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수학 영역
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정 답
1 ② 2 ⑤ 3 ⑤ 4 ③ 5 ①
6 ① 7 ③ 8 ④ 9 ⑤ 10 ②
11 ② 12 ⑤ 13 ③ 14 ④ 15 ④
16 ④ 17 ③ 18 ② 19 ① 20 ②
21 ⑤ 22 14 23 22 24 11 25 30
26 432 27 26 28 20 29 54 30 103
해 설
출제의도 집합의 연산 계산하기
1. [ ]
이므로 원소의 총합은 이다.
2. 출제의도 나머지 정리 이해하기[ ]
라 하면 나머지 정리에 의해서 나
머지는 이다.
출제의도 복소수 계산하기
3. [ ]
이므로 이다.
출제의도 유리식 계산하기
4. [ ]
에서
이다.
출제의도 합성함수와 역함수 이해하기
5. [ ]
에서 이다.
따라서 이다.
출제의도 방정식 이해하기
6. [ ]
에서 가 실수이므로
이다.
의 서로 다
른 실근의 개수는 이므로 주어진 방정식의 실근의
개수도 이다.
출제의도 분수함수의 평행이동 계산하기
7. [ ]
이므로
의 그래프를 축의 방향으로 , 축의 방향으로
만큼 평행이동한 것이다.
따라서 이고, 이다.
출제의도 복소수의 성질 이해하기
8. [ ]
⇔ 또는
에서
∴
따라서 이다.
출제의도 집합과 이차부등식 문제 해결하기
9. [ ]
집합에서 또는 이므로 ∩ ∅
이 되기 위해서는 ≤ ≤
≤ 이다.
∴ ≤ ≤
따라서 정수 의 개수는 이다.
10. 출제의도 근과 계수와의 관계 이해하기[ ]
의 두 근이 이므로
…… ㉠
의 두 근이
이므로
…… ㉡
에서
,
㉠ ㉡
이므로
이다.
∴
이므로
이다. ∴
따라서
이고 가 실수이므로
이다. ∴
출제의도 도형의 넓이 이등분 증명하기
11. [ ]
직선 과 선분 의 교점을 라 하고 에서
축, 축에 내린 수선의 발을 각각 이라 하면
삼각형 의 넓이와 삼각형 의 넓이가 서로
같으므로 사각형 와 사각형 의 넓이가
서로 같다.
따라서 × × 에서
이고
이므로 직선 의 기울기는
이다. ∴
12. 출제의도 집합과 방정식 문제 해결하기[ ]
∪
이면⊂
이다 공집합은 모든 집합의.
부분집합이므로 집합가 공집합이 되는 경우는 일
차 방정식 에서 이다 집합. 가
공집합이 아닌 경우
의 원소는 또는 이다.
그러므로 ∈이면 에서
이고, ∈
이면 에서
이다.
따라서 모든 실수 의 값의 합은
이다.
출제의도 다항식 문제 증명하기
13. [ ]
정사각형의 넓이와 직각 삼각형의 넓이가 같으므로
( )=가
이고 직각 삼각형에서
이므로
( )= 이고나
( )= 이다.다
여기서 가 모두 정수라 하면,
( )= 에서 는 짝수이므로 ′나
(′ 은 자연수 라 할 때)
′ ․
′ ․
′ = ′′′ 가
된다 우변은 연속된 세 자연수의 곱이므로 제곱수가.
될 수 없다 따라서 모순이다 그러므로. . 중
적어도 하나는 정수가 아니다.
그러므로
, ,
이다.
∴
출제의도 실생활에서 순열 문제 해결하기
14. [ ]
우선 남학생 12 명을 일렬로 세우는 경우의 수는
이다 여기서 남학생. 2 명씩 묶어서 그 사이에 여
학생 2 명을 세우는 경우의 수는 × 이
므로 경우의 수는 × 이 되어 이다.
출제의도 조건의 진리집합 추론하기
15. [ ]
의 진리집합을 각각 라 하자.
∈이면 가 정수이고 정수 전체의 집합은 곱셈
에 대하여 닫혀 있으므로
도 정수이다 따.
라서 ∈, ∈, ∈이므로
⊂⊂⊂
이다 같은 방법으로. ⊂
이다.
반례
. [ ]
ㄱ
이면
은 정수이지만
은 정수가 아니다. (거짓)
.
ㄴ ∩⊂ ( )참
.
ㄷ ∪⊃ ( )참
16. 출제의도 함수의 그래프와 방정식의 관계 이해하기[ ]
의 그래프는 다음과 같다.
에서
또는
이므로
이다.
따라서 모든 실수 의 값의 합은 이다.
출제의도 삼각함수 활용 문제 해결하기
17. [ ]
≥
의 주기가
이므로
이다.
=
출제의도 이차방정식의 활용 문제 해결하기
18. [ ]
라 두면
이차방정식 에서
이므로 의
값에 관계없이 항상 서로 다른 두 실근을 가진다.
두 실근이 모두 이하가 되려면
대칭축의 방정식은
( )ⅰ 이므로 ≤
( )ⅱ ≥ 에서 ≤
에 의해
( ), ( )ⅰ ⅱ
≤ 이다 따라서 두 근 중.
적어도 하나가 양의 실수가 되려면
이므로
정수 의 최솟값 이다.
∴
출제의도 부등식의 영역 문제 해결하기
19. [ ]
원점에서 직선 까지의 거리가 이므로
이다. ∴
점
에서 직선 에 이르는 수선의 길이는
이고 점,
에서 직선
에 이르는 수선의 길이는
이
다 따라서.
그런데 직선 이 두 점
,
사이
를 지나므로
이다.
출제의도 삼각함수 문제 해결하기
20. [ ]
년도 월 고 전국연합학력평가
2012
3
2
정답 및 해설
5
∆
∆
□ △-△
△ ×
출제의도 복소수 문제 추론하기
21. [ ]
( )ㄱ
( )참
( )ㄴ , 이므로
( )참
에 의해서
( ) ( )ㄷ ㄴ
( )참
출제의도 유리식 계산하기
22. [ ]
준식
( )
출제의도 이차함수 이해하기
23. [ ]
이므로 에
서 최솟값 , 에서 최댓값 를 가진
다. 에서 최솟값이 이므로 이
다. ∴ 따라서 최댓값은 이다.
출제의도 삼각함수 이해하기
24. [ ]
에서 양변을 제곱하면
이다 따라서.
∴
(∵ ≤ ≤ )
이므로 이다.
출제의도 점과 직선 사이의 거리 이해하기
25. [ ]
점 가 직선 위의 점이므로
⋯⋯㉠
이므로
정리하면 ⋯⋯㉡
을 연립하여 풀면
,
㉠ ㉡ ,
이다.
∴
출제의도 실생활에서 경우의 수 문제 해결하기
26. [ ]
배열하는 모든 경우의 수는 × 가지이고,와
가 대응되는 경우의 수는 × 가지이다 따라서.
와 가 대응되지 않는 경우의 수는
× × × × 이다.
출제의도 원과 직선의 방정식 문제 해결하기
27. [ ]
중심 에서 변 에 내린 수선의 발을 라 하면
두 점 를 지나는 직선의 방정식이
이므로
∴
∆ ≤
× ×
따라서 이다.
별해
[ ]
선분 의 중점을 이라 하면
이
고,
따라서 ∆ 의 넓이가 최대일 때 높이는
이다.
이므로
∆ 의 최댓값은
이다.
출제의도 부정방정식 이해하기
28. [ ]
또는
이다.
따라서 또는 이다.
그러므로 자연수 의 모든 값의 합은 이다.
출제의도 항등식 이해하기
29. [ ]
에서
가 된다 따라서.
이므로 이다.
출제의도 삼각형의 넓이 문제 추론하기
30. [ ]
× ×
이므로
이다.
∆ 의 넓이
× × ×
라 하면
=
∴
△ ×
×
∴
