigenvectors , Eigenvectors 8

8 ge a uesge a ues, ge ec o s, ge ec o s

((고유값고유값, , 고유벡터고유벡터))

z Eigenvalues, Eigenvector

를 스칼라 존재하면

가 벡터 이닌

이 인 만약

때, 행렬일

가

A n

× n =

. r(

Eigenvecto Eigenvalue

한다 라

의 대응하는

에 벡터는 모든

아닌 이

인 고유값이면,

의 가

한다.

라 (

의

고유벡터) 고유값)

A

0 x Ax

A A

λ

λ

λ

=

z 고유값과 고유벡터를 구하는 방법

( )

( )

( )^{인 자명하지}( ^않는) (^{특성방정식해를 가질 필요충분조건})^{의해인 가 의 고유값계수행렬식}

제차선형연립방정식

A I

A 0

x

0 x I - A x

Ax

λ λ

λ λ

0 d

0

:

=

⇒

≠

⇒

=

⇒

=

λ D

( )^{λ :Characteristicdeterminant}

D

( ) ( ) (^{특성방정식})^{의해인 가 의 고유값}

⇒ D λ =det A−λI =0 λ A

8

8.1 .1 EigenvaluesEigenvalues, Eigenvectors , Eigenvectors 8

8 ge a uesge a ues, ge ec o s, ge ec o s

((고유값고유값, , 고유벡터고유벡터))

E 1 Ill st ate all the steps in te ms of the mat i Ex. 1 Illustrate all the steps in terms of the matrix

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡−

2 2

2 A 5

Step 1 Eigenvalues

⎦

⎣ 2 − 2

2 2

2 5

2 1 2

Ax 1

x

Ax x

x x

x ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎥⎡

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

⇒

= λ λ

( )( 2 ) 0

2

0 2

5

2

2

2 5

2 1

2 1

2 2

1

1 2

1

x x

x x

-λ - x

x x

x x

x -

=

−

− +

=

⇒ +

=

−

=

⇒ +

λ λ

λ

( ) ( ) ( 5 )( 2 ) 4 7 6 0

2 2

2

det A I 5 ²

D = − − − − − = + + =

−

−

−

= −

−

= λ λ λ λ

λ λ λ

λ

( )

6 1

⇒ λ= − , λ = - A의 고유값

8

8.1 .1 EigenvaluesEigenvalues, Eigenvectors , Eigenvectors 8

8 ge a uesge a ues, ge ec o s, ge ec o s

((고유값고유값, , 고유벡터고유벡터))

Step 2 Eigenvectors

− 1

=

( )^{-5-λ x}₁ ^{+ x2} ₂ ^{= 0}

− 4

+ 2

= 0

⎤ 고유벡터는 ⎡1

1 =1 x

( ² ) ⁰

2x₁ + − −λ x₂ =

2

− x

= 0

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ x 2 고유벡터는

1 1

2

2x

x

=

− 6

=

( )(

²

⁰

2

0 2

5

2 1

2 1

=

−

− +

= +

x x

x x

-λ -

λ

2 4 0

0 2

2 1

2 1

= +

= +

x x

x x

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= − 1

2

고유벡터는

1

= 2

1

2

2

x

= −

8

8.1 .1 EigenvaluesEigenvalues, Eigenvectors , Eigenvectors 8

8 ge a uesge a ues, ge ec o s, ge ec o s

((고유값고유값, , 고유벡터고유벡터))

z Eigenvalues z Eigenvalues

가진다 고유값을

다른 서로

개의 많아야

이상 하나

적어도 행렬은

따라서

근이다.

특성방정식의 의

고유값들은 의

정방행렬 A A

z Eigenvectors, Eigenspace

가진다.

고유값을 다른

서로 개의

많아야 이상,

하나 적어도

행렬은

따라서 n×n n

( )

벡터 해당되는

고유값에 같은

된다.따라서 고유벡터가

도 대하여

에 임의의

와

단 경우,

고유벡터인 대응하는

에 고유값 같은

의 행렬 가

와 만일

0

λ x

w x x w A

x w

k k ≠

≠ +

( )^{이라한다.}

해당되는 에

고유값 이것을

이루며, 벡터공간을

하나의 함께

벡터와 들은

Eigenspace

λ 고유공간 0

z Eigenvalues of the Transpose

(Eigenspace)^{이라한다.}

갖는다.

고유값을 같은

와 행렬 는 전치

의

정방행렬 A A^T A

8

8.1 .1 EigenvaluesEigenvalues, Eigenvectors , Eigenvectors 8

8 ge a uesge a ues, ge ec o s, ge ec o s

((고유값고유값, , 고유벡터고유벡터))

Ex. 2 Find the eigenvalues and eigenvectors of

⎥⎤

⎢⎡−2 2 −3 Ex. 2 Find the eigenvalues and eigenvectors of

⎥⎥

⎥

⎢ ⎦

⎢⎢

⎣− −

−

=

0 2 1

6 1

A 2

8

8.1 .1 EigenvaluesEigenvalues, Eigenvectors , Eigenvectors 8

8 ge a uesge a ues, ge ec o s, ge ec o s

((고유값고유값, , 고유벡터고유벡터))

Ex. 2 Find the eigenvalues and eigenvectors of

⎥⎤

⎢⎡−2 2 −3 Ex. 2 Find the eigenvalues and eigenvectors of

⎥⎥

⎥

⎢ ⎦

⎢⎢

⎣− −

−

=

0 2 1

6 1

A 2

Characteristic equation: −λ³ −λ² +21λ + 45= 0 Eigenvalues: λ ^{= 5,} λ ^{= −3}(^이중근)

= 5에 대한 특성행렬 λ

⎤

⎡−7 2 −3 ⎡1⎤

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

=

−

5 2

1

6 4

2

3 2

7 5I

A

행을 간략화

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

0 0

0

7 48 7

0 24

3 2

7 x₃ = −1

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

1 2 1 - 고유벡터는

⎥⎦

⎢⎣−1 −2 −5

−

= 3에 대한 특성행렬

λ ⎡1 2 3⎤

0

, 1 ₃

2 = x =

x

⎥⎥

⎥⎤

⎢⎢

⎢⎡−

1 2 고유벡터는

⎥⎥

⎥⎤

⎢⎢

⎢⎡

−

−

=

+ 2 4 6

3 2

1 3I

A

행을 간략화

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡ −

0 0 0

0 0 0

3 2

1 ⎢⎣ 0 ⎥⎦

⎥⎥

⎤

⎢⎢

⎡ 0 3 고유벡터는

⎥⎥

⎢ ⎦

⎢

⎣−1 − 2 3

⎥⎥

⎢ ⎦

⎢

⎣1 고유벡터는 0 1

, 0 ₃

2 = x =

x

8

8.1 .1 EigenvaluesEigenvalues, Eigenvectors , Eigenvectors 8

8 ge a uesge a ues, ge ec o s, ge ec o s

((고유값고유값, , 고유벡터고유벡터))

z Algebraic Multiplicity (대수적 다중도):

z Algebraic Multiplicity (대수적 다중도):

Characteristic polynomial(특성다항식)의 근으로서 고유값의 차수 z Geometric Multiplicity (기하적 다중도):p y

고유값에 대응하는 일차독립인 고유벡터의 수 z Defect (부족지수):

대수적 다중도와 기하적 다중도의 차

Ex. 3 ⎥⎤

⎢⎡

⎥⎤

⎢⎡

= 0 1 3 2

Ex. 3 A ⎥

⎢ ⎦

⎥ ⎣

⎢ ⎦

= ⎣

3 0

0 , A 0

8

8.1 .1 EigenvaluesEigenvalues, Eigenvectors , Eigenvectors 8

8 ge a uesge a ues, ge ec o s, ge ec o s

((고유값고유값, , 고유벡터고유벡터))

z Algebraic Multiplicity (대수적 다중도):

z Algebraic Multiplicity (대수적 다중도):

Characteristic polynomial(특성다항식)의 근으로서 고유값의 차수 z Geometric Multiplicity (기하적 다중도):p y

고유값에 대응하는 일차독립인 고유벡터의 수 z Defect (부족지수):

대수적 다중도와 기하적 다중도의 차

Ex. 3 ⎥⎤

⎢⎡

⎥⎤

⎢⎡

= 0 1 3 2

Ex. 3 A ⎥

⎢ ⎦

⎥ ⎣

⎢ ⎦

= ⎣

3 0

0 , A 0

(

^이중근

^{고유벡터 :}

: 고유값 :

특성방정식 ⎥ ⎤

⎢ ⎡

⇒

=

⇒

=

= 1

3 0 0

) - (3

0

2 λ λ

λ ( )

1 : 다중도 기하적

2 : 다중도 대수적

: 고유벡터 이중근

: 고유값 :

특성방정식 ⎥

⎢ ⎦

⇒ ⎣

=

⇒

=

= 0 , (3 -

) 0

0 , 3 0

λ

1 : 부족지수

1

:

다중도

기하적

8

8.1 .1 EigenvaluesEigenvalues, Eigenvectors , Eigenvectors 8

8 ge a uesge a ues, ge ec o s, ge ec o s

((고유값고유값, , 고유벡터고유벡터))

PROBLEM SET 8.1

HW 24 HW: 24

8

8.2 Some Applications of .2 Some Applications of EigenvalueEigenvalue 8

8 So e pp ca o s oSo e pp ca o s o ge a uege a ue Problems

Problems ((고유값고유값 문제의문제의 몇몇 가지가지 응용응용))

Ex 1 Stretching of an Elastic Membrane (탄성막의 팽창) Ex. 1 Stretching of an Elastic Membrane (탄성막의 팽창)

( ^, )

1

원 ₁² ₂² 을갖는 _{1 2}평면상에있는 탄성막을 잡아당겨점 _{1 2} 가

경계로서 x + x = x x P x x

( ) (^{P i il Di i} )

5 3

3 5

5 3

3 5

2 1

2

2 1

1 2

1 2

1

의 위치벡터 의

즉 경우

이 한다 가도록

로 점

표현된 로

성분식으로 Ax 또는

y

Q Q

x x

y

x x

y x

x y

y

주방향 +

=

+

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎥⎡

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

( ) ( )

, Directions Princilpe

. ,

_{1 2}

방향을 의

위치벡터 되는

방향이 정반대

또는 방향

같은 방향과

의 위치벡터 의

방향이

의 위치벡터 의

즉 경우

이 한다 가도록

로 점

표현된 로

x x

y P

Q x

x

Q 주방향

.

. 이런변형하에서 경계원은 어떤 꼴을 취하는지살펴보라 구하라

( ) ^{= ⇒ = =}

− =

2 8

: 0

9 3 5

:5 ² 고유값

특성방정식 λ ( λ) λ λ

⎥⎤

⎢⎡

=

⎥ =

⎢ ⎤

= ⎡

=

=

=

⇒

=

−

−

− =

2 1 8 1

2 8,

:

0 9 5 5

: 3

x

x 일때고유벡터는

고유벡터는 때

일

고유값 특성방정식

λ λ

λ λ

λ λ

⎥⎦

⎢⎣−

⎥⎦

⎢⎣ , 2 , 1 , 1

8일때 고유벡터는x λ 일때고유벡터는x λ

8

8.2 Some Applications of .2 Some Applications of EigenvalueEigenvalue 8

8 So e pp ca o s oSo e pp ca o s o ge a uege a ue Problems

Problems ((고유값고유값 문제의문제의 몇몇 가지가지 응용응용))

2 8

) (

135 45

:

₁

팽창 만큼

과 각각 주방향으로

방향 고유벡터의

방향 이루는

각을 의 와

방향과 축

양의 주방향

∗

x ^{D D}

) (

2 1

8

sin 2

, cos 8

:

2 2 2 2

2 1

2 1

타원 좌표계 새로운

= +

∴

=

=

⇒

z z

z

z φ φ

2 8

8

8.2 Some Applications of .2 Some Applications of EigenvalueEigenvalue 8

8 So e pp ca o s oSo e pp ca o s o ge a uege a ue Problems

Problems ((고유값고유값 문제의문제의 몇몇 가지가지 응용응용))

E 2 Ei l P bl A i i f M k P

Ex. 2 Eigenvalue Problems Arising from Markov Processes

, Markov

는 행렬 확률 따라서 된다

문제가 고유값

경우의 다룰

문제를 극한상태

같은 와 즉

되는 값이 자신의 때

곱해질 와

확률행렬 결정짓는

공정을 가

상태벡터 과정에서

A A

A x

.

, 1

.

,

되는 갖게 관심을 문제의

이러한 된다

고유벡터가 해당되는

이에 는 되며 갖게 을 고유값

는 행렬 확률 따라서 된다

문제가 고유값

경우의 다룰

문제를 극한상태

같은 와 즉

x

A x

Ax =

.

Markov

이런 과정이장기모델을 설명해주기때문이다 이유는

8

8.2 Some Applications of .2 Some Applications of EigenvalueEigenvalue 8

8 So e pp ca o s oSo e pp ca o s o ge a uege a ue Problems

Problems ((고유값고유값 문제의문제의 몇몇 가지가지 응용응용))

E 2 Ei l P bl A i i f M k P

Ex. 2 Eigenvalue Problems Arising from Markov Processes

, Markov

는 행렬 확률 따라서 된다

문제가 고유값

경우의 다룰

문제를 극한상태

같은 와 즉

되는 값이 자신의 때

곱해질 와

확률행렬 결정짓는

공정을 가

상태벡터 과정에서

A A

A x

.

, 1

.

,

되는 갖게 관심을 문제의

이러한 된다

고유벡터가 해당되는

이에 는 되며 갖게 을 고유값

는 행렬 확률 따라서 된다

문제가 고유값

경우의 다룰

문제를 극한상태

같은 와 즉

x

A x

Ax =

.

Markov

이런 과정이장기모델을 설명해주기때문이다 이유는

1 1 1 . 0 2 . 0 7 . 0 1 0

1 . 0 7 .

0 ⎥⎤

⎢⎡

⎥⎤

⎢⎡

⎥⎤

⎢⎡

⎥⎤

⎢⎡

⎥⎤

⎢⎡

7.2 Ex. 13

1 :

1 :

1 1 1 1 8 . 0 2 . 0 0

0 9 . 0 1 . 0 1 1

8 . 0 0 1 . 0

2 . 0 9 . 0 2 .

0 A A 의고유값 A의고유값

A ⇒ ⇒

⎥⎥

⎥

⎢ ⎦

⎢⎢

⎣

=

⎥⎥

⎥

⎢ ⎦

⎢⎢

⎥⎣

⎥⎥

⎢ ⎦

⎢⎢

⎣

=

⎥⎥

⎥

⎢ ⎦

⎢⎢

⎣

⇒

⎥⎥

⎥

⎢ ⎦

⎢⎢

⎣

= ^{T T}

⎤

⎡2

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

=

1 6 2

,

1일때 고유벡터는x λ

의미 접근함을 로

비율이 거주지역의

공업 상업 하에 가정 않는다는

변하지 가

확률행렬 A : : 2:6:1

8

8.2 Some Applications of .2 Some Applications of EigenvalueEigenvalue 8

8 So e pp ca o s oSo e pp ca o s o ge a uege a ue Problems

Problems ((고유값고유값 문제의문제의 몇몇 가지가지 응용응용))

PROBLEM SET 8.2

HW 17 HW: 17

8

8.3 S.3 Symmetricymmetric, Skewyy , Skew--Symmetric, and,, Symmetric, andyy ,, Orthogonal Matrices

Orthogonal Matrices

((대칭 대칭, , 반대칭 반대칭, , 직교행렬 직교행렬))

z Square matrix (정방행렬) 에 대하여

• Symmetric:

[ ]^a_jk

= A A

A^T =

• Skew-Symmetric:

• Orthogonal:

A A^T = −

−1

= A A^T

™ 실수 정방행렬 A는 대칭행렬 R과 반대칭행렬 S의 합으로 표현할 수 있다.

(^{A AT} ) ^S (^{A AT})

R = 1(^A+ ^A ) ^S = 1(^{A A} )

R = + = −

2 2 ,

Ex. 2

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

− +

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

= +

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

0 0

6 5 1

0 . 6 0

5 . 1

5 . 1 5

. 1 0

0 3 0 2 5

3

0 . 2 0

. 3 5 . 3

5 . 3 5

. 3 0 . 9 3

4 5

8 3

2

2 5 9

S R A

⎥⎦

⎢⎣

⎥⎦

⎢⎣

⎥⎦

⎢⎣5 4 3 3.5 2.0 3.0 1.5 6.0 0

8

8.3 S.3 Symmetricymmetric, Skewyy , Skew--Symmetric, and,, Symmetric, andyy ,, Orthogonal Matrices

Orthogonal Matrices

((대칭 대칭, , 반대칭 반대칭, , 직교행렬 직교행렬))

z Square matrix (정방행렬) 에 대하여

• Symmetric:

[ ]^a_jk

= A A

A^T =

• Skew-Symmetric:

• Orthogonal:

A A^T = −

−1

= A A^T

™ 실수 정방행렬 A는 대칭행렬 R과 반대칭행렬 S의 합으로 표현할 수 있다.

(^{A AT} ) ^S (^{A AT})

R = 1(^A+ ^A ) ^S = 1(^{A A} )

R = + = −

2 2 ,

Ex. 2

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

− +

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

= +

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

0 0

6 5 1

0 . 6 0

5 . 1

5 . 1 5

. 1 0

0 3 0 2 5

3

0 . 2 0

. 3 5 . 3

5 . 3 5

. 3 0 . 9 3

4 5

8 3

2

2 5 9

S R A

⎥⎦

⎢⎣

⎥⎦

⎢⎣

⎥⎦

⎢⎣5 4 3 3.5 2.0 3.0 1.5 6.0 0

8

8.3 S.3 Symmetricymmetric, Skewyy , Skew--Symmetric, and,, Symmetric, andyy ,, Orthogonal Matrices

Orthogonal Matrices

((대칭 대칭, , 반대칭 반대칭, , 직교행렬 직교행렬))

z Eigenvalues of Symmetric and Skew-Symmetric Matrices (8.5) z Eigenvalues of Symmetric and Skew Symmetric Matrices (8.5)

• 대칭행렬의 고유값은 실수이다. (8.2 Ex. 1)

• 반대칭행렬의 고유값은 순 허수이거나 영이다. 12 20 0 ^{0, 25i 25, i} 20

0 9

12 9

0

−

⇒

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

z Orthogonal Transformation (직교변환): ^{y = Ax} (^{A는 직교행렬})

Ex. 각도^각 θθ 만큼 평면회전은 직교변환이다. 만큼 평면회전은 직 변환이다

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎥⎡

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

2 1 2

1

cos sin

sin cos

x x y

y

θ θ

θ y θ

z 내적값

⎦

⎦⎣

⎦ ⎣

⎣y^{2 2}

[ ] ² ( )

1

T b

b

⎥⎥

⎤

⎢⎢

⎡

z 내적값 ^{a b a b} [ 1 2 ] ² ( ⁿ의 임의의벡터^{a, b})

n n

T R

b a b a

a

⎥⎥

⎥

⎢ ⎦

⎢⎢

⎣

=

=

• " #

z 길이 또는 노름(Norm) : a = a•a = a^Ta

8

8.3 S.3 Symmetricymmetric, Skewyy , Skew--Symmetric, and,, Symmetric, andyy ,, Orthogonal Matrices

Orthogonal Matrices

((대칭 대칭, , 반대칭 반대칭, , 직교행렬 직교행렬))

z Invariance of Inner Product

직교변환은 벡터의 내적값을 보존한다.

또한 벡터의 길이 또는 노름(norm)도 보존한다.

z Orthonormality of Column and Row Vectors

a b b, a b a Ib a Ab A a Ab (Aa) v

u v

u• = ^T = ^T = ^{T T} = ^T = ^T = • =

z Orthonormality of Column and Row Vectors

실수 정방행렬이 직교일 필요충분조건은 열벡터 (또한 행벡터들)이

정규직교계(Orthonormal System)를 형성하는 것이다.

an

a₁, ",

( )

( )

⎩⎨

⎧

=

= ≠

=

• j k

k j

k T j k

j 1

a 0

a a

a

[ ]

a a a

a a a a

a a a

a A A A A I

n T 2

T 1 T

n 2 1 T T

T 1

-

1 1

1

2 1

⎥⎥

⎥⎥

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎡

=

⎥⎥

⎥⎥

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎡

=

=

= "

"

"

"

#

a a a

a a a

a^{T T} ₁ ^T ₂ ^T _n

n n

n

n ⎥⎥⎥

⎢ ⎦

⎢⎢

⎥ ⎣

⎥⎥

⎢ ⎦

⎢⎢

⎣ "

#

8

8.3 S.3 Symmetricymmetric, Skewyy , Skew--Symmetric, and,, Symmetric, andyy ,, Orthogonal Matrices

Orthogonal Matrices

((대칭 대칭, , 반대칭 반대칭, , 직교행렬 직교행렬))

z Determinant of an Orthogonal Matrix 직교행렬의 행렬식의 값은 +1 또는 -1이다.

2 T

T

-1) det (AA ) det A det A (det A) (AA

det I

det

1= = = = =

z Eigenvalues of an Orthogonal Matrix

) (

) (

) (

z Eigenvalues of an Orthogonal Matrix

직교행렬의 고유값은 실수 또는 공액복소수이고 절대값은 1이다.

2 1

2 ⎤

⎡

6 / ) 11 (5

, 6 / ) 11 (5

1, - 3

1 3

2 3 2

3 2 3

1 3

2

i

i −

+

⎥ ⇒

⎥⎥

⎥⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎡

− ( ) ( )

3 2 3

2 3

1

3 3

3

⎥⎥

⎥

⎢ ⎦

⎢⎢

⎣ −

8

8.3 S.3 Symmetricymmetric, Skewyy , Skew--Symmetric, and,, Symmetric, andyy ,, Orthogonal Matrices

Orthogonal Matrices

((대칭 대칭, , 반대칭 반대칭, , 직교행렬 직교행렬))

PROBLEM SET 8.3

HW 3 18 HW: 3, 18

8

8.4 .4 EigenbasesEigenbases.. Diagonalizationgg Diagonalization. Quadraticgg . QuadraticQQ Forms

Forms

((고유벡터의 고유벡터의 기저 기저. . 대각화 대각화. 2 . 2차 차 형식 형식))

z Basis of Eigenvectors z Basis of Eigenvectors

된다.

기저가 의

은 ,

, 고유벡터 의

행렬 이

, 가지면 고유값을

다른 서로

개의 가

행렬 만일

n

n R

n n

n

x x

A

A

"

1

×

n 1

n n n

n

c c

c

c c

c

) x x

x A(

Ax y

x x

x x

2 2 1 1

2 2 1 1

+ +

+

=

=

+ +

+

=

"

"

n n n

n n

n n

c c

c

c c

c

x x

x

Ax Ax

Ax

) (

y

2 2 2 1 1 1

2 2 1 1

2 2 1 1

λ λ

λ + + +

=

+ +

+

=

"

"

z Symmetric Matrices

대칭행렬은 고유벡터로 구성된 정규직교 기저를 갖는다.

대칭행렬은 고유벡터로 구성된 정규직교 기저를 갖는다.

⎥⎤

⎢⎡5 3

⎥⎥

⎥⎤

⎢⎢

⎢⎡

⎥⎥

⎥⎤

⎢⎢

⎢⎡

1 2 1 1 ,

2 1

⎥⎦

⎢⎣3 5 _⎢^⎢_{⎣ ⎥}^⎥_{⎦ ⎢}^⎢_⎣⁻ _⎥^⎥_⎦

2 1 2

1

8

8.4 .4 EigenbasesEigenbases.. Diagonalizationgg Diagonalization. Quadraticgg . QuadraticQQ Forms

Forms

((고유벡터의 고유벡터의 기저 기저. . 대각화 대각화. 2 . 2차 차 형식 형식))

z Similarity Transformation (상사변환) z Similarity Transformation (상사변환)

( P)

AP P

Aˆ = ⁻¹ n×n정칙행렬

z Eigenvalues and Eigenvectors of Similar Matrices 갖는다.

고유값을 같은

와 는 상사이면 에

가 A A A

Aˆ ˆ

된다.

고유벡터가 의

대응되는 고유값에

같은 는

고유벡터이면 의

가 A y P x A

x = ⁻¹ ˆ

x P x)

(P Aˆ x

APP P

AIx P

Ax

P⁻¹ = ⁻¹ = ^{−1 −1} = ⁻¹ = λ ⁻¹

z Diagonalization of a Matrix (행렬의 대각화) n A

n× 행렬 가 고유벡터의기저를 가지면

만일 ⎡ ⎤

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

0 ˆ 3

4 1

3 X 1

1 , - 4

3 - A 6

X

A AX X D ¹

= ⁻

행렬이다.

하는 열벡터로

고유벡터들을 이들

는 여기서

된다.

원소가 주대각선의

고유값들이 의

되고, 대각행렬이

는

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⇒ 0 2

0 A 3

X A X D^m = ^{−1 m}

또한

행렬이다 하는

열벡터 유벡터들을

이들 는

여기서

8

8.4 .4 EigenbasesEigenbases.. Diagonalizationgg Diagonalization. Quadraticgg . QuadraticQQ Forms

Forms

((고유벡터의 고유벡터의 기저 기저. . 대각화 대각화. 2 . 2차 차 형식 형식))

E 4 Di li Ex. 4 Diagonalize

⎥⎥

⎤

⎢⎢

⎡ −

5 5 0 1 5 11

7 . 3 2

. 0 3

. 7 A

⎥⎥

⎥

⎢ ⎦

⎢⎢

⎣ −

−

=

3 . 9 8

. 1 7 . 17

5 . 5 0 . 1 5 . 11 A