3
Ⅲ-3. 원의 방정식 105
sOAH는 직각삼각형이고 OXAZ=5이므로 AHZ =45@-{j5}@6=2j5
CPZ=1{1+2}@+4@3=5
이때 sCPT는 직각삼각형이고 CTZ=2이므로
PTZ=7 CPZ @-CTZ @9=15@-2@3=j21k
03-2 답 1
x@+y@+6y+5=0을 변형하면 x@+{y+3}@=4
1a@+6a3+133=2j5, a@+6a+13=20 a@+6a-7=0, {a+7}{a-1}=0 / a=1 {? a>0}
03-3 답 2j3
OXAZ\APZ, OBZ\BPZ 이므로 sAOP는 직각삼각형
이다.
이때 OAZ=1, OPZ=13@+2@3=j13k 이므로 직각삼각형 AOP에서
APZ =7 OPZ@-OXAZ@9=4{j13k}@-1@6=2j3 sAOP+sBOP ( RHS 합동)
/ fAOBP =2sAOP=2\1
원의 중심 {0, 0}과 직선 2x+y-3=0 사이의 거리를 d 라 하면
원의 중심 {0, 1}과 직선 x+y-4=0 사이의 거리를 d 라 하면
d=|1-4|
11@+1@3=3j2 2
Ⅲ-3. 원의 방정식 107 106 정답과 해설 | 개념편 |
또 원의 반지름의 길이를 r라 하면 r=j2
한편 ABZ=11@+{4-35}@3=j2이므로 sAPB의 넓이의 최댓값과 최솟값을 각각 M, m이라 하면
M=1
2\ABZ\{d+r}=1
2\j2\[3j2
2 +j2]=5 2 m=1
2\ABZ\{d-r}=1
2\j2\[3j2
2 -j2]=1 2 / M+m=3
253쪽
원의 접선의 방정식
1 답 ⑴ y=3x-2j10k ⑵ y=-2x-2j5
⑶ y=2j2x-6
2 답 ⑴ 3x-y+10=0 ⑵ 2x-j6y-10=0
254~257쪽
05-1 답 y=-2x-5
구하는 직선은 직선 x-2y-2=0, 즉 y=1
2 x-1에 수 직이므로 기울기는 -2이다.
원 x@+y@=5의 반지름의 길이는 j5이므로 구하는 직선 의 방정식은
y=-2x-j5\1{-2}@+13 / y=-2x-5
다른 풀이 판별식 이용
기울기가 -2인 직선의 방정식을 y=-2x+n이라 하고 이 식을 x@+y@=5에 대입하면
x@+{-2x+n}@=5 / 5x@-4nx+n@-5=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 할 때, 원과 직선이 접하
려면 D=0이어야 하므로 D
4={-2n}@-5{n@-5}=0 n@=25 / n=-5
따라서 구하는 직선의 방정식은 y=-2x-5
다른 풀이 원의 중심과 직선 사이의 거리 이용
기울기가 -2인 직선의 방정식을 y=-2x+n, 즉 2x+y-n=0이라 하면 이 직선과 원의 중심 {0, 0} 사이 의 거리가 원의 반지름의 길이 j5와 같아야 하므로 |-n|
12@+1@3=j5, |n|=5 / n=-5 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=-2x-5
05-2 답 5
기울기가 2인 직선의 방정식을 y=2x+n, 즉 2x-y+n=0이라 하면 이 직선과 원의 중심 {1, -3}
사이의 거리가 원의 반지름의 길이 2와 같아야 하므로 |2+3+n|
12@+{-1}@3=2, |n+5|=2j5 / n=-5-2j5 따라서 두 직선의 y절편의 곱은
{-5-2j5}{-5+2j5}=5 06-1 답 17
점 {a, 8}이 원 x@+y@=100 위의 점이므로 a@+8@=100, a@=36 / a=6 {? a>0}
원 위의 점 {6, 8}에서의 접선의 방정식은 6x+8y=100 / 3x+4y=50 이 직선이 점 {2, b}를 지나므로 3\2+4b=50, 4b=44 / b=11 / a+b=17
06-2 답 -8
원 x@+y@=20 위의 점 {a, b}에서의 접선의 방정식은 ax+by=20 / y=-a
b x+20 b 이 접선의 기울기가 1
2 이므로 -a
b=1
2 / b=-2a yy ㉠ 또 점 {a, b}는 원 x@+y@=20 위의 점이므로
a@+b@=20 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=-2, b=4 또는 a=2, b=-4 / ab=-8 06-3 답 2x+3y-14=0
원의 중심 {2, -1}과 접점 {4, 2}를 지나는 직선의 기울 기는 2+1
4-2=3 2
원의 중심과 접점을 지나는 직선은 접선에 수직이므로 접 선의 기울기는 -2
3 이다.
따라서 기울기가 -2
3 이고 점 {4, 2}를 지나는 접선의 방 정식은
y-2=-2
3{x-4} / 2x+3y-14=0 07-1 답 y=1 또는 3x-4y-5=0
접점의 좌표를 {x1, y1}이라 하면 접선의 방정식은
x1x+y1 y=1 yy ㉠
이 직선이 점 {3, 1}을 지나므로
3x1+y1=1 / y1=-3x1+1 yy ㉡
Ⅲ-3. 원의 방정식 107 106 정답과 해설 | 개념편 |
또 접점 {x1, y1}은 원 x@+y@=1 위의 점이므로
x1@+y1@=1 yy ㉢
㉡, ㉢을 연립하여 풀면 x1=0, y1=1 또는 x1=3
5 , y1=-4 5 이를 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은 y=1 또는 3x-4y-5=0
다른 풀이 원의 중심과 직선 사이의 거리 이용
접선의 기울기를 m이라 하면 점 {3, 1}을 지나는 접선의 방정식은
y-1=m{x-3}
/ mx-y-3m+1=0 yy ㉠
원의 중심 {0, 0}과 직선 ㉠ 사이의 거리가 원의 반지름 의 길이 1과 같아야 하므로
|-3m+1|
1m@+{-1}@3 =1, |-3m+1|=1m@+13 9m@-6m+1=m@+1, 8m@-6m=0 m{4m-3}=0
/ m=0 또는 m=3 4
이를 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은 y=1 또는 3x-4y-5=0
다른 풀이 판별식 이용
접선의 기울기를 m이라 하면 점 {3, 1}을 지나는 접선의 방정식은
y-1=m{x-3}
/ y=mx-3m+1 yy ㉠ 이를 x@+y@=1에 대입하면 x@+{mx-3m+1}@=1
/ {m@+1}x@-2{3m@-m}x+9m@-6m=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
4={3m@-m}@-{m@+1}{9m@-6m}=0 8m@-6m=0, m{4m-3}=0
/ m=0 또는 m=3 4
이를 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은 y=1 또는 3x-4y-5=0
07-2 답 8 3
접점의 좌표를 {x1, y1}이라 하면 접선의 방정식은
x1x+y1 y=1 yy ㉠
이 직선이 점 {2, 1}을 지나므로
2x1+y1=1 / y1=-2x1+1 yy ㉡ 또 접점 {x1, y1}은 원 x@+y@=1 위의 점이므로
x1@+y1@=1 yy ㉢
㉡, ㉢을 연립하여 풀면 x1=0, y1=1 또는 x1=4
5 , y1=-3 5 이를 ㉠에 대입하면 두 접선의 방정식은 y=1 또는 y=4
3 x-5 3 / B{0, 1}, C[0, -5
3 ] / sABC=1
2\ABZ\BCZ=1 2\2\8
3=8 3 07-3 답 4
접선의 기울기를 m이라 하면 점 {1, 2}를 지나는 접선의 방정식은
y-2=m{x-1}
/ mx-y-m+2=0 yy ㉠
원의 중심 {3, 5}와 직선 ㉠ 사이의 거리가 원의 반지름 의 길이 1과 같아야 하므로
|3m-5-m+2|
1m@+{-1}@3 =1, |2m-3|=1m@+13 4m@-12m+9=m@+1 / 3m@-12m+8=0 두 접선의 기울기는 이 이차방정식의 두 근이므로 근과
계수의 관계에 의하여 기울기의 합은 4이다.
07-4 답 2j2
접선의 기울기를 m이라 하면 점 {0, 0}을 지나는 접선의 방정식은
y=mx / mx-y=0 yy ㉠
원의 중심 {0, a}와 직선 ㉠ 사이의 거리가 원의 반지름의 길이 2와 같아야 하므로
|-a|
1m@+{-1}@3=2, |-a|=21m@+13 a@=4m@+4 / 4m@+4-a@=0
이 이차방정식의 두 근을 m1, m2라 하면 두 접선이 서로 수직이므로 근과 계수의 관계에 의하여
4-a@
4 =-1, a@=8 / a=2j2`{? a>0}
258~260쪽
1 ③ 2 -23<k<27 3 ④ 4 ② 5 j11k 6 ③ 7 ⑤ 8 ① 9 ④ 10 ① 11 ⑤ 12 752
13 x-j3y-1=0 또는 x+j3y-1=0 14 ④ 15 ② 16 8j55 17 22 18 j15k
Ⅲ-3. 원의 방정식 109 108 정답과 해설 | 개념편 |
1 y=-x+k를 {x-1}@+y @=2에 대입하면 {x-1}@+{-x+k}@=2
/ 2x@-2{k+1}x+k@-1=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D
4={k+1}@-2{k@-1}>0, -{k+1}{k-3}>0 {k+1}{k-3}<0 / -1<k<3
따라서 정수 k는 0, 1, 2의 3개이다.
2 x@+y@-2x-4y-20=0을 변형하면 {x-1}@+{y-2}@=25
이 원의 중심 {1, 2}와 직선 4x-3y+k=0 사이의 거리는 |4-6+k|
14@+{-3}@3=|k-2|
5
원의 반지름의 길이가 5이므로 원과 직선이 만나려면 |k-2|
5 <5, |k-2|<25
-25<k-2<25 / -23<k<27
3 원의 중심 {-1, 3}과 직선 x+y+k=0 사이의 거리를 d라 하면
d=|-1+3+k|
11@+1@3 =|k+2|
j2 또 원의 반지름의 길이를 r라 하면 pr@=4p / r=2`{? r>0}
원과 직선이 접하려면 d=r이어야 하므로 |k+2|
j2 =2, |k+2|=2j2 k+2=-2j2 / k=-2-2j2 따라서 모든 상수 k의 값의 합은 {-2-2j2}+{-2+2j2}=-4
4 두 점 {-1, 1}, {3, 3}을 지름의 양 끝 점으로 하는 원의 중심의 좌표는
[-1+3 2 , 1+3
2 ] / {1, 2}
원의 반지름의 길이는 1{1+1}@+{2-31}@3=15
원의 중심 {1, 2}와 직선 y=2x+k, 즉 2x-y+k=0 사이의 거리는
|2-2+k|
12@+{-1}@ 3=|k|
j5
원의 반지름의 길이가 j5이므로 원과 직선이 만나지 않으 려면
|k|
j5 >15, |k|>5 / k<-5 또는 k>5 따라서 자연수 k의 최솟값은 6이다.
5 x@+y@-4y=0을 변형하면 x@+{y-2}@=4
오른쪽 그림과 같이 원
x y
x@+{y-2}@=4
y=mx-4 -4
2
O C
P Q
H 과 직선 y=mx-4의
두 교점 P, Q와 원의 중심 C{0, 2}를 세 꼭 짓점으로 하는 sCPQ 에서 CPZ, CQZ는 원의 반지름이므로
CPZ=CQZ=2
따라서 sCPQ가 정삼각형이려면 PQZ=2이어야 한다.
원의 중심 C에서 PQZ에 내린 수선의 발을 H라 하면 PHZ=1
2 PQZ=1
sCPH는 직각삼각형이므로
CXHZ=7 CPZ@-PXHZ@9=12@-1@3=j3 yy ㉠
한편 CXHZ는 원의 중심 C{0, 2}와 직선 mx-y-4=0 사 이의 거리이므로
CXHZ= |-2-4|
1m@+{-1}@3= 6
1m@+13 yy ㉡ ㉠, ㉡에서 j3= 6
1m@+13 13m@+33=6, 3m@+3=36
m@=11 / m=j11k`{? m>0}
6 x@+y@-2x+4y-11=0을 변형하면 {x-1}@+{y+2}@=16
오른쪽 그림과 같이 원의 중
O y
x P
C A
1 -1-2 심을 C라 하면 C{1, -2}이 3
므로
CAZ =1{1+1}@+{-2-33}@3
=j29k
이때 sCPA는 직각삼각형 이고 CPZ=4이므로
APZ =7 CAZ @-CPZ @9=129-4@3=j13k 7 x@+y@-6x+8y+7=0을 변형하면 {x-3}@+{y+4}@=18
원의 중심 {3, -4}와 직선 x+y+k=0 사이의 거리는 |3-4+k|
11@+1@3 =|k-1|
j2
원의 반지름의 길이가 3j2이므로 원 위의 점 P와 직선 사 이의 거리의 최댓값은
|k-1|
j2 +3j2
Ⅲ-3. 원의 방정식 109 108 정답과 해설 | 개념편 |
따라서 최댓값이 7j2이므로 |k-1|
j2 +3j2=7j2 |k-1|
j2 =4j2, |k-1|=8 k-1=-8 / k=9 {? k>0}
8 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 30!인 직선의 기 울기는
tan`30!= j3 3
원의 반지름의 길이를 r라 하면 기울기가 j3
3 인 접선의 방정식은
y= j3
3 x-rr[ j33 ]@+1y ◀ y=mx-r1m@+13
/ y= j33 x- 2j33 r
이 직선이 점 {2j3, 0}을 지나므로 0=2- 2j33 r
/ r=j3`{? r>0}
따라서 구하는 원의 넓이는 p\{j3}@=3p
9 직선 x+3y-7=0, 즉 y=-1 3 x+7
3 에 수직인 직선의 기울기는 3이므로 접선의 방정식을 y=3x+n, 즉 3x-y+n=0이라 하자.
이 직선과 원의 중심 {3, 0} 사이의 거리가 반지름의 길 이 2j10k과 같아야 하므로
|9+n|
13@+{-1}@3=2j10k, |9+n|=20 9+n=-20 / n=-29 또는 n=11 따라서 P{0, -29}, Q{0, 11} 또는 P{0, 11}, Q{0, -29}이므로
PQZ=|11+29|=40
10 원 x@+y@=10 위의 점 {a, b}에서의 접선의 방정식은 ax+by=10 / y=-a
b x+10 b 이 접선의 기울기가 2이므로 -a
b=2 / a=-2b yy ㉠ 또 점 {a, b}는 원 x@+y@=10 위의 점이므로
a@+b@=10 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=-2j2, b=j2 또는 a=2j2, b=-j2 / ab=-4
11 원 x@+y@=5 위의 점 {2, -1}에서의 접선의 방정식은 2x-y=5
/ 2x-y-5=0 yy ㉠ x@+y@+4x-2y=k를 변형하면 {x+2}@+{y-1}@=k+5
이 원의 중심 {-2, 1}과 직선 ㉠ 사이의 거리가 반지름 의 길이와 같아야 하므로
|-4-1-5|
12@+{-1}@3 =jk+5l 2j5=jk+5l, 20=k+5 / k=15
12 x@+y@-2x-4y-5=0을 변형하면 {x-1}@+{y-2}@=10
원의 중심 {1, 2}와 접점 {4, 3}을 지나는 직선의 기울기는 3-2
4-1=1 3
구하는 원의 접선은 이 직선과 수직이므로 기울기가 -3 이다.
따라서 기울기가 -3이고 접점 {4, 3}을 지나는 원의 접 선의 방정식은
y-3=-3{x-4} / y=-3x+15 이 접선의 x절편은 5, y절편은 15이므
x y
15
5 O
2 1 로 구하는 삼각형의 넓이는
1
2\5\15=75 2
13 원 {x-1}@+y@=1의 넓이를 이등분하려면 직선은 이 원 의 중심 {1, 0}을 지나야 한다.
따라서 구하는 직선의 기울기를 m이라 하면 이 직선은 점 {1, 0}을 지나므로
y=m{x-1} / mx-y-m=0 yy ㉠ 이 직선과 원 {x+1}@+y@=1의 중심 {-1, 0} 사이의
거리가 반지름의 길이 1과 같아야 하므로 |-m-m|
1m@+{-1}@3 =1, |2m|=1m@+13 4m@=m@+1, m@=1
3 / m=- j3
3
이를 ㉠에 대입하면 구하는 직선의 방정식은 j3
3 x-y- j3
3 =0 또는 - j3
3 x-y+ j3 3=0 / x-j3y-1=0 또는 x+j3y-1=0
Ⅲ-4. 도형의 이동 111 110 정답과 해설 | 개념편 |
14 접점의 좌표를 {x1, y1}이라 하면 접선의 방정식은
x1x+y1y=9 yy ㉠
이 직선이 점 {6, 0}을 지나므로 6x1=9 / x1=3
2 yy ㉡
또 접점 {x1, y1}은 원 x@+y@=9 위의 점이므로
x1@+y1@=9 yy ㉢ / x-j3y-6=0 또는 x+j3y-6=0 따라서 두 직선의 y절편은 각 각 -2j3, 2j3이므로 구하는
넓이는 1
2\4j3\6=12j3
15 원의 중심이 직선 x+y=6 위에 있으므로 중심의 좌표를 AXHZ@+CHZ@=ACZ@
2@+a@={6-a}@, 12a=32 / a=8
16 x@+y@+4x-2y+1=0을 변형하면 {x+2}@+{y-1}@=4 선의 접점을 Q, R라 하고 QRZ의 중점을 M이라 하면 CQZ=2, CPZ =1{2+2}@+{3-31}@3=2j5
sCPQ는 직각삼각형이므로
PQZ =7 CPZ@-CQZ@9=4{2j5}@-2@6=4 이때 sCPQ의 넓이에서
/ 3x+4y-25=0
이때 원의 중심 {7, 5}와 직선 3x+4y-25=0 사이의 거리는
|21+20-25|
13@+4@3 =16
ABZ=OXHZ =7 OXO'Z@-OX'HZ@9=14@-1@3=j15k
Ⅲ-4. 도형의 이동 111 110 정답과 해설 | 개념편 |
1 답 ⑴ {4, -2} ⑵ {6, -3}
2 답 ⑴ {-4, 7} ⑵ {-5, 2}
3 답 ⑴ 2x+y-6=0 ⑵ {x-3}@+{y+2}@=9 4 답 ⑴ {x+2}@+{y-3}@=25 ⑵ y={x+6}@+7
264~266쪽
01-1 답 {3, -2}
점 {2, 2}를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만 큼 평행이동한 점의 좌표를 {-1, 4}라 하면
2+a=-1, 2+b=4 / a=-3, b=2
이 평행이동에 의하여 점 {6, -4}가 옮겨지는 점의 좌표는 {6-3, -4+2} / {3, -2}
01-2 답 13
평행이동 {x, y} 1! {x+a, y+1}은 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동하는 것이다.
이 평행이동에 의하여 점 {-2, 3}이 옮겨지는 점의 좌표는 {-2+a, 3+1} / {a-2, 4}
이 점이 직선 y=x-7 위에 있으므로 4=a-2-7 / a=13
01-3 답 A'{4, 7}, C'{6, 5}
sABC를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 도형을 sA'B'C'이라 하면 이 평행이동에 의 하여 점 B{-1, 1}이 점 B'{3, 3}으로 옮겨지므로 -1+a=3, 1+b=3 / a=4, b=2
이 평행이동에 의하여 두 점 A{0, 5}, C{2, 3}이 옮겨지 는 점은 각각 A'{0+4, 5+2}, C'{2+4, 3+2}
/ A'{4, 7}, C'{6, 5}
02-1 답 -6
평행이동 {x, y} 1! {x+p, y+3p}는 x축의 방향으 로 p만큼, y축의 방향으로 3p만큼 평행이동하는 것이다.
이 평행이동에 의하여 직선 y=2x+3이 옮겨지는 직선의 방정식은
y-3p=2{x-p}+3 / y=2x+p+3 이 직선이 직선 y=2x-3과 일치하므로 p+3=-3 / p=-6
263쪽
평행이동