06 . 순열과 조합 6 ⑴ x+y에서 x, y를 뽑고 각 경우에 대하여 a-b+c-d에서 a, -b, c, -d를 뽑을 수 있으므로 2\4=8
⑵ x+y에서 x, y를 뽑고 각 경우에 대하여 a+b에서 a, b를 뽑 고, 또 그 각 경우에 대하여 p+q-r에서 p, q, -r를 뽑을 수 있으므로 2\2\3=12
149쪽 예제
1
⑴ 3\2=6
⑵ A ! B ! C ! A인 경우는 3\2\3=18(가지) A ! C ! B ! A인 경우는 3\2\3=18(가지) ∴ 18+18=36
유제
1-1
⑴ 3+2=5 ⑵ 3\2=6⑶ 버스만 이용하는 경우는 3\3=9(가지) 지하철만 이용하는 경우는 2\2=4(가지) ∴ 9+4=13
유제
1-2
⑴ A ! B ! C ! A인 경우는 3\4\2=24(가지) A ! C ! B ! A인 경우는 2\4\3=24(가지)∴ 24+24=48
⑵ A ! C인 경우는 2가지
A ! B ! C인 경우는 3\4=12(가지) ∴ 2+12=14
150쪽 예제
2
600=6\100=2#\3\5@이므로
⑴` {3+1}{1+1}{2+1}=4\2\3=24
⑵ {1+2+2@+2#}{1+3}{1+5+5@}=15\4\31=1860
⑶ 9=3@이므로 9와 서로소이려면 소인수 중에 3이 없어야 한다.
따라서 2#\5@의 약수이므로 {3+1}{2+1}=4\3=12 유제
2-1
270=2\3#\5이므로⑴ {1+1}{3+1}{1+1}=2\4\2=16
⑵ {1+2}{1+3+3@+3#}{1+5}=3\40\6=720
⑶ 100=2@\5@이므로 100과 서로소이려면 소인수 중에 2와 5가 없어야 한다.
따라서 3#의 약수이므로 3+1=4
유제
2-2
두 수의 공약수는 두 수의 최대공약수의 약수이다.360=2#\3@\5, 540=2@\3#\5 이므로 최대공약수는 2@\3@\5이다.
따라서 공약수의 개수는 {2+1}{2+1}{1+1}=18
151쪽 예제
3
⑴ ! 지불하는 방법의 수
100원짜리 동전으로 지불하는 방법은 0개, 1개 → 2가지 50원짜리 동전으로 지불하는 방법은
0개, 1개, 2개 → 3가지
10원짜리 동전으로 지불하는 방법은 0개, 1개, y, 4개 → 5가지
따라서 지불하는 방법의 수는 2\3\5=30
그런데 0원을 지불하는 경우를 빼야 하므로 30-1=29
@ 지불하는 금액의 수
100원짜리 동전을 50원짜리 동전 2개로 생각해도 된다.
곧, 50원짜리 동전 4개, 10원짜리 동전 4개로 지불하는 방 법의 수와 같다.
∴{4+1}\{4+1}-1=24
다른 풀이 지불할 수 있는 최소 금액은 10원, 최대 금액 은 240원이고 이 사이의 금액은 10원 단위로 모두 지불할 수 있으므로 24가지이다.
⑵ 500원, 2000원, 3000원 하는 볼펜을 각각 x자루, y자루, z자 루 산다고 하면 적어도 1자루씩은 사야 하므로 x, y, z는 자연 수이다.
500x+2000y+3000z=12000, 곧 x+4y+6z=24에서 z=1일 때, x+4y+6=24, x+4y=18
∴ - y=1
x=14, - y=2
x=10, - y=3 x=6, - y=4
x=2 ⇨ 4가지 z=2일 때, x+4y+12=24, x+4y=12
∴ - y=1 x=8, - y=2
x=4 ⇨ 2가지 z=3일 때, x+4y+18=24, x+4y=6 ∴ - y=1
x=2 ⇨ 1가지
따라서 구하는 방법의 수는 4+2+1=7 유제
3-1
⑴ 500원짜리 동전으로 지불하는 방법은 0개, 1개 → 2가지100원짜리 동전으로 지불하는 방법은 0개, 1개, y, 6개 → 7가지
10원짜리 동전으로 지불하는 방법은 0개, 1개, y, 5개 → 6가지
따라서 지불하는 방법의 수는 2\7\6=84
그런데 0원을 지불하는 경우를 빼야 하므로 84-1=83
⑵ 500원짜리 동전을 100원짜리 동전 5개로 생각해도 된다.
곧, 100원짜리 동전 11개, 10원짜리 동전 5개로 지불하는 방 법의 수와 같다.
∴ {11+1}\{5+1}-1=71
유제
3-2
1000원, 2000원, 5000원 하는 공책을 각각 x권, y권, z권 산다고 하면 적어도 1권씩은 사야 하고 가격별로 11권 이상 살 수 없으므로 x, y, z는 10 이하의 자연수이다.1000x+2000y+5000z=20000, 곧 x+2y+5z=20에서 z=1일 때, x+2y+5=20, x+2y=15
x<10이므로 - y=3 x=9, - y=4
x=7, - y=5 x=5, - y=6
x=3, - y=7 x=1 ⇨ 5가지 z=2일 때, x+2y+10=20, x+2y=10
∴ - y=1 x=8, - y=2
x=6, - y=3 x=4, - y=4
x=2 ⇨ 4가지 z=3일 때, x+2y+15=20, x+2y=5 ∴ - y=1
x=3, - y=2
x=1 ⇨ 2가지 따라서 구하는 방법의 수는 5+4+2=11
152쪽 예제
4
⑴ ! B와 C에 같은 색을 칠할 때 A에 가능한 색은 5가지
B에 가능한 색은 A의 색을 뺀 4가지 C에 가능한 색은 B의 색과 같으므로 1가지 D에 가능한 색은 B(또는 C)의 색을 뺀 4가지 ∴ 5\4\1\4=80
@ B와 C에 다른 색을 칠할 때 A에 가능한 색은 5가지
B에 가능한 색은 A의 색을 뺀 4가지 C에 가능한 색은 A, B의 색을 뺀 3가지 D에 가능한 색은 B, C의 색을 뺀 3가지 ∴ 5\4\3\3=180
!, @에서 80+180=260
⑵ ! A-B인 경우는 1가지
@ A-D로 시작하는 경우는 다음과 같이 7가지
C B F-B
G H-E-F-B
A-D B
E-F
G-C-B
H C-B
G F-B
# A-E로 시작하는 경우는 A-D로 시작하는 경우와 그 경 우의 수가 같으므로 7가지
!, @, #에서 1+7+7=15
유제
4-1
A에 가능한 색은 5가지 B에 가능한 색은 A의 색을 뺀 4가지 C에 가능한 색은 A, B의 색을 뺀 3가지 D에 가능한 색은 B, C의 색을 뺀 3가지 ∴ 5\4\3\3=180유제
4-2
⑴ A에서 B, D, E 중 한 곳으로 갈 수 있다.B에서 G로 가는 경우는 B-C-G, B-F-G의 2가지이고, 마찬가지로 D, E에서 G로 가는 경우가 각각 2가지씩 있다.
∴ 3\2=6
⑵ A에서 H를 지나 G로 가는 경우는 다음과 같다.
C-D-H G
B E-F-G
F-E-H G
D-C-G
H G G
E-F
A D B-C-G
C-B-F-E-H-G
H G G
D-C
E B-F-G
F-B-C-D-H-G 따라서 구하는 경우의 수는 12이다.
01
⑴ 4+2=6 ⑵ 4\2=802
주사위 A, B에서 나온 눈을 순서쌍 {a, b}로 나타낼 때! 눈의 합이 4가 되는 경우는 {1, 3}, {2, 2}, {3, 1}의 3가지
@ 눈의 합이 8이 되는 경우는
{2, 6}, {3, 5}, {4, 4}, {5, 3}, {6, 2}의 5가지
# 눈의 합이 12가 되는 경우는 {6, 6}의 1가지
!, @, #에서 3+5+1=9
03
이차방정식 x@-ax+b=0의 판별식을 D라 하면 D={-a}@-4b>0 ∴ a@>4bb=0일 때, a@>0에서 a=0, 1, 2, 3 → 4가지
153~154쪽 연습 문제
01
⑴ 6 ⑵ 802
④03
③04
①05
⑤06
①07
2308
①09
④10
⑴ 71 ⑵ 4011
④12
420b=1일 때, a@>4에서 a=2, 3 → 2가지 b=2일 때, a@>8에서 a=3 → 1가지 ∴ 4+2+1=7
04
3x+5y=60에서 y=12-35x이고, x, y가 음이 아닌 정수 이므로 x는 0 또는 5의 배수이다.
따라서 순서쌍 {x, y}는
{0, 12}, {5, 9}, {10, 6}, {15, 3}, {20, 0}
으로 그 개수는 5이다.
note x=20-5
3y를 이용해도 된다.
05
다섯 자리 대칭수는 abcba 꼴이다.a에는 1부터 9까지 가능하므로 9가지
b, c는 0부터 9까지 가능하므로 각각 10가지이다.
∴ 9\10\10=900
06
500원짜리 동전은 항상 홀수 개를 지불해야 한다.5000원짜리 지폐가 1장이므로 5000원짜리 지폐를 사용하는지에 따라 경우를 나눠 보자.
! 5000원짜리 지폐를 사용하는 경우 1000원짜리 지폐 1장, 500원짜리 동전 1개 1000원짜리 지폐 0장, 500원짜리 동전 3개
@ 5000원짜리 지폐를 사용하지 않는 경우 1000원짜리 지폐 6장, 500원짜리 동전 1개 1000원짜리 지폐 5장, 500원짜리 동전 3개 1000원짜리 지폐 4장, 500원짜리 동전 5개
!, @에서 2+3=5
07
A, B 중 한 군데만 거칠 수도 있고, 모두 거칠 수도 있다.집 ! A ! 학교인 경우는 2\2=4(가지) 집 ! B ! 학교인 경우는 3\1=3(가지)
집 ! A ! B ! 학교인 경우는 2\2\1=4(가지) 집 ! B ! A ! 학교인 경우는 3\2\2=12(가지) ∴ 4+3+4+12=23
08
짝수인 약수는 2가 곱해진 약수를, 3의 배수인 약수는 3 이 곱해진 약수를 찾는다.240을 소인수분해하면 240=2$\3\5
짝수인 약수는 2가 곱해진 꼴이므로 3\5의 약수에 2!, 2@, 2#, 2$
을 곱하면 된다.
곧, 3\5의 약수의 개수는 {1+1}{1+1}=4이므로 p=4\4=16
또 3의 배수인 약수는 2$\5의 약수에 3을 곱하면 된다.
곧, 2$\5의 약수의 개수는 {4+1}{1+1}=10이므로 q=10 ∴ p+q=16+10=26
09
가장 긴 변의 길이부터 먼저 생각한다 세 변의 길이를 a, b, c ( a>b>c인 자연수)라 하자.a<b+c이고 a+b+c=20이므로 a<20-a ∴ a<10 따라서 a의 최댓값은 9이다.
a=9일 때, b+c=11이므로
{b, c}={9, 2}, {8, 3}, {7, 4}, {6, 5} → 4가지 a=8일 때, b+c=12이므로
{b, c}={8, 4}, {7, 5}, {6, 6} → 3가지 a=7일 때, b+c=13이므로 {b, c}={7, 6} → 1가지 ∴ 4+3+1=8
10
⑵ 지불 가능한 최소 금액과 최대 금액을 생각하거나 화 폐를 하나로 통일해서 생각한다.⑴ 1000원짜리 지폐로 지불하는 방법은 0장, 1장, 2장 → 3가지
500원짜리 동전으로 지불하는 방법은 0개, 1개, 2개, 3개 → 4가지 100원짜리 동전으로 지불하는 방법은 0개, 1개, y, 5개 → 6가지
따라서 지불하는 방법의 수는 3\4\6=72
그런데 0원을 지불하는 경우를 빼야 하므로 72-1=71
⑵ 지불할 수 있는 최소 금액은 100원, 최대 금액은 2000+1500+500=4000(원)이다.
그리고 500원짜리 동전이 3개 있고 100원짜리 동전이 5개 있 으므로 이 사이의 금액은 100원 단위로 모두 지불할 수 있다.
따라서 지불하는 금액의 수는 40
다른 풀이 500원짜리 동전이 3개이므로 1000원짜리 지폐는 500원짜리 동전 2개로 바꾸어 생각해도 되고, 100원짜리 동전 이 5개이므로 500원짜리 동전은 100원짜리 동전 5개로 바꾸어 생각해도 된다.
곧, 100원짜리 동전 2\10+3\5+5=40(개)로 지불하는 방 법의 수를 생각하고 풀어도 된다.
11
A캐릭터의 셔츠와 바지를 먼저 정한 후 B캐릭터의 셔 츠와 바지를 정한다.A캐릭터에게 셔츠와 바지를 입히고 색을 정하는 경우는 {3\3}\{2\1}=18(가지)
각 경우에 대해 B캐릭터에게 셔츠와 바지를 입히고 색을 정하는 경우는 {2\2}\{2\1}=8(가지)
∴ 18\8=144
12
A는 나머지 영역에 모두 접하므로 A부터 정하는 것이 좋다.! B와 D에 같은 색을 칠할 때 A에 가능한 색은 5가지
B에 가능한 색은 A의 색을 뺀 4가지 C에 가능한 색은 A, B의 색을 뺀 3가지 D에 가능한 색은 B의 색과 같으므로 1가지 E에 가능한 색은 A, B(또는 D)의 색을 뺀 3가지 ∴ 5\4\3\1\3=180
@ B와 D에 다른 색을 칠할 때 A에 가능한 색은 5가지
B에 가능한 색은 A의 색을 뺀 4가지 C에 가능한 색은 A, B의 색을 뺀 3가지 D에 가능한 색은 A, B, C의 색을 뺀 2가지 E에 가능한 색은 A, B, D의 색을 뺀 2가지 ∴ 5\4\3\2\2=240
!, @에서 180+240=420
1
⑴ 4P0=1⑵ 5P2=5\4=20
⑶ 6P4=6\5\4\3=360
⑷ 5P5=5?=5\4\3\2\1=120
2
⑴ n{n-1}=42에서 42=7\6이므로 n=7⑵ 120=6\5\4이므로 n=3
3
(우변) =n\n-1Pr-1=n\ {n-1}?
9{n-1}-{r-1}0?
=n\{n-1}?
{n-r}? = n?
{n-r}?=nPr=(좌변)
4
⑴ 5P2=5\4=20⑵ 5P4=5\4\3\2=120
5
⑴ 6?=6\5\4\3\2\1=720⑵ 6명에서 2명을 뽑아 일렬로 세운 다음 첫 번째 학생을 회장, 두 번째 학생을 부회장으로 정하면 되므로
6P2=6\5=30
6
⑴ X의 각 원소에 대응할 수 있는 Y의 원소가 5개씩이므로 5\5\5=125⑵ Y에서 원소 3개를 뽑아 일렬로 나열하는 경우와 같으므로 5P3=5\4\3=60
156쪽 개념 확인