2020 풍산자 라이트 미적분 답지 정답

미적분

풍산자

필수 개념 연계 문항들로 빠르게 끝내는 단기 완성서

정답과 풀이

p. 06

01

②

02

3

03

1

04

②

05

①

06

;2!;

07

⑤

수열의 극한

01

ㄱ. n이 한없이 커지면 3+;n!;의 값 은 3에 한없이 가까워지므로 수 열 [3+;n!;]은 3에 수렴한다. ㄴ. n이 한없이 커지면 2n-1의 값 은 한없이 커지므로 수열 {2n-1}은 양의 무한대로 발 산한다. ㄷ. n이 한없이 커지면 {;2!;}n-1의 값은 0에 한없이 가까워지므로 수열 [{;2!;}n-1]은 0에 수렴한다. ㄹ. n=1, 2, 3, 4, y를 (-1)Ç` 에 차례대로 대입하면 -1, 1, -1, 1, y 이므로 수열 {(-1)Ç` }은 진동 하면서 발산한다. 따라서 수렴하는 수열은 ㄱ, ㄷ이다.

02

lim n Ú ¦ (2aÇ+bÇ) =2limn Ú ¦ aÇ+limn Ú ¦ bÇ =2_2-1 =3

03

수열 {_{aÇ}이 수렴하므로 lim} n Ú ¦ aÇ=a(a는 실수)라고 하면 lim n Ú ¦ an+1=a an+1=2an-1에서 lim

n Ú ¦ an+1=limn Ú ¦ (2an-1)=2limn Ú ¦ an-1`

이므로 a=2a-1 ∴ a=1

04

lim n Ú ¦ 2n n+1 =limn Ú ¦ 2 1+;n!;=2 {∵ limn Ú ¦ 1 n =0}, lim n Ú ¦ { 6n+3}=limn Ú ¦ 6 n +3=3 이므로 lim n Ú ¦ 2n n+1 -limn Ú ¦ { 6n+3}=2-3=-1 aÇ O 1 2 3 3 4 4 5 n aÇ O 1 2 3 3 1 7 9 5 4 5 n aÇ O 1 2 3 1 4 5 n aÇ O 1 2 3 1 -1 4 5 n

05

a+0이면 lim n Ú ¦ anÛ`+bn+1 n-1 은 ¦ 또는 -¦로 발산하므로 a=0 ∴ lim n Ú ¦ anÛ`+bn+1 n-1 =limn Ú ¦ bn+1 n-1 =limn Ú ¦ b+ 1n 1- 1n=b=2 ∴ a+b=2

06

lim n Ú ¦ ("ÃnÛ`+n-n) =lim n Ú ¦ ("ÃnÛ`+n-n)("ÃnÛ`+n+n) "ÃnÛ`+n+n =lim n Ú ¦ n "ÃnÛ`+n+n =lim n Ú ¦ 1 ¾Ð1+ 1n +1 =;2!;

07

3n-1_{n+1 <aÇ<}3n+4_{n+1 에서 n} lim_{Ú ¦} 3n-1_{n+1 Élimn Ú ¦} aÇÉlim_{n Ú ¦} 3n+4_n+1

이때 lim n Ú ¦ 3n-1 n+1 =3, limn Ú ¦ 3n+4 n+1 =3이므로 _n lim_{Ú ¦} aÇ=3 p. 08

01

⑴ 발산 ⑵ 수렴

02

ㄷ, ㄹ

03

①

04

⑴ -1 ⑵ ¦ ⑶ 1 ⑷ ;3!;

05

-3<xÉ1

06

③

07

④

08

1

등비수열의 극한

01

⑴ 주어진 수열은 공비가 2이고 2>1이므로 발산한다. ⑵ 주어진 수열은 공비가 -;3!;이고 -1<-;3!;<1이므로 수렴한다.

02

ㄱ. 공비가 -1이므로 발산한다. ㄴ. 공비가 1+0.2=1.2이고 1.2>1이므로 발산한다. ㄷ. 공비가 - '_{2 이고 -1<-}3 '3_{2 <1이므로 수렴한다.} ㄹ. 3Ç` 2Û`Ç` ={ 3 2Û` }Ç`={;4#;}Ç` 즉, 공비가 ;4#;이고 -1<;4#;<1이므로 수렴한다. 따라서 수렴하는 수열은 ㄷ, ㄹ이다.

정

답

과

풀

이

02

정답과 풀이 풍산자특강_미적분(I단원정답000-000)육.indd 2 2018-11-06 오후 12:54:32

03

_{aÇ=5_{;2!;}}n-1이므로 lim n Ú ¦ aÇ=limn Ú ¦ 5_{;2!;} n-1 =0

04

⑴ lim n Ú ¦ 3Ç`-5Ç` 2Ç`+5Ç` =n limÚ ¦ {;5#;}Ç`-1 {;5@;}Ç`+1= 0-10+1 =-1 ⑵ lim n Ú ¦ (5Ç`-2Ç`)‌‌=limn Ú ¦ 5Ç`[1-{;5@;}Ç`‌] =¦_(1-0)=¦ ⑶ lim n Ú ¦ 6Ç` (2Ç`+1)(3Ç`+1)=limn Ú ¦ 6Ç` 6Ç`+3Ç`+2Ç`+1 =lim n Ú ¦ 1 1+{;2!;}Ç`+{;3!;}Ç`+{;6!;}Ç` =_1+0+0+01 =1 ⑷ lim n Ú ¦ 2n+1 +3Ç` 2Ç`+3n+1=lim_{n Ú ¦} 2_2Ç`+3Ç`_{2Ç`+3_3Ç`} =lim n Ú ¦ 2_{;3@;}Ç`+1 {;3@;}Ç`+3 = 2_0+1₀₊₃ =;3!;

05

등비수열 [{ x+1_{2 }}Ç`‌]은 공비가 x+1_{2 이므로 수렴하려면} -1< x+1_{2 É1} -2<x+1É2 ∴ -3<xÉ1

06

첫째항이 x, 공비가 x-1이므로 주어진 등비수열이 수렴 하려면 x=0 또는 -1<x-1É1 -1<x-1É1에서 0<xÉ2 ∴ 0ÉxÉ2 따라서 주어진 수열이 수렴하도록 하는 정수 x는 0, 1, 2의 3개이다.

07

등비수열 {(x-2)Ç` }은 공비가 x-2이므로 수렴하려면 -1<x-2É1 ∴ 1<xÉ3 yy ㉠ 등비수열 [{ x2}Ç`‌]은 공비가 x_{2 이므로 수렴하려면 -1< x2É1} ∴ -2<xÉ2 yy ㉡ ㉠, ㉡에서 공통부분을 구하면 1<xÉ2 따라서 a=1, b=2이므로 a+b=3

08

Ú |r|<1일 때, lim n Ú ¦ rÇ` =0이므로 lim n Ú ¦ rÇ` rÇ`+1 =0+1 =0 0 ∴ a=0 Û |r|>1일 때, lim n Ú ¦ |rÇ` |=¦이므로 lim n Ú ¦ rÇ` rÇ`+1 =n limÚ ¦ 1 1+_{{ 1r}}Ç` = 11+0 =1 ∴ b=1 Ú, Û에 의하여 b-a=1

0

1

③

0

2

④

0

3

⑤

0

4

④

0

5

11

0

6

①

0

7

②

0

8

②

0

9

4

10

9

11

③

12

②

13

-1

14

4

15

④

16

⑤

17

⑤

18

①

19

①

20

:ª2°:

21

①

22

⑤

23

99

24

5

실력

확인 문제

p. 10

0

1

① n이 한없이 커지면 '¶n의 값은 한없이 커지므로 수열 {_{'¶n }은 양의 무한대로 발산한다.} ② n이 한없이 커지면 1-3n의 값은 음수이면서 그 절댓 값이 한없이 커지므로 수열 {1-3n}은 음의 무한대로 발산한다. ③ n=1, 2, 3, 4, y를 sin`2np에 차례대로 대입하면 0, 0, 0, 0, … 이므로 수열 {sin`2np}은 0에 수렴한다. ④ n이 한없이 커지면 2nÛ`-5의 값은 한없이 커지므로 수 열 {2nÛ`-5}는 양의 무한대로 발산한다. ⑤ n=1, 2, 3, 4, y를 1+(-1)Ç` 에 차례대로 대입하면 0, 2, 0, 2, … 이므로 수열 {1+(-1)Ç` }은 진동하면서 발산한다. 따라서 수렴하는 수열은 ③이다.

0

2

① lim n Ú ¦ (aÇ+2bÇ)=4+2_(-3)=-2 ② lim n Ú ¦ aÇbÇ=4_(-3)=-12 ③ lim n Ú ¦ (3bÇ-aÇ)=3_(-3)-4=-13 ④ lim n Ú ¦ 3aÇ bÇ = 3_4-3 =-4 ⑤ lim n Ú ¦ aÇ+bÇ aÇ = 4-34 =;4!; 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 정답과 풀이

03

풍산자특강_미적분(I단원정답000-000)육.indd 3 2018-11-06 오후 12:54:33

참고 로그의 기본 성질 a>0, a+1, x>0, y>0, n이 실수일 때 ⑴ log_{Œ`1=0, logŒ`a=1} ⑵ logŒ`xy=logŒ`x+logŒ`y ⑶ logŒ`;]{;=logŒ`x-logŒ`y ⑷ logŒ`xÇ` =n`logŒ`x

0

8

a+0이면 lim_{n Ú ¦} anÛ`+bn-3<sub>5n+1</sub> 은 ¦ 또는 -¦로 발산하므 로 a=0 ∴ lim n Ú ¦ anÛ`+bn-3 5n+1 =limn Ú ¦ bn-3 5n+1 =lim_{n Ú ¦} b- 3n 5+ 1n = b5 즉, _{5 =-1이므로 b=-5} b ∴ a+b=-5

0

9

[1단계] PQÓ ="Ã{(n+1)-n}Û`+{ f(n+1)-f(n)}Û` ="Ã1+{2(n+1)Û`-(n+1)-(2nÛ`-n)}Û` ="Ã1+(4n+1)Û` ="Ã16nÛ`+8n+2 ∴ aÇ="Ã16nÛ`+8n+2 [2단계] ∴ lim n Ú ¦ aÇ n =limn Ú ¦ "Ã16nÛ`+8n+2 n =lim n Ú ¦ ®Â16+ 8n + 2 nÛ` ='¶16=4

10

[1단계] 직선 y=3nx와 수직인 직선의 기울기는 -_3n1 직선 PQ는 기울기가 -<sub>3n 이고 점 (n, 3nÛ`)을 지나므로</sub> 1 직선 PQ의 방정식은 y-3nÛ`=-_{3n (x-n)}1 ∴ y=- 1_{3n x+3nÛ`+;3!;</sub> [2단계] 점 Q는 직선 PQ가 x축과 만나는 점이므로 0=-<sub>3n x+3nÛ`+;3!;에서} 1 <sub>3n x=3nÛ`+;3!;</sub>1 ∴ x=9nÜ`+n 즉, Q(9nÜ`+n, 0)이므로 lÇ=OQÓ=9nÜ`+n

0

3

lim n Ú ¦ (aÇÛ`+bÇÛ`) =lim n Ú ¦ {(aÇ+bÇ)Û`-2aÇbÇ} =lim

n Ú ¦ (aÇ+bÇ)limn Ú ¦ (aÇ+bÇ)-2limn Ú ¦ aÇbÇ

=4_4-2_(-1)=18

0

4

lim n Ú ¦ aÇ=a (a는 실수)로 놓으면 lim n Ú ¦ 3aÇ-4

aÇ+2 =;3$;에서 3a+2 =;3$;a-4 3(3a-4)=4(a+2), 5a=20 ∴ a=4 다른 풀이 3aÇ-4 aÇ+2 =bÇ으로 놓으면 _aÇ=-2bÇ-4 bÇ-3 이때 lim n Ú ¦ bÇ=;3$;이므로 lim n Ú ¦ aÇ=limn Ú ¦ -2bÇ-4 bÇ-3 = -2__;3$;-4 ;3$;-3 =4

0

5

lim n Ú ¦ 3n 2n-1 =n limÚ ¦ 3 2- 1n =;2#;, lim n Ú ¦ n(n-3) 4nÛ`+1 =limn Ú ¦ nÛ`-3n 4nÛ`+1=limn Ú ¦ 1<sub>- 3n</sub> 4+ 1 nÛ` =;4!; 이므로 _n lim_{Ú ¦ 2n-1 +lim}3n _{n Ú ¦} n(n-3) 4nÛ`+1 =;2#;+;4!;=;4&; 따라서 p=4, q=7이므로 p+q=11

0

6

1+2+3+ y +n=Án k=1k= n(n+1) 2 이므로 lim n Ú ¦ 1 nÛ`(1+2+3+ y +n) =limn Ú ¦ 1 nÛ`_ n(n+1) 2 =lim_{n Ú ¦} nÛ`+n<sub>2nÛ`</sub> =lim n Ú ¦ 1+ 1n 2 =;2!;

0

7

lim n Ú ¦ {log£(3n+1)+log£(3n-1)-2log£(n+2)} =lim n Ú ¦ {log£(3n+1)+log£(3n-1)-log£(n+2)Û`} =lim n Ú ¦ `log£ (3n+1)(3n-1)(n+2)Û` =lim n Ú ¦ `log£ 9nÛ`-1nÛ`+4n+4 =lim n Ú ¦ `log£ 9- 1 nÛ` 1+ 4n+nÛ`4 =log£`9=2

04

정답과 풀이 풍산자특강_미적분(I단원정답000-000)육.indd 4 2018-11-06 오후 12:54:34

15

[1단계] 자연수 n에 대하여 n="ÃnÛ` , n+1="Ã(n+1)Û`="ÃnÛ`+2n+1이므로 n<"ÃnÛ`+2n <n+1 즉, "ÃnÛ`+2n 의 정수 부분이 n이므로 aÇ="ÃnÛ`+2n -n [2단계] ∴ lim_{n Ú ¦} aÇ =lim_{n Ú ¦} ("ÃnÛ`+2n-n) =lim<sub>n Ú ¦</sub> ("ÃnÛ`+2n-n)("ÃnÛ`+2n+n) "ÃnÛ`+2n+n =lim n Ú ¦ 2n "ÃnÛ`+2n+n =lim_{n Ú ¦} 2 ®ÂÂ1+ 2n+1 = 2_{1+1 =1}

16

_{n이 자연수이므로 4n-1<(n+2)aÇ<4n+3의 각 변을} n+2로 나누면 4n-1_{n+2 <aÇ<}4n+3_n+2 lim n Ú ¦ 4n-1 n+2 Élimn Ú ¦ aÇÉlimn Ú ¦ 4n+3 n+2 이때 lim n Ú ¦ 4n-1 n+2 =4, limn Ú ¦ 4n+3 n+2 =4이므로 lim n Ú ¦ aÇ=4

17

[1단계] 곡선 <sub>y=xÛ`-(n+1)x+aÇ이 x축과 만나므로 이차방정식</sub> xÛ`-(n+1)x+aÇ=0의 판별식을 DÁ이라고 하면 <sub>DÁ={-(n+1)}Û`-4_1_aǾ0</sub> nÛ`+2n+1-4aǾ0, 4aÇÉnÛ`+2n+1 ∴ aÇÉ nÛ`+2n+1₄ yy ㉠ [2단계] 곡선 <sub>y=xÛ`-nx+aÇ이 x축과 만나지 않으므로 이차방정</sub> 식 xÛ`-nx+aÇ=0의 판별식을 Dª라고 하면 <sub>Dª=(-n)Û`-4_1_aÇ<0</sub> nÛ`-4aÇ<0, 4aÇ>nÛ` ∴ aÇ> nÛ`₄ yy ㉡ [3단계] ㉠, ㉡에서 nÛ`<sub>4 <aÇÉ</sub>nÛ`+2n+1₄ yy ㉢ ㉢의 각 변을 nÛ`으로 나누면 nÛ` 4nÛ`< aÇnÛ`É nÛ`+2n+14nÛ` ∴ ;4!;< aÇ<sub>nÛ`</sub>É nÛ`+2n+1 4nÛ` 이때  lim n Ú ¦ nÛ`+2n+1 4nÛ` =;4!;이므로 lim n Ú ¦ aÇ nÛ`=;4!; [3단계] ∴ lim n Ú ¦ lÇ nÜ`=limn Ú ¦ 9nÜ`+n nÜ` =limn Ú ¦ 9+ 1 nÛ` 1 =9

11

_{(n+1)aÇ=bÇ으로 놓으면 aÇ=n+1}bÇ 이때 lim n Ú ¦ bÇ=3이므로 lim n Ú ¦ (4n-1)aÇ =limn Ú ¦ (4n-1)_ bÇ n+1 =lim_{n Ú ¦} 4n-1_{n+1 _limn Ú ¦} bÇ =4_3=12

12

xÛ`+2nx-3n=0에서 x=-nÑ"ÃnÛ`+3n이므로 aÇ="ÃnÛ`+3n-n (∵ aÇ>0) ∴ lim n Ú ¦ aÇ=limn Ú ¦ ("ÃnÛ`+3n-n) =lim n Ú ¦ (_{"ÃnÛ`+3n-n)("ÃnÛ`+3n+n)} "ÃnÛ`+3n+n =lim n Ú ¦ 3n "ÃnÛ`+3n+n =lim n Ú ¦ 3 ¾Ð1+ 3n+1 =;2#;

13

lim n Ú ¦ '¶n-'¶n+1 '¶n-'¶n-1 =lim_{n Ú ¦} (₍'¶n-'¶n+1 )('¶n+'¶n+1 )('¶n+'¶n-1 ) '¶n-'¶n-1 )('¶n+'¶n-1 )('¶n+'¶n+1 ) =lim_{n Ú ¦} -('¶n+'¶n-1 ) '¶n+'¶n+1 =-lim n Ú ¦ 1+_{®É1- 1n} 1+_{®É1+ 1n} =- 1+1_{1+1 =-1}

14

lim n Ú ¦ ("ÃnÛ`+an-n) =lim n Ú ¦ ("ÃnÛ`+an-n)("ÃnÛ`+an+n) "ÃnÛ`+an+n =lim_{n Ú ¦} an "ÃnÛ`+an+n =lim n Ú ¦ a ¾Ð1+ an+1 _{= a2 따라서 a2 =2이므로 a=4} 정답과 풀이

05

풍산자특강_미적분(I단원정답000-000)육.indd 5 2018-11-06 오후 12:54:34

참고 지수부등식에서 밑이 같은 경우, 밑의 크기에 따라 다음을 이용한다. ① a>1일 때, a f(x) <a g(x) _{HjK f(x)<g(x)} ② 0<a<1일 때, a f(x)_<a g(x) _{HjK f(x)>g(x)}

23

등비수열 {(log`x-1)Ç` }은 공비가 log`x-1이므로 수렴 하려면 -1<log`x-1É1 0<log`xÉ2 10â`<xÉ10Û` ∴ 1<xÉ100 따라서 정수 x는 2, 3, 4, y, 100의 99개이다.

24

a>2이므로 lim_{n Ú ¦ { 2a}}Ç`=0 ∴ lim<sub>n Ú ¦</sub> 2an+1-3_2Ç` aÇ`-2n-1 =lim<sub>n Ú ¦</sub> 2a-3_<sub>{ 2a}</sub>Ç` 1- 1a_{a }2 n-1=2a 따라서 2a=10이므로 a=5 p. 14

01

⑴ 발산 ⑵ 수렴, 2

02

4

03

⑴ aÇ=_n(n+1)1 ⑵ SÇ= n_{n+1 ⑶ 1}

04

③

05

발산

06

⑤

07

Á¦ n=1aÇ=4, ¦ Á n=1bÇ=3

급수의 수렴과 발산

01

⑴ 주어진 급수의 제_{n항까지의 부분합을 SÇ이라고 하면} SÇ=1+3+5+ y +(2n-1) =_k=1Án (2k-1) =2_n(n+1)₂ -n=nÛ` ∴ lim<sub>n Ú ¦</sub> SÇ=lim<sub>n Ú ¦</sub> nÛ`=¦ 따라서 주어진 급수는 양의 무한대로 발산한다. ⑵ 주어진 급수는 첫째항이 ;3@;, 공비가 ;3@;인 등비수열의 합 이므로 제n항까지의 부분합을 SÇ이라고 하면 SÇ =;3@;+{;3@;}Û`+{;3@;}Ü`+`y`+{;3@;}Ç`    =<sub>k=1</sub>Án {;3@;}û`=;3@;[1-{;3@;}Ç` ] 1-;3@; =2[1-{;3@;}Ç` ]

18

ㄱ. lim n Ú ¦ aÇ bÇ =limn Ú ¦ 1 bÇ aÇ = 1 lim n Ú ¦ bÇ aÇ =1 (참) ㄴ. (반례) {aÇ}: 1, 0, 1, 0, 1, y {_{bÇ}: 0, 1, 0, 1, 0, y}

이면 lim_{n Ú ¦} aÇbÇ=lim_{n Ú ¦} 0=0이지만 lim n Ú ¦ aÇ+0,

lim

n Ú ¦ bÇ+0이다. (거짓)

ㄷ. (반례) _{aÇ= 1n , bÇ=n 이면 aÇ<bÇ이지만} 2 lim

n Ú ¦ aÇ=0, limn Ú ¦ bÇ=0이므로 limn Ú ¦ aÇ=limn Ú ¦ bÇ이다.

(거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ이다.

19

lim

n Ú ¦ {3+ 12Ç` }=3, limn Ú ¦ {a+ 13Ç` }=a이므로

lim n Ú ¦ {3+ 12Ç` }{a+ 1 3Ç` }=3a 따라서 3a=-6이므로 a=-2

20

aÇ=2_5n-1 이므로 _n lim_{Ú ¦} 5n+1_aÇ -3 =lim

n Ú ¦ 5n+1 -3 2_5n-1 =lim n Ú ¦ 5_5n_-3 ;5@;_5n =lim_{n Ú ¦} 5- 35Ç` ;5@; = 5;5@;=:ª2°:

21

등비수열 {_{aÇ}의 공비가 2이므로 aÇ=aÁ_2}n-1 따라서 _SÇ=aÁ(2Ç`-1)<sub>2-1</sub> =aÁ(2Ç`-1)이므로 lim n Ú ¦ SÇ 2Ç` =limn Ú ¦ aÁ(2Ç`-1) 2Ç` =lim<sub>n Ú ¦</sub> aÁ{1- 1<sub>1</sub> 2Ç` } =aÁ ∴ aÁ=-3 참고 등비수열의 합 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 첫째항부터 제n항까 지의 합을 _{SÇ이라고 하면} ⑴ _{r+1일 때, SÇ=}a(1-rÇ`)<sub>1-r =</sub>a(rÇ`-1)_r-1 ⑵ r=1일 때, SÇ=na

22

등비수열 [{ 2Å`-5<sub>3 }</sub>Ç`‌]은 공비가 2Å`-5<sub>3 이므로 수렴하려면</sub> -1< 2Å`-5_{3 É1} -3<2Å`-5É3 2<2Å`É8, 2Ú`<2Å`É2Ü` ∴ 1<xÉ3 따라서 a=1, b=3이므로 b-a=2

06

정답과 풀이 풍산자특강_미적분(I단원정답000-000)육.indd 6 2018-11-06 오후 12:54:35

p. 16

01

⑴ 수렴, 1 ⑵ 수렴, ;6%; ⑶ 발산

02

;2%;

03

②

04

-_;2!;

05

①

06

ㄱ, ㄴ, ㄷ

07

㈎ ;1£0¢0;, ㈏ ;10!0;, ㈐ ;9#9$;

등비급수

01

⑴ 첫째항이 ;2!;, 공비가 ;2!;이고 -1<;2!;<1이므로 주어진 등비급수는 수렴한다. 따라서 그 합은 ;2!; 1-;2!;=1 ⑵ 첫째항이 1, 공비가 -;5!;이고 -1<-;5!;<1이므로 주 어진 등비급수는 수렴한다. 따라서 그 합은 1 1-{-;5!;}=;6%; ⑶ 공비가 '2이고 '2>1이므로 주어진 등비급수는 발산 한다.

02

Á¦ n=1{ 3 2Ç`‌-1 3Ç`‌} = ¦ Á n=1 3 2Ç`‌-¦ Á n=1 1 3Ç`‌ =3Á¦ n=1 {;2!;}Ç`-¦ Á n=1{;3!;}Ç`  =3_ ;2!; 1-;2!; -;3!; 1-;3!; =3_1-_;2!;=;2%;

03

주어진 등비급수의 첫째항이 1, 공비가 2x이므로 수렴하 려면 -1<2x<1 ∴ -;2!;<x<;2!; 따라서 정수 x는 0의 1개이다.

04

등비수열 {_{aÇ}의 공비를 r (-1<r<1)라고 하면 첫째항} 이 3인 등비급수 Á¦ n=1aÇ의 합이 2이므로 _{1-r =2, 1-r=;2#;} 3 ∴ r=-_;2!;

05

급수 Á¦ n=1(x-2)Ç`‌이 수렴하도록 하는 실수 x의 값의 범위 는 -1<x-2<1 ∴ 1<x<3 yy ㉠ ∴ lim<sub>n Ú ¦</sub> SÇ=lim<sub>n Ú ¦</sub> 2<sub>[1-{;3@;}Ç` ]=2</sub> 따라서 주어진 급수는 2에 수렴한다.

02

Á¦ n=1aÇ=limn Ú ¦ SÇ=limn Ú ¦ 12n 3n+1 =4

03

⑴ aÁ= 1_{1_2 , aª=2_3 , a£=}1 _{3_4 , y이므로}1

_aÇ= 1 n(n+1) ⑵ _SÇ=Án k=1aû= n Á k=1 1 k(k+1) =_k=1Án { 1_{k -k+1 }}1 =_{{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!~;} + y +{ 1n-n+1 }}1 =1- 1_{n+1 =n+1}n ⑶ lim n Ú ¦ SÇ=limn Ú ¦ n n+1 =1

04

Á¦ n=1(2aÇ-1)이 수렴하므로 _n lim_{Ú ¦} (2aÇ-1)=0, 2lim_{n Ú ¦} aÇ=1

∴ lim n Ú ¦ aÇ=;2!;

05

Á¦ n=1 1 '¶n+1+'n = ¦ Á n=1 '¶n+1-'n ('¶n+1+'n)('¶n+1-'n) =Á¦ n=1('¶n+1-'¶n )  SÇ=Án k=1("Ãk+1-"k)라고 하면 _{SÇ=('2-'1 )+('3-'2 )+('4-'3 )} + y +('¶n+1-'¶n ) ='¶n+1-1 ∴ Á¦ n=1 1 '¶n+1+'¶n=limn Ú ¦ SÇ=limn Ú ¦ ('¶n+1-1)=¦ 따라서 주어진 급수는 양의 무한대로 발산한다.

06

Á¦ n=1(3aÇ+4bÇ) =3 ¦ Á n=1aÇ+4 ¦ Á n=1bÇ =3_2+4_(-1)=2

07

Á¦ n=1aÇ=a, ¦ Á n=1bÇ=b (a, b는 실수)라고 하면 Á¦ n=1(aÇ+bÇ)=7에서 a+b=7 yy ㉠ Á¦ n=1(aÇ-bÇ)=1에서 a-b=1 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=3 ∴ Á¦ n=1aÇ=4, ¦ Á n=1bÇ=3 정답과 풀이

07

(002-012)풍산자특강_미적분(정답)칠.indd 7 2018-11-07 오전 10:49:57

0

1

⑤

0

2

②

0

3

①

0

4

①

0

5

③

0

6

②

0

7

④

0

8

7

0

9

②

10

3

11

9

12

0<xÉ;3@;

13

⑤

14

;2¥7;

15

2

16

③

17

②

18

②

19

;2!;

20

②

21

②

22

16

23

②

24

'₃3

실력

확인 문제

p. 18

0

1

첫째항부터 제n항까지의 부분합을 SÇ이라고 하자. ① SÇ =1+2+4+8+ y +2n-1 =_k=1Án 2k-1 = 2Ç`-1<sub>2-1 =2</sub>n -1 ∴ lim n Ú ¦ SÇ=limn Ú ¦ (2 n -1)=¦ 따라서 주어진 급수는 양의 무한대로 발산한다. ② SÇ =2+4+6+8+ y +2n=Án k=12k =2_n(n+1)<sub>2</sub> =n(n+1) ∴ lim n Ú ¦ SÇ=limn Ú ¦ n(n+1)=¦ 따라서 주어진 급수는 양의 무한대로 발산한다. ③ S2n-1=-1+1-1+1-1+ y -1=-1 S2n=-1+1-1+1-1+ y +1=0 ∴ lim n Ú ¦ S2n-1=-1, limn Ú ¦ S2n=0 따라서 lim n Ú ¦ S2n-1+limn Ú ¦ S2n이므로 주어진 급수는 발산 한다. ④ SÇ =1+{;2!;}+0+{-;2!;}+ y +{ -n+3<sub>2</sub> } =<sub>k=1</sub>Án -k+3<sub>2</sub> =;2!;[- n(n+1)<sub>2</sub> +3n] = -nÛ`+5n₄ ∴ lim n Ú ¦ SÇ=limn Ú ¦ -nÛ`+5n 4 =-¦ 따라서 주어진 급수는 음의 무한대로 발산한다. ⑤ <sub>SÇ = 22_3 +3_4 +</sub>2 <sub>4_5 + y +</sub>2 2 (n+1)(n+2) =Án k=1 2 (k+1)(k+2) =Án k=12{ 1k+1 -1 k+2 } =2[{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+{;4!;-;5!;} + y +{ 1<sub>n+1 -n+2 }]</sub>1 = 2{;2!;- 1<sub>n+2 }</sub> ∴ lim n Ú ¦ SÇ=limn Ú ¦ 2{;2!;- 1n+2 }=1 급수 Á¦ n=1(x-2)(x-3)Ç`‌이 수렴하도록 하는 실수 x의 값 의 범위는 (x-2)(x-3)=0 또는 -1<x-3<1 (x-2)(x-3)=0에서 x=2 또는 x=3 -1<x-3<1에서 2<x<4 ∴ 2Éx<4 yy ㉡ ㉠, ㉡에서 공통부분을 구하면 2Éx<3

06

Á¦ n=1rÇ`‌이 수렴하므로 -1<r<1 yy ㉠ ㄱ. Á¦ n=1(-r)Ç`‌은 공비가 -r인 등비급수이므로 ㉠에서 -1<-r<1 따라서 주어진 급수는 항상 수렴한다. ㄴ. Á¦ n=1rÛ`Ç`‌은 공비가 rÛ`인 등비급수이므로 ㉠에서 0ÉrÛ`<1 따라서 주어진 급수는 항상 수렴한다. ㄷ. Á¦ n=1{ r+12 }Ç`‌은 공비가 r+12 인 등비급수이므로 ㉠에서 0<r+1<2 ∴ 0< r+1_{2 <1} 따라서 주어진 급수는 항상 수렴한다. 그러므로 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 항상 수렴한다.

07

0.H3H4=0.34+0.0034+0.000034+ y = 34_{100 +} 34 100Û`+ 34100Ü`+ y 따라서 0.H3H4는 첫째항이 ;1£0¢0; 이고 공비가 ;10!0; 인 등비 급수의 합이므로 0.H3H4= ;1£0¢0; 1-;10!0; = ;9#9$; ∴ ㈎ ;1£0¢0;, ㈏ ;10!0;, ㈐ ;9#9$;

08

정답과 풀이 풍산자특강_미적분(I단원정답000-000)육.indd 8 2018-11-06 오후 12:54:37

0

4

Á¦ n=1aÇ=a, ¦ Á n=1bÇ=b (a, b는 실수)라고 하면 Á¦ n=1(aÇ-3bÇ)=10에서 a-3b=10 yy ㉠ Á¦ n=1(3aÇ-2bÇ)=9에서 3a-2b=9 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-3 ∴ Á¦ n=1(aÇ+bÇ) = ¦ Á n=1aÇ+ ¦ Á n=1bÇ=a+b=1+(-3)=-2

0

5

주어진 급수의 제n항을 aÇ이라고 하면 aÇ=_{(2n+1)Û`-1 =}2 _{4n(n+1) =;2!;{}2 _{n -}1 _{n+1 }}1 이때 첫째항부터 제n항까지의 부분합을 SÇ이라고 하면 SÇ =_k=1Án ;2!; { 1_k- 1 k+1 } =;2!;[{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+ y +{ 1n-n+1 }]1 =;2!;{1- 1_{n+1 }} 따라서 구하는 급수의 합은 _n lim_{Ú ¦} SÇ=lim_{n Ú ¦} ;2!;{1- 1_{n+1 }=;2!;}

0

6

[1단계] n¾2일 때, aÇ =SÇ-Sn-1 =nÛ`+n-{(n-1)Û`+(n-1)}=2n yy ㉠ 이때 aÁ=SÁ=1Û`+1=2는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으 므로 _aÇ=2n [2단계] ∴ _n=1Á¦ _aÇa1_n+1 =_n=1Á¦ _{2n_2(n+1)}1 =;4!;_n=1Á¦ _n(n+1)1 =;4!;_n=1Á¦_{{ 1n-n+1 }} 1 =;4!; lim_{n Ú ¦} Á_k=1n { 1_{k -k+1 }} 1 =;4!; lim_{n Ú ¦} [{;1!;-;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;} + y +{ 1n-n+1 }]1 =;4!; lim_{n Ú ¦} {1- 1_{n+1 }=;4!;}

0

7

Á¦ n=2logª nÛ` (n-1)(n+1) =lim<sub>n Ú ¦ k=2</sub>Ánlogª <sub>(k-1)(k+1)</sub>k_k =lim<sub>n Ú ¦ k=2</sub>Ánlogª { k<sub>k-1</sub>_ k k+1 } =lim<sub>n Ú ¦</sub> [logª {;1@;_;3@;}+logª {;2#;_;4#;}+logª {;3$;_;5$;} + y +logª { n<sub>n-1 _n+1 }]</sub>n 따라서 주어진 수열은 1에 수렴한다. 그러므로 수렴하는 것은 ⑤이다. 참고 ③ -1+1-1+1-1+`y`+(-1)Ç`+`y 과 같이 항의 부호가 교대로 +, -로 바뀌는 급수의 수렴 과 발산은 짝수 번째 항까지의 부분합 <sub>SªÇ과 홀수 번째 항</sub> 까지의 부분합 S2n-1에 대하여 ` ⑴ lim n Ú ¦ SªÇ=limn Ú ¦ S2n-1이면 주어진 급수는 수렴한다. ⑵ lim n Ú ¦ SªÇ+limn Ú ¦ S2n-1이면 주어진 급수는 발산한다. 즉, 항의 부호가 교대로 바뀌는 급수의 수렴, 발산을 판정 하려면 lim n Ú ¦ SªÇ과 limn Ú ¦ S2n-1이 같은 값에 수렴하는지를 조 사하면 된다.

0

2

주어진 급수의 첫째항부터 제_{n항까지의 부분합을 SÇ이라} 고 하자. ㄱ. SÁ=1, Sª=-1, S£=2, S¢=-2, S°=3, S¤=-3, y이므로 S2n-1=n, S2n=-n ∴ lim_{n Ú ¦} S2n-1=¦, lim_{n Ú ¦} S2n=-¦ 따라서 주어진 급수는 발산한다. ㄴ. SÇ=0+0+ y +0=0이므로 lim_{n Ú ¦} Sn=0 따라서 주어진 급수는 0에 수렴한다. ㄷ. SÁ=-1, Sª=0, S£=-1, S¢=0, y이므로 S2n-1=-1, S2n=0 ∴ lim_{n Ú ¦} S2n-1=-1, lim_{n Ú ¦} S2n=0 따라서 lim n Ú ¦ S2n-1+limn Ú ¦ S2n이므로 주어진 급수는 발산 한다. 그러므로 수렴하는 것은 ㄴ이다.

0

3

2aÇ+3bÇ=cÇ이라고 하면 2aÇ=cÇ-3bÇ ∴ aÇ=;2!;cÇ-;2#;bÇ 이때 Á¦ n=1bÇ=6, ¦ Á n=1cÇ=10이므로 Á¦ n=1aÇ = ¦ Á n=1{;2!;cÇ-;2#;bÇ} =;2!;Á¦ n=1cÇ-;2#; ¦ Á n=1bÇ =;2!;_10-;2#;_6 =-4 다른 풀이 Á¦ n=1aÇ=a (a는 실수)라고 하면 Á¦ n=1(2aÇ+3bÇ) =2 ¦ Á n=1aÇ+3 ¦ Á n=1bÇ =2a+3_6=2a+18 따라서 2a+18=10이므로 2a=-8 ∴ a=-4 정답과 풀이

09

(002-012)풍산자특강_미적분(정답)칠.indd 9 2018-11-07 오전 10:49:58

12

[1단계] 수열 {(x-1)(3x-1)Ç` }의 첫째항이 (x-1)(3x-1), 공비가 3x-1이므로 수렴하려면 (x-1)(3x-1)=0 또는 -1<3x-1É1 (x-1)(3x-1)=0에서 x=1 또는 x=;3!; -1<3x-1É1에서 0<3xÉ2 ∴ 0<xÉ;3@; ∴ x=1 또는 0<xÉ;3@; yy ㉠ [2단계] ¦ Á n=1(xÛ`-x+1)Ç` 의 공비가 xÛ`-x+1이므로 수렴하려면 -1<xÛ`-x+1<1 Ú xÛ`-x+1>-1에서 xÛ`-x+2>0 이때 xÛ`-x+2=<sub>{x-;2!;}Û`+;4&;이므로 모든 실수 x에</sub> 대하여 xÛ`-x+2>0이 성립한다. Û xÛ`-x+1<1에서 xÛ`-x<0, x(x-1)<0 ∴ 0<x<1 Ú, Û에 의하여 Á¦ n=1(xÛ`-x+1)Ç` 이 수렴하려면 0<x<1 yy ㉡ [3단계] ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 0<xÉ;3@;

13

등비수열 {_{aÇ}의 첫째항을 a라고 하면 공비가 ;4!;이고,} Á¦ n=1aÇ=16이므로 Á¦ n=1aÇ= a_1-;4!;=16 ∴ a=16_;4#;=12

14

[1단계] 등비수열 {_{aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r (-1<r<1)라고} 하면 Á¦ n=1aÇ=-6에서 _{1-r =-6} a yy ㉠ 수열 {<sub>aÇÛ`}은 첫째항이 aÛ`, 공비가 rÛ`인 등비수열이므로</sub> Á¦ n=1aÇÛ`=72에서 aÛ`1-rÛ`=72 ∴ _(1+r)(1-r)aÛ` =72 yy ㉡ [2단계] ㉠을 ㉡에 대입하면 -6_ a 1+r=72 ∴ a<sub>1+r</sub>=-12 yy ㉢ =lim<sub>n Ú ¦</sub> logª [{;1@;_;3@;}_{;2#;_;4#;}_{;3$;_;5$;} _ y _{ n<sub>n-1 _n+1 }]</sub>n =lim<sub>n Ú ¦</sub> logª {;1@;_;3@;_;2#;_;4#;_;3$;_;5$; _ y _ n<sub>n-1 _n+1 }</sub>n =lim<sub>n Ú ¦</sub> logª 2n<sub>n+1</sub> =logª`2=1

0

8

(aÁ-7)+(aª-7)+(a£-7)+`y`=_n=1Á¦(aÇ-7) Á¦ n=1(aÇ-7)이 수렴하므로 limn Ú ¦ (aÇ-7)=0 ∴ lim n Ú ¦ aÇ=7

0

9

[1단계] (2n+1)x+(2n-1)y=1에서 x=0일 때 y= 1 2n-1, y=0일 때 x= 1 2n+1 이므로 직선 (2n+1)x+(2n-1)y=1을 나타 내면 오른쪽 그림과 같다. ∴ aÇ =;2!;_ 1_2n+1_ 1 2n-1 =;4!;{ 1_2n-1- 1 2n+1 } [2단계] Án k=1aû=;4!;[{;1!;-;3!;}+{;3!;-;5!;}+{;5!;-;7!;}+ y +{ 1_2n-1- 1 2n+1 }] =;4!;{1- 1_{2n+1 }} ∴ Á¦ n=1aÇ=limn Ú ¦ n Á k=1aû=limn Ú ¦ ;4!;{1- 12n+1 }=;4!;

10

주어진 급수는 첫째항이 x, 공비가 x-1_{2 이므로 수렴하려면} x=0 또는 -1< x-1 2 <1 -1< x-1₂ <1에서 -2<x-1<2 ∴ -1<x<3 따라서 -1<x<3이므로 구하는 정수 x는 0, 1, 2의 3개 이다.

11

급수 Á¦ n=1 aÇ n 이 수렴하므로 limn Ú ¦ aÇ n =0

∴ lim_{n Ú ¦} aÇ+9n_n =lim

n Ú ¦ { aÇn +9}=0+9=9 O x aÇ 1 2n-1 y 1 2n+1

10

정답과 풀이 풍산자특강_미적분(I단원정답000-000)육.indd 10 2018-11-06 오후 12:54:38

다른 풀이

log£`9;2!;+log£`9;4!;_{+log£`9</sub>;8!;<sub>+`y에서}

;2!;log£`9+;4!;log£`9+;8!;log£`9+`y   =_{{;2!;+;4!;+;8!;+`y}log£`9}   =_Á¦ n=1{;2!;}Ç`_log£`9 ‌ ₌ ;2!; 1-;2!;_log£`9   =log£`9=2

18

ㄱ. 등비수열 {aÇ}의 일반항을 aÇ=arn-1 이라고 하면   lim n Ú ¦ aÇ=0에서 a=0 또는 -1<rÉ1 이때 r=1이면 등비급수 _n=1Á¦aÇ은 발산한다. (거짓) ㄴ. (반례) {_{aÇ}: 1, 1, 1, 1, y} {bÇ}: -1, -1, -1, -1, y 이면 두 등비급수 _n=1Á¦aÇ, _n=1Á¦bÇ은 모두 발산하지만   lim n Ú ¦ (aÇ+bÇ)=0 (거짓) ㄷ. 두 등비급수 Á¦ n=1aÇ, ¦ Á n=1bÇ의 공비를 각각 r, s라고 하면 -1<r<1, -1<s<1 ∴ -1<rs<1 따라서 등비급수 Á¦ n=1aÇbÇ도 수렴한다. (참) 그러므로 옳은 것은 ㄷ이다.

19

[1단계] 2Ç`_3n+1 의 모든 양의 약수의 개수 aÇ은 <sub>aÇ=(n+1)(n+2)</sub> [2단계] ∴ <sub>n=1</sub>Á¦ <sub>aÇ</sub>1 =<sub>n=1</sub>Á¦ <sub>(n+1)(n+2)</sub>1 =<sub>n=1</sub>Á¦{ 1<sub>n+1 -n+2 }</sub>1 =lim<sub>n Ú ¦ k=1</sub>Án { 1<sub>k+1 -k+2 }</sub>1 =lim<sub>n Ú ¦</sub> [{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+{;4!;-;5!;}+`y +{ 1_{n+1 -n+2 }]}1 =lim_{n Ú ¦} {;2!;- 1_{n+2 }} =;2!; 참고 pµ``_qÇ` (p, q는 서로 다른 소수, m, n은 자연수)의 양의 약 수의 개수는 (m+1)(n+1) ㉠Ö㉢을 하면 1+r 1-r=;2!;, 2(1+r)=1-r, 3r=-1 ∴ r=-;3!; r=-;3!; 을 ㉠에 대입하면 a 1-{-;3!;}=-6 ∴ a=-8 [3단계] 따라서 aÇ=-8_{-;3!;}n-1이므로 a¢=-8_{-;3!;}Ü`=;2¥7;

15

2an+1=aÇ+4를 2an+1-a=aÇ-a의 꼴로 변형하면 2an+1=aÇ+a에서 a=4 2(an+1-4)=aÇ-4 ∴ an+1-4=;2!;(aÇ-4) 따라서 수열 {_{aÇ-4}는 첫째항이 aÁ-4=-1, 공비가 ;2!;} 인 등비수열이므로 _{aÇ-4=-{;2!;}}n-1 ∴ _aÇ=4-{;2!;}n-1 ∴ Á¦ n=1(4-aÇ)= ¦ Á n=1{;2!;} n-1 = 1 1-;2!;=2

16

log£(SÇ+1)=n에서 SÇ+1=3Ç` ∴ <sub>SÇ=3Ç`-1</sub> n¾2일 때, _aÇ=SÇ-Sn-1=3Ç`-1-(3n-1-1)=2_3n-1 yy ㉠ 이때 aÁ=SÁ=2는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 <sub>aÇ=2_3</sub>n-1` ∴ Á¦ n=1 1 aÇ = ¦ Á n=1 1 2_3n-1=;2!; ¦ Á n=1 1 3n-1 =_{;2!;_ 1} 1-;3!;=;4#;

17

log£`<sub>'9 +log£`"Ã'9 +log£`¿¹"Ã'9 + y</sub>

=log£`9;2!;+log£`(9;2!;);2!;<sub>+log£`{(9</sub>;2!;<sub>)</sub>;2!;<sub>}</sub>;2!;<sub>+ y</sub> =log£`9;2!;_{+log£`9</sub>;4!;<sub>+log£`9};8!;_+`y

=log£`9;2!;+;4!;+;8!;+`y =log£`9n=1Á¦{;2!;} n =log£`9 ;2!; 1-;2!; =log£`9 =2 정답과 풀이

11

(002-012)풍산자특강_미적분(정답)칠.indd 11 2018-11-07 오전 10:50:00

길이가 1인 선분이 1개, 길이가 ;2!;인 선분이 2개, 길이가 ;4!;인 선분이 2개, y 이므로 구하는 선분의 길이의 합은 1+{;2!;+;2!;}+{;4!;+;4!;}+{;8!;+;8!;}+{;1Á6;+;1Á6;}+ y =1+1+;2!;+;4!;+;8!;+ y =1+_n=1Á¦{;2!;}n-1 =1+ 1 1-_;2!;=1+2=3

24

정삼각형 ABC의 넓이는 '3<sub>4 _2Û`='3</sub> 이므로 SÁ='3_;4!;= '<sub>4</sub>3 Sª=;4!;SÁ=;4!;_ '<sub>4</sub> 3 S£=;4!;Sª={;4!;}Û`_ '₄3 ⋮ SÇ= '_{4 _{;4!;}}3 n-1` ∴ _n=1Á¦SÇ=_n=1Á¦ '3_{4 _{;4!;}}n-1= '3 4 1-_;4!;= ' 3 3

20

f(x)=xÇ` 으로 놓으면 나머지정리에 의하여 <sub>aÇ=f‌{-;4#;}={-;4#;}Ç`</sub> ∴ _n=1Á¦aÇ=_n=1Á¦{-;4#;}Ç`= -;4#; 1-_{-;4#;}=-;7#;

21

등비수열 {aÇ}의 공비를 r (r>0)라고 하면 aÁ=0.H3=;9#;=;3!; a£=aÁrÛ`=;3!;rÛ`=;9Á0ª0; 즉, rÛ`=;2Á5;이므로 r=;5!; (∵ r>0) 따라서 aÇ=;3!;_{;5!;}n-1이므로 Á¦ n=1aÇ= ¦ Á n=1;3!;_{;5!;} n-1 = ;3!; 1-;5!;=;1°2; 참고 등비급수를 이용하면 다음과 같이 순환소수를 분수로 나타 낼 수 있다. ① 0.HabHc= abc₉₉₉ ② 0.aHbHc= abc-a₉₉₀ ③ a.bHc= abc-ab₉₀

22

;1°1;=0.H4H5=0.454545y aÁ=4, aª=5, a£=4, a¢=5, y ∴ _n=1Á¦ aÇ_{2Ç` = 42+</sub>5 2Û`+ 42Ü`+ 52Ý`+ 42Þ`+ 52ß`+ y =_{{ 42+}4 2Ü`+ 42Þ`+ y }+{ 52Û`+ 52Ý`+ 52ß`+ y } =4<sub>{ 12+2Ü`}1+ 1_{2Þ`</sub>+ y}+5{ 1<sub>2Û`}+ 1_{2Ý`</sub>+ 1<sub>2ß`}+ y} =4_ ;2!; 1-;4!;+5_ ;4!; 1-;4!; =;3*;+;3%;=:Á3£: 따라서 p=3, q=13이므로 p+q=16

23

한 변의 길이가 1인 정사각형을 합동인 두 직사각형으로 나눌 때 그린 선분의 길이는 1, 한 직사각형을 다시 합동인 두 정사각형으로 나눌 때 그린 선분의 길이는 ;2!;, 한 변의 길이가 ;2!;인 정사각형을 합동인 두 직사각형으로 나눌 때 그린 선분의 길이는 ;2!;이다. 이와 같은 과정을 반복하면

12

정답과 풀이 풍산자특강_미적분(I단원정답000-000)육.indd 12 2018-11-06 오후 12:54:40

p. 22

01

⑴ 1 ⑵ ¦ ⑶` -1 ⑷ -¦ ⑸ 2 ⑹ log`8

02

6

03

a=1, b=-1

04

4

05

⑴ y'=(xÛ`+2x)eÅ` ⑵ y'=2x+1 `ln`2 ⑶ y'=32x-1 `ln`9 ⑷ y'= 4x ⑸ y'=x`ln`21 ⑹ y'=ln`7x+1

06

10e

07

5

지수함수와 로그함수의 미분

01

⑴ lim x Ú ¦ 3Å`-1 3Å` =limx Ú ¦ [1-{;3!;}Å` ]=1-0=1 ⑵ lim x Ú ¦ (7Å`-5Å`)  =limx Ú ¦ 7Å`[1-{;7%;}Å` ] =¦_(1-0)=¦ ⑶ 분모, 분자에 각각 2Å`을 곱하면 lim x Ú -¦ 2Å`-2ÑÅ` 2Å`+2ÑÅ`= limx Ú -¦ 2Û`Å`-1 2Û`Å`+1= 0-10+1 =-1 ⑷ lim

x Ú 0+ log`x= limx Ú 0+ log`x=-¦

⑸ lim

x Ú ¦ {log£`9x-log£`(x+3)} =limx Ú ¦ log£` 9xx+3 =lim<sub>x Ú ¦</sub> log£` 9 1+ 3x =log£`9=2 ⑹ lim x Ú 4+ {log(xÛ`-16)-log(x-4)} = lim_{x Ú 4+} log` xÛ`-16_x-4 = lim_{x Ú 4+} log` (x-4)(x+4)<sub>x-4</sub> = lim x Ú 4+ log(x+4)=log`8

02

lim x Ú 0 (1+2x) 3 x_=lim x Ú 0 [(1+2x) 1 2x]ß`=eß` ∴ a=6

03

극한값이 존재하고 x Ú 0일 때 (분모) Ú 0이므로 (분자) Ú 0이어야 한다. 즉, lim x Ú 0 (eÅ`+b)=1+b=0이므로 b=-1

∴ lim_{x Ú 0 ln(1+ax)}eÅ`+b =lim x Ú 0

eÅ`-1

ln(1+ax)

=lim_{x Ú 0} [_ln(1+ax)ax _ eÅ`-1_{x _}1_{a ]} =1_1_ 1a =1a =1 ∴ a=1

04

lim x Ú 0 ln(1+6x) x =limx Ú 0 [ ln(1+6x) 6x _6] =1_6=6 lim x Ú 0 eÛ`Å`-1 3x =limx Ú 0 [ eÛ`Å`-12x _;3@;]=1_;3@;=;3@; 따라서 a=6, b=;3@;이므로 ab=6_;3@;=4

05

⑴ y'=(xÛ`)'eÅ`+xÛ`(eÅ`)'=2xeÅ`+xÛ`eÅ`=(xÛ`+2x)eÅ` ⑵ y=2x+1<sub>=2_2Å` 이므로</sub> y'=2_2Å` ln`2=2x+1 `ln`2 ⑶ y=32x-1_{=3ÑÚ`_3</sub>2x<sub>=3ÑÚ`_9}x 이므로 y'=3ÑÚ`_9Å` ln`9=3ÑÚ`_32x _{ln`9=3</sub>2x-1 <sub>ln`9} ⑷ y=ln`xÝ`=4`ln`x이므로 y'=4_ 1x=x4 ⑸ y=logª`5x=logª`5+logª`x이므로 y'= 1<sub>x`ln`2</sub> ⑹ y=x`ln`7x=x(ln`7+ln`x)이므로 y' =(x)'(ln`7+ln`x)+x(ln`7+ln`x)' =ln`7+ln`x+x_ 1x =ln`7+ln`x+1=ln`7x+1

06

f(x) =(xÛ`+2)ex-1<sub>=(xÛ`+2)_eÑÚ`_eÅ`</sub> =;e!;_(xÛ`+2)eÅ` 이므로 f '(x) =;e!;_{(xÛ`+2)'eÅ`+(xÛ`+2)(eÅ` )'} =;e!;_{2xeÅ`+(xÛ`+2)eÅ` } =(xÛ`+2x+2)ex-1 ∴ f '(2)=(2Û`+2_2+2)e2-1_=10e

07

lim h Ú 0 f(1+h)-f(1) h =f '(1) f(x)=ln`xÛ`+3x=2`ln`x+3x에서 f '(x)= 2x+3 ∴ _{f '(1)= 21+3=5} p. 24

01

csc`h=;4%;, sec`h=;3%;, cot`h=;4#;

02

㈎ 2`tan`h, ㈏ 2_{tan`h , ㈐ 2`cot`h}

03

⑴ '6+₄'2 ⑵ '6+₄'2 ⑶ -2-'3 ⑷ '₂ 2 ⑸ 0 ⑹ '3

04

1+4₉'5

05

-;9*;

06

'₂ 2

07

r=2, a=p₃

삼각함수의 덧셈정리

정답과 풀이

13

(013-037)풍산자특강_미적분(정답)칠.indd 13 2018-11-07 오전 10:50:36

01

OPÓ=¿¹3Û`+4Û`=5이므로 csc`h=;4%;

sec`h=;3%;

cot`h=_;4#;

02

<sub>sec`h-1 -</sub>tan`h <sub>sec`h+1</sub>tan`h

=tan`h(sec`h+1)-tan`h(sec`h-1)_{(sec`h-1)(sec`h+1)} = 2`tan`h

secÛ``h-1= 2`tanÛ``htan`h

= _tan`h2

= 2`cot`h

∴ ㈎ 2`tan`h, ㈏ 2_{tan`h , ㈐ 2`cot`h}

03

⑴ sin`75ù‌‌=sin(30ù+45ù)‌ ‌ =sin`30ù`cos`45ù+cos`30ù`sin`45ù‌ ‌ =<sub>;2!;_ '2 +</sub>2 '3<sub>2 _</sub>'2<sub>2</sub> = '2+'6<sub>4</sub> ⑵ cos`15ù‌‌=cos(45ù-30ù) =cos`45ù`cos`30ù+sin`45ù`sin`30ù‌ ‌ = '2_{2 _}'3_{2 +}'2_{2 _}1₂ = '6+'2₄ ⑶ tan`105ù‌‌=tan(45ù+60ù)‌‌ ‌ = tan`45ù+tan`60ù<sub>1-tan`45ù`tan`60ù</sub> =1+_1-'3 '3 =-2-'3 ⑷ sin`60ù`cos`15ù-cos`60ù`sin`15ù‌‌=sin`(60ù-15ù) =sin`45ù= '₂ 2 ⑸ cos`55ù`cos`35ù-sin`55ù`sin`35ù‌‌=cos`(55ù+35ù) =cos`90ù=0

⑹ <sub>1+tan`70ù`tan`10ù =tan(70ù-10ù)</sub> tan`70ù-tan`10ù

=tan`60ù='3‌

04

0<h<p<sub>2 이므로 cos`h>0</sub> cos`h ="1Ã-sinÛ`h=¾Ð1-{;3@;}Û`‌ ‌ =¾;9%;= '₃5 P(3,`4) O -5 -5 3 5 4 5 h y x

∴ sin`2h+cos`2h =2`sin`h`cos`h+1-2`sinÛ``h

=2_;3@;_ '_{3 +1-2_{;3@;}}5 Û`‌ =4'5_{9 +1-;9*;} =1+4₉'5

05

sin`h+cos`h=;3!;의 양변을 제곱하면 sinÛ``h+2`sin`h`cos`h+cosÛ``h=;9!; 1+sin`2h=;9!; ∴ sin`2h=-;9*;

06

cosÛ``22.5ù‌‌=cosÛ`` 45ù_{2 =}1+cos`45ù<sub>2</sub> =1+ ' 2 2 2 =2+<sub>4</sub> '2 sinÛ``22.5ù‌‌=sinÛ`` 45ù<sub>2 =</sub>1-cos`45ù₂ =1- ' 2 2 2 =2-₄ '2 ∴ cosÛ``22.5ù-sinÛ``22.5ù=2+_{4 -}'2 2-_{4 =}'2 '2₂ 다른 풀이 cosÛ``22.5ù=cosÛ`` 45ù_{2 =}1+cos`45ù<sub>2</sub> sinÛ``22.5ù=sinÛ`` 45ù<sub>2 =</sub>1-cos`45ù₂ ∴ cosÛ``22.5ù-sinÛ``22.5ù‌ ‌ = 1+cos`45ù<sub>2</sub> - 1-cos`45ù₂ =cos`45ù‌‌ ‌ = '₂ 2

07

r="Ã1Û`+('3 )Û`=2이므로

sin`x+<sub>'3`cos`x  =2{;2!;`sin`x+ '2 `cos`x}</sub> 3

=2_{{cos` p3`sin`x+sin`}p_{3 `cos`x}} =2`sin`_{{x+ p3}}

∴ _{r=2, a= p3}

14

정답과 풀이

04

분모, 분자에 각각 1+cos`x를 곱하면 lim x Ú 0 1-cos`x xÛ` =limx Ú 0 (1-cos`x)(1+cos`x) xÛ`(1+cos`x) =lim x Ú 0 1-cosÛ``x xÛ`(1+cos`x) =lim<sub>x Ú 0</sub> sinÛ``x xÛ`(1+cos`x) =lim x Ú 0 [{ sin`xx }Û`_ 1 1+cos`x ] =1Û`_ 1_{1+1 =;2!;}

05

0이 아닌 극한값이 존재하고 x Ú 0일 때 (분자)‌Ú 0이므로 (분모)‌Ú 0이어야 한다. 즉, lim x Ú 0 (eÅ`+a)=0이므로 1+a=0 ∴ a=-1 ∴ lim x Ú 0 tan`bx eÅ`+a =limx Ú 0 tan`bx eÅ`-1

=lim_{x Ú 0} [ tan`bx<sub>bx _eÅ`-1 _b]</sub> x =b=2  ∴ ab=-2

06

⑴ y'=(2x)'+(sin`x)'=2+cos`x ⑵ y'=(cos`x)'-(3eÅ`)'=-sin`x-3eÅ` ⑶ y=sinÛ``x=sin`x`sin`x이므로 y' =(sin`x)'`sin`x+sin`x`(sin`x)' =cos`x`sin`x+sin`x`cos`x =2`sin`x`cos`x ⑷ y' =(sin`x)'`cos`x+sin`x`(cos`x)' =cos`x`cos`x+sin`x_(-sin`x) =cosÛ``x-sinÛ``x

07

lim h Ú 0  f(p+h)-f(p) h =f '(p) 이때 f(x)=x`cos`x에서 f '(x)=(x)'cos`x+x`(cos`x)'=cos`x-x`sin`x 이므로 f '(p)=cos`p-p`sin`p=-1

08

f(x)가 x=0에서 미분가능하려면 x=0에서 연속이어야 하므로 lim

x Ú 0- (2x+a)= limx Ú 0+ b`sin`x=f(0)=0

∴ a=0 또, f '(0)의 값이 존재해야 하므로 f '(x)=[   2 (x<0) b`cos`x (x>0) 에서 2=lim x Ú 0 b`cos`x ∴ b=2 ∴ aÛ`+bÛ`=4 p. 26

01

⑴ ;2!; ⑵ '_{2 ⑶ '3 ⑷ 1 ⑸ 2 ⑹ 2} 2

02

3

03

7

04

;2!;

05

-2

06

⑴ y'=2+cos`x ⑵ y'=-sin`x-3eÅ` ⑶ y'=2`sin`x`cos`x ⑷ y'=cosÛ`x-sinÛ`x

07

-1

08

4

삼각함수의 미분

01

⑴ lim x Ú ;6Ò; sin`x=sin` p 6 =;2!; ⑵ lim x Ú ;4Ò; cos`x=cos` p 4 ='22 ⑶ lim x Ú ;3Ò; tan`x=tan` p 3 ='3 ⑷ lim x Ú 0 cos`2x-tan`x

1+sin`x = cos`0-tan`01+sin`0 =1-01+0 =1 ⑸ sinÛ`x=1-cosÛ`x이므로 lim x Ú 0 sinÛ`x 1-cos`x =limx Ú 0 1-cosÛ`x 1-cos`x =lim x Ú 0 (1-cos`x)(1+cos`x) 1-cos`x =lim x Ú 0 (1+cos`x)‌ ‌ =1+cos`0‌ ‌ =1+1=2 ⑹ cosÛ``x=1-sinÛ``x이므로 lim x Ú ;2Ò; cosÛ``x 1-sin`x =limx Ú ;2Ò; 1-sinÛ``x 1-sin`x =lim x Ú ;2Ò; (1-sin`x)(1+sin`x) 1-sin`x =lim x Ú ;2Ò; (1+sin`x)‌ ‌ =1+sin` p2 =1+1=2‌

02

lim x Ú 0 sin`x x =1, lim x Ú 0 tan`2x x =limx Ú 0 tan`2x 2x _2=2 이므로 lim x Ú 0 sin`x x +limx Ú 0 tan`2x x =1+2=3

03

lim x Ú 0 sin‌(sin`2x) sin`5x

=lim_{x Ú 0} [sin‌(sin`2x)<sub>sin`2x</sub> _ 5x<sub>sin`5x _</sub>sin`2x_{5x ]}

=lim_{x Ú 0} sin`2x<sub>5x</sub> =lim x Ú 0 { sin`2x2x _;5@;} =;5@; 따라서 p=5, q=2이므로 p+q=7 정답과 풀이

15

풍산자특강_미적분(Ⅱ단원정답013-037)육.indd 15 2018-11-06 오후 12:58:14

0

6

lim_{x Ú 0}(a+12)Å`-aÅ`_x =lim x Ú 0

(a+12)Å`-1-(aÅ`-1)`

x

=lim_{x Ú 0}(a+12)Å`-1`_x -lim_{x Ú 0}aÅ`-1_x

=ln (a+12)-ln`a =ln`a+12_a 따라서 ln a+12_{a =2`ln`2=ln`4이므로} a+12 a =4, a+12=4a ∴ a=4

0

7

f(x)=(xÜ`+1)eÅ` 에서 f '(x) =3xÛ`eÅ`+(xÜ`+1)eÅ` =(xÜ`+3xÛ`+1)eÅ` 따라서 구하는 접선의 기울기는 f '(1)=(1+3+1)e=5e

0

8

f(x)=x`ln`xÛ`=2x`ln`x에서 f '(x) =2_ln`x+2x_ 1x =2`ln`x+2 f '(a)=8에서 2`ln`a+2=8 ln`a=3 ∴ a=eÜ` (∵ a>0)

0

9

[1단계] lim_{h Ú 0} f(1+2h)-f(1-h)_h =lim h Ú 0 f(1+2h)-f(1)-{ f(1-h)- f(1)} h =lim_{h Ú 0} f(1+2h)-f(1)_h -lim_{h Ú 0} f(1-h)-f(1)_h =lim h Ú 0 f(1+2h)-f(1) 2h _2+limh Ú 0 f(1-h)-f(1) -h =2f '(1)+f '(1) =3f '(1) [2단계] f(x)=xÛ`+x`ln`x에서 f '(x) =2x+ln`x+x_ 1x =2x+ln`x+1 [3단계] ∴ 3 f '(1) =3(2_1+ln`1+1) =3(2+1) =3_3=9

10

f(x)가 모든 양수 x에 대하여 미분가능하려면 x=1에서 연속이어야 하므로 lim

x Ú 1-ln`ax= limx Ú 1+beÅ`=f(1)

0

1

5

0

2

③

0

3

3

0

4

④

0

5

④

0

6

③

0

7

5e

0

8

⑤

0

9

9

10

1

11

③

12

④

13

-;8%;

14

-3

15

-;3$;'3

16

⑤

17

-;3Ò;

18

④

19

④

20

6

21

④

22

p₁₂

23

-3

24

;2#;p

실력

확인 문제

p. 28

0

1

lim x Ú ¦ (5Å`+3Å` ) 1 x _=lim x Ú ¦ [5Å` {1+ 3Å`5Å` }] 1 x =lim x Ú ¦ [(5Å` ) 1 x_[1+{;5#;}Å` ] 1 x ] =5

0

2

lim x Ú ¦[{1+ 13x }{1+ 1 5x }] 15x   =lim_{x Ú ¦}{1+ 1_{3x }}15x{1+ 1_{5x }}15x   =lim_{x Ú ¦}[{1+ 1_{3x }}3x]5[{1+ 1_{5x }}5x]3 =eÞ`_eÜ`=e¡`

0

3

lim x Ú ¦`x{ln‌(x+3)-ln`x}  =limx Ú ¦x`ln` x+3x =lim_{x Ú ¦}x`ln <sub>{1+ 3x } x =t로 놓으면 x Ú ¦일 때 t Ú 0이므로</sub> 3 lim x Ú ¦x`ln‌{1+ 3x} =limt Ú 0 3 t `ln‌(1+t)  =3`lim_{t Ú 0}ln(1+t)_t =3_1=3

0

4

lim x Ú 0 e3x -1

eÅ`-1 =limx Ú 0{ xeÅ`-1 _ e3x -1 3x _3} =1_1_3=3‌ 다른 풀이 lim x Ú 0 e3x -1 eÅ`-1 =limx Ú 0 (ex )Ü`-1Ü` eÅ`-1

=lim_{x Ú 0}(ex-1)(eÛ`<sub>eÅ`-1</sub>x+eÅ`+1)

=lim x Ú 0(eÛ`Å`+eÅ`+1) =1+1+1=3

0

5

lim x Ú 0 e5x -e3x -e2x +1 xÛ` =limx Ú 0 (e2x -1)(e3x -1) xÛ` =lim_{x Ú 0}e 2x -1 x limx Ú 0 e3x -1 x =2`lim x Ú 0 e2x -1 2x _3`limx Ú 0 e3x -1 3x =2_3 =6

16

정답과 풀이 풍산자특강_미적분(Ⅱ단원정답013-037)육.indd 16 2018-11-06 오후 12:58:14

㉠+㉡을 하면 2+2(sin`a`cos`b+cos`a`sin`b)=;4#; sin`a`cos`b+cos`a`sin`b=-_;8%; ∴ sin`(a+b)=-;8%;

14

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 tan`a+tan`b=- a2 , tan`a`tan`b=;2!; 이므로

tan(a+b)= tan`a+tan`b_{1-tan`a`tan`b =} -;2A;

1-;2!;=-a ∴ a=-3

15

h가 예각이고 tan`h='2이므로 오른쪽 그림에서 OPÓ="Ã1Û`+('2)Û`='3 sin`h= '2 '3= '3 6 ∴ sin`h`tan`2h =sin`h_ 2`tan`h 1-tanÛ``h = '_{3 _}6 2'2 1-('2 )Û` =-;3$;'3

16

두 직선 y=-x+2, y=2x+1이 x축의 양의 방향과 이루 는 각의 크기를 각각 a, b라고 하면 tan`a=-1, tan`b=2 이때 두 직선이 이루는 예각의 크기 h는 a-b이므로 tan`h

   =|tan`(a-b)|=|<sub>1+tan`a`tan`b |</sub> tan`a-tan`b

=| -1-2_{1+(-1)_2 |=3}

17

r="Ã('3)Û`+1Û` =2이므로 y  ='3`sin`x+cos`x =2{sin`x_ '<sub>2 +cos`x_;2!;}</sub> 3 =2{sin`x`cos`p<sub>6 +cos`x`sin`;6Ò;}</sub> =2`sin {x+;6Ò;} 함수 y=2`sin {x+;6Ò;}의 그래프는 y=2`sin`x의 그래프 를 x축의 방향으로 -;6Ò;만큼 평행이동한 것이므로 a=2, b=-;6Ò; ∴ ab=-;3Ò; y P O 1 x '2 h ∴ ln`a=be yy ㉠ 또, f '(1)의 값이 존재해야 하므로 f '(x)=

[

x (0<x<1)1 beÅ` (x>1) 에서 lim x Ú 1-1 x = limx Ú 1+beÅ` ∴ be=1 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=e, b=;e!; ∴ ab=1

11

[1단계] 주어진 부등식에 x 대신 3x를 대입하면 ln(1+3x)É f(3x)É_{;2!;(eß`Å`-1)} 각 변을 x로 나누면 ln(1+3x) x É  f(3x)x É eß`Å`-12x [2단계] 각 변에 극한을 취하면 lim x Ú 0 ln(1+3x) x Élimx Ú 0  f(3x) x Élimx Ú 0 eß`Å`-1  2x 이때 lim x Ú 0 ln(1+3x) x =limx Ú 0 [ ln(1+3x) 3x _3]=3, lim x Ú 0 eß`Å`-1  2x =limx Ú 0 { eß`Å`-1   6x _3}=3 이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 lim x Ú 0  f(3x) x =3

12

tan`h+cot`h=;2#;에서 sin`h

cos`h+ cos`hsin`h=;2#;, sinÛ`h+cosÛ`hsin`h`cos`h =;2#;

1

sin`h`cos`h=;2#; ∴ sin`h`cos`h=;3@; ∴ cscÛ``h+secÛ``h = 1_{sinÛ``h +cosÛ``h} 1

= sinÛ``h+cosÛ``h_{sinÛ``h`cosÛ``h}

=_{(sin`h`cos`h)Û`}1

= 1

{;3@;}Û`=;4(;

13

sin`a+cos`b=;2!;, cos`a+sin`b= '₂2의 양변을 각각 제곱하면

sinÛ``a+cosÛ``b+2`sin`a`cos`b=;4!; …… ㉠ cosÛ``a+sinÛ``b+2`cos`a`sin`b=_;2!; …… ㉡

정답과 풀이

17

f '(x)='3`sin`x+cos`x-1 ∴ f '(a) ='3`sin`a+cos`a-1

=2{ '_{2 `sin`a+;2!;`cos`a}-1} 3

=2_{{cos` p6`sin`a+sin`}p_{6 `cos`a}-1} =2`sin`_{{a+ p6}-1} [2단계] f '(a)='2-1에서 2`sin`_{{a+ p6 }-1='2-1이므로} sin`{a+ p6 }='2₂ 이때 _{0ÉaÉ p2 에서} p_{6 Éa+}p_{6 É;3@;p이므로} a+ p6 =p4 ∴ a= p₁₂

23

f(0)=0이므로 lim h Ú 0  f(h) h =limh Ú 0  f(0+h)-f(0) h =f '(0) 이때 f '(x)=cos`x-4이므로 f '(0)=cos`0-4=1-4=-3

24

함수 f(x)=sin`x+cos`x는 닫힌구간 [0, 2p]에서 연속 이고 열린구간 (0, 2p)에서 미분가능하므로 평균값 정리 에 의하여 f(2p)- f(0) 2p =f '(c) 인 실수 c가 존재한다. 이때 f(2p)- f(0) 2p =(sin`2p+cos`2p)-(sin`0+cos`0)2p-0 =0 이고, f '(x)=cos`x-sin`x이므로 f '(c)=cos`c-sin`c 즉, cos`c-sin`c=0이므로 sin`c=cos`c y y=cos`x y=sin`x 1 -1 O x p 2 p54p 2p p 3 2 p 4 따라서 _{c= p4 또는 c=;4%;p이므로 구하는 모든 c의 값의} 합은 p 4 +;4%;p=;2#;p

18

f(x)=a`sin`x+3`cos`x="ÃaÛ`+9`sin (x+a)

{단, sin`a= 3

"ÃaÛ`+9, cos`a="ÃaÛ`+9a } 이때 -1Ésin(x+a)É1이므로 -<sub>"ÃaÛ`+9É"ÃaÛ`+9`sin(x+a)É"ÃaÛ`+9</sub> 따라서 함수 f(x)의 최댓값은 "ÃaÛ`+9이므로 "ÃaÛ`+9=5, aÛ`+9=25 aÛ`=16 ∴ a=4 (∵ a

>0

)

19

lim x Ú 0 tan`x+tan`2x+tan`3x 6x =lim x Ú 0{ tan`x6x + tan`2x 6x +tan`3x6x } =lim x Ú 0{ tan`xx _;6!;+ tan`2x 2x _;3!;+tan`3x3x _;2!;} =1_;6!;+1_;3!;+1_;2!;=1

20

0이 아닌 극한값이 존재하고, x _{Ú0일 때} (분자) Ú0이므로 (분모) Ú0이어야 한다. 즉, lim x Ú 0('¶ax+b-2)=0이므로 'b-2=0 ∴ b=4 ∴ lim x Ú 0 sin`2x '¶ax+b-2 =limx Ú 0 sin`2x '¶ax+4-2 =lim x Ú 0 sin`2x(<sub>'¶ax+4+2)</sub> (ax+4)-4 =lim<sub>x Ú 0</sub>sin`2x('¶ax+4+2)_ax

=lim_{x Ú 0}[ sin`2x_{2x _}2_{a _('¶ax+4+2)]}

=1_ 2a_('4+2) = 8a=4

∴ a=2 ∴ a+b=6

21

BHÓ= AHÓ_{tan`h , CHÓ=tan`3h 이므로} AHÓ

BHÓ CHÓ= AHÓ tan`h AHÓ tan`3h = tan`3h<sub>tan`h</sub> ∴ lim h Ú 0 BHÓ CHÓ =limh Ú 0 tan`3h tan`h

=lim_{h Ú 0}{ tan`3h<sub>3h _tan`h _3}</sub> h

=1_1_3=3

22

[1단계]

f(x)=sin`x-<sub>'3`cos`x-x에서</sub>

18

정답과 풀이

⑶ y'=(7x-3)'_{7x-3 =7x-3}7 ⑷ y'= (xÛ`-2x)' (xÛ`-2x)`ln`3= 2(x-1) (xÛ`-2x)`ln`3

06

y=xx 의 양변에 자연로그를 취하면 ln`y=ln`xÅ` ∴ ln`y= x`ln`x 양변을 x에 대하여 미분하면 y' y =(x)'`ln`x+x(ln`x)'= ln`x+1 ∴ y'=y_ (ln`x+1) = xÅ``(ln`x+1)

07

y= 1 Ý`'x=x-;4!;이므로 y'=-;4!;x-;4!;-1<sub>=-;4!;x</sub>-;4%;<sub>=-</sub> 1 4x Ý`'x 따라서 x=1에서의 미분계수는 a=-_;4!; 한편, y=Ü`'¶4x+1=(4x+1);3!;<sub>이므로</sub> y' =;3!;(4x+1);3!;-1<sub>_(4x+1)'</sub> =;3$;(4x+1)-;3@; = 4 3`Ü`"Ã(4x+1)Û`‌‌ 따라서 x=0에서의 미분계수는 b=_;3$; ∴ a+b=-;4!;+;3$;=;1!2#; p. 34

01

-2t+2

02

-2'3

03

2y`dy dx, - xy

04

3

05

;6!;

06

⑴ y''=12xÛ`-6x ⑵ y''=-sin`x ⑶ y''=9e-3x ⑷ y''=- 1 xÛ`

07

1

여러 가지 미분법

01

dx dt=(t+1)'=1, dydt=(-tÛ`+2t)'=-2t+2 이므로 dy dx= dy dt dx dt = -2t+2₁ =-2t+2

02

dx dh=(sin`h)'=cos`h, dydh=(2`cos`h)'=-2`sin`h 이므로 dy dx= dy dh dx dh

= -2`sin`h_{cos`h =-2`tan`h}

p. 32

01

⑴ y'= -xÛ`+1

(xÛ`+x+1)Û` ⑵ y'=-(xÛ`+1)Û`2x

⑶ y'= 4-x<sub>eÅ`</sub> ⑷ y'= 1-ln`x

xÛ`

02

4

03

2- ' 2 2

04

54

05

⑴ y'=2xexÛ`-1 ⑵ y'=3`<sub>ln`2_2</sub>3x+1 ⑶ y'=<sub>7x-3 ⑷ y'=</sub>7 2(x-1) (xÛ`-2x)`ln`3

06

x, ln`x+1, (ln`x+1), xÅ`(ln`x+1)

07

13₁₂

함수의 몫의 미분과 합성함수의 미분

01

⑴ y' =(x)'(xÛ`+x+1)-x(xÛ`+x+1)' (xÛ`+x+1)Û` =xÛ`+x+1-x(2x+1) (xÛ`+x+1)Û` = -xÛ`+1 (xÛ`+x+1)Û` ⑵ y' =-(xÛ`+1)' (xÛ`+1)Û` =-2x (xÛ`+1)Û` ⑶ y' =(x-3)'eÅ`-(x-3)(eÅ`)' (eÅ`)Û` =eÅ`-(x-3)eÅ` eÛ`Å` =-(x-4)eÅ` eÛ`Å` = 4-xeÅ` ⑷ y' =(ln`x)'x-ln`x(x)' xÛ` = 1 x _x-ln`x_1 xÛ` = 1-ln`x xÛ`

02

f(x)= 1 xÛ`+ax-2에서 f '(x)=-(xÛ`+ax-2)'

(xÛ`+ax-2)Û`=-(xÛ`+ax-2)Û`2x+a

이때 f '(0)=-1이므로 - a4 =-1 ∴ a=4

03

f(x)=cos`x+tan`x이므로 f '(x)=-sin`x+secÛ`x ∴ f '_{{ p4 } =-sin`</sub>p<sub>4 +secÛ``</sub>p<sub>4 =-</sub>'2<sub>2 +('2‌)Û`‌‌} ‌ =2- '2₂

04

y'=3(2x+1)3-1 _(2x+1)'=6(2x+1)Û` 따라서 x=1에서의 미분계수는 6_(2+1)Û`=54

05

⑴ y'=exÛ`-1<sub>_(xÛ`-1)'=2xe</sub>xÛ`-1 ⑵ y'=23x+1`_{ln`2_(3x+1)'=3`ln`2_2}3x+1 정답과 풀이

19

(013-037)풍산자특강_미적분(정답)칠.indd 19 2018-11-07 오전 10:50:41

07

f '(x) =-(xÛ`+ax+b)' (xÛ`+ax+b)Û` =- 2x+a (xÛ`+ax+b)Û` f '(0)=0이므로 -a bÛ`=0 ∴ a=0 따라서 f '(x)=- 2x (xÛ`+b)Û`이므로 f "(x) =-(2x)'(xÛ`+b)Û`-2x{(xÛ`+b)Û`}'<sub>{(xÛ`+b)Û`}Û`</sub> =-2(xÛ`+b)Û`-2_2x(xÛ`+b)_2x (xÛ`+b)Ý` =-2(xÛ`+b)-8xÛ`_(xÛ`+b)Ü` = 6xÛ`-2b (xÛ`+b)Ü` f "(0)=-2이므로 -2b bÜ` =-2, - 2bÛ`=-2, bÛ`=1 ∴ b=1 (∵ b>0) ∴ a+b=1

0

1

-1

0

2

-285

0

3

④

0

4

;2!;

0

5

2-'2

0

6

②

0

7

①

0

8

24

0

9

25

10

-1

11

③

12

;2#;

13

e

14

3

15

1

16

⑤

17

-;2%;

18

②

19

③

20

④

21

;5#;

22

②

23

-;3$;

24

-2

실력

확인 문제

p. 36

0

1

f(x)= 2x+a_{x+1 에서} f '(x) =2(x+1)-(2x+a)_1 (x+1)Û` = 2-a (x+1)Û` f '(0)=3에서 2-a=3 ∴ a=-1

0

2

<sub>f(x) = 1x +xÛ`</sub>2+ 3 xÜ`+ y + 9xá` =xÑÚ`+2xÑÛ`+3xÑÜ`+ y +9xÑá` 이므로 따라서 h<sub>= p3 일 때,</sub> dy dx의 값은 -2`tan` p3 =-2'3

03

xÛ`+yÛ`=16의 양변을 x에 대하여 미분하면 d dx(xÛ`)+ ddx(yÛ`)= ddx(16) 2x+ 2y dy dx =0 ∴ dy_{dx= - xy (단, y+0)}

04

x=yÜ`의 양변을 y에 대하여 미분하면 dx dy=3yÛ` ∴ _dxdy= 1 dx dy = 1 3yÛ` (단, y+0) 따라서 y=;3!;일 때, dy<sub>dx</sub>의 값은 1 3_{;3!;}Û`= 1;3!;=3 다른 풀이 x=yÜ`의 양변을 x에 대하여 미분하면 1= dy dx(3yÛ`)‌(단, y+0) ∴ _dxdy= 1 3yÛ` 따라서 y=;3!;일 때, dy<sub>dx</sub>의 값은 1 3_{;3!;}Û`= 1;3!;=3

05

f ÑÚ`(-1)=k라고 하면 f(k)=-1에서 2kÜ`-3=-1, kÜ`-1=0 (k-1)(kÛ`+k+1)=0 ∴ k=1 (∵ kÛ`+k+1>0) 따라서 f ÑÚ`(-1)=1이고 f '(x)=6xÛ`이므로 ( f ÑÚ`)'(-1) = 1 f '(1) = 1 6_1Û`=;6!;

06

⑴ y'=4xÜ`-3xÛ`이므로 y''=4_3xÛ`-3_2x=12xÛ`-6x ⑵ y'=cos`x이므로 y''=-sin`x ⑶ y'=eÑÜ`Å`_(-3x)'=-3eÑÜ`Å` 이므로 y''=-3eÑÜ`Å`_(-3x)'=9eÑÜ`Å` ⑷ _{y'= 1x=xÑÚ`이므로 y''=-xÑÛ`=-}1 xÛ`

20

정답과 풀이 풍산자특강_미적분(Ⅱ단원정답013-037)육.indd 20 2018-11-06 오후 12:58:17

0

6

[1단계] g(x) = f(x)_ex-2 에서 g'(x) = f '(x)_e x-2_{-f(x)_(e}x-2_)' (ex-2_{)Û`</sub> ={ f '(x)-f(x)}_e x-2 ` (ex-2 )Û` = f '(x)-f(x) ex-2<sub>`} [2단계] 한편, lim x Ú 2 f(x)-3 x-2 =5에서 극한값이 존재하고 x Ú2일 때 (분모) Ú0이므로 (분자) Ú0이어야 한다. 즉, lim x Ú 2 { f(x)-3}=0에서 f(2)-3=0 ∴ f(2)=3 ∴ lim_{x Ú 2} f(x)-3_{x-2 =limx Ú 2} f(x)-f(2)_x-2 =f '(2)=5 [3단계] g'(x)=f '(x)-f(x)_ex-2 이므로 g'(2)=f '(2)-f(2)_e2-2 =5-3=2

0

7

f '(x)=(xÛ`+3)' xÛ`+3 = 2xxÛ`+3이므로 f '(1)=;4@;=;2!;

0

8

f {;2!;x+1}=xÛ`+4x+3의 양변을 x에 대하여 미분하면 f`'{;2!;x+1}_{;2!;x+1}'=2x+4 ;2!; f '{;2!;x+1}=2x+4 ∴ f '{;2!;x+1}=4x+8 yy ㉠ 이때 ;2!;x+1=3에서 ;2!;x=2 ∴ x=4 따라서 ㉠의 양변에 x=4를 대입하면 f '(3)=4_4+8=16+8=24 다른 풀이 ;2!;x+1=t라고 하면 ;2!;x=t-1 ∴ x=2(t-1) 따라서 f(t) ={2(t-1)}Û`+4_2(t-1)+3 =4tÛ`-1 이므로 f '(t)=8t ∴ f '(3)=24 f '(x)=-xÑÛ`-2Û`_xÑÜ`-3Û`_xÑÝ`- y -9Û`_xÑÚ`â` ∴ f '(1) =-1-2Û`-3Û`- y -9Û` =-(1+2Û`+3Û`+ y +9Û`)‌ ‌ =-Á9 k=1kÛ`‌ =- 9_10_19₆ =-285

0

3

lim h Ú 0 f _{{ p4 +h}- f {}p_{4 -h}} h =lim_{h Ú 0} [ f { p4+h}- f { p 4 }]-[ f {p4 -h}- f {p4 }] h =lim h Ú 0 f { p4+h}- f {p4 } h +limh Ú 0 f { p4-h}- f {p4 } -h =f '_{{ p4 }+f '{}p_{4 }} =2 f '_{{ p4}} 이때 f(x)=tan`x에서 f '(x)=secÛ``x이므로 2 f '<sub>{ p4 }=2`secÛ``</sub>p_{4 =2_('2 )Û`=4}

0

4

f(x) = x`cos`x<sub>eÅ`+1</sub> 에서 f '(x) =(x`cos`x)'(eÅ`+1)-(x`cos`x)(eÅ`+1)' (eÅ`+1)Û` =(cos`x-x`sin`x)(eÅ`+1)-x`cos`x_eÅ` (eÅ`+1)Û` ∴ f '(0) =(1-0)(1+1)-0_(1+1)Û` =_;2!;

0

5

y' =(tan`x)'(1+sec`x)-tan`x (1+sec`x)' (1+sec`x)Û` =secÛ``x(1+sec`x)-tan`x_sec`x`tan`x (1+sec`x)Û` =secÛ``x(1+sec`x)-sec`x(secÛ``x-1) (1+sec`x)Û` =sec`x(sec`x+1)_(1+sec`x)Û` = sec`x<sub>1+sec`x`</sub> = 1 cos`x 1+ 1<sub>cos`x</sub> =<sub>cos`x+1`</sub> 1 따라서 <sub>x= p4에서의 미분계수는</sub> 1 cos` p4 +1= 1 '2 2 +1 =₂₊2 '2=2-'2 정답과 풀이

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풍산자특강_미적분(Ⅱ단원정답013-037)육.indd 21 2018-11-06 오후 12:58:18