03 역함수 - 2020 코드엠 수학하 답지 정답

곧, 4, 3, 2, 1이 반복된다.

y1 y2

O y

x y=g{x}

y=f{x}

y=x

a b c d e

99=4\24+3이므로 f (({1}=f #{1}=2

@ f !{3}=2, f @{3}=1, f #{3}=4, f ${3}=3, f %{3}=2, y 곧, 2, 1, 4, 3이 반복된다.

100=4\25이므로 f !)){3}=f ${3}=3

10

f{x}=t로 놓고 t의 값의 범위를 구한다.

f{x}=t라 하면 y=f{ f{x}}=f{t}

0<x<1에서 0<t<3 4

! 0<t<1

2일 때, 0<f{t}<3 4

@ 1 2<t< 3

4일 때, f [ 34 ]=3\ 3 4 [1- 3

4 ]= 9 16이므로 9

16<f{t}< 3 4

!, @에서 0<f{t}<3 4

따라서 구하는 y=f{ f{x}}의 치역은 - y|0<y< 34=이다.

11

g{x}=ax+b {a=0}으로 놓는다.

f{g{x}}=9 g{x}0@+4에서 g{x}=t라 하면 f{t}=t@+4 / f{x}=x@+4

g{x}=ax+b (a, b는 상수, a=0)이라 하면 g{ f{x}}=49g{x}0@+1이므로

a{x@+4}+b=4{ax+b}@+1 ax@+4a+b=4a@x@+8abx+4b@+1 x에 대한 항등식이므로

4a@=a, 8ab=0, 4b@+1=4a+b a=0이므로 a=1

4이고 b=0 / g{x}=1 4x

1

⑴ Y의 1에 대응하는 X의 원소는 4이므로

0 1 2 3

1 2 3 4

Y f_! X

f _!{1}=4

⑵ { f J f _!}{1}=f{ f _!{1}}=f{4}=1

⑶ { f _! J f }{1}=f _!{ f{1}}=f _!{2}

이고 Y의 2에 대응하는 X의 원소가 1이므로

{ f _! J f }{1}=f _!{2}=1

note ⑵, ⑶ { f J f _!}{y}=y, { f _! J f }{x}=x를 이용해도 된다.

95^쪽 개념 확인

03 ^역함수

2

x={y에 대한 식}의 꼴로 나타내면 y=1

2x+1에서 1

2x=y-1 / x= 2y-2 x를 y로, y를 x로 바꾸면 y= 2x-2

/ ㈎：2y-2, ㈏：2x-2

3

⑴ y=3x+2에서 3x=y-2, x=y-2 3 x와 y를 바꾸면 y=x-2

⑵ f{x}=x-1에서 y=x-1로 놓으면 x=y+1 x와 y를 바꾸면 y=x+1 또는 f _!{x}=x+1

note ⑵는 함수의 식이 f{x}로 주어졌으므로 f _!{x}로 답 을 써도 된다.

4

직선 y=x를 이용하여 y=f{x}의

O y

x y=x

y=f{x}

3 2#2 2#2

함숫값을 y축 위에 나타내면 오른쪽 3

그림과 같다.

⑴ f{3}=2이므로 f _!{2}=3

⑵ f{2}=3

2이므로 f _![ 32 ]=2 / f _![f _![ 32 ]]=f _!{2}=3

⑶ y=f{x}의 그래프를 직선 y=x에 y=f _!{x}

2 2

O x

y=x

y=f{x}

대칭하여 그리면 오른쪽 그림과 같다.

5

⑴ { f J g}_!{x} ={g_! J f _!}{x}=g _!{ f _!{x}}

=g_!{2x-3}={2x-3}+1

2 =x-1

⑵ {g J f }_!{x} ={ f _! J g_!}{x}=f _!{g_!{x}}

=f _![ x+12 ]=2\x+1

2 -3=x-2

96^쪽 예제

7

⑴ y=3x+2에서 3x=y-2, x=y-2 3 x와 y를 바꾸면 y=x-2

3 / f _!{x}= x-2 3

⑵ y=x-2

3 에서 x-2=3y, x=3y+2

x와 y를 바꾸면 y=3x+2 / { f _!}_!{x}=3x+2 note { f _!}_!=f 를 이용해도 된다.

⑶ h J f=g에서 양변의 오른쪽에 f _!를 합성하면 h J f J f _!=g J f _!, h=g J f _!

97^쪽 예제

8

⑴ y=kx-k+1은 y-1=k{x-1}이므

O y

1 x 1

y=f{x}

로 그 그래프는 점 {1, 1}을 지나는 직 선이다.

y=x@+a의 그래프는

꼭짓점의 좌표가 {0, a}이고 아래로 볼 록한 포물선이다.

따라서 f{x}가 일대일대응이면 위 그림에서 직선 y=kx-k+1의 기울기가 양수이므로 k>0 또 y=x@+a의 그래프가 점 {1, 1}을 지나므로 1=1@+a / a=0

⑵ f _!{-3}=-1에서 f{-1}=-3 -k-k+1=-3, 2k=4 / k=2

⑶ f{b}=4라 하면

⑴의 그림에서 b>1이므로 f{x}=x@에 의해 b@=4 / b=2

{g J f }{x}=2x+1에 x=2를 대입하면 g{ f{2}}=5 이때 f{2}=4이므로 g{4}=5

유제

8-1

⑴ x>0일 때, f{x}=x+kx+1={k+1}x+1 곧, 그래프는 y절편이 1이고, 기울기가 k+1인 직선이다.

/ h{x} =g{ f _!{x}}=g[ x-23 ]

=3 2\x-2

3 +1= x 2

⑷ f J h=g에서 양변의 왼쪽에 f _!를 합성하면 f _! J f J h=f _! J g, h=f _! J g / h{x} =f _!{g{x}}=f _![ 32x+1]

3\[ 32x+1-2]= 12x-1 3 유제

7-1

⑴ y=-x+3에서 x=-y+3

x와 y를 바꾸면 y=-x+3 / f _!{x}=-x+3

⑵ { f _!}_!=f 이므로

{ f _!}_!{x}=f{x}=-x+3

⑶ h J f=g에서 양변의 오른쪽에 f _!를 합성하면 h J f J f _!=g J f _!, h=g J f _!

/ h{x} =g{ f _!{x}}=g{-x+3}

=2{-x+3}-4=-2x+2

⑷ f J h=g에서 양변의 왼쪽에 f _!를 합성하면 f _! J f J h=f _! J g, h=f _! J g / h{x} =f _!{g{x}}=f _!{2x-4}

=-{2x-4}+3=-2x+7

x<0일 때, f{x}=-x+kx+1={k-1}x+1 곧, 그래프는 y절편이 1이고, 기울기가 k-1인 직선이다.

따라서 직선의 기울기가 모두 양이거나 음일 때, f{x}는 일대 일대응이다.

O y

y={k+1}x+1

y={k-1}x+1

x O

y={k+1}x+1 y={k-1}x+1

! k+1>0이고 k-1>0일 때, k>1

@ k+1<0이고 k-1<0일 때, k<-1

!, @에서 k<-1 또는 k>1

⑵ f _!{0}=-3에서 f{-3}=0이므로 |-3|-3k+1=0 / k=4

⑶ k=-2이므로 f{x}=0인 x의 값을 구하면 |x|-2x+1=0

x>0일 때, x-2x+1=0 / x=1 x<0일 때, -x-2x+1=0 / x=1

3 이때 x<0이므로 모순이다.

곧, f{1}=0이므로 {g J f }{x}= x

2-2에 x=1을 대입하면 g{ f{1}}=1

2-2=-3

2 / g{0}=-3 2

98^쪽 예제

9

⑴ f J {g J f }_! J f =f J f _! J g_! J f

=I J g_! J f=g_! J f

/ { f J {g J f }_! J f }{2} ={g_! J f }{2}

=g_!{ f{2}}=g_!{0}

g_!{0}=a라 하면 g{a}=0, 2

3a-1=0 / a=3 2

⑵ y=f{2x+3}에서 g{y}=g{ f{2x+3}}

g J f 가 항등함수이므로

g{y}=2x+3, x=g{y}-3 2 x와 y를 바꾸면 y=g{x}-3

다른 풀이 y=f{2x+3}에서 f _!{y}=2x+3 f _!=g이므로 2x+3=g{y}, x=g{y}-3

2 x와 y를 바꾸면 y=g{x}-3

⑶ 점 {2, 1}은 y=ax+b의 그래프 위의 점이므로

1=2a+b yy ①

또 점 {2, 1}이 y=f _!{x}의 그래프 위의 점이므로 점 {1, 2}

는 y=f{x}의 그래프 위의 점이다.

/ 2=a+b yy ② ①, ②를 연립하여 풀면 a=-1, b=3 유제

9-1

⑴ 9 f{x}0@=f{x}f _!{x}에서 f{x}9 f{x}-f _!{x}0=0 / f{x}=0 또는 f{x}=f _!{x}

f{x}=0에서 x=1

f{x}=f _!{x}의 해는 y=f{x}와 y=f _!{x}의 그래프의 교 점의 x좌표와 같다.

이때 y=f{x}와 y=f _!{x}의 그래프는 직선 y=x에 대칭이 므로 y=f{x}의 그래프와 직선 y=x의 교점의 x좌표를 구하 면 된다.

/ x=-1 또는 x=4 따라서 구하는 방정식의 해는 x=-1 또는 x=1 또는 x=4

⑵ f J { f J g}_! J f =f J g_! J f _! J f

=f J g_! J I=f J g_!

이므로 { f J g_!}{-1}=4, f{g_!{-1}}=4 주어진 그림에서 f{4}=4이므로 g_!{-1}=4 / g{4}=-1

유제

9-2

⑴ h{x}는 f{-x+2}의 역함수이므로 h{0}=a라 하면 f{-a+2}=0 yy ① g{0}=3이므로 f{3}=0 yy ② ①, ②를 비교하면 -a+2=3 / a=-1 따라서 h{0}의 값은 -1이다.

⑵ y=f{-x+2}에서 g{y}=g{ f{-x+2}}

g J f 는 항등함수이므로

g{y}=-x+2, x=-g{y}+2 x와 y를 바꾸면

y=-g{x}+2 / h{x}=-g{x}+2

note ⑵의 결과에 x=0을 대입하여 ⑴의 h{0}의 값을 구할 수도 있다.

01

^{①, ⑤}

02

^②

03

^④

04

^a=-¹₂^{, b=1}

05

^③

06

^-1

07

^{⑴ a ⑵ b}

08

^②

09

^③

10

¹⁰

11

^⑤

99^~100^쪽 연습 문제

01

함수가 일대일대응이면 역함수가 존재한다.

①

2x=y-b, x=2y-2b x와 y를 바꾸면 y=2x-2b

5{x@+4}=x에서 x@-5x+4=0

{x-1}{x-4}=0 / x=1 또는 x=4

따라서 두 교점의 좌표는 {1, 1}, {4, 4}이고, 교점 사이의 거리는 1{4-1}@+{4-1}@3=3j2

10

y=g{x}부터 구한다.

y={ f J g}{x}=f{g{x}}의 그래프에서 f{g{1}}=2, f{g{2}}=1, f{g{3}}=4, f{g{4}}=3, f{g{5}}=5

이므로 y=f{x}의 그래프에서

g{1}=1, g{2}=5, g{3}=2, g{4}=3, g{5}=4 {g J f }_!{1} ={ f _! J g_!}{1}=f _!{g_!{1}}

=f _!{1}=5

/ g{2}+{g J f }_!{1}=5+5=10

11

f _!{x}=g{x}를 이용한다.

y=f{3x}로 놓으면 3x=f _!{y} / x=1 3 f _!{y}

x와 y를 바꾸면 y=1

3 f _!{x}=1 3 g{x}

다른 풀이 g J f=I이므로 y=f{3x}에서 g{y}=g{ f{3x}}, g{y}=3x, x=1

3 g{y}

x와 y를 바꾸면 y=1 3 g{x}

f _!{2}=g{4}=1 {a, b}={2, 4}

f _!{3}=g{3}=3 {a, b}={3, 3}

f _!{4}=g{2}=5 {a, b}={4, 2}

f _!{5}=g{1}=11

2 {a, b}={5, 1}

따라서 가능한 순서쌍 {a, b}의 개수는 5이다.

01

100을 소인수분해한다.

100=2@\5@이므로 f{100} =f{2@}+f{5@}

=f{2}+f{2}+f{5}+f{5}

=2+2+5+5=14

02

정의역의 각 원소에 대해서 가능한 함숫값의 개수를 구 한다.

⑴ 정의역의 원소 1, 2, 3, 4, 5에 대응할 수 있는 공역의 원소는 1 또는 2이므로 2\2\2\2\2=32(개)

이때 모두 1만 대응하는 경우와 모두 2만 대응하는 경우는 제 외해야 한다.

따라서 구하는 함수 f 의 개수는 32-2=30

⑵ f{1}>1이므로 f{1}의 값은 1, 2, 3, 4, 5 중 하나 f{2}>2이므로 f{2}의 값은 2, 3, 4, 5 중 하나 f{3}>3이므로 f{3}의 값은 3, 4, 5 중 하나 f{4}>4이므로 f{4}의 값은 4, 5 중 하나 f{5}>5이므로 f{5}의 값은 5

따라서 구하는 함수 f 의 개수는 5\4\3\2\1=120

03

x=10n+p 꼴로 고쳐서 함숫값을 구한다.

⑴ 12=10\1+2이므로 f{12}=f{1}+2 1=10\0+1이므로 f{1}=f{0}+1=1

/ f{12}=f{1}+2=1+2=3

⑵ f{100a+10b+c} =f{10{10a+b}+c}=f{10a+b}+c

=f{a}+b+c=f{10\0+a}+b+c

=f{0}+a+b+c=a+b+c

04

f=f _!이므로 f{a}=b이면 f _!{a}=b, 곧 f{b}=a f{1}=3이므로 f _!{1}=3이고 f{3}=1이다.

이때 f{2}는 2, 4, 5 중 하나이다.

! f{2}=2일 때,

01

^④

02

⑴ 30 ⑵ 120

03

⑴ 3 ⑵ a+b+c

04

^②

05

^②

06

⑴ 풀이 참조 ⑵ 1

07

f{2}=1, h{3}=4

08

^①

실력 문제 ₁₀₂~103^쪽

1-1

f{500} =f [3\ 5003 ]=3f [ 5003 ]

=3f [3\ 5003@ ]=3@f [ 5003@ ]

=3#f [ 500 3# ]=y 따라서 1<500

3N <3인 n을 찾으면 된다.

3%<500<3^이므로 1<500 3% <3

/ f{500}=3%f [ 5003% ]=3%[1-| 5003% -2|]

500>2\3%이므로

f{500}=3%[1- 5003% +2]=3^-500=229

2-1

O y

2 4 6 x 2

6 y=f _!{x}

y=g{x}

a, b가 자연수이므로 1, 2, 3, 4, 5, 6만 생각하면 된다.

f _!{1}=g{5}=1

2 {a, b}={1, 5}

101^쪽

f{4}=4, f{5}=5이거나 f{4}=5, f{5}=4

@ f{2}=4일 때, f{4}=2이므로 f{5}=5

# f{2}=5일 때, f{5}=2이므로 f{4}=4

!, @, #에서 구하는 함수 f 의 개수는 2+1+1=4

05

f{g{x}}=x이면 g=f _!이다.

모든 실수 x에 대하여 f{2g{x}+3x-7}=x이고, 역함수가 존재하므로

2g{x}+3x-7=f _!{x}

f _!{x}=g{x}이므로

2g{x}+3x-7=g{x}, g{x}=-3x+7 / g{-2}=-3\{-2}+7=13

또 f{-2}=a라 하면 f _!{a}=-2, 곧 g{a}=-2이므로 -3a+7=-2, a=3 / f{-2}=3

/ f{-2}+g{-2}=3+13=16

06

0<f{x}<1 2 ,

2<f{x}<1로 나누어 생각한다.

⑴ f{x}=

-

^2x [0<x<1 2 ] -2x+2 [1

2<x<1] 0<f{x}< 1

2이면 0<x<1 4, 3

4<x<1 1

2<f{x}<1이면 14<x< 3

4이므로 다음과 같이 나누어 푼다.

! 0<x<1

4 일 때, f{x}=2x이고 0<f{x}<1 2 이므로 f{ f{x}}=f{2x}=2\2x=4x

@ 1 4<x<1

2 일 때, f{x}=2x이고 1

2<f{x}<1이므로 f{ f{x}}=f{2x}=-2\2x+2=-4x+2

# 1 2<x<3

4 일 때, f{x}=-2x+2이고 1

2<f{x}<1 이므로

f{ f{x}} =f{-2x+2}=-2{-2x+2}+2=4x-2

$ 3

4<x<1일 때, f{x}=-2x+2이고 0<f{x}< 1 2이므로 f{ f{x}}=f{-2x+2}=2{-2x+2}=-4x+4

!, @, #, $에서

함수 y={ f J f }{x}의 그래프는 오

O y

2! x

4! 4#

1 y={ fJ f }{x}

른쪽 그림과 같다.

⑵ f[ 38 ]=2\ 3 8= 3

4, f[ 34 ]=-2\ 3 4+2= 1

2, f[ 12 ]=1 이므로

{ f J f J f }[ 38 ]={ f J f }[ 34 ]=f[ 12 ]=1

07

h{x}는 일대일대응이므로 함숫값이 모두 다르다.

f{4}=2, g{4}=3이므로 h{4}=g{4}=3 h{3}=g{3}=3이면

h{x}가 일대일대응이라는 조건에 모순이므로 h{3}=f{3}이고, f{3}>g{3}

/ h{3}=f{3}=4

g{1}=2이므로 h{1}은 2 또는 2보다 큰 값이다.

그런데 h{1}=1 또는 h{1}=2이므로 h{1}=2이고 h{2}=1이다.

이때 g{2}=1이므로 f{2}의 값은 1 또는 1보다 작은 값이다.

/ f{2}=1

08

가능한 f{3}, f{4}의 값부터 찾는다.

f 가 일대일함수이므로

f{3}=3, f{4}=1 또는 f{3}=1, f{4}=3 f{3}=3, f{4}=1일 때,

1 2 3 4

X f X

f ${4} =f #{ f{4}}=f #{1}

=f @{ f{1}}=f @{2}

=f{ f{2}}=f{4}=1 이므로 f ${4}=4에 모순이다.

f{3}=1, f{4}=3일 때,

1 2 3 4

X f X

f ${4} =f #{ f{4}}=f #{3}

=f @{ f{3}}=f @{1}

=f{ f{1}}=f{2}=4 이므로 주어진 조건을 만족한다.

f %{1} =f ${ f{1}}=f ${2}=f #{ f{2}}=f #{4}

=f @{ f{4}}=f @{3}=f{ f{3}}=f{1}=2 f %{3} =f ${ f{3}}=f ${1}=f #{ f{1}}=f #{2}

=f @{ f{2}}=f @{4}=f{ f{4}}=f{3}=1 / f %{1}+f %{3}=2+1=3

1

^⑴^24x#yz@_56xy$z#⁼_7y#z^3x@

⑵ x#+x@-x-1 =x@{x+1}-{x+1}

={x+1}{x@-1}={x+1}@{x-1}

x$-x@=x@{x@-1}=x@{x+1}{x-1}

/ x#+x@-x-1

{x+2}{x-1}+{2x+4}{x+2}

{x-1}{x+2}

x@-2x-3_4x@+4x+1

x+1 = 2x+1

x{x+2} +2{x+3}-2{x+1}

{x+1}{x+3}

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