2008년 3월 고1 모의고사_ 수학 정답,해설

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2008년도 3월 고1 전국연합학력평가 정답 및 해설

• 수리 영역 •

정 답 1 ② 2 ⑤ 3 ③ 4 ④ 5 ④ 6 ① 7 ④ 8 ⑤ 9 ① 10 ① 11 ③ 12 ⑤ 13 ② 14 ④ 15 ② 16 ③ 17 ② 18 ① 19 ⑤ 20 ③ 21 ④ 22  23  24  25  26  27  28  29  30  해 설 1. [출제의도] 제곱근의 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다. _{ }__{ }

_

_{ }          2. [출제의도] 제곱근의 근삿값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. _{} 



_    __ _ ≒ _   3. [출제의도] 다항식의 덧셈과 뺄셈을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.                          4. [출제의도] 집합의 연산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.      ,    ,   에 대하여 ∪을 벤 다이 어그램으로 나타내면 다음과 같다. ∪_{    이므로 구하는 원소의 개수는 이다.} 5. [출제의도] 연립부등식의 해를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.



   ≦    ⋯ ㉠    ≦    ⋯ ㉡ 부등식 ㉠을 풀면  ≧    ⋯㉢ 부등식 ㉡을 풀면  ≦  ∴  ≦  ⋯㉣ 주어진 연립부등식이 해를 가지려면 ㉢과 ㉣의 공통 범위가 존재하 여야 한다. 따라서 그림으로부터    ≦ 이어야 한다. ∴  ≦  그러므로 의 최댓값은 이다. 6. [출제의도] 경우의 수를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다. 먼저 회장을 명 뽑는 방법은 가지이고, 나머지 명의 회원 중에 서 명의 부회장을 뽑는 방법의 수는 다음과 같다.  × _   따라서 구하는 방법의 수는  ×   이다. 7. [출제의도] 상관표를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다. 차(점) 차(점)  이상_{～ }미만  ～   ～   ～   ～  합계 이상_{～ }미만 _{ }  ～        ～        ～        ～    합계       위의 상관표에서 차 수행평가와 차 수행평가 성적이 모두 점 미 만인 학생의 수는 다음과 같다.              따라서 구하는 비율은 다음과 같다. _×    8. [출제의도] 이차방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.       에서       ,     또는    ∴   ⋯㉠ __{  ×      에서} __{ }_{     }   _{    ,     또는}   _  ∴     ⋯㉡ ㉠, ㉡에서           9. [출제의도] 삼각형의 닮음과 피타고라스의 정리를 이해할 수 있는 가를 묻는 문제이다. 직각삼각형 ABD에서 BD 



 _{ }

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두 삼각형 ABD와 HBE에서

∠ABD는 공통, ∠BAD  ∠BHE  °

∴ ∆ABD∆HBE 따라서 BD  BE  AB  HB가 성립하므로  BE 라 하면 _{      }   , _{  }   ∴ _{  }   (cm) 10. [출제의도] 이차방정식의 근을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다. 이차방정식    _{ 의 한 근이   이므로 주어진 방정식} 에 대입하면 다음과 같다.   _{      }_{ }   _{ }_{   }_{ }            ≠ 이므로      ∴    ⋯㉠ , 이 모두 이하의 자연수이고 ㉠을 만족하는 순서쌍은   ,   의 개다. 11. [출제의도] 무리수의 뜻을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다. 정사각형의 넓이가 이므로 한 변의 길이는 _이고 

AE AH_, _{EF FG GH HE  이다.}

따라서 주어진 각 도형의 둘레의 길이는 다음과 같다. (둘레의 길이)_{ ×   }_{ (무리수)} (둘레의 길이)_{ ×    ×   }_{   (무리수)} (둘레의 길이)  ×    (유리수) (둘레의 길이)_{ ×    ×   }_{   (무리수)} (둘레의 길이)_{ ×    ×   }_{   (무리수)} 12. [출제의도] 삼각형의 합동과 직사각형의 성질을 이해할 수 있는가 를 묻는 문제이다. 그림에서 점 I에 대한 점 H의 대칭점을 점 H′이라 하면 두 삼각형 IEH′과 삼각형 IHD는 합동이므로 사각형 FGHH′과 사각 형 SUVR는 합동이다. 따라서  RS  PQ BF  FH′이므로  RS  _ BH′  _ BE  _{EH′   }    BE  DH  13. [출제의도] 주어진 조건을 이용하여 일차함수의 그래프의 모양을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다. 일차함수     의 그래프가 점 A 를 지날 때     ,    ⋯㉠ 일차함수     의 그래프가 점 B  을 지날 때     , _{   }   ⋯㉡ ㉠, ㉡에서 _{ }   ≦  ≦  따라서  , _{   }   ∴ _{   } 14. [출제의도] 이차함수의 그래프의 모양을 보고     에서 , , 의 부호를 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. 그래프가 위로 볼록하므로 ＜이고, 축이 축의 왼쪽에 있으므 로 _{ }   ＜이다. 따라서 ＜ (거짓) ㄴ. 절편이 양이므로 ＞이다. 따라서    ＞ (참) ㄷ.    일 때   이므로     ＞ (참) 이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

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15. [출제의도] 평행선에서의 각의 성질을 이해하고, 피타고라스의 정

리를 이용하여 정삼각형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

∠ADB  °이므로 ∠DAB  °이다. ∴ ∠BAC  ∠CAE  °

또 _{DEBC이므로 ∠DAB  ∠ABC  °, ∠ACB  ∠CAE  °이다.}

따라서 삼각형 ABC는 높이가 인 정삼각형이다.  AC   × __   __  이므로 ∆ABC  _ ×



_ _ 



  _ (cm₎ 16. [출제의도] 주어진 조건의 두 수를 구하기 위하여, 원의 성질을 이용하는 증명을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.  CD  CE  이고, _CD․_{CE  BC}_{ 이므로} 구하는 두 수는 두 선분 CD, CE의 길이와 같다. 점 D에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 F라 하면  OF 



OD_{ DF} 







_



  _{ } 



  _ _{   } 



__{ } 따라서  CD  BF  OB  OF _{ }    



_ __{   }   



_{ }  CE  AB  BF _{   }   



  _{ }   



  [참고] 두 수 _   



_{ } , _   



_{ } 는 방정식      의 두 근이다. 17. [출제의도] 다항식의 곱셈을 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. 색칠한 큰 정사각형의 한 변의 길이는 _     색칠한 작은 정사각형의 한 변의 길이는 _{  }        _ 따라서 두 정사각형의 넓이의 합은



  _



 



_    



   _ _{   }_{ }_{   }   _ _{ } 18. [출제의도] 피타고라스의 정리와 원의 성질을 이해하고, 삼각비를 이용하여 삼각형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.  AB 



 __{  }_  QA_{ QB}_{ AB}_{ }_{ }_{ }  QA  QB _

사각형 AQBP의 넓이는 두 삼각형 PAB, QBA의 합과 같으므로

_×  ×   × ×   또 ∠APQ  ∠BPQ  °이고, 사각형의 넓이는 두 삼각형 PAQ, PBQ의 넓이의 합과 같으므로 PQ  라 하면 다음이 성립한다.   _ sin°   sin °   _



 × _   × _



 _  이것을 풀면   _{ cm } 19. [출제의도] 삼각형의 닮음을 이용하여 여러 가지 선분의 관계와 각 의 관계를 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. ∆QAP∆QXY이므로 AP  XY  PQ  YQ (참) ㄴ. ∆APY와 ∆BQY 에서  AP  XY  PQ  YQ 이므로 _{AP } YQ  XY ⋅PQ  BQ  XY  PQ  PY 이므로 _{BQ } PY  XY ⋅PQ ∴ AP  _{BQ } YQ   _PY  PY  YQ (참) ㄷ. ㄴ에서 ∆APY∆BQY 이므로 ∠AYP  ∠BYQ  XY는 직선 에 수직이므로 ∠AYX  ∠BYX (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 20. [출제의도] 확률을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다. 남은 수는     이므로 색칠한 첫 번째 칸에 짝수    중 의 하나가 적힐 확률은 _   이고, 또 색칠한 두 번째 칸에 남은 짝수 가 적힐 확률은 _    _이다. 따라서 구하는 확률은 _   × _ _ 이다. [다른 풀이] 남은 수는     이므로 이 개의 수를 개의 빈 칸에 임의로 써 넣을 수 있는 방법의 수는  ×  ×  ×  ×   이다. 한편 색칠한 개의 빈 칸에 짝수를 넣고, 나머지 빈 칸에 남은 개 의 수를 넣는 방법의 수는  ×  ×  ×  ×   이다. 따라서 구하는 확률은 _    _ 이다.

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21. [출제의도] 삼각형의 여러 가지 성질을 이용하여 실생활의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.  BA와 _{CD의 연장선이 만나는 점을 O라 하면 삼각형 OBC는 정삼} 각형이다. 따라서 OE의 연장선이 BC와 만나는 점을 R라 하면  BR  RC이다. 또, 점 E에서 OC에 내린 수선의 발을 P, 점 R에서 OC에 내린 수 선의 발을 Q라 하자. 또 점 R에서 점 B를 지나고 DC에 평행한 직 선에 내린 수선의 발을 S라 하자. 그러면 삼각형의 중점연결정리에 의해 다음이 성립한다.  EP      , QR  EP   두 삼각형 RCQ와 RBS는 합동이므로  SR  RQ   따라서 구하는 거리는        cm  22. [출제의도] 식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.    , _     이므로 _{ }       ×  _{  ×    }         23. [출제의도] 제곱근의 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다. _{ }_{  }_ _{ ×  }_{ }_{ × } 따라서 위의 식을 만족하는 의 배수 은  ×   ×  ⋯  × 이고, 그 개수는 이다. 24. [출제의도] 유한소수의 성질을 이용하여 문제를 해결할 수 있는가 를 묻는 문제이다. 유한소수가 되기 위해서는 분모의 소인수가 나 뿐이어야 한다. 주어진 분모  × ,  × ,  × , ⋯,  ×  중에서 소인수가 나  뿐인 경우는  × ,  × 의 두 경우이다. 따라서   ,   이므로          25. [출제의도] 이차함수의 그래프를 이해하여 문제를 해결할 수 있는 가를 묻는 문제이다. 점 B의 좌표가 이므로 _ 에서   ±  ∴ B   따라서 정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 이다. 점 D의 좌표는      또한 점 E의 좌표도 이므로 _  에서   ±  ∴ E    따라서 정사각형 DEFG의 한 변의 길이는 _이다. 정사각형 ABCD의 넓이는 _{ 이고, 정사각형 DEFG의 넓이는} _{ }_{ 이다.} 그러므로 두 정사각형의 넓이의 합은      26. [출제의도] 연립방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 연립방정식



      _{      } 에서 와 의 값의 비가   이므로   라 하고 주어진 연립방정식을 다시 정리하면 다음과 같다.



          이 연립방정식을 풀면    ∴    27. [출제의도] 이차방정식을 이용하여 주어진 문제를 해결할 수 있는 가를 묻는 문제이다. 초 후에 가로와 세로의 길이는 각각   ,   이므로 직사각형의 넓이는 다음과 같다.       ×         ,    따라서 초 후에 처음 직사각형의 넓이와 같아진다. 28. [출제의도] 주어진 조건을 만족하는 이차함수의 식을 구할 수 있는 가를 묻는 문제이다. 축과 두 점   ,    에서 만나므로 축의 방정식은      _    이고 최댓값은 이므로 이 이차함수의 식은 다음과 같다.     _{  …㉠} 이 포물선이   을 지나므로 ㉠에 대입하면     _{  ∴    } 이것을 다시 ㉠에 대입하여 정리하면          _{   } 따라서 구하는 절편은 이다. 29. [출제의도] 주어진 조건을 만족하는 두 수의 관계를 이용하여 식 의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.                          각 변끼리 더하면

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                       그런데         ,         이므로             ∴      30. [출제의도] 일차부등식을 이용하여 실생활의 문제를 해결할 수 있 는가를 묻는 문제이다. 빌릴 책의 수를 이라 하면 회원으로 가입하여 빌릴 경우의 비용은   이고, 비회원으로 빌릴 경우의 비용은 이다. 따라서 비회원의 경우보다 회원으로 가입하여 빌릴 때 돈이 덜 들 려면         ∴    따라서 권 이상 빌리면 비회원으로 빌릴 때보다 돈이 덜 들게 된다.