문자와 식
2. 일차방정식
20 % 30 %
채점 기준 배점
❶주어진 식을 정리하기
❷상수 a, b의 조건 구하기
40 % 60 %
채점 기준 배점
2. 일차방정식
01⑤ 02⑴ 20-8=3_4
⑵ 1600+1000x=4600 ⑶ 50x=120 03ㄷ 04③ 05방정식 : ㄱ, ㄷ, 항등식 : ㄹ
06④ 07-1 081 09⑤
10㈎ : 2, ㈏ : 3, ㈐ : 3, ㈑ : 911㈎ : ㄷ, ㈏ : ㄱ, ㈐ : ㄹ
12④ 13-6 14ㄷ, ㄹ 15a+5
16④ 17⑴ x=1 ⑵ x=3 ⑶ x=-5 ⑷ x=-;2!;
18-;4%; 19-9 206 21x=3 222 233, 6, 9
유형 TEST
043~045쪽01 ①, ④는 등호가 없어서, ②, ③은 부등호를 사용해서 등식 이 아니다. 따라서 등식인 것은 ⑤이다.
02 ⑴ 20-8=3_4
⑵ 800_2+1000_x=4600
∴ 1600+1000x=4600
⑶ 50_x=120 ∴ 50x=120
03 ㄱ. 8+2=11은 미지수가 없으므로 방정식이 아니다.
ㄴ. 2x-1…9는 부등호를 사용했으므로 방정식이 아니다.
ㄷ. x-1=9는 미지수와 등호를 가지고 있고, x=10일 때 만 등식이 성립하므로 방정식이다.
ㄹ. x-2(x+1)은 등호가 없으므로 방정식이 아니다.
따라서 방정식인 것은 ㄷ뿐이다.
04 [ ] 안의 수를 각각의 방정식에 대입해 보자.
① x=-7을 대입하면 -7+3+10
② x=-1을 대입하면 -1-5+4
③ x=4를 대입하면 2_4-1=7
④ x=3을 대입하면 2_3+1+-5
⑤ x=-2를 대입하면 -2+5+2_(-2)+3 따라서 [ ] 안의 수가 그 방정식의 해인 것은 ③이다.
05 ㄱ. x=-1일 때만 성립하므로 방정식이다.
ㄴ. x에 어떤 값을 대입해도 성립하지 않으므로 방정식도 항등식도 아니다.
01. 방정식과 그 해 02. 일차방정식과 그 풀이
테스트BOOK ㄷ. 주어진 식의 괄호를 풀면 4-2x=4-x이고, 이는
x=0일 때만 성립하므로 방정식이다.
ㄹ. 주어진 식의 괄호를 풀면 x-1=x-1로 좌변과 우변 이 같으므로 항등식이다.
따라서 방정식인 것은 ㄱ, ㄷ이고, 항등식인 것은 ㄹ이다.
06 x의 값에 관계없이 항상 참인 등식, 즉 항등식을 찾아보자.
① x=0일 때만 성립하므로 항등식이 아니다.
② x=6일 때만 성립하므로 항등식이 아니다.
③ x=2일 때만 성립하므로 항등식이 아니다.
④ 좌변을 정리하면 (좌변)=2x-6으로 우변과 같으므로 항등식이다.
⑤ x에 어떤 값을 대입해도 성립하지 않으므로 항등식이 아니다.
따라서 항등식인 것은 ④이다.
07 주어진 등식이 항등식이므로 (좌변)=(우변)이다.
따라서 x의 항끼리 같고 상수항끼리 같으므로 2=a, -5b=15에서 a=2, b=-3이다.
∴ a+b=2+(-3)=-1
08 주어진 등식의 좌변을 정리해 보면 2x+2a=bx+6이고, 이 식은 항등식이므로 x의 항끼리 같고 상수항끼리 같다.
따라서 2=b, 2a=6에서 a=3, b=2이므로 a-b=3-2=1
09 ① a=b의 양변에 b를 더하면 a+b=b+b이므로 a+b=2b이다.
② a=b의 양변에서 2를 빼면 a-2=b-2이다.
③ a=b의 양변을 2로 나누면 ;2A;=;2B;이다.
④ a=b의 양변에 c를 곱하면 ac=bc이다.
⑤ a=b의 양변에 c를 곱하면 ac=bc이고, 또 양변에서 1을 빼면 ac-1=bc-1이다.
따라서 항상 옳은 것은 ⑤이다.
10 ;3{;-2=1의 양변에 2를 더하면
;3{;-2+ =1+
;3{;=
양변에 3을 곱하면 3
2 2
;3{;_ = _
∴ x=
따라서 ㈎ : 2, ㈏ : 3, ㈐ : 3, ㈑ : 9이다.
11 =5
3x-1=20 3x =21
∴ x =7
∴ ㈎ : ㄷ, ㈏ : ㄱ, ㈐ : ㄹ
■ 참고 ■
c가 자연수라는 조건이 없다면 다음과 같은 경우도 가능하다.
㈎ : 양변을 ;4!;로 나눈다. ˙k ㄹ
㈏ : 양변에서 -1을 뺀다. ˙k ㄴ
㈐: 양변에 ;3!;을 곱한다. ˙k ㄷ
12 ① 3x≥-2=3 ˙k 3x=3+2
② x=5≥-3x ˙k x+3x=5
③ -2x=3≥+x ˙k -2x-x=3
④ 4x≥+1=8 ˙k 4x=8-1
⑤ x≥-5=≥3x+1 ˙k x-3x=1+5 따라서 바르게 이항한 것은 ④이다.
13 3x-2=5x+2에서 우변의 5x, 2를 좌변으로 이항하면 3x-2-5x-2=0, -2x-4=0
따라서 a=-2, b=-4이므로 a+b=(-2)+(-4)=-6
14 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리했을 때, 좌변이 x에 대 한 일차식인 것을 찾아보자.
ㄱ. x+x=2x에서 x+x-2x=0, 0=0 ㄴ. x¤ -2x=1에서 x¤ -2x-1=0
ㄷ. 3x=5-2x에서 3x-5+2x=0, 5x-5=0 ㄹ. x¤ =x¤ -x에서 x¤ -x¤ +x=0, x=0 따라서 일차방정식인 것은 ㄷ, ㄹ이다.
15 주어진 등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하면 (a-5)x+7=0
일차방정식이 되려면 좌변이 일차식이어야 하므로 a+5이어야 한다.
1453413x-14 9
3 3 3
㈎ : 양변에 4를 곱해도 등식은 성립한다.
㈏ : 양변에 1을 더해도 등식은 성립한다.
㈐ : 양변을 3으로 나누어도 등식은 성립한다.
16 ① x-3=-2, x=-2+3 ∴ x=1
② ;2!;x+1=;2#;의 양변에 2를 곱하면 x+2=3, x=3-2 ∴ x=1
③ =1의 양변에 3을 곱하면 x+2=3, x=3-2 ∴ x=1
④ 2-x=-1, -x=-1-2, -x=-3 ∴ x=3
⑤ 5x-4=1, 5x=1+4, 5x=5 ∴ x=1 따라서 해가 나머지 넷과 다른 방정식은 ④이다.
17 ⑴ 4(2x-6)=-1-3(x+4)의 괄호를 풀면 8x-24=-1-3x-12
8x+3x=-13+24 11x=11 ∴ x=1
⑵ ;6{;+1=;3{;+;2!;의 양변에 6을 곱하면 x+6=2x+3, x-2x=3-6, -x=-3 ∴ x=3
⑶ 0.5x-0.05=3(0.2x+0.15)의 괄호를 풀면 0.5x-0.05=0.6x+0.45
양변에 100을 곱하면
50x-5=60x+45, 50x-60x=45+5 -10x=50 ∴ x=-5
⑷ 2(1-5x)-3=;2#;-0.2(3x-11)의 양변에 10 을 곱하면
20(1-5x)-30=15-2(3x-11) 20-100x-30=15-6x+22 -100x+6x=37+10 -94x=47 ∴ x=-;2!;
18 (x+2) : 3=(2x+3) : 2에서 2(x+2)=3(2x+3), 2x+4=6x+9 2x-6x=9-4, -4x=5
∴ x=-;4%;
19 +1=0.2(3x+2)의 양변에 30을 곱하면 10(2x-1)+30=6(3x+2)
20x-10+30=18x+12 1453412x-13
145342x+23
20x-18x=12-20 2x=-8 ∴ x=-4 따라서 a=-4이다.
또 - =;2!;(x+1)의 양변에 6을 곱하면 3x-(2+x)=3(x+1)
3x-2-x=3x+3 2x-3x=3+2 -x=5 ∴ x=-5 따라서 b=-5이다.
∴ a+b=(-4)+(-5)=-9
20 -x+3=x-1에 x=-2를 대입하면
-(-2)+3=-2-1
+5=-3, =-8 -2a-4=-16, -2a=-12
∴ a=6
21 a(x+1)=12에 x=3을 대입하면 a(3+1)=12, 4a=12 ∴ a=3
2(3x-4)-a(x-3)=10에 a=3을 대입하면 2(3x-4)-3(x-3)=10
6x-8-3x+9=10, 3x=10-1, 3x=9
∴ x=3
22 2x+1=7을 풀면
2x=7-1, 2x=6 ∴ x=3
x=3은 방정식 x+a=5의 해이기도 하므로 대입하면 3+a=5, a=5-3 ∴ a=2
23 x-a=4x-12에서 x=
x가 자연수이어야 하므로 12-a는 3의 배수이어야 한다.
⁄12-a=3일 때, a=9
¤12-a=6일 때, a=6
‹12-a=9일 때, a=3
›12-a가 12 이상인 3의 배수일 때에는 a…0이므로 a 는 자연수가 아니다.
⁄~›에서 자연수 a의 값은 3, 6, 9이다.
14534112-a3 -2a-4 14534112 -2a-4
14534112 a_(-2)-4 1453411112 145341ax-42
1454232+x6 1x2
테스트BOOK
06 오리를 x마리라고 하면 강아지는 (17-x)마리이고 오리 의 다리의 수는 2개, 강아지의 다리의 수는 4개이므로 2x+4(17-x)=56, -2x+68=56
-2x=-12 ∴ x=6 따라서 오리는 6마리이다.
07 옷의 원가를 x원이라고 하면 (정가)=x+;1™0∞0;x=;4%;x(원)
(이익)={;4%;x-1000}-x=;10%0;x
;4{;-1000=;2¡0;x, 5x-20000=x 4x=20000 ∴ x=5000
08 작년의 여학생 수를 x라고 하면 작년의 남학생 수는 640-x이므로 증가한 남학생 수는 ;10^0;(640-x)명, 감소한 여학생 수는 ;10%0;x명이다.
전체적으로 10명이 감소했으므로
;10^0;(640-x)-;10%0;x=-10, 3840-6x-5x=-1000 -11x=-4840
∴ x=440
따라서 올해의 여학생 수는
440_{1-;10%0;}=440_;1ª0∞0;=418(명)
09 학생 수를 x명이라고 하자.
3000원씩 모으면 5000원이 모자라므로 전체 금액은 (3000x+5000)원
3500원씩 모으면 2500원이 남으므로 전체 금액은 (3500x-2500)원
이때 전체 금액은 같으므로 3000x+5000=3500x-2500 500x=7500 ∴ x=15 따라서 학생들은 모두 15명이다.
10 의자 수를 x개라고 하면 학생 수는 일정하므로 7x+7=10(x-1)-7
7x+7=10x-10-7 7x-10x=-17-7 01-13 0237 0315세 0474
056000원 066마리 075000원 08418명 0915명 10의자 수 : 8개, 학생 수 : 63명 1114 cm 1212 cm 135 km 148분 후 1524분 후 1628 km 17350 g 1872 g 19240 g 20900 g 2115일 226일 2323분 2410일
유형 TEST
046~048쪽01 어떤 수를 x라고 하면
2(x-3)=3x+7, 2x-6=3x+7 2x-3x=7+6, -x=13
∴ x=-13
02 연속하는 세 홀수를 x-2, x, x+2라고 하면 세 홀수의 합이 105이므로
(x-2)+x+(x+2)=105 3x=105 ∴ x=35
따라서 세 홀수 중 가장 큰 수는 35+2=37
03 현재 이룸이의 나이를 x세라고 하면 아버지의 나이는 3x 세이고, 15년 후 이룸이의 나이는 (x+15)세, 아버지의 나이는 (3x+15)세이다.
이때 아버지의 나이가 이룸이의 나이의 2배가 되므로 3x+15=2(x+15), 3x+15=2x+30
3x-2x=30-15 ∴ x=15 따라서 현재 이룸이의 나이는 15세이다.
04 일의 자리의 숫자를 x라고 하면 처음 수는 70+x, 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자를 바꾼 수는 10_x+7=10x+7
이때 (바꾼 수)=(처음 수)-27이므로 10x+7=70+x-27, 9x=36 ∴ x=4 따라서 처음 수는 74이다.
05 정가를 x원이라고 하면 40 % 할인하여 10000-6400=3600원에 구입했으므로 x_{1-;1¢0º0;}=3600, ;1§0º0;x=3600 x=3600_:¡6º0º: ∴ x=6000 따라서 유리컵의 정가는 6000원이다.
03. 일차방정식의 활용
-3x=-24 ∴ x=8
따라서 의자 수는 8개이고, 학생 수는 7_8+7=63(명)
11 직사각형의 세로의 길이를 x cm라고 하면 가로의 길이는 (2x+6) cm이므로 직사각형의 둘레의 길이는
2{x+(2x+6)}=36
2(3x+6)=36, 6x+12=36, 6x=24 ∴ x=4 따라서 가로의 길이는 2_4+6=14(cm)
12 윗변의 길이를 x cm라고 하면 아랫변의 길이는 (x+4) cm이므로 사다리꼴의 넓이는
;2!;_{x+(x+4)}_8=112
4(2x+4)=112, 8x+16=112, 8x=96
∴ x=12
따라서 윗변의 길이는 12 cm이다.
13 집에서 학교까지의 거리를 x km라고 하자. 시속 4 km로 걸어가는 시간은 ;4{;시간, 시속 10 km로 자전거를 타고
가는 시간은 ;1”0;시간이므로
;4{;=;1”0;+;6$0%;, ;4{;-;1”0;=;4#;
5x-2x=15, 3x=15
∴ x=5
따라서 집에서 학교까지의 거리는 5 km이다.
14 형이 x분 후에 동생을 만난다고 하면 동생은 출발한지 (x+24)분 후에 형을 만난다. 이때 형이 간 거리는 동생이 간 거리와 같으므로
200x=50(x+24), 200x=50x+1200 200x-50x=1200, 150x=1200 ∴ x=8 따라서 형이 출발한 지 8분 후에 형과 동생은 만난다.
15 B가 A를 처음 만날 때까지 걸은 시간을 x분이라 하면 A가 B를 처음만날 때까지 걸은 시간은 (x+6)분이다.
이때 A가 걸은 거리는 60(x+6) m, B가 걸은 거리는 50x m이고, 두 사람이 걸은 거리의 합은 호수의 둘레의 길이인 3 km=3000 m이다.
60(x+6)+50x=3000
만나는 지점 출발 지점 60{x+6}`m
50x`m A
B
60x+360+50x=3000 110x=2640 ∴ x=24
따라서 B가 출발한 지 24분 후에 처음으로 A를 만나게 된 다.
■ 참고 ■
두 사람이 호수 둘레를 각자 돌아서 만난다고 할 때,
⑴ 서로 반대 방향으로 돌아 만나는 경우
Δ(x분 동안 이동한 거리의 합)=(호수 둘레의 길이)
⑵ 서로 같은 방향으로 돌아 만나는 경우
Δ(x분 동안 이동한 거리의 차)=(호수 둘레의 길이)
16 두 지점 A, B 사이의 거리를 x km라고 하자.
갈 때 걸린 시간은 ;3”0;시간, 올 때 걸린 시간은 ;2”0;시 간이고 총 2시간 20분 {=2;6@0);=;3&;}이 걸렸으므로
;3”0;+;2”0;=;3&;
2x+3x=140, 5x=140
∴ x=28
따라서 두 지점 A, B 사이의 거리는 28 km이다.
17 20 %의 소금물의 양을 x g이라고 하면 여기에 소금 50 g 을 넣어 만든 30 %의 소금물은 (x+50) g이 된다.
이때 소금의 양이 같음을 이용하여 식을 세우면
;1™0º0;_x+50=;1£0º0;_(x+50) 20x+5000=30(x+50) 20x+5000=30x+1500
20x-30x=1500-5000, -10x=-3500
∴ x=350
따라서 20%의 소금물의 양은 350 g이다.
18 x g의 물을 증발시킨다고 하면 물을 증발시켜도 소금의 양 은 변하지 않으므로
;10*0;_360=;1¡0º0;_(360-x) 2880=3600-10x, 10x=720
∴ x=72
따라서 물 72 g을 증발시킨다.
19 10 %의 소금물의 양을 x g이라고 하면
;1¡0º0;_x+;10%0;_(400-x)=;10*0;_400
테스트BOOK 10x+2000-5x=3200
5x=1200 ∴ x=240
따라서 10 %의 소금물은 240 g이다.
20 20 %의 소금물의 양을 x g이라고 하면
;1¡0™0;_300+;1™0º0;_x=;1¡0•0;_(300+x) 3600+20x=5400+18x, 2x=1800
∴ x=900
따라서 20 %의 소금물은 900 g이다.
21 전체 일의 양을 1이라고 하면 (A가 하루 동안 하는 일의 양)=;3¡2;
(B가 하루 동안 하는 일의 양)=;2¡4;
A가 12일 동안 ;3¡2;_12만큼의 일을 하고, B가 x일 동안
;2¡4;_x만큼의 일을 하여 완성했다고 하면
;3¡2;_12+;2¡4;_x=1
;8#;+;2”4;=1
9+x=24 ∴ x=15
따라서 B는 15일 동안 일해야 한다.
22 퍼즐을 맞추는 데 걸리는 일수를 x일이라고 하면 희정이는 하루에 전체 시간의 ;1¡0;을 하게 되고 정종이는 ;1¡5;을 하게 된다.
따라서 함께 퍼즐을 맞출 때 완성한 상태를 1이라고 하면
;1¡0;x+;1¡5;x=1
30_{;1¡0;x+;1¡5;x}=30_1 3x+2x=30, 5x=30 ∴ x=6 따라서 6일이 걸린다.
23 물통에 가득 찬 물의 양을 1이라고 하면 A 호스, B 호스로 1분 동안 채울 수 있는 물의 양은 각각 ;3¡5;, ;2¡5;이다.
A 호스로 물을 x분 더 받아야 한다고 하면 {;3¡5;+;2¡5;}_5+;3¡5;_x=1, ;7!;+;5!;+;3¡5;x=1
;3¡5;x=;3@5#; ∴ x=23
따라서 A 호스로 23분을 더 받아야 한다.
24 전체 작업의 양을 1이라고 하면 A, B가 하루에 하는 작업 의 양은 각각 ;6!;, ;1¡5;이다.
B가 x일 동안 작업했다고 하면 A는 (x-8)일 동안 작업 했으므로
;6!;_(x-8)+;1¡5;_x=1 5x-40+2x=30, 7x=70
∴ x=10
따라서 B는 10일 동안 작업했다.
019 024 03a=3, b+1
041 053 06 -2 0715분
0824개 09 8세, 13세, 18세 10 2시간 24분 11 135 m 1250
실력 TEST
049~051쪽01 주어진 등식이 항등식이므로 (좌변)=(우변)이다.
따라서 x의 항끼리 같고 상수항끼리 같으면 되므로 a=3, -2b=4a
이때 a=3을 -2b=4a에 대입하면 -2b=12 ∴ b=-6
∴ a-b=3-(-6)=3+6=9
02 (8-a)x=2+ax에서 우변의 x를 포함한 항을 좌변으로 이항하여 정리하면
(8-a)x-ax=2, (8-a-a)x=2 (8-2a)x=2
좌변의 x의 계수 (8-2a)가 0이면 x가 어떤 값을 갖더라 도 좌변은 0이 되어 2가 될 수 없다.
따라서 8-2a=0일 때, 등식을 만족하는 x의 값은 존재하 지 않으므로
-2a=-8 ∴ a=4
03 주어진 방정식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하면 ax¤ +x-3x¤ -bx-4=0
(a-3)x¤ +(1-b)x-4=0 …… ❶
일차방정식이 되려면 x¤ 의 계수는 0이고, x의 계수는 0이 아니어야 하므로
a-3=0, 1-b+0
∴ a=3, b+1 …… ❷
04 1- = +;6!;의 양변에 12를 곱하면 12-6(x+3)=3(x-2)+2
12-6x-18=3x-6+2, -6x-6=3x-4 -6x-3x=-4+6, -9x=2
∴ x=-;9@;
따라서 a=-;9@;이므로 이를 9a+3에 대입하면 9_{-;9@;}+3=-2+3=1
05 x-;3!;(x+2a)=-2의 양변에 3을 곱하면 3x-(x+2a)=-6
3x-x-2a=-6, 2x=2a-6
∴ x=a-3
이때 a-3이 음의 정수이므로 a-3=-1, -2, -3, y
⁄a-3=-1일 때, a=2
¤a-3=-2일 때, a=1
‹a-3=-3일 때, a=0
›a-3=-4일 때, a=-1
⋮
따라서 조건을 만족하는 a의 값은 2, 1이므로 그 합은 2+1=3
06 3x=2(x+1)을 풀면 3x=2x+2 ∴ x=2
방정식 ax-2=bx-10의 해는 2의 2배이므로
x=4를 해로 갖는다. x=4를 ax-2=bx-10에 대입해 보면
a_4-2=b_4-10, 4a-2=4b-10 4a-4b=-10+2, 4a-4b=-8
∴ a-b=-2 145342x-24 145342x+32
❶모든 항을 좌변으로 이항하여 식을 정리하기
❷일차방정식이 되기 위한 a, b의 조건 구하기
30 % 70 %
채점 기준 배점
07 x분 후에 A 부품의 개수가 B 부품의 개수의 3배가 된다고 하면 x분 동안 A 부품은 16x개, B 부품은 8x개가 만들어 지므로
180+16x=3(20+8x) 180+16x=60+24x 16x-24x=60-180 -8x=-120 ∴ x=15
따라서 15분 후에 A부품의 개수가 B부품의 개수의 3배가 된다.
08 어머니가 하루 종일 팔고 남은 떡의 수를 x라고 하자.
첫 번째 고개에서 호랑이에게 나누어 준 떡의 수는 ;2!;x+4
이므로 남은 떡의 수는 ;2!;x-4이다.
두 번째 고개에서 호랑이에게 나누어 준 떡의 수는
;2!;{;2!;x-4}+2=;4!;x이므로 남은 떡의 수는 {;2!;x-4}-;4!;x=;4!;x-4
세 번째 고개에서 호랑이에게 나누어 준 떡의 수는
;2!;{;4!;x-4}+1=;8!;x-1이므로 남은 떡의 수는
;4!;x-4-{;8!;x-1}=;8!;x-3 따라서 ;8!;x-3=0이므로 x=24
따라서 어머니가 하루 종일 팔고 남은 떡은 24개이다.
09 현재 세 자매의 나이를 각각 (x-5)세, x세, (x+5)세라 고 하면 3년 후의 큰 언니의 나이는 (x+8)세이고 이는 현 재 동생들의 나이의 합과 같으므로
(x-5)+x=x+8, 2x-5=x+8 2x-x=8+5 ∴ x=13
따라서 올해 세 자매의 나이는 각각 8세, 13세, 18세이다.
10 물통에 가득 찬 물의 양을 1이라고 하면 A, B, C 호스로
10 물통에 가득 찬 물의 양을 1이라고 하면 A, B, C 호스로