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Ⅲ-1. 평면좌표 77 따라서 APZ @+BPZ @은 a=3일 때 최솟값 14를 갖고, 그때
의 점 P의 좌표는 {3, 3}이다.
03-3 답 40
점 P의 좌표를 {a, b}라 하면
APZ @+BPZ @+CPZ @
={a-3}@+{b-5}@+{a-2}@+{b-4}@
+{a-1}@+9b-{-3}0@
=3a@-12a+3b@-12b+64
=3{a-2}@+3{b-2}@+40
따라서 APZ @+BPZ @+CPZ @은 a=2, b=2일 때 최솟값 40 을 갖는다.
04-1 답 ⑴ CB=90 !인 직각삼각형
⑵ 정삼각형
⑴ ABZ=1{1-4}@+{1+2}@3=j18k=3j2 BCZ=1{3-1}@+{3-1}@3=j8=2j2 CAZ=1{4-3}@+{-2-3}@3=j26k
이때 ABZ @+BCZ @=CXAZ @이므로 sABC는 CB=90 ! 인 직각삼각형이다.
⑵ ABZ=1{1+1}@+{3+3}@3=j40k=2j10k BCZ=1{-3j33-1}@+{j3-3}@3=j40k=2j10k CXAZ=1{-1+3j3}@+3{-3-j3}@3=j40k=2j10k 이때 ABZ=BCZ=CAZ이므로 sABC는 정삼각형이다.
04-2 답 2
ABZ=1{-1-2}@+{a-8}@3 =1a@-16a+733 BCZ=1{5+1}@+{-1-a}@3 =1a@+2a+373 이때 ABZ=BCZ에서 ABZ @=BCZ @이므로 a@-16a+73=a@+2a+37
18a=36 / a=2
04-3 답 -2, 3
ABZ=1{2+1}@+3{6-2}@3=j25k=5 BCZ=1{a-2}@+3{4-6}@3=1a@-4a+83 CAZ=1{-1-a}@+3{2-4}@3=1a@+2a+53 이때 삼각형 ABC는 CC=90!인 직각삼각형이므로 BCZ @+CAZ @=ABZ @에서
a@-4a+8+a@+2a+5=25 a@-a-6=0
{a+2}{a-3}=0 / a=-2 또는 a=3
05-1 답 풀이 참조
오른쪽 그림과 같이 직선 y
x A{a, b}
C{c, 0}
B{-2c, 0}OD
BC를 x축, 점 D를 지나고
직선 BC에 수직인 직선을 y축으로 하는 좌표평면을 잡 으면 점 D는 원점이 된다.
A{a, b}, C{c, 0}이라 하면 B{-2c, 0}이므로
AXBZ @={-2c-a}@+{-b}@=a@+4ac+4c@+b@
AXCZ @={c-a}@+{-b}@=a@-2ac+c@+b@
AXXDZ @=a@+b@
CDZ @=c@
/ AXBZ @+2AXCZ @=3{a@+b@+2c@} yy ㉠ AXXDZ @+2CDZ @=a@+b@+2c@ yy ㉡ ㉠, ㉡에 의하여
AXBZ @+2AXCZ @=3{AXDZ @+2CDZ @}
05-2 답 풀이 참조
오른쪽 그림과 같이 직선 y
x A{a, b}
OB C{c, 0}
D{a+c, b}
BC를 x축, 점 B를 지나고 직선 BC에 수직인 직선을 y축으로 하는 좌표평면을 잡 으면 점 B는 원점이 된다.
A{a, b}, C{c, 0}이라 하면 D{a+c, b}이므로 AXCZ @={c-a}@+{-b}@=a@-2ac+c@+b@
BDZ @={a+c}@+b@=a@+2ac+c@+b@
AXBZ @=a@+b@
BCZ @=c@
/ AXCZ @+BDZ @=2{a@+b@+c@} yy ㉠ AXBZ @+BCZ @=a@+b@+c@ yy ㉡ ㉠, ㉡에 의하여
ACZ @+BXDZ @=2{AXBZ @+BCZ @}
188~189쪽
1 ③ 2 12 3 ③ 4 {0, -2} 5 ⑤ 6 30 7 180 8 8 9 {-2j3, j3}
10 ㈎ B ㈏ a ㈐ b ㈑ {x-a}@+y@
㈒ {x-a}@+{y-b}@
11 13 12 j5 13 52 14 2시간 후, 5 km
78 정답과 해설 | 개념편 |
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=21 8 , b=9
4 / 8a+4b=8\21
8 +4\9 4=30
7 점 P의 좌표를 {a, a-1}이라 하면
APZ @+BPZ @
={a-8}@+{a-1+7}@+{a-12}@+{a-1-5}@
=4a@-40a+280
=4{a-5}@+180
따라서 APZ @+BPZ @은 a=5일 때 최솟값 180을 갖는다.
8 ABZ =1{1+1}@3+{3-1}@3
=j8=2j2
BCZ =1{5-1}@+3{-1-3}@3
=j32k=4j2
CAZ =1{-1-5}@3+{1+1}@3
=j40k=2j10k
이때 ABZ @+BCZ @=CAZ @이므로 sABC는 CB=90!인 직각삼각형이다.
따라서 sABC의 넓이는 1
2\ABZ\BCZ=1
2\2j2\4j2=8
9 점 C의 좌표를 {a, b}라 하면 ABZ=BCZ에서 ABZ @=BCZ @ 이므로
{1+1}@+{2+2}@={a-1}@+{b-2}@
a@-2a+b@-4b-15=0 yy ㉠ BCZ=CAZ에서 BCZ @=CAZ @이므로
{a-1}@+{b-2}@={-1-a}@+{-2-b}@
4a+8b=0 / a=-2b yy ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면
4b@+4b+b@-4b-15=0 5b@=15, b@=3 / b=-j3 그런데 점 C가 제2사분면 위의 점이므로 b=j3
따라서 점 C의 좌표는 {-2j3, j3}이다.
10 오른쪽 그림과 같이 직선 BC
x y
b
aC P{x, y}
B
D
O A 를 x축, 점 B를 지나고 직선 BC에 수직인 직선을 y축으로 하는 좌표평면을 잡으면 점 B 는 원점이 된다.
1 ABZ=j13k이므로 1{-2}@+3a@3=j13k 양변을 제곱하면
a@+4=13, a@-9=0
{a+3}{a-3}=0 / a=3 (? a>0) 2 ABZ=BCZ이므로
1{6-2}@3+{-1}@3=1{a-6}@+4@3 양변을 제곱하면
17={a-6}@+16, a@-12a+35=0 {a-5}{a-7}=0
/ a=5 또는 a=7 따라서 모든 a의 값의 합은 5+7=12
3 ABZ =1{1-a}@+{a+3}@3=12a@+4a+103
=12{a+1}@+83
따라서 ABZ는 a=-1일 때 최솟값 j8=2j2를 갖는다.
4 점 P의 좌표를 {a, a-2}라 하면 APZ=BPZ에서 APZ @=BPZ @이므로
{a+3}@+{a-2-2}@={a-4}@+{a-2-1}@
2a@-2a+25=2a@-14a+25 12a=0 / a=0
/ P{0, -2}
5 점 P{1, 2}에서 세 꼭짓점 A{a, 7}, B{-3, 5}, C{5, b}
에 이르는 거리가 같으므로 APZ=BPZ=CPZ
APZ=BPZ에서 APZ @=BPZ @이므로 {1-a}@+{2-7}@={1+3}@+{2-5}@
a@-2a+1=0, {a-1}@=0 / a=1
BPZ=CPZ에서 BPZ @=CPZ @이므로 {1+3}@+{2-5}@={1-5}@+{2-b}@
b@-4b-5=0, {b+1}{b-5}=0 / b=5`{? b>0}
/ ab=5
6 APZ=BPZ에서 APZ @=BPZ @이므로 {a-4}@+b@=a@+{b-2}@
a@-8a+16+b@=a@+b@-4b+4 -8a+4b=-12
/ 2a-b=3 yy ㉠ 점 P가 직선 l 위에 있으므로 2a+3b=12 yy ㉡
Ⅲ-1. 평면좌표 79 이때 A{0, b}, C{a, 0}, D{ a , b }, P{x, y}라 하면
APZ @+CPZ @ =x@+{y-b}@+ {x-a}@+y@
=x@+y@+{x-a}@+{y-b}@
BPZ @+DPZ @=x@+y@+ {x-a}@+{y-b}@
/ APZ @+CPZ @=BPZ @+DPZ @
11 점 C{0, 4}이고, OAZ=OCZ=4이므로 A{4, 0}
O
y
E{a,`0} x A{4,`0}
B{a,`12}
C{0, 4}
D{21,`12}
위의 그림과 같이 점 E를 잡고, 점 E의 좌표를 {a, 0}이 라 하면 D{21, 12}이므로
B{a, 12}
이때 BDZ=21-a, BEZ=12이고, BDZ=BEZ이므로 21-a=12 / a=9
/ B{9, 12}
/ ABZ=1{9-4}@+12@3=13
12 O{0, 0}, P{x, y}, Q{2, -1}이라 하면 1x@+y@3+1{x-2}@+{y+1}@3 =OPZ+PQZ
>OQZ
=12@+{-1}@3
=j5 따라서 구하는 최솟값은 j5이다.
13 삼각형 ABC의 외심을 O'{2, 0}이라 하면 점 O'에서 각 꼭짓점까지의 거리가 같으므로 점 O'은 BCZ의 중점이다.
x y
O O' -1 2
A 2
B
C
따라서 BCZ는 sABC의 외접원의 지름이므로 sABC는 BCZ를 빗변으로 하는 직각삼각형이다.
/ ABZ @+ACZ @ =BCZ={2 AO'Z}@=4 AO'Z
=49{2+1}@+{-2}@0=52
14 오른쪽 그림과 같이 직선 OA를
O A -10
-5 B y
x x축, 직선 OB를 y축으로 하는
좌표평면을 잡으면 점 O는 원 점이 된다. A, B의 출발점의 위 치를 각각 {-10, 0}, {0, -5}
로 놓고 t시간 후의 A, B의 위치를 각각 P, Q라 하면 P{-10+3t, 0}, Q{0, -5+4t}
/ PQZ =1{10-3t}@+3{4t-5}@3
=125t@-100t3+1253
=125{t-2}@+253
따라서 PQZ는 t=2일 때 최솟값 j25k=5를 갖는다.
즉, A와 B 사이의 거리가 최소가 되는 것은 2시간 후이고, 그때의 거리는 5 km이다.
1 답 ⑴ B ⑵ D ⑶ 2, 1 ⑷ 1, 3 2 답 풀이 참조
내분점 P P72\ 3 +3\{ -2 } 2 + 3 8 / P{ 0 }
외분점 Q Q72\ 3 -3\{ -2 } 2 - 3 8 / Q{ -12 }
3 답 ⑴ 2 ⑵ 12 ⑶ -22
4 답 ⑴ [5, 73 ] ⑵ [ 92 , 1] ⑶ [- 32 , -15] 192쪽
선분의 내분점과 외분점