4
01-2 답 5
점 {2, k}를 원점에 대하여 대칭이동한 점 P의 좌표는 {-2, -k}
점 {2, k}를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점 Q의 좌 표는 {k, 2}
PQZ=7j2이므로 1{k+2}@+{2+3k}@3=7j2 양변을 제곱하여 정리하면
2k@+8k+8=98, k@+4k-45=0 {k+9}{k-5}=0
/ k=5 {? k>0}
01-3 답 24
점 P{-4, -3}을 x축에 대하여 y
O x Q
P R
-4 -3
3 4
대칭이동한 점 Q의 좌표는
{-4, 3}
점 P{-4, -3}을 y축에 대하 여 대칭이동한 점 R의 좌표는 {4, -3}
/ sPQR=1
2\8\6=24 02-1 답 9
포물선 y=x@+2mx+m@-4를 원점에 대하여 대칭이동 한 포물선의 방정식은
-y={-x}@+2m\{-x}+m@-4 / y =-x@+2mx-m@+4=-{x-m}@+4
이 포물선의 꼭짓점의 좌표 {m, 4}가 {5, n}과 일치하므로 m=5, n=4 / m+n=9
다른 풀이
y=x@+2mx+m@-4={x+m}@-4
이 포물선의 꼭짓점 {-m, -4}를 원점에 대하여 대칭이 동한 점의 좌표는
{m, 4}
이 점이 점 {5, n}과 일치하므로 m=5, n=4 / m+n=9
02-2 답 1
직선 y=kx+1을 y축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정 식은
y=-kx+1
이 직선이 원 x@+y@-6x+4y+9=0, 즉
{x-3}@+{y+2}@=4의 넓이를 이등분하려면 직선이 원의 중심 {3, -2}를 지나야 하므로
-2=-3k+1 / k=1
즉, 두 점 C, C' 사이의 거리는 2j3이므로 12@+{a+2-32}@3=2j3, a@+4=12 a@=8 / a=-2j2
따라서 모든 a의 값의 곱은 -2j2\2j2=-8
Ⅲ-4. 도형의 이동 115 114 정답과 해설 | 개념편 |
02-3 답 18
원 x@+y@=4를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으 로 -4만큼 평행이동한 원의 방정식은
{x+1}@+{y+4}@=4
이 원을 x축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은 {x+1}@+{-y+4}@=4
/ {x+1}@+{y-4}@=4
이 원이 직선 4x+3y-a=0에 접하려면 원의 중심 {-1, 4}와 직선 4x+3y-a=0 사이의 거리가 반지름
의 길이 2와 같아야 하므로 |-4+12-a|
14@+3@3 =2, |8-a|=10 8-a=-10 / a=18 {? a>0}
03-1 답 j37k
점 B{3, 5}를 직선 y=x y
O x P B{3, 5}
B'{5, 3}
A{-1, 2}
y=x 에 대하여 대칭이동한 점
을 B'이라 하면 B'{5, 3}
이때 BPZ=BX'PZ이므로 APZ+BPZ =APZ+B'PZ
>AXB'Z
=1{5+1}@+{3-32}@3
=j37k
따라서 APZ+BPZ의 최솟값은 j37k 이다.
03-2 답 [0, 52 ]
점 B{3, 1}을 y축에 대하여 대칭이동한 점을 B'이라 하 면 B'{-3, 1}
y
x P
O
B{3, 1}
B'{-3, 1}
A{1, 3}
이때 BPZ=BX'PZ이므로 APZ+BPZ=APZ+BX'PZ>AXB'Z
즉, APZ+BPZ의 값이 최소일 때의 점 P는 직선 AB'과 y축의 교점이다.
두 점 A{1, 3}, B'{-3, 1}을 지나는 직선의 방정식은 y-3= 1-3
-3-1{x-1} / y=1 2x+5
2 따라서 구하는 점 P의 좌표는 [0, 5
2 ]이다.
03-3 답 3j2
점 A{1, 2}를 y축에 대하여 대칭이동한 점을 A'이라 하 면 A'{-1, 2}
점 B{2, 1}을 x축에 대하여 대칭이동한 점을 B'이라 하 면 B'{2, -1}
y
O x Q
P B{2, 1}
B'{2, -1}
A'{-1, 2} A{1, 2}
이때 AQZ=AX'QZ, PBZ=PXB'Z이므로 AQZ+QPZ+PBZ =AX'QZ+QPZ+PXB'Z
>AX'B'Z
=1{2+1}@+{-1-32}@3=3j2 따라서 AQZ+QPZ+PBZ의 최솟값은 3j2이다.
점과 직선에 대한 대칭이동
276~277쪽
04-1 답 -3
점 {-1, -1)이 두 점 {2, a}, {b, -3}을 이은 선분의 중점이므로
2+b
2 =-1, a-3
2 =-1 / a=1, b=-4 / a+b=-3
04-2 답 9
y=-x@+2x+3을 변형하면 y=-{x-1}@+4이므로 포물선의 꼭짓점의 좌표는 {1, 4}이다.
따라서 점 {a, b}가 두 점 {1, 4}, {3, 5}를 이은 선분의 중점이므로
a=1+3
2 =2, b=4+5 2 =9
2 / ab=9 05-1 답 a=-2, b=-1
! 두 점 {-6, 1}, {2, 5}를 이은 선분의 중점 [-6+2
2 , 1+5
2 ], 즉 {-2, 3}이 직선 y=ax+b 위의 점이므로 3=-2a+b yy ㉠
@ 두 점 {-6, 1}, {2, 5}를 지나는 직선과 직선 y=ax+b는 서로 수직이므로
5-1
2+6\a=-1 / a=-2 이를 ㉠에 대입하면 b=-1
Ⅲ-4. 도형의 이동 117 116 정답과 해설 | 개념편 |
278~280쪽
1 ③ 2 ④ 3 ③ 4 ④ 5 -3
6 -8 7 -1 8 ① 9 ③ 10 ④
11 ① 12 ② 13 ① 14 ④ 15 8p-16 16 ① 17 3`m, 25`m 18 ②
1 점 {a, b}를 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 {-a, -b}
이 점을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 {-b, -a}
이 점이 점 {1, 2}와 일치하므로
-b=1, -a=2 / a=-2, b=-1 / ab=2
2 점 P{-1, 3}을 x축에 대하여
O x
y y=x
R P
Q
3 3
-1 -3 -1
대칭이동한 점 Q의 좌표는
{-1, -3}
점 P{-1, 3}을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점 R의 좌 표는
{3, -1}
/ sPQR=1
2\6\4=12
3 점 {3, 2}를 y축에 대하여 대칭이동하면 점 {-3, 2}로 옮겨지므로 직선 x-5y+2=0을 y축에 대하여 대칭이동 한 직선의 방정식은
-x-5y+2=0 / x+5y-2=0
4 직선 y=ax+b가 점 {2, 1}을 지나므로 1=2a+b yy ㉠
직선 y=ax+b를 y축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정 식은
y=-ax+b
이 직선이 직선 3x-y+4=0, 즉 y=3x+4와 만나지 않 으려면 두 직선은 서로 평행해야 하므로
-a=3 / a=-3 이를 ㉠에 대입하면 b=7 / a+b=4
5 x@+y@-2x+6y+9=0을 변형하면 {x-1}@+{y+3}@=1
이 원을 직선 y=x에 대칭이동한 원의 방정식은 {x+3}@+{y-1}@=1
이 원의 중심의 좌표가 {-3, 1}이고 반지름의 길이가 1 이므로
a=-3, b=1, c=1 / abc=-3 6 y=x@+2x+a={x+1}@+a-1
이 포물선의 꼭짓점의 좌표가 {-1, a-1}이므로 이 점 을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이 동한 점의 좌표는
{-1+m, a-1+3} / {m-1, a+2}
이 점을 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 {1-m, -a-2}
이 점이 점 {-2, 9}와 일치하므로 1-m=-2, -a-2=9 / m=3, a=-11 / a+m=-8 05-2 답 {x-5}@+{y-2}@=4
원 {x+2}@+{y+3}@=4의 중심 {-2, -3}을 직선 7x+5y-8=0에 대하여 대칭이동한 점을 {a, b}라 하자.
7x+5y-8=0
{-2, -3}
{a, b}
! 두 점 {-2, -3}, {a, b}를 이은 선분의 중점 [-2+a
2 , -3+b
2 ]가 직선 7x+5y-8=0 위의 점 이므로
7\-2+a
2 +5\-3+b 2 -8=0 / 7a+5b=45 yy ㉠
@ 두 점 {-2, -3}, {a, b}를 지나는 직선과 직선 7x+5y-8=0은 서로 수직이므로
b+3 a+2\[-7
5 ]=-1 / 5a-7b=11 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=5, b=2
따라서 대칭이동한 원의 중심의 좌표가 {5, 2}이고 반지 름의 길이가 2이므로 구하는 원의 방정식은
{x-5}@+{y-2}@=4
Ⅲ-4. 도형의 이동 117 116 정답과 해설 | 개념편 |
7 원 {x+1}@+{y-k}@=10을 x축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은
{x+1}@+{-y-k}@=10 / {x+1}@+{y+k}@=10
직선 x-y+2=0이 이 원의 넓이를 이등분하려면 원의 중심 {-1, -k}를 지나야 하므로
-1+k+2=0 / k=-1
8 직선 x-2y=9를 직선 y=x에 대칭이동한 도형의 방정 식은
y-2x=9 / 2x-y+9=0
이 직선이 원 {x-3}@+{y+5}@=k에 접하려면 원의 중 심 {3, -5}와 직선 사이의 거리가 반지름의 길이 jk k와 와 같아야 하므로
|6+5+9|
12@+{-31}@3=jk k, 20=j5kk 400=5k / k=80 9 점 B{4, 4}를 x축에 대하여
O x
y
B'{4, -4}
B{4, 4}
A{1, 2}
P
대칭이동한 점을 B'이라 하면
B'{4, -4}
이때 BPZ=BX'PZ이므로 APZ+BPZ =APZ+BX'PZ
>AXB'Z
=1{4-1}@+{-4-32}@3
=3j5
따라서 APZ+BPZ의 최솟값은 3j5이다.
10 주어진 두 포물선의 방정식을 각각 변형하면 y={x-3}@+1, y=-{x-7}@-1
두 포물선이 점 P에 대하여 서로 대칭이므로 두 꼭짓점 {3, 1}, {7, -1}도 점 P에 대하여 서로 대칭이다.
즉, 점 P는 두 꼭짓점을 이은 선분의 중점이므로 P[3+7
2 , 1-1
2 ] / P{5, 0}
11 점 A{-2, 1}을 점 {3, 2}에 대하여 대칭이동한 점을 A'{a, b}라 하면 AXA'Z의 중점의 좌표가 {3, 2}이므로 -2+a
2 =3, 1+b 2 =2 / a=8, b=3
따라서 점 A'{8, 3}이고, 이 점을 y축에 대하여 대칭이동 한 점을 A"이라 하면 A"{-8, 3}
이때 직선 L은 두 점 A, A"을 지나므로 그 기울기는 3-1
-8+2=-1 3
12 원 {x-1}@+{y-1}@=4의 중심 {1, 1}을 직선 y=x-2 에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 {a, b}라 하자.
! 두 점 {1, 1}, {a, b}를 이은 선분의 중점 [1+a
2 , 1+b
2 ]가 직선 y=x-2 위의 점이므로 1+b
2 =1+a 2 -2 / a-b=4 yy ㉠
@ 두 점 {1, 1}, {a, b}를 지나는 직선과 직선 y=x-2 는 서로 수직이므로
b-1
a-1\1=-1 / a+b=2 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=-1
따라서 대칭이동한 원의 중심의 좌표가 {3, -1}이고 반 지름의 길이가 2이므로 구하는 원의 방정식은
{x-3}@+{y+1}@=4
13 ! 점 A{4, 1}을 직선 x-y+1=0에 대하여 대칭이동 한 점 C의 좌표를 {a, b}라 하면 ACZ의 중점 [4+a
2 , 1+b
2 ]가 직선 x-y+1=0 위의 점이므로 4+a
2 -1+b
2 +1=0 / a-b=-5 yy ㉠
또 직선 AC와 직선 y=x+1은 서로 수직이므로 b-1
a-4\1=-1 / a+b=5 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=5 / C{0, 5}
@ 점 B{5, 1}을 직선 x-y+1=0에 대하여 대칭이동 한 점 D의 좌표를 {c, d}라 하면 BDZ의 중점 [5+c
2 , 1+d
2 ]가 직선 x-y+1=0 위의 점이므로 5+c
2 -1+d
2 +1=0 / c-d=-6 yy ㉢
또 직선 BD와 직선 y=x+1은 서로 수직이므로 d-1
c-5\1=-1 / c+d=6 yy ㉣ ㉢, ㉣을 연립하여 풀면 c=0, d=6 / D{0, 6}
Ⅲ-<중중중>. <중단원명> PB
15 원 {x-4}@+y@=16을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은 APZ+BPZ =APZ+BX'PZ
>AXB'Z
직선 AB'의 방정식은
이때 점 P', Q'은 두 점 P{0, 6}, Q{15, 6}을 각각 직 선 y=10과 x축에 대하여 대칭이동한 점이므로 PX'Q'Z=115@+{-6-134}@3 =25{m}
따라서 최소 이동 거리는 25`m이다.