유형 연습
04 여러 가지 확률
한 개의 주사위를 세 번 던져서 a, b, c를 정하는 경우의 수는 6_6_6=216
f(x)=axÛ`+bx-c에서 f(x)=a{x+ b 2a }
2-bÛ`
4a-c이므로 함수 y=f(x)의 그래프의 꼭짓점의 x좌표는 -;2õa;
즉, -;2õa;=-1이므로 b=2a yy ㉠
함수 y=f(x)의 그래프가 점 (1, 0)을 지나므로
0=a+b-c에서 a+b=c yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 3a=c
a, b, c는 주사위의 눈의 수이므로 c=3a와 b=2a를 만족시키는 a, b, c의 값은
a=1, b=2, c=3 또는 a=2, b=4, c=6
따라서 가능한 a, b, c의 경우는 2가지이므로 구하는 확률은
;21@6;=;10!8;
답 ②
05
각각의 상자에서 공을 꺼낼 수 있는 경우의 수는 5가지씩이므로 전체 경우의 수는
5_5=25
xÛ`+ax+b={x+;2A;}2`+b-a2 4 이므로 01 ⑴ {1,` 2,` 3,` 4,` 5,` 6,` 7}
⑵ {1},`{2},` {3},` {4},` {5},` {6},` {7}
⑶ {1, 3, 5,` 7}
⑷ {2, 3, 5,` 7}
02 ⑴ {1, 2, 3, 4, 6} ⑵ {2, 6} ⑶ {4, 5} ⑷ {5}
03 i, {c}, {d}, {c, d}
04 ⑴ ;9!; ⑵ ;1Á2; ⑶ ;6%;
05 ;1»0; 06 ⑴ ;3!; ⑵ 1 ⑶ 0 07 ⑴ 0 ⑵ 1 08 ;6!; 09;2!;
10;5#0#; 11 ⑴ ;51!2; ⑵ ;5%1!2!;
12 ⑴ ;4¢5; ⑵ 4$5!;
개념
확인 문제
본문 53쪽01 ① 02 ② 03 17 04 ② 05 ④ 06 ② 07 ① 08 ③ 09 ⑤ 10 ④ 11 ① 12 ③ 13 13 14 61 15 ③ 16 103 17 ④ 18 ② 19 41 20 ⑤ 21 ④ 22 ⑤ 23 17 24 ③ 25 ⑤ 26 ② 27 ① 28 ⑤ 29 ③ 30 ④ 31 ③ 32 ⑤ 33 61 34 ① 35 ② 36 87 37 131 38 ③ 39 ⑤ 40 ⑤ 41 ⑤ 42 ② 43 ④ 44 79 45 ① 46 214
유형 연습
내신&
학평 본문 54~65쪽
04 여러 가지 확률
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32
올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 확률과 통계 이 이차식이 완전제곱식이 되기 위해서는 b-a24 =0, 즉 aÛ`=4b 이때 4b는 제곱수가 되어야 하는데 4가 제곱수이므로 b가 될 수 있 는 수는 1 또는 9이다.
Ú b=1일 때, a=2 Û b=9일 때, a=6
따라서 xÛ`+ax+b가 완전제곱식이 되는 경우는 2가지이므로 구하는 확률은 ;2ª5;
답 ④
06
숫자 6에 깃발이 꽂히는 경우는 두 주사위의 눈의 수의 곱이 6, 18, 30인 경우이다.
서로 다른 두 주사위의 눈의 수를 각각 a, b라 할 때, 순서쌍 (a, b) 로 나타내면
Ú 곱이 6인 경우는 (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)의 4가지 Û 곱이 18인 경우는 (3, 6), (6, 3)의 2가지
Ü 곱이 30인 경우는 (5, 6), (6, 5)의 2가지 Ú ~ Ü에 의하여 구하는 경우의 수는 8가지이다.
따라서 두 개의 주사위를 던져 나오는 전체 경우의 수는 6_6=36이 므로 구하는 확률은 ;3¥6;=;9@;
답 ②
07
전체 경우의 수는 여섯 명을 일렬로 나열하는 순열의 수와 같으므로 6!
(A, a), (B, b), (C, c)와 같이 각 부부를 한 묶음으로 생각하여 나열한 후 각 묶음 내에서 부부가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 3!_2_2_2
따라서 구하는 확률은 3!_2_2_2
6! =;1Á5;
답 ①
08
A, B를 포함한 6명이 원형의 탁자에 앉는 경우의 수는 (6-1)!=5!=120
이때 A, B가 이웃하여 6명이 원형의 탁자에 앉는 경우의 수는 2_(5-1)!=2_4!=48
따라서 구하는 확률은
;1¢2¥0;=;5@;
답 ③
09
6개의 문자 B, A, N, A, N, A를 일렬로 나열하는 방법의 수는 6!
3!2!=60
두 개의 N을 하나로 묶어서 일렬로 나열하는 방법의 수는 5!
3!=20
따라서 구하는 확률은 ;6@0);=;3!;
답 ⑤
10
5명이 일자형의 놀이기구에 타는 모든 경우의 수는 15개의 자리 중 에서 서로 다른 5개를 뽑아서 5명이 앉을 자리를 정하면 되므로 Á°P°
한편 5명이 어느 누구와도 서로 이웃하지 않게 놀이기구를 타는 경 우의 수는 빈자리 10개를 먼저 나열하고, 양 끝자리를 포함한 빈자리 사이에 5명이 앉는 경우의 수와 같다. 즉, 위 그림의 ∨로 표시된 곳 11개 중에서 5명이 앉을 곳을 고르면 되므로 어느 누구도 이웃하지 않게 놀이기구를 타는 경우의 수는 ÁÁP°
따라서 구하는 확률은 ÁÁP°
Á°P°= 11_10_9_8_7 15_14_13_12_11=;1ª3;
답 ④
11
a, b를 뽑는 전체 경우의 수는 Á¼Pª=10_9=90
이때 5 a b 가 6의 배수가 되기 위해서는 짝수이면서 3의 배수가 되어야 한다.
Ú b=0일 때
5+a+0=5+a가 3의 배수이므로 a=1, 4, 7 Û b=2일 때
5+a+2=7+a가 3의 배수이므로 a=5, 8 Ü b=4일 때
5+a+4=9+a가 3의 배수이므로 a=0, 3, 6, 9 Ý b=6일 때
5+a+6=11+a가 3의 배수이므로 a=1, 4, 7 Þ b=8일 때
5+a+8=13+a가 3의 배수이므로 a=2, 5
∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨
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정답과 풀이
33
따라서 6의 배수가 되는 경우의 수는 3+2+4+3+2=14
이므로 구하는 확률은 ;9!0$;=;4¦5;
답 ①
12
이미 채워진 4개의 수를 제외한 남은 수는 1, 4, 6, 8, 9이므로 이 5 개의 수를 5개의 빈칸에 임의로 넣을 수 있는 경우의 수는
5!=120
색칠한 2개의 빈칸에 짝수를 넣고, 나머지 빈칸에 남은 3개의 수를 넣는 경우의 수는
£Pª_3!=36
따라서 구하는 확률은 ;1£2¤0;=;1£0;
답 ③
13
점 P가 원점으로 다시 돌아오는 경우는 짝수가 두 번, 홀수가 두 번 나오는 경우이므로 (짝, 짝, 홀, 홀)이 배열되는 경우의 수는
4!
2!2! =6
이때 점 A(1)을 들러 왔을 경우는 (짝, 홀, 짝, 홀), (짝, 짝, 홀, 홀)
(홀, 짝, 짝, 홀), (짝, 홀, 홀, 짝)의 4가지이다.
따라서 구하는 확률은 ;6$;=;3@;이므로 a=3, b=2 즉, aÛ`+bÛ`=13
답 13
14
서로 다른 4장의 카드 중 임의로 2장의 카드를 꺼내는 경우의 수는
¢Cª=6
이 중 카드에 적힌 글자가 ‘한’과 ‘국’인 경우는 1가지이므로 구하는 확률은 ;6!;
따라서 p=6, q=1이므로 10p+q=61
답 61
15
n+3개의 바둑돌 중에서 2개를 꺼내는 경우의 수는 Ç*£Cª=(n+3)(n+2)
2
3개의 검은 바둑돌 중에서 2개를 꺼내는 경우의 수는
£Cª=3
2개 모두 검은 바둑돌일 확률은 3
(n+3)(n+2) 2
=;1Á2;, 즉 6
(n+3)(n+2) =;1Á2;
이므로 nÛ`+5n-66=0 (n+11)(n-6)=0 n은 자연수이므로 n=6
답 ③
16
0, 1, 2, 3, 4를 중복 사용하여 만들 수 있는 네 자리 자연수는 4_5_5_5=500
aÁ+0이므로 aÁ<aª<a£에서 a£의 값은 3 또는 4이다.
Ú a£=3일 때
aÁ<aª<a£이므로 aÁ=1, aª=2이고 a¢의 값은 0 또는 1 또는 2이므로 1_3=3
Û a£=4일 때
aÁ, aª의 값은 1, 2, 3 중에서 2개를 선택하였을 때 큰 수를 aª, 작 은 수를 aÁ (aÁ+0)이라 하면 되므로 aÁ, aª가 될 수 있는 경우의 수는 £Cª=3
a¢의 값은 0, 1, 2, 3 중 한 가지이므로 ¢CÁ=4 즉, 조건에 맞는 경우의 수는 3_4=12 Ú, Û에 의하여 구하는 경우의 수는 3+12=15 따라서 구하는 확률은 ;5Á0°0;=;10#0;이므로 p+q=103
답 103
17
집합 A의 부분집합의 개수는 2Ý`=16이고, 이 중에서 임의로 서로 다 른 두 집합을 택하는 경우의 수는 Á¤Cª=120
이때 부분집합 중에서 선택한 서로 다른 두 집합을 X, Y라 하면 X,Y인 경우는 다음과 같다.
Ú n(Y)=4일 때
원소의 개수가 4인 집합 Y를 만들 수 있는 경우의 수는 ¢C¢=1
집합 X는 집합 Y의 부분집합 중 X=Y를 제외한 것이므로 2Ý`-1=15
따라서 구하는 경우의 수는 1_15=15 Û n(Y)=3일 때
원소의 개수가 3인 집합 Y를 만들 수 있는 경우의 수는
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34
올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 확률과 통계 ¢C£=4집합 X는 집합 Y의 부분집합 중 X=Y를 제외한 것이므로 2Ü`-1=7
따라서 구하는 경우의 수는 4_7=28 Ü n(Y)=2일 때
원소의 개수가 2인 집합 Y를 만들 수 있는 경우의 수는 ¢Cª=6
집합 X는 집합 Y의 부분집합 중 X=Y를 제외한 것이므로 2Û`-1=3
따라서 구하는 경우의 수는 6_3=18 Ý n(Y)=1일 때
원소의 개수가 1인 집합 Y를 만들 수 있는 경우의 수는 ¢CÁ=4
집합 X는 집합 Y의 부분집합 중 X=Y를 제외한 것이므로 2-1=1
따라서 구하는 경우의 수는 4_1=4 Ú ~ Ý에 의하여 구하는 확률은
15+28+18+4 120 = 65
120 =13 24
답 ④
18
10장의 카드 중에서 두 장을 뽑는 경우의 수는 Á¼Cª=10_9 2_1 =45 이때 10장의 카드 중에는 숫자 1이 적힌 카드가 1장뿐이므로 두 장 의 카드에 적힌 수가 1로 같을 경우는 없다.
두 장을 임의로 뽑을 때, 같은 수의 카드를 뽑는 경우는 다음과 같다.
Ú 2가 적힌 카드를 두 장 뽑는 경우의 수는 ªCª=1
Û 3이 적힌 카드를 두 장 뽑는 경우의 수는 £Cª=3
Ü 4가 적힌 카드를 두 장 뽑는 경우의 수는 ¢Cª=6
Ú ~ Ü에 의하여 구하는 경우의 수는 1+3+6=10 따라서 구하는 확률은 ;4!5);=;9@;
답 ②
19
보리, 팥, 수수, 조, 콩의 다섯 가지 잡곡 중 한 가지만 섞는 방법의 수는 °CÁ이므로 2가지, 3가지, 4가지, 5가지를 섞어서 만드는 잡곡밥 의 종류의 수는 각각 °Cª, °C£, °C¢, °C°이다.
전체 경우의 수는 모든 종류의 잡곡밥의 개수이므로
°CÁ+°Cª+°C£+°C¢+°C°=2Þ`-°C¼=2Þ`-1=31 따라서 구하는 확률은 °Cª
31=10 31
즉, p=31, q=10이므로 p+q=31+10=41
답 41
이항계수의 성질
⑴ ÇC¼+ÇCÁ+ÇCª+y+ÇCÇ=2Ç`
⑵ ÇC¼-ÇCÁ+ÇCª-y+(-1)Ç`ÇCÇ=0
⑶ ÇC¼+ÇCª+ÇC¢+y=ÇCÁ+ÇC£+ÇC°+y+=2n-1
⑷ ÇCÁ+2ÇCª+3ÇC£+y+nÇCÇ=n2n-1 보충 개념
20
9개의 공이 들어 있는 주머니에서 임의로 3개의 공을 동시에 꺼내는 경우의 수는
»C£=9_8_7 3_2_1=84
주머니에서 꺼낸 3개의 공에 적혀 있는 세 수의 합이 짝수인 경우는 (홀수, 홀수, 짝수), (짝수, 짝수, 짝수)의 두 가지 경우이다.
Ú (홀수, 홀수, 짝수)인 경우
1, 3, 5, 7, 9가 적혀 있는 공 중 두 개를 꺼내고 2, 4, 6, 8이 적혀 있는 공 중 하나를 꺼내면 되므로 경우의 수는
°Cª_¢CÁ=5_4
2_1_4=40 Û (짝수, 짝수, 짝수)인 경우
2, 4, 6, 8이 적혀 있는 공 중 세 개를 꺼내면 되므로 경우의 수는 ¢C£=4
Ú, Û에 의하여 세 수의 합이 짝수가 되는 경우의 수는 40+4=44
이므로 구하는 확률은
;8$4$;=;2!1!;
답 ⑤
21
n=10일 때 임의로 한 상자를 택하는 확률은 1 10
[상자 1]에서 2개의 구슬을 동시에 꺼낼 때 모두 흰 구슬이 나올 확률은
;1Á0;_0=0
[상자 2]에서 2개의 구슬을 동시에 꺼낼 때 모두 흰 구슬이 나올 확률은
;1Á0;_ªCª Á¼Cª
[상자 3]에서 2개의 구슬을 동시에 꺼낼 때 모두 흰 구슬이 나올 확률은
;1Á0;_£Cª Á¼Cª
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정답과 풀이
35
⋮
[상자 10]에서 2개의 구슬을 동시에 꺼낼 때 모두 흰 구슬이 나올 확 률은
;1Á0;_Á¼Cª Á¼Cª 따라서 PÁ¼의 값은 PÁ¼=0+;1Á0;{ªCª
Á¼Cª+£Cª Á¼Cª+¢Cª
Á¼Cª+y+Á¼Cª Á¼Cª}
=;1Á0;_ 1
Á¼Cª(ªCª+£Cª+¢Cª+y+Á¼Cª)
=;1Á0;_;4Á5;(ªC¼+£CÁ+¢Cª+y+Á¼C¥)
=;1Á0;_;4Á5;(£C¼+£CÁ+¢Cª+y+Á¼C¥)
=;1Á0;_;4Á5;(¢CÁ+¢Cª+°C£+y+Á¼C¥)
⋮
=;1Á0;_;4Á5;_ÁÁC¥=;1Á0;_;4Á5;_ÁÁC£=;3!0!;
답 ④
22
주머니에서 임의로 5개의 공을 동시에 꺼내는 경우의 수는 Á¼C°=10_9_8_7_6
5_4_3_2_1 =252
연속된 3개의 자연수가 있는 경우는 연속한 세 수를 선택하고 그 세 수와 연속하지 않은 2개의 수를 선택하는 경우로 다음과 같이 나눌 수 있다.
Ú 연속된 세 수가 1, 2, 3인 경우
4를 제외한 6개의 자연수 중 2개를 선택하는 경우와 같으므로 ¤Cª=15
Û 연속된 세 수가 8, 9, 10인 경우
7을 제외한 6개의 자연수 중 2개를 선택하는 경우와 같으므로 ¤Cª=15
Ü 연속된 세 수가 n+1, n+2, n+3 (n=1, 2, 3, 4, 5, 6)인 경우 n과 n+4를 제외한 5개의 자연수 중 2개를 선택하는 경우와 같
으므로 6_°Cª=60
Ú ~ Ü에 의하여 사건 A에 속하도록 5개의 공을 꺼내는 경우의 수는 15+15+60=90
따라서 사건 A가 일어날 확률은 ;2»5¼2;=;1°4;
답 ⑤
23
선분의 길이가 무리수일 확률은 전체 사건의 확률에서 선분의 길이
가 유리수일 확률을 빼면 된다.
이때 선분의 길이가 유리수가 되려면 한 선분 위에 있는 두 개의 점 을 선택해야 한다. 즉, 가로선 세 개에는 각각 4개의 점이 있고, 세로 선 네 개에는 각각 3개의 점이 있으므로 선분의 길이가 유리수가 되 는 경우의 수는
¢Cª_3+£Cª_4=18+12=30
12개의 점 중 두 점을 선택하여 선분을 만들 수 있는 모든 경우의 수 는 ÁªCª=66이므로 구하는 확률은
1-;6#6);=;6#6^;=;'1¤1;
따라서 a=6, b=11이므로 a+b=17
답 17
다른 풀이
한 변의 길이가 무리수가 되려면 두 점이 같 은 선분 위에 있으면 안 된다.
한 점을 선택했을 때, 선택한 점과 같은 선 분 위에는 항상 다섯 개의 점이 존재하므로 선택한 점과 같은 선분 위에 있지 않은 점은 6개이다.
Ú 맨 위 가로선 위에 한 점을 선택하는 경우
가로선에서 점을 선택하는 경우의 수는 ¢CÁ=4이고, 그 점과 같 은 선분 위에 있지 않은 점은 6개 존재하므로 만족시키는 경우의 수는 4_6=24
Û 중간 가로선 위에 한 점을 선택하는 경우
맨 아래 가로선 위의 점과 연결했을 때 무리수가 되는 경우만 생 각하면 되므로 경우의 수는 ¢CÁ_3=12
Ü 맨 아래 가로선 위에 한 점을 선택하는 경우 Ú, Û에 모두 포함되어 있다.
Ú ~ Ü에 의하여 구하는 경우의 수는 24+12=36 따라서 구하는 확률은 36
ÁªCª=;6#6^;=;1¤1;
즉, a=6, b=11이므로 a+b=17
24
오각기둥의 10개의 꼭짓점 중 임의로 3개를 택하여 삼각형을 만드는 경우의 수는
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36
올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 확률과 통계 Á¼C£=10_9_83_2_1 =120
Ú 면 ABCDE에서 1개, 면 FGHIJ에서 2개의 꼭짓점을 택하여 삼 각형을 만드는 경우
면 ABCDE에서 1개의 꼭짓점을 택하는 경우의 수는 5이고, 그 각각의 경우에 대하여 면 FGHIJ에서 2개의 꼭짓점을 택하는 경 우의 수는 3이므로 곱의 법칙에 의하여 5_3=15
Û 면 FGHIJ에서 1개, 면 ABCDE에서 2개의 꼭짓점을 택하여 삼 각형을 만드는 경우
면 FGHIJ에서 1개의 꼭짓점을 택하는 경우의 수는 5이고, 그 각
면 FGHIJ에서 1개의 꼭짓점을 택하는 경우의 수는 5이고, 그 각