⑵ xÛ`+yÛ`+2x-4y-20=0에서 (xÛ`+2x+1)+(yÛ`-4y+4)=25 ∴ (x+1)Û`+(y-2)Û`=25
따라서
중심의좌표는
(-1,2),반지름의길이는
5 이다.⑶ xÛ`+yÛ`-6x+4y+12=0에서 (xÛ`-6x+9)+(yÛ`+4y+4)=1 ∴ (x-3)Û`+(y+2)Û`=1
따라서
중심의좌표는
(3,-2),반지름의길이는
1 이다.풀이
참조
362
⑴(x+1)Û`+(y-3)Û`=9
⑵(x-3)Û`+(y-1)Û`=9
⑶(x-2)Û`+(y+2)Û`=4
363
원의 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은 (x-1)Û`+(y+2)Û`=rÛ` yy ㉠ 이 원이 점 (4, 2)를 지나므로
(4-1)Û`+(2+2)Û`=rÛ` ∴ rÛ`=25 rÛ`=25를 ㉠에 대입하면
(x-1)Û`+(y+2)Û`=25 이 원이 점 (a, 1)을 지나므로
(a-1)Û`+(1+2)Û`=25, (a-1)Û`=16
a-1=Ñ4 ∴ a=5 (∵ a>0) 5 이때 △ABC의 넓이가 8이므로
;2!;_ABÓ_h=;2!;_'¶13_ |3a+1|'13 =8
|3a+1|=16, 3a+1=Ñ16
∴ a=5 또는 a=-:Á3¦:
따라서 정수 a의 값은 5이다. 5
357
두 직선으로부터 같은 거리에 있는 점 P가 그리는 도형 은 두 직선이 이루는 각의 이등분선이다.
각의 이등분선 위의 임의의 점을 P(x, y)라 하면 점 P 에서 두 직선 x+2y+3=0, 2x-y-5=0에 이르는 거리가 같으므로
|x+2y+3|
"Ã1Û`+2Û` =|2x-y-5|
"Ã2Û`+(-1)Û`
|x+2y+3|=|2x-y-5|
x+2y+3=Ñ(2x-y-5)
∴ x-3y-8=0 또는 3x+y-2=0
x-3y-8=0
또는
3x+y-2=0358
각의 이등분선 위의 임의의 점을 P(x, y)라 하면 점 P에서 두 직선 x-3y+4=0, 3x-y-2=0에 이르 는 거리가 같으므로
|x-3y+4|
"Ã1Û`+(-3)Û`=|3x-y-2|
"Ã3Û`+(-1)Û`
|x-3y+4|=|3x-y-2|
x-3y+4=Ñ(3x-y-2)
∴ x+y-3=0 또는 2x-2y+1=0
따라서 기울기가 음수인 직선의 방정식은 x+y-3=0
이다. x+y-3=0
359
⑴
중심의
좌표
:(0,0),반지름의
길이
:'11⑵
중심의
좌표
:(5,0),반지름의
길이
:3⑶
중심의
좌표
:(-2,3),반지름의
길이
:5확인체크 익히기
366
원의 중심이 직선 y=x+5 위에 있으므로 원의 중심 의 좌표를 (a, a+5), 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은
(x-a)Û`+(y-a-5)Û`=rÛ`
이 원이 두 점 (0, 0), (1, 2)를 지나므로 (-a)Û`+(-a-5)Û`=rÛ`
(1-a)Û`+(2-a-5)Û`=rÛ`
∴ 2aÛ`+10a+25=rÛ`, 2aÛ`+4a+10=rÛ`
두 식을 연립하여 풀면 a=-;2%;, rÛ`=:ª2°:
따라서 구하는 원의 방정식은 {x+;2%;}Û`+{y-;2%;}Û`=:ª2°:
{x+;2%;}Û`+{y-;2%;}Û`=:ª2°:
367
xÛ`+yÛ`+2x-4y-15+k=0에서 (x+1)Û`+(y-2)Û`=20-k
이 원의 반지름의 길이는 '¶20¶-k이므로 '¶20¶-k=5
양변을 제곱하면
20-k=25 ∴ k=-5 -5
368
xÛ`+yÛ`-6x+ay+9=0에서 (x-3)Û`+{y+;2A;}Û`= aÛ`4
이 원의 중심의 좌표가 {3, -;2A;}이므로 3=b, -;2A;=-3 ∴ a=6, b=3
원의 반지름의 길이는 ¾Ð aÛ`4 이므로 r=¾Ð 6Û`4 =3
∴ a+b+r=6+3+3=12 12
364
원 (x-a)Û`+(y-b)Û`=c의 중심을 C(a, b)라 하면 점 C는 ABÓ의 중점이므로
a= 5-12 =2, b=1+7
2 =4에서 C(2, 4) 또, 원의 반지름의 길이는 ACÓ의 길이와 같으므로 ACÓ ="Ã(2-5)Û`+(4-1)Û`=3'2
따라서 두 점 A, B를 지름의 양 끝 점으로 하는 원의 방정식은
(x-2)Û`+(y-4)Û`=18
따라서 a=2, b=4, c=18이므로
a+b+c=24 24
365
원의 중심이 x축 위에 있으므로 원의 중심의 좌표를 (a, 0), 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은 (x-a)Û`+yÛ`=rÛ`
이 원이 두 점 (4, -3), (2, 3)을 지나므로 (4-a)Û`+9=rÛ`, (2-a)Û`+9=rÛ`
∴ aÛ`-8a+25=rÛ`, aÛ`-4a+13=rÛ`
두 식을 연립하여 풀면 a=3, rÛ`=10
따라서 구하는 원의 방정식은
(x-3)Û`+yÛ`=10 (x-3)Û`+yÛ`=10
다른풀이
원의 중심의 좌표를 (a, 0)이라 하면 이 점에서 두 점 (4, -3), (2, 3)에 이르는 거리가 같으 므로"Ã(a-4)Û`+3Û`="Ã(a-2)Û`+Ã(-3)Û`
양변을 제곱하여 정리하면 aÛ`-8a+25=aÛ`-4a+13
∴ a=3
즉, 원의 중심의 좌표는 (3, 0)이고, 원의 반지름의 길 이는 두 점 (3, 0), (4, -3) 사이의 거리와 같으므로
"Ã(4-3)Û`+(-3)Û`='¶10 따라서 구하는 원의 방정식은 (x-3)Û`+yÛ`=10
372
xÛ`+yÛ`-8x+10y+k=0에서 (x-4)Û`+(y+5)Û`=41-k
이 원의 중심의 좌표가 (4, -5)이고 x축에 접하므로 'Ä41-k=|-5|
양변을 제곱하면
41-k=25 ∴ k=16 16
373
원의 중심이 직선 y=x+2 위에 있으므로 원의 중심 의 좌표를 (a, a+2)라 하면 반지름의 길이는 |a|이 다. 즉, 이 원의 방정식은
(x-a)Û`+(y-a-2)Û`=aÛ`
이 원이 점 (4, 4)를 지나므로 (4-a)Û`+(4-a-2)Û`=aÛ`
aÛ`-12a+20=0,(a-2)(a-10)=0
∴ a=2 또는 a=10
따라서 두 원의 반지름의 길이의 합은
2+10=12 12
374
원의 반지름의 길이를 r`(r>0)라 하면 점 (-2, 1) 을 지나고 x축과 y축에 동시에 접하는 원의 중심은 제 2 사분면 위에 있으므로 원의 방정식은
(x+r)Û`+(y-r)Û`=rÛ` Û 중심의 좌표 : (-r, r)
이 원이 점 (-2, 1)을 지나므로
(-2+r)Û`+(1-r)Û`=rÛ`, rÛ`-6r+5=0 (r-1)(r-5)=0
∴ r=1 또는 r=5
따라서 두 원의 중심의 좌표는 각각 (-1, 1), (-5, 5) 이므로 두 원의 중심 사이의 거리는
"Ã(-5+1)Û`Ã+(5-1)Û`=4'2 4'2
375
xÛ`+yÛ`+2ax+6y+7-b=0에서 (x+a)Û`+(y+3)Û`=aÛ`+b+2
369
xÛ`+yÛ`-2(a+1)x+2ay+3aÛ`-2=0에서 {x-(a+1)}Û`+(y+a)Û`=-aÛ`+2a+3 이 방정식이 원을 나타내려면
-aÛ`+2a+3>0, aÛ`-2a-3<0 (a+1)(a-3)<0
∴ -1<a<3
따라서 정수 a의 최솟값은 0이다. 0
370
구하는 원의 방정식을 xÛ`+yÛ`+Ax+By+C=0으 로 놓으면 이 원이 점 (0, 0)을 지나므로 C=0 즉, 원 xÛ`+yÛ`+Ax+By=0이 두 점 (-1, 2), (3, -1)을 지나므로
5-A+2B=0, 10+3A-B=0 두 식을 연립하여 풀면
A=-5, B=-5
따라서 구하는 원의 방정식은
xÛ`+yÛ`-5x-5y=0 xÛ`+yÛ`-5x-5y=0
371
세 점 A(-3, 4), B(1, 0), C(3, 4)를 지나는 원의 중심을 P(a, b)라 하면
APÓ=BPÓ=CPÓ
APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로 (a+3)Û`+(b-4)Û`=(a-1)Û`+bÛ`
8a-8b+24=0
∴ a-b=-3 yy ㉠
BPÓ=CPÓ에서 BPÓ Û`=CPÓ Û`이므로 (a-1)Û`+bÛ`=(a-3)Û`+(b-4)Û`
4a+8b-24=0
∴ a+2b=6 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=3
따라서 원의 중심은 점 P(0, 3)이고 반지름의 길이는 APÓ="Ã(0+3)Û`+(3-4)Û`='10
이므로 구하는 원의 넓이는
p_('10)Û`=10p 10p