∴ n=-6 또는 n=7 그런데 n>2이므로 n=7
⑵ nC2=nP2
2?=n{n-1}
2 , nC4=nP4
4?=n{n-1}{n-2}{n-3}
24 이므로 n{n-1}
2 =n{n-1}{n-2}{n-3}
24 에서
12={n-2}{n-3}, n@-5n-6=0, {n+1}{n-6}=0 ∴ n=-1 또는 n=6
그런데 n>4이므로 n=6
3
nP2-nC2=45, 곧 n{n-1}-n{n-1}2 =45이므로 n{n-1}=90, n@-n-90=0, {n+9}{n-10}=0 ∴ n=-9 또는 n=10
그런데 n>2이므로 n=10
4
8팀에서 순서에 관계없이 2팀을 뽑는 경우이므로 경우의 수는 8C2=8P22?=8\7 2\1=28
5
⑴ 5명에서 3명을 뽑아 나열하는 순열이므로 경우의 수는 5P3=5\4\3=60⑵ 5명에서 순서에 관계없이 3명을 뽑는 조합이므로 경우의 수는 5C3=5P3
3?=5\4\3 3\2\1=10
6
6명에서 연필을 받을 3명을 뽑는 조합이므로 경우의 수는 6C3=6P33?=6\5\4 3\2\1=20
165쪽 예제
9
⑴ (우변) =nCn-r= n?
{n-r}?9n-{n-r}0?
= n?
r?{n-r}?=nCr=(좌변)
⑵ (우변) =n-1Cr-1+n-1Cr
= {n-1}?
{r-1}?9{n-1}-{r-1}0?+ {n-1}?
r?{n-1-r}?
= {n-1}?
{r-1}?{n-r}?+ {n-1}?
r?{n-r-1}?
={n-1}?\r
r?{n-r}?+{n-1}?\{n-r}
r?{n-r}?
={n-1}?\{r+n-r}
r?{n-r}? = n?
r?{n-r}?=nCr=(좌변) 유제
9-1
⑴ 8C7=8C1=8⑵ 15C13=15C2=15\14 2\1 =105
⑶ 20C20=20C0=1
유제
9-2
⑴ n=2n-2 또는 10-n=2n-2 ∴ n=2 또는 n=4⑵ nCn-1+nCn-2=n'1Cn-1=n'1C2=n{n+1}
2 이므로 n{n+1}
2 =28에서 n@+n-56=0, {n+8}{n-7}=0 ∴ n=-8 또는 n=7
그런데 n>2이므로 n=7
유제
9-3
r\nCr=r\r?{n-r}?n? ={r-1}?{n-r}?n?n\n-1Cr-1 =n\ {n-1}?
{r-1}?9{n-1}-{r-1}0?
= n?
{r-1}?{n-r}?
∴ r\nCr=n\n-1Cr-1
166쪽 예제
10
⑴ 5명을 뽑는 경우의 수는 12C5=12\11\10\9\8
5\4\3\2\1 =792 5명을 뽑고 일렬로 세우는 경우의 수는 12P5=12\11\10\9\8=95040
⑵ 1학년에서 3명을 뽑는 경우의 수는 7C3 2학년에서 2명을 뽑는 경우의 수는 5C2 따라서 뽑는 경우의 수는
7C3\5C2=7\6\5 3\2\1\5\4
2\1=350
또 뽑고 일렬로 세우는 경우의 수는 350\5?=42000
⑶ 1학년만 뽑는 경우의 수는 7C5=7C2 2학년만 뽑는 경우의 수는 5C5=5C0=1 전체 경우에서 이 두 경우를 빼면 되므로 12C5-{7C2+1}=792-[ 7\62\1+1]=770
⑷ A와 B를 뺀 10명에서 3명을 뽑는 경우의 수는 10C3 A와 B를 양 끝에 세우는 경우는 2가지
나머지 3명을 가운데 세우는 경우의 수는 3?
∴ 10C3\2\3?=10\9\8
3\2\1\2\6=1440 유제
10-1
⑴ 4명을 뽑는 경우의 수는9C4=9\8\7\6 4\3\2\1=126 4명을 뽑고 일렬로 세우는 경우의 수는 9P4=9\8\7\6=3024
⑵ 경찰관 2명을 뽑는 경우의 수는 5C2 소방관 2명을 뽑는 경우의 수는 4C2
∴ 5C2\4C2=5\4 2\1\4\3
2\1=60
⑶ ⑵에서 뽑은 4명을 일렬로 세울 때
! 양 끝이 경찰관인 경우 경찰관을 세우는 경우는 2가지, 가운데 소방관을 세우는 경우도 2가지 이므로 경우의 수는 2\2=4
@ 양 끝이 소방관인 경우도 !과 같이 4가지 ∴ 60\{4+4}=480
다른 풀이 ⑵를 구하지 않고 ⑶을 바로 풀면
! 양 끝에 경찰관을 1명씩 뽑고 가운데 소방관 2명을 뽑는 경 우의 수는 {5\4}\{4\3} (또는 5P2\4P2)
@ 양 끝에 소방관을 1명씩 뽑고 가운데 경찰관 2명을 뽑는 경 우의 수는 {4\3}\{5\4} (또는 4P2\5P2)
∴ {5\4\4\3}\2=480
⑷ 경찰관만 4명 뽑는 경우의 수는 5C4=5C1=5 소방관만 4명 뽑는 경우의 수는 4C4=4C0=1 전체 경우에서 이 두 경우를 빼면 되므로 9C4-{5+1}=126-6=120
167쪽 예제
11
⑴ 두 점을 뽑으면 선분이 하나 정해지므로 12C2=12\11
2\1 =66
⑵ 한 직선 위에 세 점 이상이 있는 경우를 모두 찾아 하나로 세 야 한다. 네 점을 포함하는 직선이 3개, 세 점을 포함하는 직 선{y축에 평행하거나 기울기가 -1}이 8개이므로 각 직선에 서 두 점을 뽑는 경우의 수는 3\4C2+8\3C2
∴ 12C2-{3\4C2+8\3C2}+3+8
=66-{3\4C2+8\3C1}+11
=66-[3\ 4\32\1+8\3]+11=35
⑶ 세 점을 뽑는 경우의 수는 12C3
그런데 한 직선 위에 있는 세 점을 뽑으면 삼각형이 되지 않는 다. 네 점을 포함하는 직선이 3개, 세 점을 포함하는 직선이 8개 이고, 각 직선에서 세 점을 뽑는 경우의 수는 3\4C3+8\3C3 ∴ 12C3-{3\4C3+8\3C3}
=12C3-{3\4C1+8\3C0}
=12\11\10
3\2\1 -{3\4+8\1}=200
⑷ x축에 평행한 직선 2개와 y축에 평행한 직선 2개를 뽑으면 직 사각형이 하나 정해지므로
3C2\4C2=3C1\4C2=3\4\3 2\1=18
다른 풀이 x축에서 선분을 하나 뽑는 경우의 수는 4C2 y축에서 선분을 하나 뽑는 경우의 수는 3C2
4C2\3C2=6\3=18
유제
11-1
⑴ 두 점을 뽑으면 선분이 하나 정해지므로 7C2=7\62\1=21
⑵ 한 직선 위에 있는 네 점에서 두 점을 뽑는 경우의 수는 4C2이 고, 이는 모두 같은 직선이므로 하나로 센다.
∴ 7C2-4C2+1=21-4\3 2\1+1=16
⑶ 세 점을 뽑는 경우의 수는 7C3
그런데 한 직선 위에 있는 네 점에서 세 점을 뽑는 경우의 수 는 4C3=4C1이고, 이는 삼각형이 되지 않는다.
∴ 7C3-4C1=7\6\5 3\2\1-4=31
유제
11-2
⑴ 가로선 4개에서 2개, 세로선 5개에서 2개를 뽑으 면 직사각형이 하나 정해지므로4C2\5C2=4\3 2\1\ 5\4
2\1=60
⑵ 한 변의 길이가 1인 정사각형이 {4\3}개 한 변의 길이가 2인 정사각형이 {3\2}개 한 변의 길이가 3인 정사각형이 {2\1}개 ∴ 4\3+3\2+2\1=20
168쪽 예제
12
⑴ 9개에서 2개를 뽑고, 나머지 7개에서 2개를 뽑고, 나머지 5개 에서 5개를 뽑는다.
! 세 묶음으로 나누는 경우의 수는 개수가 같은 것이 두 묶음 이므로
9C2\7C2\5C5\ 1 2? =9\8
2\1\ 7\6
2\1\1\ 1 2\1
=378
@ 각 묶음을 나열하는 경우의 수는 378\3?=2268
⑵ 9개에서 3개를 뽑고, 나머지 6개에서 3개를 뽑고, 나머지 3개 에서 3개를 뽑는다.
! 세 묶음으로 나누는 경우의 수는 개수가 같은 것이 세 묶음 이므로
9C3\6C3\3C3\ 1 3?
=9\8\7
3\2\1\ 6\5\4
3\2\1\1\ 1
3\2\1=280
@ 각 묶음을 나열하는 경우의 수는 280\3?=1680
169쪽 예제
13
⑴ 8개에서 5개를 뽑는 순열이므로 경우의 수는 8P5=8\7\6\5\4=6720
⑵ 8개에서 5개를 뽑는 조합이므로 경우의 수는 8C5=8C3=8\7\6
3\2\1=56
⑶ 주어진 공과 다른 공 3개를 추가해 추가한 공 3개가 서로 이웃 하지 않게 공 8개를 나열하는 경우의 수와 같다. 따라서 같은 공 5개를 일렬로 나열한 다음 공 사이와 양 끝 6곳 중 3곳에 추가한 공을 놓으면 되므로 6C3=6\5\4
3\2\1=20
⑷ 상자 5개를 뽑은 다음 공을 크기순으로 넣어야 한다.
곧, 8개에서 5개를 뽑는 조합이므로 경우의 수는 8C5=8C3=8\7\6
3\2\1=56
유제
13-1
⑴ 7명에서 3명을 뽑는 순열이므로 경우의 수는 7P3=7\6\5=210⑵ 7명에서 3명을 뽑는 조합이므로 경우의 수는 7C3=7\6\5
3\2\1=35
유제
13-2
주어진 인형과 다른 인형 3개를 추가해 추가한 인형 3개가 서로 이웃하지 않게 인형 7개를 나열하는 경우의 수와 같 다. 따라서 같은 인형 4개를 일렬로 나열한 다음 인형 사이와 양 끝 5곳 중 3곳에 추가한 인형을 놓으면 되므로5C3=5\4\3 3\2\1=10
유제
12-1
⑴ 3명, 3명으로 나누는 경우의 수는 6C3\3C3\12?= 6\5\4
3\2\1\1\ 1 2\1=10 각 조를 두 동아리에 배정하는 경우의 수는 10\2=20
⑵ 4명, 2명으로 나누는 경우의 수는 6C4\2C2 =6C2\2C2=6\5
2\1\1=15
각 조를 두 동아리에 배정하는 경우의 수는 15\2=30 유제
12-2
⑴ {2명, 4명, 4명}, {3명, 3명, 4명}이어야 한다.! 2명, 4명, 4명으로 나누는 경우의 수는 10C2\8C4\4C4\1
2? =10\9
2\1\8\7\6\5
4\3\2\1\1\ 1 2\1
=1575
@ 3명, 3명, 4명으로 나누는 경우의 수는 10C3\7C3\4C4\1
2? =10\9\8
3\2\1\7\6\5
3\2\1\1\ 1 2\1
=2100
!, @에서 1575+2100=3675
⑵ 각 모임이 승용차에 타는 경우의 수는 3675\3?=22050
01
n@=5n-4 또는 n@=20-{5n-4}이므로! n@=5n-4일 때
n@-5n+4=0, {n-1}{n-4}=0 ∴ n=1 또는 n=4
@ n@=20-{5n-4}일 때
n@+5n-24=0, {n+8}{n-3}=0 ∴ n=-8 또는 n=3
n은 자연수이므로 n=3
!, @에서 모든 자연수 n의 값의 합은 1+4+3=8
02
전체 경우에서 A, B 둘 다 뽑지 않는 경우를 빼면 10C4-8C4=10\9\8\74\3\2\1-8\7\6\5 4\3\2\1=140
다른 풀이 A만 뽑는 경우는 나머지 8명에서 3명을 뽑아야 하므 로 경우의 수는
8C3=8\7\6 3\2\1=56
B만 뽑는 경우도 위와 마찬가지이므로 경우의 수는 8C3=8\7\6
3\2\1=56
A, B 둘 다 뽑는 경우는 나머지 8명에서 2명을 뽑아야 하므로 경 우의 수는
8C2=8\7 2\1=28 ∴ 56+56+28=140
03
각 팀이 나머지 팀과 한 번씩 경기를 할 때 전체 경기 수는 10C2=10\92\1 =45
170~171쪽 연습 문제
01
③02
③03
①04
⑴ 21 ⑵ 7205
⑴ 54 ⑵ 49506
1307
7명08
⑴ 240 ⑵ 1080009
3610
⑤11
9012
120따라서 각 팀이 다른 한 팀과 n번씩 경기를 한다면 전체 경기 수는 45n이다.
조건에서 45n=90이므로 n=2
04
⑴ 두 점을 뽑는 경우의 수는 9C2=9\8 2\1=36그런데 한 변 위에 있는 네 점에서 두 점을 뽑는 경우의 수는 4C2이고 이는 모두 같은 직선이므로 하나로 센다.
∴ 36-3\4C2+3=36-3\4\3 2\1+3=21
⑵ 세 점을 뽑는 경우의 수는 9C3=9\8\7 3\2\1=84
그런데 한 변 위에 있는 네 점에서 세 점을 뽑는 경우의 수는 4C3=4C1이고 이는 삼각형이 되지 않는다.
∴ 84-3\4C1=84-3\4=72
05
⑴ 꼭짓점 12개에서 2개를 뽑으면 대각선이 하나 정해지므 로 대각선의 개수는 12C2그런데 이웃한 두 점을 뽑으면 변이므로 변 12개는 빼야 한다.
∴ 12C2-12=12\11
2\1 -12=54
다른 풀이 각 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 12-3=9
그런데 모든 꼭짓점에서 대각선을 그으면 2번씩 중복되므로 대각선의 개수는 12\9
2 =54
⑵ 꼭짓점 12개에서 4개를 뽑아 사각형을 만들면 대각선의 교점 이 하나 생긴다.
∴ 12C4=12\11\10\9 4\3\2\1 =495
note 어떤 세 대각선도 한 점에서 만나지 않으면 교점의 개 수가 최대이다.
06
! 1개, 1개, 1개, 1개, 1개, 1개로 꺼내는 경우는 1가지@ 1개, 1개, 1개, 1개, 2개로 꺼내는 경우는
총 5번 꺼내야 하고, 이 중 2개를 꺼내는 시점을 정하면 되므 로 경우의 수는 5C1=5
# 1개, 1개, 2개, 2개로 꺼내는 경우는
총 4번 꺼내야 하고, 이 중 2개를 꺼내는 시점을 정하면 되므 로 경우의 수는 4C2=4\3
2\1=6
$ 2개, 2개, 2개로 꺼내는 경우는 1가지
!, @, #, $에서 1+5+6+1=13
07
동호를 뺀 반 친구의 수를 n명이라 하고 n부터 구한다.동호를 뺀 반 친구의 수를 n명이라 하자.
nC3=20이므로 n?
3?{n-3}?=20
∴ n{n-1}{n-2}=120 yy ① 유제
13-3
f{1}<f{2}<f{3}<f{4}이므로 집합 Y에서 원소4개를 뽑아 작은 것부터 집합 X의 원소 1, 2, 3, 4에 차례로 대 응시키면 된다.
곧, 6개에서 4개를 뽑는 조합이므로 함수의 개수는 6C4=6C2=6\5
2\1=15
nC4=15이므로 n?
4?{n-4}?=15
∴ n{n-1}{n-2}{n-3}=360 yy ②
①, ②에서 120\{n-3}=360, n-3=3 ∴ n=6 따라서 모인 친구는 동호를 포함하여 7명이다.
08
⑵ 같은 학교 학생 2명이 대상과 최우수상을 받는 경우 를 빼는 것이 간단하다.⑴ 학교 6개에서 4개를 뽑고 각 학교에서 학생을 1명씩 뽑는 경 우이므로 경우의 수는
6C4\{2\2\2\2}=6C2\16=6\5
2\1\16=240
⑵ 전체 경우에서 대상과 최수우상을 받는 학생이 같은 학교인 경우를 뺀다.
상을 주는 전체 경우의 수는 12P4
대상과 최우수상을 받는 학교를 뽑는 경우의 수는 6C1, 이 학 교 학생 2명에게 대상과 최우수상을 주는 경우의 수는 2, 나머 지 10명 중 우수상, 장려상을 받는 학생을 뽑는 경우의 수는 10P2이므로 6C1\2\10P2
∴ 12P4-6C1\2\10P2
=12\11\10\9-6\2\10\9
=12\10\9\{11-1}
=10800
09
평행사변형은 각각 평행한 가로선 2개와 세로선 2개로 결정된다.색칠한 평행사변형을 포함하는 평 a1`b1`
a2`
a3 a4 a5
b2 b3 b4 b5
행사변형의 윗변은 a1, a2 중 하나, 아랫변은 a3, a4, a5 중 하나이므로 경우의 수는 2C1\3C1=2\3=6 세로선도 가로선과 마찬가지이므로 경우의 수는 2C1\3C1=2\3=6 ∴ 6\6=36
10
중복되는 경우를 빼야 한다.! 1이 5개인 경우의 수
8자리에서 1이 들어갈 자리 5개를 뽑는 경우이므로 8C5=8C3=8\7\6
3\2\1=56
@ 처음 4자리가 0110인 경우의 수
나머지 4자리에는 0과 1 둘 다 가능하므로 2$=16
#!, @가 중복되는 경우의 수
처음 4자리가 0110이고 나머지 4자리 중 3자리가 1인 경우이 므로 4자리 중 1이 들어갈 3자리를 고르는 경우의 수는 4C3=4C1=4
!, @, #에서 56+16-4=68
11
세 부분집합의 가능한 원소의 개수부터 생각한다.원소 6개를 세 묶음으로 나누면 된다.
! 1개, 1개, 4개로 나누는 경우의 수
6개에서 1개를 뽑고, 나머지 5개에서 1개를 뽑고, 나머지 4개 에서 4개를 뽑는다.
개수가 같은 것이 두 묶음이므로 6C1\5C1\4C4\ 1
2?=6\5\1\ 1 2\1=15
@ 1개, 2개, 3개로 나누는 경우의 수
6개에서 1개를 뽑고, 나머지 5개에서 2개를 뽑고, 나머지 3개 에서 3개를 뽑으면
6C1\5C2\3C3=6\5\4
2\1\1=60
# 2개, 2개, 2개로 나누는 경우의 수
6개에서 2개를 뽑고, 나머지 4개에서 2개를 뽑고, 나머지 2개 에서 2개를 뽑는다.
개수가 같은 것이 세 묶음이므로 6C2\4C2\2C2\ 1
3? =6\5 2\1\4\3
2\1\1\ 1 3\2\1
=15
!, @, #에서 15+60+15=90
12
2개씩 택하여 세 조로 나눈 다음 합의 크기에 따라 열에 배열한다.2!, 2@, 2#, 2$, 2%, 2^에서 2개, 2개, 2개를 뽑아 세 조로 나누면 각 조의 수의 합이 항상 다르다.
따라서 합이 작은 순서로 1열, 2열, 3열에 쓰면 된다.
수 6개를 2개, 2개, 2개의 세 조로 나누는 경우의 수는 6C2\4C2\2C2\1
3? =6\5 2\1\4\3
2\1\1\ 1 3\2\1
=15
그리고 각 열에서 위와 아래 칸에 서로 바꾸어 쓸 수 있으므로 경 우의 수는 2\2\2=8
∴ 15\8=120
1-1
먼저 2, 4가 들어갈 자리 2곳을 뽑아 앞에는 2, 뒤에는 4를 나열하면 되므로 경우의 수는 6C2나머지 4곳에서 홀수가 들어갈 자리 3곳을 뽑아 앞에서부터 차례 로 1, 3, 5를 나열하면 되므로 경우의 수는 4C3
나머지 한 자리에 6을 쓰면 된다.
∴ 6C2\4C3=6\5 2\1\4=60
172쪽
01
각 탐방로마다 방향이 2가지씩 있다.탐방로 4개의 순서를 정하는 경우의 수는 4?=24
각 탐방로는 시계 방향과 시계 반대 방향으로 둘러볼 수 있으므로 2\2\2\2=16 ∴ 24\16=384