(1)미분응용
목포해양대학교
김 용 화
개요
미분을 활용한 문제 해결
함수의 극대, 극소값
비선형 방정식
벡터의 미분
2
극대값 (local maximum)과 극소값 (local minimum)
그림 12.1
A 증가를 멈추고 감소하기 시작 (극대값)
B 감소를 멈추고 증가하기 시작 (극소값)
A와 B는 모든 곡선에 대한 극대값/극소값이 아님
근처의 점 들에 대한 극대점/극소점 국부적 (local) 극대점/극소점 3
극대값과 극소값
함수의 극대/극소점에서는
가 존재하지 않거나
이다
전환점 (turning point) 또는 정상값 (stationary value)
인 점
4
dx
dy
0
=
dx
dy
0
=
dx
dy
극대값과 극소값의 구분
1차 미분 테스트
극대점
좌측에서 접근할 때 는 양, 우측에서 접근할 때 는 음
극소점
좌측에서 접근할 때 는 음, 우측에서 접근할 때 는 양
5
dx
dy
dx
dy
dx
dy
dx
dy
1차 미분 테스트
예
극대/극소점의 조건
가 존재하지 않는 점 그림 12.2
인 점
모든 x에 대해 값이 존재함
x=0일 때 y=0 (0,0) 전환점
x=0의 좌측방향 x는 음 는 음
x=0의 우측방향 x는 양 는 양
y는 x=0에서극소값을 가짐
6
2
x
y =
dx
dy
x
dx
dy
2
=
0
=
dx
dy
0
0
2 = → =
= x x
dx
dy
x
dx
dy
2
=
x
dx
dy
2
=
예
모든 t에 대해 값이 존재함 그림 12.3
t=1/2일 때 y=5/4 (1/2,5/4) 전환점
t=1/2의 좌측방향 t=0에서 는 양
t=1/2의 우측방향 t=1에서 는 음
y는 t=1/2에서극대값을 가짐
7
1
2
+ +
−
= t t
y
1
2 +
−
= t
dt
dy
2
1
0
1
2 + = → =
−
= t t
dt
dy
1
1
0
2⋅ + =
−
=
dt
dy
1
1
1
2⋅ + =−
−
=
dt
dy
1차 미분 테스트
예
모든 x에 대해 값이 존재함 그림 12.4
x=1일 때
x=1의 좌측방향 x=0에서 는 음
x=1의 우측방향 x=2에서 는 양
x=1에서극소값을 가짐
x=-2일 때
x=-2의 좌측방향 x=-3에서 는 양
x=-2의 우측방향 x=-1에서 는 음
x=-2에서극대값을 가짐
8
1
2
2
3
2
3
+
−
+
= x x x
y
2
2
+ −
=x x
dx
dy
(
)(
)
2
,
1
0
2
1
0
2
2
−
=
=
+
−
→
=
−
+
=
x
x
x
x
x
dx
dy
2
−
=
dx
dy
4
=
dx
dy
4
=
dx
dy
2
−
=
dx
dy
1차 미분 테스트
예
t가 음인 경우
t가 양인 경우
t=0에서 미분값이 존재하지 않음
t=0의 좌측방향 는 음
t=0의 우측방향 는 양
y는 t=0에서극소값을 가짐
9
>
≤
−
=
=
0
,
0
,
t
t
t
t
t
y
1
−
=
dt
dy
1
=
dt
dy
1
−
=
dt
dy
1
=
dt
dy
극대값과 극소값의 구분
2차 미분 테스트
그림 12.5, 12.6
극대점을 지나는 y’은 양에서 0, 0에서 음으로 변함
y’’가 음이면 y’는 감소 극대점
극소점을 지나는 y’은 음에서 0, 0에서 양으로 변함
y’’가 양이면 y’는 증가 극소점 10
극대값과 극소값을 분별하는 2차 미분 테스트
y’=0이고 y’’ <0이면, 이 점에서 극대점을 갖는다
y’=0이고 y’’ >0이면, 이 점에서 극소점을 갖는다
y’=0이고 y’’ =0이면, 2차 미분 테스트는 실패하고 1차 미분 테스트를
시행해야 한다
11
2차 미분 테스트
예
이고, 에서도
y는 x=0에서극소값을 가짐
12
2
x
y =
0
0
2
'= x= →x=
y
2
'
'=
y x=0 y''=2
0
'
'>
y
2차 미분 테스트
예
t=1/2일 때
y는 t=1/2에서극대값을 가짐
13
1
2
+ +
−
= t t
y
1
2
'=− t+
y
2
1
0
1
2 + = → =
−
= t t
dt
dy
2
'
'=−
y
2
'
'=−
y
2차 미분 테스트
예
x=1일 때
x=1에서극소값을 가짐
x=-2일 때
x=-2에서극대값을 가짐
14
1
2
2
3
2
3
+
−
+
= x x x
y
2
'
= 2
+ −
x
x
y
(
)(
)
2
,
1
0
2
1
0
2
' 2
−
=
=
+
−
→
=
−
+
=
x
x
x
x
x
y
1
2
'
'= x+
y
0
3
1
1
2
'
'= ⋅ + = >
y
( )
2 1 3 0
2
'
'= ⋅ − + =− <
y
예
1차 미분 테스트 활용
15
>
≤
−
=
=
0
,
0
,
t
t
t
t
t
y
=
>
<
−
=
않음
정의되지
에서는
0
0
,
1
0
,
1
'
t
t
t
y
변곡점
볼록함수
곡선의 접선기울기 y’이 증가할 때 y’’는 양의 값을 갖는 곡선
오목함수
곡선의 접선 기울기 y’이 감소할 때 y’’가 음의 값을 갖는 곡선
변곡점 (point of inflexion)
곡선이 볼록에서 오목, 또는 오목에서 볼록으로 변하는 점
y’’=0이거나 y’’이 존재하지 않음
그림 12.10
16
변곡점
예
그림 12.11
변곡점은 이거나, 이 존재하지 않는 점
볼록/오목 확인
x=0의 좌측은 x가 음이고 y’’도 음 오목
x=0의 우측은 x가 양이고 y’’도 양 볼록
x=0을 기준으로 오목에서 볼록으로 변화 x=0은 변곡점
주의: 이라도 반드시 변곡점은 아님!
17
3
x
y =
x
y
x
y'
=3 2, ''
=6
0
'
'=
y y''
0
0
6
'
'= x= →x=
y
0
'
'
'= y =
y
변곡점
예
그림 12.12
x=0의 좌측에서 y’<0, x=0의 우측에서 y’>0
x=0은 극소점
볼록/오목 확인
x=0의 좌측은 x가 음이고 y’’은 양 볼록
x=0의 우측은 x가 양이고 y’’도 양 볼록
x=0을 기준으로 변화가 없음 x=0은 변곡점이 아님
18
4
x
y =
2
3
, '' 12
4
' x y x
y= =
0
0
4
'
= 3
= → =
x
x
y
0
0
12
'
'= x2 = → x=
y
예
그림 12.13
x=0에서 x=0은 극소점
x=-4/3에서 x=-4/3은 극대점
볼록/오목 확인
x=-2/3 좌측은 y’’은 음 오목
x=-2/3 우측은 y’’은 양 볼록
x=-2/3을 기준으로 오목에서 볼록으로 변화 x=-2/3은 변곡점
19
2
3
2x
x
y= +
4
6
'
'
,
4
3
'
= 2
+ = +
x
y
x
x
y
(
)
3
4
,
0
0
4
3
0
4
3
'
= 2
+ = → + = → = −
x
x
x
x
x
y
0
4
4
0
6
'
'= ⋅ + = >
y
( 4/3) 4 4 0
6
'
'= ⋅− + =− <
y
3
2
0
4
6
'
'= x+ = →x=−
y
3
/
2
−
<
x
3
/
2
−
>
x
변곡점
정리
조건 을 만족하는 점이 항상 변곡점이 되는 충분조건은 아니다.
인 점 좌우측에 대하여 함수의 오목/볼록은 반드시 검토해야 한다.
변곡점에서 이 점의 존재에 필요조건은 아니다.
변곡점에서 이거나 가 존재하지 않아야 한다.
20
0
'
' =
y
0
'
'=
y
0
'=
y
0
'
' =
y y''
방정식 해를 구하기 위한 뉴튼-랩슨 방법
뉴튼-랩슨 방법
f(x)=0의 근
y=f(x)가 x축과 만나는 점 ( ) 그림 12.14
근사해 을 가정
점 A: 인 x축 상의 점
점 B: 일 때 y=f(x) 곡선 상의 점
점 C: 점 B에서의 접선이 x축과 만나는 점 ( )
점 C ( )는 점 A ( )보다 근 에 가까움
21
x
x= ˆ
1
x
x =
1
x
x =
1
x
x =
2
x
x =
2
x
x = x =x1 x=xˆ
( )
( )
( )
1
2
1
1
2
1
1
'x
f
x
x
x
f
CA
AB
CB
x
x
CA
x
f
B
x
AB
=
−
=
=
−
=
=
=
기울기
의
거리
까지
위의
축
( ) ( )
( )
( )1
1
2
1
2
1
1
1
'
'
x
f
x
f
x
x
x
x
x
f
x
f
=
−
−
=
방정식 해를 구하기 위한 뉴튼-랩슨 방법
예
(두 번의 반복법 사용)
(반복법을 통해 소수 둘째 자리까지 참값과 일치하는 해)
일반적인 뉴튼-랩슨 기법
근사해가 일 때, 새로운 근사값 은
22
5
.
7
,
0
6 1
3
= =
− x x
ex
5
.
2
,
sin
3 x=x x=
3
,
0
5
2 2
3
− − = =
x
x
x
n
x
x = x
n+1
( )
( )
n
n
n
n
x
f
x
f
x
x
'
1= −
+
위치 벡터의 시간에 따른 변화
물체가 곡선 C를 따라 이동 그림 12.16
물체의 위치 벡터는 시간에 따라 변함
시간 t에서 위치 벡터 r(t)를 가지고 (점 P)
시간 t+δt에서 위치 벡터 r(t+δt)를 가질 때 (점 Q)
는δt 시간 동안 물체의 변위 벡터
변위 벡터의 크기: 물체가 운동방향에 따라 이동한 거리 그림 12.17
평균 속도
순시 속도 (instantaneous velocity)
23
( )
t
r
r =
→
PQ
( ) ( )
t
t
t
t
t
PQ
δ
δ
δ
r
r + −
=
→
( ) ( )
dt
d
t
t
t
t
t
r
r
r
v= + − =
→ δ
δ
δlim0
벡터 미분
순시 속도
3차원 공간 벡터
가속도
24
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) r( ) ( )r i j
v
j
i
r
j
i
r
dt
dy
dt
dx
t
t
t
t
t
t
t
y
t
t
x
t
t
t
y
t
x
t
t = +
−
+
=
+
+
+
=
+
+
=
→ δ
δ
δ
δ
δ
δ 0
lim
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )i ( )j ( )k
r
k
j
i
r
t
z
t
y
t
x
t
t
z
t
y
t
x
t
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ = + +
+
+
=
k
j
i
r
v
v
a x y z
dt
d
dt
d
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ = + +
=
=
=
2
2
벡터 미분
규칙
a
와 b는 시간에 대한 벡터, c는 상수
예
일 때
일 때 임을 증명
25
( )
dt
d
c
c
dt
d a
a =
( )
dt
d
dt
d
dt
d a b
b
a+ = +
(a⋅b)=a⋅ b+ a⋅b
dt
d
dt
d
dt
d
(a×b)=a× b+ a×b
dt
d
dt
d
dt
d
j
i
a 3t2 cos2t
+
= 2
2
,
,
dt
d
dt
d
dt
da a a
j
i
b
j
i
a
3
2
3
2
2
+
=
−
=
t
t
t (a⋅b)=a⋅ b+ a⋅b
dt
d
dt
d
dt
d
(a×b)=a× b+ a×b
dt
d
dt
d
dt
d
