x y
O O' -1 2
A 2
B
C
따라서 BCZ는 sABC의 외접원의 지름이므로 sABC는 BCZ를 빗변으로 하는 직각삼각형이다.
/ ABZ @+ACZ @ =BCZ={2 AO'Z}@=4 AO'Z
=49{2+1}@+{-2}@0=52
14 오른쪽 그림과 같이 직선 OA를
O A -10
-5 B y
x x축, 직선 OB를 y축으로 하는
좌표평면을 잡으면 점 O는 원 점이 된다. A, B의 출발점의 위 치를 각각 {-10, 0}, {0, -5}
로 놓고 t시간 후의 A, B의 위치를 각각 P, Q라 하면 P{-10+3t, 0}, Q{0, -5+4t}
/ PQZ =1{10-3t}@+3{4t-5}@3
=125t@-100t3+1253
=125{t-2}@+253
따라서 PQZ는 t=2일 때 최솟값 j25k=5를 갖는다.
즉, A와 B 사이의 거리가 최소가 되는 것은 2시간 후이고, 그때의 거리는 5 km이다.
1 답 ⑴ B ⑵ D ⑶ 2, 1 ⑷ 1, 3 2 답 풀이 참조
내분점 P P72\ 3 +3\{ -2 } 2 + 3 8 / P{ 0 }
외분점 Q Q72\ 3 -3\{ -2 } 2 - 3 8 / Q{ -12 }
3 답 ⑴ 2 ⑵ 12 ⑶ -22
4 답 ⑴ [5, 73 ] ⑵ [ 92 , 1] ⑶ [- 32 , -15] 192쪽
선분의 내분점과 외분점
02 선분의 내분점과 외분점
1
80 정답과 해설 | 개념편 | -5k-6=2{-2k-2}-5{k-2}
4k=12 / k=3 이때 m, n은 서로소인 자연수이므로 m=2, n=1 / m+n=3
03-1 답 {-9, 11}
3ABZ=2BCZ이므로 ABZ`:`BCZ=2`:`3 점 C는 선분 AB를 5`:`3으
/ PQZ=1{18-6}@+3{-21-3}@3=12j5
01-2 답 {10, -41}
선분 AB를 1`:`b로 내분하는 점의 좌표가 {2, -1}이므로 1\a+b\1
1+b =2, 1\{-11}+b\4
1+b =-1
a+b=2{1+b}, -11+4b=-{1+b}
a-b=2, 5b=10 / a=4, b=2
따라서 A{1, 4}, B{4, -11}이므로 선분 AB를 3`:`2로 외분하는 점의 좌표는
즉, 선분 AB를 삼등분하는 두 점의 좌표는 {3, 2}, {5, 6}
이다.
02-1 답 2 3
{1-t}`:`t에서 1-t>0, t>0이므로
0<t<1 yy ㉠
선분 AB를 {1-t}`:`t로 내분하는 점의 좌표는 [{1-t}\{-6}+t\{-3}
{1-t}+t , {1-t}\4+t\{-2}
{1-t}+t ] / {3t-6, -6t+4}
이 점이 제2사분면 위에 있으므로 3t-6<0, -6t+4>0 / t<2
3 yy ㉡ 193~197쪽
Ⅲ-1. 평면좌표 81 ACZ, BDZ 각각의 중점과 일치한
다. 로 ACZ의 중점과 BDZ의 중 점이 일치한다. ABZ=ADZ, 즉 ABZ @=ADZ @
{a+2}@+{-1-3}@={2+2}@+{1-3}@
a@+4a+4+16=16+4 a@+4a=0, a{a+4}=0 / a=-4 (? a<0) 이를 ㉢에 대입하면 b=0 / a+b=-4
05-1 답 [- 12 , -3 2 ]
ADZ가 CA의 이등분선이므로 ABZ`:`ACZ=BDZ`:`CDZ ABZ=1{-7-35}@+5@3=13 ACZ=1{2-5}@+3{-4}@3=5
/ BDZ`:`CDZ=13`:`5
따라서 점 D는 변 BC를 13`:`5로 내분하는 점이므로 점 D의 좌표는 ABZ`:`ACZ=BDZ`:`CDZ
ABZ=1{-8+3}@+{-314+2}@3=13 ACZ=1{5+3}@+3{4+2}@3=10 / BDZ`:`CDZ=13`:`10
높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비 와 같으므로
sABD`:`sACD =BDZ`:`CDZ=13`:`10
82 정답과 해설 | 개념편 |
1 답 ⑴ {4, 3} ⑵ {2, 2}
198쪽
삼각형의 무게중심
06-1 답 {-1, -4}
C{a, b}라 하면 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표가 {1, 1}
이므로 4+0+a
3 =1, 2+5+b 3 =1 4+a=3, 7+b=3
/ a=-1, b=-4
따라서 점 C의 좌표는 {-1, -4}이다.
06-2 답 [- 52 , 2]
B{a, b}, C{c, d}라 하면 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표가 {-1, 3}이므로
2+a+c
3 =-1, 5+b+d 3 =3 2+a+c=-3, 5+b+d=9 / a+c=-5, b+d=4 따라서 BCZ의 중점의 좌표는 [a+c
2 , b+d
2 ] / [-5 2 , 2] 06-3 답 {2, -1}
삼각형 DEF의 무게중심은 삼각형 ABC의 무게중심과 일치하므로 구하는 무게중심의 좌표는
[6+3-3
3 , -1-4+2
3 ] / {2, -1}
다른 풀이
선분 AB를 2`:`1로 내분하는 점 D의 좌표는 [2\3+1\6
2+1 , 2\{-4}+1\{-1}
2+1 ] / {4, -3}
선분 BC를 2`:`1로 내분하는 점 E의 좌표는 [2\{-3}+1\3
2+1 , 2\2+1\{-4}
2+1 ] / {-1, 0}
선분 CA를 2`:`1로 내분하는 점 F의 좌표는 [2\6+1\{-3}
2+1 , 2\{-1}+1\2
2+1 ] / {3, 0}
따라서 삼각형 DEF의 무게중심의 좌표는 [4-1+3
3 , -3+0+0
3 ] / {2, -1}
199쪽
1 선분 AB를 2`:`1로 내분하는 점 P의 좌표는 [2\6+1\{-3}
2+1 , 2\11+1\2
2+1 ] / {3, 8}
선분 PB를 4`:`1로 외분하는 점 Q의 좌표는 [4\6-1\3
4-1 , 4\11-1\8
4-1 ] / {7, 12}
따라서 선분 PQ의 중점의 좌표는 [3+7
2 , 8+12
2 ] / {5, 10}
2 선분 AB를 3`:`2로 외분하는 점의 좌표가 {-14, -3}
이므로
3\{-2}-2\a
3-2 =-14, 3\b-2\6 3-2 =-3 -6-2a=-14, 3b-12=-3
/ a=4, b=3 / a+b=7
3 선분 AB를 1`:`2로 내분하는 점의 좌표가 {0, 0}이므로 1\{b+1}+2\{-1}
1+2 =0, 1\2+2\{a+1}
1+2 =0
/ a=-2, b=1
따라서 A{-1, -1}, B{2, 2}, C{0, 1}이므로 선분 BC 를 2`:`3로 외분하는 점의 좌표는
[2\0-3\2
2-3 , 2\1-3\2
2-3 ] / {6, 4}
4 선분 AB를 2`:`b로 외분하는 점의 좌표가 {2, -1}이므로 2\5-b\4
2-b =2, 2\a-b\{-3}
2-b =-1
10-4b=2{2-b}, 2a+3b=-{2-b}
2b=6, a+b=-1 / a=-4, b=3
따라서 A{4, -3}, B{5, -4}이므로 선분 AB를 3`:`1 로 내분하는 점의 좌표는
[3\5+1\4
3+1 , 3\{-4}+1\{-3}
3+1 ]
/ [19 4 , -15
4 ]
200~202쪽
1 {5, 10} 2 ③ 3 {6, 4} 4 [19 4 , -15
4 ] 5 ② 6 ③ 7 4 8 {3, 6} 9 ④ 10 163 11 ⑤ 12 ③ 13 {3, 2} 14 36
15 8j5 16 ④ 17 19 18 ⑤
19 3x-6y-13=0
Ⅲ-1. 평면좌표 83 5 t`:`{1-t}에서 t>0, 1-t>0이므로
0<t<1 yy ㉠
선분 AB를 t`:`{1-t}로 내분하는 점의 좌표는 [t\6+{1-t}\{-3}
t+{1-t} , t\3+{1-t}\5 t+{1-t} ] / {9t-3, -2t+5}
이 점이 제2사분면 위에 있으므로 9t-3<0, -2t+5>0
t<1
m+n =0, 3m-4n=0 / 3m=4n 이때 m, n은 서로소인 자연수이므로 ACZ의 중점과 BDZ의 중점이 일치한다.
ACZ의 중점의 좌표는 ACZ의 중점과 BDZ의 중점이 일치한다.
ACZ의 중점의 좌표는 ABZ=BCZ, 즉 ABZ @=BCZ @
{4-a}@+2@={2-4}@+{8-2}@
a@-8a-20=0, {a+2}{a-10}=0 / a=10 (? a>0)
이를 ㉢에 대입하면 b=8 / a+b=18
10 ADZ가 CA의 이등분선이므로 ABZ`:`ACZ=BDZ`:`CDZ
ABZ=1{-3-3}@+3{-2-6}@3=10 ACZ=1{6-3}@+3{2-6}@3=5 / BDZ`:`CDZ=10`:`5=2`:`1
따라서 점 D는 변 BC를 2`:`1로 내분하는 점이므로 점 / a+c=-2, b+d=-2
따라서 sABC의 무게중심의 좌표가 {m, n}이므로 2+a+c
3 =m, 5+b+d 3 =n / m=0, n=1 / m+n=1
84 정답과 해설 | 개념편 |
13 D{1, -1}, E{3, 1}, F{5, 6}이라 하면 삼각형 ABC의 무게중심은 삼각형 DEF의 무게중심과 일치하므로 구하
2x 위의 점이고, 점 B는 직선 y=3x 위 의 점이므로 A{2a, a}, B{b, 3b}라 하자.
삼각형 OAB의 무게중심의 좌표가 {11, 13}이므로 2a+b
3 =11, a+3b 3 =13 / 2a+b=33, a+3b=39 두 식을 연립하여 풀면 a=12, b=9
따라서 직선 y=-x+k가 점 A{24, 12}를 지나므로 12=-24+k / k=36
㈏에서 점 B는 선분 AC의 중점이므로 A{a, b}라 하면 a-2
/ AEZ=1{2+6}@+3{8+8}@3=8j5
16 선분 AB를 m`:`n으로 외분하는 점 Q의 좌표는
위의 그림에서 sOAQ=sOAB+sOBQ이므로 16=1
이때 m>n>0이므로 2n
m-n=6, 2n=6m-6n 8n=6m / n
m=3 4
17 ADZ는 CA의 외각의 이등분선이므로 ABZ`:`ACZ=BDZ`:`CDZ
ABZ=1{-8}@+{3-3-3}@3=10 ACZ=14@+{-3}@3=5
/ BDZ`:`CDZ=10`:`5=2`:`1
따라서 점 D는 변 BC를 2`:`1로 외분하는 점이므로 a=2\4-1\{-8}
2-1 =16, b=2\0-1\{-3}
2-1 =3
M{a, b}라 하면 무게중심은 AMZ을 2`:`1로 내분하는 점이다.
CAMB=CAMC=90!
즉, sABM은 CABM=60!인 직각삼각형이므로 ABZ`:`AMZ=2`:`j3 yy ㉠
AMZ=1{-2-4}@+3{-2-4}@3=6j2 AMZ=6j2를 ㉠에 대입하면
ABZ`:`6j2=2`:`j3 / ABZ=4j6
따라서 정삼각형 ABC의 한 변의 길이는 4j6이다.
19 P{a, b}라 하면 점 P는 직선 x-2y+1=0 위에 있으므로 a-2b+1=0 yy ㉠
선분 AP를 1`:`2로 내분하는 점의 좌표를 {x, y}라 하면 x=1\a+2\3 / a=3x-6, b=3y+4 이를 ㉠에 대입하면 3x-6-2{3y+4}+1=0 / 3x-6y-13=0
Ⅲ-2. 직선의 방정식 85 01-1 답 -1
3x+y-1=0에서 y=-3x+1
즉, 점 {-1, 7}을 지나고 기울기가 -3인 직선의 방정식은 y-7=-39x-{-1}0
/ 3x+y-4=0
따라서 a=3, b=-4이므로 a+b=-1
01-2 답 y=-x+5
선분 AB를 2`:`1로 내분하는 점의 좌표는 [2\3+1\{-3}
2+1 , 2\5+1\2
2+1 ] / {1, 4}
따라서 점 {1, 4}를 지나고 기울기가 -1인 직선의 방정 식은
y-4=-{x-1} / y=-x+5
01-3 답 12
점 {-2, 0}을 지나고 기울기가 tan`30!=j3
3 인 직선의 방정식은
y=j3
39x-{-2}0 / j3x-3y+2j3=0 따라서 m=j3, n=-3이므로 m@+n@=3+9=12
02-1 답 y=5x-10
sABC의 무게중심 G의 좌표는 [3-4+7
3 , 5-2-3
3 ] / {2, 0}
따라서 무게중심 G{2, 0}과 점 A{3, 5}를 지나는 직선 의 방정식은
y= 5
3-2{x-2} / y=5x-10
206~209쪽
02-2 답 -16
두 점 {4, 2}, {1, -4}를 지나는 직선의 방정식은 y-2=-4-2
1-4 {x-4} / y=2x-6 이 직선이 두 점 {a, -2}, {-1, b}를 지나므로 -2=2a-6, b=-2-6
/ a=2, b=-8 / ab=-16
02-3 답 x 4+y
8=1
직선의 x절편을 a{a=0}라 하면 y절편은 2a이므로 직선 의 방정식은
x a+ y
2a=1 yy ㉠ 이 직선이 점 {3, 2}를 지나므로 3
a+ 2 2a=1, 4
a=1 / a=4 이를 ㉠에 대입하면
x 4+y
8=1
03-1 답 1
세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으므로 (직선 AB의 기울기) =(직선 BC의 기울기) 4-1
3-0=2-4
k-3 , 1= -2 k-3 k-3=-2 / k=1 다른 풀이
두 점 A{0, 1}, B{3, 4}를 지나는 직선의 방정식은 y-1=4-1
3-0{x-0} ∴ y=x+1 이 직선이 점 C{k, 2}를 지나므로 2=k+1 / k=1
03-2 답 y=-2x-1
세 점 A, B, C가 한 직선 l 위에 있으므로 (직선 AB의 기울기)=(직선 AC의 기울기) k-1-3
-1-{-2}=1-3k-3 2-{-2}
k-4=-3k-2
4 , 4k-16=-3k-2 7k=14 / k=2
즉, 직선 l은 두 점 A{-2, 3}, B{-1, 1}을 지나는 직 선이므로
y-3= 1-3
-1-{-2}9x-{-2}0 / y=-2x-1
1 답 ⑴ y=x+8 ⑵ y=-3x+3 ⑶ x2+y 4=1 2 답 ⑴ x=-4 ⑵ y=3
205쪽
직선의 방정식