수학 (하)
[ 코드가 맞는 수학 친구 ]8
B의 모든 원소가 A의 원소이므로 a@은 -1 또는 4이다. a는 실수이므로 a@=4 / a=-29
A=B이므로 두 집합의 원소가 같다. / a=5, b=210
⑴ 원소가 0개 : 원소가 1개 : 910, 920 원소가 2개 : 91, 20{=A} ⑵ 원소가 0개 : 원소가 1개 : 9a0, 9b0, 9c0, 9d0 원소가 2개 : 9a, b0, 9a, c0, 9a, d0,9b, c0, 9b, d0, 9c, d0 원소가 3개 : 9a, b, c0, 9a, b, d0, 9a, c, d0, 9b, c, d0 원소가 4개 : 9a, b, c, d0{=B}
11
⑴ 원소가 1개이므로 2!=2 ⑵ 원소가 5개이므로 2%=32 ⑶ 원소가 2, 3, 5, 7, 11, 13의 6개이므로 2^=6412
C A B A B B[C A[B C B A[C1
ㄱ, ㄷ : 작거나 크다는 기준이 분명하지 않다. ㅁ, ㅂ : 착하다는 기준이 분명하지 않다. 따라서 집합이 될 수 있는 것은 ㄴ, ㄹ이다.2
A의 원소는 2, 3, 5, 7이다. ⑴ 2{A ⑵ 5{A ⑶ 9:A3
⑴ 10보다 작은 홀수는 1, 3, 5, 7, 9이므로 91, 3, 5, 7, 90 ⑵ 10 이상 30 미만인 4의 배수는 12, 16, 20, 24, 28이므로 912, 16, 20, 24, 280 ⑶ |x-1|<2에서 -2<x-1<2 / -1<x<3 x는 정수이므로 -1, 0, 1, 2, 3이다. / 9-1, 0, 1, 2, 304
⑴ 1, 2, 3, y 17, 18, 19는 20보다 작은{또는 19 이하의} 자연수이므로 9x|x는 20보다 작은 자연수0 (또는 9x|x는 19 이하의 자연수0) ⑵ 4, 8, 12, 16, y은 4의 배수이므로 9x|x는 4의 배수05
⑴ 원소가 1, 2, 3, 6, 곧 4개이므로 n{A}=4 ⑵ 6의 배수는 짝수이므로 홀수는 없다. 곧, 공집합이므로 n{A}=06
⑴ 은 공집합이므로 n{A}=0 ⑵ 900는 원소가 0인 집합이므로 n{A}=1 ⑶ 90는 원소가 인 집합이므로 n{A}=17
⑴ x@=9이면 x=-3이므로 B=9-3, 30 곧, B의 모든 원소가 A의 원소이므로 B[A ⑵ B=93, 6, 9, 12, y0이므로 A, B의 원소가 같다. / A=B⑶ A=91, 3, 5, y0, B=91, 2, 3, 4, 5, y0이므로 A의 모든 원소가 B의 원소이다. / A[B 11~12쪽 개념 확인
01
집합
01
.
집합
⑴ n=1, 2, 3이므로 x=n 에 대입하면1 x=1, 1 2 , 1 3 / - 1, 12, 13= ⑵ n=-1, 0, 1, 2이므로 x=4n-1에 대입하면 x=-5, -1, 3, 7 / 9-5, -1, 3, 70 ⑶ x@=4에서 x=-2 x는 B의 원소이므로 x=2 / 920 ⑷ a=1, 2, 3이고 b=-1, 0, 1, 2이므로 가능한 a+b의 값은 다음 표와 같다. a b -1 0 1 2 1 0 1 2 3 2 1 2 3 4 3 2 3 4 5 집합의 원소는 중복하여 쓰지 않으므로 90, 1, 2, 3, 4, 50 13쪽 예제1
유제
1-1
⑴ x$=1에서 x$-1=0, {x@+1}{x@-1}=0 x는 실수이므로 x@-1=0 / x=-1 또는 x=1 / 9-1, 10 ⑵ n=2, 4, 6, 8이므로 x=2 n 에 대입하면 x=1, 1 2 , 1 3 , 1 4 / - 1, 12, 1 3, 1 4= ⑶ n=1, 2, 3, 4, y이므로 x=3n+1에 대입하면 x=4, 7, 10, 13, y / 94, 7, 10, 13, y0 ⑷ n=y, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, y이므로 x=2n에 대입 하면 x=y, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, y / 9y, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, y0 note 다음도 가능하다. 90, -2, -4, -6, y0, 90, 2, -2, 4, -4, 6, -6, y0 유제1-2
⑴ a=-1, 0, 1이고 a b 1 2 -1 0 1 0 1 2 1 2 3 b=1, 2이므로 가능한 a+b는 오른쪽 표에서 0, 1, 2, 3 / 90, 1, 2, 30 ⑵ a=-1, 0, 1이고 b=1, 2이므로 a b 1 2 -1 -1 -2 0 0 0 1 1 2 가능한 a\b는 오른쪽 표에서 -2, -1, 0, 1, 2 / 9-2, -1, 0, 1, 20 ⑶ b1=1, 2이고 b2=1, 2이므로 b1 b2 1 2 1 1 2 2 2 4 가능한 b1\b2는 오른쪽 표에서 1, 2, 4 / 91, 2, 40 14쪽 예제2
A의 원소는 자연수 1과 2 그리고 91, 20이다. ㄴ. 920[A ㅂ. 1, 2가 A의 원소이므로 91, 20[A ㅅ. A의 원소는 3개이다. ㅇ. 991, 200도 원소가 1개인 A의 부분집합이다. ㅈ. 1, 2는 A의 원소이지만 집합 91, 20의 부분집합이 아니다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ, ㅁ의 ② 4개이다. 유제2-1
A의 원소는 a, b, 공집합 , 9a0이다.따라서 과 9a0는 A의 원소이기도 하고, A의 부분집합이기도 하다.
ㄴ. a는 A의 원소이므로 9a0[A
ㅇ. 집합 9a0의 모든 부분집합은 , 9a0이고, 이것은 모두 A의 원소이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ, ㅅ, ㅇ의 ⑤ 7개이다. 15쪽 예제
3
⑴ 원소가 5개이므로 부분집합의 개수는 2%=32 ⑵ 94, 6, 80의 부분집합과 같다. 따라서 구하는 부분집합의 개수는 2#=8 ⑶ 94, 6, 80의 모든 부분집합에 0과 2를 넣으면 된다. 따라서 구하는 부분집합의 개수는 2#=8 ⑷ 94, 6, 80의 부분집합에 0만 넣는 경우, 2만 넣는 경우, 0과 2를 모두 넣는 경우가 있다. 따라서 구하는 부분집합의 개수는 2#\3=24 다른 풀이 모든 부분집합의 개수에서 0과 2가 원소가 아닌 부분집합의 개수를 빼면 되므로 2%-2#=24 유제3-1
⑴ A의 부분집합의 개수는 2@=4 B의 부분집합의 개수는 2^=64 ⑵ 9b, c, d, f 0의 부분집합과 같다. 따라서 구하는 부분집합의 개수는 2$=16⑶ 9b, c, d, f 0의 부분집합에 A의 원소 a와 e를 넣으면 되므로 구하는 부분집합의 개수는 2$=16
⑷ 9b, c, d, f 0의 부분집합에
a를 넣는 경우, e를 넣는 경우, a와 e를 모두 넣는 경우가 있다. 따라서 구하는 부분집합의 개수는 2$\3=48 다른 풀이 B의 모든 부분집합의 개수에서 a와 e가 원소가 아닌 부분집합의 개수를 빼면 되므로 2^-2$=48
0
1
ㄴ과 ㄷ의 ‘높은’, ‘빠른’은 기준이 명확하지 않다. 따라서 집합인 것은 ㄱ, ㄹ, ㅁ의 3개이다.0
2
① 원소는 0, 1의 2개이므로 n{A}=2 (거짓) ② 원소는 , 0의 2개이므로 n{9, 00}=2 (거짓) ③ 910의 원소는 1개, 930의 원소도 1개이므로 n{910}=n{930}=1 (거짓)0
1
③0
2
④0
3
④0
4
10
5
40
6
80
7
④0
8
③, ④0
9
710
⑴ 8 ⑵ 1211
⑴ 풀이 참조 ⑵ a=1, b=-1, c=312
⑤ 16~17쪽 연습 문제④ 은 공집합이므로 원소가 0개, 90은 원소가 의 1개 / n{}+n{90}=0+1=1 (참) ⑤ 예를 들어 A=910, B=920이면 n{A}=n{B}=1이지만 A=B (거짓) 따라서 옳은 것은 ④이다.
0
3
A에서 x@-3x+2=0, {x-1}{x-2}=0이므로 x=1 또는 x=2 / A=91, 20 B에서 x@-4<0, {x+2}{x-2}<0이므로 -2<x<2 / B=9x|-2<x<20 C에서 |x-1|<1, -1<x-1<1, 0<x<2 x는 정수이므로 x=1 / C=910 따라서 A, B, C의 포함 관계는 C[A[B0
4
A=B이므로 -4{A, 2{A / 2a=-4 또는 2a=2 ! 2a=-4일 때, a=-2이므로 A=91, -4, -70, B=9-4, 2, 100 곧, A=B에 모순된다. @ 2a=2일 때, a=1이므로 A=91, 2, -40, B=9-4, 2, 10 곧, A=B가 성립한다. !, @에서 a=1note 1{B이므로 2a@-a=1로 놓고 a의 값을 구해도 된다.
0
5
집합 A의 모든 부분집합은 16개이다. A의 원소의 개수를 k라 하면 2K=16 / k=40
6
A=91, 2, 40, B=91, 2, 3, 4, 6, 120 따라서 X는 B의 부분집합 중 A를 포함하는 집합이므로 1, 2, 4 를 원소로 갖는다. 93, 6, 120의 부분집합에 1, 2, 4를 넣으면 되므로 구하는 X의 개수는 2#=80
7
원소나열법으로 나타낸다.① y=1, 2, 3, 4, 5, y를 x=2y-1에 대입하면 91, 3, 5, 7, 9, y0
② 4=2@과 서로소인 자연수는 2를 약수로 갖지 않으므로 91, 3, 5, 7, 9, y0
③ y=2, 4, 6, 8, 10, y을 x=y-1에 대입하면 91, 3, 5, 7, 9, y0 ④ 약수의 개수가 홀수이면 제곱수이므로 91, 4, 9, 16, 25, y0 ⑤ 모든 홀수 a는 a=1\a이므로 두 홀수의 곱으로 나타낼 수 있다. 그러나 짝수는 두 홀수의 곱으로 나타낼 수 없으므로 91, 3, 5, 7, 9, y0 따라서 나머지 넷과 다른 하나는 ④이다.
0
8
원소이면 {, 부분집합이면 [ ① 은 모든 집합의 부분집합이므로 [A (참) ② 은 A의 원소이므로 {A, 90[A (참) ③ a는 A의 원소이므로 9a0[A (거짓) ④ 9a, b0는 A의 원소이므로 9a, b0{A (거짓) ⑤ 9a, b0는 A의 부분집합이므로 9a, b0[A (참) 따라서 옳지 않은 것은 ③, ④이다.0
9
a가 원소가 아닌 부분집합 ⇨ a를 제외하고 생각 a가 원소인 부분집합 ⇨ a를 제외하고 생각한 후, a를 추가 A=91, 2, 3, y, n-1, n0에서 1, 2, n을 제외한 93, 4, 5, y, n-10의 부분집합에 1과 2를 넣으면 된다. 이때 이 부분집합의 개수가 16이므로 2N_#=16, 2N_#=2$, n-3=4 / n=710
⑴ 최댓값이 4이면 4는 원소, 5는 원소가 아니다. ⑵ 공집합, 짝수만의 집합에 홀수를 2개 넣은 집합을 생각한다. ⑴ A의 부분집합 중 4는 원소이고, 5는 원소가 아닌 부분집합과 같다. / 2#=8 ⑵ 집합 92, 40의 부분집합에 1, 3, 5 중 2개를 넣은 집합의 개수 와 같다. 집합 92, 40의 부분집합의 개수는 2@=4이고 1, 3, 5 중 2개를 고르는 경우는 {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}이다. / 4\3=1211
⑵ 각 부등식을 푼 후, 세 집합이 같음을 이용한다. ⑴ A[B, B[C이면 A[C곧, A[C, C[A이므로 A=C yy ① A=C이므로 A[B, B[C에서
C[B, B[C / B=C yy ② ①, ②에서 A=B=C
⑵ A=B이고 B=9x|b-a<x<5-a0이므로 -2=b-a, 4a=5-a / a=1, b=-1 또 A=C이고 C=9x|a-c<x<a+c0이므로 -2=a-c, 4a=a+c 이때 a=1이므로 c=3
12
자연수 k를 거듭제곱한 수에서 일의 자리 수는 반복된다. ㄱ. k=3이면 3!=3, 3@=9, 3#=27, 3$=81, 3%=243, y이므로 A{3}=93, 9, 7, 10 곧, 1{A{3}이므로 참 ㄴ. k=6이면 6!=6, 6@=36, 6#=216, y이므로 A{6}=960 곧, A{6};A{3}이므로 거짓 ㄷ. k=3@=9이면 9!=9, 9@=81, 9#=729, y이므로 A{3@}=99, 10, 곧 A{3@}[A{3}이므로 참 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.1
⑴ A B U ⑵ A B U ⑶ A B U ⑷ A B U ⑸ A B U ⑹ A B U2
⑴ A B U ⑵ A B U ⑶ A B U ⑷ A B U ⑸ A B U3
U와 A, B의 원소를 벤다이어그램 A B U 1 8 2 4 7 9 10 3 5 6 에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. ⑴ A5B=92, 40 ⑵ A6B=91, 2, 3, 4, 5, 6, 80 ⑶ AC=93, 5, 6, 7, 9, 100 ⑷ BC=91, 7, 8, 9, 100 ⑸ {A5B}C=91, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 100 ⑹ {A6B}C=97, 9, 100 ⑺ A-B=91, 80 ⑻ B-A=93, 5, 60 ⑼ {A-B}6{B-A}=91, 3, 5, 6, 80 20쪽 개념 확인02
집합의 연산
U와 A, B, C의 원소를 벤다이어그램 U A C B 3 12 6 8 10 5 7 2 4 9 1 11 에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. ⑴ U A C B ⑵ U A C B {A5B}5CC=990 AC5{B6C}C=91, 110 ⑶ U A C B ⑷ U A C B A-{B-C}=93, 6, 120 C-{A6B}=92, 40 ⑸ U A C B ⑹ U A C B {A-B}6{C-B} A6{BC5CC} =92, 3, 4, 120 =91, 3, 6, 9, 11, 120 유제4-1
A=94, 8, 12, 16, 200 U A C B 8 6 20 10 2 4 12 16 14 18 B=910, 12, 14, 16, 18, 200 C=92, 4, 10, 200 이므로 U와 A, B, C의 원소를 벤다 이어그램에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 21쪽 예제4
4
⑴ U A C B ⑵ U A C B ⑶ U A C B ⑷ U A C B⑴ U A C B ⑵ U A C B A6{B5C} {A5B}6{A5C} =94, 8, 10, 12, 16, 200 =94, 12, 16, 200 ⑶ U A C B ⑷ U A C B {A6C}-B=92, 4, 80 {A-B}-C=980 ⑸ U A C B ⑹ U A C B {A-B}6CC AC-{B5C} =94, 6, 8, 12, 14, 16, 180 =92, 6, 14, 180 22쪽 예제
5
⑴ A5B=93, 40이므로 4가 B의 원소이다. 곧, a@-5=4 / a=-3 또는 a=3a=-3일 때, A=94, a, a@+10=94, -3, 100이므로 A5B=93, 40를 만족하지 않는다.
a=3일 때, A=94, a, a@+10=94, 3, 100이므로 A5B=93, 40를 만족하고 A6B=92, 3, 4, 100 / a=3, A6B=92, 3, 4, 100 ⑵ U와 A, B의 원소를 벤다이어그램에 A B U b a f c g d e h 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 색칠한 부분의 원소는 d, e, h 이다. / A=9b, d, e, h0 ⑶ {A5B}6C=C이므로 {A5B}[C {A6B}5C=C이므로 C[{A6B} A5B=94, 50, A6B=91, 2, 3, 4, 5, 6, 70 이므로 C는 A6B의 부분집합 중 4와 5를 원소로 갖는 부분집 합이다. 따라서 C의 개수는 91, 2, 3, 6, 70의 부분집합의 개수와 같으 므로 2%=32 유제
5-1
1, 4, 7은 A의 원소이므로 a가 4 또는 7이다. a=4일 때, A=91, 3, 4, 70, B=92, 3, 60이므로 A-B=91, 4, 70을 만족한다. a=7일 때, A=91, 3, 7, 130, B=93, 5, 90이므로 A-B=91, 4, 70을 만족하지 않는다. / a=4유제
5-2
B-A, AC, AC6BC는 다음 벤다이어그램에서 색칠 한 부분이다. A B U A B U A B U B-A AC AC6BC 주어진 집합의 원소를 벤다이어그램 A B U 1 6 10 5 9 2 8 3 4 7 에 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로 색칠한 부분의 원소는 2, 8이다. / A=91, 2, 6, 8, 100, {A6B}C=93, 4, 70 유제5-3
{A-B}6C=C이므로 {A-B}[C {A6B}5C=C이므로 C[{A6B} A-B=9a, b, c0, A6B=9a, b, c, d, e, f, g0 이므로 C는 A6B의 부분집합 중 a, b, c를 모두 원소로 갖는 부 분집합이다. 따라서 C의 개수는 9d, e, f, g0의 부분집합의 개수 와 같으므로 2$=16 23쪽 예제6
① {AC}C=A (참) ② A5AC=, A6AC=U (참) ③ 다음 벤다이어그램의 AC와 B의 합집합을 생각하면 AC6B=U (참) A B U AC A B U B ④ A6B=A에서 B[A이므로 다음 벤다이어그램에서 AC[BC (거짓) B A U AC B A U BC
⑤ A6B=U이므로 x:A이면 x{B 곧, x{AC이면 x{B이므로 AC[B (참) 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. note ⑤ BC[A도 성립한다. 유제
6-1
⑴ A5AC=이므로 {A5AC}C=C=U ⑵ A6AC=U이므로 {A6AC}C=UC= ⑶ 다음 벤다이어그램에서 A, BC의 공통부분이 없으므로 A5BC= A B U A A B U BC ⑷ {AC}C=A이므로 {AC}C5B=A5B=A 유제6-2
AC5B=이면 오른쪽 벤다 A B U 이어그램에서 색칠한 부분에 원소가 없다. 곧, B의 원소는 A의 원소이다. ① B[A (참) ② A5B=B (참) ③ AC[BC (참) ④ A의 원소 중 B의 원소가 아닌 것이 있을 수 있으므로 A-B= (거짓) ⑤ 다음 벤다이어그램에서 A와 BC의 합집합을 생각하면 A6BC=U (참) B A U A B A U BC 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 24쪽 예제7
⑴ -1{B, 1{B이므로 x=-1, 1은 방정식 x#+2x@+ax+b=0의 해이다. x=-1, 1을 대입하면 -1+2-a+b=0, 1+2+a+b=0 두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=-2 이때 방정식 x#+2x@-x-2=0에서 x@{x+2}-{x+2}=0, {x+2}{x@-1}=0 {x+2}{x+1}{x-1}=0 / x=-2 또는 x=-1 또는 x=1 / B=9-2, -1, 10 ⑵ -2<x<2에서 x@-x+a<0이다. O x y 2 -2 x=2! y=f{x} 2! `f{x}=x@-x+a라 하면 y=f{x}의 그래프는 오른쪽 그림과 같아야 하므로 `f{-2}=4+2+a<0 / a<-6 `f{2}=4-2+a<0 / a<-2 / a<-6 note 그래프의 축이 직선 x=12 이므로 f{-2}<0만 생각 해도 된다. ⑶ g{x}<0< f{x}에서 f{x}>0 g{x}<0 9x| f{x}>00 =9x| f{x}>0 또는 f{x}=00=A6C 9x| g{x}>00 =9x| g{x}>0 또는 g{x}=00=B6D g{x}<0은 g{x}>0이 아닌 경우이므로 9x|g{x}<00={B6D}C 따라서 주어진 부등식의 해를 집합 A, B, C, D로 나타내면 {A6C}5{B6D}C note BC=9x|g{x}<00이므로 9x|g{x}<00=BC-D 이때 벤다이어그램을 그리면 {B6D}C와 BC-D가 같은 집합임을 알 수 있다. 따라서 구하는 집합을 {A6C}5{BC-D}라 해도 된다. 유제7-1
A[B이고 B[A이므로 A=B이다. A의 원소는 방정식 x#+ax@-x-a=0의 해이다. x{x@-1}+a{x@-1}=0, {x+a}{x@-1}=0 {x+a}{x+1}{x-1}=0 / x=-a 또는 x=-1 또는 x=1 B의 원소와 비교하면 -a=2이고 b<c이므로 a=-2, b=-1, c=1 유제7-2
B의 원소는 부등식 x@+{b-2}x-2b<0의 해이다. x@+{b-2}x-2b<0에서 {x-2}{x+b}<0 b<-2이므로 해는 2<x<-b B[A이려면 오른쪽 그림에서 x a 2 -b 5 A B a<2, -b<5 곧, a<2, -5<b<-2이므로 a-b의 최댓값은 2-{-5}=7 유제7-3
AC=9x| f{x}<00이므로 9x| f{x}<00=AC6C BC=9x| g{x}<00이므로 9x| g{x}<00=BC6D 따라서 구하는 연립부등식의 해를 집합 A, B, C, D로 나타내면 {AC6C}5{BC6D}⑤ U A C B BC5{A6C} 따라서 구하는 집합은 ③이다.
0
4
벤다이어그램에 주어진 집합을 나타내면 다음과 같다. ㄱ. A B U A B U A5B A-B ㄴ. A B U A B U A5B {A6B}C ㄷ. A B U A B U A5BC AC5B 따라서 두 집합이 서로소인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.0
5
AC6B=U이면 오른쪽 벤다이어그 A B U 램과 같다. 따라서 A6BC=U이므로 ③은 옳지 않 다.0
6
⑴ A5X=이면 A와 X는 서로소이므로 X는 A의 원소 1, 3, 5를 모두 원소로 갖지 않는다. 따라서 X는 1, 3, 5를 모두 원소로 갖지 않는 U의 부분집합 이므로 92, 4, 60의 부분집합의 개수와 같다. / 2#=8 ⑵ A6X=U이면 X는 AC의 원소 2, 4, 6을 모두 원소로 갖는 다. 따라서 X는 2, 4, 6을 모두 원소로 갖는 U의 부분집합이므로 91, 3, 50의 부분집합의 개수와 같다. / 2#=80
7
3{A6B이므로 3{A 또는 3{B이다. A6B=90, 1, 2, 30이므로 3{A 또는 3{B이고, A, B의 각 원소는 0, 1, 2, 3 중 하나이다.! 3{A일 때, a@-1=3 / a=-2 또는 a=2
0
1
A, B를 수직선 위에 나타내 5 -3 1 2 x A B 면 오른쪽 그림과 같다. ⑴ A6B=9x|-3<x<50 ⑵ A5B=9x|1<x<20 ⑶ A-B=9x|-3<x<10 ⑷ BC=9x|x<1 또는 x>500
2
{A6B}C5C는 오른쪽 벤다이어 A C U B 그램에서 색칠한 부분이므로 x는 C의 원소이고 A와 B의 원소가 아니다. / x{{C-A}0
3
① U A C B A6{B5C} ② U A C B A5{B6C} ③ U A C B B5{A6C} ④ U A C B AC5{B6C}0
1
⑴ 9x|-3<x<50 ⑵ 9x|1<x<20 ⑶ 9x|-3<x<10 ⑷ 9x|x<1 또는 x>500
2
⑤0
3
③0
4
⑤0
5
③0
6
⑴ 8 ⑵ 80
7
a=2, B=90, 1, 300
8
91, 2, 6, 700
9
a=4, b=6, c=710
③11
⑴ 91, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 120 ⑵ 92, 4, 8, 120 ⑶ 91, 3, 9012
16 25~26쪽 연습 문제 다른 풀이 `f{x}<0은 f{x}>0이 아닌 경우이므로 9x| f{x}<00={A-C}C g{x}<0은 g{x}>0이 아닌 경우이므로 9x| g{x}<00={B-D}C 따라서 구하는 연립부등식의 해를 집합 A, B, C, D로 나타내면 {A-C}C5{B-D}Ca=-2이면 a-1=-3이므로 -3{B 곧, A6B=90, 1, 2, 30에 모순이다. a=2이면 a-1=1, 2a-1=3이므로 A=91, 2, 30, B=90, 1, 30 이때 A6B=90, 1, 2, 30이다. @ 3{B일 때,
a-1=3에서 a=4이면 2a-1=7이므로 7{B 곧, A6B=90, 1, 2, 30에 모순이다.
2a-1=3에서 a=2이면 a@-1=3, a-1=1이므로 A=91, 2, 30, B=90, 1, 30 이때 A6B=90, 1, 2, 30이다. !, @에서 a=2, B=90, 1, 30 다른 풀이 a@-1=0 또는 a@-1=3이므로 a=-1 또는 a=-2 이 값을 A, B에 대입하여 A6B=90, 1, 2, 30이 되는 경우를 찾으면 a=2
0
8
벤다이어그램을 그려 A를 구한다. 주어진 조건을 만족하는 U와 A, B의 원 A B U 1 2 3 4 5 6 7 8 9 소를 벤다이어그램에 나타내면 오른쪽 그 림과 같다. / A=91, 2, 6, 700
9
벤다이어그램의 색칠한 부분을 집합으로 나타내 본다. 벤다이어그램의 색칠한 부분이 나타내는 집합은 A5{B6C} 따라서 4, 6, 7은 A와 B6C의 원소이다. 4, 6, 7이 A의 원소이므로 a=4 4, 6, 7이 B6C의 원소이고 B6C=9b, c, 3, 4, 5, 8, 90 이므로 b=6, c=7 (∵ b<c)10
ㄷ. 더할 때, 중복되는 부분이 있음을 주의한다. ㄷ. `f{A}+f{B}는 f{A5B}가 중복되므로 `f{A6B}=f{A}+f{B}-f{A5B} (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.note ㄴ. A=B일 때도 A[B이므로 f{A}=f{B}일 수 있다.
11
A6BC와 {A5B}C를 벤다이어그램으로 나타낸다. A6BC, {A5B}C는 다음 벤다이어그램에서 색칠한 부분이다. A B U A6BC A B U {A5B}C ⑴ {A6BC}6{A5B}C=U이므로 U=91, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 120 ⑵ {A6BC}-{A5B}C=A5B이므로 A5B=92, 4, 8, 120 ⑶ {A5B}C-{A6BC}=B-A이므로 B-A=91, 3, 9012
A-X=A, B-X=일 때, A와 X, B와 X의 관계 를 구한다. A-X=A이면 A의 모든 원소가 X의 원소가 아니므로 1, 2, 4, 8은 X의 원소가 아니다. B-X=이면 B의 모든 원소가 X의 원소이므로 3, 9는 X의 원소이다. 따라서 X의 개수는 95, 6, 7, 100의 부분집합의 개수와 같으므로 2$=161
⑴ 두 집합을 벤다이어그램에 나타내면 다음과 같이 서로 같다. U A C B U A B C A6{B5C} {A6B}5{A6C} ⑵ 두 집합을 벤다이어그램에 나타내면 다음과 같이 서로 같다. A B U {A5B}C A B U AC6BC2
❶ 앞의 교집합에서 A와 B의 위치를 바꾸었으므로 교환법칙 ❷ 두 교집합에서 뒤를 먼저 계산하였으므로 결합법칙3
❶ A5BC와 A5CC에서 공통인 A5으로 묶었으므로 분배법칙 ❷ BC와 CC에서 C로 묶었으므로 드모르간의 법칙4
n{A6B}=n{A}+n{B}-n{A5B}이므로 ⑴ n{A6B}=7+5-3=9 ⑵ 12=6+10-n{A5B} / n{A5B}=4 ⑶ 15=7+n{B}-3 / n{B}=11 30쪽 개념 확인03
집합의 연산법칙
⑵ A5B=이므로 U와 A, B, C의 벤다이어그램은 다음 그 림과 같다. ① ② ③ A C B U ②의 개수는 n{A5C}=3 ①의 개수는 n{A-C}=n{A5CC}=6 ③의 개수는 n{C-B}-② =n{C5BC}-② =6-3=3 / n{A6B6C}=n{A6B}+③=16+3=19 유제
9-1
AC6BC={A5B}C이므로 n{A5B}=n{U}-n{{A5B}C}=30-24=6 각 집합의 원소의 개수를 벤다이어그램 A B U{30} {6} 15-6 11-6 에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 색칠한 부분의 원소의 개수는 30-9-6-5=10 ⑴ n{A5B}=6 ⑵ n{A6B}=9+6+5=20 ⑶ AC5BC={A6B}C이므로 n{AC5BC}=30-20=10 유제9-2
A5C=이므로 A, A B C B, C의 벤다이어그램은 오른쪽 그림과 같다. 이때 n{A6B6C} =n{A6B}+n{C}-n{B5C} 이므로 20=15+7-n{B5C} / n{B5C}=2 33쪽 예제10
⑴ A3은 3의 배수, A4는 4의 배수의 집합이므로 A35A4는 3의 배수이고 동시에 4의 배수인 수의 집합이다. 따라서 12의 배수의 집합이다. / A35A4=A12 / k=12 ⑵ 100보다 작은 3의 배수는 3\1, 3\2, y, 3\33이므로 n{A3}=33 100보다 작은 4의 배수는 4\1, 4\2, y, 4\24이므로 n{A4}=24 100보다 작은 12의 배수는 12\1, 12\2, y, 12\8이므로 n{A12}=8 / n{A36A4} =n{A3}+n{A4}-n{A35A4} =33+24-8=49 ⑴ {A5B}6{A6BC}C ={A5B}69AC5{BC}C0 ={A5B}6{AC5B} ={A6AC}5B =U5B=B ⑵ 9A5{AC6B}069BC5{A6B}0 =9{A5AC}6{A5B}069{BC5A}6{BC5B}0 ={A5B}6{BC5A} =A5{B6BC}=A ⑶ {A-B}6{A-C} ={A5BC}6{A5CC} =A5{BC6CC}=A-{B5C} 유제8-1
(좌변) ={A5BC}C5{A6B} ={AC5A}6B=6B=B 따라서 주어진 식은 B=A5B이므로 B[A ② A6B=A ④ A-B= 이므로 옳은 것은 ③, ⑤이다. note 좌변의 벤다이어그램을 그려 우변과 비교해도 된다. 유제8-2
⑴ {A5B}6{A-B} ={A5B}6{A5BC} =A5{B6BC}=A 이므로 9{A5B}6{A-B}05AC=A5AC= ⑵ B5{B6C}=B이므로 9A5{AC6B}069B5{B6C}0 =9{A5AC}6{A5B}06B ={A5B}6B=B 32쪽 예제9
⑴ n{AC5B}=n{B-A}=14 n{AC5BC}=n{{A6B}C}=9 이므로 각 집합의 원소의 개수를 벤다 A B {6} {14} {9} U{40} 이어그램에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 색칠한 부분에 속하는 원소의 개수는 40-6-14-9=11 / n{A}=11+6=17 n{AC6BC}=n{{A5B}C}=40-6=34 A5BC U {B5C}C AC6B U 31쪽 예제8
⑶ {A26A3}5A4={A25A4}6{A35A4} yy ① 에서 A25A4는 2의 배수이고 4의 배수인 수의 집합이므로 4의 배수의 집합이다. 곧, A25A4=A4 A35A4는 12의 배수의 집합이므로 A35A4=A12 또 12의 배수는 모두 4의 배수이므로 A12[A4 따라서 ①은 A46A12=A4이고, 원소의 개수는 n{A4}=24 유제
10-1
⑴ A12는 12의 약수의 집합, A18은 18의 약수의 집합이고, A125A18은 12와 18의 최대공약수인 6의 약수의 집합이다. / A125A18=A6 / k=6 ⑵ A12=91, 2, 3, 4, 6, 120, A18=91, 2, 3, 6, 9, 180, A6=91, 2, 3, 60이므로 n{A126A18} =n{A12}+n{A18}-n{A125A18} =6+6-4=8 ⑶ {A126A18}5A24={A125A24}6{A185A24} yy ① 에서 A12는 12의 약수의 집합, A24는 24의 약수의 집합이고 12와 24의 최대공약수는 12이므로 A125A24=A12 A18은 18의 약수의 집합, A24는 24의 약수의 집합이고, 18과 24의 최대공약수는 6이므로 A185A24=A6 또 6의 약수는 모두 12의 약수이므로 A6[A12 따라서 ①은 A126A6=A12이고, 12의 약수는 6개이므로 n{A12}=6 ⑷ k의 약수는 모두 36의 약수이어야 한다. 따라서 k는 36의 약수이면 된다. 36의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36이므로 가능한 k는 모 두 9개이다. 유제10-2
재성이네 반 학생의 모임을 집합 U, 방과 후 취미 활동으로 운동을 하는 학생의 모임을 집합 A, 독서를 하는 학생 의 모임을 집합 B라 하면n{U}=42, n{A}=23, n{B}=17, n{{A6B}C}=10 ⑴ n{{A6B}C}=n{U}-n{A6B}이므로 10=42-n{A6B} / n{A6B}=32 n{A6B}=n{A}+n{B}-n{A5B}이므로 32=23+17-n{A5B} / n{A5B}=8 따라서 운동도 하고 독서도 하는 학생은 8명이다. ⑵ n{A-B}=n{A}-n{A5B}=23-8=15 따라서 운동은 하지만 독서는 하지 않는 학생은 15명이다.
0
1
⑴ {A5B}6{A5C}에서 공통부분 A5로 묶으면 A5 {B6C} ⑵ {A6C}5{B6C}에서 공통부분 6C로 묶으면 { A5B }6C0
2
{AC6B}5BC ={AC5BC}6{B5BC} ={A6B}C6={A6B}C / 9{AC6B}5BC0C=9{A6B}C0C=A6B 다른 풀이 드모르간의 법칙을 먼저 이용하면 9{AC6B}5BC0C ={AC6B}C6{BC}C ={A5BC}6B ={A6B}5{BC6B} ={A6B}5U=A6B0
3
{A5BC}6{B5AC} ={A-B}6{B-A} =9b, d, f 0 이므로 오른쪽 벤다이어그램에서 A B U ① ② ③ ①, ③의 원소는 b, d, f A와 비교하면 ①의 원소는 b, d 따라서 ③의 원소는 f ②는 A의 원소에서 ①의 원소를 빼면 a, c, e B는 ②, ③의 원소이므로 B=9a, c, e, f 00
4
A-BC=A5{BC}C=A5B이므로 {A6B}5{A-BC}={A6B}5{A5B}=A5B 9{A6B}5{A-BC}06A={A5B}6A=A / A=U0
5
각 집합의 원소의 개수를 벤다이어 A B U{50} {17} 35-17 28-17 그램에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. ⑴ n{AC}=50-28=22 ⑵ n{B-A}=35-17=18 ⑶ n{A5BC}=n{A-B}=28-17=11 ⑷ n{A6B}=11+17+18=46 ⑸ n{AC6BC} =n{{A5B}C}=n{U}-n{A5B} =50-17=33 ⑹ n{AC5BC} =n{{A6B}C}=n{U}-n{A6B} =50-46=40
1
⑴ A5 ⑵ A5B0
2
③0
3
9a, c, e, f 00
4
④0
5
⑴ 22 ⑵ 18 ⑶ 11 ⑷ 46 ⑸ 33 ⑹ 40
6
⑤0
7
⑤0
8
풀이 참조0
9
②10
2811
최댓값 : 18, 최솟값 : 1212
④ 34~35쪽 연습 문제이므로 B-A=96, 7, 80 주어진 집합의 원소를 벤다이어그램에 A B U 3 5 1 2 4 6 7 8 나타내면 오른쪽 그림과 같다. AsB={A-B}6{B-A}는 색칠 한 부분이므로 AsB의 원소의 합은 1+2+4+6+7+8=28
11
n{A}+n{B}>n{U}이므로 n{A5B}=0이다. n{A}<n{B}이므로 A[B일 때, n{A5B}가 최대이고 최댓값은 n{A}=18이다. n{A6B}=n{A}+n{B}-n{A5B} yy ① 이므로 n{A5B}가 최소이면 n{A6B}가 최대이다. {A6B}[U이므로 n{A6B}의 최댓값은 n{U}=30 이때 ①에서 18+24-n{A5B}=30 / n{A5B}=12 따라서 A6B=U일 때, n{A5B}의 최솟값은 12이다.12
세 명을 동시에 적을 수 없으므로 n{A5B5C}=0 세 후보 A, B, C를 뽑은 학생의 집합을 각각 A, B, C라 하자. 주어진 조건에 따라 뽑은 학생 수를 벤다 A C B {2} {x} {10} {0} {8} {2} {1} 이어그램에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. B와 C가 적힌 투표용지가 x장이라 하면 전체 학생 수가 35이므로 35=2+10+0+8+1+x+2 / x=12 따라서 각 후보가 얻은 표는 A는 20, B는 23, C는 22이므로 B, C, A의 순이다.0
6
조사한 학생의 모임을 집합 U, 노트북이 있는 학생의 모임 을 집합 A, 태블릿 pc가 있는 학생의 모임을 집합 B라 하면 n{A6B} =n{A}+n{B}-n{A5B} =12+6-3=15 노트북과 태블릿 pc 둘 다 없는 학생의 집합은 {A6B}C이므로 n{{A6B}C}=n{U}-n{A6B}=30-15=15 따라서 구하는 학생 수는 15명이다.0
7
A5BC=이므로 A와 B의 포함 관계부터 조사한다. A와 BC가 서로소이므로A5BC=, A-B= / A[B ㄱ. A-B= (참)
ㄴ. A[B이므로 A5B=A / {A5B}C=AC (참) ㄷ. {AC6B}5A ={AC5A}6{B5A} =6A=A (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
0
8
교환법칙, 결합법칙, 분배법칙을 이용한다. {A6B}5{AC6B}5{A6BC} ={A6B}5{A6BC}5{AC6B} =9{A6B}5{A6BC}05{AC6B} =9A6{B5BC}05{AC6B} ={A6}5{AC6B} =A5{AC6B}={A5AC}6{A5B} =6{A5B}=A5B note 벤다이어그램을 그려 서로 같음을 비교해도 된다.0
9
필요하면 원소를 나열하여 집합을 비교한다. ① A26A4 =92, 4, 6, 8, y0694, 8, 12, 16, y0 =92, 4, 6, 8, y0=A2 ② A26A3 =92, 4, 6, 8, y0693, 6, 9, 12, y0 =92, 3, 4, 6, 8, 9, y0=A6 ③ A25A3의 원소는 2의 배수이면서 동시에 3의 배수인 수이다. 따라서 A25A3의 원소는 6의 배수이다. 곧, A25A3=A6 ④ A45A6의 원소는 4의 배수이면서 동시에 6의 배수인 수이다. 따라서 A45A6의 원소는 4와 6의 최소공배수 12의 배수이다. 곧, A45A6=A12이므로 A12[{A45A6} (참) ⑤ A25A4의 원소는 2의 배수이면서 동시에 4의 배수인 수이다. 따라서 A25A4의 원소는 4의 배수이다. 곧, A25A4=A4 또 A8의 원소는 8의 배수이고 8의 배수는 4의 배수이므로 A8[A4 / A8[{A25A4} (참) 따라서 옳지 않은 것은 ②이다.10
U-{AC5B}C를 간단히 정리한다. U-{AC5B}C =U59{AC5B}C0C=U5{AC5B} =AC5B=B-A 교환법칙 결합법칙 분배법칙 분배법칙1-1
① A*U ={A5U}6{A6U}C=A6UC =A6=A (거짓) ② B*A ={B5A}6{B6A}C ={A5B}6{A6B}C=A*B (참) ③ A*={A5}6{A6}C=6AC =AC (참) ④ AC*BC ={AC5BC}6{AC6BC}C ={A6B}C6{A5B} ={A5B}6{A6B}C=A*B (참) ⑤ A*AC ={A5AC}6{A6AC}C =6UC=6= (참) 따라서 옳지 않은 것은 ①이다. 36쪽0
1
A=9a, b, c0로 놓고 X의 원소를 a, b, c로 나타낸다. A=9a, b, c0 {a<b<c}라 하면 X=9a+b, a+c, b+c0=99, 11, 120 이므로 a+b=9, a+c=11, b+c=12 세 식을 변변 더하면 2a+2b+2c=32 / a+b+c=16 a+b=9이므로 c=7 따라서 A의 원소 중 가장 큰 수는 7이다.0
2
16x 이 자연수이므로 x는 16의 약수이다. x{A이면 16x {A이므로 x와 16x 은 모두 자연수이다. 곧, x는 16의 약수이므로 가능한 x는 1, 2, 4, 8, 16이다. 1{A이면 161 {A, 16{A이면 1616 {A이므로 1과 16은 동시 에 A의 원소이거나 원소가 아니다.2{A이면 162 {A, 8{A이면 168 {A이므로 2와 8은 동시에 A의 원소이거나 원소가 아니다.
4{A이면 164 {A이므로 4는 단독으로 A의 원소일 수 있다. 4가 원소가 아닌 경우는
A=91, 160, A=92, 80, A=91, 16, 2, 80 4가 원소인 경우는
A=940, A=94, 1, 160, A=94, 2, 80 A=94, 1, 16, 2, 80 따라서 가능한 A는 모두 7개이다.
0
1
70
2
70
3
60
4
⑤0
5
94, 9, 16, 8100
6
{A5B}69{A6C}C5{B6D}C00
7
⑤0
8
⑴ 20 ⑵ 40
9
910
①11
④12
5 % 37~39쪽 실력 문제0
3
a1, a2 중 하나를 원소로 갖는 경우와 a1과 a2를 모두 원 소로 갖는 경우로 나누어 생각한다.9a3, a4, y, an0의 부분집합은 2N_@개이고,
이 각각의 부분집합에 a1을 넣거나, a2를 넣거나, a1과 a2를 넣는 경우를 모두 생각하면 {2N_@\3}개 이때 주어진 조건은 진부분집합의 개수이므로 2N_@\3-1=47, 2N_@=16 따라서 n-2=4이므로 n=6
0
4
P{A}의 원소는 A의 부분집합이다. ① P{A}의 원소는 A의 부분집합인 , 910, 920, 91, 20이다. (참) ② 은 A의 부분집합이므로 {P{A}이다. (참)③ A도 A의 부분집합이므로 A{P{A}이다. (참)
④ P{A}의 원소의 개수는 A의 부분집합의 개수 2n{A}이다.
곧, n{A}=4이므로 n{P{A}}=2$=16 (참) ⑤ P{A}의 원소가 36개이면 A의 부분집합이 36개이다. 그러나 2N=36이 되는 자연수 n은 없다. (거짓) 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
0
5
jnk 이 자연수이면 n은 제곱수이다. B의 원소는 자연수이므로 a, b, c, d는 제곱수이다. 그런데 a+b=13이고 a<b이므로 a=4, b=9 이때 A5B=94, 90이므로 4{B, 9{B c<d이므로 jc=4, jdk=9 / c=16, d=81 / A=94, 9, 16, 8100
6
AB>0은 -A>0 B>0 또는 -A<0 B<0이다. `f{x}g{x}>0은 - f{x}>0 g{x}>0 yy ① 또는 f{x}<0 g{x}<0 yy ② ①의 해를 집합으로 나타내면 A5B 또 9x| f{x}<00={A6C}C, 9x| g{x}<00={B6D}C 따라서 ②의 해를 집합으로 나타내면 {A6C}C5{B6D}C / {A5B}69{A6C}C5{B6D}C0 note {A6C}C=AC5CC=AC-C, {B6D}C=BC5DC=BC-D이므로 구하는 집합을 {A5B}69{AC-C}5{BC-D}0라 해도 된다.0
7
약수의 성질을 이용한다. ㄱ. m, n이 서로소이면 공약수는 1이므로 Am5An=910 (거짓) ㄴ. n이 m의 배수이면 m의 약수는 n의 약수이므로 Am[An (참) ㄷ. Am5An은 m과 n의 공약수의 집합이므로 m, n의 최대공약수를 k라 하면 Am5An=Ak2-1
조사한 사람의 모임을 집합 U, 세 휴대폰 A, B, C를 사용 해 본 사람의 모임을 각각 집합 A, B, C라 하면 n{A6B6C} =n{A}+n{B}+n{C} -n{A5B}-n{B5C}-n{C5A} +n{A5B5C} =12+16+19-5-6-7+2=31 / n{{A6B6C}C} =n{U}-n{A6B6C} =35-31=4 따라서 A, B, C 휴대폰 모두를 한 번도 사용해 본 적이 없는 사람 은 4명이다.12
벤다이어그램을 그려서 해결한다. 조사한 전체 학생의 모임을 집합 U, 축 A B a b c g f e d C U 구, 야구, 농구를 좋아하는 학생의 모임 을 각각 집합 A, B, C라 하고, 오른쪽 그림과 같이 벤다이어그램의 각 부분의 원소의 개수(백분율)을 a, b, c, y, g 라 하자. n{A5B}=b+e=6{%} yy ① n{B5C}=e+ f =12{%} yy ② n{C5A}=d+e=8{%} yy ③ n{A6B}=a+b+c+d+e+ f =48{%} yy ④ n{B6C}=b+c+d+e+ f + g =60{%} yy ⑤ n{C6A}=a+b+d+e+ f + g =52{%} yy ⑥ a=12{%}이므로 ④에서 b+c+d+e+ f =48-12=36{%} ⑤에서 g =60-36=24{%} ⑥에서 b+d+e+ f =52-12-24=16{%} yy ⑦ ①+②+③을 하면 b+d+3e+ f =26{%} yy ⑧ ⑧-⑦을 하면 2e=26-16=10 / e=5{%} 그런데 k는 m+n의 약수이므로 Ak[Am'n / {Am5An}[Am'n (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.0
8
An[Am이면 n은 m의 배수 또는 m은 n의 약수이다. ⑴ A4는 4의 배수의 집합, A10은 10의 배수의 집합이고, 4와 10의 최소공배수는 20이므로 A45A10=A20Aa[A20이므로 a는 20의 배수이다. 곧, a의 최솟값은 20이다. ⑵ A8은 8의 배수의 집합, A12는 12의 배수의 집합이므로 {A86A12}[Ab이면 A8[Ab이므로 b는 8의 약수이다. 또 A12[Ab이므로 b는 12의 약수이다. b는 8과 12의 공약수이다. 곧, b의 최댓값은 최대공약수 4이다.
0
9
A의 원소 5를 제외한 나머지 원소를 문자로 놓는다. ㈐에서 A5B=950이므로 A=9a, b, c, 50라 하면 B=- a+k2 , b+k2 , c+k2 , 5+k2 = ㈎에서 a+b+c+5=8이므로 a+b+c=3 따라서 B의 원소의 합은 a+b+c+4k+52 =8+4k2 =4+2k ㈏에서 ( A6B의 원소의 합) = ( A의 원소의 합)+( B의 원소의 합) -( A5B의 원소의 합) 25=8+4+2k-5, 2k+7=25 / k=910
S{A6B}=S{A}+S{B}-S{A5B}임을 이용한다. S{A6B}=S{A}+S{B}-S{A5B}가 성립한다. 이때 A6B=U이고, S{A}+S{B}=S{U}+1이므로 S{U}=S{U}+1-S{A5B} / S{A5B}=1 note 원소의 합이 1인 U의 부분집합은 910뿐이므로 A5B=91011
가장 작은 원소가 1, 2, 2@, 2#인 경우로 나누어 생각한다. ! 가장 작은 원소가 1인 집합의 개수 2, 2@, 2#을 원소로 가질 수 있으므로 2#=8 @ 가장 작은 원소가 2인 집합의 개수 1은 원소로 갖지 않고 2@, 2#은 원소로 가질 수 있으므로 2@=4 # 가장 작은 원소가 2@인 집합의 개수 1, 2는 원소로 갖지 않고 2#은 원소로 가질 수 있으므로 2 $ 가장 작은 원소가 2#인 집합의 개수는 1 ! ~ $에서 가장 작은 원소의 합은 1\8+2\4+2@\2+2#\1=328
P=92, 4, 6, y0, Q=94, 8, 12, y0 ⑴ P;Q이므로 거짓⑵ Q[P이므로 참
9
⑴ x=1, y=0이면 xy=0이지만 x@+y@=0이다. (거짓) ⑵ x=-1, y=-2이면 xy>0이지만 x<0이고 y<0이다. (거짓) ⑶ 참10
⑴ x=1이면 x@>0이다. (참) ⑵ x@<0인 실수 x가 없다. (거짓) ⑶ x=0이면 x@=0이다. (거짓) ⑷ 모든 x에 대하여 x@+1>0이 항상 성립한다. (참)11
⑴ 모든 x에 대하여 2x-1=0이다. (거짓) ⑵ 어떤 x에 대하여 x@<0이다. (참) note x=0이면 x@<0이다.1
① 참인 문장이므로 명제이다. ②, ③ 참, 거짓을 말할 수 없다. ④ x, y의 값에 따라 참, 거짓이 바뀌므로 명제가 아니다. ⑤ 잘못된 등식이므로 거짓인 명제이다. 따라서 명제인 것은 ①, ⑤이다.2
⑴ 거짓 부정：1은 소수가 아니다. (참) note ‘1은 합성수이다.’라고 해서는 안된다. ⑵ 거짓 부정：3>1 (참)3
⑴ 마주보는 두 변이 각각 평행한 사각형 ⑵ 변의 길이가 모두 같고, 내각의 크기가 모두 같은 다각형 ⑶ 모든 면이 합동인 정다각형이고, 각 꼭짓점에 모이는 면의 개 수가 같은 다면체4
② 마름모의 정의이다.5
⑴ P=92, 4, 6, 80 ⑵ x@=4에서 x=-2 x는 자연수이므로 Q=920 ⑶ x@<1에서 -1<x<1 x는 자연수이므로 R=6
⑴ ~p：x$=1 x$=1에서 x@=-1 x는 실수이므로 ~p의 진리집합：9-1, 10 ⑵ ~q：x@-3x-4>0 {x+1}{x-4}>0이므로 ~q의 진리집합：9x|x<-1 또는 x>407
⑴ 가정：x@=1이고 x>0 결론：x=1 ⑵ 가정：삼각형의 두 변의 길이가 같다. 결론：이등변삼각형이다. ⑶ 가정：A[B 결론：n{A}<n{B} 44~45쪽 개념 확인01
명제와 조건
02
명제
46쪽 예제1
U=91, 2, 3, y, 90, P=92, 3, 5, 70, Q=91, 3, 5, 7, 90 ⑴ PC=91, 4, 6, 8, 90 ⑵ P5Q=93, 5, 70 ⑶ P6Q=91, 2, 3, 5, 7, 90 ⑷ PC6QC={P5Q}C=91, 2, 4, 6, 8, 90 유제1-1
P=9x|-3<x<30, Q=9x|x<0 또는 x>50 이므로 PC=9x|x<-3 또는 x>30, QC=9x|0<x<50 ⑴ ~q의 진리집합이 QC이므로 ~{~q}의 진리집합은 {QC}C=Q=9x|x<0 또는 x>50 ⑵ PC5Q=9x|x<-3 또는 x>50 ⑶ P6QC=9x|-3<x<50 ⑷ PC5QC=9x|3<x<50 유제1-2
조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하자. ⑴ ~p의 진리집합은 PC이므로 ~{~p}의 진리집합은 {PC}C=P / ~{~p}=p ⑵ ~{p 그리고 q}의 진리집합은 {P5Q}C ~p 또는 ~q의 진리집합은 PC6QC {P5Q}C=PC6QC이므로 ~{p 그리고 q}=~p 또는 ~q ⑶ ~{p 또는 q}의 진리집합은 {P6Q}C ~p 그리고 ~q의 진리집합은 PC5QC {P6Q}C=PC5QC이므로 ~{p 또는 q}=~p 그리고 ~q유제
3-1
⑴ 참부정：어떤 정사각형은 마름모가 아니다. (거짓) ⑵ x=2이면 x@-4x+4<0 (참)
부정：모든 실수 x에 대하여 x@-4x+4>0이다. (거짓) 유제
3-2
① x=0, 1, 2이면 |x|<x (참)② 모든 x, y에 대하여 x@<4, y@<4이므로 x@+y@<9 (참) ③ 모든 x에 대하여 x-2<0, x+2>0이므로 {x-2}{x+2}<0 곧, ③의 부정이 참이므로 ③은 거짓이다. ④ x@-x-6<0을 풀면 -2<x<3 곧, 모든 x에 대하여 x@-x-6<0 (참) ⑤ x=0이면 x@<0 (참) 따라서 거짓인 것은 ③이다. 47쪽 예제
2
Q[P이고 R[QC이므로 벤다이어그램 Q R P U 으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. ① P;Q이므로 거짓 ② R;PC이므로 거짓 ③ {P5Q}[RC이므로 참 ④ {P5R}[QC이므로 참 ⑤ {Q6R};P이므로 거짓 따라서 참인 것은 ③, ④이다. 유제2-1
p 1! ~q가 참이므로 P[QC, 곧 P5Q= {p 또는 q} 1! r가 참이므로 {P6Q}[R 곧, 벤다이어그램으로 나타내면 오른쪽 P Q R U 그림과 같다. ⑤ {P6Q}C5R= 이므로 옳지 않은 것은 ⑤이다. 유제
2-2
P5QC=P이므로 P[QC / P5Q= 또 R[{P6Q}이므로 벤다이어그램으 P Q U R 로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. ① P;Q이므로 거짓 ② R;P이므로 거짓 ③ QC;R이므로 거짓 ④ {P6R};QC이므로 거짓 ⑤ {QC5R}[P이므로 참 따라서 참인 것은 ⑤이다. 48쪽 예제3
⑴ x=0, 1, 2, 3, 4를 모두 대입하면 x@-20<0이다. / 참 부정：어떤 x에 대하여 x@-20>0이다. (거짓) ⑵ x@-4x-5=0을 풀면 x=-1 또는 x=5 곧, U의 모든 원소는 x@-4x-5=0을 만족하지 않는다. / 거짓 부정：모든 x에 대하여 x@-4x-5=0이다. (참) ⑶ xy-4x-4y+16>0에서 {x-4}{y-4}>0 U의 모든 원소에 대하여 x-4<0, y-4<0이므로 {x-4}{y-4}>0 (참) 부정：어떤 x, y에 대하여 xy-4x-4y+16<0이다. (거짓) ⑷ x=0, y=1이면 x@+{y-1}@=0 (참) 부정：모든 x, y에 대하여 x@+{y-1}@=0이다. (거짓)0
1
P6Q, PC5QC0
2
⑤0
3
X=, 부정：어떤 A에 대하여 A5X=X이다.0
4
70
5
⑤0
6
① 49쪽 연습 문제0
1
f{x}g{x}=0은 f{x}=0 또는 g{x}=0이므로 진리집합은 P6Q f{x}g{x}=0은 f{x}g{x}=0의 부정이므로 진리집합은 {P6Q}C=PC5QC 다른 풀이 f{x}g{x}=0은 f{x}=0이고 g{x}=0이므로 진리집합은 PC5QC0
2
{a-b}@+{b-c}@+{c-a}@=0의 부정은 {a-b}@+{b-c}@+{c-a}@=0 / a=b 또는 b=c 또는 c=a 곧, a, b, c 중 다른 것이 적어도 하나 있다. ③ a=b 또는 b=c 또는 c=a ④ a=b이고 b=c이고 c=a 따라서 주어진 식의 부정과 같은 것은 ⑤이다. 다른 풀이 {a-b}@+{b-c}@+{c-a}@=0이면 a-b=0이고 b-c=0이고 c-a=0 / a=b=c 따라서 부정은 a, b, c 중 다른 것이 적어도 하나 있다.0
3
A5X=X이면 X[A이다. 모든 A에 대하여 성립하므로 X= 부정은 ‘어떤 A에 대하여 A5X=X이다.’0
4
p, q의 진리집합을 먼저 구한다. p의 진리집합은 P=94, 5, 6, 7, 8, 90 q의 진리집합은 Q=91, 2, 3, 4, 6, 80 ‘p 그리고 q’의 진리집합은 X=P5Q=94, 6, 80 ‘~p 또는 q’의 진리집합은 Y=PC6Q=91, 2, 3, 4, 6, 8, 100 / X6Y=91, 2, 3, 4, 6, 8, 100 따라서 집합 X6Y의 원소의 개수는 7이다.0
5
모든 A에 대하여 {PC5A}6Q=Q가 성립할 P, Q의 포함 관계를 찾는다. {PC5A}6Q=Q이면 {PC5A}[Q이다. 모든 A에 대하여 성립하려면 PC[Q이다. 따라서 참인 명제는 ⑤이다.0
6
어떤 x에 대하여 p{x}가 거짓이면 P= 주어진 명제의 부정이 참이므로 이 명제는 거짓이다. ‘어떤 x에 대하여 p{x}이고 ~q{x}이다.’가 거짓이므로 P5QC=, 곧 P-Q= / P[Q 따라서 옳은 것은 ①이다. note 다음과 같이 구할 수도 있다. 부정 ‘x{U인 모든 x에 대하여 ~p{x} 또는 q{x}이다.’ 가 참이므로 PC6Q=U이다. 이때 {PC6Q}C=UC이므로 P5QC=3
~p 1! q와 대우 ~q 1! p는 참, 거짓이 같다. 따라서 참인 것은 ⑤이다.4
㈎：유리수, ㈏：2, ㈐：서로소1
⑴ 역：q 1! p 대우：~q 1! ~p ⑵ 역：q 1! ~p 대우：~q 1! ~{~p} / ~q 1! p ⑶ 역：~p 1! ~q 대우：~{~p} 1! ~{~q} / p 1! q2
⑴ [반례] x=-1 (거짓) ⑵ p：x@=1, q：x=1이라 하면 역{q 1! p}：x=1이면 x@=1이다. (참) 대우{~q 1! ~p}： x=1이면 x@=1이다. [반례] x=-1 (거짓) 51쪽 개념 확인02
역과 대우
52쪽 예제4
p jjjk q, r jjjk ~q이므로 대우를 생각하면 ~q jjjk ~p, q jjjk ~r 또 p jjjk q, q jjjk ~r에서 p jjjk ~r이고 대우를 생각하면 r jjjk ~p p 1! ~r에서 P[RC이므로 P;R 곧, ~r 1! ~p는 거짓이다. 따라서 참이 아닌 것은 ⑤이다. 유제4-1
p jjjk ~q, ~p jjjk r이므로 대우를 생각하면 q jjjk ~p, ~r jjjk p 또 q jjjk ~p, ~p jjjk r이므로 q jjjk r이고 대우를 생각하면 ~r jjjk ~q p 1! ~r의 참, 거짓은 알 수 없다. 따라서 참이 아닌 것은 ④이다. 유제4-2
p：물고기가 산다. q：바다이다. r：낚시를 할 수 있다. 라 하면 조건에서 ~p jjjk ~q, p jjjk r 따라서 대우를 생각하면 q jjjk p, ~r jjjk ~p 또 q jjjk p, p jjjk r이므로 q jjjk r이고 대우를 생각하면 ~r jjjk ~q 한편 ㄱ은 q 1! r, ㄴ은 q 1! p, ㄷ은 ~q 1! ~r이므로 참인 것은 ④ ㄱ, ㄴ이다. 53쪽 예제
5
a, b, c 모두 3의 배수가 아니라 하자. 3의 배수가 아니므로 a, b, c는 모두 3k+1 또는 3k+2 (k는 음이 아닌 정수) 꼴이다. {3k+1}@=9k@+6k+1=3{3k@+2k}+1 {3k+2}@=9k@+12k+4=3{3k@+4k+1}+1 이므로 a@, b@, c@은 모두 3으로 나눈 나머지가 1 이다. 이때 a@+b@은 3으로 나눈 나머지가 2 , c@은 3으로 나눈 나머지 가 1 이므로 a@+b@= c@ 이 되어 모순이다. 따라서 a, b, c 중 적어도 하나는 3의 배수이다. / ㈎：1, ㈏：2, ㈐：c@유제
5-1
다음 대우를 증명한다. ‘m, n이 자연수일 때, mn이 홀수 이면 m@+n@은 짝수 이다.’ mn이 홀수 이면 m, n은 모두 홀수 이므로 m=2k-1, n=2L-1 (k, L은 자연수)로 놓으면 m@+n@ ={2k-1}@+{2L-1}@ =4k@-4k+1+4L@-4L+1 =2{ 2k@+2L@-2k-2L+1 } 따라서 m@+n@이 짝수 이므로 참이고, 대우가 참이므로 원 명제도 참이다. / ㈎：홀수, ㈏：짝수, ㈐：2k@+2L@-2k-2L+1 유제5-2
오각형에서 예각인 내각이 4개나 5개라 하면 예각 4개의 크기의 합은 360!보다 작다. 오각형의 내각의 크기의 합은 180!\3=540!이므로 나머지 한 내 각의 크기는 540!-360!=180!보다 커야 한다. 그런데 한 내각의 크기는 180!보다 클 수 없으므로 모순이다. 예각 5개의 크기의 합은 450!보다 작고, 이 또한 오각형의 내각의 크기의 합이 540!이므로 모순이다. 따라서 오각형에서 예각인 내각은 3개를 넘지 않는다.0
3
⑴ 대우：2x-3>1이면 x>3이다. 2x-3>1을 풀면 x>2 따라서 x>2이면 x>3이다는 거짓이므로 대우는 거짓이다. ⑵ 대우：x+y=6이면 x=2 또는 y=4이다. 원 명제가 참이므로 대우도 참이다. note 대우의 참, 거짓은 원 명제의 참, 거짓과 같다.0
4
~p 1! ~q가 참이므로 R P Q U 대우를 생각하면 q jjjk p r jjjk q이므로 삼단논법에 의해 r jjjk p 따라서 전체집합이 U일 때, 조건 p, q, r의 진리집합 P, Q, R를 벤다이 어그램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. ① R[P이므로 참 ② Q;R이므로 거짓 ③ {Q6R};PC이므로 거짓 ④ R[{P5Q)이므로 참 ⑤ {Q6R}C;P이므로 거짓 따라서 참인 것은 ①, ④이다.0
5
주어진 명제의 대우 ‘ a>b인 자연수 a, b에 대하여 a, b가 모 두 홀수 이면 a@-b@은 4의 배수이다.’가 참임을 증명하면 된다. a>b이므로 m>n인 자연수 m, n에 대하여 a=2m-1, b=2n-1이라 하면 a@-b@ ={2m-1}@-{2n-1}@ ={2m-1+2n-1}{2m-1-2n+1} ={2m+2n-2}{2m-2n} =4{m+n-1}{ m-n } m+n-1>0, m-n>0 곧, a@-b@은 4의 배수이다. / ㈎：홀수, ㈏：m-n0
6
대우와 삼단논법을 이용하여 참인 명제를 찾는다. ~q jjjk ~r이므로 r jjjk q (대우) p jjjk r, r jjjk q이므로 p jjjk q (삼단논법) p jjjk q, q jjjk ~s이므로 p jjjk ~s (삼단논법) p jjjk ~s이므로 s jjjk ~p (대우) r jjjk q, q jjjk ~s이므로 r jjjk ~s (삼단논법) 따라서 참인 것은 ⑤이다. note p, q, r, s 사이의 관계를 오른쪽 그림과 ~s q p r jjjjk jjjjk jjjjk jjjjk jjjjkjjjjk 같이 정리할 수 있다. 녹색 화살표는 삼단논법의 결과 이다.0
1
1, 50
2
②, ③0
3
⑴ 대우：2x-3>1이면 x>3이다. (거짓) ⑵ 대우：x+y=6이면 x=2 또는 y=4이다. (참)0
4
①, ④0
5
㈎：홀수, ㈏：m-n0
6
⑤0
7
③0
8
④ 54~55쪽 연습 문제0
1
대우 ‘x-a=0이면 x@-6x+5=0이다.’가 참이므로 a@-6a+5=0, {a-1}{a-5}=0 / a=1 또는 a=50
2
① 역：xz=yz이면 x=y이다.xz=yz이면 z=0 또는 x=y이므로 x=y일 수 있다. (거짓) ② 역：|x|<1이면 x@-1<0이다. (참)
③ 역：x@+y@=0이면 |x|+|y|=0이다.
x@+y@=0이면 x=0, y=0이므로 |x|+|y|=0이다. (참) ④ 역：|xy|=xy이면 x>0, y>0이다.
|xy|=xy이면 xy>0이므로 x>0, y>0 또는 x<0, y<0이 다. (거짓)
⑤ 역：x+y가 짝수이면 xy는 홀수이다.
x+y가 짝수이면 x, y 둘 다 짝수이거나 홀수이므로 xy는 짝 수일 수도 있다. (거짓)
0
7
시장 조사 결과를 기호를 이용하여 명제로 바꾼다. 조건 p, q, r, s가 다음과 같다고 하자. p：10대, 20대에게 선호도가 높다. q：판매량이 많다. r：가격이 싸다. s：기능이 많다. 이때 ㈎, ㈏, ㈐는 다음과 같다. ㈎：p jjjk q, ㈏：r jjjk q, ㈐：s jjjk p s jjjk p, p jjjk q이므로 s jjjk q이다. ①은 s 1! ~r ②는 ~r 1! ~q ④는 p 1! s ⑤는 p 1! ~r 곧, ①, ②, ④, ⑤는 참이라 할 수 없다. ③은 ~q 1! ~s, 곧 s 1! q의 대우이므로 참이다. 따라서 옳은 것은 ③이다.0
8
귀류법을 이용한다. ‘2018과 2018-n이 서로소가 아니다. ’라 가정하면 2018과 2018-n은 2 이상의 공약수가 있다. 2018과 2018-n의 공약수를 t라 하면 2018=at yy ① 2018-n=bt yy ② {a, b, t는 자연수, a>b, t>2} 로 놓을 수 있다. ①-②를 하면 n={ a-b }t이므로 t는 2018과 n의 공약수이다. 이것은 ‘2018과 n이 서로소이다.’에 모순이다. 따라서 2018과 2018-n은 서로소이다. / ㈎：서로소가 아니다. ㈏：2, ㈐：a-b 따라서 ㈎ ~ ㈐에 알맞은 것을 바르게 짝 지은 것은 ④이다.1
Q[P이므로 q jjjk p 따라서 q는 p이기 위한 충분조건이고, p는 q이기 위한 필요조건이다. ⑴ 필요조건 ⑵ 충분조건 57쪽 개념 확인03
충분조건, 필요조건
58쪽 예제6
⑴ a=b이면 ac=bc이므로 p jjjk q ac=bc이면 c=0인 경우도 있으므로 p hjjj q / 충분조건 ⑵ x, y가 실수이므로 p：x@+y@=0에서 x=0이고 y=0 q：xy=0에서 x=0 또는 y=0 따라서 p jjjk q이고 p hjjj q이므로 충분조건 ⑶ x=1+i, y=1-i일 때, x+y=2 (실수), xy=2 (실수) 이지만 x, y는 실수가 아니므로 p jjjk qx, y가 실수이면 x+y, xy가 실수이므로 p hjjj q / 필요조건
⑷ p에서 x>a이고 y<a이므로 y<a<x이다. 곧, y<x이므로 p jjjk q q에서 y<x일 때, a=x+y 2 라 하면 x>a이고 y<a이다. 곧, p hjjj q / 필요충분조건 ⑸ {A5B}[A는 모든 집합에 대하여 성립하므로 A[B가 아 닐 수도 있다. 곧, p jjjk q A[B이면 {A5B}[A가 성립한다. 곧, p hjjj q / 필요조건 유제
6-1
⑴ a=b의 양변에 c를 더하면 a+c=b+c이므로 p jjjk q a+c=b+c의 양변에서 c를 빼면 a=b이므로 p hjjj q / 필요충분조건2
P[Q이므로 p jjjk q 따라서 p는 q이기 위한 충분조건이고, q는 p이기 위한 필요조건이다. ⑴ 충분 ⑵ 필요3
⑴ p jjjk q이므로 p는 q이기 위한 충분조건 ⑵ q jjjk p이므로 p는 q이기 위한 필요조건 ⑶ p jjjk q이고 q jjjk p이므로 p는 q이기 위한 필요충분조건 note 3의 배수이고 4의 배수이면 12의 배수이다. 따라서 p, q는 같은 조건이다.4
④ x>0이고 y>0이면 x+y>0이다. (참) 그런데 x=3, y=-2이면 x+y>0이지만 x>0이고 y<0이다. (거짓) 따라서 필요충분조건이 아닌 것은 ④이다.5
P[Q이므로 옳은 것은 ③, ⑤이다.⑵ x=0이고 y=0이면 x@+y@=0이므로 p hjjj q x=1, y=i일 때, x@+y@=0이지만 x, y는 0이 아니다. 곧, p jjjk q이므로 필요조건
note x, y가 실수라는 조건이 없음에 주의한다. ⑶ x=1, y=-2일 때, x>y이지만 x@<y@` x=-2, y=1일 때, x@>y@이지만 x<y
따라서 p jjjk q, p hjjj q이므로 아무 조건도 아니다. ⑷ x=1+j2, y=1-j2일 때,
x+y=2 (유리수), xy=-1 (유리수)이지만 x, y는 유리수가 아니므로 p jjjk q
x, y가 유리수이면 x+y, xy가 유리수이므로 p hjjj q / 필요조건
⑸ A[B 또는 A[C이면 A[{B6C}이므로 p jjjk q A, B, C가 오른쪽 그림과 같으면 A B C A[{B6C}이지만 A;B이고 A;C이다. 곧, p hjjj q이므로 충분조건 x -a -1 b -b 0 4 a R Q P P[Q이고 a>0이므로 a>4 R[P이고 b>0이므로 0<b<1 유제
7-2
p는 s이기 위한 필요조건이고 ~q이기 ~q s p jjjjk r jjjjk jjjjk jjjjk 위한 충분조건이므로 p hjjj s, p jjjk ~q r는 p이기 위한 충분조건이고 ~q이기 위한 필요 조건이므로 r jjjk p, r hjjj ~q 곧, p jjjk ~q, ~q jjjk r, r jjjk p / s jjjk p hjjk ~q hjjk r ⑴ s jjjk p hjjk r이므로 r는 s이기 위한 필요조건 ⑵ p hjjk ~q에서 q hjjk ~p이므로 q는 ~p이기 위한 필요충 분조건 59쪽 예제7
⑴ p：{x+2}{x-4}>0이므로 P=9x|x<-2 또는 x>40 q：{x-a}{x-2a}<0이므로 x -2 4 a 2a P Q P [ a>0일 때] x 2a a -2 4 P Q P [ a<0일 때] ! a>0일 때, Q=9x|a<x<2a0 Q[P이려면 a>4 @ a<0일 때, Q=9x|2a<x<a0 Q[P이려면 a<-2 !, @에서 a<-2 또는 a>4 ⑵ 주어진 조건에서 r p q jjjjk s jjjjk jjjjk jjjjk p jjjk q, r jjjk q s jjjk r, s hjjj q 곧, q jjjk s, s jjjk r, r jjjk q이므로 q hjjk s hjjk r 따라서 p jjjk q hjjk s이므로 p는 s이기 위한 충분조건 유제7-1
p：{x+1}{x-4}<0이므로 P=9x|-1<x<40 또 Q=9x|-a<x<a0, R=9x|-b<x<b0 이때 p가 q이기 위한 충분조건이므로 P[Q, p가 r이기 위한 필요조건이므로 R[P이어야 한다.0
1
⑴ 충분조건 ⑵ 필요충분조건 ⑶ 필요조건0
2
a의 최댓값：3, b의 최솟값：80
3
⑴ 필요조건 ⑵ 충분조건0
4
③0
5
⑤0
6
③0
7
④0
8
⑴ 충분조건 ⑵ 필요충분조건0
9
⑴ a>6 ⑵ 0<a<210
㈎：필요충분, ㈏：충분 60~61쪽 연습 문제0
1
⑴ p는 x=0 또는 y=0 q는 x=0 또는 y=0 또는 z=0 p jjjk q이지만 p hjjj q이므로 충분조건 ⑵ x@=1에서 P=9-1, 10, |x|=1에서 Q=9-1, 10 곧, P=Q이므로 필요충분조건 ⑶ x@<4에서 P=9x|-2<x<20 |x|<2에서 Q=9x|-2<x<20 곧, Q[P이므로 필요조건0
2
p hjjj q이므로 Q[P, p jjjk r이므로 P[R 오른쪽 그림에서 x a 3 6 8 b P R P Q a<3, b>8 따라서 a의 최댓값은 3이고, b의 최솟값은 8이다.0
3
P5Q=Q이므로 Q⊂P P R U Q 또 P5R=이므로 P, Q, R를 벤다이 어그램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. ⑴ Q[P이므로 p는 q이기 위한 필요조건 ⑵ R[QC이므로 r는 ~q이기 위한 충분조건0
4
ㄱ. 원소의 개수로 집합의 포함 관계는 알 수 없으므로 p jjjk q역으로 q jjjk p
곧, p는 q이기 위한 필요조건이다.
ㄴ. n{A-B}=0이면 A-B=∅이므로 A[B이다. 곧, n{A}=n{B}일 수 있으므로 p jjjk q 역으로 A=910, B=920이면 A-B=910이므로 n{A}=n{B}이지만 n{A-B}=0이다. / q jjjk p 곧, p, q는 서로 아무 조건도 아니다. ㄷ. p jjjk q
역으로 B=U이면 A6B=U이어도 A=BC=∅이다. / q jjjk p 곧, p는 q이기 위한 충분조건이다. 따라서 p가 q이기 위한 충분조건인 것은 ㄷ이다.
0
5
p는 q이기 위한 충분조건이므로 p jjjk q yy ㉠ ~q는 r이기 위한 필요조건이므로 r jjjk ~q yy ㉡ ㉠의 대우는 ~q jjjk ~p yy ㉢ ㉡의 대우는 q jjjk ~r ㉡, ㉢에서 r jjjk ~p yy ㉣ ㉣의 대우는 p jjjk ~r 따라서 참이 아닌 것은 ⑤이다. 다른 풀이 p jjjk q이므로 P[Q ~q hjjj r이므로 QC]R 따라서 P, Q, R를 벤다이어그램으로 나 R U P Q 타내면 오른쪽 그림과 같다. ① P[RC ② Q[RC ③ QC[PC ④ R[PC 곧, ①, ②, ③, ④는 참이다. ⑤ QC;R이므로 ~q 1! r는 참이라 할 수 없다.06
p 1! q, q 1! p가 참인지, 거짓인지 확인한다. ㄱ. ab>0이면 a, b 모두 양수이거나 음수이다. 그런데 a+b>0이므로 a>0이고 b>0이다. / p jjjk q 역으로 a>0이고 b>0이면 a+b>0이고 ab>0이다./ q jjjk p 곧, 필요충분조건이다. ㄴ. a=32, b=4이면 ab=6이므로 3<ab<8이지만 3<b<4가 아니다. / p jjjk q 1<a<2이고 3<b<4이면 3<ab<8이다. / q jjjk p 곧, 필요조건이다.
ㄷ. |a|+|b|=0이면 a=b=0이므로 a#+b#=0이다. / p jjjk q
a=1, b=-1이면 a#+b#=0이지만 |a|+|b|=0이다. / q jjjk p
곧, 충분조건이다.
따라서 p는 q이기 위한 충분조건인 것은 ㄷ이다.
07
‘p이면 q이다.’가 참이고 역도 성립하면 필요충분조건 이다.④ a=1, b=i이면 a@+b@=0이지만 a=0이고 b=0인 것은 아 니다. 곧, 충분조건이다. 따라서 필요충분조건이 아닌 것은 ④이다. note ①, ②, ③, ⑤는 이미 공부한 성질이다. 이것을 필요충분조 건으로 기억하자.
08
AsB를 벤다이어그램으로 나타내어 본다. ⑴ AsB를 벤다이어그램으로 나타내면 A B 오른쪽 그림과 같다. AsB=B이면 A=∅이고, A=∅ 이면 A-B=∅ A-B=∅이면 A[B이므로 AsB=B 따라서 AsB=B는 A-B=∅이기 위한 충분조건이다. ⑵ AsB=∅이면 A-B=∅, B-A=∅곧, A[B, B[A이므로 A=B이다.
역으로 A=B이면 AsB={A-B}6{B-A}=∅6∅=∅ 이다. 따라서 AsB=∅은 A=B이기 위한 필요충분조건이다.
09
f{x}=x@+x-a로 놓고 그래프를 생각한다. 조건 p에서 {x+3}{x-1}<0이므로 P=9x|-3<x<10 조건 q에서 x@+x-a=0의 두 근을 a, b {a<b}라 하면 Q=9x|a<x<b0 x O y a b -a -3 1 y=f{x} f{x}=x@+x-a라 하면 ⑴ P[Q이므로 a<-3, b>1이다. y=f{x}의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 f{-3}<0, f{1}<0 f{-3}=9-3-a<0이므로 a>6 yy ① f{1}=1+1-a<0이므로 a>2 yy ② 따라서 ①, ②의 공통부분은 a>6 ⑵ Q[P이므로 a>-3, b<1이다. x O y a b -a -3 1 y=f{x} y=f{x}의 그래프는 오른쪽 그림 과 같으므로 f{-3}>0, f{1}>0 f{-3}= 9-3-a>0이므로 a<6 yy ①f{1}=1+1-a>0이므로 a<2 yy ②
①, ②의 공통부분은 a<2이고 a>0이므로 0<a<2
note y축과 만나는 점의 y좌표가 -a이므로 음수이다.
10
기호 jjjk 를 사용하여 주어진 조건을 정리한다. p는 q이기 위한 충분조건이므로 p jjjk q ~r는 ~p이기 위한 충분조건이므로 ~r jjjk ~p, p jjjk r (대우) ~p는 ~s이기 위한 충분조건이므로 ~p jjjk ~s, s jjjk p (대우) s는 r이기 위한 필요조건에서 s hjjj r이다. 곧, p jjjk r, r jjjk s, s jjjk p이므로 p q r jjjjk s jjjjk jjjjk jjjjk p hjjk r hjjk s r hjjk s이므로 r는 s이기 위한 필요충분 조건이고, s hjjk p jjjk q이므로 s는 q이기 위한 충분 조건이다. 따라서 ㈎, ㈏에 알맞은 말은 ㈎ 필요충분, ㈏ 충분이다.4
제곱하여 뺀다. ⑴ {j6+2}@-{j7+j3}@ ={6+4j6+4}-{7+2j21k+3} =4j6-2j21k=2{j24k-j21k}>0 / j6+2>j7+j3 ⑵ {ja+bl}@-{ja+jb}@ =a+b-{a+2jabk+b} =-2jabk<0 / ja+bl<ja+jb5
a>0, b>0일 때, a+b>2jabk (단, 등호는 a=b일 때 성립) 을 이용한다. ⑴ x+4 x>2qx\ 4 x e / x+ 4 x> 4 등호는 x=4 x 에서 x@=4일 때 성립하고 x>0이므로 등호는 x=2 일 때 성립한다. ⑵ x y+ y x>2q x y\ y x e / x y+ y x> 2 등호는 x y= y x 에서 x@=y@일 때 성립하고 x>0, y>0이므로 등호는 x=y 일 때 성립한다.6
a@-ab+b@ =a@-ab+14b@+34b@=[a- 12b]@+ 34b@>0 등호는 a-12b=0, b@=0, 곧 a=b=0일 때 성립한다.1
① x>12 일 때 성립 ③ x=0일 때 성립 ④ {x-2}@>0이므로 x=2일 때 성립 ⑤ {x+1}@+1>0이므로 항상 성립 따라서 절대부등식은 ②, ⑤이다.2
⑴ x@+3x+a=0의 판별식을 D라 하면 D=3@-4a<0 / a>94 ⑵ a=0일 때, 4x>0이므로 절대부등식이 아니다. 곧, a>0이고 ax@+4x+a=0의 판별식을 D라 하면 D 4=2@-a@<0, {a+2}{a-2}>0 / a<-2 또는 a>2 a>0이므로 a>23
2#)3@)={2#}!) {3@}!)=[ 2#3@ ]!) 2# 3@<1이므로 2#) 3@)=[ 2#3@]!)<1 / 2#)<3@) 64쪽 개념 확인04
절대부등식
65쪽 예제8
⑴ 2{ax+by}-{a+b}{x+y} =2{ax+by}-{ax+ay+bx+by} =ax+by-ay-bx=a{x-y}+b{y-x} ={x-y}{a-b}a>b, x>y이므로 2{ax+by}-{a+b}{x+y}>0 / 2{ax+by}>{a+b}{x+y} ⑵ ! a+b<0일 때, 12{a@+b@}3>0이므로 12{a@+b@}3>a+b @ a+b>0일 때, 912{a@+b@}30@-{a+b}@ =2{a@+b@}-{a@+2ab+b@}=a@-2ab+b@ ={a-b}@>0 (단, 등호는 a=b일 때 성립) !, @에서 12{a@+b@}3>a+b (단, 등호는 a=b일 때 성립) ⑶ |a+b|@-{|a|+|b|}@ ={a+b}@-{|a|@+2|a||b|+|b|@} ={a@+2ab+b@}-{a@+2|ab|+b@} =2{ab-|ab|}<0 (단, 등호는 ab>0일 때 성립) / |a+b|<|a|+|b| (단, 등호는 ab>0일 때 성립)
66쪽 예제
9
⑴ [ a b+d ][c ba+dc ] =1+adbc+adbc+1 >2+2r adbc\ad ybc=4 등호는 ad bc=adbc, 곧 ad=bc일 때 성립한다. ⑵ [a+ 4b ][b+9a ] =ab+9+4+ab36 >13+2rab\ 36 ab y =13+2\6=25 등호는 ab=36 ab일 때, 곧 ab=6일 때 성립한다. ⑶ b+ca +c+ab +a+bc =a +b a +c b +c ab +ac +bc =[b a+ a b ]+[ c a+ a c ]+[ c b+ b c ] >2rba\ab y+2rac\ac y+2rcb\bc y =2+2+2=6 등호는 각각 ba=ab , c a= a c, c b= b c일 때 성립하므로 a@=b@=c@, 곧 a=b=c일 때 등식이 동시에 성립한다. 67쪽 예제10
⑴ y 2x+2yx>2q y2x\2y ex=2\q 14 w=1 등호가 성립하려면 y 2x=2yx, y@=x@ x>0, y>0이므로 x=y 이때 최솟값은 1이다. ⑵ 4x+ 1 x-1 =4{x-1}+ 1 x-1+4 >2r4{x-1}\ 1x-1 y+4 =2j4+4=8 등호가 성립하려면 4{x-1}= 1 x-1, {x-1}@= 1 4 x>1이므로 x-1=1 2, x=32 이때 최솟값은 8이다.⑶ x@+4y@>21x@\4y@3에서 4>4xy / xy<1 등호가 성립하려면 x@=4y@
x>0, y>0이므로 x=2y
x@+4y@=4에 대입하면 4y@+4y@=4, y@=1 2 / y= j2 2, x=j2 이때 최댓값은 1이다. 유제
8-1
{x@+y@+1}-{xy+x+y} =x@+y@+1-xy-x-y =129{x-y}@+{x-1}@+{y-1}@0>0 / x@+y@+1>xy+x+y (단, 등호는 x=y=1일 때 성립) 유제
8-2
⑴ 912{a+b}30@-{ja+jb}@ =2{a+b}-{a+2jabk+b} =a-2jabk+b ={ja-jb}@>0 / 12{a+b}3>ja+jb (단, 등호는 a=b일 때 성립) ⑵ {ja-bk}@-{ja-jb}@ =a-b-{a-2jabk+b} =2jabk-2b =2jb{ja-jb}>0 {? a>b} / ja-bl>ja-jb (단, 등호는 b=0일 때 성립) 유제8-3
|a-b|@-||a|-|b||@ ={a-b}@-{|a|-|b|}@ ={a-b}@-{|a|@-2|a||b|+|b|@} ={a@-2ab+b@}-{a@-2|ab|+b@} =2 {|ab|-ab}>0 / |a-b|>||a|-|b|| (단, 등호는 ab>0일 때 성립) 유제
9-1
⑴ {a+b}[ 1 a+ 1 b ] =1+ a b+ b a+1 >2+2r ab\ b a t=4 등호는 a b= b a, 곧 a=b일 때 성립한다. ⑵ [a 2+ 3 b ][ b 3+ 2 a ] =ab6+1+1+ab6 >2+2r ab 6 \ab y6 =2+2=4 등호는 ab 6= 6 ab일 때, 곧 ab=6일 때 성립한다. ⑶ ab+ba>2r a b\ b a y=2 b c+ c b>2r b c\ c b y=2 c a+ a c>2r c a\ a c y=2 / [ab+ba ][bc+cb ][ca+ac ]>2\2\2=8 등호는 각각 a b= b a, b c= c b, c a= a c일 때 성립하므로 a@=b@=c@, 곧 a=b=c일 때 등식이 동시에 성립한다.⑷ 2x+3y>2j2x\3yl에서 6>2j6xyl / {j2xk+j3yk}@ =2x+2j6xyl+3y =6+2j6xyl <6+6=12 등호가 성립하려면 2x=3y 2x+3y=6에 대입하면 x=3 2, y=1 이때 최댓값은 j12k=2j3이다. 유제
10-1
⑴ 2a+8 a >2r2a\ 8a y =2j16k=8 등호가 성립하려면 2a=a8, a@=4 a>0이므로 a=2 이때 최솟값은 8이다. ⑵ {a+2b}[ 2 a+1b ] =2+ab+4ba+2 >4+2r ab\4ba y =4+2j4=8 등호가 성립하려면 a b= 4b a, a@=4b@ a>0, b>0이므로 a=2b 이때 최솟값은 8이다. 유제10-2
2x+1+x+22 =2{x+2}+x+22 -3 >2r2{x+2}\ 2 x+2 y-3 =2j4-3=1 등호가 성립하려면 2{x+2}=x+2 , 2 {x+2}@=1 x>-2이므로 x+2=1, x=-1 이때 최솟값은 1이다. 유제
10-3
⑴ x+2y>2jx\2yl에서 4>2j2xyl, 2>j2xyl 양변을 제곱하면 2@>2xy / xy<2 등호가 성립하려면 x=2y x+2y=4에 대입하면 x=2, y=1 이때 최댓값은 2이다. ⑵ {jxk+j2yk}@ =x+2j2xyl+2y =4+2j2xyl <4+4=8 따라서 최댓값은 j8=2j2이다.0
1
⑤0
2
k<-2 30
3
⑴ 12 ⑵ 190
4
③0
5
㈎：2jabk, ㈏：ja-jb, ㈐：a=b0
6
⑤0
7
110
8
②0
9
풀이 참조10
80 68~69쪽 연습 문제0
1
a>b, c>d에서 a-b>0, c-d>0이므로 ㄱ. {a+c}-{b+d}={a-b}+{c-d}>0 / a+c>b+d (참) ㄴ. {a-d}-{b-c}={a-b}+{c-d}>0 / a-d>b-c (참)ㄷ. a=-1, b=-2이면 a>b이지만 a@<b@ (거짓) ㄹ. a>b, b>c에서 a-b>0, b-c>0이므로 {a-b}+{b-c}>0, a-c>0 / a>c (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다. note ㄱ의 결과에서 c와 d를 이항하면 ㄴ의 결과이다.
0
2
k=0일 때, 2x<0이므로 x<0일 때만 성립한다. 곧, k=0일 때, k<0이고 kx@+{k+2}x+k=0의 판별식을 D라 하면 D<0이어야 한다. D={k+2}@-4k@<0에서 3k@-4k-4>0, {3k+2}{k-2}>0 / k<-23 또는 k>2 이때 k<0이므로 k<-2 30
3
x>0, y>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계를 이용한다. ⑴ x+3y>2jx\3yl=2j36k=12 등호는 x=3y일 때 성립한다. xy=12에 대입하면 x=6, y=2 이때 최솟값은 12이다. ⑵ 3x+4y-5>2j3x\4yl-5=2112@2-5=19 등호는 3x=4y일 때 성립한다. xy=12에 대입하면 x=4, y=3 이때 최솟값은 19이다.0
4
ㄱ. x, y가 양수이므로 x+y>2jxyk, 2>2jxyk / xy<1 (단, 등호는 x=y=1일 때 성립) (참) ㄴ. x@+y@={x+y}@-2xy=4-2xyㄱ에서 xy<1이므로 -2xy>-2, 4-2xy>2 / x@+y@>2 (단, 등호는 x=y=1일 때 성립) (참) ㄷ. xy<1이고 xy>0이므로 1
⑴ {a+b+c}[1 a+ 1 b+ 1 c ] =1+ ab+a c+ b a+1+ b c+ c a+ c b+1 =3+[ ab+b a ]+[ bc+ c b ]+[ ac+ c a ] >3+2r ab\ba y+2r bc\cb y+2r ac\a yc =9 등호는 a b= b a이고 b c= c b이고 a c= c a, 곧 a=b=c일 때 성 립한다. ⑵ b+c=x라 하면 {a+x}[ 1 a+ 1 x ] =1+ a x+ x a+1 >2+2r a x\ xa y =2+2=4 등호는 a x= x a, 곧 a=x에서 a=b+c일 때 성립한다.
10
A의 겉넓이는 A, B를 합친 직육면체의 겉넓이와 같다. A의 부피는 47, B의 부피는 1이고 (A의 부피)+(B의 부피)=3xy 이므로 47+1=3xy, xy=16 / (A의 겉넓이) =2{3x+3y+xy} =6{x+y}+2xy =6{x+y}+32 >12jxyk+32 =12\4+32 =80 (단, 등호는 x=y=4일 때 성립) 따라서 A의 겉넓이의 최솟값은 80이다. / 1x+1 y>2r 1xy t>2 (단, 등호는 x=y=1일 때 성립) (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.0
5
jabk- 2aba+b = jabk{a+b}-2ab a+b =jabk{a+b- 2jabk }a+b =jabk{ ja-jb }@
a+b >0
따라서 jabk>a+b 이고 등호는 j2ab a-jb=0, 곧 a=b 일 때 성립 한다.
/ ㈎：2jabk, ㈏：ja-jb, ㈐：a=b
0
6
두 식을 빼서 부호를 조사한다. ! A-B ={ab+cd}-{ac+bd}={ab-ac}+{cd-bd} =a{b-c}-d{b-c} ={a-d}{b-c}
a-d<0, b-c<0이므로 A-B>0 / A>B @ B-C ={ac+bd}-{ad+bc} ={ac-ad}+{bd-bc} =a{c-d}-b{c-d} ={a-b}{c-d} a-b<0, c-d<0이므로 B-C>0 / B>C !, @에서 A>B>C 따라서 대소 관계를 바르게 나타낸 것은 ⑤이다.
