2021 숨마쿰라우데 개념기본서 중1-1 답지 정답

개념 BOOK

17

작업 속도가 같은 x명이 y분 동안 청소한 총 시간이 12명이 30분 동안 청소한 총 시간과 같아야 하므로 xy=12_30 ∴ y= 이제 y= 에 y=20을 대입하면 20= , 20x=360 ∴ x=18 따라서 20분 동안 청소하여 끝내려면 18명의 학생이 함께 청소해야 한다.

18

ㄷ. a<0일 때, 반비례 관계 y= 의 그래프는 제`2`사분면 ㄷ.과 제`4`사분`면을 지난다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.

19

반비례 관계 y= 의 그래프가 점 (-4, 3)을 지나므로 y= 에 x=-4, y=3을 대입하면 3= ∴ a=-12 ∴ y=-즉, y=- 의 그래프가 점(3, k)도지나므로 y=- 에 x=3, y=k를 대입하면 k=- =-4

20

반비례 관계 y= 의 그래프 위의 점 P(a, b)에서 a, b 모두 자연수인 점은 (1, 24), (2, 12), (3, 8), (4, 6), (6, 4), (8, 3), (12, 2), (24, 1) 이므로 그 개수는 모두 8이다.

21

정비례 관계 y=ax의 그래프가 점 (2, -4)를 지나므로 y=ax에 x=2, y=-4를 대입하면 -4=2a ∴ a=-2 따라서 반비례 관계 y=- 의 그래프는 점 (1, -2)를 지나므로 알맞은 그래프는 ⑤이다. 2 1_x 24 145_x 12 145₃ 12 145_x 12 145_x 12 145_x a 1345_-4 a 1_x a 1_x a 1_x 360 1453_x 360 1453_x 360 1453_x

22

x>0일 때, 정비례 관계 y=ax 꼴의 그래프는 a<0인 경 우에 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하고, 반비례 관계 y= 꼴의 그래프는 a>0인 경우에 지나는 사분면에서 x 의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. 따라서 ② y=-x, ⑤ y= 이다.

23

y= 의 그래프가 점 P(2, 15)를 지나므로 y= 에 x=2, y=15를 대입하면 15= ∴ a=30 따라서 y= 이고, 점 A는 이 그래프 위의 점이므로 좌표를 A{b, } (b>0)으로 놓을 수 있다. ∴ B(b, 0), C {0, } 이제 직사각형 ACOB에서 가로의 길이 : (선분 OB의 길이)=b 세로의 길이 : (선분 OC의 길이)= ∴ (직사각형 ACOB의 넓이)=b_ =30

24

점 P의 좌표를 P(a, b)라고 하자. 정비례 관계 y=-3x의 그래프가 점 (-2, b)를 지나므로 y=-3x에 x=-2, y=b를 대입하면 b=-3_(-2)=6 반비례 관계 y= 의 그래프가 점 P(a, 6)을 지나므로 y= 에 x=a, y=6을 대입하면 6= , 6a=18 ∴ a=3 ∴ P(3, 6) 18 145_a 18 145_x 18 145_x 30 145_b 30 145_b 30 145_b 30 145_b 30 145_x a 1₂ a 1_x a 1_x 8 22_x a 1_x

01⑤ 027 03③, ⑤ 04② 0524일 06ㄱ 07⑤ 08②, ⑤ 09⑴ y=340x ⑵ 1020 m ⑶ 7초 후 10-17 11⑤ 12;3@; 13D{4, ;2!;} 14②, ⑤ 15① 1612 17②, ③ 188 19④ 2024 2163 2215 2312 2432 25y=2500x, 12 m

대단원

EXERCISES

244~247쪽

0

1

⑤ 점 (0, -1)과 원점에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (0, 1)이다.

0

2

x축 위에 있고 x좌표가 3인 점 P의 좌표는 P(3, 0)이므로 a=3, b=0

점 Q는 y축 위에 있고 y좌표가 a+1이므로 점 Q의 좌표는 Q(0, a+1) 따라서 c=0, d=a+1=4이므로 a+b+c+d=3+0+0+4=7

0

3

점 P(-a, b)가 제`3사분면 위의 점이므로 -a<0, b<0 ∴ a>0, -b>0, ab<0 이제 주어진 각 점의 좌표의 부호를 이용하여 속하는 사분 면을 찾아보면 ① A(a, -b) : (+, +)Δ제`1`사분면 위의 점 ② B(a, ab) : (+, -)Δ제`4`사분면 위의 점 ③ C(b, a) : (-, +)Δ제`2`사분면 위의 점 ④ D(-b, a) : (+, +)Δ제`1`사분면 위의 점 ⑤ E(ab, -b) : (-, +)Δ제`2`사분면 위의 점 따라서 제`2`사분면 위의 점은 ③, ⑤이다.

0

4

점 A(a+2, 5b-8)과 점 (a-4, -7b)가 원점에 대하여 대칭이므로

a+2=-(a-4), 2a=2 ∴ a=1 5b-8=7b, -2b=8 ∴ b=-4 ∴ a+b=1+(-4)=-3

0

5

그래프에서 생체리듬이 가장 낮은 곳은 6일과 30일이다. 가장 낮은 곳을 기준으로 다시 가장 낮은 곳으로 돌아올 때 까지 걸린 날짜는 30-6=24(일)이므로 구하는 주기는 24 일이다.

0

6

물의 높이가 천천히 높아지다가 서서히 빠르게 높아지므로 물병의 단면은 아랫부분은 넓고, 위로 갈수록 좁아지므로 물병의 모양으로 알맞은 것은 ㄱ이다.

0

7

⑤ 입구에서 정상까지 올라가는 시간은 60분, 정상에서 지 상 10 m까지 내려오는 시간도 60분이 걸린다.

0

8

y는 x에 정비례한다. ① y=4x-4 ② y=0.2x (정비례) ③ xy=4에서 y=;[$; (반비례) ④ x+y=1에서 y=-x+1 ⑤ x-y=0에서 y=x (정비례) 따라서 정비례 관계인 것은 ②, ⑤이다.

0

9

⑵ y=340x에 x=3을 대입하면 y=340_3=1020 따라서 구하는 거리는 1020 m이다. ⑶ y=340x에 y=2380을 대입하면 2380=340x ∴ x=7 따라서 7초 후에 천둥소리를 듣게 된다.

10

정비례 관계 y=kx(k+0)의 그래프가 점 (4, -12)를 지나므로 y=kx에 x=4, y=-12를 대입하면 -12=4k ∴ k=-3 ∴ y=-3x 즉, y=-3x의 그래프가 점 (a, 6)을 지나므로 y=-3x에 x=a, y=6을 대입하면

6=-3a ∴ a=-2 또 y=-3x의 그래프가 점 (5, b)를 지나므로 y=-3x에 x=5, y=b를 대입하면 b=-3_5=-15 ∴ a+b=-2+(-15)=-17

11

정비례 관계 y=ax의 그래프가 점 (6, -4)를 지나므로 y=ax에 x=6, y=-4를 대입하면

-4=6a ∴ a=-;3@; ∴ y=-;3@;x

이때 y=bx의 그래프가 y=-;3@;x의 그래프보다 y축에 더

가까우므로 |b|>|-;3@;|이어야 한다. 따라서 b의 값이 될 수 없는 것은 ⑤이다.

개념 BOOK

12

세 점 O(0, 0), A(6, 0), B(6, 8)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 OAB의 넓이를 정비례 관계 y=ax의 그래프가 이 등분하려면 다음 그림과 같이 y=ax의 그래프가 선분 AB 를 이등분하는 점 P를 지나야 한다. (∵ 나누어진 두 삼각 형의 높이가 선분 OA로 서로 같기 때문에 밑변의 길이까 지 같으면 넓이가 서로 같다.) 즉, 정비례 관계 y=ax의 그래프가 점 P(6, 4)를 지나야 하므로 y=ax에 x=6, y=4를 대입하면 4=6a ∴ a=;3@;

13

A(4, a), C(b, c)로 놓으면 사각형 ABCD가 직사각형 이므로 B(b, a), D(4, c)로 놓을 수 있다.

먼저 점 A(4, a)가 정비례 관계 y=;2!;x의 그래프 위에 있

으므로 y=;2!;x에 x=4, y=a를 대입하면 a=;2!;_4=2 ∴ A(4, 2) 또 점 B(b, 2)는 정비례 관계 y=2x의 그래프 위에 있으 므로 y=2x에 x=b, y=2를 대입하면 2=2b, b=1 ∴ B(1, 2) 또한 점 C(1, c)는 정비례 관계 y=;2!;x의 그래프 위에 있으므로 y=;2!;x에 x=1, y=c를 대입하면 c=;2!;_1=;2!; ∴ C{1, ;2!;} ∴ D{4, ;2!;}

14

① 반비례 관계 y=- 의 그래프는 원점에 대하여 대칭 ①인 한 쌍의 곡선이다. ② 반비례 관계의 그래프는 x축, y축과 절대 만나지 않는다. ③ y=- 에 x=-3을 대입하면 y=5이므로 그래프는 ①점 (-3, 5)를 지난다. ④ x<0일 때 그래프는 제`2`사분면을 지난다. ⑤ 지나는 사분면에서 x의 값이 증가할 때 y의 값도 증가 한다. 15 13_x 15 13_x x y O 8 4 6 y=ax P A B

15

y가 x에 반비례하므로 관계식을 y= 로 놓고, x=-2, y=8을 대입하면 8= ∴ a=-16 따라서 관계식은 y=- 이다.

16

(타일의 총 개수) =(가로에 놓인 개수)_(세로에 놓인 개수)이므로 xy=192 ∴ y= y= 에 y=16을 대입하면 16= ∴ x= =12 따라서 가로에 놓이는 타일의 개수는 12이다.

17

정비례 관계 y=ax의 그래프는 a>0인 경우 x의 값이 증 가할 때 y의 값도 증가하고, 반비례 관계 y= 의 그래프 는 a<0인 경우 x의 값이 증가할 때, y의 값도 증가하므로 구하는 답은 ②와 ③이다.

18

반비례 관계 y= 의 그래프가 점 (5, -3)을 지나므로 y= 에 x=5, y=-3을 대입하면 -3= ∴ a=-15 따라서 반비례 관계 y=- 의 그래프 위의 점 중에서 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점은 (1, -15), (3, -5), (5, -3), (15, -1), (-1, 15), (-3, 5), (-5, 3), (-15, 1) 이므로 그 개수는 모두 8이다.

19

① 원점을 지나는 직선이고 점 (2, 1)을 지나므로 그 식은 y=;2!;x이다. ② 원점을 지나는 직선이고 점 (1, 2)를 지나므로 그 식은 y=2x이다. ③ 원점을 지나는 직선이고 점 (-1, 3)을 지나므로 그 식은 y=-3x이다. 15 145_x a 1₅ a 1_x a 1_x a 1_x 192 124₁₆ 192 124_x 192 124_x 192 124_x 16 123_x a 123_-2 a 1_x

④ 원점에 대하여 대칭인 한 쌍의 곡선이고 점 (2, -2)를 지나므로 그 식은 y=- 이다. ⑤ 원점에 대하여 대칭인 한 쌍의 곡선이고 ⑤점 (3, 3)을 지나므로 그 식은 y= 이다. 따라서 그래프와 관계식이 잘못 짝지어진 것은 ④이다.

20

반비례 관계 y= 의 그래프가 점 (-1, 8)을 지나므로 y= 에 x=-1, y=8을 대입하면 8= ∴ a=-8 따라서 y=- 이고, A(-4, b), C(4, c)로 놓을 때, 점 A(-4, b)가 반비례 관계 y=- 의 그래프 위에 있 으므로 y=- 에 x=-4, y=b를 대입하면 b=- =2 ∴ A(-4, 2) 또 점 C(4, c)도 반비례 관계 y=- 의 그래프 위에 있 으므로 y=- 에 x=4, y=c를 대입하면 c=-;4*;=-2 ∴ C(4, -2) 따라서 직사각형 ABCD의 나머지 두 점의 좌표는 B(-4, -2), D(4, 2)이므로 (선분 AD의 길이)=4-(-4)=8 (선분 AB의 길이)=2-(-2)=4 ∴ (직사각형 ABCD의 둘레의 길이) ∴=8+4+8+4=24

21

정비례 관계 y=ax의 그래프가 점 (-3, -9)를 지나므 로 y=ax에 x=-3, y=-9를 대입하면 -9=-3a ∴ a=3 또 반비례 관계 y= 의 그래프가 점 (3, 7)을 지나므로 식에 x=3, y=7을 대입하면 7= ∴ b=21 ∴ ab=3_21=63 b 1₃ b 1_x 8 1_x 8 1_x 8 11_-4 8 1_x 8 1_x 8 1_x a 123_-1 a 1_x a 1_x 9 1_x 4 1_x

22

정비례 관계 y=3x의 그래프와 반비례 관계 y= 의 그래프가 만나는 점의 y좌표를 c라고 하자. 정비례 관계 y=3x의 그래프가 점 (2, c)를 지나므로 y=3x에 x=2, y=c를 대입하면 c=6 반비례 관계 y= 의 그래프도 점 (2, 6)을 지나므로 y= 에 x=2, y=6을 대입하면 6= ∴ a=12 또 반비례 관계 y= 의 그래프는 점 (4, b)도 지나므로 y= _{에 x=4, y=b를 대입하면 b=:¡4™:=3} ∴ a+b=12+3=15

23

점 P(-2, -3)과 x축에 대하여 대칭인 점 Q의 좌표는 Q(-2, 3) …… ❶ 또 점 Q와 y축에 대하여 대칭인 점 R의 좌표는 R(2, 3) …… ❷ 따라서 세 점 P, Q, R를 꼭짓점으로 하는 삼각형 PQR는 오른쪽 그림과 같으므로 (선분 PQ의 길이)=3-(-3)=6 (선분 QR의 길이)=2-(-2)=4 ∴ (삼각형 PQR의 넓이)=;2!;_6_4=12 …… ❸

24

반비례 관계 y= 의 그래프가 점 (-4, 6)을 지나므로 y= 에 x=-4, y=6을 대입하면 6= ∴ a=-24 …… ❶ 따라서 y=- 이고, 그래프가 점 (b, -3)도 지나 므로 식에 x=b, y=-3을 대입하면 -3=- , -3b=-24 ∴ b=8 …… ❷ ∴ b-a=8-(-24)=32 …… ❸ 24 145_b 24 145_x a 123_-4 a 1_x a 1_x x y O 2 3 -3 -2 P Q R 12 145_x 12 145_x a 1₂ a 1_x a 1_x a 1_x ❶점 Q의 좌표 구하기 ❷점 R의 좌표 구하기 ❸삼각형 PQR의 넓이 구하기 30 % 30 % 40 % 채점 기준 배점

개념 BOOK

25

케이블 100 g당 가격이 2000원이므로 케이블 500 g의 가 격은 10000원이다. 이때 500 g에 해당하는 케이블의 길이가 4 m이므로 케이 블 4 m의 가격은 10000원이다. 따라서 케이블 x m의 가격 y원에 대하여 비례식 4 : 10000=x : y가 성립하므로 4y=10000x ∴ y=2500x …… ❶ y=2500x에 y=30000을 대입하면 30000=2500x ∴ x=12 따라서 30000원으로 살 수 있는 케이블의 길이는 12 m이다. …… ❷ ❶a의 값 구하기 ❷b의 값 구하기 ❸b-a의 값 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점 ❶x와 y 사이의 관계식 구하기 ❷30000원으로 살 수 있는 케이블 길이 구하기 60 % 40 % 채점 기준 배점 [유제] 01A(5, 4) 02풀이 참조

Advanced Lecture

248~249쪽

01

좌표평면 위의 점 A를 원점을 중심으로 하여 시계 반대 방 향으로 90˘ 회전시킨 점이 B(-4, 5)이므로, 반대로 점 B 를 원점을 중심으로 하여 시계 방향으로 90˘ 회전시킨 점이 점 A가 된다. 즉, 다음 그림과 같이 삼각형 BOC가 삼각형 AOD로 옮겨 지는 것이 되므로 A(5, 4) x y O 4 B C D 5 5 -4 A

02

⑴ y=|2x|의 대응표를 만들면 다음과 같다. ⑴따라서 y=|2x|는 x의 부호에 따라 다음과 같이 둘로 나누어 생각해야 한다. ⑴⁄xæ0일 때, y=2x ⑴¤x<0일 때, y=-2x ⑴따라서 y=|2x|의 그래프는 다음 그림과 같이 xæ0일 때는 y=2x의 그래프를 그리고, 이x<0일 때는 y=-2x의 그래프를 그린 후 둘을 이어 붙인 V자 모양으로 그려진다. ⑵ y=-2|x|의 대응표를 만들면 다음과 같다. ⑴따라서 y=-2|x|는 x의 부호에 따라 다음과 같이 둘 로 나누어 생각해야 한다. ⑴⁄xæ0일 때, y=-2x ⑴¤x<0일 때, y=2x ⑴따라서 y=-2|x|의 그래프는 다음 그림과 같이 xæ0 일 때는 y=-2x의 그래프를 그리고, 같이x<0일 때는 y=2x의 그래프를 그린 후 둘을 이어 붙인 V자 모양으로 그려진다. x y O y=-2|x| -1 -2 1 x y O y=|2x| -1 1 2 x y y -3 -2 -1 0 1 2 y y -6 -4 -2 0 -2 -4 y x y y -3 -2 -1 0 1 2 y y 6 4 2 0 2 4 y

S U M M A C U M L A U D E 정 답 및 풀 이

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테스트

_BOOK

0

1

1은 소수도 합성수도 아니다.

0

2

27=3‹ , 57=3_19, 77=7_11, 87=3_29 즉, 소수는 37, 47, 67, 97이므로 모두 4개이다.

0

4

ㄱ. 소수는 약수가 2개인 수이다. ㄱ.1은 약수가 1개이므로 소수가 아니다. ㄴ. 짝수 중 2는 소수이다. ㄷ. 1, 2, 3, 4, 5, 6 중 소수는 2, 3, 5로 3개이다. ㄹ. 111=3_37이므로 111은 소수가 아니다. 따라서 옳지 않은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.

0

6

⑤ =

0

7

3fi 의 밑은 3, 지수는 5이므로 a=3, b=5 ∴ b-a=5-3=2 1 12_6‹ 1 1111_{6_6_6}

0

8

16=2› , 243=3fi 이므로 a=4, b=5 ∴ a+b=4+5=9

0

9

252=2¤ _3¤ _7이므로 a=2, b=2, c=1 ∴ a+b+c=2+2+1=5

10

⑴ 64=Δ2fl 이므로 소인수는 2이다. ⑵ 72=Δ2‹ _Δ3¤ 이므로 소인수는 2, 3이다. ⑶ 280=Δ2‹ _Δ5_Δ7이므로 소인수는 2, 5, 7이다.

11

① 42=2_3_7 ② 56=2‹ _7 ④ 140=2¤ _5_7 ⑤ 260=2¤ _5_13

12

곱이 6인 소인수는 2와 3이므로 조건을 만족하는 자연수는 2åå _3∫ 꼴이다. 71부터 79까지의 자연수 중 소인수분해할 때 2å _3∫ 꼴이 되는 수는 2‹ _3¤ =72이다.

13

84=2¤ _3_7이므로 84_a=b¤ ˙k 2¤ _3_7_a=b¤ 2¤ _3_7에 a를 곱하여 제곱수 b¤ 이 되는 것이므로 가장 작은 a의 값은 3_7=21이다. 이때 2¤ _3_7_(3_7)=(2_3_7)¤ 이므로 b=2_3_7=42 ∴ a=21, b=42

14

135=3‹ _5이므로 135가 제곱수가 되도록 나눌 수 있는 가장 작은 자연수는 3_5=15

15

243=3fi 이므로 3fi _x가 제곱수가 되려면 x는 3_(자연수)¤ 꼴이다. 따라서 x의 값 중 가장 작은 두 자리의 자연수는 3_2¤ =12

16

60=2¤ _3_5이므로 어떤 자연수의 제곱이 되게 하려면

소인수분해

1. 소인수분해

I

01소수 : 11, 17, 23, 합성수 : 14, 20 024개 03a=2, b=4 04ㄱ, ㄴ, ㄹ 05⑴ 3fi ⑵ 2¤ _7› ⑶ 2¤ _3‹ _5‹ ⑷ 06⑤ 072 089 095 10⑴ 2fl , 소인수 : 2 ⑵ 2‹ _3¤ , 소인수 : 2, 3 ``⑶ 2‹ _5_7, 소인수 : 2, 5, 7 11③ 1272 13a=21, b=42 1415 1512 16②, ⑤ 171, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225 18⑤ 19② 206개 21④ 22⑤ 232 2424 1 13_5›

유형

TEST

01. 소수와 합성수 002~004쪽 02. 소인수분해

테스트 BOOK 최소한 3_5를 곱해야 하고, 그 다음 수는 3_5_2¤ , 3_5_3¤ 등 3_5_a¤ 꼴이어야 한다. 따라서 ① 3_5, ③ 2¤ _3_5, ④ 3‹ _5=3¤ _3_5를 곱 할 수 있다.

17

225=3¤ _5¤ 이므로 3¤ 의 약수와 5¤ 의 약수를 표에 써넣어 각각 곱하면 다음과 같다. 따라서 225의 약수는 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225이다.

18

72=2‹ _3¤ 이므로 소인수 2와 3에 대한 지수를 비교하면 ⑤ 2¤ _3‹ 은 약수가 될 수 없다.

19

2¤ _3¤ _7의 약수는 (2¤ 의 약수)_(3¤ 의 약수)_(7의 약수) 꼴이다. ① 21=3_7 ② 24=2‹ _3 ③ 28=2¤ _7 ④ 36=2¤ _3¤ ⑤ 63=3¤ _7

20

144=2› _3¤ 이고, 144의 약수 중에서 자연수의 제곱이 되 는 수는 1인 경우 또는 소인수의 지수가 모두 짝수인 경우 이므로 1, 2¤ , 3¤ , 2› , 2¤ _3¤ , 2› _3¤ 의 6개이다.

21

① 2¤ _3‹ ˙k (2+1)_(3+1)=12 ② 3_5fi ˙k (1+1)_(5+1)=12 ③ 5_7_11¤ ˙k (1+1)_(1+1)_(2+1)=12 ④ 2_3_5_7 ˙k (1+1)_(1+1)_(1+1)_(1+1) =16 ⑤ 11⁄ ⁄ ˙k 11+1=12 따라서 약수의 개수가 다른 하나는 ④이다.

22

④ 392=2‹ _7¤ 의 약수의 개수는 (3+1)_(2+1)=12 ⑤ 819=3¤ _7_13의 약수의 개수는 (2+1)_(1+1)_(1+1)=12

23

80_3« =2› _5_3« 의 약수의 개수가 30이므로 (4+1)_(1+1)_(n+1)=30 10_(n+1)=30, n+1=3 ∴ n=2

24

약수의 개수가 8인 자연수는 am또는 am_bn (a, b는 서로 다른 소수, m, n은 자연수) 꼴이다. ⁄am 꼴일 때, m+1=8에서 m=7 즉, 가장 작은 자연수는 2‡ =128 ¤am _bn 꼴일 때, (m+1)_(n+1)=8에서 m=1, n=3 또는 m=3, n=1 즉, 가장 작은 자연수는 2‹ _3=24 ⁄, ¤에서 구하는 자연수는 24이다. _ 1 5 5¤ 1 3 3¤ 1_1=1 5_1=5 5¤ _1=25 1_3=3 5_3=15 5¤ _3=75 1_3¤ =9 5_3¤ =45 5¤ _3¤ =225

0

1

15=3_5이므로 3 또는 5의 배수가 아니어야 15와 서로 소가 된다. ① 9=3¤ ② 18=2_3¤ ③ 25=5¤ ④ 28=2¤ _7 ⑤ 51=3_17 따라서 15와 서로소인 자연수는 ④이다.

0

2

① 39와 52의 최대공약수는 13이므로 서로소가 아니다. ② 3과 8은 서로소이지만 8은 소수가 아니다. ③ 서로소인 두 자연수의 공약수는 1이다. ④ 5와 15는 홀수이지만 최대공약수가 5이므로 서로소가 아니다. 01④ 02⑤ 037 04799개 05④ 06② 07⑴ 9 ⑵ 18 ⑶ 150 ⑷ 18 089개 09⑤ 1090 113 12④ 139개 14④ 1560 cm, 30 1612 cm 1728 188명 1921 2014그루 21⑤ 22② 23⑴ 120 ⑵ 36 ⑶ 882 ⑷ 1260 24①, ③ 257개 266 27②, ④ 285 29a=3, b=9308 3190 3260 33② 3428 35120 36720 37③ 38오전 7시 39216개 4012 4160 cm 4271 43122 44③ 45122명 46180 47;1$7%; 48②

유형

TEST

03. 최대공약수_{04. 최소공배수} 005~010쪽

0

3

140=2¤ _5_7의 약수 중 소수는 2, 5, 7뿐이다. 이 수 중 50=2_5¤ 과 서로소인 수는 7이다.

0

4

625=5› 과 서로소인 자연수는 5의 배수가 아닌 수이다. 2부터 999까지의 자연수 중 5의 배수는 199개이므로 5의 배수가 아닌 수는 998-199=799(개)

0

5

두 자연수 A, B의 공약수는 두 수의 최대공약수인 42의 약 수이므로 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

0

6

두 자연수 A, B의 공약수의 개수는 두 수의 최대공약수인 90의 약수의 개수와 같다. 90=2_3¤ _5이므로 공약수의 개수는 (1+1)_(2+1)_(1+1)=12

0

7

⑴ 18=2_3¤ , 81=3› 이므로 최대공약수는 3¤ =9 ⑵ 2_3¤ =18 ⑶ 2_3_5¤ =150 ⑷ 180=2¤ _3¤ _5이므로 최대공약수는 2_3¤ =18

0

8

세 수의 최대공약수는 2¤ _5¤ 이므로 공약수의 개수는 (2+1)_(2+1)=3_3=9

0

9

72=2‹ _3¤ , 108=2¤ _3‹ , 144=2› _3¤ 이므로 세 수의 최 대공약수는 2¤ _3¤ 이다. ⑤ 2‹ _3은 2¤ _3¤ 의 약수가 아니다.

10

두 수 2¤ _3‹ _5¤ , 2¤ _3¤ _5_11의 최대공약수는 2¤ _3¤ _5=180이므로 공약수는 180, 90, 60, y이다. 따라서 공약수 중 두 번째로 큰 수는 90이다.

11

공통인 소인수를 찾아 지수가 작은 쪽을 택해야 최대공약 수가 된다. 따라서 3∫ =3¤ , 5å =5이므로 b=2, a=1 ∴ a+b=1+2=3

12

48=2› _3과 a의 최대공약수가 6이어야 한다. ① 18=2_3¤ 이므로 48과의 최대공약수는 2_3=6 ② 30=2_3_5이므로 48과의 최대공약수는 2_3=6 ③ 42=2_3_7이므로 48과의 최대공약수는 2_3=6 ④ 84=2¤ _3_7이므로 48과의 최대공약수는 2¤ _3=12 ⑤ 90=2_3¤ _5이므로 48과의 최대공약수는 2_3=6

13

각 봉지에 사탕, 빵, 과자의 개수가 같게 하여 되도록 많은 봉지를 만 들려면 봉지 수는 45, 36, 27의 최 대공약수이어야 하므로 3¤ =9 따라서 9개의 봉지를 만들 수 있다. ■ 참고 ■ 9개의 봉지에는 사탕이 각각 45÷9=5(개), 빵이 36÷9=4(개), 과자가 27÷9=3(개)씩 들어간다.

14

똑같이 나누어 주려면 학생 수는 72와 48의 공약수이어야 한다. 즉, 72와 48의 최대공약수는 2‹ _3=24이므로 학생 수는 24의 약 수이어야 한다. ① 3 ② 8=2‹ ③ 12=2¤ _3 ④ 18=2_3¤ ⑤ 24=2‹ _3 이므로 학생 수로 적절하지 않은 것은 ④이다.

15

가능한 한 큰 정사각형 모양의 타일을 만들려면 타일의 한 변의 길이는 600과 180의 최대 공약수이어야 하므로 2¤ _3_5=60(cm) 따라서 필요한 타일의 수는 가로 방향으로 600÷60=10(개) 세로 방향으로 180÷60=3(개)이므로 타일의 총 개수는 10_3=30

16

정육면체의 한 모서리의 길이는 직육면체의 가로의 길이, 세로의 길이, 높이를 똑같이 나누므로 공약수이다. 이때 가능한 한 큰 정육면체를 만드므 로 최대공약수이다. 24, 48, 36의 최대공약수가 2¤ _3=12 이므로 정육면체의 한 모서리의 길이 는 12 cm이다.

17

어떤 수는 171-3=168과 202-6=196을 나누어떨어지 게 하는 가장 큰 수이므로 168과 196의 최대공약수인 28이다.

18

학생들에게 똑같이 나누어 주기 위해서는 귤은 27-3=24(개), 사과는 38+2=40(개), 바나나는 72 개가 필요하다. 72=2‹ _3¤ 48=2› _3 60=2‹ _3 600=2‹ _3 _5¤ 180=2¤ _3¤ _5 600=2¤ _3 _5 45=2‹ _3¤ _5 36=2¤ _3¤ 27=2 _3‹ 60=2 _3¤ 168=2‹ _3 _7 196=2¤_3_7¤ 600=2¤_3_7 24=2‹ _3 48=2› _3 36=2¤ _3¤ 60=2¤ _3

테스트 BOOK 따라서 가능한 한 많은 학생 수는 24, 40, 72의 최대공약수이므로 2‹ =8(명)

19

n은 63과 84의 공약수이다. 따라서 n의 값 중 가장 큰 수는 63과 84의 최대공약수이므로 3_7=21

20

일정한 간격으로 나무를 심으므로 나무 사이의 간격은 직 사각형의 가로와 세로의 길이의 공약수가 된다. 이때 간격을 되도록 크게 해야 나무가 적게 필요하므로 간 격은 가로와 세로의 길이의 최대공약수가 된다. 150과 60의 최대공약수가 30이 므로 나무 사이의 간격은 30 m 이다. 따라서 필요한 나무 수는 (150+60)_2÷30=14(그루)

21

세 수의 공배수는 최소공배수인 24의 배수이다. 즉, 24의 배수가 아닌 ⑤ 516은 세 수의 공배수가 아니다.

22

A, B, C의 공배수는 세 수의 최소공배수인 28의 배수이다. 따라서 세 수의 공배수는 28, 28_2=56, 28_3=84, 28_4=112, y이므로 두 자리의 자연수는 모두 3개이다.

23

⑴ 15=3_5, 24=2‹ _3의 최소공배수는 2‹ _3_5=120 ⑵ 최소공배수는 2¤ _3¤ =36 ⑶ 최소공배수는 2_3¤ _7¤ =882 ⑷ 60=2¤ _3_5, 2¤ _3¤ _5, 84=2¤ _3_7의 최소공배 수는 2¤ _3¤ _5_7=1260

24

두 수의 공배수는 최소공배수의 배 수이다. 따라서 ① 2› _3, ③ 2‹ _3_5는 두 수의 공배수가 아니다.

25

12=2¤ _3, 24=2‹ _3, 30=2_3_5의 최소공배수는 2‹ _3_5=120 이때 900÷120=7.5이므로 900 이하의 자연수 중 세 수 의 공배수는 7개이다.

26

공통인 소인수와 공통이 아닌 소인수를 모두 곱하되 지수 가 같거나 큰 쪽을 택해야 최소공배수가 된다. 따라서 3∫ =3‹ , 5å =5‹ 이므로 a=3, b=3 ∴ a+b=3+3=6

27

120=2‹ _3_5 ① 36=2¤ _3¤ 이므로 120과의 최소공배수는 2‹ _3¤ _5 ② 60=2¤ _3_5이므로 120과의 최소공배수는 2‹ _3_5 ③ 90=2_3¤ _5이므로 120과의 최소공배수는 2‹ _3¤ _5 ④ 144=2› _3¤ 이므로 120과의 최소공배수는 2› _3¤ _5 ⑤ 180=2¤ _3¤ _5이므로 120과의 최소공배수는 2‹ _3¤ _5

28

2a_{_3} , 2_3b_{_7} , 2_3_7c 의 최소공배수가 252=2¤ _3¤ _7이므로2a₌ 2¤ , 3b_=3¤ , 7c₌₇ 따라서 a=2, b=2, c=1이므로 a+b+c=2+2+1=5

29

2› _3¤ , 2å _3의 최대공약수가 2‹ _3이므로 a=3 2› _3¤ , 2‹ _3의 최소공배수가 2› _b이므로 b=3¤ =9

30

2a_{_3_7}2 , 23_{_7}b_{_c} 의 최대공약수가 28=22_7이므로 2a₌₂2 , 7b₌₇ ∴a=2, b=1 또 최소공배수가 5880=23_3_5_72이므로 c=5 ∴a+b+c=2+1+5=8

31

이때 세 수의 최소공배수가 540이므로 x_2_3_2=540, 12_x=540 ∴ x=45 따라서 세 수 중 가장 작은 수는 2_x=2_45=90

32

비가 4 : 5 : 6인 세 수를 4_x, 5_x, 6_x라고 하면 이때 최소공배수가 240이므로 x_2_2_5_3=240 60_x=240 ∴ x=4 따라서 세 수는 16, 20, 24이므로 그 합은 16+20+24=60

33

(두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로 x 2_x 3_x 4_x 2 2 3 4 1 3 2 > ≥ ≥ ≥ ≥ > ≥ ≥ ≥ ≥ x 4_x 5_x 6_x 2 4 5 6 2 5 3 > ≥ ≥ ≥ ≥ > ≥ ≥ ≥ ≥ 150=2¤_3_5¤ 60=2¤ _3_5 60=2¤_3_5 24=2‹ _3 40=2‹_3_5 72=2‹ _3¤ 60=2‹ 63=2 _3¤ _7 84=2¤ _3 _7 60=2 _3 _7 48=2› _3 60=2¤ _3_5 60=2› _3_5

588=14_(최소공배수) ∴ (최소공배수)=42

34

(두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로 A_21=7_84 ∴ A=28

35

A=15_a, B=15_b`(`a, b는 서로소)라고 하면 최소공배수가 225이므로 15_a_b=225 ∴ a_b=15 이때 A=15_a, B=15_b가 두 자리의 수가 되어야 하 므로 a=3, b=5 또는 a=5, b=3만 가능하다. 따라서 A=45, B=75 또는 A=75, B=45이므로 A+B의 값은 120이다.

36

24=2‹ _3, 36=2¤ _3¤ , N의 최대공약수는 12=2¤ _3 이고, 최소공배수가 360=2‹ _3¤ _5이므로 가장 작은 N 은 2¤ _3_5이다. 이때 2‹ , 3¤ 도 N의 약수가 될 수 있으므로 N이 될 수 있는 수는 2¤ _3_5=60, 2‹ _3_5=120, 2¤ _3¤ _5=180, 2‹ _3¤ _5=360 따라서 구하는 합은 60+120+180+360=720

37

혜윤이는 4칸씩, 성준이는 3칸씩 올라가므로 4와 3의 공배수 인 12의 배수인 계단만 두 사람이 모두 밟게 되는 계단이다. 따라서 ③ 40번째 계단은 12의 배수가 아니므로 둘 다 밟는 계단이 아니다.

38

처음으로 다시 동시에 출발할 때까 지 걸리는 시간은 8, 12, 15의 최소 공배수이므로 2‹ _3_5=120(분) 따라서 구하는 시각은 120분, 즉 2시간 후인 오전 7시이다.

39

두 톱니바퀴가 같은 톱니에서 다시맞물 리려면 톱니 수인 72와 54의 공배수만 큼 맞물려 돌아가야 한다. 이때 처음으 로 다시 맞물릴 때까지이므로 72와 54 의 최소공배수만큼 돌아가면 된다. 72와 54의 최소공배수가 216이므로 216개의 톱니가 맞물 려 돌아간 것이다.

40

가장 작은 정사각형을 만들려면 한 변 의 길이는 24와 18의 최소공배수이어 야 하므로 2‹ _3¤ =72(cm) 즉, 필요한 직사각형의 개수는 가로 방향으로 72÷24=3, 세로 방향으로 72÷18=4 따라서 필요한 직사각형의 총 개수는 3_4=12

41

가능한 한 작은 정육면체 모양을 만드므로 정육면체의 한 모서리의 길이는 가로, 세로, 높이의 최소공 배수이다. 10, 12, 15의 최소공배수가 60이므로 정육면체의 한 모서 리의 길이는 60 cm이다. ■ 참고 ■ 가로로 60÷10=6(개), 세로로 60÷12=5(개), 높이로 60÷15=4(개)씩 놓이므로 모두 6_5_4=120(개) 의 나무토막이 사용된다.

42

4, 6, 9로 나누면 모두 1이 부족하므로 구하는 수를 x라고 하면 x+1은 4, 6, 9 의 공배수이다. 4, 6, 9의 최소공배수는 2¤ _3¤ =36이 므로 x+1=36, 72, 108, y ∴ x=35, 71, 107 따라서 두 자리의 자연수 중 가장 큰 수는 71이다.

43

6, 8, 10으로 나누면 모두 2가 남으 므로 구하는 수를 x라고 하면 x-2는 6, 8, 10의 최소공배수이 다. 6, 8, 10의 최소공배수는 2‹ _3_5=120이므로 x-2=120 ∴ x=122

44

예진이는 5일을 일하고 하루를 쉬고 지훈이는 7일을 일하 고 하루를 쉬므로 두 사람은 5+1=6(일), 7+1=8(일)에 하루를 쉰다. 따라서 두 사람이 그 다음에 처음으로 같이 쉬 는 날은 6과 8의 최소공배수인 24일 후이다. 이때 24=7_3+3이므로 두 사람은 일요일로부터 3일 후 인 수요일에 처음으로 같이 쉰다.

45

캠프에 참가한 학생 수는 4, 5, 6의 공배수보다 2 큰 수이 다. 4, 5, 6의 최소공배수가 60이므로 학생 수는 60+2, 15 A B a b > ≥ ≥ 18=2‹ 12=2¤ _3 15=2¤ _3_5 60=2‹ _3_5 72=2‹ _3¤ 54=2 _3‹ 60=2‹ _3‹ 26=2¤_3 28=2‹ 10=2¤ _3¤_5 60=2‹ _3 _5 4=2¤ 6=2 _3 9=2‹ _3¤ 0=2¤ _3¤ 24=2‹ _3 18=2¤_3¤ 60=2‹ _3¤ 10=2¤ _3_5 12=2¤ _3 15=2‹ _3 _5 60=2¤ _3 _5

테스트 BOOK 01재혁 0216 03⑴ 2_3_7¤ ⑵ 24 044 054, 5 061, 3, 9 07375 0812그루 09:¡7§: 10164 11오전 10시

실력

TEST

011~013쪽 60_2+2, 60_3+2, y가 될 수 있다. 이때 학생 수가 100명 이상 150명 미만이므로 캠프에 참가 한 학생 수는 60_2+2=122(명)이다.

46

구하는 수는 30, 36, 45의 공배수 이다. 30, 36, 45의 최소공배수는 2¤ _3¤ _5=180이므로 구하는 가 장 작은 자연수는 180이다.

47

A=;bA;라고 하면 a는 9와 15의 공배수 이다. 9와 15의 최소공배수는 3¤ _5=45 이므로 a=45, 90, 135, y b는 85와 68의 공약수이고, 85와 68의 최대공약수는 17이므로 b=1, 17 따라서 조건을 만족하는 가장 작은 기약분수 A는 ;1$7%;이다.

48

4;1¶2;=;1%2%;이므로 구하는 수를 ;bA;라고 하면 a는 12와 15의 공배수이다. 12와 15의 최소공배수는 2¤ _3_5=60이므로 a=60, 120, 180, y b는 55와 11의 공약수이고 55와 11의 최대공약수는 11이므로 b=1, 11 따라서 조건을 만족하는 수는 60, 120, 180, y, ;1^1);, ;;¡1™1º;;, ;;¡1•1º;;, y 이므로 4;1¶2;와 ;1!5!; 중 어느 것을 택하여 곱해도 자연수가 되는 수로 알맞지 않은 것은 ② ;1(1);이다.

0

1

한 자리의 자연수 중 소수는 2, 3, 5, 7의 4개이다.

0

2

7⁄ =7, 7¤ =49, 7‹ =343, 7› =2401, 7fi =16807, …이므로 7의 거듭제곱의 일의 자리의 숫자는 7, 9, 3, 1이 반복된다. 7· ° 에서 98÷4=24…2이므로 7· ° 의 일의 자리의 숫자는 9 가 된다. ∴ a=9 3⁄ =3, 3¤ =9, 3‹ =27, 3› =81, 3fi =243, …이므로 3의 거듭제곱의 일의 자리의 숫자는 3, 9, 7, 1이 반복된다. 3· · 에서 99÷4=24…3이므로 3· · 의 일의 자리의 숫자는 7 이 된다. ∴ b=7 ∴ a+b=9+7=16

0

3

⑴ ∴ 294=2_3_7¤ …… ❶ ⑵ 294_x가 어떤 수의 제곱이 되도록 하는 x의 값 중 가 장 작은 수는 2_3=6 …… ❷ 즉, x의 값이 될 수 있는 수는 6, 6_2¤ , 6_3¤ , 6_4¤ , y 따라서 두 번째로 작은 수는 6_2¤ =24이다. …… ❸

0

4

P(a)=3, 즉 약수의 개수가 3인 수는 소수의 제곱인 수이 다. 따라서 50 이하의 자연수 중에서 a가 될 수 있는 수는 2¤ , 3¤ , 5¤ , 7¤ 으로 4개이다.

0

5

약수의 개수가 12인 경우를 소인수분해한 형태로 생각해 보자. 6_2=12이면 afi _b 꼴 4_3=12이면 a‹ _b¤ 꼴 2_2_3=12이면 a_b_c¤ 꼴 이때 40_ `=2‹ _5_ `이므로 afi _b 꼴이 되려면 `=2¤ =4 a‹ _b¤ 꼴이 되려면 `=5 이고, a_b_c¤ 꼴을 만족하는 `의 값은 없다. 따라서 안에 알맞은 자연수는 4 또는 5이다. ❶소인수분해하기 ❷가장 작은 x의 값 구하기 ❸두 번째로 작은 x의 값 구하기 30 % 40 % 30 % 채점 기준 배점 >≥ >≥ >≥ 2 294 3 147 7 49 7 30=2¤_3¤_5 36=2¤ _3¤ 45=2¤ _3¤ _5 60=2¤ _3¤ _5 85=2¤ _5_17 68=2¤_5_17 68=2¤ _5_17 29=3¤ 15=3 _5 60=3¤ _5 12=2¤ _3 15=2¤ _3_5 60=2¤ _3_5

0

6

(두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로 486=(최대공약수)_54 ∴ (최대공약수)=486÷54=9 따라서 공약수는 1, 3, 9이다.

0

7

30=2_3_5, N, 45=3¤ _5의 최대공약수가 15=3_5이고 최소공배수가 450=2_3¤ _5¤ 이므로 가장 작은 N은 3_5¤ 이다. 이때 2와 3¤ 도 N의 약수가 될 수 있 으므로 N이 될 수 있는 수는 다음과 같다. 3_5¤, 2_3_5¤ , 3¤ _5¤ , 2_3¤ _5¤ 따라서 N의 값 중 가장 큰 수는 2_3¤ _5¤ =450, 가장 작 은 수는 3_5¤ =75이므로 차는 450-75=375이다.

0

8

나무 사이의 간격을 최대로 하려 면 나무 사이의 간격은 180, 144, 108의 최대공약수이어야 하므로 2¤ _3¤ =36(m) …… ❶ 이때 180÷36=5, 144÷36=4, 108÷36=3이므로 필요한 나무는 5+4+3=12(그루) …… ❷

0

9

곱하는 분수를 ;aB;라고 하자.

:£4∞:_;aB;, ;1^6#;_;aB;, :™8¡:_;aB;가 모두 자연수가 되려면 a는 35, 63, 21의 공약수이고, b는 4, 16, 8의 공배수이어야 한다. 이때 ;aB;가 가장 작은 분수가 되기 위해서는 a는 최대공약 수, b는 최소공배수이어야 한다. 따라서 a는 35, 63, 21의 최대공약수인 7, b는 4, 16, 8의 최소공배수인 16이므로 구하는 분수는 ;aB;=:¡7§:이다.

10

7로 나누어 3이 남는 것은 7로 나누어 4가 부족한 것과 같 고, 8로 나누어 4가 남는 것은 8로 나누어 4가 부족한 것과 같다. 즉, 어떤 자연수를 6, 7, 8로 나누면 모두 4가 부족하므로 어떤 자연수는 6, 7, 8의 공배수보다 4 작은 수이다. 이 중 가장 작은 자연수이므로 어떤 자연수는 6, 7, 8의 최 소공배수보다 4 작은 수이다. 6, 7, 8의 최소공배수가 168이므로 구하는 자연수는 168-4=164 ■ 참고 ■ 어떤 자연수는 168-4, 168_2-4, 168_3-4, y로 무수 히 많다.

11

각 버스가 12분, 15분, 30분마다 출발하므로 세 버스가 동 시에 출발하기까지 걸리는 시간은 12, 15, 30의 공배수가 된다. …… ❶ 12, 15, 30의 최소공배수가 60이므로 오전 8시에서 60분 마다 세 버스가 동시에 출발하게 된다. …… ❷ 즉, 오전 8시, 9시, 10시, y에 동시에 출발하므로 세 번째 로 동시에 출발하는 시각은 오전 10시이다. …… ❸ ❶버스가 출발하는 시간 사이의 관계 알기 ❷동시에 출발하는 시간 간격 구하기 ❸세 번째로 동시에 출발하는 시각 구하기 20 % 30 % 50 % 채점 기준 배점

0

1

④ 21=3_7

0

2

⑤ ;1¡0;_;1¡0;_;1¡0;_;1¡0;_;1¡0;={;1¡0;}5 =

0

3

② 48과 33의 공약수가 1, 3이므로 서로소가 아니다.

0

4

180=2¤ _3¤ _5이므로 소인수의 지수를 비교하면 ④ 2¤ _3_5¤ 은 180의 약수가 될 수 없다.

0

5

(3+1)_(4+1)=4_5=20

0

6

30=2_3_5이므로 2, 3, 5의 배수가 아닌 수와 서로소이 다. 따라서 30과 서로소인 수는 ⑤ 11이다. 1 1455_10fi ❶나무 사이의 간격 구하기 ❷필요한 나무가 몇 그루인지 구하기 50 % 50 % 채점 기준 배점 01④ 02⑤ 03② 04④ 05③ 06⑤ 072¤ _3¤ _5¤ , 2‹ _3› _5› _7‹ 0830, 42 093 10② 11② 12④ 13③ 14④ 156 16② 17;;™;6$;∞;; 18479 1929명 208군데

대단원

TEST

014~016쪽 180=2¤ _3¤ _5 144=2› _3¤ 108=2¤ _3‹ 600=2¤ _3¤

테스트 BOOK

0

8

A=6_a, B=6_b(a, b는 서로소) 라고 하면 최소공배수가 36이므로 6_a_b=36 ∴ a_b=6 yy❶ 이때 a, b는 서로소이므로 a, b의 순서쌍은 (a, b)=(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1) ∴ (A, B)=(6, 36), (12, 18), (18, 12), (36, 6) yy❷ 따라서 A+B의 값이 될 수 있는 수는 30과 42이다. yy❸

0

9

1890=2_3‹ _5_7이므로 2_3‹ _5_7_a=b¤ 이 성립 하게 하는 가장 작은 a의 값은 2_3_5_7=210이다. 이때 (2_3‹ _5_7)_(2_3_5_7) =(2_3¤ _5_7)_(2_3¤ _5_7) =(2_3¤ _5_7)¤ =630¤ 이 되므로 b=630 ∴ = =3

10

ㄱ. 20 이하의 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19로 8개이 다. ㄷ. 11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6과 같이 두 소수의 합으로 나타낼 수 없는 수도 있다. ㄹ. 26과 39의 공약수는 1, 13이므로 서로소가 아니다. 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㅁ으로 ② 2개이다.

11

72=2‹ _3¤ 과 a의 최대공약수가 18이어야 한다. ① 18=2_3¤ 이므로 72와의 최대공약수는 2_3¤ =18 ② 36=2¤ _3¤ 이므로 72와의 최대공약수는 2¤ _3¤ =36 ③ 54=2_3‹ 이므로 72와의 최대공약수는 2_3¤ =18 ④ 90=2_3¤ _5이므로 72와의 최대공약수는 2_3¤ =18 ⑤ 162=2_3› 이므로 72와의 최대공약수는 2_3¤ =18

12

정육면체의 한 모서리의 길이는 36, 72, 84의 최대공약수 이다. 36, 72, 84의 최대공약수가 12이므로 정육면체의 한 모서리의 길이는 12 cm이다. 630 11₂₁₀ b 1_a ❶a_b=6임을 알기 ❷(A, B) 구하기 ❸A+B의 값이 될 수 있는 수 구하기 30 % 50 % 20 % 채점 기준 배점 이때 가로로 3개, 세로로 6개, 높이로 7개씩 생기므로 정육 면체 모양의 나무토막은 3_6_7=126(개) 만들 수 있다.

13

2› _3∫ _5와 2å _3¤ _5› 의 최대공약수가 2¤ _3¤ _5이므로 a=2 2› _3∫ _5와 2¤ _3¤ _5› 의 최소공배수가 2› _3‹ _5ç 이므로 b=3, c=4 ∴ a+b+c=2+3+4=9

14

2_3¤ , M, 2_3_5의 최대공약수가 6=2_3이고, 최소 공배수가 180=2¤ _3¤ _5이므로 가장 작은 M은 2¤ _3이 다. 이때 3¤ , 5도 M의 약수가 될 수 있으므로 M이 될 수 있는 수는 2¤ _3=12, 2¤ _3¤ =36, 2¤ _3_5=60, 2¤ _3¤ _5=180이다. 따라서 M이 될 수 없는 수는 ④ 120이다.

15

어떤 자연수는 14-2=12, 26-2=24, 32-2=30의 공 약수이다. 따라서 어떤 자연수 중 가장 큰 수는 12, 24, 30의 최대공 약수인 6이다.

16

세 톱니바퀴가 처음으로 다시 같은 톱니에서 동시에 맞물릴 때까지 돌 아간 톱니의 개수는 56, 40, 70의 최소공배수이므로 2‹ _5_7=280 따라서 세 톱니바퀴가 처음으로 다 시 같은 톱니에서 동시에 맞물리는 것은 톱니바퀴 A가 280÷56=5(바퀴) 회전한 후이다.

17

곱하는 분수를 ;aB;라고 하자. ;3@5$;_;aB;, ;4#9);_;aB;가 모두 자연수가 되려면 a는 24와 30의 공약수이고, b는 35와 49의 공배수이어야 한다. 이때 ;aB;가 가장 작은 분수가 되기 위해서는 a는 최대공약수, b는 최소공배수이어야 한다. 따라서 a는 24와 30의 최대공약수인 6, b는 35와 49의 최소공배수인 245이므로 구하는 분수는 ;aB;=;;™;6$;∞;; 56=2‹_3_7 40=2‹ _5 70=2¤_5_7 60=2‹ _5_7

18

3으로 나누면 2가 남고, 4로 나누면 3이 남고, 5로 나누면 4 가 남는 수는 3으로 나누면 1이 부족하고, 4로 나누면 1이 부족하고, 5로 나누면 1이 부족한 수이다. 즉, 3, 4, 5로 나누면 모두 1이 부족한 수이므로 어떤 자연 수는 3, 4, 5의 최소공배수인 60의 배수보다 1이 작은 수이 다. 이러한 수 중 500에 가장 가까운 수를 찾으면 60_8-1=479이다.

19

반의 수는 남학생 수와 여학생 수의 공약수이다. 이때, 반 의 수를 되도록 많게 해야 하므로 반의 수는 최대공약수가 된다. …… ❶ 420과 450의 최대공약수는 30이므로 반의 수는 30개이다. …… ❷ 따라서 각 반의 남학생 수는 420÷30=14(명), 여학생 수는 450÷30=15(명)이므로 각 반의 학생 수는 14+15=29(명) …… ❸

20

윤희는 12 km마다 깃발을 꽂고, 경은이는 16 km마다 깃 발을 꽂으므로 12와 16의 공배수인 지점마다 두 사람의 깃 발이 같이 꽂히게 된다. 즉, 12와 16의 최소공배수가 48이 므로 48 km마다 두 사람의 깃발이 같이 꽂히게 된다. 이때, 400÷48=8.3y이므로 400 km를 걸었을 때, 두 사람의 깃발이 같이 꽂힌 지점은 모두 8군데가 된다. ❶반의 수와 학생 수 사이의 관계 알기 ❷반의 수 구하기 ❸학생 수 구하기 30 % 30 % 40 % 채점 기준 배점

01

P(x)가 x의 약수의 개수를 나타내므로 P(72)는 72의 약수의 개수를 나타낸다. 72=2‹ _3¤ 이므로 72의 약수의 개수는 (3+1)_(2+1)=12 ∴ P(72)=12 P(72)_P(x)=72에서 12_P(x)=72 ∴ P(x)=6 즉, x의 약수의 개수는 6이다. 6=5+1=(2+1)_(1+1)이므로

x=afi 또는 x=a¤ _b`(`a, b는 서로 다른 소수) 꼴이다. afi 꼴 중 가장 작은 수는 2fi =32, a¤ _b 꼴 중 가장 작은 수는 2¤ _3=12이므로 가장 작은 x의 값은 12이다.

02

구하는 수는 10, 9, 8, y, 2로 나눌 때 1이 부족한 수 중 가 장 작은 자연수이므로 10, 9, 8, y, 2의 최소공배수보다 1 작은 수이다. 10, 9, 8, y, 2의 최소공배수는 2‹ _3¤ _5_7=2520이므 로 구하는 수는 2520-1=2519이다. ■ 참고 ■ 소인수분해를 이용하여 최소공배수를 구하면 된다. 2부터 10 까지의 수에서 나올 수 있는 소인수는 2, 3, 5, 7이고, 이때 지수는 밑이 2인 경우 3까지, 밑이 3인 경우 2까지 나올 수 있으므로 최소공배수는 2‹ _3¤ _5_7이 된다.

03

점 A는 1초에 12 cm씩 움직이고 30과 12의 최소공배수 가 60이므로 60 cm를 움직여야 출발점으로 돌아온다. 즉, 60÷12=5(초)마다 출발점으로 돌아온다. 점 B는 1초에 5 cm씩 움직이고 5와 20의 최소공배수가 20이므로 20÷5=4(초)마다 출발점으로 돌아온다. 따라서 두 점 A, B는 5_4=20(초)마다 출발점에서 만나 게 되므로 5분=300초 동안 300÷20=15(번) 만나게 된 다. 0112 022519 0315번 Ⅰ. 소인수분해

창의사고력

TEST

017쪽

테스트 BOOK

정수와 유리수

1. 정수와 유리수

II

01④ 024개 03③ 04⑴ ⑵ ⑶ × ⑷ × 05①, ⑤ 06③ 07A : -;2#;, B : -;3!;, C : ;3%;, D : ;2%;, E : 3 08-1.5 09a=5, b=-1 101 11⑴ 6 ⑵ -7 ⑶ 9 12-;3&;, 1 13a=;5^;, b=-;5^; 146개 15⑤ 16③ 17④, ⑤ 18④ 19⑴ -2, -1, 0, 1, 2 ⑵ -;3@;, -;3!;, ;3!;, ;3@;, ;3$;, ;3%;, ;3&; 20⑴ -;5#;…x<3 ⑵ 3개

유형

TEST

018~020쪽

0

6

① 양의 부호 +는 생략할 수 있지만, 음의 부호 -는 생략 할 수 없다. ② 1과 2 사이에는 무수히 많은 유리수가 존재한다. ④ -1과 1 사이에는 정수 0이 존재한다. ⑤ 정수 중 양의 정수만 자연수이고, 음의 정수와 0은 자연 수가 아니다.

0

8

주어진 수를 수직선 위에 점으로 나타내면 다음 그림과 같 다. 따라서 왼쪽에서 두 번째에 있는 수는 -1.5이다.

0

9

수직선 위에 두 수 :¡3¢:{=4;3@;}, -;4%;{=-1;4!;}를 점으로 나타내면 다음 그림과 같다. 따라서 수직선 위에서 :¡3¢:에 가장 가까운 정수는 a=5이고, -;4%;에 가장 가까운 정수는 b=-1이다.

10

수직선 위에 두 점 -3, 5를 나타내면 다음 그림과 같다. 두 점 A, B 사이의 거리가 8이므로 두 점으로부터 같은 거 리에 있는 점은 -3을 나타내는 점으로부터 8_;2!;=4만큼 떨어져 있는 점이다. 따라서 점 C가 나타내는 수는 1이다.

11

⑴ 절댓값이 6인 수 -6, 6에서 양수는 6이다. ⑵ 절댓값이 7인 수 -7, 7에서 음수는 -7이다. ⑶ 원점으로부터의 거리가 4 이하인 정수를 수직선 위에 나 타내면 다음 그림과 같다. 따라서 절댓값이 4 이하인 정수는 모두 9개이다.

12

|-1.5|=1.5, |1|=1, |-;3&;|=;3&;=2;3!;, |2|=2, 4 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -3 1 5 A C B -2 -1 0 1 2 3 4 5 -;4%; ;;¡3¢;; -2 -1 0 1 2 3 -1.5 -;4#; ;2#;

0

1

④ 지출 1000원 : -1000원

0

2

정수는 -9, :¡5∞:(=3), 0, 6으로 모두 4개이다.

0

3

① 정수는 0, 7, -:¡4™:(=-3)로 3개이다. ② 주어진 수는 모두 분수로 나타낼 수 있으므로 유리수는 6개이다. ③ 양의 유리수는 ;3%;, 7로 2개이다. ④ 음의 유리수는 -3.1, -0.9, -:¡4™:로 3개이다. ⑤ 정수가 아닌 유리수는 -3.1, ;3%;, -0.9로 3개이다.

0

4

⑶ ;2!;과 ;3$; 사이에는 무수히 많은 유리수가 있다. ⑷ 음의 정수 중 가장 큰 정수는 -1이다.

0

5

② 0과 1 사이에는 무수히 많은 유리수가 존재한다. ③ 0은 유리수이다. ④ 가장 작은 자연수는 1이다. 01. 정수와 유리수의 뜻 02. 정수와 유리수의 대소 관계

|;2#;|=;2#;=1;2!;이므로 절댓값이 가장 큰 수는 -;3&;이고, 절댓값이 가장 작은 수는 1이다.

13

|a|=|b|이고, a가 b보다 :¡5™:만큼 크므로 두 수는 원점 으로부터 거리가 각각 :¡5™:_;2!;=;5^;만큼 떨어진 두 점이 나타내는 수이다. 즉, 두 수는 -;5^;, ;5^;이다. 따라서 a가 b보다 크므로 a=;5^;, b=-;5^;

14

조건에 맞는 정수를 x라고 하면 2…|x|<5이므로 |x|의 값은 2, 3, 4이다. ⁄ 절댓값이 2인 수는 -2, 2 ¤ 절댓값이 3인 수는 -3, 3 ‹ 절댓값이 4인 수는 -4, 4 따라서 구하는 정수는 모두 6개이다.

15

① 음수는 양수보다 작으므로 -;3@;<1 ② 0은 음수보다 크므로 0>-;4#; ③ -;3!;=-;1¢2;, -;4!;=-;1£2;이고, 음수끼리는 절댓값이 클수록 더 작으므로 -;3!;<-;4!; ④ ;3!;=;1¢2;, ;4!;=;1£2;이고, 양수끼리는 절댓값이 클수록 더 크므로 ;3!;>;4!; ⑤ |-3|=3, |-1|=1이고, 양수끼리는 절댓값이 클수 록 더 크므로 |-3|>|-1|

16

주어진 수들을 수직선 위에 나타내면 다음과 같다. ①, ② -;2&;<-3<0<;2%;<2.8<3이므로 가장 큰 수는 ①, ②3, 가장 작은 수는 -;2&;이다. ③, ④ 수직선 위에서 -;2&;을 나타내는 점이 원점에서 가장 -2 -3 -4 -1 0 1 2 3 2.8 -;2&; ;2%; ①, ②멀리 떨어져 있으므로 절댓값이 가장 큰 수는 -;2&; ①, ②이고, 절댓값이 가장 작은 수는 원점이 나타내는 수인 ①, ②0이다. ⑤ 0이 아닌 수 중에서 원점에 가장 가까이 있는 수는 절댓 ⑤값이 가장 작은 수이므로 `;2%;이다.

17

③ 절댓값이 3보다 작은 정수는 -2, -1, 0, 1, 2로 5개이 다. ④ a=2, b=-3이면 a>b이지만 |2|=2, |-3|=3이므로 |a|<|b|이다. ⑤ a=-1이면 |-1|=1>0이지만 a<0이다.

18

① -2<x ② x…1 ③ -3…x<4 ⑤ -1.5<x…2.4

19

⑴ -:¡4¡:{=-2;4#;}이므로 -:¡4¡:<x…2인 정수 x는 -2, -1, 0, 1, 2이다. ⑵ -1…x<;2%;{=:¡6∞:}이면서 분모가 3인 기약분수 x는 -;3@;, -;3!;, ;3!;, ;3@;, ;3$;, ;3%;, ;3&;{=:¡6¢:}이다.

20

⑴ x는 -;5#;보다 작지 않다. Δxæ-;5#; x는 3보다 작다. Δx<3 ∴ -;5#;…x<3 ⑵ -;5#;=-;1§0;=-0.6이므로 -0.6…x<3을 만족시키 ⑵는 정수는 0, 1, 2의 3개이다.

테스트

BOOK

이므로 -2;6!;<x<2;1!2!;을 만족하는 정수 x는 -2, -1, 0, 1, 2로 모두 5개이다.

0

6

|x|=5이므로 x=5 또는 x=-5 |y|=3이므로 y=3 또는 y=-3 x-y의 값이 될 수 있는 수는 다음과 같다.

따라서 x-y의 값이 될 수 없는 수는 ④ 4이다.

0

7

|a|=2이므로 a=2 또는 a=-2 |b|=4이므로 b=4 또는 -4 a+b의 값이 가장 큰 수가 되려면 a, b 모두 양수이어야 하 므로 a=+4, b=+2이어야 한다. ∴ (+4)+(+2)=+6 또한 a+b의 값이 가장 작은 수가 되려면 a, b 모두 음수이 어야 하므로 a=-4, b=-2이어야 한다. ∴ (-4)+(-2)=-6

0

8

⑴ {-;6!;}+{+;4#;}-{+;3!;} ⑴={-;6!;}+{+;4#;}+{-;3!;} ⑴=[{-;6!;}+{-;3!;}]+{+;4#;} ⑴=[{-;1™2;}+{-;1¢2;}]+{+;1ª2;} ⑴={-;1§2;}+{+;1ª2;}=;1£2;=;4!; ⑵ {-;4!;}-{+;5*;}+(+2.1)-(+0.5) ⑶=[{-;4!;}+{-;5*;}]+{(+2.1)+(-0.5)} ⑶=[{-;2∞0;}+{-;2#0@;}]+(+1.6) ⑶={-;2#0&;}+{+;2#0@;}=-;2∞0;=-;4!; ⑶ 0.6+;2%;-0.2-1=0.6+2.5-0.2-1 ⑷ 0.6-;2%;-0.2-1=(0.6+2.5)+{(-0.2)+(-1)} ⑷ 0.6-;2%;-0.2-1=3.1-1.2=1.9 5 3 5-3=2 5 -3 5-(-3)=5+(+3)=8 -5 3 -5-3=-8 -5 -3 -5-(-3)=-5+(+3)=-2 x y x-y 01④ 02㈎ 덧셈의 교환법칙, ㈏ 덧셈의 결합법칙 03-;1∞2; 04④ 055개 06④ 07+6, -6 08⑴ ;4!; ⑵ -;4!; ⑶ 1.9 09③ 10- 113 12:¡8ª: 133 14-;1@2(; 15a=;2#;, b=-;2#;

유형

TEST

03. 정수와 유리수의 덧셈_{04. 정수와 유리수의 뺄셈} 021~022쪽

0

1

① (+7)+(-3)=+4 ② 0-(-1)-(-2)=0+(+1)+(+2)=+3 ③ {+;3@;}+{-;3$;}=-;3@; ④ {-;2!;}+{-;6!;}={-;6#;}+{-;6!;}=-;6$;=-;3@; ⑤ {-;4!;}-{+;2#;}={-;4!;}+{-;4^;}=-;4&;

0

2

㈎ (-3.6)과 (+7.2)의 위치를 바꾸었으므로 덧셈의 교 환법칙이 이용되었다. ㈏ 차례로 계산하지 않고 음수끼리 먼저 계산하기 위해 괄 호로 묶었으므로 덧셈의 결합법칙이 이용되었다.

0

3

a={-;6%;}-{+;3$;}={-;6%;}+{-;6*;}=-:¡6£: b={-;4!;}+{-;2#;}={-;4!;}+{-;4^;}=-;4&; ∴ a-b=-:¡6£:-{-;4&;}=-;1@2^;+{+;1@2!;}=-;1∞2;

0

4

① 2-5=-3 ② 1-(-2)=1+(+2)=3 ③ (-3)+6=3 ④ 7+{-;2%;}=:¡2¢:+{-;2%;}=;2(; ⑤ {-;2!;}-{-;2(;}={-;2!;}+{+;2(;}=4 따라서 가장 큰 수는 ④이다.

0

5

a=-;3@;-;2#;=-;6$;-;6(;=-:¡6£:=-2;6!;, b=;3%;+;4%;=;1@2);+;1!2%;=;1#2%;=2;1!2!;

0

9

① (-2)+(+6)-(+5) ={(-2)+(+6)}+(-5) =(+4)+(-5)=-1 ② {+;4#;}-{-;2%;}+{-;4%;} ②=[{+;4#;}+{-;4%;}]+{+;2%;} ②={-;2!;}+{+;2%;}=+;2$;=2 ③ 3-;2!;+;3$;=3-{+;2!;}+{+;3$:} ③ 3-;2!;+;3$;={+:¡6•:}+{-;6#;}+{+;6*;} ③ 3-;2!;+;3$;=[{+:¡6•:}+{+;6*;}]+{-;6#;} ③ 3-;2!;+;3$;={+:™6§:}+{-;6#;}=:™6£: ④ 0.5+2-;3%;=0.5+(+2)-{+;3%;} ④ 0.5+2-;3%;=(+2.5)+{-;3%;} ④ 0.5+2-;3%;={+:¡6∞:}+{-:¡6º:}=;6%; ⑤ -5+2.4-3.5=-5+2.4+(-3.5) ={-5+(-3.5)}+2.4 =-8.5+2.4=-6.1 따라서 가장 큰 수는 ③이다.

10

5+(-2)-7◯(-4)=0에서 (+5)+(-2)+(-7)◯(-4)=0 (-4)◯(-4)=0 따라서 ◯ 안에 알맞은 기호는 -이다.

11

4-[;3&;-{1.5-;6!;}] =(+4)-[{+;3&;}-[{+;2#;}-{+;6!;}]] =(+4)-[{+;3&;}-[{+;6(;}+{-;6!;}]] =(+4)-[{+;3&;}-{+;3$;}] =(+4)-(+1)=3

12

{-;4%;}+ -{-;2!;}=:¡8£:에서 +{-;4%;}+{+;4@;}=:¡8£:, +{-;4#;}=:¡8£: ∴ =:¡8£:-{-;4#;}=:¡8£:+{+;8^;}=:¡8ª:

13

점 A는 -;6%;를 나타내는 점에서 오른쪽으로 :¡3§:만큼 이동 한 후, 다시 왼쪽으로 ;2#;만큼 이동한 점이므로 점 A가 나타 내는 수를 a라고 하면 a=-;6%;+:¡3§:-;2#;={-;6%;}+{+:¡3§:}+{-;2#;} a=-;6%;+:¡3§:-;2#;={-;6%;}+{-;2#:}+{+:¡3§:} a=-;6%;+:¡3§:-;2#;=[{-;6%;}+{-;6(;}]+{+:¡3§:} a=-;6%;+:¡3§:-;2#;={-;3&:}+{+:¡3§:}=;3(;=3

14

어떤 수를 x라고 하면 x+;6%;=-;4#;이므로 x=-;4#;-;6%;={-;1ª2;}+{-;1!2);}=-;1!2(; 따라서 바르게 계산한 답은 -;1!2(;-;6%;={-;1!2(;}+{-;1!2);}=-;1@2(;

15

0+{-;2!;}+2=;2#;이므로 오른쪽 그림에서 가로, 세로, 대각선의 합 이 각각 ;2#;이 된다. c+;2%;+0=;2#;에서 c=;2#;-;2%;=;2#;+{-;2%;}=-1 c+d+2=;2#;에서 -1+d+2=;2#;, 1+d=;2#; d=;2#;-1=;2!; a+d+{-;2!;}=;2#;에서 a+;2!;+{-;2!;}=;2#; ∴ a=;2#; ;2%;+d+b=;2#;에서 ;2%;+;2!;+b=;2#;, 3+b=;2#; ∴ b=;2#;-;2^;=-;2#; -₂5 d b -- 21 a 0 c 2 1

테스트 BOOK

0

7

(-1)_(-1)2 _(-1)3 _y_(-1)50 =(-1)_1_(-1)_1_y_(-1)_1 =(-1)_(-1)_y_(-1)_1_1_y_1 =(-1)25 =-1

0

8

a=-1이라고 하면 ① a¤ =(-1)¤ =1>0 ② -a‹ =-(-1)‹ =-(-1)=1>0 ③ a› =(-1)› =1>0 ④ -;a!;=- =1>0 ⑤ - =- =-1<0 따라서 음수인 것은 ⑤이다.

0

9

조건 ㈎`에서 -;1Å1;의 역수가 :¡7¡:이므로 -:¡a¡:=:¡7¡: ∴ a=-7 또 조건 ㈏에서 ;b!;의 역수가 -2이므로 b=-2 ∴ a_b=(-7)_(-2)=14

10

① {+;5!;}÷{-;1¶0;}=-{;5!;_:¡7º:}=-;7@; ② {-;5@;}÷{+;5&;}={-;5@;}_{+;7%;} ② {-;5@;}÷{+;5&;}=-{;5@;_;7%;}=-;7@; ③ (+4)÷(-14)=-{4_;1¡4;}=-;7@; ④ (+5)÷{-;2&;}÷(+2)=(+5)_{-;7@;}_{+;2!;} ④ (+5)÷{-;2&;}÷(+2)=-{5_;7@;_;2!;}=-;7%; ⑤ {-;2%;}÷(-10)÷{-;8&;} ④={-;2%;}_{-;1¡0;}_{-;7*;} ④=-{;2%;_;1¡0;_;7*;}=-;7@; 따라서 계산 결과가 나머지 넷과 다른 것은 ④이다.

11

a=;1¶0;÷(-1.4)÷;6%;=;1¶0;÷{-:1!0$;}÷;6%; a_{=;1¶0;_{-;1!4);}_;5^;=-{;1¶0;_;1!4);_;5^;}=-;5#;} 1 1113_(-1)¤ 1 14_a¤ 1 11_-1 ( | | { | | 9 -1이 25개 ( \1이 25개{ \ 9 01;2!; 02⑤ 03-6 04-6.21 05④ 06(-2)‹ , -2¤ , (-2)¤ , -(-2)‹ 07-1 08⑤ 0914 10④ 11:™5¢: 12② 13⑤ 14;1¡8; 15a_b>0 16② 17a<0, b<0, c>0 18③ 19-:™3º: 20-2 21-7 22a=-;2#;, b=-4 23① 2423개 25⑴ ㉣, ㉢, ㉤, ㉡, ㉠ ⑵ -;3&; 26-1 27-7 28-3

유형

TEST

05. 정수와 유리수의 곱셈_{06. 정수와 유리수의 나눗셈} 023~026쪽

0

1

a={-;8#;}_{+;9@;}=-{;8#;_;9@;}=-;1¡2; b={-:¡5§:}_{+:¡8∞:}=-{:¡5§:_:¡8∞:}=-6 ∴ a_b={-;1¡2;}_(-6)=;2!;

0

2

⑤ {-;2∞1;}_{+;1¶5;}=-{;2∞1;_;1¶5;}=-;9!;

0

3

a_b=12, a_c=-18이므로 a_(b+c)=a_b+a_c =12+(-18)=-6

0

4

(-6.21)_;1¢0§0ª0;+(-6.21)_;1∞0£0¡0; =(-6.21)_{;1¢0§0ª0;+;1∞0£0¡0;}=-6.21

0

5

① -(-1)› =-(+1)=-1 ② (-2)‹ =-8 ③ (-3)› =81 ④ -{-;3!;}‹ =-{-;2¡7;}=;2¡7; ⑤ {-;2!;}› =;1¡6;

0

6

(-2)‹ =-8, (-2)¤ =4, -2¤ =-4, -(-2)‹ =-(-8)=8이므로 크기가 작은 수부터 차례 대로 나열하면 (-2)‹ , -2¤ , (-2)¤ , -(-2)‹

b=(-3.2)÷(-8)÷{-:¡5§:} b_{={-;1#0@;}_{-;8!;}_{-;1∞6;}} b_{=-{;1#0@;_;8!;_;1∞6;}=-;8!;} ∴ a÷b={-;5#;}÷{-;8!;}={-;5#;}_(-8) ∴ a÷b=+{;5#;_8}=:™5¢:

12

① (-15)_(-2)÷(-5) =(-15)_(-2)_{-;5!;} =-{15_2_;5!;}=-6 ② (+2)_(+3)÷(-6) =(+2)_(+3)_{-;6!;} =-{2_3_;6!;}=-1 ③ {-;5@;}÷{+;3&;}_{-;4&;} ={-;5@;}_{+;7#;}_{-;4&;} =+{;5@;_;7#;_;4&;}=+;1£0; ④ {+;2!;}÷(+2)_(-3) ={+;2!;}_{+;2!;}_(-3) =-{;2!;_;2!;_3}=-;4#; ⑤ {-;5#;}_(-8)÷(-2) ={-;5#;}_(-8)_{-;2!;} =-{;5#;_8_;2!;}=-:¡5™:

13

{-;9$;}2 ÷{-;3@;}3 _;6%;=;8!1^;÷{-;2•7;}_;6%; {-;9$;}2 ÷{-;3@;}3 _;6%;=;8!1^;_{-:™8¶:}_;6%; {-;9$;}2 ÷{-;3@;}3 _;6%;=-{;8!1^;_:™8¶:_;6%;}=-;9%;

14

a={-;4#;}_;6&;÷:™4¡:={-;4#;}_;6&;_;2¢1; a_{=-{;4#;_;6&;_;2¢1;}=-;6!;} b=:™3º:÷{-:¡2∞:}_;8#;=:™3º:_{-;1™5;}_;8#; b_{=-{:™3º:_;1™5;_;8#;}=-;3!;} ∴ a_b={-;6!;}_{-;3!;}=;1¡8;

15

a_2<0에서 두 수 a, 2는 부호가 서로 반대이므로 a<0 이고, b_(-1)>0에서 두 수 b, -1은 부호가 서로 같으 므로 b<0이다. 따라서 a, b는 부호가 서로 같으므로 a_b>0이다.

16

① a+b의 부호는 알 수 없다. ② a-b=(+)-(-)=(+)+(+)=(+)이므로 a-b>0 ③ b-a=(-)-(+)=(-)+(-)=(-)이므로 b-a<0 ④, ⑤ a, b의 부호가 서로 다르므로 a_b<0, a÷b<0

17

;cA;<0이므로 a, c는 서로 다른 부호이다. 이때 a<c이므로 a<0, c>0 또 a÷b>0에서 a, b는 서로 같은 부호이므로 b<0 ∴ a<0, b<0, c>0

18

a>0이고 a_b<0이므로 b<0 b÷c<0이므로 c>0 a, c는 모두 양수이고 |a|<|c|이므로 a<c ∴ b<0<a<c

19

A=(-4)_(-2)=8 B={-:¡5§:}÷;3*;={-:¡5§:}_;8#;=-;5^; ∴ A÷B=8÷{-;5^;}=8_{-;6%;}=-:™3º:

20

{-;3$;}÷{-;5^;}_ =-:™9º:에서 {-;3$;}_{-;6%;}_ =-:™9º:

테스트 BOOK :¡9º:_ =-:™9º: ∴ ={-:™9º:}÷:¡9º:={-:™9º:}_;1ª0;=-2

21

어떤 수를 x라고 하면 x_;1£4;=-;2ª8;이므로 x={-;2ª8;}÷;1£4;={-;2ª8;}_:¡¡3¢:=-;2#; 따라서 바르게 계산한 답은 {-;2#;}÷;1£4;={-;2#;}_:¡¡3¢:=-7

22

(-1)_(-6)_2=12이므로 각 변에 놓인 세 수의 곱은 모두 12이다. (-1)_3_b=12이므로 (-3)_b=12 ∴ b=12÷(-3)=-4 2_a_(-4)=12이므로 (-8)_a=12 ∴ a=12÷(-8)=-;2#;

23

① 3-{-2+;3@;}_6=3-{-;3^;+;3@;}_6 ① 3-{-2+;3@;}_6=3-{-;3$;}_6=3-(-8)=11 ② {;4#;-;2!;}¤ ÷{-;8!;}+3={;4!;}¤ _(-8)+3 ① {;4#;-;2!;}¤ ÷{-;8!;}+3=;1¡6;_(-8)+3 ① {;4#;-;2!;}¤ ÷{-;8!;}+3=-;2!;+3=;2%; ③ [{;1∞4;-;7$;}+1]÷11=[{;1∞4;-;1•4;}+1]÷11 ① [{;1∞4;-;7$;}+1]÷11=[{-;1£4;}+;1!4$;]÷11 ① [{;1∞4;-;7$;}+1]÷11=;1!4!;_;1¡1;=;1¡4; ④ 10÷[12_{;3!;-;6%;}+1]=10÷{(4-10)+1} ④ 10÷[12_{;3!;-;6%;}+1]=10÷(-5)=-2 ⑤ [(-3)¤ ÷;4!;-(-5)¤ ]÷;2!;={9÷;4!;-25}÷;2!; ⑤ [(-3)¤ ÷;4!;-(-5)¤ ]÷;2!;=(9_4-25)_2 ⑤ [(-3)¤ ÷;4!;-(-5)¤ ]÷;2!;=11_2=22 따라서 계산 결과가 두 번째로 큰 것은 ①이다.

24

8+[4+(-3)_{2_4+(-32)÷(-8)}] =8+{4+(-3)_(8+4)} =8+{4+(-3)_12} =8+{4+(-36)} =8+(-32)=-24 따라서 -24보다 큰 음의 정수는 -23, -22, -21, y, -2, -1로 모두 23개이다.

25

⑴ 식의 계산 순서대로 연결해 보면 다음과 같다. ⑴;3@;-[;5!;-[(-2)+;2!;÷{-;2#;}]_;5^;] ⑴순서를 차례대로 나열하면 ㉣, ㉢, ㉤, ㉡, ㉠이다. ⑵ ;3@;-[;5!;-[(-2)+;2!;÷{-;2#;}]_;5^;] ⑴=;3@;-[;5!;-[(-2)+;2!;_{-;3@;}]_;5^;] ⑴=;3@;-[;5!;-[{-;3^;}+{-;3!;}]_;5^;] ⑴=;3@;-[;5!;-{-;3&;}_;5^;] ⑴=;3@;-[;5!;-{-;;¡5¢;;}] ⑴=;3@;-3=;3@;-;3(;=-;3&;

26

2-(-3)¤ ÷[4_{;4%;-;2!;}]=2-9÷[4_{;4%;-;2!;}] 2-(-3)¤ ÷[4_{;4%;-;2!;}]=2-9÷[4_{;4%;-;4@;}] 2-(-3)¤ ÷[4_{;4%;-;2!;}]=2-9÷{4_;4#;} 2-(-3)¤ ÷[4_{;4%;-;2!;}]=2-9÷3 2-(-3)¤ ÷[4_{;4%;-;2!;}]=2-3=-1

27

(-2)Ω4=(-2)_4-1=-8-1=-9, (-5)Ω(-1)=(-5)_(-1)-1=5-1=4 ∴ {(-2)Ω4}△{(-5)Ω(-1)} ∴=(-9)△4=(-9)-4÷(-2) ∴=(-9)-4_{-;2!;}=(-9)+2=-7 ㉣ ㉢ ㉤ ㉡ ㉠

01D<C<B<A 02-5 03-11 04C : -7, D : -1 055 069 07;1@6!; 08a=-;1£6;, b=;1!6(; 09-1 10;b!;<;a!;<;d!;<;c!; 11ㄴ, ㄷ, ㅁ 12a=1, b=-3, c=-4

실력

TEST

027~029쪽

0

1

조건 ㈏`에서 B<0이므로 조건 ㈎`에서 D<B<0 조건 ㈐`에서 두 수 A, D를 나타내는 두 점은 원점으로부 터의 거리가 같으므로 두 수 A, D의 절댓값은 같다. ∴ |A|=|D| 이때 조건 ㈎`에서 D<0<A 또 조건 ㈎, ㈑`에서 D<C<B ∴ D<C<B<A

0

2

조건 ㈎에서 6과의 합이 0보다 큰 정수는 -6보다 커야 한 다. 즉, -5, -4, -3, y이다. 조건 ㈏에서 4와의 합이 0보다 작은 정수는 -4보다 작아 야 한다. 즉, -5, -6, -7, y이다. 따라서 두 조건을 모두 만족하는 정수는 -5이다.

0

3

-;3@;=-;6$;이므로 -;6$;와 `:¡6£: 사이에 있는 분모가 6이고 분자가 정수인 분수는 -;6#;, -;6@;, -;6!;, 0, ;6!;, ;6@;, ;6##;, ;6$;, ;6%;, ;6^;, ;6&;, ;6*;, ;6(;, ;;¡6º;;, ;;¡6¡;;, ;;¡6™;; 이 중에서 분모가 6인 기약분수는 -;6!;, ;6!;, ;6%;, ;6&;, ;;¡6¡;;

28

A : {(-4)+(-2)}÷3=(-6)÷3=-2 B : (-2-10)_{-;3@;}=(-12)_{-;3@;}=8 C : 8÷(-2)+1=(-4)+1=-3 따라서 -4를 기계에 넣었을 때, 계산 결과는 -3이다. 이 중 최대인 것은 `:¡6¡:, 최소인 것은 -;6!;이므로 a=:¡6¡:, b=-;6!; ∴ a÷b=:¡6¡:÷{-;6!;}=:¡6¡:_(-6)=-11

0

4

두 수 -10, 8을 나타내는 두 점 A, B 사이의 거리는 8-(-10)=18 …… ❶ 두 점 C, D는 선분 AB를 1 : 2 : 3으로 나누는 점이므로 두 점 A, B 사이의 거리 18을 6등분하면 18÷6=3 즉, 두 점 A와 C, C와 D, D와 B 사이의 거리는 각각 3, 6, 9이다. 따라서 점 C가 나타내는 수는 -10+3=-7 …… ❷ 점 D가 나타내는 수는 -7+6=-1 …… ❸

0

5

1을 포함하여 빈칸에 들어갈 모든 수를 합하면 (-2)+(-1)+0+y+6=18 이때 각 변에 있는 수의 합은 7이므로 세 꼭짓점에 놓인 수 의 합은 7+7+7-18=21-18=3이다. 위 그림과 같이 1을 제외한 두 꼭짓점에 놓인 수를 X, Y 라 하면 X+Y+1=3이어야 한다. 즉, X+Y=3-1=2 yy ㉠ 따라서 X+Y+A+B=7에서 ㉠`에 의해 2+A+B=7 ∴ A+B=7-2=5 ■ 참고 ■ 문제의 조건을 만족하도록 빈칸을 채워 넣으면 다음과 같다. 1 X A B Y 8 -10 A+3C +6 D +9 B ❶두 점 A, B 사이의 거리 구하기 ❷점 C가 나타내는 수 구하기 ❸점 D가 나타내는 수 구하기 30 % 40 % 30 % 채점 기준 배점

테스트 BOOK

0

6

절댓값이 각각 4, 5인 두 정수의 곱이 음수이므로 두 정수 의 부호가 다르다. 즉, 만족하는 두 정수는 ‘+4와 -5’또는‘-4와 +5’ 또 두 정수의 합이 양수이므로 양수의 절댓값이 음수의 절 댓값보다 커야 한다. 따라서 만족하는 두 수는 -4, +5이므로 두 수의 차는 |(+5)-(-4)|=|(+5)+(+4)|=9 ■ 참고 ■ 두 수의 차는 반드시 0 또는 양의 값이 나와야 한다. 즉, 두 수 a, b의 차는 |a-b|이다.

0

7

마주 보는 면에 있는 두 수의 곱이 1이므로 한 수는 다른 수 의 역수이다. 즉, -4¤ =-16과 C가 적힌 면이 마주 보는 면이므로 C=-;1¡6; -8과 B가 적힌 면이 마주 보는 면이므로 B=-;8!;, ;3@;와 A가 적힌 면이 마주 보는 면이므로 A=;2#; …… ❶ ∴ A+B+C={+;2#;}+{-;8!;}+{-;1¡6;} ∴ A+B+C={+;2#;}+[{-;1™6;}+{-;1¡6;}] ∴ A+B+C={+;1@6$;}+{-;1£6;}=;1@6!; …… ❷

0

8

수직선 위의 이웃한 두 점 사이의 거리를 구하면 [;2!;-{-;8&;}]÷2={;8$;+;8&;}_;2!;=:¡8¡:_;2!;=;1!6!; a -;8&; ;2!; b ;1!6!; ;1!6!; ;1!6!; 1 5 2 3 0 -2 A B 4 1 6 -1 2 3 -2 A B 4 ❶보이지 않는 세 면에 있는 수 구하기 ❷세 수의 합 구하기 60 % 40 % 채점 기준 배점 ∴ a=-;8&;+;1!6!;=-;1!6$;+;1!6!;=-;1£6; b=;2!;+;1!6!;=;1•6;+;1!6!;=;1!6(;

0

9

n이 홀수일 때, n-1은 짝수이므로 (-1)=(-1)‹ =y=(-1)« =-1 (-1)¤ =(-1)› =y=(-1)« —⁄ =1 ∴ (-1)+(-1)¤ +(-1)‹ +(-1)› +y =+(-1)« —¤ +(-1)« —⁄ +(-1)« =(-1)+1+(-1)+1+y+(-1)+1+(-1) ={(-1)+1}+{(-1)+1}+y+{(-1)+1}+(-1) ∴=0+0+y+0+(-1)=-1

10

-1<a<b<0<c<d<1이므로 a=-;2!;, b=-;3!;, c=;3!;, d=;2!;로 놓으면 각각의 역수는 ;a!;=-2, ;b!;=-3, ;c!;=3, ;d!;=2 ∴ ;b!;<;a!;<;d!;<;c!; ■ 참고 ■ a<b<0<c<d일 때 a<b에서 ;a!;>;b!;, c<d에서 ;c!;>;d!;이므로 ;b!;<;a!;<0<;d!;<;c!;

11

a>0, b<0이므로 ㄱ. a-b=(+)-(-)=(+)+(+)=(+) ㄱ.∴ a-b>0 ㄴ. a_b¤ =(+)_(-)¤ =(+)_(+)=(+) ㄱ.∴ a_b¤ >0 ㄷ. a¤ _b¤ =(+)¤ _(-)¤ =(+)_(+)=(+) ㄱ.∴ a¤ _b¤ >0 ㄹ. a¤ ÷b=(+)¤ ÷(-)=(+)÷(-)=(-) ㄱ.∴ a¤ ÷b<0 ㅁ. b-a=(-)-(+)=(-)+(-)=(-) ㄱ.∴ b-a<0 ㅂ. a+b¤ =(+)+(-)¤ =(+)+(+)=(+) ㄱ.∴ a+b¤ >0 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㅁ이다.