생명과학을 위한 수학 2 기출문제 - [2020-2] 생명과학을 위한 수학 2 기말고사

생명과학을 위한 수학 2 기말고사 시험지1

시험일정: 2020년 12월 5일 (토) 13:20 – 14:20(60분)

문제 1 (20점). 다음 물음에 답하시오.

(a) (10점) 평면 2x − y + 2z = 3 과의 거리가 2인 평면의 방정식을 구하시오. (b) (10점) 직선 (2, 3, 1) + t(1, 2, 3) 과 (3, 1, 2) + t(3, 2, 1) 사이의 거리를 구하시오.

문제 2 (15점). 다음 물음에 답하시오. (a) (5점) 행렬     1 −1 0 2 3 4 0 1 2     의 역행렬을 구하시오. (b) (10점) 임의의 실수 a, b, c에 대하여 선형계        x −y = a 2x +3y +4z = b y +2z = c 의 해를 3차원 공간의 세 벡터 v₁, v₂, v₃ 의 일차결합 av₁ + bv₂ + cv₃ 으로 표현할 때, v₁, v₂, v₃ 를 구하시오.

문제 3 (20점). 등식 a + b = 2c 를 만족하는 실수 a, b, c 및 k에 대하여 a, b, c 및 k를 계수로 갖는 선형계        kx +cy +bz = 0 ax +ky +az = 0 bx +cy +kz = 0 이 자명하지 않은 해를 갖는 k를 구하시오.

문제 4 (20점). 다음 물음에 답하시오. (a) (10점) 일차독립인 3차원 공간의 세 벡터 a, b, c가 이루는 평행육면체 {ra + sb + tc : 0 ≤ r, s, t ≤ 1} 의 부피는 |(a × b) · c| 임을 보이시오. (b) (10점) 일차독립인 3차원 공간의 세 벡터 a, b, c가 이루는 사면체는 다음과 같다. {ra + sb + tc : 0 ≤ r + s + t ≤ 1} 행렬 A =     −1 0 3 2 1 1 −1 0 5     와 벡터 a = (1, 0, −1), b = (1, 1, 0), c = (−1, 1, 1) 에 대하여 벡터 Aa, Ab, Ac 가 이루는 사면체의 부피를 구하시오.

문제 5 (20점). 다음을 보이시오.

(a) (10점) 2 × 2 행렬 A가 서로 다른 특성치 r1, r2를 가질 때, r1, r2에 대응하는 특성벡터를 각각 v1, v2

라고 하면, 이들을 열벡터로 갖는 행렬 v1 v2
는 가역이다.

생명과학을 위한 수학 2 기말고사 시험지2

시험일정: 2020년 12월 5일 (토) 14:50 – 15:50(60분)

문제 6 (25점). 횡성의 어느 한우농가에서 사육하는 암소들을 나이에 따라 3개의 군으로 분류하였다. 1군은 생후 한 살 미만, 2군은 한 살 이상 두 살 미만, 3군은 두 살 이상의 암소들이다. 1군의 암소들은 새끼를 낳지 못하지만 2군과 3군의 암소들은 1년동안 평균 7/6마리의 암소를 낳는다. 암소들의 연간 평균생존률이 1군은 1/2, 2군과 3군은 모두 2/3이라고 할 때, 다음 물음에 답하시오. (a) (5점) 각 군의 개체수가 만족하는 1년 단위의 점화관계를 구하시오. (b) (10점) 각 군의 성장률, 즉, 시간이 충분히 흘렀을 때 각 군의 연간 개체수의 증가율을 구하시오. (c) (10점) 이 농가의 암소들의 안정인구비율, 즉, 시간이 충분히 흘렀을 때 각 군을 구성하는 개체수의 비를 구하시오.

문제 7 (25점). 관악구에 거주하는 직장인 노우삼씨는 매일같이 집과 관악구 소재의 직장만을 오간다. 그는 우산이 두 개 있지만 출퇴근시 비가 올 때만 우산을 휴대하고 비가 오지 않는다면 집이든 직장이 든 그당시 그가 있는 곳에 우산을 두고 오는 버릇이 있다. 그래서 우산 두 개가 모두 집에 있고 퇴근시 비가 온다면 그는 비를 맞으며 퇴근하고, 우산 두 개가 모두 직장에 있고 출근시 비가 온다면 역시 같은 상황이 벌어진다. 관악구에 비가 올 확률이 항시 p이고, 그가 앞서 언급한 버릇을 고치지 않는다고 가정할 때, 다음 물음에 답하시오. (a) (10점) n번째 이동한 곳의 우산의 개수를 Xn 이라고 두면 확률변수열 X0, X1, X2, . . . 는 마르코프 연쇄가 된다. 이를 표현하는 추이행렬을 구하시오. (b) (10점) (a)에서 구한 추이행렬의 극한안정분포를 구하시오. (c) (5점) 노우삼씨가 비를 맞을 확률은 해를 거듭할수록 얼마로 수렴하겠는가.

문제 8 (20점). 초기조건이 x(0) = 1, y(0) = z(0) = 2 이고 계수행렬이 A =     1 1 −1 −1 3 −1 −1 1 1     인 미분방정식계의 해를 구하시오.

문제 9 (20점). 다음 물음에 답하시오. (a) (10점) 행렬 A =     3 1 −1 2 2 −1 2 2 0     에 대하여 A가 대각화 가능하면 대각화를 하고, 가능하지 않다면 그 이유를 쓰시오. (b) (10점) 행렬     0 0 1 1 0 0 0 1 0     은 대각항이 실수인 대각행렬과 닮은 행렬이 아님을 보이시오.

문제 10 (15점). 집합

{ACG, CT A, T AC, GCT, CGT, AT A, T GC, GT G}