02 순열

157^쪽 예제

5

⑴ 첫째 자리에는 0을 뺀 4개의 숫자가 올 수 있다.

나머지 두 자리를 정하는 방법은 첫째 자리에 온 숫자를 뺀 4장에서 2장을 뽑는 순열과 같으므로 경우의 수는 4P2 ∴ 4\4P2=4\{4\3}=48

⑵ ! 일의 자리 숫자가 0일 때

앞의 두 자리를 정하는 방법은 0을 뺀 4장에서 2장을 뽑는 순열과 같으므로 경우의 수는 4P2=4\3=12

@ 일의 자리 숫자가 2일 때

백의 자리에는 2, 0을 뺀 3장, 십의 자리에는 2와 백의 자 리에 온 숫자를 뺀 3장이 가능하므로 경우의 수는 3\3=9

# 일의 자리 숫자가 4일 때

일의 자리 숫자가 2일 때와 경우의 수가 같으므로 9

!, @, #에서 12+9+9=30

⑶ 각 자리 숫자의 합이 3의 배수인 경우는 {0, 1, 2}, {0, 2, 4}, {1, 2, 3}, {2, 3, 4}

이므로 이를 나열하는 경우만 생각하면 된다.

! {0, 1, 2} 또는 {0, 2, 4}일 때

백의 자리에는 0이 올 수 없으므로 경우의 수는 2\2\1=4

@ {1, 2, 3} 또는 {2, 3, 4}일 때 3장을 나열하는 경우의 수이므로 3?=6

!, @에서 4\2+6\2=20

유제

5-1

⑴ 첫째 자리에는 0을 뺀 4개의 숫자가 올 수 있다.

나머지 세 자리를 정하는 방법은 첫째 자리에 온 숫자를 뺀 4개에서 3개를 뽑는 순열과 같으므로 경우의 수는 4P3 ∴ 4\4P3=4\{4\3\2}=96

⑵ 일의 자리에는 1, 3의 2개 숫자가 올 수 있고,

첫째 자리에는 0과 일의 자리에 온 숫자를 뺀 3개가 가능하다.

나머지 두 자리를 정하는 방법은 남은 숫자 3개에서 2개를 뽑 는 순열과 같으므로 경우의 수는 3P2

∴ 2\3\3P2=2\3\{3\2}=36

⑶ 첫째 자리에는 2, 4의 2개 숫자가 올 수 있고,

일의 자리에는 0, 2, 4 중 첫째 자리에 온 숫자를 뺀 2개가 가 능하다.

나머지 두 자리를 정하는 방법은 남은 숫자 3개에서 2개를 뽑 는 순열과 같으므로 경우의 수는 3P2

∴ 2\2\3P2=2\2\{3\2}=24

⑷ 마지막 두 자리 수가 4의 배수이면 된다.

0, 1, 2, 3, 4로 만들 수 있는 두 자리 4의 배수는 04, 12, 20, 24, 32, 40

! 04 또는 20 또는 40일 때

앞의 두 자리를 정하는 방법은 남은 숫자 3개에서 2개를 뽑 는 순열과 같으므로 경우의 수는 3P2=3\2=6

@ 12 또는 24 또는 32일 때

첫째 자리에는 0을 뺀 2개가 가능하고, 그 다음 자리에는 첫째 자리에 온 숫자를 뺀 2개가 가능하므로 경우의 수는 2\2=4

!, @에서 6\3+4\3=30

158^쪽 예제

6

⑴ 모음 카드 3장을 한 묶음으로 보고 자음 카드 4장과 합하여 5장을 나열하므로 경우의 수는 5?

묶음 안에서 모음 카드 3장을 나열하는 경우의 수는 3?

∴ 5?\3?={5\4\3\2\1}\{3\2\1}=720

⑵ 자음 카드 4장을 나열하는 경우의 수는 4?

모음 카드는 자음 카드 사이와 양 끝의 자리 5곳 중 3곳에 한 장씩 나열하면 되므로 경우의 수는 5P3

∴ 4?\5P3={4\3\2\1}\{5\4\3}=1440 유제

6-1

⑴ 세 쌍의 부부를 각각 한 묶음으로 보고 3명이 일렬 로 앉는 경우의 수는 3?

각 묶음 안에서 부부가 자리를 바꿀 수 있으므로 경우의 수는 2\2\2

∴ 3?\2\2\2={3\2\1}\2\2\2=48

⑵ 세 쌍의 부부를 각각 한 묶음으로 보고 3명이 일렬로 앉는 경 우의 수는 3?

각각에 대하여 ‘남여남여남여’ 또는 ‘여남여남여남’이 가능하므 로 2\3?=2\{3\2\1}=12

다른 풀이 ‘남여남여남여’ 또는 ‘여남여남여남’이어야 한다.

이때 남편 3명을 먼저 앉히면 부인의 자리는 자동으로 정해지 므로 3?=6 ∴ 2\6=12

유제

6-2

3의 배수인 3, 6, 9를 한 묶음으로 보고 A라 하자.

1, 2, 5, 7, A를 나열하는 경우의 수는 5?

4의 배수인 4, 8은 1, 2, 5, 7, A

1 2 5 7 A 4, 8을 나열할 자리 를 나열한 다음 그 사이와 양 끝의

자리 6곳 중 2곳에 하나씩 나열하 면 되므로 경우의 수는 6P2

또 A에서 3, 6, 9를 나열하는 경우의 수는 3?

∴ 5?\6P2\3? ={5\4\3\2\1}\{6\5}\{3\2\1}

=21600

159^쪽 예제

7

⑴ 짝수 번째 자리에 A, B, C, D, E 중 4장을 뽑아 나열하므로 경우의 수는 5P4

홀수 번째 자리에 나머지 4장을 나열하는 경우의 수는 4?

∴ 5P4\4? ={5\4\3\2}\{4\3\2\1}

=2880

⑵ a, b, c 중 A와 B 사이에 들어갈 2장을 뽑아 나열하는 경우의 수는 3P2

A와 B를 바꾸는 경우는 2가지

A B를 한 묶음으로 보고 나머지 4장과 합하여 5장을 나열 하는 경우의 수는 5?

∴ 3P2\2\5? ={3\2}\2\{5\4\3\2\1}

=1440

⑶ 전체 경우에서 양 끝이 모두 대문자인 경우를 빼면 된다.

양 끝에 A, B, C, D, E 중 2장을 뽑아 나열하는 경우의 수는 5P2

가운데 6자리에 나머지 6장을 나열하는 경우의 수는 6?

전체 경우의 수가 8?이므로

8?-5P2\6? ={8\7-5\4}\6?

=36\{6\5\4\3\2\1}=25920

유제

7-1

⑴ 1과 2 사이에 들어갈 숫자를 고르는 경우는 3가지 1과 2를 바꾸는 경우는 2가지

1 2를 한 묶음으로 보고 나머지 두 숫자와 합하여 3개를 나 열하는 경우의 수는 3?

∴ 3\2\3?=6\{3\2\1}=36

⑵ 전체 경우에서 첫째 자리와 마지막 자리의 숫자가 모두 홀수 인 경우를 빼면 된다.

첫째 자리와 마지막 자리에 홀수를 나열하는 경우의 수는 3P2 가운데 세 자리에 나머지 숫자 3개를 나열하는 경우의 수는 3?

전체 경우의 수가 5?이므로

5?-3P2\3? ={5\4-3\2}\3?

=14\{3\2\1}=84

유제

7-2

전체 경우에서 여학생끼리 이웃하지 않는 경우를 빼 면 된다.

여학생끼리 이웃하지 않으려면 ‘여 여 여 여’와 같이 여학생 4명을 먼저 세우고 여학생 4명 사이에 남학생 3명을 1명씩 세우 면 되므로 경우의 수는 4?\3?

∴ 7?-4?\3? ={7\6\5-3\2\1}\4?

=204\{4\3\2\1}=4896

160^쪽 예제

8

⑴ 42000보다 큰 수는

42 꼴, 43 꼴, 45 꼴, 5 꼴이다.

42 꼴은 3?개 43 꼴은 3?개 45 꼴은 3?개 5 꼴은 4?개

∴ 3?+3?+3?+4?=6+6+6+24=42

⑵ 1 꼴은 4?=24 2 꼴은 4?=24 → 48개 3 꼴은 4?=24 → 72개 41 꼴은 3?=6 → 78개 42 꼴은 3?=6 → 84개

따라서 85번째 수는 43125, 86번째 수는 43152이다.

⑶ a1=2인 경우는 다음과 같이 11개이다.

a1 a2 a3 a4 a5 1 4 5 3 5 3 4 1 5 4 3 4 5 1

2 5 1 4

1 5 3 4

5 1 3

3 1

1 3 4 5

4 1 3

3 1

a1이 3, 4, 5인 경우도 a1=2인 경우와 개수가 같으므로 4\11=44

유제

8-1

^{⑴ a 꼴은 4?=24}

b 꼴은 4?=24 → 48개 ca 꼴은 3?=6 → 54개 cb 꼴은 3?=6 → 60개

cda 꼴 중에 cdabe보다 앞에 오는 문자열은 없으므로 구하는 문자열의 개수는 60이다.

⑵ a 꼴은 4?=24 ba 꼴은 3?=6 → 30개 bc 꼴은 3?=6 → 36개 bda 꼴은 2?=2 → 38개 bdc 꼴은 2?=2 → 40개

따라서 40번째 오는 문자열은 bdcea이다.

01

⑴ nP2+nP1=n{n-1}+n=n@이므로 n@=64 n>2이므로 n=8

⑵ nP4=n{n-1}{n-2}{n-3}, nP2=n{n-1}이므로 n{n-1}{n-2}{n-3}=20n{n-1}

양변을 n{n-1}로 나누면 {n-2}{n-3}=20 n@-5n-14=0, {n+2}{n-7}=0 n>4이므로 n=7

02

첫째 자리 숫자와 마지막 자리 숫자가 3의 배수인 3, 6이므 로 3ffff6 또는 6ffff3 꼴이다.

ffff에는 나머지 숫자 1, 2, 4, 5를 나열하면 된다.

∴ 2\4P4=2\4?=48

03

⑴ 4P4=4?=24

⑵ AffD이므로 가운데 두 자리에 B, C를 세우면 된다.

∴ 2P2=2?=2

⑶ B와 C를 한 묶음으로 보고 3명을 세우면 3P3=3?

묶음 안에서 B와 C를 바꾸는 경우는 2가지 ∴ 2\3?=12

04

fffff에 3, 4, 5를 나열한 후 남은 두 칸 중 앞에 1, 뒤에 2를 나열하면 된다. 따라서 경우의 수는 5P3=60

다른 풀이 다섯 자리 자연수의 개수는 5?=120

이 중 1이 2보다 앞에 오는 경우의 수와 2가 1보다 앞에 오는 경 우의 수는 같으므로 120_2=60

05

⑴ 모음은 o 하나뿐이므로 o를 제외한 문자 5개를 나열한 후 o를 맨 앞에 놓거나 맨 뒤에 놓으면 된다.

∴ 2\5P5=2\5?=240

⑵ sfft에서 ff에 문자를 나열하는 경우의 수는 4P2 s와 t를 바꾸는 경우는 2가지

161^~162^쪽 연습 문제

01

^{⑴ 8 ⑵ 7}

02

^①

03

⑴ 24 ⑵ 2 ⑶ 12

04

^④

05

⑴ 240 ⑵ 144

06

^③

07

^②

08

^④

09

¹⁰⁸

10

^②

11

⁵⁷⁶

12

¹⁴⁴

sfft를 한 묶음으로 보고 나머지 문자 2개와 같이 나열하는 경우의 수는 3?

∴ 4P2\2\3?=12\2\6=144

06

^Efff 꼴은 3P3=3?=6 LEff 꼴은 2P2=2?=2 → 8개

LOff 꼴의 문자열은 순서대로 LOEV, LOVE이다.

따라서 LOVE는 10번째 오는 문자열이다.

07

일의 자리 숫자가 1, 2, 3, 4, 5인 세 자리 자연수의 개수 는 같다. 백의 자리도 마찬가지이다.

세 자리 자연수는 f6f 꼴이다.

나머지 두 자리를 정하는 방법은 6을 뺀 5개에서 2개를 뽑는 순 열과 같으므로 경우의 수는 5P2=20

만들어진 20개의 세 자리 자연수에서 백의 자리와 일의 자리에 숫자 1, 2, 3, 4, 5가 각각 4번씩 나온다.

따라서 세 자리 자연수 20개의 합은

4\{1+2+3+4+5}\100+20\60+4\{1+2+3+4+5}

=6000+1200+60=7260

08

이웃하는 경우는 한 묶음으로 보고 나열한다.

이웃하지 않는 경우는 이웃해도 되는 것을 먼저 나열한다.

A, B를 한 묶음으로 보고 E, F를 뺀 C, D와 함께 나열하는 경 우의 수는 3?

A와 B를 바꾸는 경우는 2가지 E와 F는 AB, C, D를 나열한 다

f AB f C f D f 음 그 사이와 양 끝의 자리 4곳 중

2곳에 하나씩 나열하면 되므로 경우의 수는 4P2`

∴ 3?\2\4P2=6\2\12=144`

note E와 F가 이웃하지 않는 경우는 E와 F가 이웃하는 경우의 여집합임을 이용해도 된다.

09

‘적어도’는 여집합을 생각한다.

전체 경우에서 a, n, g가 모두 이웃하지 않는 경우를 빼면 된다.

a, n, g가 모두 이웃하지 않는 경우는 먼저 e, l을 feflf 또는 flfef

과 같이 나열하고 빈칸에 a, n, g를 나열하면 된다. 따라서 경우 의 수는

2\3P3=2\3?=12 전체 경우의 수는 5?이므로 5?-12=120-12=108

10

남학생을 먼저 나열하고 조건에 맞게 여학생을 나열한다.

남학생이 9명이므로 만약 4명 이상의 남학생이 이웃한다면 조건 에 맞게 학생들을 세울 수 없다.

곧, 남학생은 반드시 3명씩 이웃해야 한다.

유제

8-2

A, B, C, D의 답지를 각각 a, b, c, d라 하자.

A가 b를 채점하는 경우는 오른쪽과

B C D a d c b c d a d a c 같이 3가지이다. A

A가 c, d를 채점하는 경우도 3가지 씩이다.

∴ 3\3=9

따라서 아래 그림과 같이 남학생 9명을 3명씩 묶고 그 사이와 양 끝의 자리 4곳에 여학생을 한 명씩 세우면 된다.

남 남 남 남 남 남 남 남 남

남학생 9명을 먼저 세우는 경우의 수는 9?이고 여학생 4명을 세 우는 경우의 수는 4?이므로 구하는 경우의 수는 9?\4?이다.

∴ a+b=13

11

조건이 있는 A, B와 C, D의 좌석부터 정한다.

운전석에는 A나 B만 앉을 수 있으므로 2가지

C와 D는 운전석 옆자리 또는 두 번째 줄에 앉아야 하므로 경우 의 수는 4P2

남은 3명이 남은 4자리에 앉는 경우의 수는 4P3 ∴ 2\4P2\4P3=2\12\24=576

12

두 영역이 만나는 경우와 세 영역이 만나는 경우는 색칠 하는 방법이 다르다.

①, ②에 칠하는 경우의 수는 4P2

② ①

③

④

⑤

이때

! ③과 ⑤에 같은 색을 칠하는 경우

③, ④에 ①과 다른 색을 칠하면 되므 로 경우의 수는 3P2

@ ③과 ⑤에 다른 색을 칠하는 경우

①과 다른 색 3개를 ③, ④, ⑤에 칠하면 되므로 경우의 수는 3P3

∴ 4P2\{3P2+3P3}=12\{6+6}=144

다른 풀이 영역 ②, ①, ③, ④, ⑤의 순서대로 색칠 가능한 색 의 수를 생각하면 4\3\3\2\2=144

1

^{⑴ 4C0=1}

⑵ 5C2=5P2 2?=5\4

2\1=10

⑶ 6C4=6P4

4?=6\5\4\3 4\3\2\1=15

⑷ 4C4=4P4 4?=4?

4?=1

2

^{⑴ nC2=nP2}_2?^=n{n-1}₂ ^{이므로 n{n-1}}₂ ^=21에서

n{n-1}=42, n@-n-42=0, {n+6}{n-7}=0 164^쪽 개념 확인

문서에서 2020 코드엠 수학하 답지 정답 (페이지 62-66)