기호논리학
참과 참임이 알려진 것 (optional)
우리가 모든 서술문이 참이거나 거짓이라고 말할 때 우리는 “참”과 “참임이 알려진 것" 사이를 예리하게 구분하고 있다. 한 문장이 참임이 알려진 것이라면, 그것은 참이다. 그러나 참이면서 참임이 알려지지 않은 많은 문장들이 있다. 따라서 우리가 어떤 주어진 문장이 참인지 거짓인지 알지 못한다는 사실로부터 그 문장이 참도 거짓도 아니라는 것이 따라나오지는 않는다. 만일 "참"과 "참임이 알려진 것," "거짓"과 "거짓임이 알려진 것" 이 같다면, ("배중율"이라는 이름으로 불리는) 모든 문장이 참이거나 거짓이라는 원칙으로부터 어떤 결과가 따라나올까?거짓과 기이함 (optional)
마찬가지로 우리는 거짓과 기이함(oddity)을 구분할 필요가 있다. 한 문장이 참어냐 거짓이냐 하는 것은 어떤 상황에서 그 문장을 발언하는 것이 기이하거나 오도적 (misleading)이냐, 아니냐 하는 것과 별 상관이 없다. 예를 들어, 오직 한 사람이 어떤 시험을 치러 그가 떨어졌다면 ‘그 시험을 치른 모든 사람이 떨어졌다’ 라고 말하는 것은 아마도 오도적이지만 명확히 참이다. 보다 흥미로운 예로서, 만일 철수가 (A) "너가 이 버섯을 안 먹거나 또는 너는 이 버섯을 먹고 죽을 거야"라고 영희에게 말했다면, 철수가 한 말은 아마도 오도적이(고 그런의미에서 기이하)지만, 영희가 철수를 믿어서 버섯을 먹지 않는다면 바로 그 이유 때문에 참이 된다. (위 문장 (A)는 (B) "너가 이 버섯을 먹는다면 너는 죽을 거야"라는 문장과 같은 뜻일 수 있을까? 만일 (A)와(B)의 뜻이 같다면, 위 상황에서 두 문장의 진리값이 달라 보이는 것을 어떻게 설명할 수 있을까?)세 가지 종류의 가능성
우리는 기술적 (technological) , 물리적 (physical) , 논리적 (logical) 가능성 개념들을 구별하여야 한다. I 현재의 기술 상태에서 어떤 것을 해내는 방법이 있을 때 그것을 현재 기술적으로 가능하다고 한다. I 어떤 것이 일어난다고 가정하는 것이 자연법칙과 양립할 수 있을 때 그것을 물리적으로 가능하다고 한다. . . . I 한 사건이 일어난다고 가정하는 것이 논리법칙과 양립할 수 있을 때 그 사건을 논리적으로 가능하다고 한다.세 가지 종류의 가능성 (계속)
어떤 것이 현재 기술적으로 불가능하지만 물리적으로 가능하다고 하면，우리는 어떤 영리한 사람이 그것을 해낼 수 있는 방법을 미래에 찾아낼 것을 희망할 수 있다. 그러나 어떤 것이 물리적으로 불가능하다면 아무리 영리한 어떠한 사업가, 기술자, 과학자도 그것을 결코 해낼 수 없다. 어떤 것이 논리적으로 불가능하다면 신까지도 그것을 해낼 수 없다. 적어도 이것이 가능성에 대한 설명이 진행되는 보통의 방식이다. 즉 기술적 가능성은 물리적 가능성을 함축하지만 그 역은 성립하지 않고, 물리적 가능성은 논리적 가능성을 함축하지만 그 역은 성립하지 않는다. (한 다리 건너면: ____ 가능성은 ____ 가능성을 함축하지만 그 역은 성립하지 않는다.)세 가지 종류의 필연성
이제 아주, 아주 중요한 물음을 하나 던져보자: 가능성(possibility) 의 기술적, 물리적, 논리적 개념들에 대응해서, 필연성(necessity)의 기술적, 물리적, 논리적 개념들을 생각할 수 있지 않을까? 그 개념들은 어떻게 이해할 수 있을까? 또, 만일 이처럼 필연성의 개념이 여러 가지라면, 우리는 다른 개념을 정의하는데 필연성의 개념을 정의하거나 해명할 필요가 없는 명료한 개념으로 간주하고 사용할 수 있을까?문장, 명제, 사고, 판단
설명할 필요가 있는 또 하나의 문제는 논리학이 다루는 대상으로서 문장을 선택한 일이다. 어떤 사람에게는 문장이 참이거나 거짓이라고 말하는 것이 이상하게 들릴 것이다. 이 주제에 대한 역사를 살펴보면 문장 대신에 진술(statement) , 명제(proposition) , 사고(thought) , 판단(judgment) 등에 관해 이야기하자는 제안들이 있어 왔다. 그러나 그것들을 변호하는 이들에 의해 기술된 바대로 이해한다면, 이러한 존재자(item)들은, 제 정신을 가지고 생각한다면, 하나의 심각한 결점을 공유하고 있음이 드러난다. 그 결점이란, 극단적인 표현을 사용하자면, 다음의 한 마디로 표현된다: 그것들은 존재하지 않는다. (p. 32) 문장은 무엇이고, 명제, ... 등은 무엇일까? 또 그것들의 본성에는 어떤 차이가 있을까? 벤슨 메이츠는 후자의 존재자들은 없다고 단호하게 말하는데, 그는 철학적으로 어떤 신념을 가졌기에 이렇게 말하는것일까?
문장, 명제, 사고, 판단 (계속)
일반적으로 우리가 문장들을 다루는 한, 논리학자가 관심을 가지는 많은 속성들은 단순한 검사(simple inspection)에 의해 확인할 수 있는 것이다. 한 문장이 요소문장인지，복합문장인지，혹은 긍정문인지， 부정문장인지, 또 혹은 한 문장이 다른 문장을 부분으로 포함하는지 등등을 결정하기 위해 요구되는 것은 형이상학적 통찰력이 아니라 단지 어느 정도 좋은 시각 (reasonably good eyesight)일 뿐이다.대조적으로, 명제들 같은 추상체들(abstract entities)과 관련해서는 그논리적 속성을 파악하기가 쉽지 않다. 예를 들어, “비가 온다"가 표현하는 명제는 "Es regnet”이 표현하는 명제와 같아 보인다. 하지만, "A circle is a circle”과 “A circle is the set of equidistant points from a specific point”가 표현하는 명제들은 수적으로 같은가, 다른가? (철학전공자는 pp. 33-36을 꼭 읽어보자.)
논리적 형식과 논리적 참
많은 경우에 있어서, 한 문장이 필연적 참이라면 그것과 ‘같은 논리적 형식(the same logical form)’을 지닌 모든 문장이 마찬가지로 필연적 참이다. 소크라테스는 기원전 399년에 죽었거나 또는 소크라테스는 기원전 399년에 죽지 않았다. 를고려해 보자. 이 문장의 구성요소인 ‘소크라테스는 기원전 399 년에 죽었다’ 가 어떤 다른 문장에 의해 . . . 대치되더라도 이 문장은 여전히 참일 뿐 아니라 필연적 참이다. 예: 아리스토텔레스는 기원전 399년에 죽었거나 또는 아리스토텔레스는 기원전 399 년에 죽지 않았다. 일반적으로, 형식 S이거나 또는 S가 아니다. 의 모든 문장이 필연적 참이다. (이런 형식, 또는 이런 형식의 모든 문장들은 논리적으로 참이라는 원칙을 뭐라고 부른다고?)
논리적 형식과 논리적 참 (계속)
만약 잔디가 녹색이고 눈이 희다면，눈이 희다， 만약 장미가 붉고 눈이 희다면，눈이 희다， 만약 아리스토텔레스가 알렉산더의 스승이고 알렉산더가 우둔하다면，알렉산더는우둔하다. 는 모두 필연적 참이며，일반적으로 형식 만약 S 이고 T 이면, T 이다. 의 모든 다른 문장 역시 필연적 참이다. 필연적 참 중에서도 같은 형식의 모든 다른 문장도 역시 필연적이라는 속성을 가지는 것들을 우리는논리적 형식에 의한 필연적 참 (necessary truth by virtue of its logical form) 혹은 논리적 참(iogical truth) 이라 부른다.필연적 참≠논리적 참
모든 필연적 참은 논리적 형식에 의해 필연적이라고 생각하는 사람이 있을지도 모르므로, 문헌에 있는 오래된 예인 문장 모든 총각은 결혼하지 않았다. 를 살펴보자. 이 문장은 필연적 참이지만 같은 형식의 다른 많은 문장들，이를 테면 모든 상원의원은 결혼하지 않았다. 는 필연적 참이 아니다. 즉 이것은 필연적 참이 논리적 참이라는 주장에 대한 반례이다.필연적 참≠논리적 참 (계속)
비록 모든 필연적 참이 그 논리적 형식에 의해 필연적인 것은 아니지만, (Frege) 모든 필연적 참은 (i) 그 자체의 논리적 형식에 의해 필연적이거나, (ii) 어떤 표현을 그 동의어(synonym) 로 대체함으로써 논리적 참으로부터 얻어낼 수 있는 문장이다 라는 다소 약한 주장이 제시되어 왔다. 예: 논리적 참 문장 모든 결혼하지 않은 남자는 결혼하지 않았다. 안에서 ‘결혼하지 않은 남자’를 그 동의어 ‘총각’으로 대체하면 모든 총각은 결혼하지 않았다. 가얻어진다. (“H2O=water”나 “孔子=仲尼"는 필연적 참인가 아닌가? 그것들은 (i) 또는 (ii)를 충족하나?)타당성의 정의
지금까지는 논리적 참의 개념을 주로 논했지만, 이 과목의 주된 주제는 결국 타당성(또는 귀결)의 개념이다. 이제 (이미 살펴본) 다음 정의를 다시 떠올려 보자: (정의 1) 유한한 수의 전제들을 가진 논변은 그 논변에 상응하는 조건문이 필연적으로 참일 경우에 오직 그 경우에만 타당하다. 여기서 쓰인 필연적 참의 개념을 논리적인 종류로 제한하면 타당성에 대한 다음 정의가 얻어진다: (정의 2) 유한한 수의 전제들을 가진 논변은 그 논변에 상응하는 조건문이 논리적(으로 필연적인) 참일 경우에 오직 그 경우에만 타당하다.타당성의 정의 (계속)
정의 1의 문제점은 다음과 같다: 논변의 타당성 <= 상응하는 조건문의 필연적 참 <= 모 든 가능세계에서의 참 <= 상상할 수 있는 모든 상황 <= 그 상황을 기술한 문장으로부터 모순이 (타당하게) 도출되지 않음. 즉 정의 1은 순환정의가 된다. 언뜻 생각하면, 정의 2는 이 문제를 겪지 않을 것 같다. 왜냐하면, 우리는 논리적 참을 다음과 같이 규정하지 않았던가? 논변의 타당성 <= 상응하는 조건문의 논리적 참 <= "(그 조건문이) 그것의 모든 대입예가 필연적 참인 그러한 문장틀의 대입예이다." 여기서 대입예(substitution-instance)와 문장틀(matrix)의 개념들을 —나중에 실제로 그렇게 할 것인데— 타당성이나 논리적 참의 개념을 동원하지 않고 정의할 수 있다면, 정의 2는 비순환적 정의가 될 것처럼 보인다. 그런데 문제는 뭘까?문장문자
정의 2에서도 필연성의 개념이 사용됐다. 따라서, 필연적 참이 (묵시적으로라도) 타당성의 개념을 가지고 정의되는 한, 순환정의를 피할 수 없다. 다행히도, 메이츠는 이 문제를 피하는 논리적 참의 정의를 제시한다. 이 정의는 다소 복잡하므로, 여러 장의 슬라이드에 걸쳐서 제시할 수 밖에 없다: S 이거나 또는 S 가 아니다. 만약 S 이고 T 이면，T 이다. . . . 우리는 이 예문들에서 문자 ‘S’와 ‘T’를 각각 문장으로 대치함으로써 특정한문장을 얻는다. 이들 문자들은，그리고 같은 의도를 가지고 사용되는 모든 문자들은, 문장문자(sentential letter) 라 불려진다.집합문자
만약 모든 B가 C이고 모든 A가 B이면，모든 A는 C이다. 모든 B하지 않은 A는 B하지 않다. 우리는 이 예문들에서 특정한 문장을 얻기 위해 문장이 아닌 보편명사를 (예: ‘사람’，‘죽는 존재’，‘교수’，‘스웨덴인’을) 대입해야 한다. 문자 ‘A’, ‘B’, ‘C’는, 그리고 보편명사로 대치되는 모든 비슷한 문자는, 집합문자(class letter) 이다.개체문자
x는 C하지 않은 B 이다. 우리는 이 예문에서 문자 ‘ x’를 ‘소크라테스’，‘아리스토텔레스’， ‘알렉산더’와 같이 개체(individual)의 이름이거나 ‘알렉산더의 스승’，‘플라톤의 제자’와 같은 개체의 기술구가 대입되어지는 것으로 사용하였다. 이와 같이 개체를 지칭하는 표현들이 대입되는 문자들을개체문자(individual letter) 라 부른다.문장틀(matrix)과 대체예(substitution instance)
I 한편 형식적 표현들 자체를 가리키기 위해문장틀 (matrix) 이란 말을 도입하자: 문장틀은 소위 논리어들(‘그리고’，‘또 는’，‘만약 . . . 그러면’，‘아니다’，‘모든’，‘어떤’ 등)과， 문장문자들，집합문자들，개체문자들이 모여 이루어진 표현이다. I 문장틀의 문장/집합/개체 문자들에 적당한 종류의 표현들을 대치하여 얻은 결과는 문장이며, 문장틀 F에서 그렇게 얻어진 문장 S는 F의 대체예라고 부른다. (앞의 세 슬라이드에서 나온 문장틀들의 대체예들을 생각해 보자.) I 또 그런 문자들에, 그 종류에 따라서, 진리치/집합/개체를 할당할 수 있는데, 그런 할당을 우리는 해석(interpretation) 이라고 부를 것이다.타당성의 비순환적이고 명료한 정의
이제 우리는 타당성의 개념을 다음과 같이 2단계로 정의할 수 있다: (논리적 참의 정의) 어떤 문장 S가 문장틀 속에 나타나는 다양한 개체문자들, 집합문자들，문장문 자들에 어떤 해석을 주건 간에 ‘참이 되는’ 문장틀의 대입예일 경우 그 문장이 논리적 참이다. 예) 만일 S 또는 T이고 T가 아니면 S이다. 모든 A가 B라면, 모든 非B는 非A이다. x=x. (타당한 논변의 정의) 어떤 논변 A1,. . . ,An// B는 정확히 다음 경우에 타당하다: “만일 A1이고,. . . 이고 An이라면 C 이다"가 논리적으로 참이다. 예) S이거나 T이다. T가 아니다. 그러므로 S이다. 이 정의들의 어디에서도 명료하지 않은 개념이 쓰이거나, 타당성 혹은 논리적 참의 개념들이 그것들 자체를 정의하는데 쓰이지 않았다.논리학에서 인공언어의 필요성
(누군가가 교과서 41쪽에서 “근래의 논리학. . . ”에서부터
“. . . 요구하기 때문이다"까지를 읽어보자.) 이어서 말하자면, 예를 들어, 비록 문장
All men are mortal or not all men are mortal (모든 사람이 죽거나 또는 모든 사람이 죽는 것은 아니다)，
는
S or not S (S 이거나 또는 S 는 아니다)， 의 거의 엄격한 대입예이지만,
Socrates is mortal or Socrates is not mortal
(소크라테스는 죽거나 또는 소크라테스는 안 죽는다). 는 그처럼 엄격한 대입예는 아니다. (왜 그런가?)
논리학에서 인공언어의 필요성 (계속)
앞 슬라이드에서 우리는 Socrates is mortal.
의 부정을 동사 오른쪽에 ‘ not’을 삽입함으로써 만들었다. 그러나 All men are mortal (모든 사람이 죽는다)
의 부정을 같은 방식으로 만든다면 그 결과는
All men are not mortal (모든 사람은 안 죽는다). 인데，원하는 것은 다음의 더 약한 문장이다:
