1 2 3
0 1 2 3
X gJ f Z ⑵
0 1 2 3
0 1 2 3 Y fJ g Y
치역：90, 10 치역：91, 20
86쪽 개념 확인
02 합성함수
87쪽 예제
3
⑴ { f J g}{x} =f{g{x}}=f{2x+a}
=-{2x+a}+10=-2x-a+10 {g J f }{x} =g{ f{x}}=g{-x+10}
=2{-x+10}+a=-2x+20+a f J g=g J f이므로 -2x-a+10=-2x+20+a 이 식이 모든 x에 대하여 성립하므로
-a+10=20+a / a=-5
⑵ {g J {h J f }}{x} ={{g J h} J f }{x}={g J h}{ f{x}}
={g J h}{2x}
={2x}@+2=4x@+2
88쪽 예제
4
⑴ h{-2x+3}=1
2x-1 yy ①
-2x+3=t로 놓으면 -2x=t-3, x=-1 2t+3
2 ①에 대입하면
h{t}=1 2 [-1
2t+3
2 ]-1, h{t}=-1 4t-1
4 t를 x로 바꾸면 h{x}=-1
4x-1 4
⑵ { f J h}{x}=g{x}에서 f{h{x}}=g{x}
-2h{x}+3=1
2x-1 / h{x}=-1 4x+2
⑶ g J f 의 그림 ⑴에 함수 h를 생각하면
0 1 2 3
1 2 3 4 XhJ{g J f }W
오른쪽 그림과 같다.
/ 치역：91, 20
2
⑴ {g J f }{x} =g{ f{x}}=g{2x-1}=-{2x-1}@+1=-4x@+4x
⑵ { f J g}{x} =f{g{x}}=f{-x@+1}
=2{-x@+1}-1=-2x@+1
⑶ { f J f }{x} =f{ f{x}}=f{2x-1}
=2{2x-1}-1=4x-3
⑷ {g J g}{x} =g{g{x}}=g{-x@+1}
=-{-x@+1}@+1=-x$+2x@
3
⑴ {g J f }{x} =g{ f{x}}=g{-x+1}=2{-x+1}=-2x+2 이므로
{h J {g J f }}{x} =h{{g J f }{x}}=h{-2x+2}
={-2x+2}@=4x@-8x+4
⑵ { f J g}{x}=f{g{x}}=f{2x}=-2x+1 이므로
{{ f J g} J h}{x} ={ f J g}{h{x}}={ f J g}{x@}
=-2x@+1
4
{ f J {g J h}}{x}=x@-1⑴ {{ f J g} J h}{2} ={ f J {g J h}}{2}
=2@-1=3
⑵ { f J g J h}{-1} ={ f J {g J h}}{-1}
={-1}@-1=0
5
{ f J I}{x}=x@+2x에서 f{x}=x@+2x / {I J f }{x}=f{x}=x@+2x⑶ { f J f }{x} =f{ f{x}}=f{x+2}
={x+2}+2=x+4
{ f J f J f }{x} ={{ f J f } J f }{x}={ f J f }{ f{x}}
={ f J f }{x+2}={x+2}+4
=x+6
{ f J f J f J f }{x} ={{ f J f J f } J f }{x}
={ f J f J f }{ f{x}}={ f J f J f }{x+2}
={x+2}+6=x+8
따라서 계속하면 { f J f J f J y J f }{x}=x+20
유제
3-1
{ f J f }{x} =f{ f{x}}=f{ax+b}=a{ax+b}+b=a@x+ab+b { f J f }{x}=f{x}이므로 a@x+ab+b=ax+b 이 식이 모든 x에 대하여 성립하므로 a@=a, ab+b=b a=0이므로 a=1, b=0
유제
3-2
⑴ { f J {g J h}}{2} ={{ f J g} J h}{2}={ f J g}{h{2}}={ f J g}{1}=2
⑵ {h J { f J {g J h}}}{2} ={h J { f J g} J h}{2}
={h J { f J g}}{h{2}}
={h J { f J g}}{1}
=h{{ f J g}{1}}
=h{2}=1 유제
3-3
f @{x} ={ f J f }{x}=f{ f{x}}=f{2x}=2{2x}=2@x f #{x} ={ f J f @}{x}=f{ f @{x}}
=f {2@x}=2\2@x=2#x
f ${x} ={ f J f #}{x}=f{ f #{x}}
=f {2#x}=2\2#x=2$x 따라서 계속하면 f N{x}=2Nx
f 가 10개
⑶ {h J g}{x}=f{x}에서 h{g{x}}=f{x}
h[ 12x-1]=-2x+3 yy ① 1
2x-1=t로 놓으면 1
2x=t+1, x=2t+2 ①에 대입하면
h{t}=-2{2t+2}+3, h{t}=-4t-1 t를 x로 바꾸면 h{x}=-4x-1
유제
4-1
f{2x+1}=x-1x+1 yy ①⑴ 2x+1=5로 놓으면 x=2 ①에 대입하면 f{5}=2-1
2+1=1 3
⑵ 2x+1=0으로 놓으면 x=-1 2 ①에 대입하면
f{0}=
-1 2-1 -1
2+1
= -3
2 1 2
=-3
유제
4-2
⑴ f [ x+12 ]=2x-3 yy ①x+1
2 =t로 놓으면 x=2t-1 ①에 대입하면
f{t}=2{2t-1}-3, f{t}=4t-5 t를 x로 바꾸면 f{x}=4x-5
⑵ { f J g}{x} =f{g{x}}=f{x@-x}
=4{x@-x}-5=4x@-4x-5 유제
4-3
⑴ {g J h}{x}=f{x}에서 g{h{x}}=f{x}1
3h{x}-2=-x-1 / h{x}=-3x+3
⑵ {h J g}{x}=f{x}에서 h{g{x}}=f{x}
h[ 13x-2]=-x-1 yy ① 1
3x-2=t로 놓으면 x=3t+6 ①에 대입하면
h{t}=-{3t+6}-1, h{t}=-3t-7 t를 x로 바꾸면 h{x}=-3x-7
89쪽 예제
5
⑴ f ![5 4 ]=f [5
4 ]=3 2
f @[ 54 ]=f [f [ 54 ]]=f [ 32 ]=1 f #[ 54 ]=f [f @[ 54 ]]=f{1}=2 f $[ 54 ]=f [f #[ 54 ]]=f{2}=0
f %[ 54 ]=f [f $[ 54 ]]=f{0}=1 f ^[ 54 ]=f [f %[ 54 ]]=f{1}=2 ⋮
곧, f @부터 1, 2, 0이 반복된다.
2019=3\673이므로
f @)!([ 54 ]=f @)!^[ 54 ]=f @)!#[ 54 ]=y=f #[ 54 ]=2 f @)@)[ 54 ]=f @)!&[ 54 ]=f @)!$[ 54 ]=y=f $[ 54 ]=0
⑵ f @{x}=2에서 f{ f{x}}=2이므로 f{x}=1 / x=0 또는 x=3
2 따라서 f{x}=1인 x의 값은 0, 3
2이다.
유제
5-1
⑴ f !{0}=f{0}=3f @{0}=f{ f{0}}=f{3}=1 f #{0}=f{ f @{0}}=f{1}=2 f ${0}=f{ f #{0}}=f{2}=4 f %{0}=f{ f ${0}}=f{4}=0 f ^{0}=f{ f %{0}}=f{0}=3 ⋮
곧, 3, 1, 2, 4, 0이 반복된다.
2018=5\403+3이므로 f @)!*{0}=f #{0}=2
⑵ f #{x}=0에서 f{ f @{x}}=0, f @{x}=4 f @{x}=4에서 f{ f{x}}=4, f{x}=2
따라서 f{x}=2인 x의 값은 2개이므로 f #{x}=0인 x의 값의 개수는 2이다.
유제
5-2
! f{2}=3f @{2}=f{ f{2}}=f{3}=1 f #{2}=f{ f @{2}}=f{1}=2 f ${2}=f{ f #{2}}=f{2}=3 ⋮
따라서 3, 1, 2가 반복된다.
2018=3\672+2이므로 f @)!*{2}=f @{2}=1
@ f{3}=1
f @{3}=f{ f{3}}=f{1}=2 f #{3}=f{ f @{3}}=f{2}=3 f ${3}=f{ f #{3}}=f{3}=1 ⋮
곧, 1, 2, 3이 반복된다.
2019=3\673이므로 f @)!({3}=f #{3}=3
note f #{1}=1, f #{2}=2, f #{3}=3이므로 f #{x}=x, 곧 f #은 항등함수이다.
01
⑴ 5 ⑵ 2 ⑶ 002
603
⑤04
⑤05
f{x}=x+306
②07
3208
③, ⑤09
f (({1}=2, f !)){3}=310
④11
f{x}=x@+4, g{x}=1 4x91~92쪽 연습 문제
01
⑴ { f J g}{2}=f{g{2}}=f{-2}={-2}@+1=5⑵ { f J f }{2}=f{ f{2}}=f{-1}=2
⑶ { f J g J f }{2} ={ f J g}{ f{2}}=f{g{ f{2}}}
=f{g{-1}}=f{1}=0
02
3x-1=5라 하면 x=2따라서 f{3x-1}=x+4에 x=2를 대입하면 f{5}=2+4=6
다른 풀이 f{3x-1}=x+4에서 3x-1=t라 하면 x=t+1
3 / f{t}=t+1
3 +4=t+13 3 t를 x로 바꾸면 f{x}=x+13
3 / f{5}=5+13 3 =6
03
{g J h}{x}=g{h{x}}=2h{x}+1{g J h}{x}=f{x}이므로 2h{x}+1=4x@-2x-1 / h{x}=2x@-x-1
04
ㄱ. f{x}=x이므로{ f J f J f }{x}=f{ f{ f{x}}}=f{ f{x}}=f{x}
ㄴ. f{x}=x+1이므로
{ f J f J f }{x} =f{ f{ f{x}}}=f{ f{x+1}}
=f{x+2}=x+3 / { f J f J f }{x}=f{x}
ㄷ. f{x}=-x이므로
{ f J f J f }{x}=f{ f{ f{x}}}=f{ f{-x}}=f{x}
ㄹ. f{x}=-x+1이므로
{ f J f J f }{x} =f{ f{ f{x}}}=f{ f{-x+1}}
=f{x-1+1}=f{x}
따라서 { f J f J f }{x} =f{x}가 성립하는 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.
05
{h J {g J f }}{x} ={{h J g} J f }{x}={h J g}{ f{x}}
=2x+5 이고, {h J g}{x}=2x-1이므로
2f{x}-1=2x+5 / f{x}=x+3 90쪽
예제
6
두 함수 y=f{x}, y=g{x}의 식은 다음과 같다.
f{x}=- 2x {0<x<1}
3-x {1<x<2}, g{x}=- 2x {0<x<1}
2 {1<x<2}
⑴ g[3
2 ]=2이므로 f [g[3
2 ]]=f{2}=3-2=1 f [3
8 ]=2\3 8=3
4 이므로 g[f [3
8 ]]=g[3
4 ]=2\3 4=3
2 / { f J g}[3
2 ]+{g J f }[3
8 ]=1+3 2=5
2
⑵ 0<x<1에서
0<g{x}<1이면 0<2x<1 / 0<x<1 2 1<g{x}<2이면 1<2x<2 / 1
2<x<1 곧, 0<x<1
2 일 때, g{x}=2x, 0<g{x}<1이므로 f{g{x}}=f{2x}=2\2x=4x
1
2<x<1일 때, g{x}=2x, 1<g{x}<2이므로 f{g{x}}=f{2x}=3-2x
O y
1 x 1 2
2! 2
y=f{g{x}}
1<x<2에서 g{x}=2이므로 f{g{x}}=f{2}=3-2=1 따라서 y=f{g{x}}의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
유제
6-1
⑴ { f J g}{2} =f{g{2}}=f{3}=2\3-4=2
⑵ f{0}=-2\0+4=4이므로 g{ f{0}}=g{4}=15
유제
6-2
f{x}=- 2x {0<x<1}4-2x {1<x<2}, g{x}=-x+2 0<g{x}<1이면 0<-x+2<1 / 1<x<2 1<g{x}<2이면 1<-x+2<2 / 0<x<1 곧, 0<x<1일 때, 1<g{x}<2이므로
f{g{x}} =4-2g{x}=4-2{-x+2}
=2x
1<x<2일 때, 0<g{x}<1이므로
O y
1 x 2
2 y=f{g{x}}
f{g{x}} =2g{x}=2{-x+2}
=-2x+4
따라서 y=f{g{x}}의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
06
{ f J g J f }{c}=f{g{ f{c}}}이고 오른쪽 그림에서f{c}=y1=b, g{b}=y2=c이므로 { f J g J f }{c} =f{g{ f{c}}}
=f{g{b}}
=f{c}=b
07
g{4}=3을 {g J f}{x}=3x+1에 이용하는 방법을 생 각한다.{g J f }{x}=3x+1에서 g{ f{x}}=3x+1 3x+1=3이면 x=2
3 이므로 x=2
3를 g{ f{x}}=3x+1에 대입하면 g[f [2 3 ]]=3 g가 일대일함수이고 g{4}=3이므로 f [2
3 ]=4 f{x}=ax+3에 x=2
3 를 대입하면 2
3a+3=4 / a=3 2
08
정의역의 각 원소에 그 자신이 대응하는 함수를 찾는다.① {g J f }{a}=g{ f{a}}=g{d}=d 이므로 항등함수가 아니다.
② {h J g}{a}=h{g{a}}=h{b}=d 이므로 항등함수가 아니다.
③ { f J f }{a}=f{ f{a}}=f{d}=a { f J f }{b}=f{ f{b}}=f{c}=b { f J f }{c}=f{ f{c}}=f{b}=c { f J f }{d}=f{ f{d}}=f{a}=d 곧, 항등함수이다.
④ {h J f }{b}=h{ f{b}}=h{c}=c 이므로 항등함수가 아니다.
⑤ {h J g J f }{a}=h{g{ f{a}}}=h{g{d}}=h{d}=a {h J g J f }{b}=h{g{ f{b}}}=h{g{c}}=h{a}=b {h J g J f }{c}=h{g{ f{c}}}=h{g{b}}=h{c}=c {h J g J f }{d}=h{g{ f{d}}}=h{g{a}}=h{b}=d 곧, 항등함수이다.
따라서 항등함수는 ③, ⑤이다.
09
규칙이 보일 때까지 f !{1}, f @{1}, y과 f !{3}, f @{3}, y을 직접 구한다.함수 f 를 그림으로 나타내면 오른쪽과 같다.
1 2 3 4
1 2 3 4
A f A
! f !{1}=f{1}=4
f @{1}=f{ f{1}}=f{4}=3 f #{1}=f{ f @{1}}=f{3}=2 f ${1}=f{ f #{1}}=f{2}=1 f %{1}=f{ f ${1}}=f{1}=4
⋮
곧, 4, 3, 2, 1이 반복된다.
y1 y2
O y
x y=g{x}
y=f{x}
y=x
a b c d e
99=4\24+3이므로 f (({1}=f #{1}=2
@ f !{3}=2, f @{3}=1, f #{3}=4, f ${3}=3, f %{3}=2, y 곧, 2, 1, 4, 3이 반복된다.
100=4\25이므로 f !)){3}=f ${3}=3
10
f{x}=t로 놓고 t의 값의 범위를 구한다.f{x}=t라 하면 y=f{ f{x}}=f{t}
0<x<1에서 0<t<3 4
! 0<t<1
2일 때, 0<f{t}<3 4
@ 1 2<t< 3
4일 때, f [ 34 ]=3\ 3 4 [1- 3
4 ]= 9 16이므로 9
16<f{t}< 3 4
!, @에서 0<f{t}<3 4
따라서 구하는 y=f{ f{x}}의 치역은 - y|0<y< 34=이다.
11
g{x}=ax+b {a=0}으로 놓는다.f{g{x}}=9 g{x}0@+4에서 g{x}=t라 하면 f{t}=t@+4 / f{x}=x@+4
g{x}=ax+b (a, b는 상수, a=0)이라 하면 g{ f{x}}=49g{x}0@+1이므로
a{x@+4}+b=4{ax+b}@+1 ax@+4a+b=4a@x@+8abx+4b@+1 x에 대한 항등식이므로
4a@=a, 8ab=0, 4b@+1=4a+b a=0이므로 a=1
4이고 b=0 / g{x}=1 4x
1
⑴ Y의 1에 대응하는 X의 원소는 4이므로0 1 2 3
1 2 3 4
Y f_! X
f _!{1}=4
⑵ { f J f _!}{1}=f{ f _!{1}}=f{4}=1
⑶ { f _! J f }{1}=f _!{ f{1}}=f _!{2}
이고 Y의 2에 대응하는 X의 원소가 1이므로
{ f _! J f }{1}=f _!{2}=1
note ⑵, ⑶ { f J f _!}{y}=y, { f _! J f }{x}=x를 이용해도 된다.
95쪽 개념 확인