이산확률변수의 확률분포

k AB = k

B-A { 1 A - 1

B } 보충 개념

03

P(X=k)= a

'Äk+1+'k= a

'Äk+1+'k_ 'Äk+1-'k 'Äk+1-'k

=a(\'Äk+1-'k) 이고, 확률의 총합은 1이므로

Á99

k=1P(X=k)=a{('2-1)+('3-'2)+y+('¶10Œ0-'¶99)

=a('¶10Œ0-1)=9a=1 즉, a=;9!;이므로 P(X=k)=;9!;('Äk+1-'k)

b=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+y+P(X=99)

=1-{P(X=1)+P(X=2)+y+P(X=15)}

=1-;9!;{('2-1)+('3-'2)+y+('¶16-'¶15)}

=1-;9!;('¶16-1)=;3@;

따라서 a+b=;9!;+;3@;=;9&;

답 ②

04

n개의 주사위를 동시에 던질 때, 나올 수 있는 모든 경우의 수는 6Ç``가지이다.

X>1의 여사건의 경우는 XÉ1인 경우로 X=0, X=1의 두 가지 이다.

Ú X=0인 경우

n개의 주사위를 던져 나온 눈의 수가 모두 같아야 되므로 경우의 수는 6 가지이다.

Û X=1인 경우

연속인 두 눈의 수가 나와야 한다. 즉, 1과 2, 2와 3, 3과 4, 4와 5, 5와 6이 나와야 한다.

01 ⑴ 0, 1, 2 ⑵ ;3!; ⑶ ;2!;

⑷

02 ⑴ a=;1£0;, b=1 ⑵ ;1¦0; ⑶ ;2!; ⑷ ;5@;

⑸ 2 ⑹ 5 ⑺ 1 ⑻ 1 03 ⑴ ;8#; ⑵ ;2&; ⑶ 1 ⑷ 1 04 ⑴ E(X+5)=8, V(X+5)=4, r(X+5)=2 ⑵ E(2X)=6, V(2X)=16, r(2X)=4

⑶ E(-3X+10)=1, V(-3X+10)=36, r(-3X+10)=6 05 ⑴ ;5!; ⑵ ;3!; ⑶ ;6%;

06 ⑴

⑵ ;5^; ⑶ ;5(; ⑷ ;2»5; ⑸ ;5#; ⑹ 10 ⑺ 9 ⑻ 3

07 ⑴ B{7, ;3@;} ⑵ B{5, ;2!;} ⑶ B{5, ;2!;}

⑷ B(100, 0.02) ⑸ B{20, ;5!;}

08 ⑴ 24 ⑵ 16 ⑶ 4

개념

확인 문제

본문 105쪽

01 ⑤ 02 ③ 03 ② 04 ② 05 ④ 06 23 07 20 08 ④ 09 ③ 10 37 11 14 12 ① 13 ④ 14 10 15 ⑤ 16 ① 17 ③ 18 ① 19 ① 20 ③ 21 ⑤ 22 ⑤ 23 ⑤ 24 19 25 ⑤ 26 19 27 ⑤ 28 380 29 10 30 77 31 ④ 32 21 33 80 34 ③ 35 ② 36 18 37 64 38 59 39 16 40 415 41 21 42 404 43 35 44 40 45 53 46 920 47 40 48 ②

유형 연습

내신&

학평 본문 106~119쪽

07 이산확률변수의 확률분포

X 0 1 2 합계

P(X=x) ;3!; ;2!; ;6!; 1

X 0 1 2 합계

P(X=x) ;1Á0; ;5#; ;1£0; 1

EBS고등수학해설7단원(064-073)-5.indd 64 2020-10-15 오후 2:10:44

정답과 풀이

65

그런데 n개의 주사위를 던졌을 때, 나오는 눈의 수가 1 또는 2인 것은 2ⁿ 가지이고, 이 중에서 모두 1인 것과 2인 것은 제외해 야 하므로 ( 2ⁿ -2)가지이다.

2와 3, 3과 4, 4와 5, 5와 6인 경우도 마찬가지이므로 모든 경우 의 수는 ( 2ⁿ -2)_5이다.

따라서 P(XÉ1)= 6 +( 2ⁿ -2)_5

6ⁿ =5

3Ç`-4 6Ç`

이다. Ú, Û에서

P(X>1)=1-P(XÉ1)= 1- 5 3Ç`+4

6Ç`

답 ②

05

확률의 총합은 1이므로 a+;3!;+a+;6!;=1, a=;4!;

따라서 확률변수 X의 평균 E(X)는 E(X)=2_;4!;+3_;3!;+4_;4!;+6_;6!;=;2&;

답 ④

06

확률의 총합은 1이므로 ;5@;+20aÛ`+10aÛ`+3a=1

30aÛ`+3a-;5#;=0, 50aÛ`+5a-1=0, (10a-1)(5a+1)=0

a>0이므로 a=;1Á0;

이때 확률변수 X의 평균 E(X)는

E(X)=0_;5@;+1_;5!;+2_;1Á0;+3_;1£0;=;1!0#;

따라서 p+q=23

답 23

07

확률의 총합은 1이므로

{;1Á0;-p}+{;1Á0;+p}+{;1Á0;-p}+y+{;1Á0;+p}=1

에서 ;1@0N;=1, n=5 또, E(X)=:ª4£:이므로 E(X)=Á¹⁰

k=1k[;1Á0;+(-1)û`p]

=1{;1Á0;-p}+2{;1Á0;+p}+y+10{;1Á0;+p}

=;1Á0;(1+2+y+10)+(-p+2p-y+10p)

=:Á2Á:+5p=:ª4£:

따라서 p=;2Á0;이므로 ;p!;=20

답 20

2n개

08

주사위를 던진 횟수에 따라 경우를 나누면 다음과 같다.

Ú X=1인 경우

한 개의 주사위를 1회 던졌을 때 3, 4, 5, 6 중 하나가 나온 경우 이므로 P(X=1)=;6$;=;3@;

Û X=2인 경우

1회에서 1이 나오고, 2회에서 2, 3, 4, 5, 6 중 하나가 나온 경우 와 1회에서 2가 나오고, 2회에서 1, 2, 3, 4, 5, 6 중 하나가 나온 경우이다.

즉, P(X=2)=;6!;_;6%;+;6!;_;6^;=;3!6!;

Ü X=3인 경우

1회, 2회에서는 모두 1이 나오고, 3회에서 1, 2, 3, 4, 5, 6 중 하 나가 나오는 경우이다.

즉, P(X=3)=;6!;_;6!;_;6^;=;3Á6;

Ú ~ Ü에 의하여 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 X의 기댓값 E(X)는

E(X)=1_;3@;+2_;3!6!;+3_;3Á6;=;3$6(;

답 ④

09

주머니에서 구슬 두 개를 동시에 꺼낼 때, 구슬에 적혀 있는 수의 곱 은 1_2=2, 1_3=3, 2_2=4, 2_3=6, 3_3=9이므로 구슬에 적혀 있는 두 수의 곱을 확률변수 X라 하면 X의 값이 될 수 있는 수 는 2, 3, 4, 6, 9이다.

한편 숫자 1은 1개, 숫자 2는 3개, 숫자 3은 5개로 전체 경우의 수는

»Cª이므로 확률변수 X의 값이 가질 확률을 구하면 P(X=2)=ÁCÁ_£CÁ

»Cª =;3£6;, P(X=3)=ÁCÁ_°CÁ

»Cª =;3°6;

P(X=4)=£Cª

»Cª=;3£6;, P(X=6)=£CÁ_°CÁ

»Cª =;3!6%;

P(X=9)=°Cª

»Cª=;3!6);

따라서

E(X)=2_;3£6;+3_;3°6;+4_;3£6;+6_;3!6%;+9_;3!6);

=:ª3Á6£:=;1&2!;

답 ③

X 1 2 3 합계

P(X=x) ;3@; ;3!6!; ;3Á6; 1

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66

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 확률과 통계

10

꺼낸 2개의 공에 적혀 있는 숫자 중에서 최솟값이 k (k=1, 2, 3)가 되는 경우의 수는 k 이상의 숫자 중에서 2개의 숫자를 뽑는 경우의 수에서 k보다 큰 숫자 중에서 2개의 숫자를 뽑는 경우의 수를 뺀 것 과 같다.

P(X=1)=¤Cª-¢Cª

¤Cª =;1»5;=;5#;

P(X=2)=¢Cª-ªCª

¤Cª =;1°5;=;3!;

P(X=3)=ªCª

¤Cª=;1Á5;

이므로 확률변수 X의 평균은 1_;5#;+2_;3!;+3_;1Á5;=;1@5@;=;pQ;

따라서 p+q=15+22=37

답 37

11

9

56 43 21

O x

y

y=f(x)

교점 2개 교점 2개 교점 4개 교점 4개 교점 6개 교점 4개

a는 1ÉaÉ6인 자연수이므로 곡선 y=f(x)와 직선 y=a의 교점의 개수를 표로 나타내면 다음과 같다.

X가 취할 수 있는 값은 2, 4, 6이므로 확률변수 X의 확률분포를 표 로 나타내면 다음과 같다.

X 2 4 6 합계

P(X=x) ;3!; ;2!; ;6!; 1

이때 E(X)=2_;3!;+4_;2!;+6_;6!;=:Á3Á:=;pQ;이므로 p+q=3+11=14

답 14

12

확률의 총합은 1이므로 b+;4!;+;4!;=1, b=;2!;

E(X)=2_;2!;+4_;4!;+a_;4!;=4에서 a=8

a 1 2 3 4 5 6

교점의 개수 4 6 4 4 2 2

E(XÛ`)=2Û`_;2!;+4Û`_;4!;+8Û`_;4!;=22이므로 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=22-4Û`=6

답 ①

13

확률의 총합은 1이므로 a+;3!;+b=1에서 a+b=;3@;

E(X)=(-1)_a+0_;3!;+1_b=-a+b

E(XÛ`)=(-1)Û`_a+0Û`_;3!;+1Û`_b=a+b=;3@;이므로 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=;3@;-(-a+b)Û`=;1°2;

따라서 (a-b)Û`=;3@;-;1°2;=;4!;

답 ④

14

확률의 총합은 1이므로 Án

k=1ck= cn(n+1)

2 =1이므로 c= 2

n(n+1) 또,

V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`

=Áⁿ

k=1ckÜ`-{Áⁿ

k=1ckÛ`}Û

=c_[n(n+1)

2 ]²-[c_n(n+1)(2n+1)

6 ]²

=('6)Û`

위의 식에 c= 2

n(n+1)를 대입하여 정리하면 2

n(n+1)_[n(n+1)

2 ]²-[ 2

n(n+1)_n(n+1)(2n+1)

6 ]²

=6 n(n+1)

2 -(2n+1)Û`

9 =6

nÛ`+n-110=0, (n+11)(n-10)=0 따라서 n은 자연수이므로 n=10

답 10

15

a와 b는 1Éa<bÉn을 만족하는 자연수이고,

b-a의 값이 확률변수 X이므로 X가 가질 수 있는 가장 작은 값은 1, 가장 큰 값은 n-1 이다.

X=k일 때, b-a=k에서 a=b-k이므로 1ÉaÉn-k이다.

이때 직사각형의 둘레의 길이가 2n이고, b-a=k이므로 d-c=n-k에서 d=c+n-k

c는 자연수이고 dÉn이므로 1ÉcÉ k 이다.

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정답과 풀이

67

f(8)_g(6)=7_6_8 7_6 =8 P(X=5)=P(X=16), y, P(X=10)=P(X=11) 그러므로 확률변수 X의 평균 E(X)는

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68

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 확률과 통계 Ú X=0인 경우

앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 모두 같은 경우인 (1, 2, 3)의 1가지이므로 P(X=0)=;6Á0;

Û X=1인 경우

앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 같은 카드의 개수가 2인 경우이다.

이때 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 1과 2로 같은 경우는 (1, 2, 4), (1, 2, 5)의 2가지, 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가

1과 3 또는 2와 3으로 같은 경우도 각각 2가지이므로 P(X=1)=2_3

60 =;1Á0;

Ü X=2인 경우

앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 같은 카드의 개수가 1인 경우이다.

이때 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 1로 같은 경우는

(1, 3, 2), (1, 3, 4), (1, 3, 5), (1, 4, 2), (1, 4, 5), (1, 5, 2), (1, 5, 4)의 7가지이며 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 2 또는

3으로 같은 경우도 각각 7가지이므로 P(X=2)=7_3

60 =;2¦0;

Ý X=3인 경우

P(X=3)=1-{;6Á0;+ ;1Á0; + ;2¦0; }=;1¥5;

그러므로

E(X)=0_;6Á0;+1_;1Á0;+2_;2¦0;+3_;1¥5;= :Á5ª:

따라서 a=;1Á0;, b=;2¦0;, c=:Á5ª:이므로 10a+20b+5c=20

답 ①

19

확률변수 X가 가장 큰 값을 갖는 경우는 첫 번째와 여섯 번째 꺼낸 공에 적힌 수가 홀수이고, 두 번째부터 다섯 번째까지 꺼낸 공이 모 두 짝수일 때이므로 m= 6

이때 X=k (3ÉkÉm)인 경우

9개의 공이 들어 있는 주머니에서 k개의 공을 차례대로 꺼내는 경우 의 수는 »Pû

첫 번째와 마지막으로 꺼낸 공에 적힌 수가 홀수인 경우의 수는 °Pª 두 번째부터 (k-1)번째까지 꺼낸 공에 적힌 수가 짝수인 경우의 수 는 ¢PûЪ

그러므로 P(X=k)= °Pª_¢PûЪ

»Pû 에서 f(k)=°Pª_¢PûЪ 따라서 a=6, f(4)=°Pª_¢Pª=240이므로

a+f(4)=246

답 ①

20

서로 같은 흰 공 4개, 서로 같은 검은 공 3개를 나열하는 것이므로 N= 7!

4!_3!= 35 이다.

Ú X=2일 때,

번호 2가 부여된 흰 공 앞에 흰 공 1개,

번호 2가 부여된 흰 공 뒤에 흰 공 2개와 검은 공 3개를 나열하는 경우의 수는 1_ 5!

2!_3!이므로 P(X=2)=10

N=;3!5);

Û X=3일 때,

번호 3이 부여된 흰 공 앞에 흰 공 1개와 검은 공 1개,

번호 3이 부여된 흰 공 뒤에 흰 공 2개와 검은 공 2개를 나열하는 경우의 수는 2!_ 4!

2!_2!이므로 P(X=3)=12

N=;3!5@;

Ü X=4일 때,

번호 4가 부여된 흰 공 앞에 흰 공 1개와 검은 공 2개,

번호 4가 부여된 흰 공 뒤에 흰 공 2개와 검은 공 1개를 나열하는 경우의 수는 3!

2!_3!

2!=3_3= 9 이므로 P(X=4)= 9

N =;3»5;

Ý X=5일 때,

확률질량함수의 성질에 의하여

P(X=5)=1-{P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)}

=1-{;3!5);+;3!5@;+;3»5;}=;3¢5;

따라서

E(X)=_k=2Á⁵ {k_P(X=k)}

=2_;3!5);+3_;3!5@;+4_;3»5;+5_;3¢5;= :Á5¤:

이때 a=35, b=9, c=:Á5¤:이므로 a+b+5c=60

답 ③

21

E(X)=0_;6!;+2_;3!;+4_;2!;=;3*;

따라서 E(6X+1)=6E(X)+1=17

답 ⑤

22

E(Y)=E{;2!;X+5}=;2!;E(X)+5=30이므로

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정답과 풀이

69

E(X)=50

답 ⑤

23

P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1이므로 k+2k+3k=6k=1, k=;6!;

E(X)=1_;6!;+2_;3!;+3_;2!;=:Á6¢:=;3&;

따라서 E(6X+1)=6E(X)+1=6_;3&;+1=15

답 ⑤

24

E(X)=1_;1£0;+2_;2!;+3_;5!;=;1!0(;이므로 E(10X)=10E(X)=10_;1!0(;=19

답 19

25

E(X)=;6!;+2a+3b이므로

E(6X)=6E(X)=6{;6!;+2a+3b}=1+6(2a+3b)=13 즉, 6(2a+3b)=12

따라서 2a+3b=2

답 ⑤

26

a+2a+3a+4a=1에서 a=;1Á0;

E(X)=1_;1Á0;+2_;1ª0;+3_;1£0;+4_;1¢0;=;1#0);=3 따라서 E(4X+7)=4E(X)+7=12+7=19

답 19

27

확률의 총합은 1이므로 ¢CÁ k +¢Cª

k +¢C£

k +¢C¢

k =1

;k!;(¢CÁ+¢Cª+¢C£+¢C¢)=1, k=¢CÁ+¢Cª+¢C£+¢C¢

이항정리에 의해

¢CÁ+¢Cª+¢C£+¢C¢=2Ý`-1=15, 즉 k=15 E(X)=2_¢CÁ

15+4_¢Cª

15 +8_¢C£

15+16_¢C¢

15

=;1Á5;(2_¢CÁ+2Û`_¢Cª+2Ü`_¢C£+2Ý`_¢C¢)

=;1Á5;(2_4+4_6+8_4+16_1)=;1*5);=:Á3¤:

따라서 E(3X+1)=3E(X)+1=16+1=17

답 ⑤

28

pÇ*ª-2pÇ*Á+pÇ=0에서 2pÇ*Á=pÇ*ª+pÇ이므로 수열 {pÇ}은 등차수열이다.

등차수열 {pÇ}의 첫째항을 pÁ, 공차를 d라 하면 pÁ=p£-2d, pª=p£-d, p¢=p£+d, p°=p£+2d이고 확률의 총합은 1이므로

pÁ+pª+p£+p¢+p°=1에서 5p£=1, p£=;5!;

또한, p°-pÁ=(pÁ+4d)-pÁ=;2¥5;에서 4d=;2¥5;, d=;2ª5;

이때 pÁ=;2Á5;, pª=;2£5;, p£=;5!;, p¢=;2¦5;, p°=;2»5;

확률변수 X의 평균 E(X)는

E(X)=1_;2Á5;+2_;2£5;+3_;5!;+4_;2¦5;+5_;2»5;=:Á5»:

따라서

E(100X)=100E(X)=100_:Á5»:=380

답 380

29

a-b의 값이 확률변수 X이므로 X가 가질 수 있는 값은 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

이때 X=-3일 때, (a, b)는 (1, 4)이므로 P(X=-3)= 1

4_4=;1Á6;

X=-2일 때, (a, b)는 (1, 3), (2, 4)이므로 P(X=-2)= 2

4_4=;8!;

X=-1일 때, (a, b)는 (1, 2), (2, 3), (3, 4)이므로 P(X=-1)= 3

4_4=;1£6;

X=0일 때, (a, b)는 (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)이므로 P(X=0)= 4

4_4=;4!;

X=1일 때, (a, b)는 (2, 1), (3, 2), (4, 3)이므로 P(X=1)= 3

4_4=;1£6;

X=2일 때, (a, b)는 (3, 1), (4, 2)이므로 P(X=2)= 2

4_4=;8!;

X=3일 때, (a, b)는 (4, 1)이므로 P(X=3)= 1

4_4=;1Á6;

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70

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 확률과 통계 그러므로

E(X)=(-3)_;1Á6;+(-2)_;8!;+(-1)_;1£6;

+0_;4!;+1_;1£6;+2_;8!;+3_;1Á6;=0 E(XÛ`)=(-3)Û`_;1Á6;+(-2)Û`_;8!;+(-1)Û`_;1£6;

+0Û`_;4!;+1Û`_;1£6;+2Û`_;8!;+3Û`_;1Á6;=;2%;

V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=;2%;-0Û`=;2%;이므로 V(Y)=V(2X+1)=4V(X)=4_;2%;=10

답 10

30

확률변수 X의 값이 될 수 있는 수는 0, 1, 2이다.

Ú X=0인 경우

도보 또는 자전거/부모님 자가용의 34+6=40(가지) 즉, P(X=0)=;1¢0¼0;=;5@;

Û X=1인 경우

버스/지하철/자전거와 지하철의 23+15+5=43(가지) 즉, P(X=1)=;1¢0£0;

Ü X=2인 경우

버스와 지하철의 17(가지)이므로 P(X=2)=;1Á0¦0;

이때 E(X)=0_;5@;+1_;1¢0£0;+2_;1Á0¦0;=;1¦0¦0;

따라서 E(100X)=100E(X)=100_;1¦0¦0;=77

답 77

31

확률변수 X가 이항분포 B{12, ;3!;}을 따르므로 E(X)=12_;3!;=4

답 ④

32

확률변수 X가 이항분포 B{n, ;7!;}을 따르므로 E(X)=n_;7!;=3

따라서 n=21

답 21

33

확률변수 X가 이항분포 B{10, ;3!;}을 따르므로 V(X)=10_;3!;_;3@;=:ª9¼:

따라서 V(6X)=36V(X)=36_:ª9¼:=80

답 80

34

확률변수 X가 이항분포 B{n, ;3!;}을 따르므로 V(X)=n_;3!;_;3@;=20

따라서 n=90

답 ③

35

한 개의 주사위를 한 번 던질 때, 3의 배수의 눈이 나올 확률은

;6@;=;3!;

따라서 확률변수 X는 이항분포 B{36, ;3!;}을 따르므로 V(X)=36_;3!;_;3@;=8

답 ②

36

E(3X)=3E(X)=18에서 E(X)=np=6 E(3XÛ`)=3E(XÛ`)=120에서 E(XÛ`)=40 V(X)=np(1-p)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`에서 6(1-p)=40-6Û`=4이므로 p=;3!;

따라서 np=;3!;n=6에서 n=18

답 18

37

확률변수 X가 이항분포 B(72, p)를 따르므로 E(X)=72p E(2X-3)=2E(X)-3=144p-3=45, 즉 p=;3!;

따라서 V(X)=72_;3!;_;3@;=16이므로 V(2X-3)=4V(X)=64

답 64

38

확률변수 X가 이항분포 B{n, ;3!;}을 따르므로

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정답과 풀이

71

V(X)=n_;3!;_;3@;=2n 9 V(2X-1)=4V(X)=4_2n

9 =80, 즉 n=90 따라서

E(2X-1)=2E(X)-1

=2_90_;3!;-1=59

답 59

39

확률변수 X가 이항분포 B{36, ;3@;}를 따르므로 E(X)=36_;3@;=24, V(X)=36_;3@;_;3!;=8 E(2X-a)=2E(X)-a=48-a

V(2X-a)=4V(X)=32이므로 48-a=32 따라서 a=16

답 16

40

확률변수 X는 이항분포 B{80, ;4!;}을 따르므로 E(X)=80_;4!;=20

V(X)=80_;4!;_;4#;=15

이때 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`이므로 E(XÛ`)=V(X)+{E(X)}Û`=15+400=415

답 415

41

확률변수 X는 이항분포 B{n, ;2!;}을 따르므로

P(X=r)=ÇC¨{;2!;}^r{;2!;}^n-r=ÇC¨{;2!;}ⁿ (r=0, 1, 2, y, n) 이때 P(X=2)=10P(X=1)이므로

ÇCª{;2!;}ⁿ=10ÇCÁ{;2!;}ⁿ, 즉 n(n-1) 2 =10n nÛ`-21n=0, n(n-21)=0

따라서 n>0이므로 n=21

답 21

42

확률변수 X는 이항분포 B(25, p)를 따르고 P(X=2)=48P(X=1)이므로

ª°CªpÛ`(1-p)Û`Ü`=48_ª°CÁ p(1-p)Û`Ý`

25_24

2_1 _pÛ`(1-p)Û`Ü`=48_25_p(1-p)Û`Ý`

p=4(1-p), p=;5$;

또, E(X)=25_;5$;=20, V(X)=25_;5$;_;5!;=4이므로 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`에서

E(XÛ`)=V(X)+{E(X)}Û`=4+20Û`=404

답 404

43

확률변수 X는 이항분포 B(3, p)를 따르므로

10P(X=3)=10_£C£pÜ`=10pÜ` yy ㉠

확률변수 Y는 이항분포 B(4, 2p)를 따르므로 P(Y¾3) =P(Y=3)+P(Y=4)

=¢C£(2p)Ü`(1-2p)+¢C¢(2p)Ý`

=4(8pÜ`-16pÝ`)+16pÝ`

=16pÜ`(2-3p) yy ㉡

㉠=㉡이므로 10pÜ`=16pÜ`(2-3p) p+0이므로 5=8(2-3p)

따라서 p=;2!4!;이므로 m+n=24+11=35

답 35

44

책을 한 번 펼칠 때 그림이 나올 확률이 ;3!;이고, 책을 180번 펼치는 시행은 독립시행이므로 확률변수 X는 이항분포 B{180, ;3!;}을 따른다.

따라서 확률변수 X의 분산을 V(X)라 하면 V(X)=180_;3!;_{1-;3!;}=40

답 40

45

동전을 2개 던져서 모두 앞면이 나올 확률이 ;4!;이고, 동전 2개를 100번 던지는 시행은 독립시행이므로 확률변수 X는 이항분포 B{100, ;4!;}을 따른다.

이때 E(X)=100_;4!;=25이므로 E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=53

답 53

46

주사위를 한 번 던져 3의 배수의 눈이 나올 확률은 ;3!;이고, 주사위를 90번 던지는 시행은 독립시행이므로

확률변수 X는 이항분포 B{90, ;3!;}을 따른다.

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72

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 확률과 통계 이때 E(X)=90_;3!;=30, V(X)=90_;3!;_;3@;=20이고, V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`이므로

E(XÛ`)=V(X)+{E(X)}Û`=20+900=920

답 920

47

P(X=k)=ÇCû{;2!;}ⁿ=ÇCû{;2!;}^k{;2!;}^n-k이므로

확률변수 X는 이항분포 B{n, ;2!;}을 따른다.

이때 E(X)=;2N;, V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=;4N;이므로 E(XÛ`)=V(X)+{E(X)}Û`=;4N;+nÛ`

4 Án

k=0(k+1)Û`P(X=k)=<sub>k=0</sub>Á<sup>n</sup> (kÛ`+2k+1)P(X=k)

=E(XÛ`)+2E(X)+1=451 즉, ;4N;+nÛ`

4 +2_;2N;+1=451

nÛ`+5n-1800=0, (n-40)(n+45)=0 따라서 n>0이므로 n=40

답 40

48

pû=P(X=k)=£¼Cû{;6!;}^k{;6%;}^30-k은 1회의 시행에서 사건이 일어

날 확률이 ;6!;일 때, 30번의 독립시행에서 사건이 k번 일어날 확률을 의미한다.

즉, 주사위를 한 번 던져 1의 눈이 나오는 확률은 ;6!;이고, 주사위를 30번 던지므로 확률변수 X는 이항분포 B{30, ;6!;}을 따른다.

이때 E(X)=_r=0Á³⁰rP(X=r)=30_;6!;=5 Á30

r=3rP(X=r)

=Á_r=0³⁰rP(X=r)-Á_r=0² rP(X=r)

=E(X)-{0_P(X=0)+1_P(X=1)+2_P(X=2)}

=5-(1_0.025+2_0.073)

=5-0.171=4.829

답 ②

01 5 02 30

서술형

연습

본문 120쪽

01

Y=2X+1에서 X=;2!;Y-;2!;이므로 E(X)=E{;2!;Y-;2!;}=;2!;E(Y)-;2!;

=;2!;_7-;2!;=3 ㉮

E(Y)=7, E(YÛ`)=57에서

V(Y)=E(YÛ`)-{E(Y)}Û`=57-7Û`=8이므로 ㉯ V(X)=V{;2!;Y-;2!;}=;4!;V(Y)=;4!;_8=2 ㉰

따라서 E(X)+V(X)=3+2=5 ㉱

답 5

단계 채점 기준 비율

㉮ E(X)의 값을 구한 경우 30%

㉯ V(Y)의 값을 구한 경우 30%

㉰ V(X)의 값을 구한 경우 30%

㉱ E(X)+V(X)의 값을 구한 경우 10%

02

주사위 2개를 동시에 던질 때 두 눈의 수의 곱이 홀수일 확률은 두 주사위가 모두 홀수가 나올 확률과 같으므로 ;2!;_;2!;=;4!;

따라서 확률변수 X는 이항분포 B{100, ;4!;}을 따른다. ㉮ 한편 주사위의 두 눈의 수의 합이 홀수일 확률은 두 주사위의 눈이 홀수와 짝수가 각각 하나씩 나올 확률과 같으므로

2_;2!;_;2!;=;2!;

따라서 확률변수 Y는 이항분포 B{n, ;2!;}을 따른다. ㉯ E(X)=100_;4!;=25이므로

E(3X)=3E(X)=3_25=75 yy ㉠ E(Y)=n_;2!;=;2N;이므로

E(5Y+2)=5E(Y)+2=5_;2N;+2

=5n

2 +2 yy ㉡ ㉰

E(3X)ÉE(5Y+2)이므로 ㉠, ㉡에서 75É5n

2 +2, n¾146 5 =29.2

따라서 자연수 n의 최솟값은 30이다. ㉱

답 30

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정답과 풀이

73

;3Á6;+a+;9@;+b+;9@;+;3°6;=1에서 a+b=;1¦8;

㉠에서 a=;3°6;이므로 b=;4!;

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74

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 확률과 통계

-|x-a|+a (0Éx<2a) -|x-4a|+2a (2aÉx<6a) 0 (x<0, x¾6a)

EBS고등수학해설8단원(074-083)-5.indd 74 2020-10-15 오후 2:26:17

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