사건의 독립과 종속

두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(B|A)=P(B)=;3@;

P(A;B)=P(A)P(B)=;8#;_;3@;=;4!;

따라서

P(A'B) =P(A)+P(B)-P(A;B)

=;8#;+;3@;-;4!;=;2!4(;

답 ⑤

07

두 사건 A, B가 서로 독립이므로

P(B|A)=P(B)이고, P(A;B)=P(A)P(B) 즉, P(A'B) =P(A)+P(B)-P(A)P(B)이므로

;3@;=;2!;+P(B)-;2!;P(B), ;2!;P(B)=;6!;

01 ⑴ ;6!; ⑵ ;6!; ⑶ ;1Á2;

02 ⑴ ;2!; ⑵ ;2!; ⑶ ;2!; ⑷ ;3@; ⑸ ;3@; ⑹ ;3@;

03 ⑴ ;2¢5; ⑵ ;1ª5;

04 ⑴ 독립 ⑵ 독립 ⑶ 종속 ⑷ 독립 ⑸ 독립 05 ⑴ ;5@; ⑵ ;5@; ⑶ ;4!; ⑷ ;4»0;

06 ⑴ ;2£5; ⑵ ;2ª5; ⑶ ;2£5; ⑷ ;2¥5;

07 ⑴ ;2!; ⑵ ;4!; ⑶ ;8#;

08 ;6!2$5$;

개념

확인 문제

본문 89쪽

01 ① 02 ③ 03 ② 04 ④ 05 ④ 06 ⑤ 07 ② 08 ④ 09 ③ 10 ② 11 ① 12 ⑤ 13 ② 14 ② 15 ④ 16 ③ 17 ⑤ 18 ③ 19 ③ 20 ② 21 ② 22 12 23 ⑤ 24 ⑤ 25 ④ 26 ④ 27 ① 28 ① 29 ⑤ 30 9 31 79 32 ② 33 ② 34 ② 35 43 36 ④ 37 ② 38 41 39 ④

유형 연습

내신&

학평 본문 90~99쪽

06 ^{사건의 독립과 종속}

EBS고등수학해설6단원(054-063)-5.indd 54 2020-10-15 오후 2:25:45

정답과 풀이

55

따라서 P(B|A)=P(B)=;3!;

답 ②

08

P(A)=1-P(A‚``)=1-;5@;=;5#;이고, 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B)=;5#;_;5@;=;2¤5;

따라서

P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)

=;5#;+;5@;-;2¤5;=;2!5(;

답 ④

09

두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B)=;5!;_;5@;=;2ª5;

따라서

P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)

=;5!;+;5@;-;2ª5;=;2!5#;

답 ③

10

서로 독립인 두 사건 A, B에 대하여 P(A;B)=P(A)P(B)이므로

P(A;B‚``)=P(A)-P(A;B)=P(A)-P(A)P(B) 즉, ;4!;=;3!;-;3!;P(B)이므로 ;3!;P(B)=;3!;-;4!;=;1Á2;

따라서 P(B)=;4!;

답 ②

11

P(A‚``)=1-P(A)=1-;4!;=;4#;이고,

두 사건 A, B가 서로 독립이므로 A‚``과 B도 서로 독립이다. 즉, P(A‚``;B)=P(A‚``)P(B)이므로

;4!;=;4#;P(B)에서 P(B)=;3!;

따라서

P(A;B)=P(A)P(B)=;4!;_;3!;=;1Á2;

답 ①

12

두 사건 A, B가 서로 독립이므로 A와 B‚``도 서로 독립이다. 즉, P(A|B)=P(A)=;3!;이고,

P(A;B‚``)=P(A)P(B‚``)=;1Á2;

이때 ;3!;P(B‚``)=;1Á2;이므로 P(B‚``)=;4!;

따라서 P(B)=1-P(B‚``)=1-;4!;=;4#;

답 ⑤

13

P(A‚``)=1-P(A)=1-;3!;=;3@;

두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A‚``)=7P(A;B)=7P(A)P(B) 즉, ;3@;=7_;3!;_P(B)

따라서 P(B)=;7@;

답 ②

14

두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B)

즉, P(A'B) =P(A)+P(B)-P(A)P(B)에서

;9&;=;3@;+P(B)-;3@;P(B), ;3!;P(B)=;9!;

따라서 P(B)=;3!;

답 ②

15

P(A)=P(A;B)+P(A;B‚``)이므로 P(A)=;4!;+;3!;=;1¦2;

두 사건 A, B는 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B) 즉, ;4!;=;1¦2;_P(B)

따라서 P(B)=;7#;

답 ④

EBS고등수학해설6단원(054-063)-5.indd 55 2020-10-15 오후 2:25:46

56

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 확률과 통계

16

조건 ㈏에서 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B)

이때

P(A'B) =P(A)+P(B)-P(A;B)

=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

=;2!;+;3!;-;2!;_;3!;=;3@;

조건 ㈐에서 두 사건 A'B와 사건 C는 서로 배반이므로 P((A'B)'C)=P(A'B)+P(C)=;3@;+;1Á2;=;4#;

답 ③

17

P(A'B) =P(A)+P(B)-P(A;B)

=P(A)+P(B)-;4!;=k-;4!;

즉, P(A)+P(B)=k

두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B)=;4!;

한편 0<P(A)É1, 0<P(B)É1이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

k=P(A)+P(B)¾2"ÃP(A)P(B)=2¾;4!;=1 따라서 실수 k의 최솟값은 1이다.

답 ⑤

18

ㄱ. (반례) 표본공간이 S={1, 2, 3, 4}일 때, A={1, 2}, B={3}, C={1, 4}이면 A;B=i,B;C=i

그런데 A;C={1}이므로 A, C는 서로 배반사건이 아니다.

ㄴ. (반례) 표본공간이 S={1, 2, 3, 4}일 때, A={1, 2}, B{2, 3}, C={3, 4}이면 A;B={2},B;C={3}이므로

P(A;B)=P(A)P(B),P(B;C) =P(B)P(C) 그런데 A;C=i P(A;C) +P(A)P(C) 즉, A, C는 서로 독립이 아니다.

ㄷ. A, B가 서로 배반사건이면 A;B=i yy ㉠ B‚``, C가 서로 배반사건이면

B‚``;C=i이므로 C,B yy ㉡

㉠, ㉡에 의해 A;C=i이므로

P(A;C)=0 yy ㉢

즉, A, C는 서로 배반사건이다.

한편 A, C는 공사건이 아니므로 P(A)+0, P(C)+0

즉, P(A)P(C)+0 yy ㉣

㉢, ㉣에 의해 P(A;C)+P(A)P(C)이므로 A, C는 서로 종속이다.

그러므로 A, B가 서로 배반사건이고 B‚``, C가 서로 배반사건이 면 A, C는 서로 종속이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄷ이다.

답 ③

19

ㄱ. A£={3, 6, 9}이고 A¢={4, 8}이므로 A£;A¢=i

즉, P(A£;A¢)=0이므로 A£과 A¢는 서로 배반사건이다. (참) ㄴ. Aª={2, 4, 6, 8, 10}이고 A¢={4, 8}이므로 Aª;A¢={4, 8}

즉, P(Aª)=;2!;, P(A¢)=;5!;, P(Aª;A¢)=;5!;이므로 P(A¢|Aª)=P(A¢;Aª)

P(Aª) =;;5@; (거짓)

ㄷ. Aª={2, 4, 6, 8, 10}이고 A°={5, 10}이므로 Aª;A°={10}

즉, P(Aª)=;2!;, P(A°)=;5!;, P(Aª;A°)=;1Á0;

이때 P(Aª;A°)=P(Aª)P(A°)이므로 Aª와 A°는 서로 독립이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

답 ③

20

ㄱ. A,B이면 A;B=A이므로 P(B|A)=P(A;B)

P(A) =P(A)

P(A)=1 (참)

ㄴ. A, B가 배반사건이면 A;B=i P(A;B)=0 즉, P(B|A)=P(A;B)

P(A) =0 (참) ㄷ. A, B가 독립이면 P(A;B)=P(A)P(B) 조건에서 P(A)+0, P(B)+0이므로 P(A;B)+0 즉, A, B는 배반사건이 아니다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

답 ②

21

갑과 을이 가위바위보를 할 때 나올 수 있는 모든 경우의 수는 3_3=9

그 중 비기는 경우는 (가위, 가위), (바위, 바위), (보, 보)의 3가지 이므로 첫 번째에서 비기는 사건을 A라 하면

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정답과 풀이

57

P(A)=;9#;=;3!;

두 번째에서 승부가 날 사건을 B라 하면 P(B)=1-(비길 확률)=1-;3!;=;3@;

이때 두 사건 A, B는 함께 일어나야 하고, 서로 영향을 주지 않으므 로 서로 독립이다.

따라서 갑과 을이 첫 번째에서는 비기고 두 번째에서 승부가 날 확률은 P(A;B)=P(A)P(B)=;3!;_;3@;=;9@;

답 ②

22

8개의 공 중에 흰 공이 나오는 사건이 A이므로 P(A)=;8K;

8개의 공 중에 홀수가 적힌 공이 나오는 사건이 B이므로 P(B)=;8$;=;2!;

따라서 P(A)P(B)=;8K;_;2!;=;1ð6;

한편 사건 A;B는 흰 공이면서 홀수가 적힌 공이 나오는 사건이다.

Ú k가 짝수일 때,

k가 짝수이면 1부터 k까지의 자연수가 적힌 흰 공들 중 홀수가 적힌 공은 ;2K;개이므로

P(A;B)=;2K;

8 =;1ð6;

두 사건 A, B가 서로 독립이 되기 위해서는

P(A;B)=P(A)P(B) ;1ð6;=;1ð6;를 만족시켜야 한다.

이 식은 항등식이므로 1ÉkÉ7인 자연수 k에 대하여 k가 짝수이 면 두 사건 A, B는 항상 독립이다.

따라서 만족시키는 k의 값은 2, 4, 6이다.

Û k가 홀수일 때

k가 홀수이면 1부터 k까지의 자연수가 적힌 흰 공들 홀수가 적힌 공은 k+1

2 개이므로

P(A;B)=

k+1

28 =k+1 16

두 사건 A, B가 서로 독립이 되기 위해서는 P(A;B)=P(A)P(B) k+1

16 =;1ð6;를 만족시켜야 한다.

그런데 이 식을 만족시키는 k의 값은 존재하지 않는다.

Ú, Û에 의하여 모든 k의 값의 합은 2+4+6=12

답 12

23

주사위를 5번 던져서 나온 다섯 눈의 수의 곱이 짝수인 사건을 A라 하면 주사위를 5번 던져서 나온 다섯 눈의 수의 곱이 홀수인 사건은 A‚``이므로

P(A‚``)=°C°{;2!;}⁵=;3Á2;

따라서 P(A)=1-P(A‚``)=1-;3Á2;=;3#2!;

답 ⑤

24

a가 될 수 있는 값은 1, 2, 3, 4, 5, 6이고, b가 될 수 있는 값은 0, 1, 2, 3, 4, 5이다.

그런데 a=3b를 만족시키려면 a는 3의 배수이어야 하므로 a, b에 대 하여 순서쌍 (a, b)는 (3, 1) 또는 (6, 2)

Ú a=3, b=1일 때

즉, 주사위의 눈의 수가 3이 나오고, 동전의 앞면이 1개 나오는 확률은

;6!;_°CÁ{;2!;}¹{;2!;}⁴=;6!;_5_{;2!;}⁵=;19%2;

Û a=6, b=2일 때

즉, 주사위의 눈의 수가 6이 나오고, 동전의 앞면이 2개 나오는 확률은

;6!;_°Cª{;2!;}²{;2!;}³=;6!;_10_{;2!;}⁵=;1Á9¼2;

Ú, Û에 의하여 구하는 확률은

;19%2;+;1Á9¼2;=;1Á9°2;=;6°4;

답 ⑤

25

한 개의 동전을 5번 던질 때 앞면이 나오는 횟수를 r라 하면 5-r는 뒷면이 나오는 횟수이므로 점수의 합이 6 이하인 경우는 2r+(5-r)É6, rÉ1

즉, r=0 또는 r=1

따라서 구하는 확률은 동전을 5번 던져서 r=0 또는 r=1이 나오는 경우이므로

°C¼{;2!;}⁰{;2!;}⁵+°CÁ{;2!;}{;2!;}⁴=;3Á2;+;3°2;=;1£6;

답 ④

26

한 개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수와 6개의 동전 중 앞면이 나온 동전의 개수가 모두 n (n=1, 2, 3, 4, 5, 6)일 확률은

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58

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 확률과 통계

;6!;_¤CÇ{;2!;}ⁿ{;2!;}^6-n=;6!;_¤CÇ{;2!;}⁶= 1 6_2ß`_¤CÇ 따라서 구하는 확률은

Á6

n=1{ 16_2ß`_¤CÇ}= 16_2ß`

Á6 n=1¤CÇ

= 16_2ß`(¤CÁ+¤Cª+¤C£+¤C¢+¤C°+¤C¤)

= 16_2ß`(2ß`-1)=;3¤8£4;=;1ª2Á8;

답 ④

이항정리의 성질

ÇCÁ+ÇCª+ÇC£+y+ÇCÇÐÁ+ÇCÇ=2ⁿ-1 보충 개념

27

원 (x-'3)Û`+(y-2)Û`=k가 x축, y축과 모두 만나기 위해서는 반지름의 길이가 2보다 커야 하므로 'k¾2에서 k¾4

즉, 한 개의 주사위를 던져 4, 5, 6의 수가 나오면 되므로 한 번의 시 행에서 사건 A가 일어날 확률은

;6#;=;2!;

따라서 한 개의 주사위를 6회 던질 때, 사건 A가 2회 일어날 확률은

¤Cª{;2!;}²{;2!;}⁴=;6!4%;

답 ①

28

예선을 통과하는 경우는 다음과 같이 2가지이다.

Ú 3개의 예선문제를 모두 맞힌 경우 각각의 예선문제를 맞힐 확률이 ;3!;이므로

 £C£{;3!;}³=;2Á7;

Û 예선문제를 2개 맞추고, 1개의 찬스문제를 맞힌 경우 예선문제를 맞히지 못할 확률은 1-;3!;=;3@;이고, 찬스문제를 맞힐 확률이 ;4!;이므로

 [£Cª{;3!;}²_;3@;]_;4!;=;1Á8;

Ú, Û에 의하여 예선을 통과할 확률은

;2Á7;+;1Á8;=;5°4;

답 ①

29

주머니에 들어 있는 4개의 공 중 임의로 2개의 공을 동시에 꺼내는 경우의 수는 ¢Cª=6

꺼낸 2개의 공에 적혀 있는 숫자의 합이 소수인 경우는 1과 2, 1과 4, 2와 3, 3과 4의 4가지이다.

그러므로 주머니에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 숫자의 합이 소수일 확률은 ;6$;=;3@;이다.

이때 동전의 앞면이 2번 나오는 사건을 X, 꺼낸 2개의 공에 적혀 있 는 숫자의 합이 소수인 사건을 Y라 하면

P(X)=;3@;_ªCª{;2!;}²+;3!;_£Cª{;2!;}²{;2!;}=;6!;+;8!;=;2¦4;

P(X;Y)=;3@;_ªCª{;2!;}²=;6!;

따라서 구하는 확률은

P(Y|X)=P(X;Y) P(X) = ;6!;

;2¦4;=;7$;

답 ⑤

30

한 개의 주사위를 한 번 던질 때, 6의 약수의 눈이 나올 확률은

;6$;=;3@;

즉, 한 개의 주사위를 4번 던질 때 6의 약수의 눈이 2번 나올 확률은 pÁ=¢Cª{;3@;}²{;3!;}²=;2¥7;

또한, 한 개의 동전을 3번 던질 때 동전의 앞면이 2번 나올 확률은 pª=£Cª{;2!;}²{;2!;}=;8#;

따라서 1

pÁpª= 1

;2¥7;_;8#;=9

답 9

31

동전을 두 번 던지려면 첫 번째 시행에서는 조 나누기에 실패하고 두 번째 시행에서는 조 나누기에 성공해야 한다.

즉, 첫 번째 시행에서는 앞면과 뒷면의 개수가 다르게 나오고, 두 번 째 시행에서는 앞면과 뒷면이 두 개씩 나와야 한다.

한편 4개의 동전을 던질 때, 앞면과 뒷면이 각각 2개씩 나올 확률은

¢Cª{;2!;}²{;2!;}²=;8#;

이므로 앞면과 뒷면의 개수가 다를 확률은 1-;8#;=;8%;

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정답과 풀이

59

이때 구하는 확률은 ;8%;_;8#;=;6!4%;이므로 p=64, q=15 따라서 p+q=79

답 79

32

앞면이 나오는 횟수를 a, 뒷면이 나오는 횟수를 b라 하면 a+b=7, a-b=3

두 식을 연립하여 풀면 a=5, b=2

따라서 한 개의 동전을 7번 던질 때, 앞면이 뒷면보다 3번 더 많이 나 올 확률은 동전을 7번 던져 앞면이 5번 나올 확률과 같으므로

¦C°{;2!;}⁵{;2!;}²=¦Cª{;2!;}⁷=;1ª2Á8;

답 ②

33

A와 B가 각각 주사위를 5번씩 던진 후 A는 1의 눈이 2번, B는 1의 눈이 1번 나왔고, C가 주사위를 3번째 던졌을 때 처음으로 1의 눈이 나왔으므로 A가 승자가 되기 위해서는 C가 주사위를 4번째, 5번째 던졌을 때 모두 1이 아닌 눈이 나와야 한다.

주사위를 1번 던질 때, 1이 아닌 눈이 나올 확률은 ;6%;이므로 A가 승 자가 될 확률은

ªC¼{;6!;}⁰{;6%;}²={;6%;}²=;3@6%;

또, C가 승자가 되기 위해서는 C가 주사위를 4번째, 5번째 던졌을 때, 모두 1의 눈이 나와야 하므로 C가 승자가 될 확률은

ªCª{;6!;}²{;6%;}⁰={;6!;}²=;3Á6;

따라서 A 또는 C가 승자가 될 확률은

;3@6%;+;3Á6;=;3@6^;=;1!8#;

답 ②

34

시행을 5번 한 후 앞면이 나온 횟수를 r번이라 하면 뒷면이 나온 횟 수는 5-r번이다.

즉, 5번 시행 후 점 P의 위치는 점 (r, 5-r)이다.

이때 점 P가 직선 x-y=3 위에 있어야 하므로 r-(5-r)=3, r=4

그러므로 한 개의 동전을 던지는 시행을 5번 한 후 점 P가 직선 x-y=3 위에 있을 확률은 한 개의 동전을 5번 던졌을 때, 앞면이 4

번, 뒷면이 1번 나오는 확률과 같다.

따라서 구하는 확률은

°C¢{;2!;}⁴{;2!;}=;3°2;

답 ②

35

동전을 던지는 횟수만큼 x축의 방향으로 점 P는 평행이동하므로 a=6

이때 b의 값은 동전을 6번 던지므로 0ÉbÉ6 따라서 a+b가 3의 배수가 되는 경우는 b=0, 3, 6 동전의 뒷면이 나오는 횟수에 의하여

b=0일 때, ¤C¼{;2!;}⁰{;2!;}⁶ b=3일 때, ¤C£{;2!;}³{;2!;}³ b=6일 때, ¤C¤{;2!;}⁶{;2!;}⁰ 따라서 구하는 확률은

¤C¼{;2!;}⁰{;2!;}⁶+¤C£{;2!;}³{;2!;}³+¤C¤{;2!;}⁶{;2!;}⁰=;3!2!;

즉, p=32, q=11이므로 p+q=43

답 43

36

점 P가 점 (-1, -2)에 있게 되기 위해서는 동전의 앞면이 한 번, 뒷면이 한 번 나오면 된다.

그런데 동전을 총 여섯 번 던지므로 나머지 네 번은 서로 상쇄되는 방향으로 움직이면 된다.

따라서 나머지 네 번은 앞면이 네 번 나오거나 앞면 두 번, 뒷면 두 번이 나오거나 뒷면이 네 번 나오면 된다.

Ú 앞면이 5번, 뒷면이 1번 나오는 경우

 ¤C°{;2!;}⁵{;2!;}¹=;6¤4;

Û 앞면이 3번, 뒷면이 3번 나오는 경우

 ¤C£{;2!;}³{;2!;}³=;6@4);

Ü 앞면이 1번, 뒷면이 5번 나오는 경우

 ¤CÁ{;2!;}¹{;2!;}⁵=;6¤4;

Ú ~ Ü에 의하여 구하는 확률은

;6¤4;+;6@4);+;6¤4;=;2!;

답 ④

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60

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 확률과 통계

37

AÁ에서 출발할 때, A¢에 도달하기 위해서는 시계 방향으로 세 번 또 는 반시계 방향으로 세 번만 이동하면 된다.

그런데 다섯 번 움직여야 하므로 나머지 두 번은 서로 상쇄되도록 시 계 방향으로 한 번, 반시계 방향으로 한 번을 움직이면 된다.

따라서 AÁ에서 5번 이동하여 A¢로 가는 경우는 다음의 2가지 경우 가 있다.

Ú 시계 방향으로 4번, 반시계 방향으로 1번 이동하는 경우 동전의 앞면이 4번, 뒷면이 1번 나오면 되므로 배열하는 경우의 수는 5!

4!1!

그런데 문제에서 A¢에 도달하면 더 이상 동전을 던지지 않는다고 했으므로 (앞, 앞, 앞, 앞, 뒤) 또는 (앞, 앞, 앞, 뒤, 앞)이 나오 는 경우에는 제외한다. 따라서 구하는 확률은

{ 5!

4!1!-2}_{;2!;}⁵=;3£2;

Û 시계 방향으로 1번, 반시계 방향으로 4번 이동하는 경우 같은 방법으로 동전의 앞면이 1번, 뒷면이 4번 나오면 되는데

(뒤, 뒤, 뒤, 앞, 뒤) 또는 (뒤, 뒤, 뒤, 뒤, 앞)이 나오는 경우는 제외해야 하므로 구하는 확률은

{ 5!

4!1!-2}_{;2!;}⁵=;3£2;

Ú, Û에 의하여 구하는 확률은

;3£2;+;3£2;=;1£6;

답 ②

38

3 이하의 눈이 나오면 오른쪽으로 1칸 이동하므로 오른쪽으로 1칸 이동할 확률은 ;6#;=;2!;이다.

또, 4 또는 5의 눈이 나오면 왼쪽으로 1칸 이동하므로 왼쪽으로 1칸 이동할 확률은 ;6@;=;3!;이고, 6의 눈이 나오면 위쪽으로 1칸 이동하므 로 위쪽으로 1칸 이동할 확률은 ;6!;이다.

한 개의 주사위를 5번 던질 때, 동점 P가 A에서 B로 가려면 위로 1

한 개의 주사위를 5번 던질 때, 동점 P가 A에서 B로 가려면 위로 1

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