유형 연습
09 통계적 추정
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정답과 풀이
85
06
야구공의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(144.9, 6Û`) 을 따르므로 임의로 선택한 야구공 9개 무게의 평균을 XÕ라 하면 표본평균 XÕ는 정규분포 N{144.9, 6Û`
9 }, 즉 N(144.9, 2Û`)을 따른다.
따라서 구하는 확률은 P(141.7ÉXÕÉ148.9)
=P{141.7-144.9
2 ÉZÉ148.9-144.9
2 }
=P(-1.6ÉZÉ2)=P(0ÉZÉ1.6)+P(0ÉZÉ2)
=0.4452+0.4772=0.9224
답 ②
07
전지의 수명을 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(200, 5Û`)을 따 르므로 크기가 100인 표본의 표본평균을 XÕ라 하면 표본평균 XÕ는 정규분포 N{200, 5Û`
100 }, 즉 N{200, {;2!;}2}을 따른다.
따라서 구하는 확률은
P(XÕ¾201)=P»Z¾201-200
;2!; ¼=P(Z¾2)
=0.5-P(0ÉZÉ2)=0.5-0.4772=0.0228
답 ②
08
생수 1병의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(500, 10Û`) 을 따르므로 한 세트를 이루는 생수 4병의 무게의 평균을 확률변수 XÕ라 하면 표본평균 XÕ는 정규분포 N{500, 10Û`
4 }, 즉 정규분포 N(500, 5Û`)을 따른다.
한편 한 세트는 생수 4병이므로 한 세트의 무게가 2030 이상일 확률 은 P(4XÕ¾2030)이다.
따라서 구하는 확률은
P(4XÕ¾2030)=P{XÕ¾2030
4 }=P(XÕ¾507.5)
=P{Z¾507.5-500
5 }=P(Z¾1.5)
=0.5-P(0ÉZÉ1.5)
=0.5-0.4332=0.0668
답 ④
09
확률변수 X가 정규분포 N(150, 12Û`)을 따르므로 임의추출된 빵 9개
의 무게의 표본평균 XÕ는 N{150, 12Û`
9 }, 즉 N(150, 4Û`)을 따른다.
따라서 XÕ가 144`g 이하일 확률은 P(XÕÉ144)=P{ZÉ144-150
4 }
=P(ZÉ-1.5)=0.5-P(0ÉZÉ1.5)
=0.5-0.4332=0.0668=;100K00;
이므로 k=668
답 668
10
A고등학교 학생의 몸무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(60, 6Û`)을 따른다.
임의로 뽑은 9명의 학생의 몸무게의 평균을 XÕ라 하면 E(XÕ)=60, r(XÕ)= 6
'9=2
즉, 표본평균 XÕ는 정규분포 N(60, 2Û`)을 따른다.
따라서 경고음이 울릴 확률은 P(9XÕ¾549)=P{XÕ¾549
9 }=P(XÕ¾61)
=P{Z¾61-60
2 }=P(Z¾0.5)
=0.5-P(0ÉZÉ0.5)=0.5-0.1915
=0.3085
답 ③
11
제품 A의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(120, 10Û`) 을 따르므로
pÁ=P(X¾130)=P{Z¾130-120
10 }=P(Z¾1)
=0.5-P(0ÉZÉ1)=0.1587
한편 임의추출한 4개의 무게의 평균을 XÕ라 하면 XÕ는 크기가 4인 표본의 평균이므로 표본평균 XÕ는 정규분포 N{120, 10Û`
4 }, 즉 N(120, 5Û`)을 따른다.
pª=P(XÕ¾130)=P{Z¾130-120
5 }=P(Z¾2)
=0.5-P(0ÉZÉ2)=0.0228 따라서 pÁ-pª=0.1587-0.0228=0.1359
답 ④
12
찹쌀 도넛의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(70, 2.5Û`) 을 따르므로 크기가 16인 표본평균 XÕ는 정규분포 N{70, 2.5Û`
16 },
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86
올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 확률과 통계 P(595ÉXÕÉ610)=P{595-60020
'9ÉmÉ11+1.96_1.5 '9
'¶100ÉmÉ274+2_ 45 '¶100 따라서 265ÉmÉ283이므로 b=283
답 ③
'Ä1600ÉmÉXÕ+1.96_ 16 '§Ä1600 따라서 b-a=2_1.96_;4!0^;=1.568
답 ②
'n=20+1.96_;2!;=20.98 따라서 n+a=100+20.98=120.98
'¶nÁÉmÉ240+k_ 12 '¶nÁ B : 230-k_ 10
'¶nªÉmÉ230+k_ 10 '¶nª
ㄱ. 분포가 더 고르다는 것은 표준편차가 더 작다는 것이다. 표본 A 의 표준편차가 표본 B의 표준편차보다 크므로 표본 A보다 표본
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정답과 풀이
87
B의 분포가 더 고르다. (참)
ㄴ. 신뢰도가 같을 때, 두 표본 A, B의 신뢰구간의 길이는 표준편차 와 1
'n에 비례한다.
즉, 12 '¶nÁ`:` 10
'¶nª=(243-237)`:`(232-228)=3`:`2 이므로 'nÁ`:`'nª=4`:`5이다.
그러므로 표본 A의 크기가 표본 B의 크기보다 작다. (참) ㄷ. 신뢰도를 a보다 크게 하면 k도 더 커지므로
k_ 12
'¶nÁ, k_ 10
'¶nª의 값이 더 커진다.
즉, 신뢰도가 클수록 신뢰구간의 길이도 커진다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
답 ⑤
01;3Á6; 02 9
서술형
연습
본문 143쪽01
확률의 총합은 1이므로
;3!;+a+b=1, a+b=;3@; yy ㉠ ㉮
또한, E(X)=E(XÕ)=:Á6Á:이므로
1_;3!;+2_a+3_b=:Á6Á:, 2a+3b=;2#; yy ㉡ ㉯
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=;2!;, b=;6!;
이때
V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`
={1Û`_;3!;+2Û`_;2!;+3Û`_;6!;}-{:Á6Á:}2
=:ª6£:-:Á3ª6Á:=;3!6&; ㉰ 따라서 V(XÕ)=;3!6&;
17 =;3Á6; ㉱
답 ;3Á6;
단계 채점 기준 비율
㉮ 확률의 총합이 1임을 이용하여 a, b에 대한 관계식
을 구한 경우 20%
㉯ E(X)=E(XÕ)임을 이용하여 a, b에 대한 관계식
을 구한 경우 20%
㉰ V(X)의 값을 구한 경우 40%
㉱ V(XÕ)의 값을 구한 경우 20%
02
표본평균이 33, 모표준편차가 24, 표본의 크기가 n이므로 모평균 m 에 대한 신뢰도 99%의 신뢰구간은
33-2.5_24
'nÉmÉ33+2.5_24 'n 33-60
'nÉmÉ33+60
'n ㉮
즉, a=33-60
'n, b=33+60
'n이므로 ㉯
b-a=33+60
'n-{33-60 'n }=120
'n 이고, b-aÉ42에서 120
'n É42 ㉰
'n¾:Á4ª2¼:=:ª7¼:이므로
n¾{:ª7¼:}2= ¢4¼9¼:=8.1
따라서 조건을 만족시키는 자연수 n의 최솟값은 9이다. ㉱
답 9
단계 채점 기준 비율
㉮ 모평균 m에 대한 신뢰도 99%의 신뢰구간을 구한
경우 30%
㉯ a와 b를 n에 대한 식으로 나타낸 경우 20%
㉰ n에 대한 부등식으로 나타낸 경우 20%
㉱ 조건을 만족시키는 자연수 n의 최솟값을 구한 경우 30%
01 ④ 02 ② 03 ③
1등급
도전
본문 144쪽01
풀이 전략 신뢰구간의 길이 l에 대하여 l=2_(신뢰도 79.6%의 신뢰계수)_ r
'n임을 이용한다.
문제 풀이 STEP 1
1단계1단계 신뢰도 79.6%의 신뢰계수를 구한다.
P(-zÉZÉz) =2P(0ÉZÉz)
=0.7960 이므로
P(0ÉZÉz)=0.3980
이때 표준정규분포표에서 0.3980에 해당하는 z의 값이 1.27이므로 신뢰도 79.6%의 신뢰계수는 1.27이다.
STEP 2
1단계1단계 신뢰구간의 길이 l을 n의 식으로 나타낸다.
모평균 m이 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르므로 크기가 n인 표본평균의 표준편차는 r
'n이다.
P(|Z|Ék)=a%이면 a%에 해당하는 z의 값인 k를 신뢰계수라 한다.
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올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 확률과 통계 P(-2.54ÉZÉ2.54) =2P(0ÉZÉ2.54)=2_0.4945=0.9890 P(XÉ50)=P{ZÉ50-60
5 } ㄷ. P(60-kÉXÉ60+k)=P{60-k-60
5 ÉZÉ 60+k-60
즉, P(60-kÉXÉ60+k)<P(60-kÉXÕÉ60+k) (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. E(Y)=np, V(Y)=npq (단, q=1-p)
P(Z¾1) =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1)
=0.5-P(0ÉZÉ1)
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