4
01-1 답 ⑴ -1<x<5
⑵ -3<x<0 또는 4<x<6
⑴ 부등식 f{x}<g{x}의 해는 y=f{x}의 그래프가 y=g{x}의 그래프보다 아래쪽에 있거나 만나는 부분 의 x의 값의 범위이므로 -1<x<5
⑵ f{x}g{x}>0이면
f{x}>0, g{x}>0 또는 f{x}<0, g{x}<0
! f{x}>0, g{x}>0일 때 f{x}>0을 만족시키는 x의 값의 범위는 x<-3 또는 x>4 yy ㉠ g{x}>0을 만족시키는 x의 값의 범위는
0<x<6 yy ㉡
㉠, ㉡의 공통부분은 4<x<6
@ f{x}<0, g{x}<0일 때 f{x}<0을 만족시키는 x의 값의 범위는
-3<x<4 yy ㉢
g{x}<0을 만족시키는 x의 값의 범위는 x<0 또는 x>6 yy ㉣
㉢, ㉣의 공통부분은 -3<x<0 !, @에 의하여 부등식의 해는 -3<x<0 또는 4<x<6 01-2 답 x<-2 또는 x>2
ax@+{b-m}x+c-n<0에서 ax@+bx+c<mx+n 따라서 이 부등식의 해는 y=ax@+bx+c의 그래프가 직
선 y=mx+n보다 아래쪽에 있는 x의 값의 범위이므로
` x<-2 또는 x>2
162~164쪽
02-1 답 ⑴ x<3 또는 x>4 ⑵ -1<x<7
⑶ x=-4인 모든 실수 ⑷ x= 32
⑸ 모든 실수 ⑹ 해는 없다.
⑴ x@-7x+12>0에서
3 4 x {x-3}{x-4}>0
/ x<3 또는 x>4 ⑵ -x@+7>-6x에서
-1 7 x
x@-6x-7<0
{x+1}{x-7}<0 / -1<x<7 ⑶ x@+8x+16>0에서
-4 x
{x+4}@>0
따라서 주어진 부등식의 해는 x=-4인 모든 실수이다.
⑷ 4x@<12x-9에서
4x@-12x+9<0 {2x-3}@<0 / x=3
2
⑸ x@+4x+6>0에서
-2 x {x+2}@+2>0
따라서 주어진 부등식의 해는 모든 실수 이다.
⑹ -2x@+8x>9에서
2 x 2x@-8x+9<0
2{x-2}@+1<0
따라서 주어진 부등식의 해는 없다.
02-2 답 ⑴ x<-3 또는 x>3 ⑵ x<-3 또는 x>5 ⑴ ! x<0일 때, |x|=-x이므로
x@+2x-3>0, {x+3}{x-1}>0 / x<-3 또는 x>1
그런데 x<0이므로 x<-3
@ x>0일 때, |x|=x이므로 x@-2x-3>0, {x+1}{x-3}>0
/ x<-1 또는 x>3 그런데 x>0이므로 x>3
!, @에 의하여 주어진 부등식의 해는 x<-3 또는 x>3
⑵ ! x<1일 때, |x-1|=-{x-1}이므로 x@-2x-3>-3{x-1}, x@+x-6>0 {x+3}{x-2}>0 / x<-3 또는 x>2 그런데 x<1이므로 x<-3
2# x
66 정답과 해설 | 개념편 |
@ x>1일 때, |x-1|=x-1이므로 x@-2x-3>3{x-1}, x@-5x>0
x{x-5}>0
/ x<0 또는 x>5
그런데 x>1이므로 x>5
!, @에 의하여 주어진 부등식의 해는 x<-3 또는 x>5
03-1 답 4초
물체의 높이가 60 m 이상이면 40t-5t@>60
-5t@+40t-60>0 t@-8t+12<0 {t-2}{t-6}<0 / 2<t<6
따라서 물체의 높이가 60 m 이상인 시간은 6-2=4(초) 동안이다.
03-2 답 25
새로 만든 직사각형의 가로, 세로의 길이는 각각 {40-x} cm, {30+x} cm
이 직사각형의 넓이가 825 cm@ 이상이 되어야 하므로 {40-x}{30+x}>825
-x@+10x+1200>825 x@-10x-375<0 {x+15}{x-25}<0 / -15<x<25
그런데 x>0이므로 0<x<25 따라서 x의 최댓값은 25이다.
03-3 답 최댓값: 20만 원, 최솟값: 15만 원
자전거 한 대의 가격을 x만 원 인상했을 때, 자전거 한 대 의 가격은
{10+x}만 원
이때 판매량은 4x대가 줄어들므로 한 달 판매량은 {100-4x}대
한 달 판매액이 1200만 원 이상이 되어야 하므로 {10+x}{100-4x}>1200
x@-15x+50<0 {x-5}{x-10}<0 / 5<x<10
따라서 자전거 한 대의 가격의 최댓값은 10+10=20(만 원) 최솟값은 10+5=15(만 원)
1 답 ⑴ x@+x-6<0 ⑵ x@-3x-4>0
⑴ 해가 -3<x<2이고 x@의 계수가 1인 이차부등식은 {x+3}{x-2}<0 / x@+x-6<0
⑵ 해가 x<-1 또는 x>4이고 x@의 계수가 1인 이차부 등식은
{x+1}{x-4}>0 / x@-3x-4>0
166쪽
이차부등식의 해의 조건
04-1 답 1
해가 x<b 또는 x>5이고 x@의 계수가 1인 이차부등식은 {x-b}{x-5}>0 / x@-{b+5}x+5b>0 이 부등식이 x@+ax-15>0과 일치하므로 a=-{b+5}, -15=5b
/ a=-2, b=-3 / a-b=1
04-2 답 -5
해가 x<-1 또는 x>6이고 x@의 계수가 1인 이차부등 식은
{x+1}{x-6}>0 / x@-5x-6>0 yy ㉠ ㉠과 ax@+bx+6<0의 부등호의 방향이 다르므로 a<0 ㉠의 양변에 a를 곱하면 ax@-5ax-6a<0
이 부등식이 ax@+bx+6<0과 일치하므로 b=-5a, 6=-6a / a=-1, b=5 / ab=-5
04-3 답 -1<x<1 3
해가 -1<x<3이고 x@의 계수가 1인 이차부등식은 {x+1}{x-3}<0 / x@-2x-3<0 yy ㉠ ㉠과 ax@+bx+c>0의 부등호의 방향이 다르므로 a<0 ㉠의 양변에 a를 곱하면 ax@-2ax-3a>0
이 부등식이 ax@+bx+c>0과 일치하므로 b=-2a, c=-3a
이를 cx@+bx+a<0에 대입하면 -3ax@-2ax+a<0
양변을 -a로 나누면
3x@+2x-1<0 {? -a>0}
{x+1}{3x-1}<0 / -1<x<1 3
167~169쪽
Ⅱ-4. 여러 가지 부등식 67 05-1 답 a<-1
모든 실수 x에 대하여 주어진 이차부등식이 성립하려면
a<0 yy ㉠
또 이차방정식 ax@+6x+a-8=0의 판별식을 D라 하면 D
4=9-a{a-8}<0 a@-8a-9>0 {a+1}{a-9}>0
/ a<-1 또는 a>9 yy ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분은 a<-1
05-2 답 4<a<5
! a-4=0, 즉 a=4일 때
0\x@+0\x+1>0에서 1>0이므로 주어진 부등식 은 모든 실수 x에 대하여 성립한다.
@ a-4=0, 즉 a=4일 때
모든 실수 x에 대하여 주어진 부등식이 성립하려면 a-4>0 / a>4 yy ㉠
또 이차방정식 {a-4}x@+2{a-4}x+1=0의 판별 식을 D라 하면
D
4={a-4}@-{a-4}<0 a@-9a+20<0
{a-4}{a-5}<0
/ 4<a<5 yy ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분은 4<a<5 !, @에 의하여 4<a<5
05-3 답 a<-1 또는 a>4
이차함수 y=x@-2ax+a의 그래 y=x@-2ax+a
y=4x-2a@
프가 직선 y=4x-2a@보다 항상 위쪽에 있으려면 모든 실수 x에 대
하여 이차부등식
x@-2ax+a>4x-2a@, 즉 x@-2{a+2}x+2a@+a>0이 성립 해야 한다.
따라서 이차방정식 x@-2{a+2}x+2a@+a=0의 판별 식을 D라 하면
D
4={a+2}@-{2a@+a}<0 a@-3a-4>0
{a+1}{a-4}>0 / a<-1 또는 a>4
06-1 답 -3<a<3
f{x}=x@-8x-a@+25라 하면 f{x} ={x-4}@+9-a@
-1<x<6에서 이차부등식 f{x}>0이 항상 성립하려면 이차함수 y=f{x}의 그래프가 오른쪽 그림과 같아야 하므로 f{4}=9-a@>0, a@-9<0
{a+3}{a-3}<0 / -3<a<3
06-2 답 3
x@+ax<16-a@에서 x@+ax+a@-16<0 f{x}=x@+ax+a@-16이라 할
때, 0<x<4에서 이차부등식 f{x}<0이 항상 성립하려면 이차 함수 y=f{x}의 그래프가 오른쪽 그림과 같아야 하므로 f{0}<0, `f{4}<0
! f{0}<0에서 a@-16<0 {a+4}{a-4}<0 / -4<a<4 yy ㉠ @ f{4}<0에서 16+4a+a@-16<0
a{a+4}<0 / -4<a<0 yy ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분은 -4<a<0
따라서 정수 a는 -3, -2, -1의 3개이다.
6 x 4 -1
y=f{x}
0 4 x y=f{x}
1 부등식 f{x}>g{x}의 해는 y=f{x}의 그래프가 y=g{x}
의 그래프보다 위쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위이므로 x<-2 또는 x>3
2 -2x@+5x>4x-10에서
2x@-x-10<0, {x+2}{2x-5}<0 / -2<x<5
2 따라서 a=-2, b=5
2 이므로 ab=-5
170~171쪽
1 x<-2 또는 x>3 2 ② 3 ④ 4 ② 5 5 m 6 ④ 7 -4
3<x<5
3 8 5 9 ① 10 1<a<9 11 ② 12 ③ 13 k<2
68 정답과 해설 | 개념편 |
3 ① x@-2x-35<0에서
{x+5}{x-7}<0 / -5<x<7 ② x@-6x+9>0에서 {x-3}@>0
따라서 주어진 부등식의 해는 x=3인 모든 실수이다.
③ 2x@-2x+5>0에서 2[x-1
2 ]@+9 2>0
따라서 주어진 부등식의 해는 모든 실수이다.
④ -4x@+4x-1>0에서 4x@-4x+1<0, {2x-1}@<0 따라서 주어진 부등식의 해는 없다.
⑤ -9x@+6x-1>0에서
9x@-6x+1<0, {3x-1}@<0 / x=1
3
따라서 해가 없는 것은 ④이다.
4 ! x<1일 때, |x-1|=-{x-1}이므로 x@-2x-5<-{x-1}, x@-x-6<0
{x+2}{x-3}<0
/ -2<x<3
그런데 x<1이므로 -2<x<1
@ x>1일 때, |x-1|=x-1이므로 x@-2x-5<x-1, x@-3x-4<0
{x+1}{x-4}<0
/ -1<x<4
그런데 x>1이므로 1<x<4 !, @에 의하여 주어진 부등식의 해는 -2<x<4
따라서 정수 x는 -1, 0, 1, 2, 3의 5개이다.
5 도로의 폭을 x m {0<x<15}라 하면 도로를 제외한 땅 의 넓이는 가로, 세로의 길이가 각각 {25-x} m, {15-x} m인 직사각형의 넓이와 같고, 그 넓이가 200 m@ 이상이 되어야 하므로
{25-x}{15-x}>200 x@-40x+375>200 x@-40x+175>0 {x-5}{x-35}>0 / x<5 또는 x>35 그런데 0<x<15이므로 0<x<5
따라서 도로의 최대 폭은 5 m이다.
6 해가 2<x<3이고 x@의 계수가 1인 이차부등식은 {x-2}{x-3}<0
/ x@-5x+6<0 yy ㉠
㉠과 ax@+5x+b>0의 부등호의 방향이 다르므로 a<0
㉠의 양변에 a를 곱하면 ax@-5ax+6a>0
이 부등식이 ax@+5x+b>0과 일치하므로 5=-5a, b=6a
/ a=-1, b=-6
이를 bx@+ax+1<0에 대입하면 -6x@-x+1<0, 6x@+x-1>0 {2x+1}{3x-1}>0 / x<-1
2 또는 x>1 3
7 f{x}<0의 해가 -3<x<6이므로 f{x}=a{x+3}{x-6} {a>0}
이라 하면
f{3x+1} =a{3x+1+3}{3x+1-6}
=a{3x+4}{3x-5}
따라서 f{3x+1}<0, 즉 a{3x+4}{3x-5}<0에서 {3x+4}{3x-5}<0 (? a>0)
/ -4 3<x<5
3
8 ! a-1=0, 즉 a=1일 때
0\x@-0\x+5>0에서 5>0이므로 주어진 부등식 은 모든 실수 x에 대하여 성립한다.
@ a-1=0, 즉 a=1일 때
모든 실수 x에 대하여 주어진 부등식이 성립하려면 a-1>0 / a>1 yy ㉠ 또 이차방정식 {a-1}x@-2{a-1}x+5=0의 판별
식을 D라 하면 D
4={a-1}@-5{a-1}<0
{a-1}{a-6}<0 / 1<a<6 yy ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분은 1<a<6
!, @에 의하여 1<a<6
따라서 정수 a는 1, 2, 3, 4, 5의 5개이다.
9 이차함수 y=-x@-x+2m의 그래프가 직선
y=x+m-3보다 항상 아래쪽에 있으려면 모든 실수 x 에 대하여 이차부등식 -x@-x+2m<x+m-3, 즉 x@+2x-m-3>0이 성립해야 한다.
Ⅱ-4. 여러 가지 부등식 69
13 f{x} =x@-2kx+3
={x-k}@-k@+3
x=k가 위치할 수 있는 k의 값의 구간을 0<x<1을 기 준으로 나누어 생각하면
! k<0일 때
k 0 1
y=f{x}
x
0<x<1에서 이차부등식 f{x}>0이 항상 성립하려면 이차함수 y=f{x}의 그래프가 위의 그림과 같아야 하
므로
f{0}=3>0
즉, k의 값에 관계없이 0<x<1에서 f{x}>0이다.
그런데 k<0이므로
k<0 yy ㉠
@ 0<k<1일 때
k 1 0
y=f{x}
x
0<x<1에서 이차부등식 f{x}>0이 항상 성립하려면 이차함수 y=f{x}의 그래프가 위의 그림과 같아야 하
므로
f{k}=-k@+3>0 {k+j3}{k-j3}<0 / -j3<k<j3 그런데 0<k<1이므로 0<k<1 yy ㉡ # k>1일 때
0 1 k
y=f{x}
x
0<x<1에서 이차부등식 f{x}>0이 항상 성립하려면 이차함수 y=f{x}의 그래프가 위의 그림과 같아야 하
므로
f{1}=1-2k+3>0
/ k<2
그런데 k>1이므로 1<k<2 yy ㉢ !, @, #에 의하여 k<2 따라서 이차방정식 x@+2x-m-3=0의 판별식을 D라
하면 D
4=1@+{m+3}<0 / m<-4
10 이차부등식 ax@-2{a-3}x+4<0의 해가 존재하지 않 으려면 모든 실수 x에 대하여 이차부등식
ax@-2{a-3}x+4>0 이 성립해야 하므로 a>0 yy ㉠
또 이차방정식 ax@-2{a-3}x+4=0의 판별식을 D라 하면
D
4={a-3}@-4a<0 a@-10a+9<0 {a-1}{a-9}<0 / 1<a<9 yy ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분은 1<a<9
11 f{x}=x@-4x-4k+3이라 하면 f{x}={x-2}@-4k-1 3<x<5에서 이차부등식
x y y=f{x}
O 2 3 5
f{x}<0이 항상 성립하려면 이
차함수 y=f{x}의 그래프가 오 른쪽 그림과 같아야 하므로 f{5}=8-4k<0 / k>2 따라서 k의 최솟값은 2이다.
12 원래의 수강료를 p원, 그때의 회원 수를 q명이라 하면 원 래의 수강료보다 x % 인상한 가격은
p[1+ x 100 ](원) 0.5x % 감소한 회원 수는 q[1- x
200 ](명) 이때의 한 달 수입은 pq[1+ x
100 ][1- x 200 ](원) 한 달 수입이 8 % 이상 증가하려면 pq[1+ x
100 ][1- x
200 ]>pq[1+ 8 100 ] x@-100x+1600<0 {? pq>0}
{x-20}{x-80}<0 / 20<x<80
따라서 x의 최댓값과 최솟값의 합은 80+20=100
70 정답과 해설 | 개념편 |
01-1 답 ⑴ -4<x<-1 ⑵ 3<x<6
⑴ x@>1을 풀면 x@-1>0, {x+1}{x-1}>0 / x<-1 또는 x>1 yy ㉠
173~175쪽
1 답 ⑴ -7<x<4 ⑵ x<-4 또는 x>0 ⑶
0 4 x -4
-7
⑵ ⑴ ⑵
⑷ -7<x<-4 또는 0<x<4 2 답 ⑴ -5<x<-3 또는 x>2
⑵ x<-2 또는 -1<x<2 ⑴ 3x+2<5x+12를 풀면
-2x<10 / x>-5 yy ㉠ 2x@+2x>12를 풀면
x@+x-6>0, {x+3}{x-2}>0 / x<-3 또는 x>2 yy ㉡
-5 -3 2 x
㉡ ㉡
㉠
㉠, ㉡을 수직선 위에 나타내면 위의 그림과 같으므로 주어진 연립부등식의 해는
-5<x<-3 또는 x>2 ⑵ 2{x-1}<-x+4를 풀면
3x<6 / x<2 yy ㉠ -x@<3x+2를 풀면
x@+3x+2>0, {x+2}{x+1}>0 / x<-2 또는 x>-1 yy ㉡
-2 -1` 2 x
㉡ ㉡
㉠
㉠, ㉡을 수직선 위에 나타내면 위의 그림과 같으므로 주어진 연립부등식의 해는
x<-2 또는 -1<x<2
172쪽
연립이차부등식