재료역학 휨응력 강의내용 참고자료

(1)

03 / 휨응력과 전단응력

57

-03 / 휨응력과 전단응력

(Bending Stress & Shear Stress)

✤ 학습목표 ✤ ① 휨모멘트로 인한 보 내부의 휨변형을 이해하고 휨응력 분포를 이해할 수 있다. ② 보 내부의 휨응력(수직응력)을 구할 수 있다. ③ 전단력으로 인한 보 내부의 전단응력 분포를 이해하고 전단응력을 구할 수 있다. ④ 비틀림모멘트로 인한 보 내부의 비틀림응력 분포를 이해하고 비틀림응력을 구할 수 있다.

§

.

(2)

3.1 하중의 작용으로 인한 보 내부의 휨변형

￭ 하중의 작용으로 순수 굽힘변형이 발생하게 되면 ➡ 아래 그림의 좌표를 기준으로 볼 때 변형률은 y의 위치에 따라 다르지만 x나 z의 위치에 따라서는 다르지 않음 - -k _Eff _3g i VE 'VE_RI- FEI 701 VI'd-71 - Hit .

Fo _EE TIDEEl Bottom Echt I 415-17t -42T Her

( 74271 - I Hot Zen)

A

F

C-a

a÷g=i→÷e=÷

_÷ . . _" 9th-2271. Mount

a

. "

,

(3)

03 / 휨응력과 전단응력 59 -∙부재가 아래로 볼록한 변형형상을 하게 되면, 부재의 상단은 압축이 되고 하단에는 인장이 발생하게 되는데 압축과 인장의 경계(압축이나 인장변형을 하지 않고 본래 의 길이를 유지하면서 구부러지기만 하는 면을 이루는 곳이 중립면(neutral surface)이다. ∙중립면상의 모든 선분은 길이의 변화가 생기지 않는다. 즉 중립면상의 변형률은 ‘0’ 이다. ∙중립면과 부재축(아래 그림에서는 y축)에 대한 단면과의 교선을 중립축(neutral axis)이라 한다. ➡ 단면의 모양에 관계없이 중립면과 중립축은 존재한다. "

÷÷÷÷÷÷±÷÷÷⇐÷÷

.

¥

?

EF.FI

am . ①

f

Ex -- - • Ex =_o *

I

are .

I

9J

-- E.

②

f 0=0 Tmm, -

Flaky

(4)

03 / 휨응력과 전단응력 ￭ y의 위치에 따라 변하는 변형률은 어떻게 구할까? ° ETZEL Iot 77111 : L -- r . O P

¥-1

" man . P, 7 Pz , Mi ) M2 ET . at , of

Pt

Kd '_e f -- r -O I °

O

:@

y

,

so ox

f¥¥i

- re .

100M¥

_µ

p -y E O

Is

He = =

to

e - _{on ,} ox

=p

. oo old _=p -y)00

(5)

E = --

EE

--

yo

÷

.

-a÷÷

⑤

-- =

-E

"

±¥

(6)

Problem_01

Solution

''_i

A. C. D. E El VITAE Hen E LIE ' _Iet

.

I,

ex ₎ _A - to -001

) E2f¥odB OHH EET _Y ₄₈₁ EZ

c =D = E = - O. 001

agony plugin HE I _¥712048

(7)

-03 / 휨응력과 전단응력 62 -Problem_02 다음 그림과 같이 모멘트 하중이 작용하는 단순보가 있다. 이 단순보의 곡률반경 ρ=142m 일 때 보의 단면 내 A점과 B점에서의 수직변형률 εAx, εBx를 구하여라. Solution Ct) ° P = _142M , -• I ⇐ OHH A 771-7147121 2 = +0,2M c -I it ) It • I ¥ OHH B 771-7147121 2 = - 0.1M O, 2 . -. Eax =

-f-

= - - =

-0.001=-1,0×10-3

( of' § ) 142 .: EBx = -

¥

= - = 0.0007 = 17.04×10-4 ( Otto ) 142 E -- 2.0×105 Mpa

TA

. As .

To

p p sore .

)

- _i _- -x I 00cm ⇒ on.

"u*±÷

. .

!

* . a X x to EKE a. .

.ee

.. .

÷

:&

Emr -

Yi

-- ④

(

a

{

o = 0 TA = E . Eon , = 2. of lot x

(

- 1. of w -3) a

-(

Jb

-- E .

Ep

x - 2. ox Iott ( n . 04×104 ) =

-%

(8)

3.2 휨모멘트에 의한 보의 휨응력(수직응력)

￭ 휨모멘트 M에 대응하는 응력 분포를 이용하여 굽힘을 계산하기 위한 식을 유도할 수 있다. z E z E E _x x = ×

e

= × -

_r

=- ×

k

×

s

( ) 여기서 : 중립축에서부터 미소면적까지 거리 (좌표축을 어떻게 설정하느냐에 따라 ‘z’는 ‘y'로 바뀔 수 있음). ➡ 수직응력은 에 따라 비례적으로(선형으로) 변한다는 것을 알 수 있다 ￭ ➡ I27 . VINE

00

③ Ji Er_6%29 →

IEEE

no * g-

⇒

P A nu

1¥

da ' G .

-01

.im#-..D

_Do

.

¢

D

' "

0¥

_E . I

(9)

Be

⑨

⑧¥i÷÷¥÷÷÷

÷÷÷÷÷÷÷÷

-I to 38

#¥¥⇒

. .. .. . . ⇐⇒ . e . . a- o -y Iw_leg

#

¥

. 3oz Iri ' = _woo ④

(10)

03 / 휨응력과 전단응력 ￭ 휨응력(수직응력) M I z : 휨모멘트 : 단면2차모멘트, 단면2차관성모멘트 : 중립축으로부터 거리 ➡ 만약 아래 그림과 같이 y축이 단면의 높이 방향 축이라면 0

( He_EELHOTKT _IESE _4ft H I ETE

415-1771-71117121₎

ztzzsozo-ke.fm#aHo8KtLfolle9r2t2.y.xZV-tFLF

0¥of. +2 I - at

I

_tiiimm

/B§µmm

ZHI - _> x CN

&

.A) \ . A FIEIVHH FETE 481-27 DE 2=25 MM . 1321 FIEIVHH FETE 481-27 DE 2 = 10 _MM +_y q ° C 28 FIEIVHH FETE 481-27 DE -N.A t 2 = - 25mm -y

÷¥⇐¥¥=ea÷I←FTa¥

Frisian

'÷q¥t*¥

air . a-

IT

÷

B.

(11)

03 / 휨응력과 전단응력 65 -￭ 단면2차모멘트 I ➡ 폭 × 높이 • z축에 대한 단면2차모멘트 ➡ 기준축인 ‘z'축과 나란한 변이 폭에 해당하는 ‘b'가 된다. • y축에 대한 단면2차모멘트 ➡ 기준축인 ‘y'축과 나란한 변이 폭에 해당하는 ‘h'가 된다.

⇒

DO

0 2 oil _4-2181- VE -- b

O

O 0 Y'70114-2181 VI -- h

O

it

:

o¥¥

_Hiroo _, Either Myst EIHot.HU .

o¥¥fIHo1

_Either

Mz

2t Giotto Ether . y 2 'Ii My _'EIyLt8dHIo , et. ME 124-814101 Et. My Mt Mz

¥)Mz

(

Ig

= Iz =

t.tt?*

.

442 )

!

= 42 . b

r¥¥M

. If M ⇒

afeE7EoH3ne2Km

D

EEE

. "

¥

.

.si

.

M②

⇒ Iz b # mrs

b=4om①

(12)

03 / 휨응력과 전단응력 Problem_03 그림과 같은 단면을 갖는 어떤 구조물에 하중이 작용하여 휨모멘트 M=260kN.m가 발생하였다. M=260kN.m가 발생한 위치의 단면에 발생되는 최대 휨응력(수직응력)을 구하여라. Solution

⇒

¥) ° ₁₄₌₂₆₀ kN .m >

t _My 471 1420121 Hot 7121 1¥ EEZ 271-71 HEE _84227819 -.

1) _My = 260 kN ._M Od 784

.

My

E _YEE _FIE Z FIE 0491471 EZ I E _Iya H. GELA

. .

zy=

= = o . o " m "

y

•

f-It

. 2 → Oman , =

⇒

. zmax 1400mm Ig Ly My = ₂₆₀ _kN . m My = _200kW ._m

Itt FETE 271 - Kuch # ol EIN of 81-0-2

.

2max= -1200mm C KITH Fbc_{of }} ₎ _I _Ef _VINI _El _It

)

. Zmax - - 200mm C Zktl

7619717527 VI. the III )

.! Jmax I ←

¥0010.2

) = -52,000,000 Nlm, = - 52×106 Nfmz = - 5217Pa ( Fb Is ) Oi 001 Tn Tsa Jmax =

-¥000

C -o.2) = 5214Pa ( 360171) O i 00 I

2)

Mz

= 260 kN ._M Od Tff

.

Mz

E

ZEE

FIE Z _FIE ttttibkltl EZ I E

Idk

H. GELA . ° ₌

Iz

= 2. bbnx ,O -4M 4

Mz

T.ie#-o.y--an.5MPacEbod2otIqygIzoommMz--

_Lz

_!

Got

'

µz⇐Iz=w3

-

My⇐Iy=y

w '

q

÷⇒¥④T⇐¥④→oi#o⇐÷f¥

If

'⑥

④

→

Is

so

f)

Ig

LF

-¥7

-

0¥

i¥⇒

:#

'

.

too

O

a

E. ID

(13)

03 / 휨응력과 전단응력 67 -Problem_04 스트레인게이지가 부착된 직사각형 단면을 갖는 강부재(steel bar)가 그림과 같이 모멘트 하중을 받고 있다. 부재의 측면에 붙여진 스트레인 게이지는 부재의 길이 방향 변형률을 측정할 수 있다(단, G=200GPa이다). 1) M1=300N.m, M2=0 일 때 스트레인 게이지의 변형률 값을 구하여라 2) 위 1)의 하중조건에서 강부재에 발생될 수 있는 최대 압축응력(변형률)과 최대인장응력(변형률)을 구하여라 3) M1=0, M2=300N.m 일 때 스트레인 게이지의 변형률 값을 구하여라 4) 위 2)의 하중조건에서 강부재에 발생될 수 있는 최대 압축응력과 최대인장응력을 구하여라. Solution EE ya I IEZH 017110171 i _VEAZIE

⇒

x

Typ

) 732772-6814 Yet . → x 1) Hooke 's VIII. It 96527 I' TE 0148kt . ( f- E- E ) ( F- - MEY ) _→ _EY. .az#EixiolHEItElIt77tHT HU

Mi

Mi → _{01512101145275481-272} _Etat . E--

E

--

⇒

tf

-

H

=

-FEI

- n

.a¥÷c⇒¥¥÷

+1

• I ₌ =

¥3

= 1717,1760mm 4 CITE E - ) X _Mi -- Mx

30

X 12

#

.: E =

--

- 0,00023 - 2.3×10-4 cot

@o_xioooxnn.n

bo = = it )

µ§€

€200

CTPa - 200×1000 Mpa = 200×1000 N/mm2 300 Nim = 300×1000 _N . mm

2)

① kith

_¥529

_tcmax

M , : .

Jcmax

=

-g-

. ymax = -

,i÷E

. 18=-69.4 N/mmz= - 69.414Pa x ② Zkm of} VIBE Eamon_, i. Eemax --

IE

= -69.4200×1000 = - 01003

O

⑨

*

.

ok

at ⑧ toff Tiz

¥¥e

-I

. F-

¥z=¥.z=

-Mx → Ix

3

"

↳÷I

OF

" Menon

_{.m⇒mz⇒Iy=u3}

(14)

-of

Triste

in

. a .

sirens

--M

? → 2x mm

'¥nma*

f- xo -- o Juan Jmax - a

LIFTS

-ftp.aarmax-i.io#E.n.*

Innit

(15)

03 / 휨응력과 전단응력 68 -③ Zlata I ₂₇ Jemax . i.

Imax

= -

M÷

. ymax =

-EGG

= 69.414mm. = 69.414Pa ④ ZI -0401¥ VITAE Eemax . o:

Eemax

= = E 200×1000 = ₀₁₀₀₃

3)

Hooke 's VIII. It 96527 EYE 0148kt .

( f- E-E ) ( F- - MEY

) _→ _EYE _EET _Hola I 945-1771214 HU

{ =

Ez

=

÷

f-

It

)

?④

=

-¥j④

- _{01512101145275481-272} _star . y y • I ₌ =

3k¥

= 24 . ooo mm 4 Ms -- My y ": E = oooo 625 = 6.25×10-4

copy

. ,

IT

"-

Iii!!

€200

CTPa = 200×1000 Mpa = 200×1000 N/mm2 I 300 N 'M = 300×1000 _N . mm My -4) ①

Otmar

KIMI

₅₂₉ . ° .

Jem

ax = - .

¥

Xmm

, =

--3*00-1-10

) = 125.0 _N/mmz = 125 MPa 24,000 y ② Etat _of_¥529 _Tommi i. Jcmax = -3-00×-1000 - CIO ) = - 125M Pa 24,000 in

④@@=

'

oT⇒€

¥03

O

÷÷

3*203

(16)

03 / 휨응력과 전단응력 Problem_05 다음 그림과 같은 WF단면(H형강 단면)에 발생되는 최대휨인장응력( m ax)과 웨브와 플랜지 의 접합부에서 발생되는 휨압축응력( )을 구하여라(단, 휨모멘트 M=25kN.m이다). Solution y Iy = BHI - Ih 12 12 ① ' Etat ¥6971529 Otmar,

I

-Nit - H 1h Temax=

-MIL

. C - zmax , → t t

I

Ly

1-13-1

b12 ° Ig =

B,

- =

13¥13

= 400×4003-385×3603 b-- B- t 12 I = 6,366,453,333mm 't

a Eff 'EMlH 71710121 EINE EIII =

6.366×108

MM " . ° . Otmar = -

0¥

. 200

f-) =

17.8514Pa

17.85 Mmm- = 6.

366×108

② EMEA - EZIH 'I EI ¥476 ¥527 , '

f

-•

" we , flange .: To =

--148

. z =

-fiooo

) = - 17.069 Mmm -It's

2180mm

_Ig 6.366×108 = - 17.069 Mpa t 01715

>

affirms

⇐

w¥eEIan9e__

#

=

t¥⇐

÷

µz= 25kW 'm

¥±⇐÷¥¥¥÷i÷÷E÷#÷

. "

⇐¥¥÷¥¥

x . . ' HTM . ⇒ I

⇒

④⑦

f)

⑤

¥⑧7⇐€÷¥¥

(17)

03 / 휨응력과 전단응력 70 -Problem_06 다음 그림과 같은 T형 단면에 발생되는 최대휨압축응력( m ax), 최대휨인장응력( m ax), 웨브와 플랜지의 접합부에서 발생되는 휨응력( )을 구하여라(단, 휨모멘트 M=25kN.m이다). Solution BE M = Myolct. of } ° Kmox =

-It

.2em①

- zygoma o¥§ qq.yq.ee

¥¥¥jyt¥°t

'T

Ly _{415-1787171013771-7147121}

(

. Otmar =

-⇒

-2tmaxf-EY.zouhyodfholu-tab.IE

)

a 784. Eel TIME 0124 ototof

819415-1787171012771-714

HM

. Je -

⇒

-20--267.73

only we _bet _flange 2-681-4771-214714.

Ly

① Y } t ICHI EIDE 010-2 _{EFE 012448140k} fleet. ( Myst 24%81.0-2 ZEE Etf

. VIEMEBOI ZIZHI Etat )

EHOEIH.GE GHEE 94919 . • 2- =

A¥=¥~t9I

= 133.75mm

-134mm

. . Hit Az _{20×1801-140×20}

-LAI

t.FI

.

_4¥

Hi

:*

.

In

. . #

?

#

Ig

= It

tazz

②

_{U-IEHHYVECYE.tl#OlezIy=bhYzH.E8E4ofta-.odtt}

_TEH -EZHOK 819 .

-LAI

-T.I

N.tt - y

-744mm

¥m

-- izumm 'to

Iwao

I

12 " ' ' o -• 20×1803 20×1403 o .

Ig

= -12 t

(20×80×442)

t It ( 20×140×564 = 12,8117 , boo t 13,354 , 133 = 26,171,1733 _mm 't I 26.117×106mm 't Xe

---fHaq÷

r=-⇒•€

gqBi¥"

the . EW !! gtfo

_I

-7140,1202

-T.P.EE

07¥

16,689,600

¥47,33

€5,563733

mm 't I 25.6×10 '0mm4

(18)

HEE

.

*¥E¥=ag

y

¥E¥

'

(19)

03 / 휨응력과 전단응력 71 -③ _Jcmax i _52kt _76%7529

photo

- 134=66 ) :. Jemmy =

-1¥

. Zeman , =

-25×103×103--660=-63.05

Nlmmz = - 63.05 Mpa 26.117×106

(

_N , mm -4412764 43.94 ④ temax i ZIM 36971829 o: Deman , =

-⇒

- Zeman , = - 25×103×1032. C- 1341 = 128 Mmm2 = 12814Pa 26.117×106 -⑤ J : Web It flange 2784-4829 L A 146mm IV. A - . -÷ r =

-¥2.2

= - =

④

-43.9414Pa

IE

-- 134mm

FE

_I

.

-0

€25.6

- 6454 Mpa

If

→

°

On

. . °

I

. 131.1 Mpa

O

25.6 -44,9 Mpa

(20)

3.3 전단력에 의한 보의 전단응력

￭ 하중(외력) 작용 ➡ 보의 각 단면에는 내력(축력, 휨모멘트, 전단력, 비틀림력) 발생 ➡

내력 중 전단력 S로 인해 전단응력(shear stress) τ가 단면 내에 분포

￭ 직사각형 단면의 전단응력 분포

※전단력은 'S'(Shear force) 혹은 'V'(Vertical force)로 표기

￭ 직사각형 단면 내 임의 요소의 전단응력 ￭ 전단응력은 보의 길이 방향 평면을 따라서도 분포하게 되는데, 요소 에는 단면에 평행 한 전단력에 의한 수직전단응력과 길이방향의 수평전단응력이 발생한다. 그러나 보의 최 상단과 최하단의 요소 , 에서 수평전단응력은 0 이 된다(왜냐하면 보의 윗면과 밑면에 는 길이방향으로 수평하게 작용하는 어떠한 하중도 존재하지 않기 때문). 수평전단응력이 0 이

O

- O -- -

*

Is

¥e⇒

¥¥E¥

'

2⑤

"

(21)

03 / 휨응력과 전단응력 73 -￭ 전단응력 (단면 내에서 실제로 발생하는) S G I b : 전단력 : 단면1차모멘트(전단응력을 구하려는 위치에 따라 값이 변함) : 단면2차모멘트, 단면2차관성모멘트 : 단면의 폭(전단응력을 구하려는 위치에서) ➡ 전단응력 τ의 최솟값

t

min은 보의 최상단과 최하단에서 발생하는데 그 이유는 단면1차모멘트 가 0이기 때문, 최댓값

t

max은 보의 중립축에서 발생하는데 그 이유는 중립축에서 단면1차 모멘트 가 최댓값을 갖기 때문. ➡ 중립축에서부터 만큼 떨어진 위치의 바깥쪽 면적에 대한 단면1차모멘트 는 그림과 같이 구한다. 즉 진하게 표시된 부분의 면적에 대한 단면1차모멘트를 구하면 된다. × × ➡ 그림을 기준으로 좌표축을 고려할 경우 I, G의 기준축은 다음과 같다. IT I - - -84% DE HEI E It 788¥ H- ol El HU .

qgaen

¥1

← Zara =

Is

LEI

30

Em

km

?

-IEEE

.

@xl0

(22)

03 / 휨응력과 전단응력 Problem_07 그림과 같은 단면에서 A, B, C, D 위치에 대한 단면 1차모멘트 G를 구하여라. Solution • c ( 2, = 100mm , 22 = 150mm ) ②B 21 Ao- - -22 Doo

① A 94214 FIDE IET EDIE soo

CTA =

(200×200)×100=4,0×106

mm3 too •

in

:

②

1394214

-407121. EDIE 100 • A . _⑥ B to

CTB

=

(200×100)×150=3.0×106

mm's v 200

③

CHILI

-407121. EDIE 0

&

c . 200

Ctc

=

(200×0)×200=0

V

④

CTD

(200×50)×1175=1.75×106

•v

I

!

±

⇒

-

-P

o

"

(23)

-03 / 휨응력과 전단응력 75 -1) 직사각형 보의 최대 전단응력 ➡ 직사각형 보의 최대전단응력 m ax은 평균전단응력 의 1.5배

⇐

"

¥¥÷÷÷÷÷÷÷÷÷

. e-

¥i±=÷

= A =

=3z2a①

⑦

§

332am -- 1.52am 7- _x Imax

_-34¥

(24)

2) 원형 보의 최대 전단응력

(25)

03 / 휨응력과 전단응력 77 -Problem_08 그림과 같은 직사각형 단면 내의 최대 전단응력 m ax 과 최소 전단응력 m in, 중립축으로부터 아래쪽으로 120mm 떨어진 A점에서 전단응력 를 구하여라(단, 전단력 S = 60kN이다). Solution ¥. Htt 788

, FIFE-4 DIE, Hof Zmax It 2mm E 7-481-711 EEE 214827 E

THE 'T Taner =

at

I 01%81 . GI Etan . Imax =

32-2

_aver =

-32¥

_TBH } Zmtn = o → to - toted . Imax =

-34¥

. 2mm = O

① Zmax → EYE _OHH 714527 _ZE ₄₈ _THE _Eloi

. S - Gy 60×1000×2.25×106 6×2.25×1010 . . Imax = - = - =

a.sn#o--l.5N/mmz--l.5MPa

Iy . b 4.5×108×200

(

5=60×100 ON , b -- 200mm , Iy = = 45×10 8mm 't

Gy

= 200×150×175=2.25×106 _mm } → Raver_01%81-172 _i _Imax = 1.

56¥00

= 1.5 MPa 200×300 ② Zmtn a CIOFFI Eliot_-4 , 7481401114 2E 481-2121141 481-21 ¥01.E EZE '' O' ' out . 60×1000 X O :. 2mm = - ₌ o 4. 5×108×200 Tae

(26)

Tmax=-03 / 휨응력과 전단응력 ③ Za

60×1000×810,000

.: 2A =

-

= 0.54hPa 4.5×108×200

Gy

= 200×30×135=810 , ooo mm 3

[

135 30 • -200 * 7TH-7476 -447-20-1 ₂₇₄₅₂₇ EE. o

g

' _1747145274 _EEK

- → Taner= Tsa = 1.014Pa C EEE # EEE29)

- . -

f

. 1.514Pa

IT

= Zmax

0.5414Pa

O

⇐