02 무리함수

⑵ y=1-2j2-xl：y=-21-{x-2}3+1이므로 y=-2j-xl의 그래프를 x축 방향으로 2만큼, y축 방향으로 1만큼 평행이동 한다.

O y

x 2 4 6 2

4 6

-2 -4 -6

-2 -4 -6

⑴

⑵

5

^{⑴ y=j3xk yy ①}

에서 정의역은 9x|x>00, 치역은 9y|y>00 ①의 양변을 제곱하면 y@=3x, x=1

3y@

x와 y를 바꾸면 y=1 3x@

정의역이 ①의 치역이므로 y=1

3x@ {x>0}

⑵ y=-j3xk yy ①

에서 정의역은 9x|x>00, 치역은 9y|y<00 ①의 양변을 제곱하면 y@=3x, x=1

3y@

x와 y를 바꾸면 y=1 3x@

정의역이 ①의 치역이므로 y=1

3 x@ {x<0}

⑶ y=j-3xl yy ①

에서 정의역은 9x|x<00, 치역은 9y|y>00 ①의 양변을 제곱하면 y@=-3x, x=-1

3y@

x와 y를 바꾸면 y=-1 3x@

정의역이 ①의 치역이므로 y=-1

3x@ {x>0}

⑷ y=-j-3xl yy ①

에서 정의역은 9x|x<00, 치역은 9y|y<00 ①의 양변을 제곱하면 y@=-3x, x=-1

3y@

x와 y를 바꾸면 y=-1 3x@

정의역이 ①의 치역이므로 y=-1

3x@ {x<0}

136^쪽 예제

3

⑴ y =3-j2x-4l=-12{x-2}3+3

O y

x 2

3 y=3-j2xk-4l 13\\\\\\\\\\\\\\\\\2

이므로 그래프는 y=-j2xk의 그래프 를 x축 방향으로 2만큼, y축 방향으로 3만큼 평행이동한 것이고, 그래프는

앞 그림과 같다.

/ 정의역：9x|x>20, 치역：9y|y<30

⑵ y=jaxk의 그래프를 x축 방향으로 b만큼, y축 방향으로 -2만 큼 평행이동한 그래프의 식은

y=1a{x-b}3-2 yy ① y=2jx-1l+c에서 y=14{x-1}3+c ①과 비교하면 a=4, b=1, c=-2

⑶ y=j-2x+al+b의 그래프는

O y

-2 x 1 y=j-2kxk+al+b

y=j-2xl의 그래프를 평행이동한 것 이고 정의역이 9x|x<-20, 최솟값이 1이므로 오른쪽 그림과 같다.

곧, 함수의 식은 y=1-2{x+2}3+1 / y=j-2x-4l+1

y=j-2x+al+b와 비교하면 a=-4, b=1

유제

3-1

^{⑴ y =j3x-2l+2}

O y

3@ x 2

y=j3xk-2l+2

=r3[x-2 3 ]y+2 이므로 그래프는 y=j3xk의 그래프를

x축 방향으로 2

3 만큼, y축 방향으로 2만

큼 평행이동한 것이고, 그래프는 위 그림과 같다.

/ 정의역：- x|x> 23 =, 치역：9y|y>20

⑵ y =j2-3xl-1

O y

x 3@

-1 y=j2-k3xkl-1

=r-3[x-2 3 ]y-1

이므로 그래프는 y=j-3xl의 그래 프를 x축 방향으로 2

3 만큼, y축 방향

으로 -1만큼 평행이동한 것이고, 그래프는 위 그림과 같다.

/ 정의역：- x|x< 23 =, 치역：9y|y>-10

유제

3-2

y=j3xk의 그래프를 x축 방향으로 3만큼, y축 방향으 로 -1만큼 평행이동한 그래프의 식은

y=13{x-3}3-1=j3x-9l-1 이 함수의 그래프를 x축에 대칭이동하면 -y=j3x-9l-1 / y=-j3x-9l+1 y=-jax+bl+c와 비교하면 a=3, b=-9, c=1

유제

3-3

함수의 그래프가 오른쪽 그

O y

-4 x b

y=-jaxk-8l-2

림과 같고 x의 계수가 a이므로 함수의 식은 y=-1a{x+4}3+b {a<0}

곧, y=-jax+4al+b y=-jax-8l-2와 비교하면

4a=-8, b=-2 / a=-2, b=-2

137^쪽 예제

4

⑴ y=j-x+1l+2, y-2=1-x+13 yy ① 에서 양변을 제곱하면

y@-4y+4=-x+1, x=-y@+4y-3 x와 y를 바꾸면 y=-x@+4x-3

한편 ①의 치역이 9y|y>20이므로 y=-x@+4x-3 {x>2}

⑵ y=-x@+6x-8 yy ①

에서 y-1=-{x-3}@, {x-3}@=-y+1 x<3이므로 x-3 =-j-y+1l, x=3-j-y+1l x와 y를 바꾸면 y=-j-x+1l+3

note ①의 치역은 9y|y<10이므로 역함수의 정의역은 9x|x<10이다. 그런데 y=-1-x+13+3은 이 범위에서만 생각하 므로 쓰지 않아도 된다.

⑶ 두 함수는 서로 역함수이므로 두 함 ^y

x y=x

1 1

x=jy-k1k+1

y=jx-k1k+1 O

수의 그래프를 그리면 오른쪽 그림 과 같이 직선 y=x에 대칭이고 두 함수의 그래프의 교점은

y=jx-1l+1의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같다.

y=jx-1l+1과 y=x에서 y를 소거하면 x=jx-1l+1, x-1=jx-1l 양변을 제곱하면

{x-1}@=x-1, {x-1}{x-2}=0 / x=1 또는 x=2

따라서 교점의 좌표는 {1, 1}, {2, 2}이다.

유제

4-1

^{⑴ y=}j2x+6l-3, y+3=j2x+6l yy ① 에서 양변을 제곱하면

y@+6y+9=2x+6, x=1

2y@+3y+3 2 x와 y를 바꾸면 y=1

2x@+3x+3 2 한편 ①의 치역이 9y|y>-30이므로 y=1

2x@+3x+3

2 {x>-3}

⑵ y=-jx-1l-1, y+1=-jx-1l yy ① 에서 양변을 제곱하면

y@+2y+1=x-1, x=y@+2y+2 x와 y를 바꾸면 y=x@+2x+2 한편 ①의 치역이 9y|y<-10이므로 y=x@+2x+2 {x<-1}

유제

4-2

^{⑴ y=1}₂^x@-1에서

y+1=1

2x@, x@=2{y+1} / x=-12{y+1}3

x<0이므로 x=-12{y+1}3 x와 y를 바꾸면 y=-12{x+1}3

⑵ y=-2x@-4x+1=-2{x+1}@+3이므로 {x+1}@=-1

2y+3

2 / x+1=-q-1 2y+3

2 e x>-1이므로 x=q- 12y+3

2 e-1 x와 y를 바꾸면 y=q- 12x+3

2 e-1 유제

4-3

^f{x}=-1-8{x-2}3+2에 대하여 y=f{x}와 y=f _!{x}의 그래프를 그 ^y

x y=x

2 2

y=f{x}

y=f _!{x}

O -2

리면 오른쪽 그림과 같이 직선 y=x에 -2

대칭이고 함수 y=f{x}와 y=f _!{x}

의 그래프의 교점은 y=f{x}의 그래 프와 직선 y=x의 교점과 같다.

y=-1-8{x-2}3+2와 y=x에서 y를 소거하면

x=-1-8{x-2}3+2 양변을 제곱하여 정리하면

{x-2}@=-8{x-2}, {x+6}{x-2}=0 / x=-6 또는 x=2

따라서 교점의 좌표는 {-6, -6}, {2, 2}이다.

138^쪽 예제

5

⑴ y=j2x-3l에서 x=2일 때 y=1, x=6일 때 y=3 직선 y=mx-3m-1에서 y+1=m{x-3}

이므로 점 {3, -1}을 지난다. ^y

3 2 1 3

-1O 6

y=j2xk-3l

y=mx-3m-1 x 2#

따라서 두 함수의 그래프가 2<x<6에서 만나려면 오른쪽 그

림에서 직선 y+1=m{x-3}이 색 칠한 부분에 있으면 된다.

직선이 점 {2, 1}을 지날 때,

1+1=m{2-3} / m=-2 직선이 점 {6, 3}을 지날 때,

3+1=m{6-3} / m=4 3 / m<-2 또는 m>4

3

⑵ 직선 y=mx-1의 y절편이 -1

x -1

y

1 y=mx-1

y=jx-1l O

이므로 두 함수의 그래프가 두 점 에서 만나려면 오른쪽 그림에서 직선이 곡선과 접하는 경우를 제 외한 색칠한 부분에 있으면 된다.

직선이 점 {1, 0}을 지날 때, 0=m-1 / m=1

직선 y=mx-1이 y=jx-1l의 그래프와 접할 때, 두 식에서 y를 소거하면 mx-1=jx-1l

양변을 제곱하면

m@x@-2mx+1=x-1, m@x@-{2m+1}x+2=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

D={2m+1}@-8m@=0, 4m@-4m-1=0 / m=2-j8

4 =1-j2 2 이때 m>0이므로 m=1+j2

2 / 1<m<1+j2k 2 유제

5-1

^y=jaxk의 그래프가 점 {2, 2}를 지나므로 2=j2ak / a=2

y=j2x+bl의 그래프와 직선 y=x가 접하므로 두 식에서 y를 소거하면 x=12x+b3

양변을 제곱하여 정리하면 x@-2x-b=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D

4=1+b=0 / b=-1

01

a=-2, b=-4, c=-3

02

^②

03

^{제2사분면}

04

¹₈

05

^①

06

⁵₂

07

^⑤

08

^{{3, 3}}

09

⁸

10

¹¹₂

11

^④

139^~140^쪽 연습 문제

01

주어진 그래프에서 정의역이 9x|x>-40, 치역이 9y|y<30 이므로 함수의 식은 y=ajx+4l+3 {a<0}

이 함수의 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표가 -1이므로 x=0, y=-1을 대입하면

-1=aj4+3, 2a+3=-1 / a=-2 / y=-2jx+4l+3

y=ajx-bl-c와 비교하면 a=-2, b=-4, c=-3

02

^{ㄱ. y=a}jx+bl+c의 그래프는 y=ajxk의 그래프를 x축 방 향으로 -b만큼, y축 방향으로 c만큼 평행이동한 것이다. (참) ㄴ. x+b>0에서 x>-b, 곧 정의역은 9x|x>-b0

a<0이면 ajx+bl<0이므로 치역은 9y|y<c0 (참) ㄷ. a>0, b<0, c<0이면 주어진 함수의 ^y

O -b x c

그래프의 개형은 오른쪽 그림과 같으므 로 제3사분면을 지나지 않는다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

03

^y=_x+b^a +c의 그래프의 점근선이 직선 x=1, y=3이므 로 b=-1, c=3

곧, 유리함수의 식은 y= a

x-1+3이다.

이 함수의 그래프가 점 {0, 4}를 지나므로

x=0, y=4를 대입하면 4=-a+3 / a=-1 y =jax+bl+c=j-x-1l+3

O y

-1 x 3 y=j-{xl+1}l+3

=1-{x+1}3+3

이므로 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

따라서 제2사분면을 지난다.

04

점 {a, b}, {c, d}가 y=jxk의 그래프 위의 점이므로 b=jak, d=jc / a=b@, c=d@

b+d

2 =4에서 b+d=8이므로 직선 PQ의 기울기는 d-b

c-a= d-b

d@-b@= d-b

{d+b}{d-b}= 1 b+d=1

8

05

^y=-j2x-4l+3의 치역이 9y|y<30이므로 역함수의 정의 역은 9x|x<30이다.

y=-j2x-4l+3에서 y-3=-j2x-4l 양변을 제곱하면 y@-6y+9=2x-4 / x= 12y@-3y+13

2 x와 y를 바꾸면 y=1

2x@-3x+13 2 {x<3}

y=1

2x@+ax+b {x<c}와 비교하면 a=-3, b=13 2 , c=3 / a+b+c=13

2

06

{g J f }_!=f _! J g_!임을 이용한다.

{ f J {g J f }_! J f }{3} ={ f J { f _! J g_!} J f }{3}

={{ f J f _!} J g_! J f }{3}

={g_! J f }{3}=g_!{ f{3}}

이때 f{3}=3+1

3-1=2이므로 g_!{ f{3}}=g_!{2}

g_!{2}=a라 하면 g{a}=2이므로 j2a-1l=2, 2a-1=4 / a= 52

따라서 구하는 값은 5 2 이다.

07

평행이동하면 겹쳐지는 그래프임을 이용하여 넓이가 같 은 부분을 찾는다.

y=jx+1l, y=jx-3l, y=1의 그래 ^y

O x

-1 3

y=jx+1l y=jx-3l

4 C

A 1 B

y=1

프는 오른쪽 그림과 같다. 이때 빗금 친 두 부분의 넓이가 같으므로 구하 는 도형의 넓이는 직사각형 OABC 의 넓이와 같다. / 4\1=4

08

x와 y가 바뀐 꼴이므로 서로 역함수이다. 그래프가 직 선 y=x에 대칭임을 이용한다.

두 함수는 x와 y가 바뀐 꼴이므로 서로 역함수이다.

곧, y=r4

5{x+2}t+1과 x=r 45{y+2}t+1의 그래프는 다음 그림과 같이 직선 y=x에 대칭이다.

y

O x -2

-2 y=q5${x+e2}e+1

x=q5${y+e2}e+1 y=x

11

이때 두 함수의 그래프의 교점은 y=r4

5{x+2}t+1의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같으므로 두 식에서 y를 소거하면

x=r 45{x+2}t+1, x-1=r 45{x+2}t 양변을 제곱하면 x@-2x+1=4

5{x+2}

5x@-10x+5=4x+8, {x-3}{5x+1}=0 / x=3 또는 x=-1

5

위 그림에서 교점의 x좌표는 0보다 크므로 구하는 교점의 좌표 는 {3, 3}이다.

note 제곱하였으므로 x=-1

5은 y=-r 45{x+2}y+1의 그래 프와 직선 y=x의 교점의 x좌표이다.

09

역함수의 그래프와 교점은 직선 y=x의 교점을 생각한다.

y=f{x}와 y=f _!{x}의 그래프의 ^y

O x

y=j3x-kal+2 y=x

2

a b

3A

교점은 y=f{x}의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같고, 두 점에서 만나 므로 오른쪽 그림과 같다.

곧, 교점의 x좌표는 방정식 j3x-al+2=x의 해이다.

j3x-al=x-2에서 양변을 제곱하면 3x-a=x@-4x+4, x@-7x+a+4=0

이 방정식의 두 근을 a, b {a<b}라 하면 a+b=7, ab=a+4 또 교점의 좌표는 {a, a}, {b, b}이다.

두 점 사이의 거리가 j2이므로

{b-a}@+{b-a}@=2 / b-a=1 {? a<b}

a+b=7과 연립하여 풀면 a=3, b=4 ab=a+4에 대입하면 a=8

10

조건을 만족하는 함수의 그래프를 그려 본다.

x>3일 때, y=2x+3

x-2 =2{x-2}+7

x-2 =2+ 7 x-2 x<3일 때, y=j3-xl+a=1-{x-3}3+a

조건 ㈏에 의해 y=f{x}는 일대일함수이므로 그래프가 다음 그

림과 같다.

y

O x y=j3-xl+a`{x<3}

3 2 10a

2

2x+3 y=\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\`{x>3}x-2

곧, x=3에서 y=2x+3

x-2과 y=j3-xl+a의 함숫값이 같아야 하므로

2\3+3

3-2 =j3-3l+a / a=9 이때 f{2}=j3-2l+9=10이므로 f{2}f{k}=40에서 f{k}=4

함숫값이 4이면 x>3이므로 f{x}=2x+3 x-2 에서 2k+3

k-2=4, 2k+3=4{k-2} / k=11 2

11

n{A5B}=2이므로 그래프의 교점이 2개이다.

y=j4x-8l과 y=x+k의 그래프가 ^y

x O

2

y=x+k

y=j4x-8l

두 점에서 만나려면 오른쪽 그림에서 직선이 곡선과 접하는 경우를 제외한 색칠한 부분에 있으면 된다.

직선 y=x+k가 점 {2, 0}을 지날 때, 0=2+k / k=-2

직선 y=x+k가 y=j4x-8l의 그래프와 접할 때, 두 식에서 y를 소거하면 x+k=j4x-8l

양변을 제곱하면

x@+2kx+k@=4x-8, x@+2{k-2}x+k@+8=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

D

4={k-2}@-k@-8=0, -4k-4=0 / k=-1 / -2<k<-1

따라서 구하는 교점의 좌표는 {4, 2}, {-2, 4}

⑵ 원점 O와 직선 L 사이의 거리를 d라 하면 d=|-10|

11@+3@3=j10k

⑶ y=jxk의 역함수는 y@=x에서 y=x@ {x>0}이므로 y=x@ {x<0}의 그래프와 y축에 대칭이다.

곧, 오른쪽 그림에서 곡선 OA와 곡

O y

x A

B

-2 4

4 2 L y=f{x}

선 OB는 같은 꼴이고, OAZ=OBZ이 므로 색칠한 두 부분의 넓이는 같다.

ABZ =1{4+2}@+{2-4}@3

=2j10k

이고, 원점 O와 직선 L 사이의 거리는 j10k이므로 구하는 도형의 넓이는 삼각형 OAB의 넓이와 같다.

/ sOAB=1

2\2j10k\j10k=10

2-1

점 {a, b}가 y=f{x}와 y=f _!{x}의 그래프의 교점이라 하자. 점 {a, b}가 직선 y=x 위에 있지 않다고 하면 a=b이고, 점 {a, b}가 y=f{x}와 y=f _!{x}의 그래프 위에 있으므로 b=f{a}, b=f _!{a} / b=f{a}, a=f{b} yy ① a>b이면 조건에서 f{a}>f{b}

①에서 b>a이므로 모순이다.

a<b이면 조건에서 f{a}<f{b}

①에서 b<a이므로 모순이다.

따라서 점 {a, b}는 직선 y=x 위의 점이다.

01

^{2-j3}{2+j3}=2@-{j3}@을 이용한다.

{2-j3}{2+j3}=4-3=1이므로

{2-13}@){2+13}!* =9{2-j3}{2+j3}0!*{2-j3}@

={2-j3}@=7-4j3 따라서 a=7, b=-4이므로 a+b=3

02

f{n}=a이면 a<jnk<a+1이므로 a@<n<{a+1}@

j1=1, j4=2, j9=3, j16k=4, j25k=5, j36k=6, j49k=7이므로 f{1}=f{2}=f{3}=1

f{4}=f{5}=y=f{8}=2 f{9}=f{10}=y=f{15}=3

01

^③

02

^①

03

^j2+1

04

a=1, b=10, c=2 또는 a=-1, b=3, c=2

05

⁴⁸

06

^{⑴ 16 ⑵ j2}

07

^④

08

-1<k<-3

4

실력 문제 ₁₄₂~143^쪽

1-1

⑴ y=f{x}의 그래프와 직선 L이

O y

x A

B L 10\\\\\\\\\\\\\\\\\3 y=f{x}

오른쪽 그림과 같으므로 y=jxk의 그 래프와 직선 L의 교점을 구하기 위하 여 x를 소거하면 y@=x에서

y@+3y-10=0, {y-2}{y+5}=0 y>0이므로 y=2, x=4 / B{4, 2}

y=x@의 그래프와 직선 L의 교점을 구하기 위하여 y를 소거하면 3x@+x-10=0, {x+2}{3x-5}=0 x<0이므로 x=-2, y=4 / A{-2, 4}

141^쪽

f{16}=f{17}=y=f{24}=4

{j2+1}@=3+2j2에서 2j2=j8이므로 2<2j2<3이다.

곧, {j2+1}@의 정수 부분은 5이다.

1

⑴ 5의 배수는 10장, 11의 배수는 4장이고, 중복되지 않으므로 10+4=14

⑵ 2의 배수는 25장, 3의 배수는 16장이고, 6의 배수 8장이 중복되므로 25+16-8=33

2

주사위 A, B에서 나온 눈을 순서쌍 {a, b}로 나타낼 때

⑴ 합이 4인 경우는 {1, 3}, {2, 2}, {3, 1}의 3가지

합이 6인 경우는 {1, 5}, {2, 4}, {3, 3}, {4, 2}, {5, 1}의 5가지

중복되지 않으므로 3+5=8

⑵ 차가 4 이상이므로 차가 4 또는 5인 경우이다.

차가 4인 경우는 {1, 5}, {5, 1}, {2, 6}, {6, 2}의 4가지 차가 5인 경우는 {1, 6}, {6, 1}의 2가지

중복되지 않으므로 4+2=6

3

십의 자리 숫자를 x, 일의 자리 숫자를 y라 할 때, x+y<5인 경우를 찾으면 된다.

x=1일 때, y=0, 1, 2, 3, 4 → 5개 x=2일 때, y=0, 1, 2, 3 → 4개 x=3일 때, y=0, 1, 2 → 3개 x=4일 때, y=0, 1 → 2개 x=5일 때, y=0 → 1개 ∴ 5+4+3+2+1=15

note x+y의 값이 1, 2, 3, 4, 5인 경우로 나누어 풀 수도 있다.

4

⑴ 각 상의마다 하의 4벌을 입을 수 있으므로 3\4=12

⑵ ⑴에서 구한 각 경우마다 신발 3켤레를 신을 수 있으므로 {3\4}\3=36

5

십의 자리 숫자를 x, 일의 자리 숫자를 y라 하자.

⑴ x는 1, 3, 5, 7, 9가 가능하고 y는 2, 3, 5, 7이 가능하므로 5\4=20

⑵ x는 2, 4, 6, 8이 가능하고 y는 0, 2, 4, 6, 8이 가능하므로 4\5=20

148^쪽 개념 확인

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