y=-;3@;x-;3B;의 기울기가 -;3@;이므로 a+5 _{-;3@;}=-1 ∴ a=3, B(3, 8)12 ABÓ의 중점의 좌표는
{ -5+32 , -4+8
2 }, 즉 (-1, 2)
이 점이 ABÓ의 수직이등분선 2x+3y+b=0 위에 있 으므로
-2+6+b=0 ∴ b=-4
∴ a-b=3-(-4)=7 7
345
2x+y+1=0 y ㉠, x-y+2=0 y ㉡ ax-y=0 y ㉢
Ú 세 직선이 모두 평행한 경우
두 직선 ㉠, ㉡은 평행하지 않으므로 세 직선이 모 두 평행하지는 않다.
Û 세 직선 중 두 직선이 평행한 경우 두 직선 ㉠, ㉢이 서로 평행하면 ;2A;= -11 +;1); ∴ a=-2 두 직선 ㉡, ㉢이 서로 평행하면 ;1A;= -1-1 +;2); ∴ a=1 Ü 세 직선이 한 점에서 만나는 경우
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=-1, y=1이므로 직 선 ㉢이 두 직선 ㉠, ㉡의 교점 (-1, 1)을 지나야 한다.
즉, -a-1=0 ∴ a=-1 Ú ~ Ü에서 모든 a의 값의 합은
-2+1+(-1)=-2 -2
346
⑴ |2_(-1)-1_4+1|
"Ã2Û`+(-1)Û` = 5 '5='5
⑵ |3_3+4_(-2)-2|
"Ã3Û`+4Û` =;5!;
두 직선 ax-6y-5=0, 2x-by+1=0은 서로 수직 이므로
a_2+(-6)_(-b)=0 이 식에 a=3을 대입하면 6+6b=0 ∴ b=-1
∴ a+b=3+(-1)=2 2
342
두 직선 (a-2)x+y+1=0, ax-3y+b=0은 서 로 수직이므로
(a-2)_a+1_(-3)=0 aÛ`-2a-3=0, (a+1)(a-3)=0
∴ a=3 (∵ a>0 )
따라서 두 직선은 x+y+1=0, 3x-3y+b=0이고, 두 직선의 교점이 (-2, c)이므로
-2+c+1=0, -6-3c+b=0
∴ c=1, b=9
∴ a+b+c=3+9+1=13 13
343
두 점 A, B를 지나는 직선의 기울기는 -4-2
5-(-1)=-1
즉, ABÓ의 수직이등분선의 기울기는 1이다.
ABÓ의 중점의 좌표는 { -1+52 , 2-4
2 }, 즉 (2, -1)
따라서 기울기가 1이고 점 (2, -1)을 지나는 직선의 방정식은
y-(-1)=1_(x-2) ∴ y=x-3 이 직선이 점 (a, -2)를 지나므로
-2=a-3 ∴ a=1
1344
두 점 A, B를 지나는 직선의 기울기는 8-(-4)
a-(-5)= 12 a+5
⑷ 주어진 두 직선은 서로 평행하므로 두 직선 사이의 거리는 직선 x-2y+1=0 위의 한 점 (-1, 0)과 직선 2x-4y-3=0 사이의 거리와 같다.
∴ |2_(-1)-4_0-3|
"Ã2Û`+(-4)Û` = 5 2'5= '52 ⑴'5 ⑵ '102 ⑶1 ⑷'5
2
349
점 (1, a)와 직선 3x+y-5=0 사이의 거리가 '¶10 이므로
|3+a-5|
"Ã3Û`+1Û` ='¶10, |a-2|=10 a-2=Ñ10 ∴ a=-8 또는 a=12
그런데 점 (1, a)는 제 1 사분면 위의 점이므로 a>0 따라서 구하는 a의 값은 12이다. 12
350
직선 3x+4y-2=0, 즉 y=-3
4 x+;2!;에 수직인 직 선의 기울기는 4
3 이므로 구하는 직선의 방정식을 y= 43 x+k, 즉 4x-3y+3k=0으로 놓을 수 있다.
원점과 이 직선 사이의 거리가 ;5&;이므로
|3k|
"Ã4Û`+(-3)Û`=;5&;, |3k|=7 3k=Ñ7 ∴ k=-;3&; 또는 k=;3&;
따라서 구하는 직선의 방정식은 4x-3y-7=0 또는 4x-3y+7=0
4x-3y-7=0,4x-3y+7=0
351
두 직선 x-y+1=0, x-2y+3=0의 교점을 지나 는 직선의 방정식은
(x-y+1)+k(x-2y+3)=0`(k는 실수)
∴ (k+1)x-(2k+1)y+3k+1=0 yy ㉠
⑶ |4_(-5)-3_3+4|
"Ã4Û`+(-3)Û` =:ª5°:=5
⑷ 점 (2, -6)과 직선 y=3x-2, 즉 3x-y-2=0 사이의 거리는
|3_2-1_(-6)-2|
"Ã3Û`+(-1)Û` = 10'10='10
⑴'5 ⑵;5!; ⑶5 ⑷'10
347
⑴ |-13|
"Ã2Û`+3Û`= 13 '13='13
⑵ |10|
"Ã3Û`+(-1)Û`= 10 '10='10
⑶ |-5|
"Ã2Û`+(-4)Û`= 5 2'5= '52
⑷ 원점과 직선 y=2x-4, 즉 2x-y-4=0 사이의 거리는
|-4|
"Ã2Û`+(-1)Û`= 4 '5=4'5
5
⑴'13 ⑵'10 ⑶ '52 ⑷4'5 5
348
⑴ 주어진 두 직선은 서로 평행하므로 두 직선 사이의 거리는 직선 2x-y+2=0 위의 한 점 (0, 2)와 직선 2x-y-3=0 사이의 거리와 같다.
∴ |2_0-1_2-3|
"Ã2Û`+(-1)Û` = 5 '5='5
⑵ 주어진 두 직선은 서로 평행하므로 두 직선 사이의 거리는 직선 x+3y-1=0 위의 한 점 (1, 0)과 직 선 x+3y+4=0 사이의 거리와 같다.
∴ |1_1+3_0+4|
"Ã1Û`+3Û` = 5
'10= '102
⑶ 주어진 두 직선은 서로 평행하므로 두 직선 사이의 거리는 직선 3x-4y=0 위의 한 점 (0, 0)과 직선 3x-4y+5=0 사이의 거리와 같다.
∴ |5|
"Ã3Û`+(-4)Û`=;5%;=1
확인체크 익히기
354
주어진 두 직선이 서로 평행하므로
;3#;=;a$;+ -5b ∴ a=4 따라서 두 직선 사이의 거리는 직선
3x+4y-5=0 위의 한 점 (3, -1)과 직선 3x+4y+b=0 사이의 거리와 같으므로
|3_3+4_(-1)+b|
"Ã3Û`+4Û` =3
|b+5|=15, b+5=Ñ15
∴ b=-20 (∵ b<0 ) a=4,b=-20
355
선분 AB의 길이는
ABÓ="Ã(-3-2)Û`+(6-2)Û`='41 직선 AB의 방정식은
y-2= 6-2-3-2 (x-2)
∴ 4x+5y-18=0
△OAB의 높이 h는 원점과 직선 AB 사이의 거리이므로 h= |-18|
"Ã4Û`+5Û`= 18 '41 따라서 △OAB의 넓이는
;2!;_ABÓ_h=;2!;_'41_ 18'41=9 9
356
선분 AB의 길이는
ABÓ="Ã(3-1)Û`+(-1-2)Û`='¶13 직선 AB의 방정식은
y-2= -1-23-1 (x-1)
∴ 3x+2y-7=0
△ABC의 높이 h는 점 C(a, 4)와 직선 AB 사이의 거리이므로
h= |3a+8-7|
"Ã3Û`+2Û` = |3a+1|
'13
B(-3, 6)
A(2, 2)
O(0, 0) h
C(a, 4)
B(3, -1) A(1, 2)
h
원점과 직선 ㉠ 사이의 거리가 1이므로
|3k+1|
"Ã(k+1)Û`+(2k+1)Û`=1
|3k+1|="Ã5kÛ`+6k+2 양변을 제곱하면
9kÛ`+6k+1=5kÛ`+6k+2 4kÛ`=1 ∴ k=Ñ;2!;
Ú k=;2!; 을 ㉠에 대입하면
;2#;x-2y+;2%;=0 ∴ 3x-4y+5=0 Û k=-;2!; 을 ㉠에 대입하면
;2!;x-;2!;=0 ∴ x=1 Ú, Û에서 구하는 직선의 방정식은 3x-4y+5=0 또는 x=1
3x-4y+5=0,x=1
352
두 직선 x+y-3=0, x+y+m=0 사이의 거리는 직선 x+y-3=0 위의 한 점 (0, 3)과 직선 x+y+m=0 사이의 거리와 같으므로
|3+m|
"Ã1Û`+1Û`=4'2, |3+m|=8
3+m=Ñ8 ∴ m=5 (∵ m>0 ) 5
353
주어진 두 직선이 서로 평행하므로
;a#;= -12 + 12
-4 ∴ a=-6 따라서 두 직선 사이의 거리는 직선
3x-y+12=0 위의 한 점 (-4, 0)과 직선
-6x+2y-4=0, 즉 3x-y+2=0 사이의 거리와 같으므로
|3_(-4)-1_0+2|
"Ã3Û`+(-1)Û` = 10 '10='10
a=-6,
거리
:'10360
⑴xÛ`+yÛ`=9
⑵(x-2)Û`+(y+3)Û`=16
⑶(x+5)Û`+(y-1)Û`=5
361
⑴ xÛ`+yÛ`-8x=0에서 (xÛ`-8x+16)+yÛ`=16 ∴ (x-4)Û`+yÛ`=16
따라서
중심의좌표는
(4,0),반지름의길이는
4이 다.⑵ xÛ`+yÛ`+2x-4y-20=0에서 (xÛ`+2x+1)+(yÛ`-4y+4)=25 ∴ (x+1)Û`+(y-2)Û`=25
따라서
중심의좌표는
(-1,2),반지름의길이는
5 이다.⑶ xÛ`+yÛ`-6x+4y+12=0에서 (xÛ`-6x+9)+(yÛ`+4y+4)=1 ∴ (x-3)Û`+(y+2)Û`=1
따라서