4 장 보의 해석과 설계
예술관 구조해석 보의 정의
재축방향에 직각으로 작용하는 하중이나 휨모멘트를 받는 휨재
휨모멘트에 의해서 보부재단면에는 재축방향으로 인장과 압축응력이 생기며, 재축에 직각방 향 즉, 하중이 작용하는 방향으로 전단력이 생긴다.
큰 보(Girder)
기둥과 기둥에 의해 지지되는 보.
바닥판의 하중 및 작은 보의 하중을 기둥으로 전달하는 역할
작은 보(Beam)
큰 보와 큰 보에 의해 지지되는 보 바닥판의 하중을 큰 보로 전달하는 역할.
큰 보 사이에 배치되어 큰 보의 하중을 감소시켜 줌
4.1 휨 해석의 기본사항
(1) 해석을 위한 가정
a. 변형 전에 부재축에 수직한 평면은 변형 후에도 부재축에 수직하다.
→ 평면유지의 가정(보에 생기는 변형률은 중립축으로부터의 거리에 비례)
b. 철근에 생기는 변형률은 같은 위치의 콘크리트에 생기는 변형률과 같다.
→ 하중을 지지하는데 철근과 콘크리트가 일체로 거동함을 의미
c. 철근과 콘크리트의 응력은 철근과 콘크리트의 재료실험에 의한 응력-변형률관계로부 터 계산할 수 있다.
(2) 설계를 위한 가정
a. 콘크리트의 인장강도는 무시한다.
b. 콘크리트는 압축변형률이 0.003에 도달했을 때 파괴된다.
→ 콘크리트의 휨압축 변형에서 변형률 연화역(strain softening) 구간의 일부까지 포함 함을 의미
c. 콘크리트의 압축응력도-변형률 관계는 시험결과에 따라 직사각형, 사다리꼴 또는 포물 선형태 등으로 가정할 수 있다.
4.1.1 인장 변형률
· 순인장 변형률
: 크리프, 건조수축, 온도 변화 등의 영향을 제외하고 계수하중에 의하여 최외곽 인장철근에 생기는 변형률중립축 거리 c : 압축응력의 연단으로부터 중립축까지의 거리
⇒
⇒
003 . 0
u= e
c
d
tet
4.1.2 휨부재의 변형률 한계
· 균형변형률 상태 : 콘크리트의 변형률이 극한변형률인 0.003에 도달함과 동시에 철근의 변형률이 항복변형률
에 도달하는 상태· 축하중을 받는 기둥은 압축지배 단면, 휨모멘트를 받는 보와 슬래브는 인장지배 단면 의 전형적인 예이며, 축하중과 함께 지진하중이나 풍하중과 같은 수평하중을 받는 기둥은 변화구간의 단면에 속한다.
· 휨부재의 연성을 확보하기 위한 최소허용변형률 : 0.004 또는
중 큰 값- 휨부재는 공칭 축하중강도에서 최외단 인장철근의 순인장변형률
가 최소허용변형률 이 상이 되어야 한다.
그림 4.1 콘크리트의 응력과 변형률 4.1.2 콘크리트의 압축응력도
4.2 단근직사각형보의 해석
4.2.1 등가응력블럭의 개념실제 포물선 응력분포를 정역학적으로 등가인 직사각형 응력분포로 대치
→ 응력의 합력(면적합계) 및 응력의 중심이 일치되어야 함
f
ck ckck
f
f k
3 =0.85c
중립축
a
c a = b 1
2 2 c a k =
∴ 직사각형 응력의 크기를 0.85 f
ck
로 고정시킬 때직사각형 응력의 블록의 깊이 a는 β
1
c 로 결정된다. (a = β1
c) 여기서 c : 압축응력의 연단으로부터 중립축까지의 거리β1 : 콘크리트의 강도별 압축응력-변형률 시험결과
≤
≤ a)
≤ 일 때
b)
일 때
≧ *
최대철근비와 최소철근비
· 최대철근비
m ax
콘크리트의 압축영역에 비해 과다하게 철근이 배근되면 철근의 인장보다 콘크리트의 압축에 의해 휨부재의 파괴가 발생하며, 콘크리트의 파괴 양상은 취성파괴이므로 이러한 취성파괴가 발생하는 것을 방지하기 위하여 휨부재에서는 인장철근의 순인장변형률은 최소허용변형률 이 상이어야 한다.
최소철근비
m in
- 철근비를 너무 작게 하여 설계된 보에서 균열단면의 휨강도(
)가 균열을 일으키는 모멘트 (Mcr
)보다 작을 경우에 보가 취성 균열파괴될 수 있으며, 사용하중상태에서도 균열이 생기는 것은 바람직하지 않으므로 균열을 방지하기 위한 최소한의 보강을 하여야 한다.보의 연성파괴 : 단근보의 인장철근이 최대 및 최소 철근비 사이에 있도록 배근되었으면, 보의 휨파괴는 철근의 응력이 f
y
에 도달하였을 때 생긴다.4.2.4 단근직사각형보의 설계강도
단근보의 인장철근이 최대 및 최소 철근비 사이에 있도록 배근되었으면, 보의 휨파괴는 철근 의 응력이 f
y
에 도달하였을 때 생긴다.LESS THAN 0.003
그림 4.2 보의 내력과 저항모멘트 (3) 보의 저항모멘트 [= 공칭모멘트(nominal moment)]
· ·, 설계목표 : φ×M
n
(설계강도) ≥ Mu
(소요강도)⑴ 철근비 검토
min
≦ ≦ max
(4.5)⑵ 등가응력블럭의 깊이 a산정 C= 0.85 f
ck
abT= A
s
fs
= As
fy
인장철근의 항복( fs
= fy
)에 의한 한계상태 도달→ 평형조건에 의해 C = T 이므로
⑶ 공칭 휨강도 M
n
M
n
= C 또는 T × 응력 중심거리= A
s
fy
(d- a 2 )◉
또는 를 이용한 공칭 휨강도 Mn
간단히 구하기 Mn
= As
fy
(d- a2 ) (
를 대입하면 )
=
=
·
·
=
［
］ ⇒
=
·
·
=
⇒
,
◉ 도표를 활용한 공칭 휨강도 M
n
간단히 구하기ω .000 .001 .002 .003 .004 .005 .006 .007 .008 .009
0.000.01 0.020.03 0.040.05 0.060.07 0.080.09 0.100.11 0.120.13 0.140.15 0.160.17 0.180.19 0.200.21 0.220.23 0.240.25 0.260.27 0.280.29 0.300.31 0.320.33 0.340.35 0.360.37 0.380.39
.0000 .0010 .0020 .0030 .0040 .0050 .0060 .0070 .0080 .0090 .0099 .0109 .0119 .0129 .0139 .0149 .0158 .0168 .0178 .0188 .0198 .0207 .0217 .0227 .0237 .0246 .0256 .0266 .0275 .0285 .0295 .0304 .0314 .0324 .0333 .0343 .0352 .0362 .0371 .0381 .0391 .0400 .0410 .0419 .0429 .0438 .0448 .0457 .0466 .0476 .0485 .0495 .0504 .0513 .0523 .0532 .0541 .0551 .0560 .0569 .0579 .0588 .0597 .0607 .0616 .0625 .0634 .0644 .0653 .0662 .0671 .0680 .0689 .0699 .0708 .0717 .0726 .0735 .0744 .0753 .0762 .0771 .0780 .0789 .0798 .0807 .0816 .0825 .0834 .0843 .0852 .0861 .0870 .0879 .0888 .0897 .0906 .0914 .0923 .0932 .0941 .0950 .0959 .0967 .0976 .0985 .0994 .1002 .1011 .1020 .1029 .1037 .1046 .1055 .1063 .1072 .1081 .1089 .1098 .1106 .1115 .1124 .1132 .1141 .1149 .1158 .1166 .1175 .1183 .1192 .1200 .1209 .1217 .1226 .1234 .1242 .1251 .1259 .1268 .1276 .1284 .1293 .1301 .1309 .1318 .1326 .1334 .1343 .1351 .1359 .1367 .1375 .1384 .1392 .1400 .1408 .1416 .1425 .1433 .1441 .1449 .1457 .1465 .1473 .1481 .1489 .1497 .1505 .1513 .1521 .1529 .1537 .1545 .1553 .1561 .1569 .1577 .1585 .1593 .1601 .1609 .1617 .1625 .1632 .1640 .1648 .1656 .1664 .1671 .1679 .1687 .1695 .1703 .1710 .1718 .1726 .1733 .1741 .1749 .1756 .1764 .1772 .1779 .1787 .1794 .1802 .1810 .1817 .1825 .1832 .1840 .1847 .1855 .1862 .1870 .1877 .1885 .1892 .1900 .1907 .1914 .1922 .1929 .1937 .1944 .1951 .1959 .1966 .1973 .1981 .1988 .1995 .2002 .2010 .2017 .2024 .2031 .2039 .2046 .2053 .2060 .2067 .2074 .2082 .2089 .2096 .2103 .2110 .2117 .2124 .2131 .2138 .2145 .2152 .2159 .2166 .2173 .2180 .2187 .2194 .2201 .2208 .2215 .2222 .2229 .2236 .2243 .2249 .2256 .2263 .2270 .2277 .2283 .2290 .2297 .2304 .2311 .2317 .2324 .2331 .2337 .2344 .2351 .2357 .2364 .2371 .2377 .2384 .2391 .2397 .2404 .2410 .2417 .2423 .2430 .2437 .2443 .2450 .2456 .2463 .2469 .2475 .2482 .2488 .2495 .2501 .2508 .2514 .2520 .2527 .2533 .2539 .2546 .2552 .2558 .2565 .2571 .2577 .2583 .2590 .2596 .2602 .2608 .2614 .2621 .2627 .2633 .2639 .2645 .2651 .2657 .2664 .2670 .2676 .2682 .2688 .2694 .2700 .2706 .2712 .2718 .2724 .2730 .2736 .2742 .2748 .2754 .2760 .2765 .2771 .2777 .2783 .2789 .2795 .2801 .2806 .2812 .2818 .2824 .2830 .2835 .2841 .2847 .2853 .2858 .2864 .2870 .2875 .2881 .2887 .2892 .2898 .2904 .2909 .2915 .2920 .2926 .2931 .2937 .2943 .2948 .2954 .2959 .2965 .2970 .2975 .2981 .2986 .2992 .2997 .3003 .3008 .3013 .3019 .3024 .3029 .3035 .3040 .3045 .3051
표 4-2 단근 직사각형 보의 휨강도(
,
)［예제 4-1］그림 4-5와 같은 직사각형보의 설계강도를 계산하라.
재료의 강도는
, fy
= 400MPa로 한다.［풀이］
철근비
×
×
표4-1에서
, fy
= 400MPa일 때
m ax
m in
따라서 철근비는 최대 철근비와 최소 철근비 사이에 있다.
식 (4.14)로부터 등가응력블럭의 깊이는
× ×
× ×
식(4.15)로부터 공칭강도는
× × ×
×
· 설계강도는
× ․또는, 식(4.16b)로부터
× φ M
n
= φ fck
b d2ω(1 - ω/1.7) × × ×
× × ×
․
위의 계산에서 φM
n
의 값이 ․와 ․로 차이가 생기는 것은 끝자리 올림 에 따른 것이다.최소 및 최대철근비
m ax
· 보의 연성이 감소하여 취성파괴가 발생하는 것을 방지하기 위하여 휨부재에서는 인장철근의 순인장변형률은 최소허용변형률 이상이어야 한다.
≥
min ,
, min
압축 및 인장내력 값은 다음과 같고,
, 여기서 ρ = As
bd이므로,
⇒
×
≥ min
⇒ max
≥ min
⇒
max
인장지배 단면(
≥ min
)의 철근비 한계⇒
max
003 . 0
u= e
c
d
tet
인장지배 단면(
≥ min
)의 철근비 한계 max
(주의 :
≥ )최소철근비 규정
- 철근비를 너무 작게 하여 설계된 보에서 균열단면의 휨강도(
)가 보에 균열을 일으키는 모 멘트(Mcr
)보다 작을 경우에는 취성 균열파괴될 수 있으며, 사용하중상태에서도 균열이 생기는 것은 바람직하지 않으므로 균열을 방지하기 위한 최소한의 보강을 하여야 한다.
≥
균열 모멘트
,
⇒
사용하중상태에서 철근의 응력을 f
s
= 0.6fy
로 하고 응력중심거리 jd= 7/8d 라고 하면, 단면의 휨강도 Ms
=T․jd= As
fy
jd= ρbd(0.6 fy
)(0.9d) = 0.525ρ fy
b d 2
여기서, d≃0.9h
≥
→ 0.425ρ f
y
b h 2≥0.105b h 2 fck
∴
≧
설계기준에서는 이런 점들이 고려되어 최소철근비를 다음과 같이 규정하였다.
m in
(4.3)
또는 f
ck
≤30 MPa인 콘크리트는 MPa으로 하여
m in
(4.4)위 두 식으로 계산되는 값 중 큰 값 이상으로 하도록 하며, 일반적으로 사용되는 콘크리트와 철근에 대한 최대철근비와 최소철근비는 표 4.1과 같다.
※ 만일, 기초판이나 춤이 큰 보와 같은 단면적이 큰 부재의 경우에는 해석상 필요한 철근량보 다 13 이상 인장철근을 늘리면(즉, 43 ρ를 사용시) 위의 최소철근비의 적용을 받지 않는다.
예) 다음 단근 직사각형 보의 공칭휨강도를 계산하시오.
* 재료강도는
