미적분학
강의 (6)
우석대학교 에너지전기공학과
이우금 교수
<지난 시간 강의 복습> 4-5. 무한등비급수 (기하급수) 무한등비수열의 합: ∞
𝑎𝑟
(𝑘−1) 𝑘=1= 𝑎 + 𝑎𝑟 +
𝑎𝑟2 + ⋯ + 𝑎𝑟(𝑛−1) + ⋯ 무한등비급수의 값:lim
𝑛→∞𝑠
𝑛= 𝑠
이면, 무한등비급수는 수렴하고, 그 값은 s. 무한등비급수의 수렴 및 발산 (1) 공비𝑟 = 1
일 때, 무한등비급수의 값 𝑟 = 1 일 때 무한급수의𝑛
항 까지의 합:𝑠
𝑛= 𝑎 + 𝑎𝑟 + ⋯ + 𝑎𝑟
𝑛−1= 𝑎 + 𝑎 + ⋯ + 𝑎 = 𝑛𝑎
lim
𝑛→∞𝑠
𝑛= lim
𝑛→∞𝑛𝑎 = ±∞
(±
는𝑎 의 부호에 따름) 𝑟 = 1
일 때, 무한등비급수는 발산 함. (2) 공비𝑟 ≠ 1
일 때, 무한등비급수의 값을 구하라 등비수열의 처음 𝑛 항까지의 합:𝑠
𝑛= 𝑎
1−𝑟𝑛 1−𝑟 𝑟 < 1
일 때:lim
𝑛→∞𝑠
𝑛= 𝑎
1−𝑟𝑛 1−𝑟=
𝑎 1−𝑟무한등비급수의 값:
𝑎𝑟
(𝑘−1) ∞ 𝑘=1=
1−𝑟𝑎
𝑟 > 1
일 때:lim
𝑛→∞𝑠
𝑛= lim
𝑛→∞ 𝑎 1−𝑟𝑛 1−𝑟= ∞
무한등비급수는 발산𝑠
𝑛: n항까지의 부분합 지난 시간 강의 복습 0 ∞<지난 시간 강의 복습> 좌 극한값: 𝑥 가 1보다 작은 값을 가지면서 1에 한없이 접근하여
𝑓 𝑥
가 2에 수렴 할 때, ∴ 𝑥 → 1 − 0 일 때𝑓 𝑥 → 2 𝑜𝑟 lim
𝑥→1−0𝑓(𝑥) = 2
우 극한값: 𝑥 가 1보다 큰 값을 가지면서 1에 한없이 접근하여𝑓 𝑥
2에 수렴 할 때, ∴ 𝑥 → 1 + 0 일 때𝑓 𝑥 → 2 𝑜𝑟 lim
𝑥→1+0𝑓(𝑥) = 2
함수의 좌 극한값과 우 극한값이 존재하며, 그 값이 같으면 극한값이 존재함. lim
𝑥→1−0𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1+0𝑓(𝑥) = 2 lim
𝑥→1 𝑥2−1 𝑥−1= 2
-1 1 𝑥 𝑦 0 2 1𝑓 𝑥 =
𝑥
2− 1
𝑥 − 1
지난 시간 강의 복습1-4. 극한값의 존재하지 않는 경우 좌 극한값과 우 극한값이 존재하나 서로 같지 않으면, 극한값이 존재하지 않음. 예시) (그림3) 에서 좌 극한값과 우 극한값이 존재하나 서로 같지 않으므로, 함수
𝑓(𝑥)
의 극한값은 존재하지 않음 좌 극한값:lim
𝑥→2−0𝑓(𝑥) = 1
우 극한값:lim
𝑥→2+0𝑓(𝑥) = 2
1. 함수의 극한 -1 1 𝑥 𝑦 0 2 1 2 (그림 3) 𝑓(𝑥)lim
𝑥→2−0𝑓(𝑥) ≠ lim
𝑥→2+0𝑓(𝑥)
극한값이 존재하지 않음 극한값의 발산 (그림 4) 에서 𝑥 가 0에 접근하면, 극한값이 양의 무한대로 발산
𝑓 𝑥 =
1 𝑥lim
𝑥→0𝑓(𝑥) = ∞
(그림 5)에서 𝑥 가 2에 접근하면, 좌·우 극한값이 양의 무한대로 발산lim
𝑥→2−0𝑓(𝑥) = ∞
lim
𝑥→2+0𝑓(𝑥) = ∞
(그림 6)에서𝑥
가 2에 접근하면, 좌·우 극한값이 음의 무한대로 발산lim
𝑥→2−0𝑓(𝑥) = −∞
lim
𝑥→2+0𝑓(𝑥) = −∞
𝑥 𝑦 0 2 𝑥 𝑦 0 2 1. 함수의 극한𝑓 𝑥 =
𝑥−21 (그림 5)𝑓 𝑥 = −
𝑥−21 (그림 6) 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 𝑥 𝑦 (그림 4) 01-5. 극한값의 기본성질 함수 𝑓(𝑥) & 𝑔(𝑥) 의 극한값이 존재하여,
lim
𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝛼 & lim
𝑥→𝑎𝑔 𝑥 = 𝛽
이면, (1)lim
𝑥→𝑎𝑘𝑓(𝑥) = 𝑘 lim
𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑘𝛼
(2)lim
𝑥→𝑎𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) = lim
𝑥→𝑎𝑓(𝑥) ± lim
𝑥→𝑎𝑔(𝑥) = 𝛼 ± 𝛽
(3)lim
𝑥→𝑎𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥 = lim
𝑥→𝑎𝑓(𝑥) ∙ lim
𝑥→𝑎𝑔 𝑥 = 𝛼 ∙ 𝛽
(4)lim
𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)=
lim 𝑥→𝑎𝑓(𝑥) lim 𝑥→𝑎𝑔(𝑥)=
𝛼𝛽 예제) 다음의 극한값을 구하라 (1)lim
𝑥→02
𝑥+
𝑥+3 3= lim
𝑥→02
𝑥+ lim
𝑥→0 𝑥+3 3= 1 + 1 = 2
(2)lim
𝑥→0 1 𝑥2= ∞
(3)lim
𝑥→2𝑥 −
4 𝑥−2= lim
𝑥→2𝑥 − lim
𝑥→2 4 𝑥−2= 2 − ∞ = −∞
1. 함수의 극한1-6. 극한값 계산의 기본형 (1) 확정형: 함수의 극한값이 결정되는 경우 (2) 불능형: 𝐶 0 형 (3) 부정형 case 1: 0 0 형 case 2: ∞ ∞형 case 3: ∞ − ∞ 𝑜𝑟 0 × ∞ 형 (1) 확정형
𝑓 𝑥 & 𝑔 𝑥
가 다항함수이고 분수식의 분모𝑔(𝑥) ≠ 0
일 때,𝑥
의 정해진 값을 대입.lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓 𝑎 & lim
𝑥→𝑎𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑎 & lim
𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥=
𝑓 𝑎 𝑔 𝑎, (𝑔(𝑎) ≠ 0)
예시)lim
𝑥→1(3𝑥
2+3) = 6
1. 함수의 극한(2) 불능형 함수에 𝑥 의 정해진 값을 대입하여 𝐶 0 형 (
𝐶
는 상수)의 불능이 되는 경우로써 극한값은 다음과 같음 𝐶 > 0 : 분모가+0
이면, 극한값은+∞,
분모가−0
이면, 극한값은−∞
𝐶 < 0 : 분모가+0
이면, 극한값은−∞,
분모가−0
이면, 극한값은+∞
예시)lim
𝑥→0 −1 𝑥= −∞
예제) 다음의 극한값을 구하라 (1)lim
𝑥→2(𝑥 − 1)(𝑥
2+ 2) = 6
(2)lim
𝑥→1 3𝑥2+2 2𝑥−1= 5
(3)lim
𝑥→0 1 𝑥= ∞
확정형 불능형 확정형 1. 함수의 극한(3) 부정형 case 1: 0 0 형 주어진 함수가 분수함수인 경우: 분모, 분자를 인수분해 하여 약분 주어진 함수가 무리함수인 경우: 분모, 분자 중 근호가 있는 쪽을 유리화 한다. 예시) 다음의 극한값을 구하라 1)
lim
𝑥→2 𝑥3−8 𝑥2−3𝑥+2=
0 0 주어진 함수가 분수함수 인수분해∴ lim
𝑥→2 𝑥3−8 𝑥2−3𝑥+2= lim
𝑥→2 (𝑥−2)(𝑥2+2𝑥+4) (𝑥−2)(𝑥−1)= lim
𝑥→2 (𝑥2+2𝑥+4) (𝑥−1)= 12
2)lim
𝑥→0 𝑥 𝑥+9−3=
0 0 주어진 함수가 무리함수 분모, 분자 중 근호가 있는 쪽을 유리화
∴
lim
𝑥→0 𝑥 𝑥+9−3= lim
𝑥→0 𝑥 ( 𝑥+9+3) ( 𝑥+9−3)( 𝑥+9+3)= lim
𝑥→0 𝑥( 𝑥+9+3) 𝑥= 6
1. 함수의 극한(3) 부정형 (계속) case 2: ∞ ∞ 형 주어진 함수가 분수함수: 분모의 최고 차 𝑥 로 분모, 분자를 나눈다. 주어진 함수가 무리함수: 근호 밖의 최고 차 𝑥 로 분모, 분자를 나눈다. 예시) 다음의 극한값을 구하라 1)
lim
𝑥→∞ 6𝑥2+5𝑥 3𝑥−1=
∞ ∞ 주어진 함수가 분수함수 분모의 최고 차 𝑥 로 분모, 분자를 나눔∴ lim
𝑥→∞ 6𝑥2+5𝑥 3𝑥−1= lim
𝑥→∞ 6𝑥+5 3−𝑥1= ∞
2)lim
𝑥→∞ 6𝑥 3+𝑥2−2=
∞ ∞ 주어진 함수가 무리함수 근호 밖의 최고 차 𝑥 로 분모, 분자를 나눔
∴ lim
𝑥→∞ 6𝑥 3+𝑥2−2= lim
𝑥→∞ 6 3 𝑥2+1− 2 𝑥= 6
1. 함수의 극한(3) 부정형 (계속) case 3: ∞ − ∞ 𝑜𝑟 0 × ∞ 형 인수분해 등을 활용하여 간단한 형태로 변형한 후 계산. 예시) 다음의 극한값을 구하라. 1)
